1901绍兴市柯桥区高三上期末考数学解析

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绍兴市柯桥区高2020届2019学年第一学期高三数学期末试题及答案

11． 3 + i ； 12． 15 、 2 ；
2
15 3
13． 1 、 5 ； 29
14． 3 10 、 2 5 10
15． 3 ；
16． 8 + 16 3 、 −16 3
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17． 3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
18．解：（1） f (3 ) = sin(3 − ) − 2 3 sin2 3
2019 学年第一学期期末教学质量检测高三数学试题
注意事项：
1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题。 2．答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考证号。 3．选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑。 4．试卷分为选择题和非选择题两部分，共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
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………………10 分
所以 f (x) 的最小正周期为T = ，
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由 2k − 2x + 2k + 得， k − 5 x k + ，
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所以函数 f (x) 的递增区间是[k − 5 , k + ](k z) ．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集U = {x x −1} ，集合 A = {x x 0}， B = {x −1 x 1}，则 ( U A) B =
A.{x −1 x 0}

1901绍兴上虞高三上期末考数学答案

林老师网络编辑整理2018学年第一学期高三期末教学质量调测数学参考答案（2019.1）一、选择题：每小题4分，共40分。

1-10 CDBDD BACBD二、填空题：多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

11．1001， 1 ； 12．8 ，7 ； 13． 1- ，142； 14． 32+，105152- ； 15．180 ；16．322 ； 17．]2123,2123[+-．三、解答题：本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）（Ⅰ）m x x x f +++=232sin 212cos 23)(ωωΛΛΛΛ4分 =m x +++23)32sin(πω，ΛΛΛΛ6分依题意2362πππω=+⋅，解得21=ω；ΛΛΛΛ8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m x x f +++=23)3sin()(π，又当]65,3[ππ-∈x 时，]67,0[3ππ∈+x ，故1)3sin(21≤+≤-πx .ΛΛΛΛ11分从而)(x f 在]65,3[ππ-上取得最小值m ++-2321，因此，由题设知：32321=++-m ，故213+=m .ΛΛΛΛ14分 19．(本题满分15分) 解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）244,2AB AD AB AD ==⇔==，由林老师网络编辑整理余弦定理求得3BD =22216AD BD AB AD BD +==⇒⊥ΛΛΛΛ2分由//AD BC BC BD ⇒⊥ΛΛΛΛ3分由正方形ADEF 与面ABCD 所在的平面互相垂直，可得DE ⊥平面ABCD 推得DE BC ⊥，ΛΛΛΛ5分又DE BD D =I ，所以BC ⊥平面BDE又BC ⊂平面BCE ，得平面BDE ⊥平面BCE ΛΛΛΛ7分（Ⅱ）解法一：由计算可得，7GC AG ==7EG =，25EC =所以10EGC S ∆=3GBC S ∆=ΛΛΛ9分1133E GBC EGC GBC V S h S DE -∆=⋅=⋅V ，解得305h =ΛΛΛΛ11分易求得4EB =ΛΛΛΛ13分30sin 20h EB θ==即直线BE 与平面EGC 所成角的正弦为3020ΛΛΛΛ15分解法二：取DE 中点P ，得//GP BE ，即只需求GP 与平面EGC 所成角的正弦ΛΛΛ8分过D 作DH AC ⊥垂足为H ，又,DE AC DE DH D ⊥=I ，可得AC DEH ⊥平面，可知DEH ⊥平面平面EGC ΛΛΛΛ10分过P 作PO EG ⊥，垂足为O ，得E PO GC ⊥平面所以PGO ∠为GP 与平面EGC 所成角ΛΛΛΛ12分易求得132PG =+=，由EPO ∆与EDH ∆相似可求得3010PO =ΛΛΛΛ13分故30sin 20PO PGO PG ∠==，即直线BE 与平面EGC 所成角的正弦为3020ΛΛΛΛ15分林老师网络编辑整理解法三：不难知道，点B 到面EGC 的距离就是点D 到面EGC 的距离. ΛΛΛΛ8分连DF 交AE 于点O ，连接OG ，过点D 作OG DH ⊥，则EGC DH 平面⊥. 这是ADEF BD DE BD AD BD 平面⊥∴⊥⊥,,Θ，于是DF AE BD AE ⊥⊥又.， DOG AE 面⊥∴，从而EGC DOG 面面⊥，于是由 OG DH ⊥知EGC DH 平面⊥.ΛΛΛΛ11分在直角三角形ODG 中，计算可得530=DH ，ΛΛΛΛ13分于是30sin 20PO PGO PG ∠==，即直线BE 与平面EGC 所成角的正弦为30.ΛΛΛΛ15分解法四：如图建立坐标系，则)0,0,2(A ，)0,32,0(B ，)0,3,0(G ，)2,0,0(E ，则)2,0,2(-=AE ，)0,3,2(-=AG .ΛΛΛΛ9分设面AEG 的法向量为),,(000z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AG n AE解得：)3,2,3(=n ，ΛΛΛΛ12分而)2,32,0(-=BE ，ΛΛΛΛ13分则2030sin =⋅⋅=nBE n BE θ.ΛΛΛΛ15分 20．（本题满分15分）（Ⅰ）4n n a S λ=+中，令1n =，得114a a λ=+，又14a =，解得2λ=，ΛΛΛΛ2分林老师网络编辑整理由24n n a S =+，1124n n a S ++=+相减得，111222n n n n na a a a a +++-=⇒=，数列{}n a 是以14a =，公比为2的等比数列，ΛΛΛΛ4分可得12(*)n n a n N +=∈.