高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题1考前教材重温3三角函数与平面向量教学案理

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高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题1三角函数与平面向量突破点1三角函数问题教师用书理

专题一三角函数与平面向量建知识网络明内在联系[高考点拨]三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．突破点1 三角函数问题(对应学生用书第167页)A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ.(2)三角函数图象的两种常见变换(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π，(k ∈Z)解得．(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k∈Z)解得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数；对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z)解得，无对称轴.(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦.)＋c 其中tan φ＝b a的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值：可利用降幂公式sin 2x ＝1－cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 转化整理为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C ，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值．回访1 三角函数的图象问题1．(2015·山东高考)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位B [由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.]2．(2016·全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图11所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图11A [由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.]3．(2013·山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4B [y ＝sin(2x ＋φ) ――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.]回访2 三角函数的性质问题4．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2πB [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.]5．(2016·全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z)C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝kx ＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．] 6．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图12所示，则f (x )的单调递减区间为( )图12A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.]回访3 三角恒等变换7．(2016·全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725D [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.]8．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.－43 [由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.]9．(2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.2 1 [∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝A sin(ωx＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1.](对应学生用书第167页)热点题型1 三角函数的图象问题题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低.(1)(2016·青岛模拟)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π12 C.π3D.5π6(2)(2016·衡水中学四调)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图13所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则( )图13A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6(1)A (2)A [(1)设f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，向左平移m 个单位长度得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3.∵g (x )的图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶函数，∴π3＋m ＝π2＋k π(k ∈Z)，∴m ＝π6＋k π(k ∈Z)，又m ＞0，∴m 的最小值为π6.(2)由题意可知T 4＝π6＋π12＝π4，∴T ＝π，ω＝2ππ＝2.又sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0,0＜φ＜π2，∴φ＝π3，故选A.]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2；(2)ω由周期确定；(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．[变式训练1] (1)(2016·烟台模拟)将f (x )＝sin 2x 的图象右移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后，得到g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|的最小值为π3，则φ的值为( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3(2)(2016·江西八校联考)函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的部分图象如图14所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)的值为( )图14A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 2(1)B (2)A [(1)g (x )＝sin[2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)，则f (x )，g (x )的最小正周期都是T ＝π.若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝T 2－φ＝π2－φ＝π3，从而φ＝π6.(2)由题图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x .∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 016＝8×252，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.] 热点题型2 三角函数的性质问题题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等.(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.1分 f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.4分所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分 (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.10分所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.12分研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的“两种”意识1．转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式． 2．整体意识：类比于研究y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”代入求解便可．[变式训练2] (1)(2016·济宁模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π时，函数g (x )的值域是[－2,1] (2)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若⎝⎛⎭⎪⎫π5，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的取值范围为( ) 【导学号：67722009】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π10，－9π10B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤9π10，4π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π10，π4 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，π10∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，＋∞ (1)D (2)C [(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 对于A ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可知2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，故A 错；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故x ＝－π4不是g (x )的对称轴，故B 错；又g (－x )＝2cos 2x＝g (x )，故C 错；又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故g (x )的值域为[－2,1]，D 正确． (2)令2k π＋π2＜2x ＋φ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4－φ2≤x ≤k π＋3π4－φ2，k ∈Z ，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4－φ2，k π＋3π4－φ2上单调递增．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8是f (x )的一个单调递增区间，所以5π8≤k π＋3π4－φ2，且k π＋π4－φ2≤π5，k ∈Z ，解得2k π＋π10≤φ≤2k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|＜π，所以π10≤φ≤π4.故选C.]热点题型3 三角恒等变换题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查y ＝A ωx ＋φ的有关性质.(1)(2016·江西八校联考)如图15，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α，若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图15(2)已知函数f (x )＝sin25x 6－cos 25x 6＋23sin 5x 6·cos 5x 6＋λ的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π10上的最大值为________．(1)513(2)3－ 2 [(1)由题意可知|OB |＝|BC |＝1，∴△OBC 为正三角形．由三角函数的定义可知，sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，∴3cos2α2－sin α2cos α2－32＝3＋cos α2－sin α2－32＝32cos α－12sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.(2)f (x )＝sin25x 6－cos 25x 6＋23sin 5x 6·cos 5x 6＋λ＝－cos 5x 3＋3sin 5x 3＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 3－π6＋λ.由f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53×π4－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.因为0≤x ≤3π10，所以－π6≤5x 3－π6≤π3.因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增，所以f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫3π10＝2sin π3－2＝3－ 2.]1．解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．2．在研究形如f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx 的函数的性质时，通常利用辅助角公式a sinx ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)把函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，通过对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的研究得到f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx 的性质．[变式训练3] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.45D.35(1)B (2)C [(1)法一：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ， ∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z.当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0， ∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.]专题一三角函数与平面向量建知识网络明内在联系[高考点拨] 三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．专题限时集训(一) 三角函数问题 [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．(2016·泰安模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) 【导学号：67722010】A ．－32B ．－12C.12D.32A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.] 2．(2016·河南八市联考)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x的值是( )A ．－23B ．－43C.43D.34D [因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D.] 3．(2016·全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B.]4．(2016·郑州模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图16所示，则f (0)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )图16A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32D ．1＋32A [由函数f (x )的图象得函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，解得ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为函数图象经过点－π12，－2，所以f －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－2，则2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π3＋2k π，k ∈Z.又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0－π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×17π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 5π2＝－3＋2，故选A.]5．(2016·石家庄二模)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－1,1]B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[1，2]A [由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝π2，β＝α－π2∈[0，π]⇒α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⇒α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22⇒2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－1,1]，故选A.]二、填空题6．(2016·合肥三模)已知tan α＝2，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________.【导学号：67722011】35 [∵tan α＝2， ∴sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos 2α＋sin αcos α ＝cos 2α＋sin αcos αsin α＋cos α ＝1＋tan αtan 2α＋1 ＝1＋24＋1＝35.] 7．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图17所示，△EFG (点G 在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.图17－ 3 [由函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数可得φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx (A ＞0，ω＞0)．又由△EFG 是边长为2的等边三角形可得A ＝3，最小正周期T ＝4＝2πω，ω＝π2，则f (x )＝－3sin π2x ，f (1)＝－ 3.]8．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.]三、解答题9．(2016·临沂高三模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2满足下列条件：①周期T ＝π；②图象向左平移π6个单位长度后关于y 轴对称；③f (0)＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，求cos(2α－2β)的值．[解] (1)f (x )的周期T ＝π，∴ω＝2.1分f (x )的图象向左平移π6个单位长度，变为g (x )＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ.2分由题意，g (x )关于y 轴对称， ∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.3分又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.4分∵f (0)＝1，∴A sin π6＝1，∴A ＝2.5分因此，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.6分 (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3＋π6＝－1013， 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π3＋π6＝65.7分∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2α，2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝513，cos 2β＝35，sin 2α＝1213，sin 2β＝45，11分 cos(2α－2β)＝cos 2αcos 2β＋sin 2αsin 2β ＝513×35＋1213×45＝6365.12分 10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图18所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.图18(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．[解] (1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－1322×4×5＝55.2分又cos ∠POQ ＝x P5，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2).3分由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6.4分将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.6分(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －＋π3＝2sin π6x .7分 ∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.9分当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，10分∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1)，即1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3).12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2α－sin 2α的值为( )A.513 B ．－513C.313D ．－313D [根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313，cos α＝213，所以sin 2α－sin 2α＝sin 2α－2sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3132－2×313×213＝－313.] 2．(2016·东北三省四市第二次联考)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12 C ．－12D ．－32D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，故选D.]3．(2016·湖北七市四月联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B [由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a cos π4＋b sin π4＝0，∴a ＋b ＝0，∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称，故选B.] 4．(2016·陕西省第二次联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图19所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图19A ．±223B.223C ．－223D.13C [由图易得A ＝3，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3在函数图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝－3，解得2×π3＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2.又因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13＞0，所以2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选C.]二、填空题5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．【导学号：67722012】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z)．由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z)．由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜38.由ω＞0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.]6．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． π [∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3，∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.] 三、解答题7．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：4分且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分 (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.7分因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.8分由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z.10分由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.12分8．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12，x ∈R.(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的最值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值．[解] (1)f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x －1－cos 2x 2＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分∵－π4≤x ≤π2，∴－π3≤2x ＋π6≤7π6，3分∴当2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4时，f (x )的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－ 3.4分当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )的最大值为2×1＝2.5分(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7分由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－35.8分∵4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.10分∵π2＜α2－π6＜3π4，11分 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π32＝－1－45210 10.12分＝－。

高考数学大二轮总复习与增分策略配套配套文档专题三三角函数、解三角形与平面向量第3讲

第讲平面向量．(·课标全国丙)已知向量＝，＝，则∠等于()．°．°．°．°答案解析∵＝，＝，∠＝＝，∴∠＝°.．(·山东)已知非零向量，满足＝，〈，〉＝.若⊥(＋)，则实数的值为()．．－．－答案解析∵⊥(＋)，∴·(＋)＝，即··＋＝，∴〈，〉＋＝，由已知得××＋＝，解得＝－，故选.．(·天津)已知△是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得＝，则·的值为()．－答案解析如图所示，＝＋.又，分别为，的中点，且＝，所以＝，＝＋＝＋＝＝，所以＝＋.又＝－，则·＝·(－)＝·－＋－·＝－－·.又＝＝，∠＝°，故·＝－－×××＝.故选.．(·浙江)已知向量，，＝，＝.若对任意单位向量，均有·＋·≤，则·的最大值是．答案解析由已知可得：≥·＋·≥·＋·＝(＋)·，由于上式对任意单位向量都成立．∴≥＋成立．∴≥(＋)＝＋＋·＝＋＋·.即≥＋·，∴·≤..考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度中低档.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.。

2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31

2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量312024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31三角函数与平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学二轮复习中的重点。

学好这一部分知识点，对于提高数学成绩至关重要。

本文将重点介绍2024届高三数学(理)二轮复习专题集训中的专题3三角函数与平面向量的内容，包括三角函数的基本概念、性质和一些重要公式，以及平面向量的基本概念、运算法则和应用等内容。

首先，我们来介绍三角函数的基本概念和性质。

三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们代表了角度和直角三角形边之间的关系。

正弦函数表示的是一个角的对边与斜边的比值，余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边的比值，正切函数表示的是一个角的对边与邻边的比值。

