初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题27 数形结合

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【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. a 2 1B. 12C. 8D. 27初中数学九年级培优目录第1 讲二次根式的性质和运算(P2 --- 7)第2 讲二次根式的化简与求值(P7 --- 12)第3 讲一元二次方程的解法(P13 --- 16)第4 讲根的判别式及根与系数的关系(P16 --- 22)第5 讲一元二次方程的应用(P23 --- 26)第6 讲一元二次方程的整数根(P27 --- 30)第7 讲旋转和旋转变换（一）(P30 --- 38)第8 讲旋转和旋转变换（二）(P38 --- 46)第9 讲圆的基本性质(P47--- 51)第10 讲圆心角和圆周角(P52 --- 61)第11 讲直线与圆的位置关系（P62 --- 69）第12 讲圆内等积证明及变换((P70 --- 76)第13 讲弧长和扇形面积(P76 --- 78)第14 讲概率初步(P78 --- 85)第15 讲二次函数的图像和性质(P85 --- 91)第16 讲二次函数的解析式和综合应用(P92 --- 98)第17 讲二次函数的应用(P99 --- 108)第18 讲相似三角形的性质(P109 --- 117)第19 讲相似三角形的判定(P118---- 124)第20 讲相似三角形的综合应用(P124 ---- 130)考点·方法·破译第1 讲二次根式的性质和运算1. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2. 掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3. 会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C、D 含开方数4、9，故选 A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. 10B. 8C. 6D. 2⑵①a2b2 ；②x；③5x2 xy ；④27 abc ，最简二次根式是（）A ．①,②B ．③,④C．①,③ D ．①,④【例２】( 黔东南) 方程4x 8x y m 0 ，当y＞0 时，m 的取值范围是（）A ．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0 的结论. 由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y ＝2－m，则2－m＞0，故选 C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y 满足x 2 ( y 3) 20 ，则xy 的值是.3．（荆门）若x 1 1 x (x y)2 ，则x－y 的值为（）A ．－ 1B ．1 C．2 D．34．（鄂州）使代数式x 3有意义的x 的取值范围是（）x 4A ．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且x≠45. （怀化） a 2 b 3 (c 4) 0 ，则a－b－c＝.【例３】下列二次根式中，与24 是同类二次根式的是（）A ．18 B．30 C．48 D．54【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样.A ．18 3 2 ；B ．30 不能化简； C. 48 4 3 ；D．54 3 6 ，而24 2 6 .故本题应选 D.【变式题组】6. 如果最简二次根式3a 8 与17 2a 是同类二次根式，则a＝．7. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A ． 3 和18B ． 3 和13C．a2 b和ab2 D ． a 1 和 a 18. 已知最简二次根式 b a 3b 和2b a 2 是同类二次根式，则a＝，b＝. 【例４】下列计算正确的是（）A ． 5 3 2B ．8 2 4C．27 3 3 D．(1 2)(1 2) 122 a(a＞0)【解法指导】正确运用二次根式的性质①( a) 2a(a≥0) ；② a 2 a0(a 0) ；③ab a b( a≥0, b≥0) ；④b b(b≥0, a＞0)a aa(a＜0)进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算. A 、 B 中的项不能合并.D.(1 2)(1 2) 1 ( 2) 2【变式题组】1..故本题应选 C.9. （聊城）下列计算正确的是（）A ．2 3 4 2 6 5B ．8 4 2C．27 3 3 D．( 3)2 310. 计算：( 15 4) 2007(4 15) 200711．(2 3 3 2) 2 (2 3 3 2) 212. ( 济宁) 已知 a 为实数，那么a2 ＝（）A ．aB ．－a C．－1 D．013. 已知a＞b＞0，a＋b＝6 ab ，则a ba b的值为（）2 1A ．B ．2 C． 2 D．2 2【例５】已知xy＞0，化简二次根式xy的正确结果为（）x2A ．yB ．y C．y D．y【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0 知x＜0. 故原式xyx【变式题组】y . 选D. 14. 已知a、b、c 为△ ABC三边的长，则化简 a b c ( a b c) 2的结果是.15. 观察下列分母有理化的计算：并利用这一规律计算：1 12 1 ，2 13 213 2 ，4 34 3 ，算果中找出规律，(1 1L1) ( 2006 1) .2 13 2 2006 200516．已知，则0＜x＜1，则( x 1)2 4 ( x1) 2 4 .x x1 1 b 5 1 5 1【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中 a ，b .a b b a(a b) 2 22⑵已知 x3 2 ， 32y3 2 ，那么代数式 32xy (x y)2 xy (x y)2值为 .【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋ y 的值，再代入求值 .ab a( a b) b 2(a b)2a b 5 1 5 1 【解】⑴原式＝，当 a， b时， ab ＝ 1，a ＋ b ＝ 5 ,原式＝ 5 .ab(a b)ab (a b)ab22⑵由题意得： xy ＝ 1， x ＋ y ＝ 10, 原式＝ .【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋ b)2＋ (a － b)(2a ＋ b)－ 3a 2，其中 a2 3 , b3 2 .a2a 2a 418．（黄石）已知 a 是 43 的小数部分，那么代数式 ( 22) (a ) 的值为 .a 4a 4 a2a a【例７】已知实数 x 、y 满足 ( x x22008)( yy22008) 2008，则 3x 2－2y 2＋ 3x － 3y － 2007 的值为（）A ．－ 2008B ．2008C ．－ 1D ． 1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a 、b 的关系，再代入求值 .解: ∵ ( x x 22008)( y y22008) 2008，∴ ( xx22008)2008 yy 2008 ，( yy22008)yy22008 xx220082008xx22008 ，由以上两式可得 x ＝ y.选 D.∴ ( x x22008) 2008, 解得 x 2＝2008，所以 3x 2－ 2y 2＋ 3x － 3y － 2007＝ 3x 2－ 2x 2＋ 3x － 3x － 2007＝x 2－ 2007＝ 1，故【变式题组】19．若 a ＞0， b ＞ 0，且a( ab) 3 b( a5 b ) ，求 2a3bab的值 .演练巩固 · 反馈提高a b ab01. 若 m40 4 ，则估计 m 的值所在的范围是（）A ． 1＜ m ＜ 2B ． 2＜ m ＜ 3C ． 3＜m ＜ 4D ． 4＜m ＜ 502．（绵阳）已知12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（）A ． 12B ．11C ． 8D ． 303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）1 A.7 B. 3C.2D. 204．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（）1 100 101 1 100992 2A.2 B. 6 C. 8 D. 1005．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.12B.x233 C.D.2a 2b06．（常德）设 a ＝ 20， b ＝ (－ 3)2, c 9 , d ( 1) 1 2, 则 a 、b 、 c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（）A ．c ＜ a ＜ d ＜bB ． b ＜ d ＜ a ＜ cC ． a ＜ c ＜ d ＜bD ． b ＜ c ＜ a ＜ d07．（十堰）下列运算正确的是（） A ． 32 5 B ． 32 6C ． ( 3 1)23 1D ．52325 308．如果把式子 (1 a)1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）1 aA ．1 a B ． a 1C ．a 1D ．1 a09．（徐州）如果式子(x 1)2x 2 化简的结果为 2x － 3，则 x 的取值范围是（）A ． x ≤ 1B ．x ≥ 2C ． 1≤ x ≤ 2D ． x ＞ 010．（怀化）函数 yx 中自变量的取值范围是.x 211．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算 a ※ b ＝3 2 5 .那么 12※ 4＝ .3 2a21 a 112．（荆州）先化简，再求值：232，其中 a 3 .a2a 1 a a13．（广州）先化简，再求值：( a培优升级3)( a3) a(a 6) ，其中 a51 .201．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x － 2 和 5x ＋ 6，则这个数是 .02．已知 a 、b 是正整数，且满足 2(15 15 ) a b是整数，则这样的有序数对（ a ，b ）共有对.03．（全国）设 a5 1 ，则aa42a 3a 2a 23.04．（全国）设 x2 aa1, a 是 x 的小数部分 , b 是 x 的小数部 , 则 a 3 ＋b 3＋ 3ab ＝ .2 105．（重庆）已知yx22 x222 ，则 x ＋y ＝ .5x 4 4 5x06．（全国）已知 a2 1 ， a 2 2 6 ， a 6 2 ，那么 a 、b 、c 的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ．b ＜ a ＜ cC ． c ＜ b ＜ aD ．c ＜ a ＜ b35207．（武汉）已知 yx 1 4 x （ x ， y 均为实数），则 y 的最大值与最小值的差为（）A ． 6 3B ．3C ． 5 3D ． 6308．（全国）已知非零实数a 、b 满足 2a 4 b 2(a 3)b 24 2a ，则 a ＋ b 等于（）A ．－ 1B ． 0C ．1D ． 209．（全国） 23 2 2 17 12 2 等于（）A ． 5 4 2B ． 4 2 1C ． 5D ． 110. 已知 x2 xy y 0( x 0, y0) ，则3x xy y的值为（）1 1 A ．B ．325x 2 3 C ．D ．343 xy4 y11.已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1c 5 ，求 a ＋ b ＋ c 的值 . 212. 已知 913 与 913 的小数部分分别是 a 和 b ，求 ab － 3a ＋ 4b ＋ 8 的值 .考点·方法·破译第 2 讲二次根式的化简与求值1. 会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2. 会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值 .3. 会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典· 考题· 赏析【例１】（河北）已知x1 2 ，那么x x 的值等于xx3x 12x9 x 1【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 1x表示或化简变形 .x解：两边平方得，x1 2 4 ， xx1 2 ，两边同乘以 x 得， xx21 2 x ，∵ x 23x 1 5 x ， x29 x 1 11x ，22∴原式 = 1 1 511【变式题组】5 11 =5111. 若 a1 14 （0＜ a ＜1），则 a a a2. 设x1aa ，则 4x x 2的值为（）A. a1aB.1 aaC. a1 aD ．不能确定【例２】（全国）满足等式x y y x2003x2003y 2003xy＝ 2003 的正整数对（ x, y ）的个数是（） A ． 1B ． 2C ． 3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解 .解：可化为xy( x y) 2003( x y) 2003( xy 2003) 0 ，∴ (xy 2003)( x y2003) 0∵xy2003 0 ，∴ xy2003 0，则 xy ＝2003，且 2003 是质数，∴正整数对（ x, y ）的个数有 2 对，应选 B. 【变式题组】3．若 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a( a 4 b ) 3 b( a 2 b ) ，求 2a 3b ab 的值 .【例３】（四川）已知：xa1 (0 aa 1) ，求代数式a b abx2x 6 x 3 x 2 2x 2 4x 的值 . xx2 x x 2x24x【解法指导】视 x － 2，x 2-4 x 为整体，把xa约.1 平方，移项用含 a 的代数式表示 x － 2，x 2-4 x ，注意 0＜a ＜1 的制 a解：平方得，x a1 2 ，∴ x 2 aa 1 ， x2a4x 4 a21 2 ，a2x4x a1 2 ，a( x 3)(x 2)x( x 2) x 2x 24x∴化简原式＝g x x 3 x 2 x 24xa 1 ( 1 a)＝ (a 1 )2 a a a 2 2 a a 1 ( 1 a) a a【变式题组】2， 4．（武汉）已知 xx 31 232 1，求代数式x 3 ( 52 x 4 x 2x 2) 的值.5．（五羊杯）已知 m 12 ， n 12 ，且 (7 m 2 14m a)(3n 26n 7) 8 ，则 a 的值等于（）A ．－ 5B ． 5C ．－ 9D ．9【例４】（全国）如图，点 A 、C 都在函数 y等边三角形，则点 D 的坐标为.3 3 ( xx0) 的图像上，点 B 、D 都在 x 轴上，且使得△ OAB 、△ BCD 都是【解法指导】解：如图，分别过点 A 、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为E 、F. 设OE=a ，BF=b ，则 AE= 3 a ，CF = 3 b ，所以，点 A 、C 的坐标为（ a, 3 a ）、（ 2a ＋ b, 3 b ），所以3a23 3ya 3 ，解得，3b (2 a b) 3 3因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.b63ACOE BF Dx在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如52 2 ，3 3 3一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 15 5 3 3 33 5 3 ；（一）3 2 2 3 33 36 ；（二）3223 13 3 11 3 13 1 ；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，2还可以用以下方法化简：2 3 1 3 13 123 13 3 13 1 1 3 13 13 1；（四）（ 1）请你用不同的方法化简2；53①参照（三）试得：2=；（要有简化过程） 5 3②参照（四）试得： 2 =；（要有简化过程）53 （ 2）化简：1 1 1L1 3 153752n 12 n 1【例５】（五羊杯）设 a 、b 、c 、d 为正实数， a ＜ b ， c ＜ d ，bc ＞ ad ，有一个三角形的三边长分别为a2c 2 ， b2d 2，(b a)2(d c)2，求此三角形的面积 .【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积 ( 为什么 ?) ，a2边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.c 2的几何意义是以 a 、c 为直角边的直角三角形的斜解：如图，作长方形 ABCD ，使 AB ＝ b － a ， AD ＝c ，延长 DA 至 E ，使 DE ＝d ，延长 DC 至 F ，使 DF ＝ b ，连结 EF 、FB 、EB ，则BF ＝a2c2， EF ＝b2d2，BE=(b a)2(d c)2，从而D知△ BEF 就是题设的三角形，而 S △ BEF ＝S 长方形 ABCD ＋ S △ BCF ＋ S △ ABE baCF － S △ DEF ＝ ( b － a) c ＋ 1 2( d －1 1c)( b － a) － bd ＝ ( bc －ad)d 22A cE【变式题组】7． ( 北京 ) 已知 a 、b 均为正数，且 a ＋b ＝ 2，求 U ＝a24b21演练巩固 · 反馈提高3 2 3 2xy x 2y2 01. 已知 x， y32，那么代数式32xy x2值为y202. 设 a7 1，则 3a312a26a 12 ＝（）A ． 24B ． 25C ． 4 7 10D ． 4 7 1203．（天津）计算 ( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)1999200104．（北京）若有理数 x 、 y 、z 满足xy 11 z 2( x y z) ，则 2( x yz)205．（北京）正数 m 、 n 满足 m 4 mn 2 m 4 n4n 3 0 ，则m 2 m 2 n n 8200206．（河南）若 x3 1 ，则 x3(2 3) x2(1 2 3) x 3 5 的值是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 807. 已知实数 a 满足 2000a a 2001 a ，那么 a 20002的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ． 200208. 设 a1003 997 ， b 1001 999 ， c 2 1000 ，则 a 、b 、c 之间的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ． c ＜ b ＜ aC ． c ＜ a ＜ bD ． a ＜ c ＜ b09. 已知 1 ( x 1)2x ，化简 x21 x x21 x44B3 32003培优升级01．（信利）已知 x1 3 ，那么1x 21 1 x 24 x 202．已知 a 4a 1 5 ，则 6 2 a03．（江苏）已知( xx22002)( yy22002) 2002 ，则 x 23xy 4 y26 x 6 y 5804．（全国）7x 29x 13 7x 25x 13 7x ，则 x ＝05．已知 x3 2 ， y3 2 ，那么 yx32 3 2 x2y206．（武汉）如果a b20022 ， ab2002 2 ， b3c3b3c ，那么 a 3b3c 的值为（）A ． 2002 2002B ． 2001C ． 1D ． 007．（绍兴）当 x12002 2时，代数式 (4 x32005 x2001)的值是（）A ． 0B ．－ 1C ． 1D ． 2200308．（全国）设 a 、b 、c 为有理数，且等式a b 2 c 35 26 成立，则 2a 999b 1001c 的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ．不能确定09．计算：（ 1）6 4 3 3 2( 63)( 32)（ 2）10 14 15 21 10141521（ 3）1 1 1L13 35 3 3 5 7 5 5 749 47 47 49（ 4）3 2 2 5 2 6 7 2 12 9 2 20 11 2 30 13 2 4215 2 5617 2 722210.已知实数 a 、 b 满足条件a bb1 ，化简代数式a (1 1)g a b( a b 1)2，将结果表示成不含 b 的形式 .11.已知 x1 a 2(a a0) ，化简：x 2 x 2x 2 x 212.已知自然数 x 、y 、z 满足等式x 2 6 y z 0 ，求 x ＋ y ＋z 的值 .考点·方法·破译第 3 讲一元二次方程的解法1. 掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3. 会应用一元二次方程解实际应用题。