ΛΛΛΛ6分（Ⅱ）12211111(1)(2)12log log nn n a a b n n n n +=⋅==-++++ ΛΛΛΛ8分所以11111111233412222(2)n nT n n n n =-+-++-=-=++++L ΛΛΛΛ10分 ()()1125(2)225022n n n n n n T n n T k k n n ---+⋅--⋅≤⇔≥+⋅，即252n n k -≥对任意*n N ∈恒成立ΛΛΛΛΛΛΛΛ12分设252n n n d -=，111232572222n n n n n n n nd d +++----=-=， ∴当4n ≥时，数列{}n d 单调递减，13n ≤≤时，数列{}n d 单调递增；又3413816d d =<=，∴数列{}n d 最大项的值为4316d =，∴316k ≥.ΛΛΛΛ15分 21．（本题满分15分）（Ⅰ）由题意得4A x =准线方程为2p x =-，可知52A px +=，解得2p = 抛物线方程为24y x ＝，ΛΛΛΛ3分可求得(4,4)A .ΛΛΛΛ4分（Ⅱ）假设存在(0,)M t 满足，由题意可知12,l l 斜率均存在；设直线2l 的斜率为(0)k k ≠，则2l 的方程为y kx t =+，联立方程组24y kx ty x=+⎧⎨=⎩得222(24)0k x kt x t +-+=，由222(24)40kt k t ∆=--=，解得1k t=.ΛΛΛΛ8分此时切点2(,2)B t t ±，可知B MB t ==ΛΛΛΛ11分林老师网络编辑整理由12l l ⊥，则1l 的方程得为1y x t k =-+，即y tx t =-+，联立方程组24y tx t y x=-+⎧⎨=⎩得2222(24)0t x t x t -++=，解得1D E x x ⋅=，于是,D E MD ME ==，ΛΛΛΛ13分所以21MD ME t ⋅=+.由2MB MD ME =⋅得，解得1t =±，所以存在点M 满足题意，此时(0,1)M ±.ΛΛΛΛ15分22．（本题满分15分）解：（Ⅰ）22')1)(()()(xx a e x a x a e xe x f x x x --=---=Θ， ΛΛΛΛ2分由题意令4)2(2'e f =，解得0=a .ΛΛΛΛ3分（Ⅱ）显然函数的定义域为),0(+∞.由2')1)(()(x x a e x f x --=，讨论：① 当10≤≤a 时，)(x f 在)1,0(单调递减，),1(+∞单调递增，函数没有极大值；ΛΛΛΛ5分② 当e a <<1时，令0)('=x f ，解得a x ln =或1=x .于是)(x f 在)ln ,0(a 、),1(+∞单调递增，在)1,(ln a 单调递减，函数的极大值为)ln(ln )(ln a a a f -=；ΛΛΛΛ7分③ 当e a =时，0)('≥x f ，)(x f 在),0(+∞上是单调递增，没有极大值. ΛΛΛΛ9分（Ⅲ）①要证0)(>x g ，只要证0ln 1>+x x .令x x x h ln 1)(+=，则01ln )('=+=x x h ，解得e x 1=，)(x h ∴在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增ee h x h 11)1()(-=≥∴，即0)(>x g . ΛΛΛΛΛΛΛΛ13分林老师网络编辑整理②要证1)(<x g ，只要证xe x x <+ln 1，即0ln 1>--x xe x .由（Ⅱ）知道，当1=a 时，x xe xf x ln 1)(--=.，此时)(x f 在)1,0(单调递减，),1(+∞单调递增，01)1()(>-=≥e f x f ，所以1)(<x g .综上①②，1)(0<<x g 成立. ΛΛΛΛΛΛΛΛ15分。

柯桥中学高三数学期末训练试卷

柯桥中学高三数学期末训练试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 12/16/2005一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知=>==<==B A x y y B x x y y A x则},1,)21(|{},1,log |{2( )A ．φB ．（0,∞-）C ．)21,0( D ．（21,∞-） 2、（理）=+--3)2)(1(i i i ( )A ．i +3B ．i --3C ．i +-3D ．i -3（文） 5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数 ( )A ． 18 B ．24 C ． 36 D ． 48３、已知平面上三点A 、B 、C 满足3AB =，4BC =，5CA =，则A B B C B C C A C A A B ⋅+⋅+⋅的值等于( )A ．25B ．24C ．－25D ．－24 4．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π ⎥⎦⎤⎝⎛43,2ππ 5、的形状则已知中在ABC B A b a B A b a ABC ∆+-=-+∆),sin()()sin()(,2222 ( ) A.等腰三角形 B. 直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、（理）若(–1x)6的展开式中的第五项是215, 设S n = x –1 + x –2 + … + x – n , 则∞→n lim S n 等于（） A ．1 B ．21 C ． 41D ．61（文）与直线14-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是（） A ．04=-y xB ．044=--y x 或024=--y xC ．024=--y xD ．04=-y x 或044=--y x7．若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（）8、椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为2，则 ab 值为（）A ．2 B ．3 C ． 2 D ． 279、（理）已知随机变量ξ服从二项分布，且Ｅξ＝2.4，Ｄξ＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为：（）A ．n=4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p=0.1（文）已知函数y =f (x )，x ∈｛1,2,3｝,y ∈｛－1,0,1｝,满足条件f (3)=f (1)+f (2)的映射的个数是（）A.2B.4C.6D.710．由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为（）A ．29189 B ． 2963 C ． 3463D ． 47 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）：11．调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100，现考虑采用分层抽样，抽取容量为22的样本，则青年、中年、老年各层中应抽取的个体数分别为___________________________12、（理）设函数5()ln(23)f x x =-，则f ′1()3＝____________________（文）A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜=｜PB ｜，若直线PA 的方程为x －y +1=0，则直线P B 的方程为A.B.C.xD13、在条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤12020y x y x 下, 22(1)(1)Z x y =-+-的取值范围是________ 。