三角函数的周期都是360度或2π弧度，可以通过函数图像的变化规律和一些基本特点进行分析和运用。

在学习三角函数的过程中，我们要掌握一些基本的三角函数公式，例如，和差化积公式、倍角公式、半角公式等。

这些公式可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，转化为更简单的形式，从而更好地解决问题。

接下来，我们介绍平面向量的基本概念和运算法则。

平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

平面向量有加法和乘法（数量乘法和点乘）两种运算法则。

向量加法满足交换律、结合律和有零向量的存在性质，可以通过平行四边形法则和三角法则进行计算。

向量乘法有数量乘法和点乘法。

数量乘法是将向量与一个实数相乘，使向量的长度发生变化，方向与原来一致（或相反）。

点乘法是将两个向量的对应分量相乘再相加，得到的是一个实数，表示了两个向量之间的夹角关系。

最后，我们要了解平面向量的应用。

平面向量在几何、力学等领域中有着广泛的应用。

例如，可以使用向量来表示平面上的几何图形，计算它们的面积、周长等属性。

还可以使用向量进行力的合成、分解和计算，探究力的平衡、作用和应用等。

此外，还可以利用向量的性质解决一些几何问题，例如直线的垂直、平行关系，点和直线的位置关系等。

高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,文科)配套课件+配套文档：专题三三角函数解三角形与平面

第3讲平面向量1．(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →2．(2015·福建)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53 D.323．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2015·黄冈中学期中)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.热点二平面向量的数量积(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________________________________________________________________________. (2)(2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )． (1)当x ∈[0，π2)时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 (2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →.则AN →等于( ) A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 2．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( ) A ．－34B ．－89C ．－14D ．－493．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，且a ⊥b ，则tan(2α＋π4)＝________.4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →最小值是__________________________________________________．提醒：完成作业专题三第3讲二轮专题强化练专题三第3讲平面向量A 组专题通关1．(2015·佛山月考)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →等于( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1)D ．(－1，－1)2．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →3．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 边上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( ) A.19 B.13C ．1D ．3 4．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC→方向上的投影等于( ) A ．－32 B.32 C.32D ．3 5．(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________．7．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 9．(2015·惠州二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．10．已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，0)，b ＝(2cos ωx ,3)(ω>0)，函数f (x )＝a ·b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．B 组能力提高11．已知非零单位向量a 与非零向量b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则向量b －a 在向量a 上的投影为( ) A ．1 B.22C ．－1D ．－2212．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]13．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，CD 是△ABC 的中线，若PD →＝1－λ2P A →＋12CB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．AB 边所在的直线上 B ．AC 边所在的直线上 C ．BC 边所在的直线上 D ．△ABC 的内部14．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．学生用书答案精析第3讲平面向量高考真题体验1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．A [c ＝a ＋k b ＝(1,2)＋k (1,1)＝(1＋k,2＋k )，∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0，b ·c ＝(1,1)·(1＋k,2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0，∴k ＝－32，故选A.]3．B [由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴线段AC 为圆的直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )，∴|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时，此式有最大值49＝7，故选B.]4．－3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.热点分类突破例1 (1)12 (2)－12解析 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF .因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．方法一因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点，所以AD →＝12(a ＋b )．所以AE →＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.方法二易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.跟踪演练1 (1)C (2)12 －16解析 (1)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λAD →⇔i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1. (2)如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16. 例2 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →) ＝13(OA →＋OB →)，又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6，∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →) ＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×(2|OA →|·|OB →|＋12)＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|OB →|时取等号)． ∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2.跟踪演练2 (1)32(2)90° 解析 (1)由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴P A ⊥x 轴，P A ＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32. (2)∵AO →＝12(AB →＋AC →)， ∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.例3 解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈[0，π2)，所以f (x )的单调递增区间为[0，π6]． (2)由f (C )＝2sin(2C ＋π6)＋1＝2，得sin(2C ＋π6)＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈(π6，13π6)，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3. 因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12. 由正弦定理得a b ＝12，① 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.跟踪演练3 解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(13)2＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－(429)2＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C＝13×79＋223×429＝2327. 高考押题精练1．C [因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ，则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝AD AB. 因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →. 因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.]2．B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13， ∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2＋0－1＝－89.] 3．－17解析因为a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，且a ⊥b ，所以cos α＋2sin α＝0，则tan α＝－12. 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 所以tan(2α＋π4)＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝－43＋11－(－43)×1＝－1373＝－17. 4．－116解析因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋(BP →)2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝60°.OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP →|－14)2－116≥－116.故当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →最小值是－116.二轮专题强化练答案精析第3讲平面向量1．C [DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．D [在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |·cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]3．B [如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13.] 4．C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C. ] 5．9解析因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.6.35解析设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比值为35. 7.2918解析在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →， AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos 120°＝2918. 8．[－12，12] 解析令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )， ∴⎩⎨⎧ c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)， ∴y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是[－12，12]． 9．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 10．解 (1)因为向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，0)，b ＝(2cos ωx ,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a ·b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx ＝4[sin ωx ·(－12)＋cos ωx ·32]cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos(2ωx ＋π6)＋3，由题意，可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1. (2)易知f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈[π6，4π＋π6]，故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[5π12，11π12]和[17π12，23π12]． 11．C [因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，解得a ·b ＝0，所以向量b －a 在向量a 上的投影为|b －a |cos 〈a ，b －a 〉＝a ·(b －a )|a |＝0－|a |2|a |＝－|a |＝－1.]12．A [∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1，∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2，∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |，∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.]13．B [连接PB ，PC .因为CD 是△ABC 的中线，所以边AB 的中点为D ，所以P A →＋PB →＝2PD →.因为PD →＝1－λ2P A →＋12CB →，所以12(P A →＋PB →) ＝1－λ2P A →＋12(PB →－PC →)，所以PC →＝－λP A →，所以A ，C ，P 三点共线，因此点P 一定在AC 边所在的直线上．]14．解 (1)方法一 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2.方法二 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)， ∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.。

新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数

4.(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是7_____. 解析在区间[0,3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：
由图象可得两图象有7个交点.
解析答案
考情考向分析
1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性. 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.
图所示，则 f(π3)的值为__1__. 解析根据图象可知，A＝2，34T＝1112π－π6，所以周期 T＝π，由 ω＝2Tπ＝2，又函数过点(π6，2)，所以有 sin(2×π6＋φ)＝1，而 0<φ<π，所以 φ＝π6，则 f(x)＝2sin(2x＋π6)，
因此 f(π3)＝2sin(23π＋π6)＝1.
∴原式＝
1＋csoins
α α
＝ sin α＋cos α cos α
＝2cos2α＝2×－352＝2158.
解析答案
热点二三角函数的图象及应用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2，π，32π，2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，
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热点分类突破
热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
1.三角函数：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.同角关系：sin2α＋cos2α＝1，csoins αα＝tan α. 3.诱导公式：在k2π＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.

高三数学二轮复习考前冲刺攻略第一步八大提分笔记三三角函数解三角形平面向量课件文(全国通用)

(4)平面向量的两个重要定理 ①向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa. ②平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 e1，e2 是一组基底．
－sinα cosα
－cosα －cosα cosα
3 三角函数的图象与性质 (1)五点法作图； π (2)对称轴：y＝sinx，x＝kπ＋2，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ， k∈Z；
π k π ＋， 0 对称中心： y＝sinx， (kπ， 0)， k∈Z； y＝cosx，， 2 kπ k∈Z；y＝tanx， 2 ，0 ，k∈Z.
6 解三角形 a b c (1)正弦定理：sinA＝sinB＝sinC＝2R(R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝ a b c sinA∶sinB∶sinC； (ⅱ)sinA＝2R， sinB＝2R， sinC＝2R； (ⅲ)a ＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中 A>B⇔ sinA>sinB.
9 平面向量的基本概念及线性运算 → → → (1)加、减法的平行四边形与三角形法则： AB＋BC＝AC； → → → AB－AC＝CB. (2)向量满足三角形不等式：||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|. (3)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记为 λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②λ>0，λa 与 a 同向；λ<0，λa 与 a 反向； λ＝0 或 a＝0，λa＝0.