重点高中自招必备九年级专题27 数形结合

专题27 数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( )A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F . 求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111. （湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．FEDBAC【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L cSc b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L x S x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1. 不查表可求得tan 015的值为__________.2. 如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________. （全国初中数学联赛试题） 3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________. （太原市竞赛试题） 6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是( )A . (13，13)B ．(－13，－13) C.(14，14) D. (－14，一14)yxDBOACyxOA 2A 1A 3A 4A 6A 5A 8A 7A 10A 9A 12A 117．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m += ( )A. 25B.128C.153D.243E.256 （美国数学统一考试题） 8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是( ) A ．∠B ＞2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B ＜2∠A D ．不确定 9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ( ) A ．a 1127 B ．a 1128 C ．a 1129 D ．a 113010. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO . (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）y xA HG F BCDO E12.已知正数a ，b ，c ，A ，B ，C 满足a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝k . 求证：a B 十b C ＋c A ＜2k .13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，求DE ．（美国数学邀请赛试题）第13题图F E DGHA OI BC14.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC //QN ，AM ＝MB ＝ 2cm ，QM ＝ 4cm .动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上）．请写出t 可以取的一切值：_______________（单位：秒）．第14题图NMBA CQ15. 如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．（长春市竞赛试题）l第16题图DBCA E17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2). 在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）y x第17题图y =2x O BA专题27数形结合例1 5提示:作出B 点关于x 轴的对称点B '(2,-3)，连结AB '交x 轴于C ，则AB '=AC 十CB ' 为所要求的最小值.例2 D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b = 12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8). 例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3, BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可. 例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点. 例5由L c s cb s b a s a =+=+=+222 ①,知正数c b a ,,适合方程.2L xsx =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac sa c s c a -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证. 例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+∙+∙∙∴ xz y z y x 即,6232132121321=∙+∙+⨯∙xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32- 提示:构造含 15的Rt △ABC .2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E , F .设OE =a , BF =b ，则AE =a 3, CF =b 3，所以点A ,C 的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴,3323,3332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.36,3b a ∴点D 坐标为()0,62. 3.52- 提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值. 4.a x b ≤≤5. 36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOABC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC . 6. C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14. 7. A8. B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bca abc a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9. D10. C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则ab k b a b a 2122∙=+++ (k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解.11. (1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥ EH 于M ，连结DG ,2,===DO DG t DM ,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH = 2FG .由EF //x 轴，设H 为()t x ,4，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -∙=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去). 12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13. AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得⎩⎨⎧CE •CD ＝CF •CG BD •BE ＝BI •BH ，即⎩⎨⎧y (16－x )＝1×14x (16－y )＝6×13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－22y ＝6－22 .故DE ＝16－(x ＋y )＝222. 14. t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝3＋12,BE ＝3＋32,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝3－32，AB 2 ＝AE 2＋BE 2＝（3－32）2＋（3＋32）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2 ＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线． 16．设AD AB ＝AE AC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC ＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB＝AB －ADAB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )• S △ABE ＝m (1－m )• S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ），则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）, 则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）．又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4 (12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。