2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知全集{|1}U x x =-…，集合{|0}A x x =>，{|11}B x x =-剟，则()(U A B =I ð )A ．{|10}x x -剟B ．{|01}x x 剟C ．{|01}x x <„D ．{|10}x x -<„2．（4分）若实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．1-B ．0C ．2D ．33．（4分）双曲线22124x y -=的焦点到其渐近线的距离是( )A ．1BC ．2D4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积是( )（单位：3)cmA ．2B ．6C ．10D ．125．（4分）设a ，b 是实数，则“221a b +„”是“||||1a b +„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（4分）在同一坐标系中，函数()(0)a f x x x =>与1()x g x a +=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（4分）已知多项式6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-+⋯+-，则4(a = ) A ．15-B ．20-C ．15D ．208．（4分）斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧面11ABB A是矩形，且12AA =，M 是AB 的中点，记直线1A M 与直线BC 所成的角为α，直线1A M 与平面ABC 所成的角为β，二面角1A AC B --的平面角为γ，则( )A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ<9．（4分）已知函数322221(2)1,1()3(1),1x t t x tx x f x t x t x x ⎧--+++<⎪=⎨⎪++⎩…，则满足“对于任意给定的不等于1的实数1x ，都有唯一的实数221()x x x ≠，使得12()()f x f x ''=”的实数t 的值( ) A ．不存在B ．有且只有一个C ．有且只有两个D ．无数个10．（4分）已知数列{}n a 满足101a <<，14()2n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是( )A ．(1-，3]B ．[0，3]C ．(3,8)D ．(8,)+∞二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．（6分）已知复数11z i =-，122z z i =-g ，则复数2z = ．12．（6分）设直线y kx =与圆22:(2)1C x y -+=相交于A ，B 两点，若||AB =，则k = ，当k 变化时，弦AB 中点轨迹的长度是．13．（6分）设随机变量ξ的分布列是若13E ξ=，则b = ，D ξ= ． 14．（6分）在ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，点D 在线段AC 上，满足BD BC ⊥，且2BD =，则cos A = ，AD = ．15．（6分）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点(,0)F c 关于直线b y x a=的对称点在直线2a x c=-上，则该双曲线的离心率为．16．（6分）已知正三角形ABC 的边长为4，P 是平面ABC 内一点，且满足3APB π∠=，则PB AC u u u r u u u rg 的最大值是，最小值是．17．（6分）设实数a ，b 满足：1b a 剟?，则221a b ab+-的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤.18．已知函数2()sin(2)3f x x x π=--．（Ⅰ）求3()4f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．19．如图，三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，90CBD ∠=︒，E ，F 分别是BD ，CD 的中点，且AB BE AE BC ===．（Ⅰ）证明：AC AD ⊥；（Ⅱ）求AF 与平面ACE 所成角的余弦值．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，452(1)S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，*11()n n n b T T n N ++=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12(21)n c c c n ++⋯++． 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线y x =截抛物线C（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若直角三角形APB 的三个顶点在抛物线C 上，且直角顶点P 的横坐标为1，过点A 、B 分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点Q ．①若直线AB 经过点(0,3)，求点Q 的纵坐标； ②求PABQABS S ∆∆的最大值及此时点Q 的坐标．22．设函数()2(0)ax f x e x a -=+≠．（Ⅰ）当2a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当a >(x ∈-∞，0]，均有2()(1)2af x x >+，求a 的取值范围．2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知全集{|1}U x x =-…，集合{|0}A x x =>，{|11}B x x =-剟，则()(U A B =I ð )A ．{|10}x x -剟B ．{|01}x x 剟C ．{|01}x x <„D ．{|10}x x -<„【解答】解：由{|10}U A x x =-剟ð，可知(){|10}U A B x x =-I 剟ð．故选：A ．2．（4分）若实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．1-B ．0C ．2D ．3【解答】解：先根据实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，画出可行域，由2z x y =-可得1122y x =- z ，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大，然后平移直线:02L x y =-，当直线2z x y =-过点B 时z 最大，由0230y x y =⎧⎨+-=⎩可得(3,0)B ，z 最大值为3．故选：D ．3．（4分）双曲线22124x y-=的焦点到其渐近线的距离是()A．1B C．2D【解答】解：双曲线22124x y-=中，焦点坐标为(，0)，渐近线方程为：y=，∴双曲线22124x y-=的焦点到渐近线的距离：2d==．故选：C．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积是()（单位：3)cmA ．2B ．6C ．10D ．12【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体的底面为直角梯形，高为2四棱锥体．故11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ．5．（4分）设a ，b 是实数，则“221a b +„”是“||||1a b +„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：设a ，b 是实数，则“221a b +„”推不出“||||1a b +„”，例如220.70.60.851+=<，但0.70.6 1.31+=>， “||||1a b +„” ⇒ “221a b +„”，∴ “221a b +„”是“||||1a b +„”的必要不充分条件．故选：B ．6．