高等数学问题初等化

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初等数学与高等数学有关问题的联系与区别

初等数学与高等数学有关问题的联系与区别一、导数的应用导数是研究函数的工具，利用导数研究函数的性质问题，可以比较容易地得到结果或找到解题的方向.导数的单调性：定理：设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导：（1）如果在（a，b）内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果（a，b）在内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少.例：确定函数f（x）=x■-2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解法一：设x■，x■是R上的任意两个实数，且x■x■，则f（x■）-f（x■）=（x■-x■）（x■+x■-2）.因为x■-x■0，所以要使x■+x■-20，则x■x■1.于是f（x■）-f（x■）0.即x1时，f（x）是增函数；x1时，f（x）是减函数.解法二：f′（x）=2x-2令2x-210解得x1；因此，当x∈（1，+∞）时，f（x）是增函数.再令2x-20，解得x1，因此，当x∈（-∞，-1）时，f（x）是减函数.经过对两种方法的对比，我发现用大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回头看高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一定的弊端.二、极限的应用学习极限是从一个“有限”到“无限”的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要.数列极限：中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”一词，由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称“ε-N”定义）证明高中数列极限中所用的结论.例：证明■■=0（a，k均为常数，且k∈N■）在中学，我们直观地知道，当n→∞时，n■=∞，■■=0.这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的“ε-N”定义来证明这个结论的正确性.在高中，我们已经开始接触数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维的培养和备考能力的提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也越发灵活.三、不等式的应用不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式在解决优化问题中有广泛应用，也是学习高等数学的重要基础.不等式的内容体现了数学的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明、求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键.不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一是不等式的概念与性质；二是解不等式；三是不等式的证明；四是不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见.不等式的证明：不等式的证明方法灵活多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联系，这体现了数学素质的要求.在中学，我们所学的不等式证明所用的最基本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法，以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等.某些不等式，我们虽然可以用中学的解答，但是用大学所学的某些来解答，我们会发现明显简单得多.定理3.1（拉格朗日（Lagrange））中值定理：若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导.则在开区间（a，b）内至少存在一点c，使得f′（c）=■例：证明：当ab0时，不等式nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）在n> 1时成立. </na■（a-b）在n> </a■-b■>在中学，我们可以用作差法来证明此题.这里不再证明.下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理证明此题.证明：设f（x）=x■，则f′（x）=nx■，当ab0时，对f（x）在区间[b，a]上应用拉格朗日中值定理有■=■=f′（c）=nc■其中b<c> <a因为n> 1时，n-10，所以</a因为n> </c>nb■■=nc■<na■.></na■.>故有nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）.></n a■（a-b）.> </a■-b■>运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，也就让我们从只是纯粹地接受结论上升为自主地探讨结论的正确性，这本身就是在认识上的一个质的飞跃.而且大学的证明方法更简便快捷，使我们一目了然.初等数学与高等数学有机地紧密结合，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进了对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握.。

初等数学与高等数学的联系及一些应用

２０１３年第３期
学卜（ｌ
在此例中引人矩阵作为工具使用了矩阵的性质，得以求
由概率的性质知０ ≤ Ｐ（Ａｕ当）ｌ，扶旧０口＋ｂ — ａｂｌ
４总结
由以上５个例子可以看出，如果用初等数学的知识解题
ｌ
，
Ｔ－￣．，＝ＪＤ【２
例１＿设ａ，Ｉ ∽者隰正数，且ａ＋ｈ＂ｔ－Ｃ＝１，求征二＋＿．＿＋ ≥９。
／５
证明：在Ｒ，中，使用标准内积。设亏＝
『］
√ ６， √ ｃｊ，
所以Ｕ
】＋１，｜十ｆ卜√ ｊ：
发展，中学教师要掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那／／，将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。关键词：高等数学；初等数学；联系；应用
之，学习高等数学能加深对初等数学的理解和掌握，可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力。为了解决上述长
期存在的问题，笔者认为研究高等数学与中学数学的联系是
一
设＝［ “ Ｕｉ，＝］＝［：］贝ｕｃ２，式为＝一，且ｃ，。＝［］＝］

