2012静安一模数学理科答案

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2012年普通高等学校招生全国统一考试理数上海卷pdf版含答案

f (θ ) =
1
sin(
π 6
−θ
)
.
O
M
x
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是
2 3
（结果用最简分数表示）.
12．在平行四边形
ABCD
中，∠A=
π 3
,
边 AB、AD 的长分别为 2、1.
若 M、N 分别
是边 BC、CD 上的点，且满足 | BM | = | CN | ，则 AM ⋅ AN 的取值范围是 [2, 5] . | BC | | CD |
3．函数 f (x) = sin x
−1
的值域是 [−
5 2
,
−
3 2
]
.
4．若 n = (−2, 1) 是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反
三角
函数值表示）.
5．在 (x − 2 )6 的二项展开式中，常数项等于 -160 . x
6．有一列正方体，棱长组成以
A
设 AE 与 BC 的夹角为，则
cosθ = AE⋅BC = 4 = | AE||BC| 2×2 2
2 2
，=
π 4
.
B x
由此可知，异面直线
BC
与
AE
所成的角的大小是
π 4
[解法二]取 PB 中点 F，连接 EF、AF，则
P
EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线
E Dy
C ……12 分
BC 与 AE 所成的角
ξ 概率均为 0.2，随机变量
2 取值
x1 + x2 2

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,含答案)

2
2
2
2
2
为 1、 2 的方差，则（
）
A． D 1 D 2
B
．D 1 D 2
C． D 1 D 2
D
． D 1 与 D 2的大小关系与 x1、 x2、 x 3、 x4 的取值有关
【答案】 A
18．设 an
1n sin ， Sn
n 25
a1 a 2
a n ，在 S1 , S2 , , S100 中，正数的个数是（
.
【答案】 1
10．如图，在极坐标系中，过点 M ( 2,0) 的直线 l 与极轴的夹角
若将 l 的极坐标方程写成
f ( ) 的形式，则 f ( )
.
，
6
1
【答案】
sin( ) 6
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项
目完全相同的概率是
（结果用最简分数表示） .
2012 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（上海卷，含答案）
一．填空题
1．计算：
3-i =
1+i
【答案】 1-2i
（ i 为虚数单位） .
2．若集合 A { x | 2x 1 0} ， B { x || x 1| 2} ，则 A B
.
【答案】
1 ,3
2
2 cos x
3．函数 f (x)
的值域是
c2
1
3
二、选择题（ 20 分）
15．若 1 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 bx c 0 的一个复数根，则（
）
A． b 2,c 3 B ． b 2,c 3 C ． b 2,c 1 D ． b 2, c 1

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)