（4分）在同一坐标系中，函数()(0)a f x x x =>与1()x g x a +=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：01a <<Q 或1a >，∴当0x >时，幂函数()(0)a f x x x =>为增函数，排除B ，A 中，(0)1g a =>，函数()g x 为增函数，此时当01x <<时，a x x <，满足条件． C 中，(0)1g a =>，函数()g x 为增函数，此时当01x <<时，a x x <，此时不满足条件．D 中，(0)1g a =<，函数()g x 为减函数，此时当01x <<时，a x x >，不满足条件．故选：A ．7．（4分）已知多项式6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-+⋯+-，则4(a = ) A ．15-B ．20-C ．15D ．20【解答】解：多项式66[1(1)]x x =--2345616(1)15(1)20(1)15(1)6(1)(1)x x x x x x =--+---+---+- 260126(1)(1)(1)a a x a x a x =+-+-+⋯+-，则415a =．故选：C ．8．（4分）斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧面11ABB A 是矩形，且12AA =，M 是AB 的中点，记直线1A M 与直线BC 所成的角为α，直线1A M 与平面ABC 所成的角为β，二面角1A AC B --的平面角为γ，则( )A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ<【解答】解：由最小角定理可得βα<，设2AB =，则1AA =，侧面11ABB A 是矩形，M 是AB 的中点， 12A M ∴=，设侧棱与底面所成的角为θ，斜三棱柱的高为1sin h AA θθ==g，∴sin β=取11A B 的中点N ，并连接MN ，1C N ，可得平面1C CMN ⊥底面ABC ，过点1C 作1C O CM ⊥于点O ，OG AG ⊥于点G ，连接1C G ，则1C GO γ=∠，可得OG θ，∴1C G ，∴111sin sin 2C O C O C G γβ=>==，又β，γ均为锐角，所以γβ>．故选：B ．9．（4分）已知函数322221(2)1,1()3(1),1x t t x tx x f x t x t x x ⎧--+++<⎪=⎨⎪++⎩…，则满足“对于任意给定的不等于1的实数1x ，都有唯一的实数221()x x x ≠，使得12()()f x f x ''=”的实数t 的值( ) A ．不存在B ．有且只有一个C ．有且只有两个D ．无数个【解答】解：2222(2),1()2(1),1x t t x t x f x t x t x ⎧--++<'=⎨++⎩…，当1x <时，22()2(2)f x x t t x t '=--++，对称轴为22172()124x t t t =-+=-+>，则()f x '单调递减，f '（1）212(2)t t t =--++，当1x …时，2()21f x t x t '=++单调递增，f '（1）221t t =++，而222211521[12(2)]4244()044t t t t t t t t ++---++=-+=-+>，所以不能保证“对于任意给定的不等于1的实数1x ，都有唯一的实数221()x x x ≠，使得12()()f x f x ''=”，故这样的t 不存在，故选：A ．10．（4分）已知数列{}n a 满足101a <<，14()2n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是( )A ．(1-，3]B ．[0，3]C ．(3,8)D ．(8,)+∞【解答】解：由题意易知，121402a ta a +=>+成立，故4t -…；又21202n n n n n a a ta a a +-++-=>+，故只要220n n a a t -++>在(0,3)上有解，则1t >-；又1432n n n a ta a ++=<+恒成立，即60n a t +-<，即6n t a <-，则3t „；综上所述，实数t 的取值范围为(1-，3]．故选：A ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．（6分）已知复数11z i =-，122z z i =-g ，则复数2z =3122i + ．【解答】解：11z i =-Q ，122z z i =-g ，∴2122(2)(1)311(1)(1)22i i i i z i z i i i ---+====+--+．故答案为：3122i +． 12．（6分）设直线y kx =与圆22:(2)1C x y -+=相交于A ，B两点，若||AB =，则k =，当k 变化时，弦AB 中点轨迹的长度是．【解答】解：直线y kx =与圆22:(2)1C x y -+=相交于A ，B 两点，||AB =k =，设AB 的中点为(,)M x y ，22(2)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩得22(1)430k x x +-+=，12241x x k +=+， AB 的中点M 坐标为22(1k +，22)1kk +，由△21612(1)0k =-+…，即213k „，所以22312x k =+…，设(,)M x y ，由yk x=，代入2222211x y k x==++，化简得：2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=，弦AB 的中点为3[2x ∈，2]的一段弧长，长度为23π，故答案为：；23π．13．（6分）设随机变量ξ的分布列是若13E ξ=，则b = 12，D ξ= ．【解答】解：由题设知：11311(1)0133a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得16a =，12b =， 2221111115(1)(0)(1)3633329D ξ∴=--⨯+-⨯+-⨯=．故答案为：12，59． 14．（6分）在ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，点D 在线段AC 上，满足BD BC⊥，且2BD=，则cosA =，AD = ．【解答】解：如图所示，ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，BD BC ⊥，且2BD=，则CD ==；所以sin C ==，cos C ==cos cos(135)cos135cos sin135sin (A C C C =-︒+=-︒+︒=-=sinA == sin sin135BC ACA =︒，=AC =AD AC CD =-==，15．（6分）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点(,0)F c 关于直线by x a =的对称点在直线2a x c=-【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为直线by x a=，设(,0)F c 关于直线0bx ay -=的对称点为(,)A m n ，0m <，双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点(,0)F c 关于直线by x a=的对称点在直线2a x c =-上，c ，且n am c b=--，解得：22a b m c -==，2ab n c =，右焦点(,0)F c 关于直线by x a=的对称点在直线直线2a x c =-，可得222b a ac c--=，化简可得：223c a =，即有23e =，解得e =．16．（6分）已知正三角形ABC 的边长为4，P 是平面ABC 内一点，且满足3APB π∠=，则PB AC u u u r u u u r g 的最大值是 8 ，最小值是．【解答】解：如图，作ABC ∆的外接圆，取优弧·ACB ，再作此圆弧关于直线AB 对称的优弧，即点P 的轨迹由这两段优弧组成，过点B 作直线AC 的垂线，垂足为B '，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为P '，设两圆的圆心分别为1O ，2O ，过1O ，2O 分别作AC 的平行线，与对应的优弧的交点分别为1P ，2P ，为使PB AC u u u r u u u rg 最大，则点P 应处于2P 的位置，注意到2O A AC ⊥，且由正弦定理可得两圆的半径均为2sin 3π=所以此时PB AC u u u r u u u r g 的值为42)8+=；同理，为使PB AC u u u r u u u r g 最小，则点P 应处于1P 的位置，则此时PB AC u u u r u u u r g 的值为4-=；故答案为：8，．