浅谈高等数学在初等数学中的应用

浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。

本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。

高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。

站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。

运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。

标签：初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。

它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。

透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。

本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。

一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。

这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。

二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。

其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。

学习高等数学应重视的初等数学问题

＋）（＋＋＋）（＋＋＋了＋ … ＋爹 … Ｊ詈＋＋＝３ｎ＋２了＋詈
４
）
）＝寻＋＋）（＋＋＋，（＋ … ＋４ … ）Ｌ＋Ｊ詈）了３２ｎ了＋＋２
，
ｎ
３
３１一
４
‘
４１一
１关于等差、比数列求和公式和函数图等像的应用
学习高等数学首先接触的就是极限问题，限极
计算方法多、巧性强，别涉及到求无穷项的极技特限问题难度更大，要求级数之和就更难了。但此中如果熟悉并借助初等数学中等差、比数列求和公等
式，那就轻松多了，也不易出错。
例１ｉ＋＋… ＋的极限：ｍ（求ｌ与）
于ｓｎ厶一）是＝－＝ｎ（｝＋ｌ１）ｓ —１１４∞一 — ∞ ∞ ＿ｎ（～ — ｉ・ｍ
＝＋４＝
错解：：ｌ＋ｌ …＋ｌ原式ｉｍｉ２＋ｍｉ：ｍ与
学习高等数学应重视的初等数学问题
张泽南
（马钢技师学院安徽马鞍山２３Ｏ）４０Ｏ
摘要：高职学生在学习高等数学时，初等数学由于基础不够常常影响好，新知识的掌握和分析问题能力的提高。如何引
导学生辨明出现问题的原因，学生排忧解难、给帮助学生补上和掌握有关初等数学的内容，是不容忽视的。本文就这方面谈
ｎ＝
① ＝０极大值点，是 ② ＝０是极小值点， ③ 点（，）００不是曲线拐点，点（，）曲线拐点 ④ Ｏ０是解：出ｆ）＝。画（的草图（１。目了然，图）一

高等数学与初等数学的联系及一些应用

高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。

由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。

因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。

关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。

因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。

这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。

中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。

只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。

2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。

大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。

“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。

抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。

中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。

比如极限定义、集合和函数等。

一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。

关于高等数学和初等数学衔接问题的探究

关于高等数学和初等数学衔接问题的探究摘要：高等数学是大学课程中重要的一门基础课程，但是它与初等数学的知识体系之间既有联系又有着较大的跨度。

在高等教育中，高等数学是理工、经济管理、农业医学等众多高校、众多专业的一门重要的基础课。

对初等数学与高等数学建立有效的路径衔接，是保障学生能够尽快适应高等数学学习的有效手段。

为了能够帮助大一新生快速的掌握高等数学学习方法，本文针对高等数学与初等数学的相关衔接问题进行了讨论，并结合部分知识点，给出了过渡的建议。

关键词：高等数学；初等数学；衔接问题引言高等数学是高等院校理工、农、林、经管等非数学专业的学生所开设的一门重要的基础课程，它主要是培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题的能力与创新能力等.在高等数学的教学过程中，学生刚刚从初等数学的学习，转到高等数学的学习，这需要他们在诸多方面进行调整，比如:认知方式、学习方式、思维方式等．教师也应进行相应改变，如何将高等数学知识贯通到他们的固有的知识体系中去，更好地做好知识的衔接，以便于大一同学更好、更快地适应大学生活，为后续课程的学习打下良好的基础.如何助力初等教育向高等教育的平稳过渡，是教学改革中不容忽视的环节之一．1高等数学和初等数学衔接的重要性高等数学是理工科大学生必修的一门基础课程，其数学知识是学生学习后续专业课程的重要工具，更是提升学生逻辑思维能力及良好数学修养的重要途径。

在初等教育向高等教育过渡中，高等数学是大学一年级开设的数学类主干课程，首当其冲地面对教学目标、培养体系、授课方式、教学环境等各方面的不同，使得高等数学的教学质量差强人意。