数形结合思想解析.讲义

“数形结合思想”解析（一）“数形结合”思想的内涵诠释“数形结合”的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的。

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数无形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。

“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。

我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。

（二）“数形结合思想”在教学中的作用。

数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。

1.以“形”助“数”。

“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。

a.数学概念的建立借助“形”的直观。

由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。

如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。

同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。

b.数学性质的探索依赖“形”的操作。

数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。

如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。

九年级数学数形结合专题讲座

数形结合探索定值一、数形结合，探索思路例1已知抛物线y=x2+kx+1与x轴相交于两个不同的点A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试求如何平移此抛物线使其∠ACB=60°。

分析很多同学对这道题感到比较生疏，一是有的已知条件，如∠ACB=90°意味着什么？怎样入手解？二是平移后使∠ACB=60°，又意味着什么？不妨换个角度考虑问题，画图观察一下。

草图如图所示，可看到由于抛物线的对称性，∠ACB=90°就意味着△ACB是等腰直角三角形，就是说，斜边AB上的高CD等于斜边AB的一半，而AB的长等于这两点横坐标差的绝对值，CD的长则是顶点C纵坐标的绝对值。

于是可以列出方程，求得k的值：设A、B两点横坐标分别为x1、x2，则它们是方程x2+kx+1=0的两个相异的实数根，那么有于是AB=|x2-x1|=又设顶点C的坐标为(x0,y0)，应用顶点坐标公式，有y0=，CD=|y0|。

那么条件CD=AB就是如下方程：|x1-x2|=|y0|，即（∵k2-4>0）。

(k2-4)2-4(k2-4)=0， (k2-4)(k2-8)=0。

∵k2-4>0，∴k2-8=0。

∴k=±2。

于是抛物线解析式为y=x2±2x+1。

这样通过观察图形和计算，不但弄清了∠ACB=90°意味着什么和如何利用这个条件求出k值，同时也提示我们用同样的方法去分析平移抛物线，使其∠ACB=60°。

画图分析可看到，抛物线向下平移，∠ACB逐渐变小，当∠ACB=60°时，由抛物线的对称性可知△ACB为等边三角形。

因为等边三角形的高等于边长的倍，所以CD=AB，这就给我们提供了一个等量关系，利用这个关系列方程，可求出平移后抛物线解析式中的常数项。

设把抛物线y=x2±2x+1向下平称|l|个单位后，使∠ACB=60°，则平移后抛物线的解析式为y=x2±2x+1+l。

2019年秋九年级数学第27章竞赛辅优《圆压轴突破训练：培优篇》(含解析)(附解析)