17．（6分）设实数a ，b 满足：1b a 剟?，则221a b ab +-的取值范围为 [1，．【解答】解：由1b 剟，1a剟可得13ab 剟，由1b 剟，1a 剟，b a „，11a 剟，1ba„， 1ba剟，则221111a b a b ab b a ab +-=+-=…，当且仅当1a b ==取得最小值1；又1a b t b a t+=+在1]递减，可得1t t ++=„a 1b =取得等号，① 113ab --„，当a b ==②由于①②的等号不同时成立，可得113a b b a ab +-<-，综上可得，221a b ab +-的取值范围是[1．故答案为：[1．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤.18．已知函数2()sin(2)3f x x x π=--．（Ⅰ）求3()4f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（1）由函数2()sin(2)3f x x x π=--，则223331()sin()cos 4234342f ππππππ=--=--=-；（Ⅱ）1cos21()sin 2coscos2sinsin 2sin(2)33223x f x x x x x x πππ-=--=++g ，所以()f x 的最小正周期为2T ππω==，由222232k x k πππππ-++剟得，51212k x k ππππ-+剟，所以函数()f x 的递增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． 19．如图，三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，90CBD ∠=︒，E ，F 分别是BD ，CD 的中点，且AB BE AE BC ===．（Ⅰ）证明：AC AD ⊥；（Ⅱ）求AF 与平面ACE 所成角的余弦值．【解答】解：（1）因为平面ABD ⊥平面BCD ，且BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC AD ⊥，又由于EA EB ED ==，所以AD BC ⊥，所以AD ⊥平面ABC ，所以AD AC ⊥．（2）取BE 中点G ，连接GF 与CE 相交于H ，由于平面ABD ⊥平面BCD ，且AG BD ⊥，所以AG ⊥平面BCD ，所以AG CE ⊥，又GF CE ⊥，所以CE ⊥平面AFG ，所以平面ACE ⊥平面AFG ，所以AF 在平面ACE 上的射影在直线AH 上，则FAH ∠即为AF 与平面ACE 所成角．设1BC =，AB BE AE BC ===．AG =，32DG =，DC =，GF =，AF =，HF GH ==AH ==，由余弦定理可得：222cos 2AH AF HF FAH AH AF +-∠==g ．所以AF 与平面ACF 所成角的余弦值为470．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，452(1)S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，*11()n n n b T T n N ++=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12(21)n c c c n ++⋯++．【解答】解：（Ⅰ）设首项为1a ，公差为d ，则1113462(41)a d a d a d +=-⎧⎨+=++⎩，解得11a =-，2d =-，故21n a n =-+，由11n n n b T T ++=g ，得1111n n T T +-=-，11T =-，所以1n n T =-，即1n T n=-，所以11(2)(1)n n n b T T n n n -=-=-…，故1,11,2(1)n n b n n n -=⎧⎪=⎨⎪-⎩…．（Ⅱ）证明：由（1）知n c =用数学归纳法证明：12(21)n c c c n ++⋯+<+， ①当1n =时，左边1=，右边=，不等式成立， ②假设n k =时成立，即12(21)k c c c k ++⋯+<+，即当1n k =+时，21(21)(21)k k c c c c k k k +++⋯++<++=++22(21)43)1)(23)k k k k k k k k k =++=++<+++=++．即当1n k =+时，不等式也成立．由①，②可知，不等式12(1)n c c c n ++⋯+<+对任意*n N ∈都成立． 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线y x =截抛物线C（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若直角三角形APB 的三个顶点在抛物线C 上，且直角顶点P 的横坐标为1，过点A 、B 分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点Q ．①若直线AB 经过点(0,3)，求点Q 的纵坐标； ②求PABQABS S ∆∆的最大值及此时点Q 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）22y xx py =⎧⎨=⎩，解得两交点为(0,0)，(2,2)p p ．=12p =．（Ⅱ）①设点211(,)A x x ，222(,)B x x ，(,)Q m n ．切线211:2QA y x x x =-，222:2QB y x x x =-，由题设知2112n x m x =-，2222n x m x =-，即1x ，2x 是方程220x mx n -+=的两根，于是122x x m +=，12x x n =．故直线:20AB mx y n --=．又因为直线AB 经过点(0,3)，所以3n =-，即点Q 的纵坐标为3-． ②由题设知2APB π∠=，即0220PA PB m n =⇒++=u u u r u u u rg ．则22|21||46||2|4PAB QAB S m n n S m n n n ∆∆--+==--+，若460n +<，令23(0)t n t =-->，28812562526PAB QAB S t S t t t t∆∆==++++„，若460n +>，令230t n =+>，2882256256PAB QAB S t S t t t t∆∆==-++-„，当且仅当5t =，1n =时，等号成立，此时点Q 的坐标为3(,1)2-．22．设函数()2(0)ax f x e x a -=+≠．（Ⅰ）当2a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当a >(x ∈-∞，0]，均有2()(1)2af x x >+，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当2a =时，函数2()2x f x e x -=+，2()22x f x e -'=-+，由于(0)0f '=，且函数()f x '单调递增，所以当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间是(,0)-∞，递增区间是(0,)+∞．（2）由（1）可知，2a =，函数()f x 在0x <是减函数，2a <<．因为22()(1)(2)1222ax a a af x x e x x >+⇔-+<，令2()(2)22ax a a g x e x x =-+，则222()(2)22ax a a g x x ax e '=-+-，由2222022a a x ax -+-=，解得0x =故()g x 在0(,)x -∞单调递增，在0(x ，0)单调递减，所以01002()()()ax maxg x g x x e a ==-=2a <<11<，即1>，令3(1,)2t，即证1t e ->1t e -<，令()th t -=，2()0th t te-'=<，()h t 在区间3(1,)2单调递减，则1()(1)h t h e<=．2a <<时，对任意(x ∈-∞，0]，均有2()(1)2af x x >+．。