2021-2022年高考高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量教学案文

2021年高考高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量教学案文一．考场传真1. 【xx课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin sin(sin cos)0B AC C+-=，a=2，c=，则C=A．B．C．D．【答案】B2．【xx课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x=++-的最大值为（）A．B． 1 C．D．【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin6233x x xππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则：()16sin sin sin53353f x x x xπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数的最大值为 .所以选A.3．【xx课标II，文3】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，故选C.4．【xx 课标3，文4】已知，则=（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.5．【xx 课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b =，c =3，则A =_________. 【答案】75°6．【xx 课标II ，文4】设非零向量，满足则 A.⊥ B. C. ∥ D. 【答案】A【解析】由平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+，即，则，故选A. 7．【xx 课标3，文13】已知向量，且，则m = . 【答案】2【解析】由题意可得：.8．【xx 课标II ，文16】的内角的对边分别为,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则【答案】【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒= 9．【xx 课标II ，文13】函数的最大值为 . 【答案】【解析】10．【xx课标1，文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．【答案】7【解析】由题得，因为，所以，解得11．【xx课标1，文15】已知，tan α=2，则=__________．【答案】二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求考纲要求：三角函数：①了解任意角、弧度制的概念，理解任意角三角函数的定义；②理解同角三角函数的基本关系式，能用诱导公式进行化简求值证明；③掌握三角函数的图像与性质，了解函数的图像，了解参数对函数图像变化的影响；④掌握和差角、二倍角公式，能运用公式进行简单的恒等变换；⑤掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解决一些简单的三角形度量问题.平面向量：掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件.【命题规律】(1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考查．(2)高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档．（3）三角恒等变换包括三角函数的概念，诱导公式，同角三角函数间的关系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住这些公式间的内在联系，做到熟练应用.（4）解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用，因此，在一套高考试卷中，既有选择题、填空题，还有解答题．（5）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.3．学法导航1. 已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3. 函数y＝A sin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路：第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝A sin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．4. (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．5．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．6．(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．7．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．8．在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．一．基础知识整合基础知识：一．基础知识整合1．三角函数的图象及常用性质(表中k ∈Z )y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象增区间⎣⎢⎡ －π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π [ －π＋2k π， ]2k π⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π 减区间⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π []2k π，π＋2k π无对称轴 x ＝k π＋π2x ＝k π 无对称中心(k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，02.(1)y ＝sin x ――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin (ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．y ＝sin ωx ――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．3．正弦型函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x 轴垂直的直线；正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形. 4．三角形面积公式：(1)S ＝12ah a (h a 为BC 边上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝abc4R (R为△ABC 外接圆的半径)；(4)S ＝2R 2sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆的半径)；(5)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )⎝⎛⎭⎪⎫p ＝12(a ＋b ＋c )；(6)S ＝12(a ＋b ＋c )r ＝pr (p ＝12(a ＋b ＋c )，r 为△ABC 内切圆的半径)．5．四边形面积公式：S ＝12l 1l 2sin θ(l 1，l 2为对角线长，θ为对角线夹角)．6．正弦定理及其变形：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的半径)．7．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .8．常用边角互化方法：sin A ＝a 2R ；sin B ＝b 2R ；sin C ＝c 2R ；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.9．平面向量中的四个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a 同向的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影．10．平面向量的两个重要定理：(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 11．两非零向量平行、垂直的充要条件：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)若a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.12．平面向量的三个性质：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.13．平面向量的三个锦囊：(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2 (其中λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量与向量，的关系是＝12(＋)．(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.二．高频考点突破考点1 三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用【例1】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，是角终边上的一点，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】C【例2】已知，则 . 【答案】【解析】sin 2cos tan 21sin cos tan 1αααααα--==-⇒++．【规律方法】1、利用三角函数定义将角的终边上点的坐标和三角函数值建立了联系，但是注意角的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴. 2. 正、余弦三兄妹“、”的应用与通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.的求值技巧：当已知，时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有或，这两个公式中的其中一个平方后即可求出，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出的值．或者把、与联立，通过解方程组的方法也可以求出的值． 3.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:① 的二次齐次式（如22sinsin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“”代换法求解；②的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.4．温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号.5. 利用诱导公式求值：i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解.常见的互余与互补关系(1)常见的互余关系有：与；与；与等.(2)常见的互补关系有：与;与等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题.6. 利用诱导公式化简、证明i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.ii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.7．提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有的整数倍的三角函数式中可直接将的整数倍去掉后再进行运算，如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 【举一反三】已知为锐角，且，则（）． A ． B ． C ． D ．【答案】A考点2 三角函数的图像与性质【例3】【四川省内江市xx 届第一次模拟】已知函数()2sin 3sin cos f x x x x =，则 A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称【答案】C【解析】∵函数()21cos231sin 3sin cos sin 2262x f x x x x x x π-⎛⎫=+==-+ ⎪⎝⎭，∴的最小正周期为，故错误，的最大值为，故错误，当时， 1sin 216662f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故的图象不关于直线对称，故错误，由3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得，令，可得的一个单调减区间为，故C 正确，故选C 【例4】【广西玉林市xx 届期中】已知的三个内角所对的边长分别是，且，若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（） A. B. C. D.【分析】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 【答案】D向右平移个单位长度单位，得到()522222cos2662g x sin x sin x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D. 【规律方法】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在其定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式，然后再求解．(2)对于形式y ＝asin ωx＋bcos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝ a 2＋b 2sin(ωx＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2)的形式来求．(3)对于y ＝Asin(ωx＋φ)函数求单调区间时，一般将ω化为大于0的值．【举一反三】【内蒙古包钢xx 届月考】函数的部分图象如图所示,则的单调递减区间为A. B. 132π,2π,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z C. D. 【答案】D考点3 三角恒等变换【例5】若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则的值为（） A ． B ． C ． D ．【答案】D【规律方法】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，，，，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切.(3)公式变形使用：如()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 24πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±等 (4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:；，.(5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：22sec tan tan cot x x x x =-=⋅等.（7）辅助角公式：()22sin cos a x b x a b x θ+=++(其中角所在的象限由的符号确定，的值由确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可. 如sin cos 2),sin 32sin(),3cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等. 2.题型与方法:题型一,利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-，()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，，()()()ααβββαβαβαβα=-+=+-=--+，，等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等题型二，三角函数式的化简与证明：三角函数式的化简：常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等.（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明.题型三. 辅助角公式：函数(为常数)，可以化为()()22sin f a b ααϕ=++或()()22cos f a b ααϕ=+-，其中可由的值唯一确定．【举一反三】【四川省内江市xx 届第一次模拟】0000sin20cos40cos20sin140+=A. B. C. D.【答案】B故选B考点4解三角形【例6】【安徽省淮南市xx 届高三第四次联考】在中，角的对边分别为，且，，则角等于( )A. B. 或 C. D.【答案】A【规律方法】 1.在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角(或直角)，这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有唯一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量求余弦值．2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【举一反三】【四川省成都市xx 届一诊】已知中，角的对边分别为(),,,2cos cos cos 0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【解析】(1) ()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()20cosC sinAcosC sinBcosA sinB ∴++=，()20,20cosCsin A C cosCsinB sinB ∴+=∴+=即，又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=即（2）由余弦定理可得()222223222cos12024a a a a =+-⨯=++，又10,2,sin 3,2ABC a a S ab C ∆>=∴== 的面积为考点5 解三角形在实际生活中应用【例7】 “郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点的时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，救援中心测得着陆点位于其正东方向．（1）求两救援中心间的距离；（2）救援中心与着陆点间的距离．分析：（1）在中，．在中，， 22303BC AC BC =+=万米；（2）sin sin ,cos 1010ACD ACB ACD ∠=∠=∠=- ()0331sin sin 30210ADC ACD -∠=+∠=sin 93sin 13AC ACD AD ADC ∠+==∠万米．【规律方法】三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解．有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的．把握解三角形应用题的四步：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．求距离问题的注意事项：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．【举一反三】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的.位于该市的某大学与市中心的距离，且.现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学.其中，，. （Ⅰ）求大学与站的距离；（Ⅱ）求铁路段的长.（II ）∵，且为锐角，∴，在中，由正弦定理得，623132sin 13MAO =∠，∴，∴，∴，∵，∴，，∴sin sin()410ABO πα∠=-=sin sin()5AOB πα∠=-=，在中，，由正弦定理得，，即1521510AB =，∴，即铁路段的长为. 考点6 平面向量的线性运算【例8】【xx 辽宁庄河两校联考】已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.分析：一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量，再根据向量的平方运算，求出，令其小于半径即可求出．【答案】B【规律方法】用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式即可得λ1，λ2的值．向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：①为的重心，特别地为的重心；是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；等于已知AD 是中BC 边的中线.②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为的垂心；()||cos ||cos AB AC AB B AC Cλ+是△ABC 的边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心.③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ 的内心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线). ④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=， 222OA OB OC OA OB OC ⇔==⇔==⇔为的外心.向量与平行四边形相关的结论向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形中，设，则有以下的结论：①通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若,可判断四边形为平行四边形；②若对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；()()0a b a b a b +⋅-=⇔=对角线垂直.则平行四边形为菱形； ③222222a b a b a b ++-=+说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；④||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).【举一反三】【内蒙古呼和浩特市xx 届质调】已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足： 1112322OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则一定为的 A. 重心 B. 边中线的三等分点（非重心）C. 边中线的中点 D. 边的中点【答案】B考点7 平面向量的数量积【例9】如图，在中，,3,1AD AB BC BD AD ⊥==，则的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：本题考查向量的数量积的定义和性质，同时考查诱导公式和正弦定理的运用，是关于向量数量积的常考题型，属于中档题；运用向量的数量积的定义，结合条件可得CAD AC ∠=⋅，再由诱导公式可得BAC AC AC AD ∠=⋅sin ，结合三角形中的正弦定理和直角三角形的锐角三角函数的定义，计算即可得到所求值. 【答案】C【规律方法】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用||计算;思路2，利用计算.3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【举一反三】【内蒙古呼和浩特市xx 届质调】在中，，，是所在平面上的一点，若，则A. B. C. D.【答案】A【解析】如图， ()2222,3333DB CB AB AC AD AB BD AB AB AC ==-=+=--. ∴2222122413333999DB AD AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2429933cos601999=⨯-⨯+⨯⨯⨯︒=-.选A.考点8 平面向量和三角函数的综合问题【例10】【xx 河北衡水武邑中点二调】已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．分析：解题时先由正弦定理把△ABC 的边a ，c 用含有A 的代数式表示，再由三角形为锐角三角形求出角A 的范围，把向量的数量积利用三角变换转化为关于A 的三角函数，最后利用三角函数的取值范围求解．【答案】【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【举一反三】【】浙江省台州中学xx届第三次统练】已知向量, ，记．(1) 若，求的值；(2) 在锐角中，角的对边分别是且满足，求的取值范围．。

高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题1考前教材重温2函数与导数教学案理(2021学年)

20１8版高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题1 考前教材重温２函数与导数教学案理编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2０1８版高考数学二轮复习第３部分考前增分策略专题 1 考前教材重温 2 函数与导数教学案理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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２.函数与导数■要点重温…………………………………………………………………………·１.几种常规函数:（1）一次函数：ｆ(x)＝ax＋b（a≠0)．当b＝0时，ｆ（x）为奇函数.［应用1] 若一次函数y=f(x）在区间[-１,2]上的最大值为３,最小值为1,则ｆ（x)的解析式为_＿＿_____．[答案] ｆ（x）=＼f（２,3)ｘ+错误!,或f(ｘ)＝－错误!x＋错误!.(2)二次函数:①一般式:f(x)＝aｘ2＋ｂｘ+c（a≠0);②顶点式：ｆ（x)＝ａ（x－ｈ)２＋k(a≠０)；③零点式：f（x)＝ａ（ｘ-ｘ1)（x-ｘ２）（a≠0）;④区间最值：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.[应用2］若函数y=1２x2－2x+4的定义域、值域都是[2,２b],则b＝______＿＿。

【导学号:0７804１60】［答案］２[应用3］设函数f(x）=ｘ2＋2(a-1)x+1在区间(－∞,４)上是减函数，则ａ的取值范围是_＿_＿____.[答案] a≤－３(3)三次函数的解析式的两种形式：①一般式：ｆ（x）=aｘ3+bx2+cx＋d(a≠0);②零点式:f（ｘ)=a(ｘ－x1)(x-ｘ2）（x-ｘ3）(a≠０)．［应用4］已知函数f（x)=ax３+bx2＋cx+ｄ的图象如图２,则b的取值范围是____＿___．图２[答案] b<0[应用５］若函数f（x)＝x3＋３ａx2＋３(a＋2）x＋3既有极大值又有极小值,则a的取值范围为___＿＿___.[答案］a＞2或a<-1(４)反比例函数:y=错误!(x≠０)平移⇒y=ａ+错误!(x≠0)（中心为（ｂ,ａ)).(５)分段函数：分段处理，有时结合函数图象来研究问题．［应用6] 已知实数a≠0，函数f(ｘ）＝错误!，若ｆ（1-a）＝f（1+a),则a=___＿_＿＿_.［解析] 当ａ<0时，－(1-a）-2a＝2（1＋a）＋a，a＝－3４；当a＞0时,-(1＋a)-２a=2（1-a）+a,ａ=-＼f(3，2)(舍);综上可知a=－错误!．[答案] －错误![应用７] 设函数f（x）=错误!若f(x0）〉１，则x0的取值范围是____＿___。