上海数学(理工农医类)1.(2012上海,理1)计算:3i 1i-+= (i 为虚数单位).1-2i 3i 1i -+=(3i)(1i)(1i)(1i)--+-=233i i i 2--+=1-2i .2.(2012上海,理2)若集合A ={x |2x +1>0},B ={x ||x -1|<2},则A ∩B = .1|x 32x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ A ={x |2x +1>0}=1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭,B ={x ||x -1|<2}={x |-1<x <3},∴A ∩B =1|x 32x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 3.(2012上海,理3)函数f (x )=2sin 1cosx x - 的值域是 .53,-22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ f (x )=2×(-1)-sin x cos x =-2-sin22x ,∵sin 2x ∈[-1,1],∴f (x )∈53,-22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4.(2012上海,理4)若n =(-2,1)是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).arctan 2 ∵n =(-2,1)是直线l 的一个法向量,∴v =(1,2)是直线l 的一个方向向量,∴l 的斜率为2,即倾斜角的大小为arctan 2.5.(2012上海,理5)在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项等于 .-160 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为36C ·(x )3·32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-160. 6.(2012上海,理6)有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…,则lim n →∞(V 1+V 2+…+V n )= .87 棱长是以1为首项、12为公比的等比数列,则体积V 1,V 2,…,V n是以1为首项、18为公比的等比数列,所以V 1+V 2+…+V n =111818n ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=87·118n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, ∴lim n →∞(V 1+V 2+…+V n )=87. 7.(2012上海,理7)已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数),若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是 .(-∞,1] f (x )=e ,x a,e ,x a,x a a x--⎧>⎨<⎩当x >a 时f (x )单调递增,当x <a 时,f (x )单调递减,又f (x )在[1,+∞)上是增函数,所以a ≤1. 8.(2012上海,理8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为.如图,由题意知12πl 2=2π, ∴l =2.又展开图为半圆,∴πl =2πr ,∴r =1,体积V =13πr 2h9.(2012上海,理9)已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1.若g (x )=f (x )+2,则g (-1)= . -1 令H (x )=f (x )+x 2,则H (1)+H (-1)=f (-1)+1+f (1)+1=0,∴f (-1)=-3,∴g (-1)=f (-1)+2=-1.10.(2012上海,理10)如图,在极坐标系中,过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α=π6.若将l 的极坐标方程写成ρ=f (θ)的形式,则f (θ)=.1πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭ 如图所示,根据正弦定理,有5πsin 6ρ=25πsin π6θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴ρ=1πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭.11.(2012上海,理11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).23若每人都选择两个项目,共有不同的选法222333C C C =27种,而有两人选择的项目完全相同的选法有222332C C A =18种,故填23.12.(2012上海,理12)在平行四边形ABCD 中,∠A =π3,边AB ,AD 的长分别为2,1.若M ,N 分别是边BC ,CD 上的点,且满足||||BM BC =||||CN CD ,则AM ·AN 的取值范围是 . [2,5] 如图,设||||BM BC =||||CN CD =λ, 则λ∈[0,1],AM ·AN =(AB +BM )·(AD +DN )=(AB +λBC )·(AD +(λ-1)CD )=AB·AD +(λ-1)AB ·CD +λBC ·AD +λ(λ-1)BC ·CD=1×2×12+(λ-1)×(-4)+λ×1+λ(λ-1)×(-1)=1+4-4λ+λ-λ2+λ=-(λ+1)2+6.∵λ∈[0,1],∴AM ·AN∈[2,5].13.(2012上海,理13)已知函数y =f (x )的图像是折线段ABC ,其中A (0,0),B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭,C (1,0).函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为 .54由题意f (x )=110,0,211010,x 1,2x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )=22110,0x ,211010x,x 1.2x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为12⎰10x 2d x +112⎰(-10x 2+10x )d x =103x 3120|+23112105|3x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=103×18+1053⎛⎫- ⎪⎝⎭-5101438⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=54.14.(2012上海,理14)如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC =2.若AD =2c ,且AB +BD =AC +CD =2a ,其中a ,c 为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.23如图: 当AB =BD =AC =CD =a 时, 该棱锥的体积最大. 作AM ⊥BC ,连接DM ,则BC ⊥平面ADM ,AMDM 又AD =2c ,∴S△ADM =∴V D -ABC =V B -ADM +V C-ADM =2315.(2012上海,理15)若1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根,则( ). A .b =2,c =3 B .b =-2,c =3 C .b =-2,c =-1D .b =2,c =-1B 由题意知b 2-4c <0,则该方程的复数根为=1.∴b =-2,c =3.16.(2012上海,理16)在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是( ). A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定 C 由正弦定理可知a 2+b 2<c 2,从而cos C =2222a b c ab+-<0,∴C 为钝角,故该三角形为钝角三角形.17.(2012上海,理17)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104,x 5=105.随机变量ξ1取值x 1,x 2,x 3,x 4,x 5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值122x x +,232x x +,342x x +,452x x +,512x x +的概率也均为0.2.若记D ξ1,D ξ2分别为ξ1,ξ2的方差,则( ).A .D ξ1>D ξ2B .D ξ1=D ξ2C .D ξ1<D ξ2D .D ξ1与D ξ2的大小关系与x 1,x 2,x 3,x 4的取值有关A18.(2012上海,理18)设a n =1n sin π25n ,S n =a 1+a 2+…+a n .在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( ). A .25B .50C .75D .100D ∵a n =1n sin 25n π,∴当n ≤24时,a n 均大于0,a 25=0, ∴可知S 1,S 2,…,S 25均大于0.又a 26=126sin 2625π=-126sin π25=-126a 1,∴S 26=2526a 1+a 2+…+a 25>0,而a 27=127sin 2725π=-127sin 225π=-227a 2,∴a 27+a 2>0.同理可得a 28+a 3>0,…,a 49+a 24>0,而a 51到a 74均为正项,a 75=0,a 76到a 99均为负项,且|a 76|<a 51,|a 77|<a 52,…,|a 99|<a 74,a 100=0, 故{S n }中前100项均为正数.19.(2012上海,理19)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB =2,AD =PA =2.求: (1)三角形PCD 的面积;(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 解:(1)因为PA ⊥底面ABCD ,所以PA ⊥CD .又AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面PAD .从而CD ⊥PD .因为PDCD =2, 所以三角形PCD 的面积为12×2×(2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则B (2,0,0),C (2,0),E (11). AE =(11),BC =(0,0). 设AE 与BC 的夹角为θ,则cos θ=·||||AE BC AE BCθ=π4.由此知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.解法二:取PB 中点F ,连接EF ,AF,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角. 在△AEF 中,由EFAFAE =2, 知△AEF 是等腰直角三角形. 所以∠AEF =π4.因此,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.20.(2012上海,理20)已知函数f (x )=lg (x +1). (1)若0<f (1-2x )-f (x )<1,求x 的取值范围;(2)若g (x )是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,有g (x )=f (x ),求函数y =g (x )(x ∈[1,2])的反函数.解:(1)由220,10x x ->⎧⎨+>⎩得-1<x <1.由0<lg (2-2x )-lg (x +1)=lg 221x x -+<1,得1<221x x -+<10.因为x +1>0,所以x +1<2-2x <10x +10,-23<x <13.由11,21x 33x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得-23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg (3-x ). 由单调性可得y ∈[0,lg 2].因为x =3-10y ,所以所求反函数是y =3-10x ,x ∈[0,lg 2].21.(2012上海,理21)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y =1249x 2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t =0.5时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?解:(1)t =0.5时,P 的横坐标x P =7t =72,代入抛物线方程y =1249x 2,得P 的纵坐标y P =3.由|AP/时.由tan ∠OAP =730,得∠OAP =arctan 730,故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度.(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为(7t ,12t 2). 由vt整理得v 2=144221t t ⎛⎫+⎪⎝⎭+337. 因为t 2+21t ≥2,当且仅当t =1时等号成立.所以v 2≥144×2+337=252,即v ≥25.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22.(2012上海,理22)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 1:2x 2-y 2=1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ,Q 两点.若l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ ;(3)设椭圆C 2:4x 2+y 2=1.若M ,N 分别是C 1,C 2上的动点,且OM ⊥ON ,求证:O 到直线MN 的距离是定值.解:(1)双曲线C 1:22x -y 2=1,左顶点A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,渐近线方程:y.过点A 与渐近线y平行的直线方程为yx ⎭,即y+1.解方程组1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为S =12|OA ||y(2)设直线PQ 的方程是y =x +b .因直线PQ 与已知圆相切,1,即b 2=2.由22,21y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2-2bx -b 2-1=0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则122122b,1.x x x x b +=⎧⎨=--⎩又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b ),所以OP ·OQ=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时,|ON |=1,|OM则O 到直线MN当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为y =kx (显然|k则直线OM 的方程为y =-1kx .由22,41y kx x y =⎧⎨+=⎩得222221,4,4x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 所以|ON |2=2214k k ++.同理|OM |2=22121k k +-.设O 到直线MN 的距离为d ,因为(|OM |2+|ON |2)d 2=|OM |2|ON |2,所以21d =21||OM +21||ON =22331k k ++=3,即d综上,O 到直线MN 的距离是定值.23.(2012上海,理23)对于数集X ={-1,x 1,x 2,…,x n },其中0<x 1<x 2<…<x n ,n ≥2,定义向量集Y ={a |a =(s ,t ),s ∈X ,t ∈X }.若对任意a 1∈Y ,存在a 2∈Y ,使得a 1·a 2=0,则称X 具有性质P .例如{-1,1,2}具有性质P .(1)若x >2,且{-1,1,2,x }具有性质P ,求x 的值; (2)若X 具有性质P ,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;(3)若X 具有性质P ,且x 1=1,x 2=q (q 为常数),求有穷数列x 1,x 2,…,x n 的通项公式. 解:(1)选取a 1=(x ,2),Y 中与a 1垂直的元素必有形式(-1,b ).所以x =2b ,从而x =4.(2)证明:取a 1=(x 1,x 1)∈Y . 设a 2=(s ,t )∈Y 满足a 1·a 2=0. 由(s +t )x 1=0得s +t =0,所以s ,t 异号. 因为-1是X 中唯一的负数,所以s ,t 之中一为-1,另一为1,故1∈X . 假设x k =1,其中1<k <n ,则0<x 1<1<x n .选取a 1=(x 1,x n )∈Y ,并设a 2=(s ,t )∈Y 满足a 1·a 2=0,即sx 1+tx n =0, 则s ,t 异号,从而s ,t 之中恰有一个为-1. 若s =-1,则x 1=tx n >t ≥x 1,矛盾; 若t =-1,则x n =sx 1<s ≤x n ,矛盾. 所以x 1=1.(3)解法一:猜测x i =q i -1,i =1,2,…,n . 记A k ={-1,1,x 2,…,x k },k =2,3,…,n .先证明:若A k +1具有性质P ,则A k 也具有性质P .任取a 1=(s ,t ),s ,t ∈A k ,当s ,t 中出现-1时,显然有a 2满足a 1·a 2=0; 当s ≠-1且t ≠-1时,则s ,t ≥1.因为A k +1具有性质P ,所以有a 2=(s 1,t 1),s 1,t 1∈A k +1,使得a 1·a 2=0,从而s 1和t 1中有一个是-1,不妨设s 1=-1. 假设t 1∈A k +1且t 1∉A k ,则t 1=x k +1.由(s ,t )·(-1,x k +1)=0,得s =tx k +1≥x k +1,与s ∈A k 矛盾. 所以t 1∈A k ,从而A k 也具有性质P . 现用数学归纳法证明:x i =q i -1,i =1,2,…,n . 当n =2时,结论显然成立;假设n =k 时, A k ={-1,1,x 2,…,x k }有性质P , 则x i =q i -1,i =1,2,…,k ;当n =k +1时,若A k +1={-1,1,x 2,…,x k ,x k +1}有性质P ,则A k ={-1,1,x 2,…,x k }也有性质P , 所以A k +1={-1,1,q ,…,q k -1,x k +1}.取a 1=(x k +1,q ),并设a 2=(s ,t )满足a 1·a 2=0.由此可得s =-1或t =-1. 若t =-1,则x k +1=q s≤q ,不可能;所以s =-1,x k +1=qt ≤q k 且x k +1>q k -1, 所以x k +1=q k .综上所述,x i =q i -1,i =1,2,…,n . 解法二:设a 1=(s 1,t 1),a 2=(s 2,t 2), 则a 1·a 2=0等价于11s t =-22t s .记B =,,||||s s X t X s t t ⎧⎫∈∈>⎨⎬⎩⎭,则数集X 具有性质P ,当且仅当数集B 关于原点对称.注意到-1是X 中的唯一负数,B ∩(-∞,0)={-x 2,-x 3,…,-x n }共有n -1个数,所以B ∩(0,+∞)也只有n -1个数. 由于1n n x x -<2n n x x -<…<2n x x <1n x x ,已有n -1个数,对以下三角数阵1n n x x -<2n n x x -<…<2n x x <1n x x 12n n x x --<13n n x x --<…<11n x x - ……21x x注意到1n x x >11n x x ->…>21x x ,所以1n n x x -=12n n x x --=…=21x x ,从而数列的通项为x k =x 1121k x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=q k -1,k =1,2,…,n .。