高三期末柯桥数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则下列说法正确的是（）。

A. a > 0，b < 0，c < 0B. a > 0，b > 0，c > 0C. a < 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 02. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为（）。

A. 19B. 21C. 23D. 253. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，∠C = 75°，则sinB : sinC的值为（）。

A. 1 : √3B. √3 : 1C. 1 : √2D. √2 : 14. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z - 1| = |z + 1|，则实数a的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. 25. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）。

A. y = 2x - 3B. y = -x^2 + 2xC. y = 3x + 4D. y = x^3 - 3x^2 + 2x二、填空题（每小题5分，共50分）6. 若等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则第5项an的值为______。

7. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点坐标为______。

8. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为______。

9. 若sinA + sinB = 1，cosA + cosB = 1，则sin(A + B)的值为______。

10. 设向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a · b的值为______。

三、解答题（每小题20分，共80分）11. （本题满分20分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(1) = 2，f(-1) = 0，f(2) = -2，求函数f(x)的解析式。

浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题含答案

2023学年第一学期期末教学质量调测高三数学试题（答案在最后）注意事项：1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题，2．答题前，请在答题卷的规定处用，黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考证号．3．试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2532,21x A x x x B x -=><=>或，则()R A B = ð（）A ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,32⎛⎤⎥⎝⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．若1ii ia +=-（R,i a ∈为虚数单位），则1i a -=（）A ．2B ．C ．3D ．3．函数()2ln 2y x x =-的单调递减区间是（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0-∞D ．()2,+∞4．已知平面向量()()10sin ,1,cos ,3a b θθ==，若a b ⊥ ，则tan θ=（）A ．13-或3-B ．13或3-C ．13或3D ．13-或35．已知命题p ：函数()32f x x x a =+-在(]1,2内有零点，则命题p 成立的一个必要不充分条件是（）A ．318a ≤<B ．318a <<C ．18a <D ．3a ≥6．直线0mx ny m n -+-=交曲线222240x y y +--=于点,A B ，则AB 的最小值为（）A ．B ．CD ．7．已知,x y 为非负实数，且22x y +=，则22121x y x y +++的最小值为（）A ．34B ．94C ．32D ．928．若对任意实数0x ≥，恒有()222284xe mx x m ++≥+成立，则实数m 的取值范围是（）A ．,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,ln222⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．ln22,2⎡-⎢⎣⎦D ．2,2⎡-⎢⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知R a ∈，关于x 的一元二次不等式()()220ax x -+>的解集可能是（）A ．22x x x a ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或B ．{}2x x >-C ．22x x a ⎧⎫-<<⎨⎩⎭D ．22xx a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭10．已知直线,m n 为异面直线，m ⊥平面,n α⊥平面β，则下列线面关系可能成立的是（）A ．m n⊥B ．m ⊥平面βC ．平面α∥平面βD ．平面α⊥平面β11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为57,50,35n S S S ==，则（）A ．数列{}2na 为等比数列B ．90S =C ．当且仅当4n =时，n S 取得最大值D ．2231575234n S S S n nS n -+++++=12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一动点()0012,,,P x y F F 为双曲线的左、右焦点，点(),G x y 为12PF F 的内切圆圆心，连接PG 交x 轴于点(),0M m ，则下列结论正确的是（）A ．当0x a >时，点(),0a 在12PF F △的内切圆上B ．20mx a =C ．00,y G a a x ⎛⎫± ⎪+⎝⎭D ．当0x a <-时，()x a b y b =--<<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若3nx⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2x 的项的系数为____________．14．已知函数()()2133ln 22f x x a x a x =-+++在[)4,6上存在极值点，则正整数a 的值是____________．15．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标．卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为a ，高为23a ，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是____________．16．已知O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点()2,0P 的直线l 交C 于A B 、两点，直线AF BF 、分别交C 于M N 、，则AM BN +的最小值为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知锐角ABC △的内角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，且sin sin 2B Cb a B +=．（1）求角A ；（2）若a =，求ABC △的周长的取值范围．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且满足418,54S S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n T a a a =+++ ，求n T ．19．（12分）临近新年，某水果店购入,,A B C 三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱．现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查．（1）应从,,A B C 三种水果各抽多少箱？（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测．①用X 表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X 的分布列和数学期望；②设A 为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A 发生的概率．