圆压轴突破训练：培优篇1．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．2．AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两个点，AD交BC于点F，点E在AB上，DE交BC于点G，且∠DGF ＝∠CAB．（1）如图1．求证：DE⊥AB．（2）如图2．若AD平分∠CAB．求证：BC＝2DE．（3）如图3．在（2）的条件下，连接OF，若∠AFO＝45°，AC＝，求OF的长．3．已知：在△MAB中，C、D分别为BM、AM上的点，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，∠MCD ＝∠ACD；（1）如图①，求证：弧AD＝弧BD；（2）如图②，若AB为直径，CD＝BC，求tan∠DAC值；（3）如图③，在（2）的条件下，E为弧CD上一点（不与C、D重合），F为AB上一点，连接EF交AC于点N，连接DN、DE，若DN＝DE，AB＝10，∠ABC﹣45°＝∠ANF，求AN的长．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC上一点O为圆心作圆与AB相切于点D，与BC分别交于点F、N，连接DF并延长交AC的延长线点E．（1）求证：AE＝AD；（2）过点D作DH⊥BC于点B，连接AF并延长交⊙O于点G，连接DG，若DO平分∠GDH．求证：∠AFD＝2∠DFN；（3）在（2）的条件下，延长DG交AE的延长线于点P，连接PF并延长交⊙O于点M，若FM＝5，FH＝9，求OH的长．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与坐标轴交于A，B两点，动点C在x轴正半轴上，⊙D 为△AOC的外接圆，射线OD与直线AB交于点E．（1）如图①，若OE＝DE，求＝12；（2）如图②，当∠ABC＝2∠ACB时，求OC的长；（3）点C由原点向x轴正半轴运动过程中，设OC的长为a，①用含a的代数式表示点E的横坐标x E；②若x E＝BC，求a的值．7．已知：如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C作CD∥AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠ABC＝90°时，AB＝8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；（3）如图1，当PQ＝2，求的值．8．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠B AC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：EB＝EC；（2）分别求式子、的值；（3）若EF＝AC＝3，AB＝5，求△AEF的面积．9．如图，AB为⊙O的直径，点C在弧AB上，CD为⊙O的切线，AD⊥CD交⊙O于E，连接AC．（1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAC；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于F，交⊙O于M，求证：BF＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下，作DG⊥CF，交射线FC于G，在射线DC上截取CH＝CD，连接BH，GH，点N为半圆上一点，∠NBM＝2∠BNM，若BH＝AF，S＝，求线段MN的长．△DGH10．已知如图，AC⊥BD，垂足为E，CF是⊙O的直径，连接AB、CD、DF．（1）如图1，连接BC，求证：AB＝DF；（2）如图2，连接OA、OB，OA交BD于点M，若∠ABM＝∠AOB，求证：AB＝BM；（3）在第二问的基础上，若⊙O的半径为7，AM＝5，求点O到线段CD的距离OK的长．11．如图，已知CD垂直平分AB，CD＝BD，点E为CD上一点，连接AE交BC于点F，过点E作EG⊥AE，连接GF，以GF为直径作△EGF的外接⊙O，且点B在⊙O上．（1）求证：∠G+∠A＝45°；（2）求证：AE＝EG；（3）若⊙O与AB交于另一点H，若CE＝3，AH＝5，FG＝5，求BF的长．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝6，求劣弧PC的长；（2）求证：△ECF是等腰三角形；（3）若PE＝3，PD＝4，试求FD的长．13．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，F为弧BC上一点，且∠FBC＝∠ABC，连接DF，分别交BC、AB于E、G．（1）如图1，求证：DF⊥BC；（2）如图2，连接EH，过点E作EM⊥EH，EM交⊙O于点M，交AB于点N，求证：NH＝AB；（3）如图3，在（2）的条件下，若DG＝6，ON＝6，求MN的长．14．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，点D 在⊙O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接C D 交OE 边于点F（1）求证：AC ＝2DE ；（2）若cos ∠BDE ＝，OD ＝5，求CD 的长；（3）连接OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若＝，求的值．15．如图，在直角坐标系中，已知A（0，3）、O（0，0）、C（6，0）、D（3，3），点P从C点出发，沿着折线C﹣D﹣A运动到达点A时停止，过C点作直线GC⊥PC，且与过O、P、C三点的⊙M交于点G，连接OP、PG、OD．设点P运动路线的长度为m．（1）直接写出∠DCO的度数；（2）当点P在线段CD上运动时，求△OPG的最小面积；（3）设圆心M的纵坐标为n，试探索：在点P运动的整个过程中，n的取值范围．16．如图，在等边△ABC中，已知AB＝8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN＝3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．（1）填空：∠DCE＝度，CN＝cm，AM＝cm．（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ＝cm．当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ＝cm．圆压轴突破训练：培优篇1．如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在AB 边上，CD 与OB 交于点E ，∠ACD ＝∠OBC ；（1）如图1，求证：CD ⊥AB ；（2）如图2，当∠BAC ＝∠OBC +∠BCD 时，求证：BO 平分∠ABC ；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF ⊥BC 于点F ，交CD 于点G ，作OH ⊥CD 于点H ，连接FH 并延长，交OB 于点P ，交AB 边于点M ．若OF ＝3，MH ＝5，求AC 边的长．解：（1）如图1，令∠OBC ＝∠1，∠ACD ＝∠2 延长BO 交⊙O 于F ，连接CF ．∵BF 是⊙O 的直径，∴∠FCB ＝90° ∴∠1+∠F ＝90°， ∵弧BC ＝弧BC ， ∴∠A ＝∠F又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠A ＝90°， ∴∠3＝90°，∴CD ⊥AB（2）如图2，令∠OBC ＝∠1，∠BCD ＝∠4 延长BO 交AC 于K,∵∠A ＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A ＝∠5， ∵∠A +∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90° ∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO 平分∠ABC （3）如图3，延长BO 交AC 于点K ，延长CD 交⊙O 于点N ，联结BN∵OH ⊥CN ，OF ⊥BC ∴CH ＝NH ，BF ＝CF ∴HF 是△CBN 的中位线，HF ∥BN ∴∠FHC ＝∠BNC ＝∠BAC∵∠BAC ＝∠OEH ，∠FHC ＝∠EHM ∴∠OEH ＝∠EHM 设EM 、OE 交于点P∵∠OEH +∠EOH ＝∠EHM +∠OHP ＝90° ∴∠EOH ＝∠OHP ∴OP ＝PH ∵∠ADC ＝∠OHC ＝90° ∴AD ∥OH ∴∠PBM ＝∠EOH ，∠BMP ＝∠OHP ∴PM ＝PB ∴PM +PH ＝PB +OP ∴HM ＝OB ＝5在Rt △OBF 中，根据勾股定理可得BF ＝4 ∴BC ＝8，sin ∠OBC ＝35 ∵∠A +∠ABO ＝∠DEB +∠ABO ＝90° ∴∠AKB +∠CKB ＝90° ∴OK ⊥ACAC ＝2CK ，CK ＝BC •sin ∠OBC ＝245 ∴AC ＝4852．AB 为⊙O 的直径，点C 、D 为⊙O 上的两个点，AD 交BC 于点F ，点E 在AB 上，DE 交BC 于点G ，且∠DGF ＝∠CAB ．（1）如图1．求证：DE ⊥AB ．（2）如图2．若AD 平分∠CAB ．求证：BC ＝2DE ．（3）如图3．在（2）的条件下，连接OF ，若∠AFO ＝45°，AC ＝，求OF 的长．解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB +∠CBA ＝90°，∵∠DGF ＝∠CAB ，∠DGF ＝∠BGE ，∴∠BGE ＝∠CAB ，∴∠BGE +∠CBA ＝90°，∴∠GEB ＝90°，∴DE ⊥AB ；（2）如图2，连接OD 交BC 于H ，连接BD ，∵AD 平分∠CAB ，∴，∴OD ⊥BC ，BH ＝CH ，∵DE ⊥AB ，OD ＝OB ，∴S △OBD ＝12OD ×BH ＝12OB ×DE ，∴BH ＝DE ，∴BC ＝2DE ．（3）如图3，作FR ⊥AB 于R ，OS ⊥AD 于S ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝x ，∴∠FBO ＝90°﹣2x ，∵∠AFO ＝45°，∴∠FOB ＝45°+x ，∴∠OFB ＝180°﹣（90°﹣2x ）﹣（45°+x ）＝45°+x ， ∴∠FOB ＝∠OFB ∴BF ＝BO ＝OA ，∵∠FRB ＝∠ACB ＝90°，∠FBR ＝∠ABC ，∴△BFR ∽△BAC ，∴，∵AC ＝125，∴FR ＝65，∴CF ＝FR ＝65，∴AF ＝，tan ∠FAR ＝tan ∠FAC ＝12，设SO ＝t ，AS ＝2t ，SF ＝SO ＝t ，则AF ＝AS +SF ＝3t ＝，t ＝，∴OF ＝2t ＝．3．已知：在△MAB 中，C 、D 分别为BM 、AM 上的点，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接AC ，∠MCD ＝∠ACD ；（1）如图①，求证：弧AD ＝弧BD ；（2）如图②，若AB 为直径，CD ＝BC ，求tan ∠DAC 值；（3）如图③，在（2）的条件下，E 为弧CD 上一点（不与C 、D 重合），F 为AB 上一点，连接EF 交AC 于点N ，连接DN 、DE ，若DN ＝DE ，AB ＝10，∠ABC ﹣45°＝∠ANF ，求AN 的长．解：（1）∵∠MCD +∠DCB ＝180°，∠DCB +∠DAB ＝180° ∴∠DAB ＝∠MCD又∵∠MCD ＝∠ACD ∴∠DAB ＝∠ACD ∴弧AD ＝弧BD（2）作DG ⊥MB 于点G ，连结BD （如图2）∵AB 为直径，弧AD ＝弧BD ＝45°，∴∠MCD ＝∠DAB ＝45°，∴DG ＝GC ＝22CD又∵CD ＝2BC ，∴BC ＝22CD ，∴DG ＝GC ＝BC ，∴tan ∠DBC ＝＝12又∵∠DAC ＝∠DBC ，∴tan ∠DAC ＝tan ∠DBC ＝12（3）连结BD 交AC ，EF 分别为点P ，点L ，连结OP ，OE ，PE ，再作OH ⊥EF 于点H ，NM ⊥AD 于点M （如图3所示）∵∠ABC ﹣45°＝∠ANF ，∠DBC ＝∠ABC ﹣∠ABD ＝∠ABC ＝45°，∴∠ANF ＝∠DBC ＝∠DAC ∴EF ∥AD ∴EF ⊥BD 由（2）得tan ∠DAP ＝12 ∴DP AD =12 ∴DP BD =12 即P 为BD 的中点∴OP ⊥BD ∴四边形OPLH 为矩形设HO ＝d ，则PL ＝d ．