数字信号处理课件Chpt04(1)
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《数字信号处理教程》课件
数字信号处理教程
欢迎来到《数字信号处理教程》PPT课件！本教程将介绍数字信号处理的基本 概念、采样与量化、时域和频域的分析方法等内容，让您全面了解这一重要 领域。
信号处理的基本概念
了解什么是信号和信号处理，掌握信号的基本性质和特点，以及信号处理的 应用领域。
采样与量化
学习信号的。
时域和频域的分析方法
探索时域和频域的不同分析方法，如时域图像和频谱图的应用。
傅里叶级数和傅里叶变换
了解傅里叶级数和傅里叶变换的原理和应用，掌握频域分析的关键技术。
连续时间系统和离散时间系统
掌握连续时间系统和离散时间系统的基本概念和区别，以及它们在信号处理 中的作用。
差分方程和传输函数
学习差分方程和传输函数的概念和计算方法，掌握数字滤波器的设计和分析。
离散时间傅里叶变换
了解离散时间傅里叶变换的原理和应用，掌握时频分析和滤波器设计方法。
欢迎来到《数字信号处理教程》PPT课件！本教程将介绍数字信号处理的基本 概念、采样与量化、时域和频域的分析方法等内容，让您全面了解这一重要 领域。
信号处理的基本概念
了解什么是信号和信号处理，掌握信号的基本性质和特点，以及信号处理的 应用领域。
采样与量化
学习信号的。
时域和频域的分析方法
探索时域和频域的不同分析方法，如时域图像和频谱图的应用。
傅里叶级数和傅里叶变换
了解傅里叶级数和傅里叶变换的原理和应用，掌握频域分析的关键技术。
连续时间系统和离散时间系统
掌握连续时间系统和离散时间系统的基本概念和区别，以及它们在信号处理 中的作用。
差分方程和传输函数
学习差分方程和传输函数的概念和计算方法，掌握数字滤波器的设计和分析。
离散时间傅里叶变换
了解离散时间傅里叶变换的原理和应用，掌握时频分析和滤波器设计方法。
数字信号处理(第四版)第四章ppt
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems Outline Discrete-time system examples Classification of DT systems Impulse and step responses Time-domain characteristics of LTI Simple interconnection schemes
Process a given sequence, called the input system, to generate another sequence, called the output sequence, with more desirable properties or to extract certain information about the input signal. DT system is usually also called the digital filter
12
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.2 Classification of DT systems Stable system
A system is stable if and only if for every bounded input, the output is also bounded, called BIBO stable.
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (4) Linear Interpolator Linear factor-2 interpolator
数字信号处理基础-ppt课件信号分析与处理
3.a digital signal is said to lie in the time domain, its spectrum,which describes in frequency content,lies in the frequency domain.
4.filtering modified the spectrum of a signal by eliminating one or more frequency elements from it.
5.digital signal processing has many applications, including speech recognition,music and voice synthesis,image processing,cellular phones,modems,and audio and video compression.
2020/4/13
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第2章 模数转换和数模转换
2.1 简单的DSP系统(A Simple DSP System) 2.2 采样(Sampling) 2.3 量化(Quantization) 2.4 模数转换(Analog-to-Digital Conversion) 2.5 数模转换(Digital-to-Analog Conversion) 小结 (Chapter Summary)
2020/4/13
1.5 语音、音乐、图像及其他 1.5 SPEECH,MUSIC,IMAGES,AND MORE
DSP在许多领域都有惊人的应用，并且应用的数量与日俱增。
1）利用数字语音信号(speech signals)中的信息可以识别连续语 音中的大量词汇。
2）DSP在音乐和其他声音处理方面有着重要的作用。
4.filtering modified the spectrum of a signal by eliminating one or more frequency elements from it.
5.digital signal processing has many applications, including speech recognition,music and voice synthesis,image processing,cellular phones,modems,and audio and video compression.