如何助力初等教育向高等教育的平稳过渡，是教学改革中不容忽视的环节之一高等数学是大部分理工科高职院校开设的必修课。

随着高考的扩招，高职学生的生源质量也在不断下降，使高职高等数学面临诸多挑战。

在教学中，存在着学生从初等数学学习向高等数学学习不适应的状况。

2高等数学和初等数学衔接问题2.1高等数学知识体系与初等数学知识体系跨度较大随着高考制度的改革，以前本应在中学数学课程中要讲到的知识点，现在已经被删除了，但对于高等数学课程而言，教师依然按照传统的教学安排，会默认学生对于这些知识内容在中学阶段是已经学过了的。

用高等数学解初等数学问题

一１２ｃｓＡＣＣＳＣ． — ｏＯＳＢＯ
ｂ一ｎ ‘ ０
１“ ） ≥６时，不存在ｚ，也就是说公路运费
４概率论知识
小于等于铁路运费时，接从Ａ修一条公路直
到Ｃ运费最少．２ａ６时，）＜一
３求，ｎ，（）ｆｘ）比较大小找出）（）厂６，（，最大值、小值．最
例２由铁路线
Ａ上一点Ａ处要把Ｂ
按渐近线定义ｚｃ，ＰＮｌ — × ｌ。 —Ｏ即有
ｌｆｘ）（ｚｉｍ［（一志＋）一０］，或ｌｆｘ－ｋ］．ｉ（）ｘ一ｄｍ［（）１
一 Ⅱ ．
●
、＼＼
导数是中学学生应掌握的知识．
／／＼＼＼
图１
预备知识
法：
若－）ａ６上连续，ｎ厂在［，］（（，
６可导，＿ｚ存在最大（小），体求）则厂）（最值具
１令ｆ（），）ｚ一０求驻点（止一个）ｉ不，
＝１２，，；， …
如图１曲线上动，点Ｐ到渐近线距离ｌＰＮｌｌＭｃｓ口＝Ｐｏｌ
—
ｉ（）＋ｆｚ一‘
２若／（＜ｏ，））ｚ），（在极大值，若／（＞０厂在极小值；），（）
第３卷第４期１
２１年４月０２
数学教学研究
２５

用高等数学知识求解初等数学问题

［ — — ： — — — 一］：。０甘： ± 与ｍ：。Ｏｊ双［
Ｐ（ＣＯＳＥ
一＼／ｂ２２＿６２＋＋ｍ）
曲线的渐进线方程为，，＝ ± 。
存在，双曲线
。
可为
０
ｓｉ）；ｏＰ＝（ｃｏｓ，ｓｉ），
ｃｏｓａｓｉｎｌｆ成立。
函数＝ —
＝在区间（０，１）上是增函数也是
、／ｉ上凸函数。当ｘ＝ｌ时，（Ｙ１）（）口ｃ＝Ｏ（取不到）；
・ ’
．
注：两角和与差的余弦公式的推导，可以用一
或一ｓｉｎ（ａ－１）ｆ＝ｓｉｎａｃｏｓｌｆ — ｃｏｓａｓｉｎｌ，ｆ
Ｏ＝ａ－ｌｆ＋２ｋｃｒ一丌（ ∈ ｚ）； ② 故ｓｉｎ（ａ－１ｆ）＝ｓｉｎａｃｏｓｌｆ－ｃｏｓｓｉｒ碱立。ｓｉｎ（ａ＋１）ｆ＝ｓｉｎ［一（）］＝ｓｉｎａｃｏｓ（］８）一ｃｏｓａｓｉｎ（］８）＝ｓｉ眦ｃｏ＋
—
（３）不妨设双曲线的方程为ｃ：＋＝１ｙ＝
ｂ ‘
±
ＴＵ
－ｂ２，设其渐进线方程为ｙ：＋ｍ，与ｍ均
为常数ｊｌｉｍ［、／一６ｚ一（＋ｍ）］
Ｉｃ０ｓｉ．，ｓ０Ｉ