2012年全国统一高考真题数学试卷(理科)(大纲版)(含答案及解析)

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或33．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1 11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．【解答】解：===1+2i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或3【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】5J：集合．【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD=×2×=2在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD∴V A=×S△EBD×h=×2×h=﹣BDE∴h=1故选：D．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．【专题】11：计算题．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9Y：平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=是关键，属于中档题．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．【解答】解：由题意，可按分步原理计数，首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；所以排列方法共有：×2×1×1=12种，故选：A．【点评】本题若讨论三行每一行的情况，讨论情况较繁琐，而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程．12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】13：作图题；16：压轴题．【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰撞点为H，且DH=，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z 的几何意义，属于基础试题14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin （x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，则=，=，=∵，∴=（）•（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1∴sinAsinC=①由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②①②联立可得，∵0＜C＜π∴sinC=a=2c即a＞c【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．【专题】11：计算题．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P （A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．【解答】解：（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3 P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144P（ξ=2）=P（B）=0.352P（ξ=3）=P（A0）=0.16×0.6=0.096P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．【点评】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx﹣（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤．令g（x）=sinx﹣（0≤x），则g′（x）=cosx﹣当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），当a≤时，有①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；②当时，=1+≤1+sinx综上，a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M （1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D 的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴∴t2（t2﹣4t﹣6）=0∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式；8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤x k＜x k+1＜3，可以证明2≤x k+1＜x k+2＜3，从而结论成立．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，构造b n=x n﹣3，可得是以﹣为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x n}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为当y=0时，∴，∴2≤x1＜x2＜3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为当y=0时，∴∵2≤x k＜x k+1＜3，∴＜x k+2∴x k+1＜x k+2＜3∴2≤x k+1即n=k+1时，结论成立由①②可知：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得设b n=x n﹣3，∴∴∴是以﹣为首项，5为公比的等比数列∴∴∴．【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．。

2012年上海高考数学试卷及答案(理科)

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。

2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。

3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是。

4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于。

6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。

7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是。

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为。

9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。

10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）。

12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足||||||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是。