2020/4/13
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第2章 模数转换和数模转换
2.1 简单的DSP系统(A Simple DSP System) 2.2 采样(Sampling) 2.3 量化(Quantization) 2.4 模数转换(Analog-to-Digital Conversion) 2.5 数模转换(Digital-to-Analog Conversion) 小结 (Chapter Summary)
2020/4/13
1.5 语音、音乐、图像及其他 1.5 SPEECH,MUSIC,IMAGES,AND MORE
DSP在许多领域都有惊人的应用，并且应用的数量与日俱增。
1）利用数字语音信号(speech signals)中的信息可以识别连续语 音中的大量词汇。
2）DSP在音乐和其他声音处理方面有着重要的作用。
数字信号处理ppt课件
23
三.自相关函数与 自协方差函数的性质
24
性质1 :相关函数与协方差函数的关系
Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
25
性质2：均方值、方差与相关函数和协方差函数
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
五、功率谱密度
44
维纳——辛钦定理
1． 复频域
rxx
(m)
1
2
j
c Sxx (z)zm1dz,
Sxx
(z)
m
rxx
(m)z
m
C (Rx , Rx )
45
2. 频域
{ rxx(m)
1
2
Pxx (e j )e jm d
2
Pxx (e j ) rxx (m)e jm
m
46
3．性质
实平稳随机信号 rxx m rxx m
rxx m E x x n1 n1m
x1x2 p x1 , x2 ; m dx1dx2
18
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
rxx m mx 2
19
对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
①偶函数
Pxx e j Pxx e j
②实函数
Pxx e j Pxx e j
③极点互为倒数出现
Sxx
z
Sxx
1 z
47
④功率谱在单位圆上的积分等于平均功率
E
x2
三.自相关函数与 自协方差函数的性质
24
性质1 :相关函数与协方差函数的关系
Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
25
性质2：均方值、方差与相关函数和协方差函数
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
五、功率谱密度
44
维纳——辛钦定理
1． 复频域
rxx
(m)
1
2
j
c Sxx (z)zm1dz,
Sxx
(z)
m
rxx
(m)z
m
C (Rx , Rx )
45
2. 频域
{ rxx(m)
1
2
Pxx (e j )e jm d
2
Pxx (e j ) rxx (m)e jm
m
46
3．性质
实平稳随机信号 rxx m rxx m
rxx m E x x n1 n1m
x1x2 p x1 , x2 ; m dx1dx2
18
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
rxx m mx 2
19
对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
①偶函数
Pxx e j Pxx e j
②实函数
Pxx e j Pxx e j
③极点互为倒数出现
Sxx
z
Sxx
1 z
47
④功率谱在单位圆上的积分等于平均功率
E
x2
《数字信号处理原理》课件
数字信号处理可用于医学图像处理、心电图 分析、脑电图分析等。
数字信号的采集与量化
数字信号处理的第一步是对连续信号进行采样和量化。采样将连续信号转换 为离散信号，而量化则将信号的幅值量化为离散数值。
数字信号处理傅里叶级数和傅里叶变换将 信号分解为频域成分，用于 频谱分析和滤波。
带阻滤波器阻止一定范围内的频率信号通过， 而允许其他频率信号通过。
FIR滤波器和IIR滤波器的区别
FIR滤波器（有限脉冲响应滤波器）和IIR滤波器（无限脉冲响应滤波器）是两 种常见的数字滤波器类型。它们在设计和性能上有所不同，适用于不同的应 用场景。
互相关和自相关分析
互相关和自相关分析是数字信号处理中常用的分析方法。互相关用于信号的 相似性比较，自相关用于信号的周期性分析。
卷积
卷积是数字信号处理中常见 的运算，可以用于信号滤波、 系统响应等方面。
离散时间系统
离散时间系统是数字信号处 理的基本模型，用于描述信 号处理系统的特性。
时域分析与频域分析
时域分析关注信号随时间的变化，频域分析关注信号在频率上的特征。通过 这两种分析方法，可以深入了解信号的属性和特性。
傅里叶变换及其应用
信号去噪
信号去噪是数字信号处理中的重要任务。通过滤波和降噪算法，可以有效地去除信号中的噪声，提升信号的质 量和可靠性。
信号增强
信号增强是数字信号处理的一项重要任务。通过滤波、增益调整等方法，可以增强信号的强度、清晰度和可感 知性。
信号压缩
信号压缩是数字信号处理中的重要技术。通过压缩算法和编码技术，可以减 少信号的存储空间和传输带宽，实现高效的信号处理和传输。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。它在数字信号处理 中广泛应用于频谱分析、滤波、压缩等领域，为信号处理提供了强大的工具。
数字信号的采集与量化
数字信号处理的第一步是对连续信号进行采样和量化。采样将连续信号转换 为离散信号，而量化则将信号的幅值量化为离散数值。
数字信号处理傅里叶级数和傅里叶变换将 信号分解为频域成分，用于 频谱分析和滤波。
带阻滤波器阻止一定范围内的频率信号通过， 而允许其他频率信号通过。