又∵DN ＝DE ∴BD 垂直平分NE∴PE ＝PN ∴∠LEP ＝∠LNP ＝∠DAP ∴∴LE ＝2d又∵△OPB 为等腰直角三角形 ∴OP ＝22BO ＝522 ∴LH ＝OP ＝522∴HE ＝LH +LE ＝522+2d ∵OH 2+HE 2＝OE 2 ∴解得d ＝22∴DL ＝DP ﹣LP ＝522 — 22＝2 2 ∴MN ＝DL ＝2 2 ∴AM ＝2MN ＝4 2 ∴AN=AM 2+MN 2=2104．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 上一点O 为圆心作圆与AB 相切于点D ，与BC 分别交于点F 、N ，连接DF 并延长交AC 的延长线点E ．（1）求证：AE ＝AD ；（2）过点D 作DH ⊥BC 于点B ，连接AF 并延长交⊙O 于点G ，连接DG ，若DO 平分∠GDH ．求证：∠AFD ＝2∠DFN ；（3）在（2）的条件下，延长DG 交AE 的延长线于点P ，连接PF 并延长交⊙O 于点M ，若FM ＝5，FH ＝9，求OH 的长．解：（1）证明：∵∠ACB ＝90° ∴∠E +∠CFE ＝∠ACB ＝90° ∵∠CFE ＝∠OFD ∴∠E +∠OFD ＝90° ∵AB 切⊙O 于D ∴OD ⊥AB ∴∠ODF +∠ADE ＝90° ∵OD ＝OF ∴∠OFD ＝∠ODF ∴∠E ＝∠ADE ∴AE ＝AD （2）证明：连接DN∵DO 平分∠GDH ∴设∠ODG ＝∠ODH ＝α，设∠FDG ＝β，则∠FDH ＝2α+β∵OF ＝OD ∴∠DFN ＝∠ODF ＝α+β ∵DH ⊥FN ∴∠DHF ＝90°∴∠DFN +∠FDH ＝90°，即α+β+2α+β＝3α+2β＝90°∵FN 为⊙O 直径 ∴∠FDN ＝90°∴∠DNF ＝90°﹣∠DFN ＝90°﹣（2α+β）＝3α+2β﹣（α+β）＝2α+β ∴∠G ＝∠DNF ＝2α+β∵∠AFD ＝∠G +∠FDG ＝2α+β+β＝2α+2β ∴∠AFD ＝2∠DFN （3）过O 作OQ ∥AB 交FM 于点Q∵∠AEF +∠EFC ＝90°，∠DFN +∠FDH ＝90°，∠EFC ＝∠DFN ∴∠AEF ＝∠FDH ＝2α+β ∴∠ADE ＝∠AEF ＝2α+β∴∠FAD ＝180°﹣∠AFD ﹣∠ADF ＝2（3α+2β）﹣（2α+2β）﹣（2α+β）＝2α+β 即∠FAD ＝∠ADF ∴AF ＝DF ∴F 在AD 的垂直平分线上∵∠AEF ＝∠FGD ＝2α+β，∠AFE ＝∠DFG ∴∠EAF ＝∠FDG ＝β∴∠PAD ＝∠PDA ＝β+（2α+β）＝2α+2β ∴PA ＝PD ∴P 在AD 的垂直平分线上即PM 垂直平分AD ∴OQ ⊥FM ∴∠OQF ＝90°，FQ ＝12FM ＝52 ∵OQ ∥AB ∴∠FOQ ＝∠B∵∠B +∠DOH ＝∠DOH +∠ODH ＝90° ∴∠B ＝∠ODH ∴∠FOQ ＝∠ODH在△FOQ 与△ODH 中，，∴△FOQ ≌△ODH （AAS ）∴OH ＝FQ ＝525．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，AC ＝AB ，⊙O 为△ABC 的外接圆．（1）如图1，求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如图2，CD 交⊙O 于点E ，过点A 作AG ⊥BE ，垂足为F ，交BC 于点G ． ①求证：AG ＝BG ；②若AD ＝2，CD ＝3，求FG 的长．（1）证明：如图1，连接OA ，OB ，OC ．在△OAC 和△OAB 中，，∴△OAC ≌△OAB （SSS ），∴∠OAC ＝∠OAB ，∴AO 平分∠BAC ，∴AO ⊥BC ．又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥AO ，∴AD 是⊙O 的切线．（2）①证明：如图2，连接AE ． ∵∠BCE ＝90°， ∴∠BAE ＝90°．又∵AF ⊥BE ， ∴∠AFB ＝90°．∵∠BAG +∠EAF ＝∠AEB +∠EAF ＝90°， ∴∠BAG ＝∠AEB ．∵∠ABC ＝∠ACB ＝∠AEB ， ∴∠BAG ＝∠ABC ， ∴AG ＝BG ．②解：在△ADC 和△AFB 中，，∴△ADC ≌△AFB （AAS ）， ∴AF ＝AD ＝2，BF ＝CD ＝3．设FG ＝x ，在Rt △BFG 中，FG ＝x ，BF ＝3，BG ＝AG ＝x +2， ∴FG 2+BF 2＝BG 2，即x 2+32＝（x +2）2，∴x ＝54， ∴FG ＝54．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +4与坐标轴交于A ，B 两点，动点C 在x 轴正半轴上，⊙D 为△AOC 的外接圆，射线OD 与直线AB 交于点E ．（1）如图①，若OE ＝DE ，求＝ 12 ；（2）如图②，当∠ABC ＝2∠ACB 时，求OC 的长；（3）点C 由原点向x 轴正半轴运动过程中，设OC 的长为a ，①用含a 的代数式表示点E 的横坐标x E ；②若x E ＝BC ，求a 的值．解：（1）∵OE ＝DE ，∴S △AOE ＝S △ADE ，∵AD ＝CD ，∴S △CDE ＝S △ADE ，∴＝12，故答案为：12；（2）作OF ⊥AC 于点F ，对于直线y ＝﹣2x +4，当y ＝0时，x ＝2，当x ＝0时，y ＝4，则A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（2，0），即OA ＝4，OB ＝2，∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ADO ＝∠ABC ，∴∠ODC ＝∠ABO ，∴tan ∠ODC ＝tan ∠ABO ＝2，设DF ＝m ，则OF ＝2m ，由勾股定理得，OD ＝＝5m ，∴CF ＝（5﹣1）m ，∴tan ∠OCD ＝，∴＝，即＝，解得，OC ＝25﹣2；（3）①设直线OD 交⊙D 另一点为G ，连结AG ，作EH ⊥AO 于点H ，则EH ∥AG ，∴＝，＝，∴+＝+＝1，即+＝1，解得，x E ＝；②当C 在点B 右侧时，BC ＝x E ，即a ﹣2＝x E ，∴a ﹣2＝，解得，a 1＝1+5，a 2＝1﹣5（舍去），当C 在点B 左侧时，BC ＝x E ，即2﹣a ＝x E ，∴2﹣a ＝，解得，a 1＝﹣1+5，a 2＝﹣1﹣5（舍去），所以a 的值为5±1．7．已知：如图，BC 为⊙O 的弦，点A 为⊙O 上一个动点，△OBC 的周长为16．过C 作CD ∥AB 交⊙O 于D ，BD 与AC 相交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交于Q ，设∠A 的度数为α．（1）如图1，求∠COB 的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠ABC ＝90°时，AB ＝8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；（3）如图1，当PQ ＝2，求的值．解：（1）∵∠A 的度数为α， ∴∠COB ＝2∠A ＝2α，（2）当∠ABC ＝90°时，AC 为⊙O 的直径， ∵CD ∥AB ，∴∠DCB ＝180°﹣90°＝90， ∴BD 为⊙O 的直径， ∴P 与圆心O 重合， ∵PQ ∥AB 交于Q ， ∴OQ ⊥BC ， ∴CQ ＝BQ ， ∵AB ＝8，∴OQ ＝12AB ＝4，设⊙O 的半径为r ， ∵△OBC 的周长为16， ∴CQ ＝8﹣r ，∴（8﹣r ）2+42＝r 2，解得r ＝5，CB ＝6，∴阴影部分面积＝；（3）∵CD ∥AB ∥PQ ，∴△BPQ ∽△BDC ，△CPQ ∽△CAB ，∴，∴，∵PQ ＝2，∴，∴＝2．8．如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＞AC ．∠B AC 的外角平分线交⊙O 于E ，EF ⊥AB ，垂足为F ．（1）求证：EB ＝EC ；（2）分别求式子、的值；（3）若EF ＝AC ＝3，AB ＝5，求△AEF 的面积．（1）证明：∵∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ， ∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠EBC ，∠2＝∠3， ∴∠EBC ＝∠3， ∴EB ＝EC ；（2）解：在BA 上截取BD ＝CA ，如图，在△BED 和△CEA 中,，∴△BED ≌△CEA （SAS ），∴ED ＝EA ，∵EF ⊥AD ，∴DF ＝AF ，∴AB +AC ＝BD +DF +FA +BD ＝BF +DF +BD ＝2BF ， AB ﹣AC ＝BD +DF +AF ﹣BD ＝2AF ，∴＝＝2，＝＝2；（3）解：由（2）得BD ＝AC ＝3， ∵AB ＝BD +DF +AF ＝AC +2AF ， ∴3+2AF ＝5，∴AF ＝1，而EF ＝3，∴△AEF 的面积＝12×3×1＝32．9．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在弧AB 上，CD 为⊙O 的切线，AD ⊥CD 交⊙O 于E ，连接AC ．（1）如图1，求证：∠BAC ＝∠DAC ；（2）如图2，过点C 作CF ⊥AB 于F ，交⊙O 于M ，求证：BF ＝DE ；（3）如图3，在（2）的条件下，作DG ⊥CF ，交射线FC 于G ，在射线DC 上截取CH ＝CD ，连接BH ，GH ，点N 为半圆上一点，∠NBM ＝2∠BNM ，若BH ＝AF ，S △DGH ＝，求线段MN 的长．解：（1）如图1所示：连接OC ，则：∠CAO ＝∠ACO ，∵CD 为切线，∴OC ⊥CD ，而AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ，∴∠ACO ＝∠CAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ；（2）如图2所示：连接BC 、EC ，∵CF ⊥AB ，∠AFC ＝∠D ＝90°，而∠BAC ＝∠DAC ，∴ED ＝CF ，∠EDC ＝∠B ， ∴Rt △ECD ≌Rt △BFC （AAS ），∴BF ＝DE ；（3）如图3所示：连接EB 、连接OC 交EB 于Q ， ∵CO ∥AD ，而∠D ＝90°，∴∠DCO ＝90°，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴四边形DCQE 为矩形，∴EQ ＝DC ，∵OC ⊥EB ，∴EQ ＝BQ ，而EQ ＝DC ，∴EQ ＝BQ ＝CH ，∴BE ＝DH ，而BE ∥DH ，∴四边形DEBH 为矩形，∵BH ＝14AF ，设：HB ＝ED ＝x ，则：AF ＝4x ＝AD ，AE ＝4x ﹣x ＝3x ，则：AB ＝5x ，易证△DAC ≌△FAC （AAS ），∴BE ＝4x ＝DH ，而DC ＝12DH ＝2x ，设：∠NBM ＝2∠BNM ＝2α，则∠DAC ＝α，∠BAM ＝α， ∴∠CAM ＝2α，∵DH 是切线，∴∠HCM ＝∠CAM ＝∠DCG ， ∴Rt △DGC ∽Rt △AEB ，∴＝＝，∵C 是DH 的中点，∴S △DCG ＝12S △DHG ，而S △DGH ＝，∴S △BEA ＝24＝12•AE •BE ＝12•3x •4x ， ∴x ＝2，x ＝﹣2（舍去），∴MN ＝BE ＝4x ＝8．答：线段MN 的长为8．10．已知如图，AC ⊥BD ，垂足为E ，CF 是⊙O 的直径，连接AB 、CD 、DF ．（1）如图1，连接BC ，求证：AB ＝DF ；（2）如图2，连接OA 、OB ，OA 交BD 于点M ，若∠ABM ＝∠AOB ，求证：AB ＝BM ；（3）在第二问的基础上，若⊙O 的半径为7，AM ＝5，求点O 到线段CD 的距离OK 的长．（1）证明：如图1中，连接AF ，AD ．∵AF 是直径，∴∠CAF ＝90°，∵AC ⊥BD ，∴∠CED ＝∠CAF ＝90°，∴AF ∥BD ，∴∠FAD ＝∠ADB ，∴＝，∴AB ＝DF ．（2）证明：如图2中， ∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∵∠AOB +∠OBA +∠OAB ＝180°，∠ABM +∠BAM +∠BMA ＝180°，∠ABM ＝∠AOB ， ∴∠BAM ＝∠BMA ， ∴BA ＝BM ．（3）解：如图2中， ∵OK ⊥CD ， ∴KC ＝KD ， ∵OC ＝OF ，∴OK ∥DF ，OK ＝12DF ，∵∠ABM ＝∠AOB ，∠BAM ＝∠OAB ， ∴△ABM ∽△AOB ，∴＝，∴＝，∴AB ＝， ∴DF ＝AB ＝，∴OK ＝．11．如图，已知CD 垂直平分AB ，CD ＝BD ，点E 为CD 上一点，连接AE 交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AE ，连接GF ，以GF 为直径作△EGF 的外接⊙O ，且点B 在⊙O 上．