13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图像与x 轴围成的图形的面积为。

14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是。

静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测文理合并

静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测数学试卷（文理科合并）（试卷满分150分考试时间120分钟） 2013.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知函数)722sin(21)(π+=ax x f 的最小正周期为π4，则正实数a = .2．等比数列{}n a （*N n ∈）中，若1612=a ，215=a ，则=12a .3．（理）两条直线0943:1=+-y x l 和03125:2=-+y x l 的夹角大小为 .（文）求和：n n n n n n C C C C 32793321++++ = .（*N n ∈）4．（理）设圆过双曲线116922=-yx的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . （文）同理35．（理）某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有种游览选择．（文）设x ，y 满足条件⎩⎨⎧≤+≤-≤-≤,11,31y x y x 则点),(y x 构成的平面区域面积等于 .6．（理）求和：n n n n n nC C C C ++++ 32132= .（*N n ∈）（文）设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+,40,30,1223,5y x y x y x 使目标函数y x z 56+=的值最大的点),(y x 坐标是 .7．（理）设数列{}n a 满足当2n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21)1(+>+n a n 成立．下列四个命题：（1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若103=a ，则255>a ．（3）若255≤a ，则164≤a ．（4）若2)1(+≥n a n ，则21n a n >+．其中正确的命题是 .（填写你认为正确的所有命题序号）（文）设圆过双曲线116922=-yx右支的顶点和焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .8．（理）已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=．若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+⋅=⋅=23,2t y t x （t 为参数），则此直线l 被曲线C 截得的线段长度为 . （文）同理59．（理）请写出如图的算法流程图输出的S 值 .（文）已知0<a ，关于x 的不等式04)1(22>++-x a ax 的解集是 . 10．（理）已知α、β为锐角，且2si nco ss i n 1si nc o s si n 1=-+⋅-+βββααα，则βαtan tan = . （文）已知α、β为锐角，且2)2tan1)(2tan1(=++βα，则βαt a n t a n = .11．（理）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西1312arcsin方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上．则在以圆心O 为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中圆O 的方程为 .南理第11题理第9题（文）数列{}n a 的前n 项和为22n S n =（*N n ∈），对任意正整数n ，数列{}n b 的项都满足等式022121=+-++n n n n n a b a a a ，则n b = .12．（理）过定点)0,4(F 作直线l 交y 轴于Q 点，过Q 点作QT FQ ⊥交x 轴于T 点，延长TQ 至P 点，使QP TQ =，则P 点的轨迹方程是 . （文）同理1113．（理）已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 .（文）设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则PB PA ⋅的值是 .14．（理）在复平面内，设点A 、P 所对应的复数分别为i π、)32sin()32cos(ππ-+-t i t （i 为虚数单位），则当t 由12π连续变到4π时，向量AP所扫过的图形区域的面积是 .（文）设复数i a a z )sin 2()cos (θθ-++=（i 为虚数单位），若对任意实数θ，2≤z ，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．（理）若复数021≠z z ，则2121z z z z =是12z z =成立的（）(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件（文）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y=f(x)的图像大致为（）16．（理）等差数列}{n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则数列}{n a 前n 项和n S （*N n ∈）中最小的是（）(A) 7S 或8S (B) 12S (C)13S (D)14S （文）同理15 17．（理）函数])5,3[(2126)(2∈-+-=x x x x x f 的值域为（）(A) ]3,2[ (B) ]5,2[ (C) ]3,37[ (D) ]4,37[（文）函数])3,1[(42)(2∈+-=x xx x x f 的值域为（）(A) ]3,2[ (B) ]5,2[ (C) ]3,37[ (D) ]4,37[18．（理）已知O 是△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若AO m AC BC AB CB ⋅=+2sin cos sin cos ，则m 的值为（）(A) 1 (B) A sin (C) A cos (D) A tan（文）已知向量a 和b 满足条件：a b ≠且0≠⋅b a .若对于任意实数t ，恒有-≥-，则在a 、b 、b a +、b a -这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向量是（）(A) a 与b a - (B) b 与b a - (C) a 与b a + (D)b 与b a +三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分．某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．C（理19题）（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列}{n a 的递推公式为⎩⎨⎧=∈≥+-=-.2),2(,3231*1a N n n n a a n n（1）令n a b n n -=，求证：数列}{n b 为等比数列；（2）求数列}{n a 的前 n 项和.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．（理）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，a ，b ，c 成等比数列．（1）求B 的取值范围；（2）若x = B ，关于x 的不等式cos2x -4sin(24x +π)sin(24x-π)+m ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．（文）已知c b a ,,分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，且c A b B a 53cos cos =-．（1）求：BA tan tan 的值；（2）若060=A ，5=c ，求a 、b ．21．（理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列}{n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有 33231221)(n n a a a a a a +++=+++ ．（1）当3=n 时，求所有满足条件的三项组成的数列1a 、2a 、3a ；（2）试求出数列}{n a 的任一项n a 与它的前一项1-n a 间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列}{n a ，使得20122013-=a ？若存在，求出这样的无穷数列}{n a 的一个通项公式；若不存在，说明理由．（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是正方形，其中AB =2米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．已知椭圆12222=+by ax 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，2c 是2a 与2b 的等差中项，其中a 、b 、c 都是正数，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程；（2）（理）点P 是椭圆上一动点，定点)2,0(1A ，求△11PA F 面积的最大值；（文）过点A 作直线交椭圆于另一点M ，求AM 长度的最大值；（3）已知定点)0,1(-E ，直线t kx y +=与椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的0>t ，都存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．C（文21题）23．（理）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．函数)(x f y =，D x ∈，其中≠D ∅．若对任意D x ∈，)()(x f x f =，则称)(x f y =在D 内为对等函数．（1）指出函数x y =，3x y =，xy 2=在其定义域内哪些为对等函数；（2）试研究对数函数x y alog=（0>a 且1≠a ）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使x y alog=在所给集合内成为对等函数；（3）若{}D ⊆0，)(x f y =在D 内为对等函数，试研究)(x f y =（D x ∈）的奇偶性．（文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知x x f 21log)(=，当点),(y x M 在)(x f y =的图像上运动时，点),2(ny x N -在函数)(x g y n =的图像上运动（*N n ∈）．（1）求)(x g y n =的表达式；（2）若方程)2()(21a x g x g +-=有实根，求实数a 的取值范围；（3）设)(2)(x g n n x H =，函数)()()(11x g x H x F +=（b x a ≤≤<0）的值域为]22log,22[log4252++a b ，求实数a ，b 的值．高三年级文理科数学试卷答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1．41=a ； 2．64； 3．（理）6533arccos；（文）14-n4．（理）316；（文）同理3 5．（理）13；（文）2 6．（理）12-⋅n n ；（文）)3,2(7．（理）（2）（3）（4）；（文）316 8．（理）4；（文）同理5 9．（理）91093；（文）)2,2(a10．（文理）1； 11．（理）22522=+y x ；（文）141422-+=n n b n ； 12．（理）x y 162=；（文）同理1113．（理）),3[+∞-；（文）-1 14．（理）6π；（文）]55,55[-.15．（文理）D ； 16．（理）C ；（文）D ； 17．（文理）A ；18．（文理）B19（理）解：（1）①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动，即0＜x ≤1时，△EMN 的面积S =x ⨯⨯221=x ； ··························· 1分②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即1＜x ＜31+时，如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ，∵ E 为AB 中点，∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ，且FG ＝3.CEN图1又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ． ∴GFGH DCMN =，即M N=． ························ 4分故△EMN 的面积S＝12x ⨯＝x x )331(332++-；············································· 6分综合可得：()(20111133x x S x x x ⎧⎪=⎛⎨-+++ ⎪ ⎝⎭⎩，＜≤．＜＜ ···························································7分（2）①当MN 在矩形区域滑动时，x S =，所以有10≤<S ； ········································8分②当MN 在三角形区域滑动时，S =x x )331(332++-.因而，当231+=x （米）时，S 得到最大值，最大值S =3321+（平方米）.∵13321>+，∴ S 有最大值，最大值为3321+平方米. ··································································· 12分（文）解：（1）11113))1((3333323----=--=+-=-+-=-=n n n n n n b n a n a n n a n a b ，2≥n又1111=-=a b ，所以0≠n b （*N n ∈），)2(31≥=-n b b n n所以，数列}{n b 是以1为首项3为公比的等比数列． ··················································6分（2）13-=n n b ，n b a n n +=······················································································8分所以数列}{n a 的前 n 项和)21()(21n b b b S n n +++++++= =2132-++n n n ．·································································································································· 14分20（理）解：（1）∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac ························································1分则cos B =acbca2222-+=ac acca222-+ ·················································································3分而a 2+c 2≥2ac ∴cos B =acacca222-+≥212=acac ，等号当且仅当a =c 时取得，即21≤cos B ＜1，得到30π≤<B ．·················································································································7分（2）cos2x -4sin(24x π+)sin(24x π-)=cos2x -4sin(24x π+)cos(24x π+)=2cos x 2-2cos x -1=2(cos x -21)2-23 ·················································································· 11分∵x =B ∴21≤cos x ＜1∴2(cos x -21)2-23≥-23则由题意有：-m ＜-23即m ＞23··················································································· 14分（说明：这样分离变量1cos 2cos 22cos cos 22++-=->x x x x m 参照评分）（文）解：（1）由正弦定理Cc Bb Aa sin sin sin ==得C A B B A sin 53cos sin cos sin =-，2分又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，所以A B B A cos sin 58cos sin 52=，5分可得4cos sin cos sin tan tan ==AB B A BA ． ···················································································7分（2）若060=A ，则23s i n =A ，21cos =A ，3tan =A ，得43t a n =B ，可得19194cos =B ，19193sin ⨯=B ． ··········································································· 10分381935sin cos cos sin )sin(sin ⨯=+=+=B A B A B A C ，由正弦定理Cc Bb Aa sin sin sin ==得19sin sin =⋅=A Cc a ，2sin sin =⋅=B Ccb ························································ 14分21（理）解：（1）当1=n 时，3121a a =，由01≠a 得11=a ．····································1分当2=n 时，32221)1(a a +=+，由02≠a 得22=a 或12-=a ．当3=n 时，33322321)1(a a a a ++=++，若22=a 得33=a 或23-=a ；若12-=a 得13=a ； 5分综上讨论，满足条件的数列有三个： 1，2，3或1，2，-2或1，-1，1． ·············································································6分（2）令n n a a a S +++= 21，则332312n n a a a S +++= （*N n ∈）．从而313323121)(++++++=+n n n n a a a a a S ． ·······················································7分两式相减，结合01≠+n a ，得1212++-=n n n a a S ． ······················································8分当1=n 时，由（1）知11=a ；当2≥n 时，)(221--=n n n S S a =)()(2121n n n n a a a a ---++，即0)1)((11=--+++n n n n a a a a ，所以n n a a -=+1或11+=+n n a a ． ·························· 12分又11=a ，20122013-=a ，所以无穷数列{}n a 的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为-2012，公比为-1的等比数列．故⎩⎨⎧>-⋅≤≤=)2012()1(2012)20121(n n n a nn ． ··········································································· 14分（说明：本题用余弦定理，或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得，请参照评分）（文）解：（1）①如图1所示，当MN 在正方形区域滑动，即0＜x ≤2时，△EMN 的面积S =x ⨯⨯221=x ； ··························· 2分②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即2＜x ＜32+时，如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ，且FG ＝3. 又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ． ∴GFGH DCMN =，即3)23(2x MN -+=． ················· 5分故△EMN 的面积S ＝x x ⋅-+⋅3)23(221 ＝x x )3321(332++-； ··········································· 7分综合可得： ⎪⎩⎪⎨⎧+<<++-≤<=322,)3321(3320,2x x x x x S ····························································8分说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可．EN图1BC图2（2）①当MN 在正方形区域滑动时，x S =，所以有20≤<S ； ·································· 10分②当MN 在三角形区域滑动时，S =x x )3321(332++-.因而，当2231<+=x （米），S 在)32,2(+上递减，无最大值，20<<S ．所以当2=x 时，S 有最大值，最大值为2平方米. ···················································· 14分 22．解：（1）在椭圆中，由已知得222222b a b ac +=-= ···········································1分过点),0(b A -和)0,(a B 的直线方程为1=-+by ax ，即0=--ab ay bx ，该直线与原点的距离为23，由点到直线的距离公式得：2322=+ba ab ···················································3分解得：1,322==b a ；所以椭圆方程为11322=+yx····················································4分（2）（理）)0,2(1-F ，直线11A F 的方程为22+=x y ，611=A F ，当椭圆上的点P 到直线11A F 距离最大时，△11PA F 面积取得最大值·······························································6分设与直线11A F 平行的直线方程为d x y +=2，将其代入椭圆方程11322=+yx得：01223722=-++dx dx ，0=∆，即0328328822=+-dd，解得72=d，当7-=d 时，椭圆上的点P 到直线11A F 距离最大为372+，此时△11PA F 面积为21422372621+=+··························································································9分（文）设),(y x M ，则)1(322y x -=，422)1(2222++-=++=y y y x AM，其中11≤≤-y ·····································································································································6分当21=y 时，2AM取得最大值29，所以AM 长度的最大值为223····························9分（3）将t kx y +=代入椭圆方程，得0336)31(222=-+++t ktx x k ，由直线与椭圆有两个交点，所以0)1)(31(12)6(222>-+-=∆t k kt ，解得3122->t k································ 11分设),(11y x C 、),(22y x D ，则221316kkt x x +-=+，222131)1(3kt x x +-=⋅，因为以CD 为直径的圆过E 点，所以0=⋅ED EC ，即0)1)(1(2121=+++y y x x ， ····································· 13分而))((2121t kx t kx y y ++==221212)(t x x tk x x k +++，所以01316)1(31)1(3)1(22222=++++-+-+t kkt tk kt k ，解得tt k 3122-=······························ 14分如果3122->t k对任意的0>t 都成立，则存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．09)1(31)312(2222222>+-=---ttt t tt ，即3122->t k．所以，对任意的0>t ，都存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点． ··········································································· 16分 23（理）解：（1）x y =，3x y =是对等函数； ·························································4分（2）研究对数函数x y alog =，其定义域为),0(+∞，所以x x aaloglog=，又0log≥x a，所以当且仅当0log≥x a时)()(x f x f =成立．所以对数函数x y alog=在其定义域),0(+∞内不是对等函数． ·············································································································6分当10<<a 时，若]1,0(∈x ，则0log ≥x a，此时x y alog=是对等函数；当1>a 时，若),1[+∞∈x ，则0log≥x a，此时x y alog=是对等函数；总之，当10<<a 时，在]1,0(及其任意非空子集内x y alog =是对等函数；当1>a 时，在),1[+∞及其任意非空子集内x y alog=是对等函数． ····························································· 10分（3）对任意D x ∈，讨论)(x f 与)(x f -的关系． 1）若D 不关于原点对称，如x y =虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数； ··········· 11分2）若{}0=D ，则0)0()0(≥=f f ．当0)0(=f 时，)(x f 既是奇函数又是偶函数；当0)0(>f 时，)(x f 是偶函数． ·································································································· 13分 3）以下均在D 关于原点对称的假设下讨论．当0>x 时，0)()()(≥==x f x f x f ；当0<x 时，)()()(x f x f x f =-=，若)()(x f x f =，则有)()(x f x f =-；此时，当0>x 时，0<-x ，令t x =-，则t x -=，且0<t ，由前面讨论知，)()(t f t f =-，从而)()(x f x f -=；综上讨论，当0<x 时，若0)(≥x f ，则)(x f 是偶函数． ·········································· 15分若当0<x 时，0)(≤x f ，则)()()()(x f x f x f x f -==-=；此时，当0>x 时，0<-x ，令t x =-，则t x -=，且0<t ，由前面讨论知，)()(t f t f -=-，从而)()(x f x f --=；若0)0(=f ，则对任意D x ∈，都有)()(x f x f -=-．综上讨论，若当0<x 时，0)(≤x f ，且0)0(=f ，则)(x f 是奇函数．若0)0(≠f ，则)(x f 不是奇函数也不是偶函数． ························································································· 18分（文）解：（1）由⎩⎨⎧-==)2(),(x g ny x f y n 得x n x nf x g n 21log)()2(==-，所以)2(log)(21+=x n x g n ，（2->x ）． ·················································································································4分（2）)(log 2)2(log2121a x x +=+，即a x x +=+2（02>+x ） ··························6分2++-=x x a ，令02>+=x t ，所以4922≤++-=t t a ，当47-=x 时，49=a ．即实数a 的取值范围是]49,(-∞··························································································· 10分（3）因为nx n n x x H )2(12)()2(log21+==+，所以)2(log21)(21+++=x x x F ．)(x F 在),2(+∞-上是减函数．···················································································· 12分。