2018年高考数学(理)二轮复习教师用书：第3部分考前增分策略专题13.三角函数与平面向量(含答案)

3.三角函数与平面向量■要点重温…………………………………………………………………………· 1．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．特别地，当r ＝1时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.[应用1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． [答案] －152．弧长公式：l ＝|α|R ，扇形面积公式：S ＝12lR ＝12|α|R 2,1弧度(1 rad)＝180°π≈57.3°.[应用2] 已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2 rad ，求该扇形的面积． [解] 设扇形的半径为r, 弧长为l ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8l ＝2r，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2l ＝4.故扇形的面积为S ＝12rl ＝4 cm 2.3．关于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，( A ，ω>0)①五点法作图；[应用3] 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |, x ∈(0,2π)的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)．(要作出y ＝f (x )的图象，运用数形结合的思想求解. )② 周期T ＝2π|ω|.一般来说，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．如y ＝sin 2x, y ＝|cosx |，但y ＝|tan x |的周期是π，y ＝|sin x |＋|cos x |的周期是π2；函数y ＝sin(x 2), y＝sin|x |都不是周期函数．[应用4] 函数y ＝|sin x |cos x －1的最小正周期与最大值分别为________.[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin2x －1，k π≤x ≤2k π＋π－12sin2x －1，k π－π≤x ≤2k π 作出其图象(图略)知原函数的最小正周期为2π，最大值为－12.[答案] 2π；－12③ 单调性和对称性：y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )；单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )；对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π， 2k π](k ∈Z )；单调递减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；对称轴为x ＝k π(k ∈Z )；对称中心为(k π＋π2，0)(k ∈Z )．y ＝tan x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )；对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )．[应用5] 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ，x ∈[－π，0]的单调递减区间为________． [解析] ∵x ∈[－π，0]，∴x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π4，令z ＝x －π4，则z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π4，∵正弦函数y ＝sin z 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π4上单调递增，∴由－π2≤x －π4≤－π4得：－π4≤x ≤0.∴函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在x ∈[－π，0]的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0.∴函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在x ∈[－π，0]的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0 [应用6] 求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 [0，π]上的单调递增区间．[解] ∵函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x －cos 2x )(sin 2x ＋cos 2x )＋3sin2x＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)．故该函数的最小正周期是π.当2x －π6＝2k π－π2时，即x ＝k π－π6时，y 有最小值．由于函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴y min ＝－2，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z .解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .令k ＝0时，－ π6≤x ≤π3.又∵0≤x ≤π，∴0≤x ≤π3， k ＝1时， 56π≤x ≤43π又∵0≤x ≤π.∴56π≤x ≤π.故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.④ 变换：y ＝sin x ――→？y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3――→？y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 y ＝sin x ――→？y ＝sin(2x )――→？y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 你知道上述两种变换过程的区别吗？[应用7] 要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上所有的点( )A ．横坐标缩短到原来的12 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度[解析] 将函数y ＝2sin(2x ＋π4)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y ＝2sin(x ＋π4)的图象；再向左平行移动π4个单位长度后便得y ＝2sin(x＋π4＋π4)＝2cos x 的图象．故选C. [答案] C[应用8] 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________. A ．π4B ．3π4C ．0D ．－π4[解析] y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8x →x ＋π8y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由于所得函数为偶函数，则 f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝±1，φ＋π4＝k π＋π2⇒φ＝k π＋π4，k ∈Z ，取k ＝0得φ＝π4，故选A.[答案] A⑤用待定系数法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式．由图中的最大值或最小值确定A ，再由周期确定ω，由图象上“特殊点”的坐标来确定φ. 特别提醒：将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx 0＋φ＝0＋2k π(k ∈Z )，其他依次类推即可． [应用9] 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图4所示，则φ＝________.图4[解析] 由图象可得T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－34π＝52π＝2πω，解之得ω＝45.将⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，－1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ＝－1，则35π＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝9π10＋2k π，k ∈Z .又∵φ∈[－π，π)，∴φ＝910π.[答案]910π. 4．三角恒等变换的切入点(1)角的变换：可利用和、差、倍、半角公式； (2)名的互换：诱导公式、正切化正余弦公式；(3)次的变换：利用升、降幂公式； (4)形的变换：统一函数形式．值得注意的是：①在三角恒等变换中，要特别注意角的各种变换．如：β＝(α＋β)－α，α＝(α－β)＋β， α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β； [应用10] 已知sin(π7－α)＝13，则sin(1714π＋2α)＝________.[解] －79.(提示：设π7－α＝β)②注意sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三者间的关系．[应用11] 已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝55，求cos2θ－sin2θ－11－tan θ的值．[解] cos2θ－sin2θ－11－tan θ＝2sin 2θ＋sin2θtan θ－1＝2sin 2θcos θ＋sin2θcos θsin θ－cos θ＝2sin θcos θθ＋cos θsin θ－cos θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝55，所以sin θcos θ＝25，sin θ＋cos θ＝35，所以原式＝125.③在三角函数的求值问题中，要特别关注角的范围，通常需要结合已知的三角函数值进一步缩小角的范围，以确定所求值的符号，这是此类问题中的难点． [应用12] 设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________.[解析] ∵sin3αsin α＝α＋2αsin α＝sin αcos2α＋cos αsin2αsin α＝cos2α＋2cos 2α＝2cos2α＋1＝135∴cos2α＝45.又∵α为第四象限角，即2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π，k ∈Z ，∴4k π＋3π＜2α＜4k π＋4π，k ∈Z ，即2α为第三、四象限角． ∴sin2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.∴tan2α＝sin2αcos2α＝－3545＝－34.[答案] －34④注意二倍角公式的变形，如： sin 2α＝1－cos2α2，cos 2α＝1＋cos2α2.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a. [应用13] 已知函数f (x )＝sin x 3cos x3＋3cos 2x3.(1) 将f (x )写成A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式．并求其图象对称中心的横坐标；(2) 如果△ABC 的三边，a ，b ，c 成等比数列，且边b 所对的角为x ，试求x 的取值范围及此时函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3＋32，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3＝0，即23x ＋π3＝k π(k ∈Z )．得x ＝3k －12π，k ∈Z .即对称中心的横坐标为3k －12π，k ∈Z .(2)由已知b 2＝ac ，cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac2ac＝a 2＋c 22ac －12≥12，又x ＝B ∈(0，π)， ∴0＜x ≤π3，∴23x ＋π3∈(π3，5π9]． ∴sin π3＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3≤1.∴3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3＋32≤1＋32，即f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32. 5．解三角形(1)正弦定理：2R ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C； (2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；(3)内切圆半径：r ＝2S △ABCa ＋b ＋c；面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ；注意：你要会证明正弦定理和余弦定理．[应用14] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0. (1)求角B 的大小； (2)若△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin C 的值． [解] (1)由cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0，得cos A sin B －(c －sin A )cos B ＝0，即sin(A ＋B )＝c cos B ，sin C ＝c cos B ，sin Cc＝cos B ，因为sin C c ＝sin B b ，所以sin B 3＝cos B ，即tan B ＝3，B ＝π3.(2)由S ＝12ac sin B ＝32，得ac ＝2，由b ＝3及余弦定理得(3)2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ，所以a ＋c ＝3，所以sin A ＋sin C ＝sin B b (a ＋c )＝32. (4)解三角形时，可能会出现多解的情况，一定要注意检验．比如，在已知两边a ，b 及一边的对角A 的情况下，如果A 为锐角，那么可能出现以下情况(如图5).图5a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b无解一解两解一解[应用15] 在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．一解或两解[解析] 由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B 知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC (图略)，由图知有两解．故选C. [答案] C6．向量共线基本定理：a ∥b ⇔存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0[应用16] 若a ＝(2，－2)，则与a 平行的单位向量的坐标为________． [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22， 227．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.特别地，OP →＝λ1OA →＋λ2OB →，则λ1＋λ2＝1是三点P ，A ，B 共线的充要条件．[应用17] 如图6，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.图6[解析] 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH→＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. [答案] 128．夹角与数量积的关系(1)当θ为锐角时，a ·b ＞0，且a 、b 不同向，a ·b >0是θ为锐角的必要不充分条件； (2)当θ为直角时，a ·b ＝0，但由a·b ＝0，不能得到a ⊥b ，还可能a ＝0或b ＝0. (3)当θ为钝角时，a ·b ＜0，且a 、b 不反向，a ·b <0是θ为钝角的必要不充分条件． [应用18] 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________．[解析] 由θ为锐角，得a ·b ＞0，且a 、b 不同向．∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是{λ|λ>－12且λ≠2}．[答案] {λ|λ>－12且λ≠2}9．解决向量问题有两条途径：数的角度：①利用平面向量基本定理，用两个基向量表示所求向量； ②建系，利用坐标运算．形的角度：利用向量运算的几何意义．[应用19] 如图7在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝1，AC ＝2，D 为BC 边上一点，DC →＝2BD →，则AD →·BC →＝________.图7[答案] 1310．向量中常用的结论：(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A 、B 、C 共线； (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)；(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心． [应用20] 已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________. [解析] 取边长为1的等边△ABC 的边AB 的中点为D ，边AC 的中点为E ，则OA →＋OB →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，而由等边三角形的性质可得，OA ＝2OD ，OD ⊥AB ，所以∠AOD ＝π3，同理可得∠AOE ＝π3，再根据OD ＝OE ＝13·32＝36，可得(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝2OD →·2OE →＝4OD →·OE →＝4×36×36cos 2π3＝－16.[答案] －16■查缺补漏…………………………………………………………………………· 1．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [因为sin2 018°＝sin(11×180°＋38°)＝－sin 38°<0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°)＝－cos 38°<0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限，选C.]2．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4 B ．π3C.π2D ．3π4A [(a －b )⊥(3a ＋2b )⇒(a －b )·(3a ＋2b )＝0⇒3a 2－2b 2－a ·b ＝0⇒a ·b ＝23b 2.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝23b 2223b 2＝22⇒〈a ，b 〉＝π4.选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( ) A.74 B ．34 C.73D ．13A [因为b sinB －a sin A ＝12a sinC ，所以b 2－a 2＝12ac ，∵c ＝2a ，∴a 2＋c 2－b 2＝4a 2－12ac ＝3a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 22a ·2a ＝34，由于0<B <π，解得：sin B ＝1－cos 2B ＝1－916＝74，故选A.] 4．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B ．12C ．－12D ．－32D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，故选D.]5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A ．32B ．22C ．12D ．－12C [∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.]6．如图8，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB→等于( )图8A ．－32B ．32C ．－1D ．1D [DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，又DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝DA →2＋13AB →2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|cos 60° ＝73－43×1×2×12＝1.] 7．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)的部分图象如图9所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的单调递增区间是( )图9A ．[6k －1,6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4,6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1,3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4,3k －1](k ∈Z )B [∵|AB |＝5，|y A －y B |＝4，∴|x A －x B |＝3，即T 2＝3，∴T ＝2πω＝6，∴ω＝π3.∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ过点(2，－2)，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝－2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝－1，又∵0≤φ≤π，∴2π3＋φ＝3π2，解得φ＝5π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，由2k π－π2≤π3x ＋5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k －4≤x ≤6k－1(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为[6k －4,6k －1](k ∈Z )．故选B.]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为△ABC 的外心，D 为BC 边上的中点，c ＝4，AO →·AD →＝5，sin C ＋sin A －4sin B ＝0，则cos A ＝( ) A.32B ．12 C.14D ．22C [由题意O 为△ABC 的外心，D 为BC 边上的中点，可得：AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →·AD →＝5，可得AO →·12(AB →＋AC →)＝12(AO →·AB →)＋12(AO →·AC →)＝5，∴AO →＝12AB →，同理AO →＝12AC →，∴AB →24＋AC→24＝5，即c 24＋b 24＝5；∵c ＝4，∴b ＝2，又∵sin C ＋sin A －4sin B ＝0，∴4b －c ＝a ，∴a ＝4，由余弦定理可得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝14，故选C.]9．已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，则cos β＝________.12 [∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2. 又0<β<π2，∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32，∴2π3<α＋β<π.∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.]10．当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2xsin2x的最小值为________．[解析] ∵f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝1tan x ＋4tan x ≥4，当且仅当tan x ＝12时取等号，所以最小值为4. [答案] 411．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：(1)求函数f (x )(2)若π2<α<π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π12＝175，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值. [解] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ω·π12＋φ＝π2ω·7π12＋φ＝3π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2φ＝π3.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4－A ＋B ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴函数f (x )的解析式为：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π12＝175可得3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π12＋π3＋1＝175，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋π3＋1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π＋π3＋1 ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋1＝－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋1. 又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，7π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－35， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋1＝－6×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋1＝9725.12．(2017·青岛模拟)已知向量，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x3，cos 2x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k ，实数k 为大于零的常数，函数f (x )＝a ·b ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为2－12. (1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若π2<A <π，f (A )＝0，且a ＝210，求AB →·AC →的最小值．[解] (1)由已知f (x )＝a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x3，cos 2x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k＝k sin x 3cos x 3－k cos 2x 3＝12k sin 2x 3－k ·1＋cos2x 32＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x3－cos 2x 3－k 2＝2k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x 3－22cos 2x 3－k 2 ＝2k 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－k 2. 因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为2－k2＝2－12，则k ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－12，所以f (A )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3－π4－12＝0 化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3－π4＝22. 因为π2<A <π，所以π12<2A 3－π4<5π12.则2A 3－π4＝π4，解得A ＝3π4.因为cos A ＝－22＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－402bc ，所以b 2＋c 2＋2bc ＝40，则b 2＋c 2＋2bc ＝40≥2bc ＋2bc ，所以bc ≤402＋2＝20(2－2)．则AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 3π4＝－22bc ≥20(1－2)．所以AB →·AC →的最小值为20(1－2)．。