（1）求证：∠G +∠A ＝45°；（2）求证：AE ＝EG ；（3）若⊙O 与AB 交于另一点H ，若CE ＝3，AH ＝5，FG ＝5，求BF 的长．解：（1）如图1，连接BE ，∵CD 垂直平分AB ，∴EA ＝EB ，∠CDB ＝90°，∴∠A ＝∠EBA ， ∵CD ＝BD ，∴∠C ＝∠CBD ＝45°，即∠CBE +∠EBA ＝45°，又∠CBE ＝∠G ，∴∠G +∠A ＝45°；（2）如图2，连接BE 、BG 、HE 、HG ，由（1）知∠A ＝∠ABE ，∵∠ABE ＝∠HGE ，∴∠A ＝∠HGE ，∵FG 是⊙O 的直径，∴∠FBG ＝90°，又∠ABC ＝45°， ∴∠HEG ＝∠HBG ＝45°，∵EG ⊥AF ，即∠AEG ＝90°，∴∠AEH ＝∠GEH ＝45°， ∵EH ＝EH ，∴△AEH ≌△GEH （AAS ），∴AE ＝EG ；（3）如图3，连接HE 、HG 、BE ，由（1）（2）知AE ＝BE ＝GE ，∴∠EHB ＝∠EFB ， ∵∠CFE ＝∠EHB ，∴∠CFE ＝∠EFB ，作EN ⊥CB 于N ，作EK ⊥EG 于K ，则EN ＝EK ，NF ＝KF ，∵∠C ＝45°，CE ＝3，∴EN ＝EK ＝322，∵∠GEF ＝∠EKG ＝90°，∴△EKF ∽△GKE ，∴＝，即EK 2＝GK •KF ，∵GK +FK ＝FG ＝52，∴（322）2＝GK •（52﹣GK ），解得：GK ＝922，则KF ＝22，∵∠B ＝∠KGE 、∠ENB ＝∠EKG ＝90°、EB ＝EG ， ∴△ENB ≌△EKG （AAS ），∴NB ＝KG ，则BF ＝NB ﹣NF ＝KG ﹣KF ＝922﹣22＝42．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝6，求劣弧PC的长；（2）求证：△ECF是等腰三角形；（3）若PE＝3，PD＝4，试求FD的长．解：（1）∵AC＝6，∴⊙O的半径为3，∵∠POC＝60°，∴劣弧PC的长为＝π；（2）∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA＝90°，∠ADO＝90°在△ADO和△PEO中，∵，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD＝EO，∴∠ODE＝∠OED，∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝∠ADO＝90°，∴PD∥BF，∴∠DFB＝∠ODE，∵∠OED＝∠CEF，∴∠DFB＝∠CEF，∴CE＝CF，∴△ECF是等腰三角形；（3）如图，连接AP，PC，PC交EF于点Q，∵OA＝OP，OD＝OE，∴∠OAP＝∠OPA，∠ODE＝∠OED，∵∠AOP＝∠DOE，∴∠OAP＝∠OED，∴AP∥DF，∵AC是⊙O的直径，∴∠APC＝90°，即AP⊥PC，∴DF⊥PC，又∵CE＝CF，∴PC是EF的中垂线，∴PE＝PF，∵PC＝PC，∴△PCE≌△PCF（SSS），∴∠PFC＝∠PEC＝90°，∵∠PDB＝∠B＝90°，∴四边形PDBF是矩形，∴PD＝BF＝4，∵△AOD≌△POE，∴PE＝AD＝3，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝3，在Rt△BDF中，DF＝＝＝5．13．AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，F 为弧BC 上一点，且∠FBC ＝∠ABC ，连接DF ，分别交BC 、AB 于E 、G ．（1）如图1，求证：DF ⊥BC ；（2）如图2，连接EH ，过点E 作EM ⊥EH ，EM 交⊙O 于点M ，交AB 于点N ，求证：NH ＝AB ；（3）如图3，在（2）的条件下，若DG ＝6，ON ＝6，求MN 的长．（1）证明：∵CD ⊥AB ∴∠BHC ＝90° ∴∠C +∠ABC ＝90°∵∠FBC ＝∠ABC ，∠F ＝∠C ∴∠F +∠FBC ＝90°∴∠BEF ＝90° ∴DF ⊥BC （2）证明：连接OC∵OC ＝OB ∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠D ∵CD ⊥AB ∴∠CHO ＝90°，CH ＝DH∵∠CED ＝∠BEF ＝90° ∴HE ＝12CD ＝CH ＝DH ∴∠D ＝∠HED ∴∠OCB ＝∠HED ∵EM ⊥EH ∴∠HEN ＝∠HED +∠DEN ＝90°∵∠DEN +∠BEN ＝∠BED ＝90° ∴∠HED ＝∠BEN ∴∠OCB ＝∠BEN ∴OC ∥EM ∴∠COH ＝∠HNE在△COH 与△HNE 中∴△COH ≌△HNE （AAS ） ∴CO ＝NH ∴NH ＝12AB（3）解：连接OM ，过点M 作MP ⊥AB 于点P∵∠HEN ＝∠HEG +∠GEN ＝90° ∠D +∠DGH ＝90° ∠D ＝∠HEG ∴∠GEN ＝∠DGH ∵∠DGH ＝∠EGN ∴∠GEN ＝∠EGN ∴EN ＝GN∵△COH ≌△HNE ∴OH ＝NE ＝GN ∴HG ＝OH +OG ＝GN +OG ＝ON ＝6 ∵DG ＝6，∠DHG ＝90°∴HE ＝CH ＝DH ＝∵△DHG ∽△BHC ∴∴BH ＝设OB ＝OC ＝r ，则OH ＝BH ﹣OB ＝12﹣r ∵OH 2+CH 2＝OC 2 ∴（12﹣r ）2+（6）2＝r 2 解得：r ＝9∴OM ＝9，NH ＝12AB ＝9，NG ＝EN ＝BN ＝3∵∠MNP ＝∠HNE ，∠MPN ＝∠HEP ＝90° ∴△MNP ∽△HNE ∴设MN ＝a ，则NP ＝，MP ＝∴OP ＝ON +NP ＝6+∵OP 2+MP 2＝OM 2 ∴解得：a 1＝﹣9（舍去），a 2＝5 ∴MN ＝514．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，点D 在⊙O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接C D 交OE 边于点F（1）求证：AC ＝2DE ；（2）若cos ∠BDE ＝，OD ＝5，求CD 的长；（3）连接OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若＝，求的值．解：（1）∵OD ∥BC ， ∴∠DOE ＝∠ABC ，∴△OED ∽△BCA ，∴∠CAB ＝∠ODE ，∴，故：AC ＝2DE ；（2）∵∠CAB ＝∠ODE ，∠CAB ＝∠BDC ＝∠BDE +∠EDF ，而∠ODE ＝∠ODF +∠EDF ，∴∠ODF ＝∠BDE ，cos ∠BDE ＝＝cos ∠ODF连接OC ，过点O 作OH ⊥CD 交于点H ，则CD ＝2DH ＝2×OD cos ∠ODF ＝2×5×＝3；（3）∵＝，设：OE ＝2a ，则OD ＝3a ，BE ＝3a ﹣2a ＝a ，∴S △BDE ＝12S △ODE ＝12S 1，∴△OED ∽△BCA ，相似比为1：2，故S △ABC ＝4S 1，S △OBC ＝12S △ABC ＝2S 1，S 2＝S △OBC +S △ODE +S △BDE ＝S 1，即：的值为．15．如图，在直角坐标系中，已知A （0，3）、O （0，0）、C （6，0）、D （3，3），点P 从C 点出发，沿着折线C ﹣D ﹣A 运动到达点A 时停止，过C 点作直线GC ⊥PC ，且与过O 、P 、C 三点的⊙M 交于点G ，连接OP 、PG 、OD ．设点P 运动路线的长度为m ．（1）直接写出∠DCO 的度数；（2）当点P 在线段CD 上运动时，求△OPG 的最小面积；（3）设圆心M 的纵坐标为n ，试探索：在点P 运动的整个过程中，n 的取值范围．解：（1）过D 作DQ ⊥x 轴于点Q ，如图所示：由D （3，3），得到DQ ＝OQ ＝3，由C （6，0），得到OC ＝6，∴QC ＝OC ﹣OQ ＝6﹣3＝3，即DQ ＝CQ ，又∠DQC ＝90°，∴△DQC 为等腰直角三角形，∴∠DCO ＝45°；（2）过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，可得△PBC 为等腰直角三角形，∵PC ＝m ，∴PB ＝BC ＝22m ，在Rt △POB 中，OB ＝OC ﹣BC ＝6﹣22m ，PB ＝22m ，根据勾股定理得：OP 2＝（22m ）2+（6﹣22m ）2，∵GC ⊥PC ，∴PG 为⊙M 的直径，∴∠POG ＝90°，又∠OGP ＝∠PCO ＝45°，∴△OPG 为等腰直角三角形， ∴PO ＝OG ，∴S △OPG ＝12OP •OG ＝12OP 2＝12 [（22m ）2+（6﹣22m ）2]＝12（m ﹣32）2+9， ∵S △OPG 是关于m 的二次函数，其图象开口向上，有最小值，其对称轴为直线x ＝32，∴当0＜m ≤32时，S △OPG 随m 的增大而减小，则m ＝32时，S △OPG 取得最小值为9；（3）由题意得：∠ODC ＝90°，△OPC 的外心M 必在OC 的垂直平分线上，作MN ⊥x 轴于点N ，则ON ＝12OC ＝3，可得直线MN 经过点D ，连接OM ．分两种情况考虑：（i ）当点P 在CD 上，即0＜m ≤32时，如左图可知：∠OPC 为钝角或直角，∴点M 在x 轴下方（或x 轴上），又由（2）得：OM ＝22OP ，ON ＝3，又OP 2＝（22m ）2+（6﹣22m ）2，在Rt △MON 中，MN 2＝OM 2﹣ON 2＝（22OP ）2﹣32＝12（m ﹣32）2+9﹣9＝12（m ﹣32）2， ∵0＜m ≤32，∴n 的取值范围是：﹣3＜n ≤0；（ii ）当点P 在AD 上，即32＜m ≤32+3时，如右图，依题意得：MO ＝PM ，由勾股定理得：ON 2+MN 2＝DM 2+PD 2，又ON ＝3，MN ＝n ，DM ＝3﹣n ，PD ＝m ﹣32，∴32+n 2＝（3﹣n ）2+（m ﹣32）2，整理得：n ＝16（m ﹣32）2，∵32＜m ≤32+3，∴0＜n ≤32，综上，得到n 的取值范围是：﹣3＜n ≤32．16．如图，在等边△ABC 中，已知AB ＝8cm ，线段AM 为BC 边上的中线．点N 在线段AM 上，且MN ＝3cm ，动点D 在直线AM 上运动，连接CD ，△CBE 是由△CAD 旋转得到的．以点C 圆心，以CN 为半径作⊙C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点．（1）填空：∠DCE ＝ 60 度，CN ＝ 5 cm ，AM ．（2）如图1当点D 在线段AM 上运动时，求出PQ （3）当点D 在MA 的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ ＝ 6 cm ．当点D 在AM 的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ ＝ 6 cm ．解：（1）∵△CBE 是由△CAD 旋转得到，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴∠DCE ＝∠BCD +∠BCE ＝∠BCD +∠CAD ＝∠ACB ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，∴∠DCE ＝60°；∵△ABC 是等边三角形，AM 为BC 边上的中线，∴BC ＝AB ＝8cm ，CM ＝12BC ＝12×8＝4cm ，在Rt △CMN 中，CN ＝CM 2+MN 2＝42+32＝5cm ；在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2—CM 2＝82—42＝43cm ；（2）过点C 作CF ⊥PQ 于F ，∵△ABC 是等边三角形，AM 为BC 边上的中线，∴∠CAD ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°，∵△CBE 是由△CAD 旋转得到，∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°，∴CF ＝12BC ＝12×8＝4cm ，连接CP ，则PC ＝CN ＝5cm ，在Rt △PCF 中，PF ＝PC 2—CF 2＝52—42＝3，由垂径定理得，PQ ＝2PF ＝2×3＝6cm ；（3）①如图，点D 在MA 的延长线上时，∵△CBE 是由△CAD 旋转得到，∴∠CBE ＝∠CAD ，∴∠CBQ ＝∠CAM ＝30°，与（2）同理可求PQ ＝6cm ， ②如图，点D 在AM 的延长线上时，∵△CBE 是由△CAD 旋转得到，∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°，与（2）同理可求PQ ＝6cm ，综上所述，PQ 的长度不变都是6cm ．故答案为：（1）60，5，43；（3）6，6．。