20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，4PA PC ==．（1）求证：PB AC ⊥；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，在线段PB （包含端点）上是否存在一点E ，使得平面PAB ⊥平面ACE ，若存在，求出PE 的长，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与圆222(2)(1)x y r -+-=交于,M N 两点，直线MN 过该圆圆心，且斜率为1-，点,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线l 交椭圆于D E 、两点，记直线,AD BE 的斜率分别为12,k k ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若a =12k k 的值．22．（12分）已知函数()ln xe f x x x x=-+．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数()f x a =有两个解12,x x ，求证：121x x <．2023学年第一学期期末教学质量调测高三数学试题参考答案一、选择题1-4CBCA 5-8DBBC 二、选择题9．ACD10．AD11．AB12．AB三、填空题17．（1）由已知得，sin sin 22A b a B π⎛⎫-=⎪⎝⎭，sin cossin sin (sin 0)2AB A B B =>，1cos 2sin cos sin 22222A A A A =⇒=ABC △为锐角三角形，3A π∴=．（2）由正弦定理得4sin sin sin a b cA B C===，则4sin ,4sin 3b B c B π⎛⎫==+⎪⎝⎭4sin 4sin 3a b c B B π⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62B ππ<<，得2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin ,162B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，得(a b c ++∈．18．（1）由已知得，设n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭公差为41,3341S S d d -==-，则1d =-，求得29,9nn S n S n n n=-+∴=-+，当2n ≥时，1102n n n a S S n -=-=-，18a =符合上式，*102,n a n n ∴=-∈N （2）由（1）知102n a n =-，令0n a ≥，得5n ≤，当5n ≤时，则212129n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==-+ 当6n ≥时，则()1212567n n n T a a a a a a a a a =+++=+++-+++ ()()()225552295259940n n S S S S S n n n n =--=-=⨯⨯---=-+；229,5940,6n n n n T n n n ⎧-+≤∴=⎨-+≥⎩19．（1）根据分层抽样，A 水果需要抽取936936436271881⨯⨯==++，B 水果需要抽取927927336271881⨯⨯==++（2）0,1,2,3,4X =()()4315544499540200,112612653C C C P X P X C C =======()()()22134545444449996030201012,3,41265312653126C C C C C P X P X P X C C C ===========X01234P51262053305310531126所以()520301011120123412653535312653E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20．（1）取AC 的中点O ，连接,OP OB ，因为ABC △是边长为2的正三角形，所以OB AC ⊥，由PA PC =，所以OP AC ⊥，又,,OB OP O OB OP =⊂ 平面OPB ，所以AC ⊥平面OPB ，又PB ⊂平面OPB ，所以PB AC ⊥；（2）由（1）得,OP AC OB AC ⊥⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC 且交线为AC ，所以OP ⊥平面ABC ，如图，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，则()(()()1,0,0,,1,0,0,0,A P C B -，设()01PE PB λλ=≤≤，则((),PB PE ==- 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，()AB =-，则有0n PB n AB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取)m = 设平面ACE 的法向量为()(),,,1,,n x y z AE AP PE ==+=-则有)200n AC x n AE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，所以1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ，若平面PAB ⊥平面ACE ，则0501m n λλ⋅=++=- ，求得56λ=，所以6PE =．21．（1）由已知得，MN 中点为()2,1，设()()1122,,,M x y N x y ()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，由12121y y k x x -==--得，222a b =，（2）由（1）得椭圆C 的方程为：22163x y +=．设()()3344,,,D x y E x y ，直线DE的方程为x my =+，()2222123063x y m y x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，3434223,,()22y y y y m m -∴+=-=++※过F 作x 轴的垂线交,AD BE 分别于点,G H易知直线:AD y x =+，得G ⎫⎪⎭同理直线:BE y x =-，得H ⎫⎪⎭得GF=+=+，HF==-341111,GF y FH y=+=-由（※）知，3411y y+=，得GF HF=．12tan3tanGFk GAF BFAFHFk HBF AFBF∠====-∠22．（1）由题意知()f x的定义域为()0,+∞．对已知函数求导可得()2111111xxx ef x ex x x x x⎛⎫-⎛⎫=-+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'令()0f x'=，得1x=，若()0f x'>，则1x>，若()0,01f x x<'<<．所以函数()f x在()0,1单调递减，函数()f x在()1,+∞单调递增（2）由题意知()f x的一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设121x x<<，要证121x x<，即证121xx<，因()121,0,1xx∈，所以()121f x fx⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为()()12f x f x=，所以()221f x fx⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证：()111ln ln0,1,xxe x x xe xx x x-+-+->∈+∞即：()112ln0,1,xxe xe x x xx x⎡⎤---+>∈+∞⎢⎥⎣⎦设()1,(1)xxeg x xe xx=->，则()111221111xx x x xx eg x e e x e ex x x x x⎡⎤⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=--+⋅⋅-=-⎪⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭'．设()(1)x ex xxϕ=>，则()2110xx ex xϕ⎛⎫=->⎪'⎝⎭，所以()()1x eϕϕ>=，而1xe e <，所以10xx e e x->，所以()0g x '>所以()g x 在()1,+∞单调递增，即()()10g x g >=，令()11ln ,12h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，则()2222211121(1)10222x x x h x x x x x ----⎛⎫=-+== ⎪⎝'<⎭所以()h x 在()1,+∞单调递减，故()()1110,ln 02h x h x x x ⎛⎫<=--< ⎪⎝⎭。