用高等数学知识解决初等数学问题的探讨

ｉｋ－ｉｋ
即ＣｎＣｍ ÷Ｃｎ＋ｍ＝１去分母即得ＣｎＣｍ＝Ｃｎ＋ｍ特别地：当ｋ＝ｍ＝ｎ
ｉ＝０
ｉ＝０
ｎ
!ｉ
ｎ
时（Ｃｎ）２＝Ｃ２ｎ
ｉ＝０
中学要求学习概率，利用概率方法证明一些组合等式，不仅可以培
养学生的创造精神，而且可以提高他们的兴趣。
例２：设０≤α≤１且０≤ｘ≤π。求证：（２α－１）ｓｉｎｘ＋（１－ α）ｓｉｎ（１－ α）
种取法，空挡选好
ｎ－１
后在其中加入逗号“，”这样就将个分成了ｎ个非空组，设各组中所含的
% & ｍ－１
１依次是ｘ１、ｘ２、…、ｘｎ个，则ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝ｍ（ ※）的正整数解有ｎ－１个
在（ ※）中令ｙｉ＝ｘｉ＋１则ｙ１＋ｙ２＋…＋ｙｎ＝ｍ＋ｎ（ ※※）则正整数解的个数
２００７年第２６期
整数）证明：令ｆ（ｎ）＝ｎ４ｑ＋ｒ－ｎｒ＝ｎｒ［（ｎ４）ｑ－１］由费尔马定理：ｎ２≡ｎ（ｍｏｄ２）ｎ（ｎ４－１）＝ｎ（ｎ－１）（ｎ＋１）（ｎ２＋１）＝（ｎ２－ｎ）（ｎ＋１）（ｎ２＋１） ≡０（ｍｏｄ４）又由ｎ５≡ｎ（ｍｏｄ５）ｎ（ｎ４－１）
ｓｉｎｘ即ｓｉｎ（１－ α）ｘ≥（１－ α）ｓｉｎｘｘ
∴（１－ α）ｓｉｎ（１－ α）ｘ≥（１－ α）２ｓｉｎｘ＞（１－２α）ｓｉｎｘ即证
评注：利用函数的单调性是证明一些不等式的一种重要方法。
例３在四面体ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ，求证ＡＤ⊥ＢＣ；
证明：令Ａ()Ｂ＝ｂ，Ａ()Ｃ＝ｃ，(Ａ)Ｄ＝ｄ如图则(Ｂ)Ｃ＝ｃ－ｂ，Ｃ()Ｄ＝ｄ－ｃ，Ｂ()Ｄ＝ｄ－ｂ

用高等数学知识解初等函数问题

摘要：高等数学与初等数学在内容上、思维方式上存在着很大差异。

但是，高等数学是受到初等数学的某些基本概念和问题的启示而发展起来的。

因此，它们之间必然存在着某种联系。

本文就这个问题，从多个方面来看某些中学数学问题。

关键词：高等数学；初等数学With higher mathematics knowledge solution elementary function problemAbstract: Higher mathematics and elementary mathematics in the content, the way of thinking that great differences exist between. However, the higher mathematics is the subject of elementary mathematics some basic concepts and the Enlightenment of the problem and development of the. Therefore, they should exist between contact. This paper discusses this issue from multiple perspectives, some middle school mathematical problems.Key words: higher mathematics; Elementary Mathematics 1 引言高等数学是高等师范院校的主要基础课之一，由于该学科本身具有高度抽象的特点，往往使学生感到望而生畏，学生总有这样一个看法，高等数学与初等数学所研究的内容相差甚远，学习高等数学对将来教初等数学作用不大，总感到用高等数学直接来解决或处理初等数学的问题太少。