高三数学第二轮复习资料专题三：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

专题三三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tanα＝y x .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 23． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x 值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4. 3． (·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且 f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．答案－34解析原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝⎛⎭⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3；当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －3π4 答案 B解析由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.又f ⎝⎛⎭⎫－π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4，选B. 题型三三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．审题破题利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3 ＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sin t ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 C解析因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．题型四三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y ＝－k在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π3，π2.变式训练4 (·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析当x ＝11π12时，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x ≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分] 又∵f (x )过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3. [5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.[7分] 将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14. [12分]评分细则 (1)将点⎝⎛⎭⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43答案 D解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．设函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x ) ( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数，选B. 5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案 A解析由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1．已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2．设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A.3．函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4时的值域为( )A ．[－1,0] B.⎣⎡⎦⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4．设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为 ( )A.π8B.38πC.34πD.π2答案 B解析依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9．函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ) 得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 三、解答题13．(·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1. 第二讲三角变换与解三角形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π. (2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B .1． (·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34C ．－34D ．－43答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2． (·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 的大小为 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 A解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.3． (·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． (·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于 ( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 B解析利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.5． (·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.题型一三角恒等变换例1 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( ) A.22 B.33C. 2D. 3 (2)已知α，β ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 审题破题 (1)利用同角三角函数关系式先求sin α或cos α，再求tan α；(2)注意角之间的关系⎝⎛⎭⎫α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 答案 (1)D (2)－5665解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.(2)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以α＋β＝⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos(α＋β)>0.易得cos(α＋β)＝45. 又π2<β－π4<3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4<0，易得cos ⎝⎛⎫β－π4＝－513. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665.反思归纳 (1)公式应用技巧：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②常用切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．变式训练1 (1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. (2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________．答案－142解析 cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)．∵sin α＝12＋cos α，∴cos α－sin α＝－12，两边平方得1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＋sin α＝(cos α＋sin α)2＝ 1＋34＝72，∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－142.题型二解三角形例2 △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .审题破题 (1)利用正弦定理，化去角B 的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B 的值，进而求出角B . 解 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，又a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a .所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，又0°<B <180°，得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12.又cos B >0，故cos B ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°.反思归纳关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．变式训练2 (·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a ＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A <π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.题型三解三角形的实际应用例3 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝14，BC ＝10，AC ＝16，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由．审题破题首先借助余弦定理列式，通过等量关系求出角C 的大小，进而求AB 的长度；然后借助正弦定理比较三角形的面积大小，并作出判断．解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ．①在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得， AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝142＋142－2×142cos C ．② 由①②得：142＋142－2×142cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ，整理可得cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以∠C ＝60°.又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形，即AB 的长度是14.(2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，∠C ＝∠D ，所以S △ABD >S △ABC .又已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC 建造环境标志费用较低．即小李的设计使建造费用较低．反思归纳应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．变式训练3 (·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．典例 (12分)已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6.(1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC＝3，求a 的值．规范解答解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6.[3分] 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6＝±1，即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1.[5分]∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .[7分](2)f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1，在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π，∴A ＋π6＝π2，A ＝π3.由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4.[9分]由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13，故a ＝13.[12分]评分细则 (1)f (x )没有化成sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的得1分；(2)k ∈Z 没写的扣1分；(3)得出A ＝π3的给1分．阅卷老师提醒 (1)三角形和三角函数的结合是高考命题的热点，灵活考查分析、解决问题的能力．(2)此类问题的一般解法是先将三角函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用三角函数求值确定三角形的一个角，然后和正、余弦定理相结合解题． (3)解题中要充分注意在三角形中这个条件，重视角的范围．1．已知cos (π－2α)sin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α等于( )A ．－72 B.72 C.12D ．－12答案 D解析 cos (π－2α)sin (α－π4)＝－cos 2αsin (α－π4)＝sin (2α－π2)sin (α－π4)＝2cos(α－π4)＝2cos α＋2sin α＝－22，∴sin α＋cos α＝－12，故选D.2． (·江西)已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则 ( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析将函数整理，利用奇函数性质求解．由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2，令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋12，则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 3． (·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010B.105C.31010D.55答案 C解析在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.4．设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.33答案 C解析由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)，∵β为锐角，∴cos β＋sin β≠0，因此有cos α＝sin α，从而tan α＝1.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为( )A.π6 B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 22ac ＝32·cos B sin B ，即cos B ＝32·cos B sin B，∴sin B ＝32.又∵0＜B ＜π，∴角B 为π3或2π3.故选D.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C ．当3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4取最大值时，A 的大小为 ( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.2π3答案 A解析由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4，所以B ＝3π4－A .于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵0<A <3π4，∴π6<A ＋π6<11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.故选A.专题限时规范训练一、选择题1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 2． (·四川改编)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是( )A. 3 B ．2 3 C.32 D.12答案 A解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°答案 B解析由题意知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝32.又0°<C <90°，∴C ＝60°.4．在△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定答案 B解析由0<tan A ·tan B <1，可知tan A >0，tan B >0，即A ，B 为锐角，tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B>0，即tan(π－C )＝－tan C >0，所以tan C <0，所以C 为钝角，所以△ABC为钝角三角形，选B.5．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于 ( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255答案 A解析由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为( )A.1574B.1572C.574D.572答案 A解析 cos A ＝34，cos C ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解之得：BD ＝7x ＝327，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.7．函数f (x )＝sin 2x －4sin 3x cos x (x ∈R )的最小正周期为( )A.π8B.π4C.π2D ．π答案 C解析 f (x )＝sin 2x －2sin 2x sin 2x ＝sin 2x (1－2sin 2x )＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ，所以函数的周期为T ＝2πω＝2π4＝π2，选C.8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题。