FIR滤波器和IIR滤波器的区别
FIR滤波器（有限脉冲响应滤波器）和IIR滤波器（无限脉冲响应滤波器）是两 种常见的数字滤波器类型。它们在设计和性能上有所不同，适用于不同的应 用场景。
互相关和自相关分析
互相关和自相关分析是数字信号处理中常用的分析方法。互相关用于信号的 相似性比较，自相关用于信号的周期性分析。
卷积
卷积是数字信号处理中常见 的运算，可以用于信号滤波、 系统响应等方面。
离散时间系统
离散时间系统是数字信号处 理的基本模型，用于描述信 号处理系统的特性。
时域分析与频域分析
时域分析关注信号随时间的变化，频域分析关注信号在频率上的特征。通过 这两种分析方法，可以深入了解信号的属性和特性。
傅里叶变换及其应用
信号去噪
信号去噪是数字信号处理中的重要任务。通过滤波和降噪算法，可以有效地去除信号中的噪声，提升信号的质 量和可靠性。
信号增强
信号增强是数字信号处理的一项重要任务。通过滤波、增益调整等方法，可以增强信号的强度、清晰度和可感 知性。
信号压缩
信号压缩是数字信号处理中的重要技术。通过压缩算法和编码技术，可以减 少信号的存储空间和传输带宽，实现高效的信号处理和传输。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。它在数字信号处理 中广泛应用于频谱分析、滤波、压缩等领域，为信号处理提供了强大的工具。
《数字信号处理讲》课件
3
算法优化
FFTW等库提供了优化的FFT算法实现，提高了计算速度和效率。
频域分析方法
频谱分析
频谱分析是对信号的频域特性进行分析，可用于频率成分提取、噪声分析等。
滤波器设计
通过频域分析方法可以设计数字滤波器，实现信号的去噪、增强等处理。
频域采样
频域采样是一种通过对信号频谱的采样来实现快速分析和处理的方法。
噪声
噪声是信号处理中的随机干扰， 会影响信号质量和处理结果。
信噪比
信噪比是衡量信号与噪声强度之 间关系的指标，较高的信噪比表 示较好的信号质量。
噪声降低
噪声降低技术可用于减少噪声对 信号处理结果的影响，提高信号 质量。
数字信号处理应用
1 语音处理
通过数字信号处理技术可以实现语音合成、语音识别、语音增强等应用。
பைடு நூலகம்2 图像处理
数字信号处理在图像处理中可以进行图像增强、边缘检测、目标识别等。
3 音频处理
音频处理包括音频编码、音频特效处理、音频识别等多个方面的应用。
时域分析方法
1
时域信号表示
时域分析是对信号在时间上的变化进行分析，并用时域表示方法进行描述。
2
自相关函数
自相关函数衡量信号的相似性和周期性，可以用于信号的频率分析和滤波。
3
卷积
卷积是时域分析中常用的运算，可以用于信号的滤波、系统响应分析等。
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换
傅里叶变换将信号从时域变换到 频域，可用于频域分析和滤波。
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换是有限长序列的 傅里叶变换，用于处理离散信号 的频谱分析。
DFT的应用
DFT广泛应用于图像处理、音频 编码、通信系统等领域。
《数字信号处理基础》课件
信号压缩等。
Z变换
Z变换的定义
Z变换是一种将离散时间信号转换为复数域信号的方法，通过将离 散时间信号转换为复数域中的函数，可以更好地分析信号的特性。
Z变换的性质
Z变换具有线性、时移、频域平移、复共轭等性质，这些性质在信 号处理中有着广泛的应用。
Z变换的应用
Z变换在信号处理中有着广泛的应用，如离散控制系统分析、数字滤 波器设计等。
自适应滤波器应用场景
广泛应用于噪声消除、回声消除、信 号预测等领域。
05 数字信号处理应用
音频处理
音频压缩
通过降低音频数据的冗余度，实 现音频文件的压缩，便于存储和
传输。
音频增强
利用数字信号处理技术，改善音频 质量，如降低噪音、增强语音等。
音频分析
对音频信号进行特征提取和分类， 用于语音识别、音乐信息检索等领 域。
IIR滤波器应用场景
广泛应用于语音处理、图像处理等领 域。
FIR滤波器设计
FIR滤波器定义
FIR滤波器特点
FIR滤波器，即有限冲激响应滤波器，是一 种离散时间滤波器，其冲激响应有限长。
FIR滤波器具有线性相位、设计灵活、计算 量大等特性。
FIR滤波器设计方法
FIR滤波器应用场景
通过窗函数法、频率采样法等进行设计， 常用的设计方法有汉明窗法、凯泽窗法等 。
课程目标
掌握数字信号处理的基本概念、原理和方法。
学会使用数字信号处理软件进行信号处理和分析 。
了解数字信号处理在通信、图像处理、音频处理 等领域的应用。
02 基础知识
信号与系统
信号定义与分类
信号是信息传输的载体，可以是离散 的或连续的，也可以是时间的函数。 信号分类包括周期信号、非周期信号 、确定信号、随机信号等。
数字信号处理PPT课件
可见：
N DFT
由(4-7)式
N DFT 2 N DFT 2
N DFT ?
X1(k)
X 2(k)
0 k N 1 2
X (k) , 0 k N 1 2
问题： N k N 1时，X (k) ？ 2
第四章 快速傅里叶变换
§4-3 按时间抽取(DIT)的FFT算法(Cooley-Tukey算法)
利用
W
rk N
的周期性，
WNrk
r( N k)
WN 2
X1(k
2
N 2
)
N 1 2
2 r( N k)
x1(r)WN 2
r 0
2
2
N 1 2
x1(r)WNrk
r 0
X1(k) ,
2
0 k N 1 2
同理有，
N
X2(k 2 ) X2(k) ,
0 k N 1 2
可见，
N DFT 2
N DFT
N DFT 2
N DFT
第四章 快速傅里叶变换
§4-3 按时间抽取(DIT)的FFT算法(Cooley-Tukey算法)
上述运算可用下列蝶形信号流图表示:
X1(k) X1(k)
WNk
运算符
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
X
FFT 基 - 2 FFT /即N为2的整数幂的FFT
由FFT的定义:
N 1
X(k) x(n)WNkn n0
N x(n)
DFT ?
k 0,1,,N 1 (4- 4)
N 2
《数字信号处理》课件
05
数字信号处理中的窗函 数
窗函数概述
窗函数定义
窗函数是一种在一定时间 范围内取值的函数，其取 值范围通常在0到1之间。
窗函数作用
在数字信号处理中，窗函 数常被用于截取信号的某 一部分，以便于分析信号 的局部特性。
窗函数特点
窗函数具有紧支撑性，即 其取值范围有限，且在时 间轴上覆盖整个分析区间 。
离散信号与系统
离散信号的定义与表示
离散信号是时间或空间上取值离散的信号，通常用序列表示。
离散系统的定义与分类
离散系统是指系统中的状态变量或输出变量在离散时间点上变化的 系统，分类包括线性时不变系统和线性时变系统等。
离散系统的描述方法
离散系统可以用差分方程、状态方程、传递函数等数学模型进行描 述。
Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）
1 2 3
Z变换的定义与性质
Z变换是离散信号的一种数学处理方法，通过对 序列进行数学变换，可以分析信号的频域特性。
DTFT的定义与性质
DTFT是离散时间信号的频域表示，通过DTFT可 以分析信号的频域特性，了解信号在不同频率下 的表现。
Z变换与DTFT的关系
Z变换和DTFT在某些情况下可以相互转换，它们 在分析离散信号的频域特性方面具有重要作用。
窗函数的类型与性质
矩形窗
矩形窗在时间轴上均匀取值，频域表现为 sinc函数。
汉宁窗
汉宁窗在时间轴上呈锯齿波形状，频域表现 为双曲线函数。
高斯窗
高斯窗在时间轴上呈高斯分布，频域表现为 高斯函数。
海明窗
海明窗在时间轴上呈三角波形状，频域表现 为三角函数。
窗函数在数字信号处理中的应用
信号截断
通过使用窗函数对信号进行截 断，可以分析信号的局部特性
数字信号处理 课件
数字信号处理课件
数字信号处理是一门涉及数字信号的获取、处理和分析的学科。
在数字信号处理课程中，学生将学习关于数字信号的基本概念、数
字滤波器设计、频域分析、采样定理、离散傅立叶变换等内容。
课
程通常涵盖了以下主题：
1. 数字信号和系统基础知识，包括离散时间信号和系统的表示、采样和量化、离散时间信号的运算等。
2. 离散时间信号分析，学习离散时间信号的性质、离散时间系
统的性能分析等。
3. 离散傅立叶变换（DFT），理解DFT的定义、性质和应用，
包括快速傅立叶变换（FFT）算法。
4. 数字滤波器设计，包括有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限
脉冲响应（IIR）滤波器的设计原理和方法。
5. 频域分析，学习数字信号在频域中的表示和分析方法，如功
率谱密度估计等。
6. 采样定理，理解采样定理的原理和应用，以及采样率对信号
重构的影响。
在数字信号处理课程中，学生通常会接触到一些常见的工具和
软件，如MATLAB、Python等，用于进行数字信号处理的仿真和实验。
此外，课程还可能涉及到一些现实生活中的应用案例，如音频处理、图像处理等，以便帮助学生更好地理解数字信号处理的实际应用。
总的来说，数字信号处理课程涵盖了广泛的知识领域，从基本
概念到实际应用，学生将会系统地学习数字信号处理的理论和方法，为日后的工程实践打下坚实的基础。
数字信号处理--数字信号处理(4)幻灯片PPT
y) 1
（1） 试判断该系统是否为非移变系统？是否为线性系统？
（2） 若其他条件不变，但 y(0) 0 ，系统的非移变性和线性性是否会改变？
本章主要内容：
统
1、连续信号的采样与恢复：信号的采样和数学模型；采样信号的频域表示； 采样定理；采样信号到连续信号的恢复。
2、离散时间序列：离散时间信号的序列表示；序列的运算规则；几种常用序 列；离散序列的线性卷积的定义和性质；线性卷积的计算方法。
3、离散系统及其特性：离散时间系统定义和数学描述；线性非时变离散系统 的定义； LTI系统的冲击响应序列； LTI系统的稳定性和因果性； LTI系统的 差分方程描述。
2021/5/25
课件
3
本章主要要求掌握的内容：
本章介绍了数字信号处理的一些基本定义和数学方法。 1、数字信号的序列表示和数学运算。 2、数字信号与连续信号的关系——采样定理的物理意义和数学描述。 3、LTI系统的时域描述、频域描述和Z域描述。（输入、输出信号之间的关系 ） 4、Z变换数学工具的使用：序列的Z变换及其收敛域的计算 ；用Z变换计算 系统函数，分析LTI系统的特性。
2021/5/25
课件
5
第 4 章快速傅氏变换
本章主要内容： 1、FFT计算原理。 2、基2时间抽取算法和频率抽取算法。 3、线性调频Z变换算法。 4、实数序列的FFT高效算法。 5、FFT的应用。
本章主要要求掌握的内容：
1、FFT的计算方法。 2、FFT应用于频谱分析和快速卷积。
2021/5/25
本章主要要求掌握的内容：
1、理想滤波器的特性和连续函数逼近方法。 2、 IIR滤波器的予畸双线性变换设计法。 3、 IIR数字滤波器变换算法。
相关主题
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n + 1) and H (k ) = DFT4 [h(n )] = ∑ h(n )W4nk
n =0
3
This can be illustrated by the following figure:
G(0) G(1) G(2) G(3) H(0) H(1) H(2) H(3)
X (k ) = DFT8 [x(n )] = ∑ x(n )W8nk = ∑ x(2 n )W82 nk + ∑ x(2 n + 1)W8(2 n +1)k
n =0 n =0 n =0 7 3 3
= ∑ x(2 n )W4nk + W8k ∑ x(2 n + 1)W4nk = ∑ g (n )W4nk + W8k ∑ h(n )W4nk
n =0 n =0 n =0 n =0
3
3
3
3