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p 3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．　4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC 上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=　3　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为　1830　．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD ；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2012年安徽高考数学理科试卷 (带详解)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数满足，则为 ( )A. B. C. D.【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出代数式，求复数.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】设，则，所以可得，故.2.下列函数中，不满足等于的是（）A. B. C. D.【测量目标】函数相等.【考查方式】给出一系列函数解析式，计算两函数值，得到答案.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】令，则，其中C不满足，故答案为C.3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 ( )A.3B.4C.5D.8第3题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】理解程序框图中的计算关系，求值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】第一次循环后：；第二次循环后：；第三次循环后：，跳出循环，输出 .4. 公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且=16，则 ( )A.4B.5C.6D.7【测量目标】等比数列的性质，对数的求值.【考查方式】给出等比数列两项乘积，求出等比中项，根据公比求出再求对数的值.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】设等比数列的公比为，，则，所以，故.5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )第5题图A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【测量目标】频率直方图.【考查方式】给出频率直方图，通过图比较两者的中位数，平均数，以及方差和极差.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由条形图易知甲的平均数为，中位数为，(步骤1)方差为，极差为；（步骤2）乙的平均数为，中位数为5，（步骤3）方差为，极差为，（步骤4）故，甲乙中位数不相等且.（步骤5）6.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内,直线b在平面内，且，则“”是“”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分，必要条件.【参考方式】判断充分必要条件.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】判断本题条件命题为“”条件命题，命题“”为结论命题，当时，由线面垂直的性质定理可得，所以条件具有充分性；但当时，如果，就得不出，所以条件不具有必要性，故条件是结论的充分不必要条件.7.()的展开式的常数项是 ( )A. B. C. D.【测量目标】二项式定理.【考查方式】整理所给的方程，直接利用二项式定理求展开式常数项.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】因为，所以要找原二项式展开式中的常数项，（步骤1）只要找展开式中的常数项和含项即可.通项公式（步骤2）8.在平面直角坐标系中，点（0，0），点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量，则点的坐标是（）A. B. C. D.【测量目标】三角函数的定义和求值，两角和的正切.【考查方式】根据题意得到正切值，将向量转动后再利用两角和的正切公式求解.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】设，因为，所以，（步骤1）可得，（步骤2）验证可知只有当点坐标为时满足条件，（步骤3）故答案为A；法二：估算.设，因为，所以，可得，，所以点在第三象限，排除B，D选项，又，故答案为A.9.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于A，B两点，为坐标原点.若，则的面积为（）第9题A. B. C. D.【测量目标】直线的方程，直线和抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程求出直线方程，根据直线与抛物线的位置关系求三角形面积.【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】如图，设，由抛物线方程，可得抛物线焦点，(步骤1)抛物线准线方程为，故.(步骤2)可得，，故，直线的斜率为，(步骤3)直线的方程为，（步骤4）联立直线与抛物线方程可得，(步骤5)因为两点横坐标之积为，所以点的横坐标为，(步骤6)可得，，(步骤7)点到直线的距离为，所以.（步骤8）10.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为 ` ( )A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4【测量目标】简单的计数，排列组合的应用.【考查方式】通过实际的问题，利用简单的计数原理和排列组合求值.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】任意两个同学之间交换纪念品共要交换次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）请用0.5毫米海瑟墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上答题无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置.11.若满足约束条件则的取值范围是______.第11 题图【测量目标】二元线性规划求目标函数的范围.【考查方式】直接给出约束条件，画出可行域，求目标函数的的取值范围.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】法一：画出可行域是如图所示的的边界及内部，令.易知当直线经过点时，直线在轴上截距最大，目标函数取得最小值，即；当直线经过点时，直线在轴上截距最小，目标函数取得最大值，即，所以.法二：界点定值，同法一先画出可行域，令，把边界点代入目标函数可得，，比较可得.12.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是______.第12题图【测量目标】三视图求几何体的表面积.【考查方式】观察三视图，通过空间想象得出几何体，求几何体表面积.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为.第12题图13.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是____________.【测量目标】点到直线的距离，坐标系和参数方程.【考查方式】将参数方程化为一般方程，利用点到直线的距离公式求值.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】圆，即化为直角坐标为，（步骤1）直线的方程也就是直线，即为，（步骤2）圆心到直线的距离为.（步骤3）14.若平面向量，满足，则的最小值是___________.【测量目标】绝对值，均值不等式，向量的异向性.【考查方式】给出绝对值不等式，利用均值不等式求两向量的最值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】由，有，（步骤1），可得，所以，（步骤2）故当且方向相反时，的最小值为.（步骤3）15.设的内角所对边的长分别为，则下列命题正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则.【测量目标】正余弦定理判断三角形角的大小，均值不等式，命题之间的关系.【考查方式】根据三角形的边角关系，通过均值不等式以及正余弦定理判断角的大小从而确定命题间的关系.【难易程度】较难【参考答案】①②③【试题解析】对于①，由得，（步骤1）则，因为，所以，故①正确；（步骤2）对于②，由得，即，则，（步骤3）因为，所以，故②正确；（步骤4）对于对于③，可变为，可得，（步骤4）所以，所以，故，③正确；（步骤5）对于④，可变为，可得，所以，（步骤6）因为，所以，④错误；（步骤7）对于⑤，可变为，即，（步骤8）所以，所以，所以，故⑤错误. （步骤9）答案为①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分)设函数.（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当时，，求函数在上的解析式.【测量目标】两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，三角函数的性质，求分段函数解析式.【考查方式】给出函数解析式，根据三角函数的性质得到周期，利用两角和与差的三角公式以及二倍角公式求分段函数解析式.【难易程度】中等【试题解析】.（步骤1）（1）函数的最小正周期.（步骤2）（2）当时，，（步骤3）当时，，当时， .（步骤4）得：函数在上的解析式为（步骤5）17.（本小题满分12分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量.（Ⅰ）求的概率；（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）.【测量目标】基本事件概率，条件概率，离散型随机变量及其分布列均值.【考查方式】通过实际问题考查基本事件的的概率以及分布列和数学期望.【难易程度】中等【试题解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为.（步骤1）（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为，随机变量可取.，，.（步骤2）.（步骤4）答：（Ⅰ）的概率为；（Ⅱ）的均值为.（步骤5）18.（本小题满分12分）平面图形，其中是矩形，，，．现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图空间图形，对此空间图形解答下列问题．第18题图（1）证明：；（2）求的长；（3）求二面角的余弦值．【测量目标】空间中线线、线面、面面的位置关系，空间中的距离以及二面角.【考查方式】线线，线面，面面的垂直的相互转化，证明线线垂直；根据证明得到三角关系求距离；分析所求二面角所形成的三角形，解三角形，求角.【难易程度】中等【试题解析】（1）取的中点为点，连接，则，∴，∵平面平面，∴平面，（步骤1）同理：平面，得，∴共面，（步骤2）又∵，∴平面，∴．（步骤3）（2）延长到，使，得，（步骤4），平面平面∴平面，∴平面，（步骤5）．（3），∴是二面角的平面角．（步骤6）在中，，在中，，∴二面角的余弦值为．（步骤7）19.（本小题满分13分）设.（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为，求的值.【测量目标】函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质，导数的几何性质.【考查方式】给出含参的函数解析式，利用导数对参数进行分类讨论求函数的最值；根据导数的几何性质，得到切点方程联立该点函数方程求值.【难易程度】中等【试题解析】（I）设，则.（步骤1）①当时，在上是增函数，得：当时，的最小值为.（步骤2）②当时，，当且仅当时，的最小值为.（步骤3）（II），（步骤4）由题意得：20. （本小题满分13分）如图，分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；（I）若点的坐标为，求椭圆的方程；（II）证明：直线与椭圆只有一个交点.第20 题图【测量目标】椭圆方程和椭圆几何性质，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】通过图形以及已知条件求椭圆方程；根据直线与圆的位置关系进行证明.【难易程度】中等【试题解析】（I）点代入，得：.（步骤1）.①又. ②.③（步骤2）由①②③得：，即椭圆的方程为.（步骤3）（II）设，则.（步骤4）得：，（步骤5）.（步骤6）过点与椭圆相切的直线斜率.（步骤7）得：直线与椭圆只有一个交点.21.（本小题满分13分）数列满足：.（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列.【测量目标】数列概念及其性质，不等式及其性质，充要条件.【考查方式】给出数列关系式，分步骤证明充分，必要条件；分类讨论，归纳求参数的取值范围使得数列单调递增.【难易程度】较难【试题解析】（I）必要条件当时，数列是单调递减数列；（步骤1）充分条件数列是单调递减数列.（步骤2）得：数列是单调递减数列的充分必要条件是.（II）由（I）得：.①当时，，不合题意；（步骤3）②当时，，，（步骤4）.（步骤5）当时，与同号，由，.（步骤6）当时，存在，使与异号.（步骤7）与数列是单调递减数列矛盾得：当时，数列是单调递增数列.（步骤8）。