年高考数学二轮专题复习与策略第部分专题三角函数与平面向量突破点3平面向量教师用书理

突破点3 平面向量(对应学生用书第167页)1122 (1)a∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.1122 (1)证明向量垂直：a⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量长度：|a |＝a·a ＝x 21＋y 21.(3)求向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(1)A ，B ，C 三点共线充要条件是存在实数λ，μ，有OA ＝λOB ＋μOC →，且λ＋μ＝1.(2)C 是线段AB 中点充要条件是OC →＝12(OA →＋OB →)．(3)G 是△ABC 重心充要条件为GA →＋GB →＋GC →＝0，假设△ABC 三个顶点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，那么△ABC 重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).(4)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PA →·PC →⇔P 为△ABC 垂心．(5)非零向量a ，b 垂直充要条件：a⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a ＋b|＝|a －b|⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(6)向量b 在a 方向上投影为|b |cos θ＝a·b|a |，向量a 在b 方向上投影为|a |cos θ＝a·b|b|.回访1 平面向量线性运算1．(2021 ·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，那么( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．(2021 ·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，那么实数λ＝________.12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.]回访2 平面向量数量积3．(2021 ·山东高考)菱形ABCD 边长为a ，∠ABC ＝60°，那么BD →·CD →＝A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 D [由条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，应选D.]4．(2021·山东高考)在△ABC 中，AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 面积为________．16 [A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.](对应学生用书第167页)热点题型1 平面向量运算题型分析：该热点是高考必考点之一，考察方式主要表达在以下两个方面：一是以平面图形为载体考察向量线性运算；二是以向量共线与垂直为切入点，考察向量夹角、模等.(1)(2021·深圳二模)如图31，正方形ABCD 中，M 是BC 中点，假设AC →＝λAM →＋μBD →，那么λ＋μ＝( )图31A.43B.53C.158D ．2(2)(2021·天津高考)△ABC 是边长为1等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，那么AF →·BC →值为( )A ．－58B.18C.14D.118(1)B (2)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如下图，设正方形边长为2，那么A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，应选B.法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，应选B.(2)如下图，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，那么AF →·BC →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB → ＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.应选B.]1．平面向量线性运算要抓住两条主线：一是基于“形〞，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数〞，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量概念及运算，强化“坐标化〞解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想应用．提醒：运算两平面向量数量积时，务必要注意两向量方向． [变式训练1] (1)(2021 ·山东高考)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1两条切线，切点分别为A ，B ，那么PA →·PB →＝________.(2)e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mna∥b ，那么mn＝__________. 【导学号：67722021】(1)32 (2)－2 [(1)如下图，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝ 3.∠APB ＝60°，故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.(2)∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得mn＝－2.]热点题型2 三角与向量综合问题题型分析：平面向量作为解决问题工具，具有代数形式与几何形式“双重型〞，高考常在平面向量与三角函数交汇处命题，通过向量运算作为题目条件.(名师押题)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c .假设a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求y ＝f (x )＋4cos⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3取值范围． [解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，2分∴tan x ＝－34，4分∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.6分(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋32，8分由正弦定理得a sin A ＝bsin B，可得sin A ＝22.9分∵b ＞a ， ∴A ＝π4，10分y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4－12.11分∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，11π12，∴32－1≤y ≤2－12，即y 取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－1，2－12.12分平面向量与三角函数问题综合主要利用向量数量积运算坐标形式，多与同角三角函数关系、诱导公式以及与角与倍角等公式求值等问题相结合，计算准确性与三角变换灵活性是解决此类问题关键点．[变式训练2] (2021·德州模拟)设向量a ＝(sin x ，3sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2. (1)假设|a |＝|b |，求x 值；(2)设函数f (x )＝a·b ，将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )图象，求g (x )最大值及此时相应x 值．[解] (1)|a |2＝(sin x )2＋(3sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(sin x )2＋(cos x )2＝1.由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，2分又x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，3分所以x ＝π6.4分(2)f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x ·cos x 5分＝32sin 2x ＋12－12cos 2x 7分＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋12.8分将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋12.10分因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，7π6，从而当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6取最大值1，11分所以x ＝π6时，g (x )最大值为32.12分专题限时集训(三) 平面向量 [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．(2021·泰安模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 中点，那么AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，应选B.] 2．(2021·武汉模拟)将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，那么OB →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－32，1＋32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋32，1－32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－32，－1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1＋32，－1－32 A [由题意可得OB →横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫64＋24＝1＋32，那么OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－32，1＋32，应选A.] 3．(2021·临沂模拟)设a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a⊥b ，那么向量a －b 与b 夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°D [∵向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a⊥b ，∴3x －3＝0，∴x ＝3，∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4)，设向量b 与a －b 夹角为θ，那么cos θ＝b ·a －b |b |·|a －b |＝－1223×4＝－32，∴θ＝150°.]4．(2021·滨州模拟)△ABC 外接圆圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是线段BC 中点，那么AM →·AO →＝( )图32A ．3B ．4C ．5D ．6C [∵M 是BC 边中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∵O 是△ABC 外接圆圆心，∴AO →·AB →＝|AB →||AO →|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO →·AC →＝12|AC →|2＝12×(22)2＝4，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝12×(6＋4)＝5.] 5．(2021·烟台模拟)△ABC 外接圆半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，那么向量BA →在BC →方向上投影等于( ) 【导学号：67722021】A ．－32B.32C.32D ．3C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 中点，即BC 为外接圆直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上投影为|BA →|·cos∠ABC ＝3×cos 30°＝32，应选C.]二、填空题6．在如图33所示方格纸中，向量a ，b ，c 起点与终点均在格点(小正方形顶点)上，假设c 与xa ＋yb (x ，y 为非零实数)共线，那么xy值为________．图3365[设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)单位向量，那么向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2x －2y ＝1，λx －2y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，那么x y 值为65.]7．向量AB →与AC →夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，那么实数λ值为________．712[∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0.∵向量AB →与AC →夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]8．(2021·湖北七州联考)点O 是边长为1正三角形ABC 中心，那么OB →·OC →＝__________.－16 [∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 平分线，且AO ＝33，∴OB →·OC →＝(AB →－AO →)·(AC →－AO →)＝AB →·AC →－AO →·AC →－AO →·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝－16.]三、解答题9．(2021·淄博模拟)在直角坐标系xOy 中，点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成区域(含边界)上，且OP →＝mAB→＋nAC →(m ，n ∈R)．(1)假设m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 最大值．[解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.4分 (2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .6分令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 最大值为1.12分10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a >c .BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 与c 值； (2)cos(B －C )值．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B 因为cos B ＝13，所以ac由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c因为a >c ，所以a ＝3，c(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝223，7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2 C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4292＝79.10分于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．(2021·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，假设OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R)，那么λ＋μ取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)B [由题意可得OD →＝k OC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，那么λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ取值范围是(1，＋∞)，应选B.]2．(2021·大连模拟)平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －52b ，那么a 与b 夹角为( ) A.π3 B.π4 C.π5D.π6A [因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b＝0，所以a·ba·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 夹角范围为[0，π]，所以a 与b 夹角为π3.]3．如图34，BC ，DE 是半径为1圆O 两条直径，BF →＝2FO →，那么FD →·FE →等于( )图34A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49B [∵BF →＝2FO →，圆O 半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＋0－1＝－89.]4．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4，n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 图象上运动，点Q 在y ＝f (x )图象上运动，且满足OQ→＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，那么y ＝f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π3上最大值是( ) 【导学号：67722021】A ．4B ．2C ．2 2D ．23A [因为点P 在y ＝cos x 图象上运动，所以设点P 坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点坐标为(x ，y )，那么OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3，所以12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π3上最大值是4，应选A.] 二、填空题5．(2021·广州二模)平面向量a 与b 夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，那么|b |＝__________.2 [由题意得|a |＝12＋32＝2，那么|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．非零向量AB →与AC →满足⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0, 且|AB →－AC →|＝23，点D 是△ABC 中BC 边中点，那么AB →·BD →＝________.－3[由⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0得BC →与∠A 角平分线所在向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →.又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝－BA →·BD →＝－|BD →|2＝－3.]三、解答题7．向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f (x )＝a·b 图象与直线y ＝－2＋3相邻两个交点之间距离为π.(1)求ω值；(2)求函数f (x )在[0,2π]上单调递增区间． [解] (1)因为向量a＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cosωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sinωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π6＋3，4分由题意可知f (x )最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω (2)易知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，4π＋π6，8分故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增，10分所以函数f (x )单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5π12，11π12与⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤17π12，23π12.12分 8．△ABC 周长为6，|BC →|，|CA →|，|AB →|成等比数列，求：(1)△ABC 面积S 最大值；(2)BA →·BC →取值范围．[解] 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，那么a ＋b ＋c＝6，b 2＝ac .2分在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3，4分又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2，从而0＜b(1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝3，当且仅当a＝c，且B＝π3，即△ABC为等边三角形时面积最大，即S max＝ 3.8分(2)BA→·BC→＝ac cos B＝a2＋c2－b22＝a＋c2－2ac－b22＝6－b2－3b22＝－(b＋3)2∵0＜b≤2，∴2≤BA→·BC→＜18，即BA→·BC→取值范围是[2,18).12分。

老高考适用2023版高考数学二轮总复习第3篇小题提速练透大题规范增分第4讲平面向量和三角函数课件

若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝
(C )
A．－6
B．－5
C．5
D．6
【解析】 c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
即9＋3t＋16＝3＋t，解得
5|c|
|c|
t＝5，
故选 C．
4．(2022·烟台三模)若 2cos2α－π3＝1＋cos 2α，则 tan 2α 的值为
(D )
A．－
8．(2022·辽宁三模)已知向量 m，n 不共线，向量O→A＝5m－3n，O→B＝
xm＋n，若 O，A，B 三点共线，则 x＝
(A )
A．－53
B．53
C．－35
D．35
【解析】因为 O，A，B 三点共线，所以∃λ∈R，使得O→B＝λO→A成
立，
即 xm＋n＝λ(5m－3n)，∴x＝5λ，1＝－3λ．
所以 P→A ·P→B ＝ (m＋ 3)(m＋ 1)＋ (5－ m)(7－ m)＝ 2m2－ 8m＋ 38＝ 2(m－ 2)2＋30≥30，
当 m＝2 时取得“＝”，所以P→A·P→B的取值范围是[30，＋∞)．故选 D．
二、填空题 13．(2022·全国甲卷)设向量 a，b 的夹角的余弦值为13，且|a|＝1，|b| ＝3，则(2a＋b)·b＝___1_1__．【解析】设 a 与 b 的夹角为 θ，因为 a 与 b 的夹角的余弦值为13，即 cos θ＝13，
∴m0＝＝12226558nm－－2412525mn，，
解得 m＝4n，
∴λ＝BEEF＝3nn＝3．故选 B．
11．(2022·山西三模)将曲线
C：y＝sin
2x＋cos
2x
向左平移π个单位长 4