G (k ) + W8k H (k ) k = 0 ,1,2 ,3 = G ((k )4 ) + W H ((k )4 ) = k −4 G (k − 4 ) − W8 H (k − 4 ) k = 4 ,5 ,6 ,7
k 8
where
g (n ) = x(2 n ) and G (k ) = DFT4 [g (n )] = ∑ g (n )W4nk
X(2) X(3)
W W
0 8
X(4) X(5) X(6) X(7)
1 8 2 8
W40
1 W4
W
W83
From the above example we may conclude that (1) The sequence x(n ) must be first rearranged in bit-reversed order. (2) A N-point DFT, where N = 2 m , is implemented through m stages of computation, each has its own input and output. The output from a certain stage is the input to the next stage. It is clear that the input to the first stage is x(n ) , but the order of its indices has been bit-reversed, and the output from the last stage is nothing but the DFT of x(n ) . (3) In the p-th stage of computation , where 1 ≤ p ≤ m , the elements of the input sequence are arranged into
Furthermore, a 4-point DFT can be also decomposed into two 2-point DFTs in the same way. In fact,
G (k ) = DFT4 [g (n )] = ∑ g (n )W4nk = ∑ g (2 n )W42 nk + ∑ g (2 n + 1)W4(2 n +1)k
X(0) X(1) X(2) X(3)
W W
0 8
X(4) X(5) X(6) X(7)
1 8 2 8
W W
3 8
where the cross pattern means the butterfly computation:
A A+B
2 / 14
B
A-B
The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm (11/3/09)
The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm (11/3/09) Digital Signal Processing (4-1)
The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm
The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm ....................................................................... 1 1. Examples .......................................................................................................................... 2 2. The Principle of the Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm ................................. 6 2.1. Principle ................................................................................................................ 6 2.2. Algorithm .............................................................................................................. 7 3. The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm ........................................................... 8 3.1 The Bit-Reversed Algorithm .................................................................................. 8 3.2 The Main Block Diagram....................................................................................... 8 3.3 The Algorithm for computation of X p (k ) ............................................................ 8 4. The Applications of FFT Algorithm............................................................................... 