2012年上海静安初中一模及答案

“学业效能实证研究”学习质量调研九年级语文学科（满分150分，考试时间100分钟）2012.1学生注意事项：l.本试卷共28题。

2.请将所有答案用黑墨水钢笔或水笔做在答卷的指定位置上，做在试卷上一律不计分。

第一部分阅读（90分）一、文言文（42分）（一）默写（18分）1．回看射雕处，。

（《观猎》）2．，赢得生前身后名。

（《破阵子》）3．向来狂费推移力，。

（《观书有感》）4．人生自古谁无死，。

（《过零丁洋》）5．，再而衰，三而竭。

（《曹刿论战》）6．学而不思则罔，。

（《孔孟论学》）（二）阅读下面这首词，完成第7一8题。

（4分）诉衷情【宋】陆游当年万里觅封侯。

匹马戍梁州。

关河梦断何处？尘暗旧貂裘。

胡未灭，鬓先秋，泪空流。

此生谁料，心在天山，身老沧州。

7.“尘暗旧貂裘”一句用了（人名）的典故。

（2分）8.下列理解不正确的一项是（）（2分）A.首句以“万里”、“匹马”两词传递出当年词人奔赴前线的豪情。

B.次句借典故表达了词人不受重用，壮志难酬的苍凉心境。

C.下片首句抒发了只因年事已高不得不放弃抗金复国梦想的悲怆。

D.末句以“天山”和“沧州”之远隔来形容梦想和现实的距离之远。

（三）阅读下文，完成9—11题。

（8分）邹忌讽齐王纳谏（节选）○1于是入朝见威王，曰：“臣诚知不如徐公美。

臣之妻私臣，臣之妾畏臣，臣之客欲有求于臣，皆以美于徐公。

今齐地方千里，百二十城，宫妇左右莫不私王，朝廷之臣莫不畏王，四境之内莫不有求于王：由此观之，王之蔽甚矣。

”○2王曰：“善。

”乃下令：“群臣吏民能面刺寡人之过者，受上赏；上书谏寡人者，受中赏；能谤讥于市朝，闻寡人之耳者，受下赏。

”令初下，群臣进谏，门庭若市；数月之后，时时而间进；期年之后，虽欲言，无可进者。

○3燕、赵、韩、魏闻之，皆朝于齐。

此所谓战胜于朝廷。

9.本文选自西汉刘向编订的史书。

（2分）10.用现代汉语翻译下面的句子，注意加点字的含义。

（3分）燕、赵、韩、魏闻之．，皆朝于．齐11.下列理解不正确的一项是（）（3分）A.第○1段充分表现了邹忌讽谏的语言技巧，同时也表现了他不同于常人的见识。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理数(上海卷)(含答案)

（D）
（A）25.
（B）50.
（C）75.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）
（D）100. P
19．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，
PA⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点.已知 AB=2，
AD=2 2 ，PA=2.求：（1）三角形 PCD 的面积；（6 分）
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴
正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12
海
里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
y
12 49
x2
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
y P
援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t .
（1）若 x＞2，且{1, 1, 2, x} ，求 x 的值；（4 分）
（2）若 X 具有性质 P，求证：1 X，且当 xn＞1 时，x1=1；（6 分）（3）若 X 具有性质 P，且 x1=1，x2=q（q 为常数），求有穷数列 x1, x2 , , xn 的通项公式.（8 分）
2012 年上海高考数学（理科）试卷解答
l
6
.若将 l 的极坐标方程写成
f ( ) 的形式，则
f ( )
1
sin(
6
)
.
O
M
x
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是
2 3
（结果用最简分数表示）.
12．在平行四边形
ABCD