高考数学2轮复习考前回扣4 3角函数与平面向量讲学案理

本资源的初衷 ,是希望通过网络分享 ,能够为广阔读者提供更好的效劳 ,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创 ,立意新 ,图片精 ,是非常强的一手资料 .回扣4 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式对于 "k π2±α ,k ∈Z 〞的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变 ,符号看象限．2．三角函数恒等变换 "四大策略〞(1)常值代换：特别是 "1”的代换 ,1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次 ,逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 3．三种三角函数的性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递增；在在[－π＋2k π ,2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π ,π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝⎛－π2＋k π⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z )上单调递增4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0 ,A ＞0)的图象 (1) "五点法〞作图设z ＝ωx ＋φ ,令z ＝0 ,π2 ,π ,3π2 ,2π ,求出相应的x 的值与y 的值 ,描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时 ,一般利用五点中的零点或最|值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ,sin B ＝b 2R ,sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ,cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ,cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ,a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)假设a ,b 为非零向量 ,夹角为θ ,那么a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1 ,y 1) ,b ＝(x 2 ,y 2) ,那么a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件假设a ＝(x 1 ,y 1) ,b ＝(x 2 ,y 2) ,那么 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)假设a ＝(x ,y ) ,那么|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)假设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 11．利用数量积求夹角假设a ＝(x 1 ,y 1) ,b ＝(x 2 ,y 2) ,θ为a 与b 的夹角 , 那么cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形 "四心〞向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点 ,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,那么 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时 ,不要无视角的范围 ,要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最|值)时 ,不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时 ,要注意A 与ω的符号 ,当ω<0时 ,需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中 ,注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时 ,平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω ,而不是φ.5．在两边和其中一边的对角时 ,要注意检验解是否满足 "大边对大角〞 ,防止增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0 ,方向任意 ,并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ,b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ,b 〉为钝角的必要不充分条件．1．假设sin θ·cos θ＝12 ,那么tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12答案 B解析 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.2．以下函数中 ,最|小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析化简函数的解析式 ,A 中 ,y ＝cos 2x 是最|小正周期为π的偶函数． 3．在△ABC 中 ,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .a ＝2 ,c ＝ 2 ,cos A ＝－24.那么b 的值为( ) A ．1 B. 2 C.32D.62答案 A解析根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,那么22＝b 2＋(2)2－2b ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24 ,所以b 2＋b －2＝0 ,解得b ＝1 ,应选A.4．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象 ,只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ,所以将函数y ＝sin 4x 向右平移π12个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.应选B. 5．假设函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2 0对称 ,那么函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4 π6上的最|小值是( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6 ,那么由题意知 ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π6＝0 ,又因为0<θ<π ,所以7π6<π＋θ＋π6<13π6 ,所以π＋θ＋π6＝2π ,所以θ＝5π6,所以f (x )＝－2sin 2x . 又因为函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4 π6上是减函数 ,所以函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4 π6上的最|小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－ 3 ,应选B. 6．(2021·全国Ⅲ)在△ABC 中 ,B ＝π4 ,BC 边上的高等于13BC ,那么cos A 等于( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案 C解析设BC 边上的高AD 交BC 于点D ,由题意B ＝π4 ,AD ＝BD ＝13BC ,DC ＝23BC ,tan ∠BAD＝1 ,tan ∠CAD ＝2 ,tan A ＝1＋21－1×2＝－3 ,所以cos A ＝－1010,应选C.7．假设sin 2α＝55 ,sin(β－α)＝1010,且α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4 π ,β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π 3π2 ,那么α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4 答案 A解析 ∵sin 2α＝55,α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4 π ,∴2α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π ,即α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4 π2,cos 2α＝－255 ,又sin(β－α)＝1010,β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π 3π2 ,∴β－α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 5π4 ,cos(β－α)＝－31010,∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos( β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55 ＝－22, cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55 ＝22,又α＋β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5π4 2π ,∴α＋β＝7π4,应选A.8．在△ABC 中 ,D 是AB 边上一点 ,假设AD →＝2DB → ,CD →＝13CA →＋λCB →,那么λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A 解析如图 , CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB → , 所以λ＝23.应选A.9．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称 ,那么满足此条件的φ的值为( ) A.π4B.3π8C.3π4D.5π8 答案 C解析平移后有f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π4 ,f (x )关于y 轴对称 ,那么φ－π4＝k π＋π2 ,k ∈Z ,φ＝k π＋3π4,k ∈Z ,由于0＜φ＜π ,所以φ＝3π4.10．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0 |φ|＜π8 ,其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3 ,假设f (x )＞0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π8 π4恒成立 ,那么φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12 0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－π8 －π24C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－π12 π8 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π12 答案 B解析由得函数f (x )的最|小正周期为4π3 ,那么ω＝32 ,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π8 π4时 ,32x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π16＋φ 3π8＋φ ,因为f (x )＞0 ,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ＞12,所以⎩⎪⎨⎪⎧－3π16＋φ≥－π3＋2k π 3π8＋φ≤π3＋2k π(k ∈Z ) ,解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z ) ,又|φ|＜π8 ,所以－π8＜φ≤－π24,应选B.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω ,φ为常数 ,A ＞0 ,ω＞0 ,0＜φ＜π)的图象如下图 ,那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．答案 1解析根据图象可知 ,A ＝2 ,3T 4＝11π12－π6,所以周期T ＝π ,由ω＝2πT＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6 2 ,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1 ,又0＜φ＜π ,所以φ＝π6 ,那么f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ,因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.12．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中|心完全相同 ,假设x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2 ,那么f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 3解析由两个三角函数图象的对称中|心完全相同可知 ,两函数的周期相同 ,故ω＝2 , 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 , 那么当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2时 ,－π6≤2x －π6≤5π6 ,所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1 ,故f (x )∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 3. 13．在△ABC 中 ,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,角B 为锐角 ,且sin 2B ＝8sin A ·sinC ,那么ba ＋c的取值范围为____________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫63 255 解析因为sin 2B ＝8sin A ·sinC ,由正弦定理可知 ,b 2＝8ac ,所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝(a ＋c )2－54b 214b 2 ＝4(a ＋c )2b2－5∈(0,1) , 令t ＝ba ＋c ,t >0 ,那么0＜4t2－5＜1 , 解得23＜t 2＜45 ,即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫63 255. 14．O 是锐角△ABC 外接圆的圆心 ,∠A ＝60° ,cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO → ,那么m 的值为______．答案 32解析如下图 ,取AB 的中点D ,那么OA →＝OD →＋DA → ,OD ⊥AB ,所以OD →·AB→＝0 ,设△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,由cos B sin C·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO → ,得cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝－2m (OD →＋DA →) ,两边同乘以AB → ,得cos B sin C ·AB →2＋cos C sin B ·AC →·AB →＝－2m (OD →＋DA →)·AB → ,即cos B sin C·c 2＋cos C sin B ·bc ·cos A ＝m ·c 2 ,所以cos B sin C ·c ＋cos C sin B·b ·cos A ＝m ·c , 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R , 所以b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C ,代入上式整理 ,得cos B ＋cos C cos A ＝m ·sin C ,所以m ＝cos B ＋cos C cos A sin C＝－cos (A ＋C )＋cos C cos A sin C＝sin A , 又∠A ＝60° ,所以m ＝sin 60°＝32. 15．在△ABC 中 ,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)假设a ＝2 ,b ＝7 ,求△ABC 的面积．解 (1)由得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 ,即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0 ,所以sin B －3cos B ＝0 ,又cos B ≠0 ,所以tan B ＝ 3 ,又0＜B ＜π ,所以B ＝π3. (2)因为sin B ＝32 ,cos B ＝12, 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213 ,又a ＝2 , 所以sin A ＝321＝217, 因为a ＜b ,所以cos A ＝277. 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114, 所以S ＝12ab sin C ＝332. 16．函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )． (1)当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12 5π12时 ,求函数f (x )的最|小值和最|大值； (2)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c ＝ 3 ,f (C )＝2 ,假设向量m ＝(1 ,a )与向量n ＝(2 ,b )共线 ,求a ,b 的值．解 (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R ) , ∴f (x )＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.∵－π12≤x ≤5π12 ,∴－π3≤2x －π6≤2π3 , ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1 , ∴1－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤2 , ∴f (x )的最|小值是1－32 ,最|大值是2. (2)∵f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＋1＝2 , ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1 , ∵0＜C ＜π ,∴－π6＜2C －π6＜11π6, ∴2C －π6＝π2 ,解得C ＝π3. ∵向量m ＝(1 ,a )与向量n ＝(2 ,b )共线 , ∴b －2a ＝0 ,即b ＝2a .①由余弦定理 ,得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3, 即a 2＋b 2－ab ＝3.②由①②得a ＝1 ,b ＝2.。