10 4.1. IFFT Algorithm ................................................................................................... 10 4.2. The 2-Dimentional FFT Algorithm ..................................................................... 10 4.3. The 2-Dimentional IFFT Algorithm .................................................................... 10 Appendix: Source Programs .............................................................................................. 12
where G1 (k ) = DFT2 [g (2 n )] = ∑ g (2 n )W2nk = g (0 ) + W2k g (2 )
n =0
1
1
G2 (k ) = DFT2 [g (2 n + 1)] = ∑ g (2 n + 1)W2nk = g (1) + W2k g (3 )
n =0
Similarly
H (k ) = DFT4 [h(n )] = ∑ h(n )W4nk = ∑ h(2 n )W42 nk + ∑ h(2 n + 1)W4(2 n +1)k
n =0 n =0 n =0 4 1 1
= ∑ h(2 n )W2nk + W4k ∑ h(2 n + 1)W2nk = H 1 ((k )2 ) + W4k H 2 ((k )2 )
n =0 n =0 n =0 4 1 1
= ∑ g (2 n )W2nk + W4k ∑ g (2 n + 1)W2nk = G1 ((k )2 ) + W4k G2 ((k )2 )
n =0 n =0
1
1
G1 (k ) + W4k G2 (k ) k = 0 ,1 = k −2 G1 (k − 2 ) − W4 G2 (k − 2 ) k = 2 ,3
n =0 1
H 2 (k ) = DFT2 [h(2 n + 1)] = ∑ h(2 n + 1)W2nk = h(1) + W2k h(3 )
n =0
1
Thus, the above 8-point DFT can be illustrated by the following figure:
3 / 14
N groups, each consists of 2 p elements p 2
n =0
3
This can be illustrated by the following figure:
G(0) G(1) G(2) G(3) H(0) H(1) H(2) H(3)
X (k ) = DFT8 [x(n )] = ∑ x(n )W8nk = ∑ x(2 n )W82 nk + ∑ x(2 n + 1)W8(2 n +1)k
n =0 n =0 n =0 7 3 3
= ∑ x(2 n )W4nk + W8k ∑ x(2 n + 1)W4nk = ∑ g (n )W4nk + W8k ∑ h(n )W4nk
n =0 n =0 n =0 n =0
3
3
3
3
G (k ) + W8k H (k ) k = 0 ,1,2 ,3 = G ((k )4 ) + W H ((k )4 ) = k −4 G (k − 4 ) − W8 H (k − 4 ) k = 4 ,5 ,6 ,7
k 8
where
g (n ) = x(2 n ) and G (k ) = DFT4 [g (n )] = ∑ g (n )W4nk
X(2) X(3)
W W
0 8
X(4) X(5) X(6) X(7)
1 8 2 8
W40
1 W4
W
W83
From the above example we may conclude that (1) The sequence x(n ) must be first rearranged in bit-reversed order. (2) A N-point DFT, where N = 2 m , is implemented through m stages of computation, each has its own input and output. The output from a certain stage is the input to the next stage. It is clear that the input to the first stage is x(n ) , but the order of its indices has been bit-reversed, and the output from the last stage is nothing but the DFT of x(n ) . (3) In the p-th stage of computation , where 1 ≤ p ≤ m , the elements of the input sequence are arranged into
Furthermore, a 4-point DFT can be also decomposed into two 2-point DFTs in the same way. In fact,
G (k ) = DFT4 [g (n )] = ∑ g (n )W4nk = ∑ g (2 n )W42 nk + ∑ g (2 n + 1)W4(2 n +1)k
X(0) X(1) X(2) X(3)
W W
0 8
X(4) X(5) X(6) X(7)
1 8 2 8
W W
3 8
where the cross pattern means the butterfly computation:
A A+B
2 / 14
B
A-B