我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点还是在方法上都有着很大的区别。

高等数学中几个例题初等化的浅显解法

∑
１０
Ｃ …Ｃ
‘
…
２ｎ＋ｌｕ
收稿日期：０９０－２２０ —９０
（转第６下３页）
第２９卷第ｌ期２１００年１月
数学教学研究
６３
所以．）偶函数。，为（
这种解题方法是在不允许用具体函数代替的
卷第５期第７ —８贝．
一
注
干．７一 ’ ｉ了
≤ ≤
方法２若用罗比达法则无法计算．
ｒ，
ｆｌＯｌＳｔＣｄ
ｌ — —— — —一ｉａｒ — —— — —
．＋∞ ｒ・Ｚ
，ห้องสมุดไป่ตู้
当（一＋。）（一十。）且ｚＣ∞ 。
设Ｏ１ ≤ ＜２则有Ｏ， ≤ ＜１所以，
Ｘ２
基础上，将具体函数高度抽象后的结晶，因此
此类方法具有它自身的优势．当然，求解这在
ｆ．（厂ｘ（
４总结
）厂。（）一（ｆ２）Ｘ．
类问题时也要求求解者思维灵活而深刻，能
够深入地思考问题．
参考文献
当 ∈ ，），）Ｏ１，（）０１时，ｚ ∈［，），＜，（
ｆｘ）所以－）ｏ－ｏ）（。，厂在［，－ｏ为增函数．（＋
通过以上可以看出，利用 “ 型函数 ” 在原
［］人民教育出版社中学教学室．目制普通高级Ｊ全中学教科书（学）Ｍ］北京：民教育出版数［．人

高等数学中的基本初等函数

高等数学中的基本初等函数数学历来都是科学研究的主要工具，数学函数也可以将研究物理、化学、经济、工程等方面的问题分析和求解。

其中，初等数学函数又是数学函数中的重要内容。

初等数学函数是指由若干种变量的运算表达式组成的函数，它以常见的幂、对数、三角、双曲等函数体系为基础，经过一定变换形成了一个完整的函数系统。

这些函数在学科研究中都有广泛的应用。

初等数学函数是指一些基本的函数，如常见的幂函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。

常见的幂函数是指将变量x记作一个数字的函数，将x的数字改变乘以一个常数，并称之为幂函数。

例如，f(x)=x^2表示x的平方，f(x)=x^3表示x的立方。

对数函数是指将变量x记作一个数字的函数，将x的数字改变求以一个常数为底的对数，称之为对数函数。

例如，f(x)=log2x表示以2为底的x的对数，f(x)=logax表示以a为底的x的对数。

三角函数是由经典三角几何中的三角大小关系推出的函数，并在广泛的数学研究中得到了广泛的应用。

例如，sin(x)表示x弧度的正弦值，cos(x)表示x弧度的余弦值，tan(x)表示x弧度的正切值，cot(x)表示x弧度的余切值，sec(x)表示x弧度的正割值，和csc(x)表示x 弧度的余割值。

双曲函数是双曲线在数学研究中极为重要的初等函数，用以表示椭圆形、双曲线形势场和椎体形等几何体的曲率、旋转、延长等形态变化。

例如，sinh(x)表示x的双曲正弦值，cosh(x)表示x的双曲余弦值，tanh(x)表示x的双曲正切值，coth(x)表示x的双曲余切值，sech(x)表示x的双曲正割值，和csch(x)表示x的双曲余割值。

以上就是高等数学中的基本初等函数的简要介绍。

无论是在理论数学方面，还是在实际应用中，这些函数都可以说是研究高等数学的重要工具。

它们不仅可以解决各种实际问题，而且可以用来帮助人们深入理解数学课题，推动高等数学的发展。

因此，学习和掌握这些函数，对于高等数学学习者来说，十分重要和必要。

“化归法”在高等数学教学中的应用

“化归法”在高等数学教学中的应用“化归法”是高等数学教学中一种重要的方法，广泛应用于初等代数、数论、离散数学和计算机科学中。

它的基本思想是将目标问题转化为一个已知的问题，从而简化求解过程。

本文将从几个方面介绍“化归法”在高等数学教学中的应用。

初等代数是高等数学中最基础的学科之一，它主要研究代数式、方程、不等式等基本概念和基本方法。

在初等代数中，“化归法”主要应用于解方程和不等式。

例如，对于下面的方程：$$x^2+5x+6=0$$我们可以使用“化归法”将其转化为两个一次方程的和。

具体地，我们可以将上式变形为：然后我们就可以得到方程的解为$x=-3$或$x=-2$。

同样地，对于许多其他类型的代数问题，我们也可以使用类似的思路使用“化归法”对问题进行转化和简化。

$$\text{求出所有正整数解 }(x,y,z)\text{ 使得 }x^2+y^2+z^2=2xyz$$我们可以使用“化归法”将其转化为另一个方程。

首先，我们不妨假设$x,y,z$中至少有一个是奇数。

不失一般性，我们可以假设$x$是奇数。

然后我们将上式化归为：$$\frac{x^2-1}{2}+\frac{y^2-1}{2}+\frac{z^2-1}{2}=xyz$$这样，等式左边的三个分数分别为偶数，即分别可以写成$2a,2b,2c$的形式，其中$a,b,c$为整数。