初三数学暑期资优生培优用数形结合法解几何问题

课题：用数形结合法解几何问题一、基础回顾1．（2013•南通，第20题）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （－1，5），B （4，2），C （－1，0）三点．（1）点A 关于原点O 的对称点A ′ 的坐标为，点B 关于x 轴的对称点B ′的坐标为，点C 关于y 轴的对称点C ′ 的坐标为；（2）求（1）中的△A ′ B ′ C ′ 的面积．2．（人教八下教材改编）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 和CD 的中点，连接AF ，DE 交于点M ．（1）求证：△ADF ≌△DCE ；（2）连接BM ，求证：BM ＝BA ． 3．（2021•南通改编）平面直角坐标系xOy 中，已知点P （m ，3m ＋3），从函数图象的角度分析点P 到原点O 的距离的最小值．二、方法剖析例1 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，点E ，F 分别在BC ，CD 上，BE ＝1，∠EAF ＝45°，求DF 的长．D F MA BE C例2 （人教八下教材改编）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 在边AC ，BC 上，且AD ＝2，BE ＝4，M ，N 分别是DE ，AB 的中点，求MN 的长．变式思考1 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，连接ED ，EC 交BF 于点M ，N ，求DF 的长．变式思考2如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝4，点P 是CD 的中点，连接BP ，过点C 作CF ⊥BP ，垂足为点F ，连接OF ，求线段OF 的长．例3（2023南通，第18题）如图，四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，AC ＝4，BD ＝6，求AD ＋BC 的最小值．A F OB P DABCDAC B NDM三、同类训练1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，F 为BE 的中点，AF 与BE 相交于点G ，求GF 的长．2.如图，在边长为22的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接EC ，FD ，点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，连接GH ，求GH 的长．3.如图，在边长为6正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，BC ＝3BE ，AE ⊥BF ，垂足为G ，O 是对角线BD 的中点，连接OG ，求OG 的长．4.如图，在矩形ABCD 中，BC ＝5，AB ＝6，G 是DC 的中点，DE ＝DG ，GF ⊥BE ，求DF 的长．AEA FO BC G D5.如图，在边长为1正方形ABCD中，点E是AB的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于G，求线段CG的长．6.如图，在边长为6正方形ABCD中，点E在AD上，AE＝2，连接BE，点F是BE的中点，作∠EFG＝45°，FG交CD于点G，求线段DG的长．7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝12，点E是BC上一点，BE＝6，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，求MN的的长．ACMDNEDEA BCFAFB CDEG。

初三数学培优之数形结合

初三数学培优之数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( )A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F . 求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111. （湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．DAC【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L cSc b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L x S x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1. 不查表可求得tan 015的值为__________.2. 如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________. （全国初中数学联赛试题） 3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________. （太原市竞赛试题） 6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是( )A . (13，13)B ．(－13，－13) C.(14，14) D. (－14，一14)第2题图第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m += ( )A. 25B.128C.153D.243E.256 （美国数学统一考试题） 8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是( ) A ．∠B ＞2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B ＜2∠A D ．不确定 9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ( ) A ．a 1127 B ．a 1128 C ．a 1129 D ．a 113010. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO . (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）y xA HG F BCDO E12.已知正数a ，b ，c ，A ，B ，C 满足a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝k . 求证：a B 十b C ＋c A ＜2k .13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，求DE ．（美国数学邀请赛试题）第13题图BC14.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC //QN ，AM ＝MB ＝ 2cm ，QM ＝ 4cm .动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上）．请写出t 可以取的一切值：_______________（单位：秒）．第14题图15. 如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．（长春市竞赛试题）l第16题图DBCE17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2). 在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）y x第17题图=2x O BA。

初三数学知识点专题讲解与训练27---数形结合(培优版)

， C.(14 14)
－，一 D. ( 14 14)
y
y A
C
x
O
BD
第 2 题图
A10 A6 A2
O A1 A5 A9
A11 A7 A3
x
A4 A8 A12
第 6 题图
3 / 10
7．在△ABC 中，∠C＝900 ，AC＝3，BC＝4．在△ABD 中，∠A＝900 ，AD＝12.点 C 和点 D 分居 AB
得a =
4(2 − b)..因
a,h
2 − b > 0,
为边长且是整数.故当
得
b<2，取 b = 1, a =
4 不是整数;当
4−b
4 − b > 0,
3
2 − b < 0, 得 b>4，要使 a,b 为整数，只有两种取法:若 b=5 时，a=12(或 b= 12,a=5);若 b=8 4 − b < 0,
三角【形另例两5】边上设）△的A面BC积三都边相上等的，三证个明内：接△正AB方C形为（正有三两角个形顶．点在三角形的一（边江上苏，省另竞两赛个试顶题点）分别在解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为ha ，hb ， hc ，△ABC 的面积
为 S ，则易得三个内接正方形边长分别为 2S ， 2S ， 2S ，由题意得， a + ha = b + hb = c + hc a + ha b + hb c + hc
专题 27 数形结合答案
例 1 5 提示:作出 B 点关于 x 轴的对称点 B'(2,-3)，连结 AB'交 x 轴于 C，则 AB'=AC 十 CB' 为

九年级数学专题复习数形结合问题

中考冲刺：数形结合问题【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律例1.如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是7S，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A.39SB. 36SC.37SD.43S举一反三:【变式】在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n C n C n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y 轴正半轴上，则点B n的坐标是．类型二、利用数形结合解决数与式的问题例2.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+2a的结果为__________.类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题例3.(1)在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。

人教版初三数学竞赛专题：数形结合思想(含答案)

人教版初三数学竞赛专题：数形结合思想（含答案）【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( )A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F . 求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111.【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．能力训练1. 不查表可求得tan 015的值为__________. 2. 如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________.3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________.6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是( )A . (13，13)B ．(－13，－13) C.(14，14) D. (－14，一14)第2题图第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m += ( )A. 25B.128C.153D.243E.256 8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是( ) A ．∠B ＞2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B ＜2∠A D ．不确定 9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ( )A ．a 1127 B ．a 1128 C ．a 1129 D ．a 113010. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO . (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．12.已知正数a ，b ，c ，A ，B ，C 满足a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝k . 求证：a B 十b C ＋c A ＜2k .13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，求DE ．14.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC //QN ，AM ＝MB ＝ 2cm ，QM ＝ 4cm .动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上）．请写出t 可以取的一切值：_______________（单位：秒）．15. 如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2). 在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．参考答案例1 5提示:作出B 点关于x 轴的对称点B '(2,-3)，连结AB '交x 轴于C ，则AB '=AC 十CB ' 为所要求的最小值.例2 D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b = 12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8). 例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3 , BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x = .在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可. 例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点. 例5由L c s cb s b a s a =+=+=+222 ①,知正数c b a ,,适合方程.2L xsx =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a acsa c s c a -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证. 例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+•+••∴ xz y z y x 即,6232132121321=•+•+⨯•xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32- 提示:构造含 15的Rt △ABC .2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E , F .设OE =a , BF =b ，则AE =a 3, CF =b 3，所以点A ,C 的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴,3323,3332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.36,3b a ∴点D 坐标为()0,62. 3.52- 提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值. 4.a x b ≤≤5. 36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOABC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC . 6. C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14. 7. A8. B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bca abc a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9. D10. C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则ab k b a b a 2122•=+++ (k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解. 11. (1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥ EH 于M ，连结DG , 2,===DO DG t DM ,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH = 2FG .由EF //x 轴，设H 为()t x ,4，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -•=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去). 12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13. AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得⎩⎨⎧CE •CD ＝CF •CG BD •BE ＝BI •BH ，即⎩⎨⎧y (16－x )＝1×14x (16－y )＝6×13.解得.故DE ＝16－(x ＋y )＝222. 14. t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝,BE ＝,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝，AB 2 ＝AE 2＋BE 2＝（）2＋（）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2 ＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线．16．设AD AB ＝AEAC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC ＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB ＝AB －AD AB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )• S △ABE ＝m (1－m )• S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ），则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）, 则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）．又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4 (12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。