The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm (11/3/09)
The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm (11/3/09) Digital Signal Processing (4-1)
The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm
The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm ....................................................................... 1 1. Examples .......................................................................................................................... 2 2. The Principle of the Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm ................................. 6 2.1. Principle ................................................................................................................ 6 2.2. Algorithm .............................................................................................................. 7 3. The Radix 2 Decimation-In-Time FFT Algorithm ........................................................... 8 3.1 The Bit-Reversed Algorithm .................................................................................. 8 3.2 The Main Block Diagram....................................................................................... 8 3.3 The Algorithm for computation of X p (k ) ............................................................ 8 4. The Applications of FFT Algorithm............................................................................... 10 4.1. IFFT Algorithm ................................................................................................... 10 4.2. The 2-Dimentional FFT Algorithm ..................................................................... 10 4.3. The 2-Dimentional IFFT Algorithm .................................................................... 10 Appendix: Source Programs .............................................................................................. 12
where G1 (k ) = DFT2 [g (2 n )] = ∑ g (2 n )W2nk = g (0 ) + W2k g (2 )
n =0
1
1
G2 (k ) = DFT2 [g (2 n + 1)] = ∑ g (2 n + 1)W2nk = g (1) + W2k g (3 )
n =0
Similarly
H (k ) = DFT4 [h(n )] = ∑ h(n )W4nk = ∑ h(2 n )W42 nk + ∑ h(2 n + 1)W4(2 n +1)k
n =0 n =0 n =0 4 1 1
= ∑ h(2 n )W2nk + W4k ∑ h(2 n + 1)W2nk = H 1 ((k )2 ) + W4k H 2 ((k )2 )
n =0 n =0 n =0 4 1 1
= ∑ g (2 n )W2nk + W4k ∑ g (2 n + 1)W2nk = G1 ((k )2 ) + W4k G2 ((k )2 )
n =0 n =0
1
1
G1 (k ) + W4k G2 (k ) k = 0 ,1 = k −2 G1 (k − 2 ) − W4 G2 (k − 2 ) k = 2 ,3
n =0 1
H 2 (k ) = DFT2 [h(2 n + 1)] = ∑ h(2 n + 1)W2nk = h(1) + W2k h(3 )
n =0
1
Thus, the above 8-point DFT can be illustrated by the following figure:
3 / 14
N groups, each consists of 2 p elements p 2