于是我们得到：$$a+b+c=abc$$现在问题已经转化为了一个整数方程，我们可以使用一些数论方法求解。

例如，我们可以考虑使用Vieta定理或者整数分解来求解这个方程。

离散数学是一门关注离散结构和离散对象的学科，它的研究范围包括图论、组合数学、离散概率、离散算法等。

在离散数学中，“化归法”主要用于简化问题和证明问题。

例如，在图论中，“化归法”是一个重要的工具，可以用来证明和求解一些图论问题。

例如，对于下面的“The Eternal Question”问题：$$\text{对于三个走廊和两个相交点构成的平面图，求其色数。

初等函数在高等数学中的应用

初等函数在高等数学中的应用数学是一门广泛而深刻的学科，它始终在吸引着人们的兴趣和研究。

初等函数是我们在学习数学中最最基础的知识之一，但是它在高等数学中起着重要的作用。

在本文中，我们将会探讨初等函数在高等数学中的应用。

一.微积分中的初等函数微积分是数学中最基础的分支之一，也是我们在中学里最早接触到的高级数学知识。

在微积分中，初等函数被广泛应用于极限、导数、微分、积分等各个方面。

通过研究初等函数的性质和规律，我们可以更加深刻的理解这些概念的本质。

例如，在求导和积分的过程中，我们需要用到初等函数的求导和积分公式，这些公式成为我们进行微积分计算的基础。

二.常微分方程中的初等函数常微分方程是数学中一门非常重要的分支，它描述了一系列动态系统的变化过程。

在常微分方程中，我们会发现很多初等函数都会不免的被提及。

例如，指数函数、对数函数和三角函数等，可以用来描述振动、电路、机械等不同种类的系统。

三.复变函数中的初等函数复变函数是数学中的一门基础分支，研究复变函数理论对分析、几何、物理等科学与工程学科都有重要作用。

对于复变函数，初等函数同样是其中十分重要的一部分。

许多初等函数可以被拓展成为复数域内的整个函数，如指数函数、三角函数等。

我们可以利用初等函数的性质和拓展方法，来构造更为复杂且具有规律性的函数。

四.数值分析中的初等函数数值分析是数学中一门实用性极强的分支，它通过数值近似的方式计算数学问题的解。

在数值分析中，初等函数是我们用来构造数值逼近算法的基础。

例如，在牛顿切线法中，我们需要用到初等函数的求导公式，来逐步计算出算法的近似解。

总之，初等函数是数学中一个至关重要的概念。

它被广泛地应用于微积分、常微分方程、复变函数和数值分析等四个方面。

随着科学和技术的不断发展，初等函数的应用也将不断地拓展和深化。

应用高等数学观点求解初等数学问题实例

＋ｄ一１＋ｂ，ｄ— Ｏ１，立的充要条件为ｎ＋（）成。
ｃ一１，。ｄｂ＋一１＋ｃ一０２，ｄ（）
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齐次线性方程组，由题意知Ｔ，，ｎ，Ｐ不能同时为０ｚ，
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林木元认为：数学科学是一个不可分割的 “ 有机整体，的生命力正是在于各个部分的联它
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所以，一一１或２．。
系” ｎ高等数学和初等数学虽然是数学发展的不。同阶段，但它们之问有着本质的联系。高等数学用
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则要证明原题结论成立只要证明ＣＣ一ＥＶ） — Ｅ，然成立。：ＣＣ显
们加深对问题本质的理解。

初等数学与高等数学教学衔接问题的研究

初等数学与高等数学教学衔接问题的研究一、概述初等数学与高等数学教学衔接问题一直是数学教育领域关注的重点。

初等数学作为基础教育阶段的重要内容，旨在培养学生的基本数学素养和逻辑思维能力而高等数学则更加注重理论深度和抽象性，是培养学生创新能力和解决实际问题能力的重要途径。