2012年高考理科数学全国卷1-答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出12n a a a ，，，中最大的数和最小的数其中A 为12n a a a ，，，中最大的数，B 为12n a a a ，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12n a a a ，，中最大的数和最小的数．【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，，12ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．的范围即可．【解析】由已知得22222(2)44|a b|a b a a b b -=-=-+224||4||||cos45||a a b b =-︒+24|||10b b =-+=，解得||32b =【提示】由已知可得，2||||cos45||2b a a b b =︒=，代入 2222(2)44a b|a b a a b b -=-=-+242||||10b b =-+=可求14.【答案】[]3,3-60(a ++-117++=59(a +++，sin 0C >，0πA <<π5π66A -<法二：由正弦定理可得sin a 222a b c a ab+-，0πA <<）ABC S =△，2a A =，，直又1DC BD ⊥1DC D =2AB a =，1DC ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12DC a =90AB ∴30． 30．x 轴，(,DB a =-，1(,0,DC a =-的法向量为11(,n x y =111n DB ax n DC ax ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，故可取1(1,2,1)n =的一个法向量2(1,1,0)n =设1n 与2n 的夹角为1212||||6n n n n =⨯30．由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角1A -'=h x()eh x→-∞()（2）当aa+>，10，所以当x ∥CF AB∥CF AB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴△∽△BCD。

2012年上海高考数学理科试题及答案

2012年上海高考数学(理科)试卷一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1。

计算:ii+-13= (i 为虚数单位).2.若集合}012|{>+=x x A ,}21|{<-=x x B ，则B A = 。

3。

函数1sin cos 2)(-=x xx f 的值域是。

4。

若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 5。

在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 . 6。

有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2，…,V n ，…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。

7。

已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1，+∞)上是增函数，则a 的取值范围是。

8。

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 .9.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f 。

若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。

10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则=)(θf 。

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛。

若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示)。

12.在平行四边形ABCD 中，∠A=3π，边AB 、AD 的长分别为2、1。

若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM ,则AN AM ⋅的取值范围是 . 13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0)，B (21，5)，C （1,0）.函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为。

14.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。

2012年高考理科数学安徽卷(含答案解析)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷第1至第3页,第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分,考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,．在．答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 参考公式：如果事件A 与B 互斥；则()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立；则()()()P AB P A P B = 如果A 与B 是事件,且()0P B >；则()()()P AB P A B P B =第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足：(i)(2i)5z --=；则z =（）A .22i --B .22i -+C .2-2iD .2+2i2.下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是（）A .()||f x x =B .()||f x x x =-C .()1f x x =+D .()f x x =-3.如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A .3B .4C .5D .84.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则210log =a （）A .4B .5C .6D .75.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则（）A .甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B .甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C .甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D .甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6.设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥ 则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.2521(2)(1)x x +-的展开式的常数项是（）A .3-B .2-C .2D .38.在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 绕点O 按逆时针旋转3π4后得到向量OQ ,则点Q 的坐标是（）A.(- B.(- C.(2)--D.(-9.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,O 为是坐标原点.若3AF =,则AOB ∆的面积为（）ABCD.10.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为（）A .1或3B .1或4C .2或3D .2或4姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.若,x y 满足约束条件：0,23,23,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤则x y -的取值范围为______.12.某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是______.13.在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线π()6R θρ=∈的距离是______. 14.若平面向量a,b 满足：|2|3-≤a b ；则⋅a b 的最小值是______.15.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）.①若2ab c >；则π3C <②若2a b c +>；则π3C <③若333a b c +=；则π2C <④若()2a b c ab +<；则π2C >⑤若22222()2a b c a b +<；则π3C >三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）设函数2π())sin 24f x x x =++ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设函数()g x 对任意x ∈R ,有π()()2g x g x +=,且当π[0,]2x ∈时,1()()2g x f x =-.求()g x 在区间[π,0]-上的解析式.17.（本小题满分12分）某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量.（Ⅰ）求2X n =+的概率；（Ⅱ）设m n =,求X 的分布列和均值（数学期望）.18.（本小题满分12分）平面图形111ABB AC C 如图1所示,其中11BB C C 是矩形,12,4BC BB ==,AB AC =1111A B A C ==.现将该平面图形分别沿BC 和11B C 折叠,使ABC ∆与111A B C ∆所在平面都与平面11BB C C 垂直,再分别连接111,,A A A B AC ,得到如图2所示的空间图形.对此空间图形解答下列问题. （Ⅰ）证明：1AA BC ⊥；（Ⅱ）求1AA 的长；（Ⅲ）求二面角1A BC A --的余弦值.19.（本小题满分13分）设1()(0)x x f x ae b a ae =++>.（Ⅰ）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求a,b 的值.20.（本小题满分13分）如图,12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,过点1F 作x轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ,过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q .（Ⅰ）若点Q 的坐标为(4,4)；求此时椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.21.（本小题满分13分）数列{}n x 满足：2*110,()n n n x x x x c n +==-++∈N（Ⅰ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <；（Ⅱ）求c 的取值范围,使{}n x 是单调递增数列.2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)答案解析【解析】{}n a 是等比数列，且，又等比数列4=，16a ∴=log 32=log 【解析】1(45x =甲甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数；甲的成绩的中位数甲的成绩的方差为甲的成绩的极差【解析】αβ⊥，”的充分条件，m ，则a ⊥故选A ．【解析】第一个因式取【解析】(0,0)O ，设(10cos OP =5，又OP按旋转OQ，10cos OQ θ⎡=+⎢⎝⎭⎦∴【提示】由点，知(6,8)OP =，设(10cos OP =，由向量OP 绕点逆时针方向旋转后得向量OQ ，由此能求出结果．【考点】平面向量的坐标运算，||3AF =，即点)=a θ-，∴【解析】2613C -=丙、丁、戍、己6①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到得最大值0；当0 x =，3y =时，取得最小值3-．|2|3a b -≤，22494a b a b ∴+≤+，又2244||||4a b a b a b +≥≥-，44a b a b ≥-，98a b -∴≥，a b ∴的最小值是98-．示】由平面向量a ，b 满足|2|3a b -≤，知22494a b a b +≤+，故22224244||||4a b a b a b a b +≥=≥-，由此能求出a b 的最小值．【考点】平面向量数量积【解析】①2ab c >，②2a b c +>，cos ∴③33a b +=2cos a C =确；④2a b ==以例27o sa C +=，又71082>-放大为ab ，再结合均值定理即可证明（Ⅰ）()f x =12=（Ⅱ）当 AB AC =面ABC AO ∴⊥面共面，又1OO BC ⊥1AO O =，BC ⊥面BC ；（Ⅱ）延长D OA =，连接，1AO AO ∥1O D OA ∴∥AD OO ∴∥1OO BC ⊥1OO ∴⊥面AD ∴⊥面（Ⅲ）AO BC ⊥1AOA 是二面角11Rt OO A ∆中，51AO O =，（Ⅱ）()f x a =，2PF QF ⊥244b a c c -⨯--又24a c=②，22a b =-由①②③解得：，则2PF QF ⊥，解得2y =又2222x y a b +2y b =-过点1n n x x +-。