九年级数学中考典型及竞赛训练专题27 数形结合(附答案解析)

23
2 32
2
即
1 x• 2
y 11z• 322
y 1 xz • 32
3 2
6, 化简得
xy
2 yz
3zx
24
3.
பைடு நூலகம்
能力训练 1. 2 3 提示:构造含15 的 Rt△ABC.
2. 2 6，0 提示:如图，分别过点 A,C 作 x 轴的垂线，垂足分别
为 E, F. 设
OE=a, BF=b，则 AE= 3a , CF= 3b ，所以点 A,C 的坐标为
点 A（－1，1）和 B(2，3)的距离之和（即 CA＋CB）最小.
【例 2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是 x 厘米，面积是 x 平方厘米，这样的直角三
角形 ( )
A．不存在
B．至多 1 个
C．有 4 个
D．有 2 个
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；
积分别为 S，K．求证：K≤ 1 S ． 4
（长春市竞赛试题）
A
D
E l
B
C
第16题图
17.如图，直线 OB 是一次函数 y 2x 的图象，点 A 的坐标为(0，2). 在直线 OB 上找点 C，使得△ACO 为
等腰三角形，求点 C 的坐标．
（江苏省竞赛试题）
y AB
x O y=2x
第17题图
专题 27 数形结合
时，y=a 与
个不同交点，当 a 25 时，y=a 与 y x2 5x 图象有且只有相异二个交点. 4
例 5 由 a 2s b 2s c 2s L ① , 知正数 a,b, c 适合方程 x 2s L. 当 x 0 时，有

(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)第26讲抛物线与直线形由动点生特殊斯四边行问题

§26抛物线与直线形（2）——由动点生成的特别四边形问题科学家的好奇心是永久知足不了的，由于跟着每一个进展，正如巴普洛夫所说：“我们打到了更高的水平，看到了更广阔的的天地，见到了原来在视线以外的东西。

”——贝弗里奇知识纵横抛物线与直线形的联合另一表现形式是以抛物线为载体，商讨能否存在一些点，使其能够成某些特别四边形，有以下常有的基本形式：（1 ）抛物线上的点可否构成平行四边形；（2 ）抛物线上的点可否构成矩形、菱形、正方形；（3 ）抛物线上的点可否构成梯形；特别四边形的性质与判断是解这种问题的基础，而待定系数法、数形联合、分类议论是解这种问题的重点。

例题求解【例 1 】如图，抛物线y x22x 3 与x轴交 A, B 两点（A点在B点左边），直线l与抛物线交于 A,C 两点，此中C点的横坐标为2．（1）求 A, B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2） P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作y轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在x 轴上能否存在点 F ，使A,C , F ,G这样的四个点为极点的四边形是平行四边形？假如存在，求出全部知足条件的 F 点坐标；假如不存在，请说明理由．（义乌市中考题）思路点拨对于（ 3 ），AF可能为平行四边形的边或对角线，故四个点能构成四边形的情况由多种，需全面议论。

7【例 2 】如图，对称轴为直线x的抛物线经过点 A 6,0 和 B 0,4 ．2（1 ）求抛物线分析式及极点坐标；（2 ）设点 E x, y是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以 OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为②能否存在点 E ，使平行四边形24 时，请判断平行四边形OEAFOEAF 为正方形？若存在，求出点能否为菱形？E 的坐标；若不存在，请说明原因．（河南省中考题）思路点拨对于（ 2 ），若OE AE ，则平行四边形OEAF 为菱形；若OA EF 且OA EF ，则平行四边形OEAF 为正方形。

(九年级数学)专题复习——数形结合思想

（九年级数学）专题复习——数形结合思想班别姓名一、复习内容：数形结合数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。

考点1.借助数轴解不等式及根式的化简例1、实数ba,在数轴上对应位置如图所示，则||a b-）abDaCbaBaA---..2..变1、实数cba,,在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）考点2.图表问题3、某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y（元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（）4、二次函数cbxaxy++=2的图像（如右图）经过),0,3(),0,3(),0,1(CBA则对称轴为_______cbcaDcbaCbabaBbcacA-->--<-<--=->....考点3. 借助平面直角坐标系解函数问题5、若一次函数m x m y +-=)2(的图象经过第一、二、四象限时，m 的取值范围是_______.6、若点),1(,),1(,),2(321y y y -- 在反比例函数xy 2=的图像上，则（） 123213312321....y y y D y y y C y y y B y y y A >>>>>>>>7、已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如左下图所示，顶点为)0,1(-，下列结论0)5(,0)4(,2)3(,04)2(,0)1(2>++>+-==-<c b a c b a a b ac b abc其中正确的有_______8、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右上图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为9、已知二次函数c bx ax y ++=2中，函数y 与x 的部分对应值如下表：则当5<y 时，x 的取值范围是10、抛物线21=-的大致图象如图所示，点By xA,是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线与y轴交点；（1）判断ABC∆的形状，并说明理由；（2）点P是抛物线上的一点，它的横坐标为2，问在y轴上是否存在一点D，使得BDPD+的长度最小？求出这时点D的坐标。

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题27 数形结合_答案

专题27数形结合例1 5提示:作出B 点关于x 轴的对称点B '(2,-3)，连结AB '交x 轴于C ，则AB '=AC 十CB ' 为所要求的最小值.例2 D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b = 12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8). 例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3, BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可. 例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点. 例5由L c s c b s b a s a =+=+=+222 ①,知正数c b a ,,适合方程.2L x s x =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac s a c s c a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证. 例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+∙+∙∙∴ xz y z y x即,6232132121321=∙+∙+⨯∙xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32- 提示:构造含 15的Rt △ABC . 2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E , F .设OE =a , BF =b ，则AE =a 3, CF =b 3，所以点A ,C 的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴,3323,3332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.36,3b a ∴点D 坐标为()0,62. 3.52- 提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值. 4.a x b ≤≤5. 36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOA BC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC . 6. C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14.7. A8. B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bc a a b c a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9. D10. C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则ab k b a b a 2122∙=+++ (k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解.11. (1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥ EH 于M ，连结DG , 2,===DO DG t DM,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH = 2FG .由EF //x 轴，设H 为()t x ,4，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343， ()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -∙=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去). 12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13. AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得⎩⎨⎧CE •CD ＝CF •CG BD •BE ＝BI •BH ，即⎩⎨⎧y (16－x )＝1×14x (16－y )＝6×13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－22y ＝6－22 .故DE ＝16－(x ＋y )＝222. 14. t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝3＋12,BE ＝3＋32,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝3－32，AB 2 ＝AE 2＋BE 2＝（3－32）2＋（3＋32）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2 ＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线．16．设AD AB ＝AE AC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC ＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB＝AB －AD AB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )• S △ABE ＝m (1－m )• S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ），则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）,则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）．又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4 (12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。

初三数学复习专题-数形结合思想

初三数学专题复习 ------ 数形联合思想经过初中数学的学习，除了应掌握必需的知识技术外，感情数学的思想、累积用数学去解决问题的一些方法也很重要，本专题要点解说初中阶段特别重要的一种数学思想 ------ 数形联合思想。

我们研究的对象可分为数和形两部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形联合。

数形联合的应用大概能够分为以下两种情况：一、数能够用形来刻画：1、数轴上的点其实不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是2 ”，这类说明问题的方式表现的数学思想方法叫做 ( )A ．代人法B ．换元法C ．数形联合D ．分类议论a abb第 1 题图 1第 2 题图 22、在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a>b ）（如图 1），把余下的部分拼成一个矩形（如图 2），依据两个图形中暗影部分的面积相等，能够考证（）A . (a b)2 a 2 2ab b 2B. (ab)2 a 2 2abb 2C. a 2b 2(a b)(ab)D . (a 2b)( a b) a 2ab 2b 23、 (1) 有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的正方形，如图2．用两种不一样的方法计算图2 中正方形的面积你能够得出的一个等式为：．（ 2）如图 3，现有若干张正方形硬纸片 A 、 C 和若干张长方形硬纸片 B ．假如要拼成一个长为（ 2a ＋ b ）、宽为（ a+2b ）的新长方形，则需要正方形硬纸片 A 张、正方形硬纸片 C 张、长方形硬纸片 B 张．请在右侧的方框内画出你所拼出的长方形图案（注明相应字母）． 2a 2＋ 3ab ＋ b 2（ 3）试用图 3 中的若干张硬纸片去拼一个长方形的方法，将多项式分解因式的结果为．4、已知反比率函数y 1＝ k的图像与一次函数 y 2＝ x ＋ 1 的图像的一个交点的横坐标是－3．xy（ 1）求 k 的值；（ 2）依据反比率函数图像回答以下问题：①指出当 x ＜－ 1 时， y 1 的取值范围；②指出当 y 1 ＞ 3 时， x 的取值范围；3③指出当 y 1 ＞ y 2 时， x 的取值范围 .－ 3xO二、形能够用数来解说：1、若是用一根钢缆沿地球赤道绕 1 圈，再把这根钢缆放长10 米，这时钢缆和赤道之间的空隙能够经过一头牛仍是一只老鼠？2．。

初中数学竞赛辅导讲义(总77页)

初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2．已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。

解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。

解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。