两者在教学目标、教学内容和教学方法等方面存在明显的差异，因此如何实现两者之间的有效衔接，是数学教育面临的重要课题。

初等数学与高等数学教学衔接问题的研究，对于提高数学教学质量具有重要意义。

通过深入分析两者的教学内容和方法，可以发现其中存在的衔接难点和断点，进而提出针对性的改进措施，使数学教学更加连贯、系统。

研究初等数学与高等数学教学衔接问题，有助于培养学生的数学素养和综合能力。

通过优化衔接环节，可以使学生更好地理解和掌握数学知识，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，进而培养他们的创新精神和综合素质。

初等数学与高等数学教学衔接问题的研究也是推动数学教育改革的重要动力。

通过对衔接问题的深入探讨，可以发现现有数学教育体系中存在的不足和缺陷，为数学教育改革提供有益的参考和借鉴。

初等数学与高等数学教学衔接问题的研究具有重要的理论和实践价值，对于提高数学教学质量、培养学生的数学素养和推动数学教育改革都具有重要的意义。

我们应该加强对这一问题的研究，为数学教育的持续发展提供有力的支持。

1. 初等数学与高等数学在教学体系中的地位与作用初等数学与高等数学作为数学教育的两个重要阶段，各自在教学体系中占据着独特的地位，并发挥着不可替代的作用。

初等数学，作为数学教育的基础阶段，其主要目标是培养学生的基本数学素养和计算能力。

它涵盖了算术、代数、几何、概率统计等基础知识，这些知识不仅是学生日常生活和进一步学习的基础，也是他们逻辑思维和问题解决能力的重要组成部分。

初等数学的教学注重直观性、具体性和实用性，旨在激发学生的学习兴趣和积极性，为后续的高等数学学习打下坚实的基础。

应用高等数学观点求解初等数学问题实例

应用高等数学观点求解初等数学问题实例高等数学作为一门数学学科，可以帮助我们更深入地理解初等数学中的一些概念，同时也能为我们解决初等数学中一些看似棘手的问题提供有力的帮助。

下面，我将通过几个实例来说明如何应用高等数学观点求解初等数学问题。

一、利用导数解决极值问题在初等数学中，我们常常需要求解一些函数的最大值或最小值，这些问题被称为极值问题。

如果函数是一个简单的多项式函数，我们可以直接求出函数的导数，并通过求解导数的根来确定函数的极值点。

例如，我们要求解函数$f(x)=2x^{3}-3x^{2}$在区间$[0,1]$上的最大值，可以这样做：首先，求出$f(x)$的导数：$f'(x)=6x^{2}-6x$然后，我们将导数等于零，得到$6x^{2}-6x=0$解方程得到$x=0$或$x=1$。

此时，我们将$x=0$和$x=1$代入原函数，得到$f(0)=0$，$f(1)=-1$。

因此，最大值为$f(0)=0$，最小值为$f(1)=-1$。

二、利用微积分求解面积和体积问题面积和体积问题是初等数学中常见的一类问题。

例如，我们要求解一个具有半径$r$的球体的体积，可以直接应用球体的体积公式$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$来计算。

然而，如果我们要求解一个复杂的几何图形的体积或面积，就需要运用微积分的知识来求解。

例如，我们要求解图形$y=x^{2}$从$x=0$到$x=1$所围成的曲边梯形的面积，可以这样做：我们将曲边梯形分成无数个矩形，每个矩形的宽度为一个极小的数$\Delta x$。

然后，我们用矩形的面积公式$A=\Delta x \cdot y$来计算每个矩形的面积。

最后，我们将所有矩形的面积加起来，得到曲边梯形的面积：$A=\sum_{i=1}^{n}(\Delta x \cdot y_{i})$当$\Delta x$极小的时候，上式可以表示为积分的形式：$A=\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}$类似地，我们还可以利用微积分来求解球体的表面积以及其他形状的体积和面积问题，方法也大致相同。