2012年上海高考数学理科试题及标准答案

2012年上海高考数学(理科)试卷一、填空题(本大题共有14题,满分56分) 1.计算:ii+-13= （i 为虚数单位）. ２.若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ,则B A = .３.函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是．4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示）.５.在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6.有一列正方体,棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2,…,Ｖn ，…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7.已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数).若)(x f 在区间［1，＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是 .8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为 . 9.已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f ．若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g . 10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).1２．在平行四边形ABCD 中,∠A ＝3π, 边AB 、ＡD 的长分别为2、１. 若M 、N 分别是边ＢC 、CD 上的点,||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是．１3.已知函数)(x f y =的图像是折线段AB Ｃ,若中Ａ(0,0）,B （21,5）,Ｃ(1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与ｘ轴围成的图形的面积为 .14.如图，AD 与B Ｃ是四面体ABC Ｄ中互相垂直的棱,BC=２. 若A Ｄ=2c ，且AB ＋BD=ＡC ＋CD=2a ，其中ａ、c 为常数,则四面体ＡBCD 的体积的最大值是 .二、选择题(本大题共有４题,满分２０分） 1５．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则 ( )(Ａ)3,2==c b .ﻩ(Ｂ)3,2=-=c b .ﻩ(C)1,2-=-=c b .(D ）1,2-==c b ．１6.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 ﻩ( ）（A)锐角三角形.(Ｂ）直角三角形．ﻩ（C)钝角三角形．ﻩ(D)不能确定．17.设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2. 若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差,则ﻩ（ )ﻩ(Ａ)1ξD >2ξD .ﻩ(B)1ξD =2ξD ．ﻩ(C)1ξD <2ξD .（D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18.设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是ﻩ( ) (Ａ)25. (B)５0. (C)75．ﻩ（Ｄ）100.三、解答题(本大题共有５题,满分７４分)1９.如图，在四棱锥P -ＡBCD 中,底面A ＢCD 是矩形，ＰA ⊥底面AB ＣD ,Ｅ是PC 的中点.已知AB=２，AD=22，ＰA=2.求:(１)三角形ＰCD 的面积；(6分) (2)异面直线BC 与A Ｅ所成的角的大小.（6分)ABCDA B CD P E。

2012年上海高考数学理科试题及答案

2012年上海高考数学(理科）试卷一、填空题(本大题共有14题，满分56分）1.计算：ii+-13= (i 为虚数单位).2。

若集合}012|{>+=x x A ,}21|{<-=x x B ，则B A = 。

3.函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是。

4。

若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

5.在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于。

6。

有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21nn V V V 。

7.已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数）。

若)(x f 在区间［1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是 .8。

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9.已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f 。

若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10.如图，在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛。

若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示)。

12。

在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 . 13。

已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0）,B (21，5）,C (1，0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .xOMlα14.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。

静安区高三一模数学理

上海市静安区2012届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题（本试卷满分150分考试时间120分钟） 2012.1考生注意：1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．设i 为虚数单位，若复数ibi +-+1)1(2（R b ∈）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 .2. 函数1cos sin 1)(--=x x x f 的定义域为 .3. 若二项式92)1(ax x -的展开式中，9x 的系数为221-，则常数a 的值为 .4. 若关于x 的一元二次方程0)2lg(222=-+-a a x x 两根异号，则实数a 的取值范围是 .5. 若0<a ，则关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-02,0222a ax x a ax 的解集为 .6. 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书3本，文学书2本.若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有种.（结果用数值表示） 7. 函数xxx x e e e e x f --+=11)(在闭区间]21,21[-上的最小值为 .8. 已知向量a 、b 的夹角为150︒1=3=+= .9. 已知圆锥侧面积为π2cm 2，高为3cm ，则该圆锥底面周长为 cm.10.已知等差数列{}n a 的前10项之和为30，前20项之和为100，则283a a += . 11.已知α为锐角，β为钝角，32sin =α，91cos -=β，则)(2cos βα-的值为 .12.从5名男生和5名女生中选取4人参加比赛，要求男女生都有，那么两女生小张和小李同时被选中的概率为 .13.记{}⎩⎨⎧>≤=时当时当b a b b a a b a ,,,min ，已知函数{}34,12m in )(222+--++=x x t tx x x f 是偶函数（t 为实常数），则函数)(x f y =的零点为 .（写出所有零点） 14.已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．下列命题正确的是 …………………………………………………………………( )（A ） lim n n a A →∞=, lim n n b B →∞=则limn n na Ab B →∞=(0,n b n N ≠∈)（B ）若数列{}n a 、{}n b 的极限都不存在，则{}n n a b +的极限也不存在（C ）若数列{}n a 、{}n n a b +的极限都存在,则{}n b 的极限也存在（D ）设12n n S a a a =+++L ，若数列{}n a 的极限存在,则数列{}n S 的极限也存在 16. 若A 、B 为锐角△ABC 的两内角，则点)sin cos ,cos (sin A B A B P --是…( )(A)第一象限的点 (B)第二象限的点 (C)第三象限的点 (D)第四象限的点 17．若a 、b 、c 都是复数，则“222c b a >+”是“0222>-+c b a ” 的………( )(A) 充要条件 (B) 既非充分条件又非必要条件(C) 充分而非必要条件 (D) 必要而非充分条件18．若xyy x 4)(cos 22+=θ，则x ，y 满足的条件是…………………………………( )(A)y x =且0>x (B)y x = 且0≠x 或y x -=且0≠x (C) y x ≠且0≠x ，0≠y (D) y x =且0<x三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.（1）已知a 、b 为正实数，b a ≠，0>x ，0>y .试比较y b x a 22+与yx b a ++2)(的大小，并指出两式相等的条件；（2）求函数x x x f 2192)(-+=，)21,0(∈x 的最小值.20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分6分. 如图，在四棱锥ABCD P -的底面梯形ABCD中，BC AD //，BC AB ⊥，1=AB ，3=AD ，045=∠ADC .又已知⊥PA 平面ABCD ，1=PA .求：（1）异面直线PD 与AC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥ABCD P -的体积；21．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分.某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足. 地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长.求：（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？（精确到元，1亿=8101⨯）PD CB A22． (本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.已知0>a 且1≠a ，数列{}n a 是首项与公比均为a 的等比数列，数列{}n b 满足n n n a a b lg ⋅=（*N n ∈）.（1）求数列{}n b 的前n 项和n S ；（2）如果对于*N n ∈，总有1+<n n b b ，求a 的取值范围.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数a ax x x f -++=3)(2，R a ∈.（1）求a 的取值范围，使)(x f y =在闭区间]3,1[-上是单调函数；（2）当20≤≤x 时，函数)(x f y =的最小值是关于a 的函数)(a m .求)(a m 的最大值及其相应的a 值；（3）对于R a ∈，研究函数)(x f y =的图像与函数322--=x x y 的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.参考答案1．2-=b ； 2．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠+≠∈Z k k x k x R x x ,2,22,ππππ； 3． 2； 4．)1,21()0,21(⋃-； 5．),(a a -； 6．864 7．21e -； 8．1； 9．π2 10．14； 11．729239-； 12．8113．1,3±±=x ； 14．{}3,0,3- 15——18 C D C B19．（1）作差比较：y b x a 22+-y x b a ++2)(=0)()(2≥+-y x xy bx ay .………………4分所以，y b x a 22+≥yx b a ++2)(.…………………………………………6分当bx ay =时，两式相等.…………………………………………8分（2）解法1：25212)32(2192421922=-++≥-+=-+xx x x x x .……………3分当x x 23)21(2⋅=-，即51=x 时，)21,0(51∈，函数取得最大值25. ……6分解法2：x x x x x +-+=-+22522192，令tx =+52，则)29,2(∈t , 设)(x f y =，则5225)2(22-+-⨯=t t t y ，化简并变形得1318225+--=t t y ；因为121822182-=⨯-≤--tt ， ……………3分当且仅当)29,2(3∈=t 时等号成立，且)3,2(∈t 时t t 182--递增，)29,3(∈t 时t t 182--递减，2=t 或29时，13182-=--t t ，所以1131820≤+--<t t ，251318225≥+--=tt y ，当3=t 即51,352==+x x 时取得最大值25。

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