高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题1 考前教

专题一考前教材重温1.三角函数与平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[应用1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． [答案] －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式．(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限．[应用2] cos 4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6＋sin 21π的值为________． [答案]22－333．正弦、余弦和正切函数的常用性质．[应用3] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3的递减区间是________． [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )4．三角函数化简与求值的常用技巧．解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切割化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. [应用4] 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.[答案] －56655．解三角形．(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(i)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sin A ＞sin B.(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[应用5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. [答案] 45°6．求三角函数最值的常见类型、方法．(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论． (2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤2)．[应用6] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 7．向量的平行与平面向量的数量积．(1)向量平行(共线)的充要条件：a∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0.(2)a·b ＝|a||b |cos θ，变形：|a |2＝a 2＝a·a ，cos θ＝a·b|a||b |，a 在b 上的投影(正射影的数量)＝a·b|b |.注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向；〈a ，b 〉为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不反向．[应用7] 已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________． [答案] 3 8．向量中常用的结论．(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线； (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)；(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心．[应用8] 在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 [答案] C2.数列、不等式1.等差数列及其性质．(1)等差数列的判定：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[应用1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C.25 D ．30[答案] A 2．等比数列及其性质．(1)等比数列的判定：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)． (2)等比数列的性质：当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p . [应用2] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.[答案] (1)512 (2)10 3．求数列通项的常见类型及方法．(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )，可采用累加法． (4)数列的递推公式为a n ＋1＝a n ·f (n )，则采用累乘法．(5)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝，S n －S n －1n ，求a n .(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．[应用3] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n)(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.[答案] n ·2n4．数列求和的方法．(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；如：1nn ＋＝1n －1n ＋1；1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k . (6)并项法；数列求和时要明确项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[应用4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． [答案] 925．如何解含参数的一元二次不等式．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合． [应用5] 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a >0)．________________________________________________________________________________________________________________________________________ [解] 原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0. ∴当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜x ＜1a ；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1；当a ＝1时，不等式的解集为∅. 6．处理二次不等式恒成立的常用方法．(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般应用此法．(2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零． (3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来． (4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．[应用6] 如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1＜k ≤0 D ．－1<k <0[答案] C7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”.常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑． (2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．(3)当题中等号条件不成立时，可考虑从函数的单调性入手求最值． [应用7] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 [答案] D8．解决线性规划问题有三步．(1)画：画出可行域(有图象)．(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离． (3)代：将合适的点代到原来目标函数中求最值．利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题： (1)截距型：如求z ＝y －x 的取值范围． (2)条件含参数型：①已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且z ＝y －x 的最小值是－4，则实数k＝－2，②已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且存在无数组(x ，y )使得z ＝y ＋ax取得最小值，则实数a ＝12.(3)斜率型：如求y ＋bx ＋a的取值范围． (4)距离型(圆半径平方型R 2)：如求(x －a )2＋(x －b )2的取值范围．[应用8] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a等于 ( ) A ．3 B ．2 C.－2 D ．－3[答案] B3.概率与统计1．随机抽样方法．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[应用1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． [答案] 242．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的缺失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．[应用2] 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图1所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． [答案] 43．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．[应用3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如图2)，则该地区满意度评分的平均值为________．图2[答案] 77.5 4．变量间的相关关系．假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，[应用4] 回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． [答案] (x ，y )5．互斥事件的概率公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[应用5] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．[答案] 236．古典概型．P (A )＝mn(其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)．[应用6] 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1[答案] B 7．几何概型．一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[应用7] 在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6[答案] B4.立体几何1．几何体的三视图排列规则：俯视图放在正视图下面，侧视图放在正视图右面，“长对正，高平齐，宽相等．”由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体． (2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．[应用1] 如图3，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．图3[答案] 432．空间几何体表面积和体积的求法：几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法． [应用2] 如图4所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为 ( )图4A ．4πB ．3π C.2π D.32π [答案] D3．空间平行问题的转化关系．图5平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．[应用3] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号. (1)如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面．( ) (2)如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行．( ) (3)如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b .( ) (4)如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 4．空间垂直问题的转化关系．线面垂直的判定线面垂直的定义面面垂直的判定面面垂直的性质垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等．[应用4] 已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C.1 D ．0[答案] C5．多面体与球接、切问题的求解策略．(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[应用5] 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( ) A ．96 3 B ．16 3 C.24 3 D ．48 3[答案] D5.平面解析几何1．直线的倾斜角与斜率．(1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率．①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC .[应用1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________． [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 2．直线方程的五种形式．(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[应用2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．[答案] 5x －y ＝0或x ＋y －6＝0 3．两条直线的位置关系．(1)若已知直线的斜截式方程，l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1； ③l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.(2)若已知直线的一般方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则： ①l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； ③l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；④l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0.[应用3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合．[答案] －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离．(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[应用4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． [答案]1513265．圆的方程．(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[应用5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. [答案] －16．直线与圆的位置关系的判断．(1)几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系来判定．(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符号来判断． [应用6] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为 ( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1[答案] C7．圆锥曲线的定义和性质．|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x[答案] B8．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[应用8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3 C.1∶2 D ．1∶3[答案] C6.函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数，列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同． [应用1] 函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是________．[答案] (－1,1)∪(1，＋∞)2．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[应用2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1]B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[答案] C3．求函数最值(值域)常用的方法．(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数． (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数． (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数． (4)导数法：适合于可导函数． (5)换元法(特别注意新元的范围)． (6)分离常数法：适合于一次分式．[应用3] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[应用4] f (x )＝－x2|x 2－2|－2是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．[答案] 偶 5．函数奇偶性的性质．(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件． [应用5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为 ( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数 B ．(－∞，＋∞)上的增函数 C ．(－1,1)上的减函数 D ．(－1,1)上的增函数 [答案] D6．判断函数单调性的常用方法．(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题.(3)对于解析式较复杂的，一般用导数． (4)对于抽象函数，一般用定义法．[应用6] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________． [答案] [0,1)，[2，＋∞)7．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a .[应用7] 设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.[答案] －18．函数图象的几种常见变换．(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称． [应用8] 函数y ＝3xx －1的对称中心是________． [答案] (1,3)9．如何求方程根的个数或范围．求f (x )＝g (x )根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理． [应用9] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2，e) D ．(3,4)[答案] B 10．二次函数问题．(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[应用10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的取值范围为________． [答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 11．利用导数研究函数单调性的步骤．(1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根．(4)将函数y ＝f (x )的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间．(5)确定f ′(x )在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．特别提醒：(1)多个单调区间不能用“∪”连接；(2)f (x )为减函数时f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.[应用11] 函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x －1在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 12．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[应用12] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________．[答案] x ＝113．利用导数解决不等式问题的思想．(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，再证明h (x )max ＜0. (2)不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值．[应用13] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞7.集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[应用1] 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则实数a ＝________. [答案] 02．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝f (x )}——函数的定义域；{y |y ＝f (x )}——函数的值域；{(x ，y )|y ＝f (x )}——函数图象上的点集．[应用2] 已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．(0,1)，(1,2)B ．{(0,1)，(1,2)}C ．{y |y ＝1，或y ＝2}D ．{y |y ≥1} [答案] D3．在解决集合间的关系和集合的运算时，不能忽略空集的情况．[应用3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是 ________.[答案] (－∞，4]4．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[应用4] 已知全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0≤x ≤2}，则(∁I A )∪B 等于( ) A ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)[答案] C5．命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，而此命题的否定(非命题)是“若p ，则綈q ”．[应用5] 已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是____________________________________________________________. [答案] 否命题：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b6．根据集合间的关系，判定充要条件，若A ⊆B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分条件；若A B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件．[应用6] 已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1][答案] B7．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；对命题进行否定时要正确对判断词进行否定，如“>”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”． [应用7] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0 [答案] D8．求参数范围时，要根据条件进行等价转化，注意范围的临界值能否取到，也可与补集思想联合使用．[应用8] 已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8.推理与证明、复数、算法1．归纳推理和类比推理．共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．[应用1] (1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，{d n }也是等比数列，则{d n }的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n B ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝nc n 1＋c n 2＋…＋c n n D ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.[答案] (1)D (2)n ＋22n ＋22．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．[应用2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________．[答案] 三角形三个内角都大于60°3．复数的概念．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数．[应用3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________．[答案] －24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(3)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0；(4)设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0. [应用4] 已知复数z ＝1－3i 3＋i，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________. [答案] 15．(1)循环结构中几个常用变量：①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1.②累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i .③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .(2)处理循环结构的框图问题，关键是理解认清终止循环结构的条件及循环次数．[应用5] (2016·衡水中学七调改编)执行如图6的程序框图，输出S 的值为________．图6[答案] 2。

高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题1 三角函数

突破点3 平面向量(对应学生用书第167页)1122(1)a∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.1122(1)证明向量垂直：a⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)求向量的长度：|a |＝a·a ＝x 21＋y 21. (3)求向量的夹角：cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(1)A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA ＝λOB ＋μOC ，且λ＋μ＝1.(2)C 是线段AB 中点的充要条件是OC →＝12(OA →＋OB →)．(3)G 是△ABC 的重心的充要条件为GA →＋GB →＋GC →＝0，若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).(4)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PA →·PC →⇔P 为△ABC 的垂心．(5)非零向量a ，b 垂直的充要条件：a⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a ＋b|＝|a －b|⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (6)向量b 在a 的方向上的投影为|b |cos θ＝a·b|a |，向量a 在b 的方向上的投影为|a |cos θ＝a·b|b|.回访1 平面向量的线性运算1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.]回访2 平面向量的数量积3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 D [由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.]4．(2014·山东高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．16 [已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.](对应学生用书第167页)热点题型1 平面向量的运算题型分析：该热点是高考的必考点之一，考查方式主要体现在以下两个方面：一是以平面图形为载体考查向量的线性运算；二是以向量的共线与垂直为切入点，考查向量的夹角、模等.(1)(2016·深圳二模)如图31，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM→＋μBD →，则λ＋μ＝( )图31A.43B.53C.158D ．2(2)(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18C.14D.118(1)B (2)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.(2)如图所示，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.]1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．[变式训练1] (1)(2015·山东高考)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn＝__________. 【导学号：67722017】(1)32 (2)－2 [(1)如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝ 3.∠APB ＝60°，故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.(2)∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得m n＝－2.]热点题型2 三角与向量的综合问题题型分析：平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件.(名师押题)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围．[解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，2分∴tan x ＝－34，4分∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.6分 (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32，8分由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，可得sin A ＝22.9分 ∵b ＞a ， ∴A ＝π4，10分y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12.11分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，∴32－1≤y ≤2－12，即y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.12分平面向量与三角函数问题的综合主要利用向量数量积运算的坐标形式，多与同角三角函数关系、诱导公式以及和角与倍角等公式求值等问题相结合，计算的准确性和三角变换的灵活性是解决此类问题的关键点．[变式训练2] (2016·德州模拟)设向量a ＝(sin x ，3sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，将f (x )的图象向左平移π6个单位得到函数g (x )的图象，求g (x )的最大值及此时相应的x 的值．[解] (1)|a |2＝(sin x )2＋(3sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(sin x )2＋(cos x )2＝1. 由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，2分又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，3分所以x ＝π6.4分(2)f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x ·cos x 5分＝32sin 2x ＋12－12cos 2x 7分＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.8分将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12.10分因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6取最大值1，11分所以x ＝π6时，g (x )的最大值为32.12分专题限时集训(三) 平面向量 [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．(2016·泰安模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.]2．(2016·武汉模拟)将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，则OB →＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－1＋32，－1－32A [由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫24－64＝1－32，纵坐标y＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A.] 3．(2016·临沂模拟)设a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a⊥b ，则向量a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°D [∵向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a⊥b ，∴3x －3＝0，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4)，设向量b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝ba －b |ba －b＝－1223×4＝－32，∴θ＝150°.]4．(2016·滨州模拟)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是线段BC 的中点，则AM →·AO →＝( )图32A ．3B ．4C ．5D ．6C [∵M 是BC 边的中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴AO →·AB →＝|AB →||AO →|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO →·AC →＝12|AC →|2＝12×(22)2＝4，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝12×(6＋4)＝5.]5．(2016·烟台模拟)△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于( ) 【导学号：67722018】A ．－32B.32C.32D ．3C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.] 二、填空题6．在如图33所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与xa ＋yb (x ，y 为非零实数)共线，则x y的值为________．图3365[设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x－y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx －2y ＝1，λx －2y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.] 7．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．712[∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]8．(2016·湖北七州联考)已知点O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则OB →·OC →＝__________.－16 [∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB →·OC →＝(AB →－AO →)·(AC →－AO →)＝AB →·AC →－AO →·AC →－AO →·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝－16.] 三、解答题9．(2016·淄博模拟)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．[解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP→|＝22＋22＝2 2.4分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .6分令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12分10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2.1分因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79.10分于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．(2016·石家庄一模)已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)B [由题意可得OD →＝k OC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]2．(2014·大连模拟)已知平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为( )A.π3 B.π4 C.π5D.π6A [因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a·b ＝1.所以a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.]3．如图34，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )图34A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.]4．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是( ) 【导学号：67722019】A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3A [因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，即f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3，所以12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.]二、填空题5．(2016·广州二模)已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝__________.2 [由题意得|a |＝12＋32＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0, 且|AB →－AC →|＝23，点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB →·BD →＝________.－3 [由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0得BC →与∠A 的角平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →.又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝－BA →·BD →＝－|BD →|2＝－3.]三、解答题7．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f (x )＝a·b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．[解] (1)因为向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋3，4分由题意可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1.6分(2)易知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π＋π6，8分故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增，10分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤17π12，23π12.12分8．已知△ABC 的周长为6，|BC →|，|CA →|，|AB →|成等比数列，求： (1)△ABC 面积S 的最大值； (2)BA →·BC →的取值范围．[解] 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .2分在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3，4分又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b2，从而0＜b ≤2.6分(1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.8分(2)BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝a ＋c2－2ac －b22＝－b 2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27.10分∵0＜b ≤2，∴2≤BA →·BC →＜18，即BA →·BC →的取值范围是[2,18).12分。

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