浙江绍兴市高三上学期期末统考数学理试题word版含解析

一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．）1、设会合S xx 2， xx2x 12 0，则S （）A．3,B．4,C2,3．D．2,4【答案】D考点：会合的运算2、已知向量a1,2，a b //b，则b能够为（）A．1,2B．1,2C．2,1D．2,1【答案】A考点：向量共线的条件2x y203、已知实数x，y知足x2y20，则z3x2y的最小值为（）x y20A．4B．2C．4D．6【答案】A【分析】考点：线性规划4、已知a，b R，则“a b 4”是“ab 4”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】D考点：充足条件、必需条件5、将函数y sin2x图象向右平移m（m0）个单位，获得函数y f x的图象，6若yfx在区间,上单一递加，则m的最小值为（）63A．B．C．D．34612【答案】C【分析】试题剖析：由题意f(x)sin(2(x m))sin(2x2m)，若y f x在区间66,上单调递63考点：三角函数的性质6、曲线x23y2与双曲线C:x 2y 2 1（a0，b0）的四个交点与 C 的两个虚轴a 2b 2极点组成一个正六边形，则双曲线 C 的离心率为（）A ． 15B．26C．3D．8333【答案】B考点：双曲线离心率7、已知数列a n 的通项公式a nn 2 13n 133 ．4当a 1a 2a 3 a 2a 3a 4a 3a 4a 5a n a n 1a n2获得最大值时，n 的值为（）A ．7 B．8C．9D．10【答案】C 【分析】试题剖析：由a n的通项公式a nn 2 13n 133 易知当n 6时，a n 是递加的，当n64时，a n 是递减的，且a 1 a 2 a 3 0a 4a 5 a 6a 7 a 8a 9 0a 10 ，所以a 1a 2a 30，a 2a 3a 4 0，a 3a 4a 5 0，a 7a 8a 90，a 7a 8a 9 0，a 8a 9a 100，a 9a 10a 11 0，且a 8a 9a 10a 9a 10a 11 a 9a 10(a 8 a 11) 0，a 10a 11a 120，,,,只需n10时，a na n1an2，记考点：数列通项的性质8、将单位正方体搁置在水平桌面上（一面与桌面完整接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完整接触，称一次翻转．如图，正方体的极点，经随意翻转三次后，点与其终结地点的直线距离不行能为（）A．0B．1C．2D．4【答案】B考点：几何体翻转二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9、已知数列a n的前n项和S n n23，则首项a1，当n2时，a n．【答案】2，2n1【分析】试题剖析：a1S12，当n2时，a n SnSn12n1考点：数列通项与S n的关系10、已知函数f x sinx，则f0，知足fx10,）（x32的x的值为．【答案】3，526考点：三角函数求值及解三角函数方程11、已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如下图，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数有个，该四棱锥的体积为．【答案】3，考点：三视图4 312、已知log2x y log2xlog2112y的最小值为y，则，x．x y【答案】1，322【分析】试题剖析：由log2x y log2x log2y得x yxy且x0,y110，因此1，x yx 2y=(x2y)(11)3x2y32x2y322,当且仅当x2y时获得等号x y y x y x y x考点：基本不等式13、设圆C的半径为1，圆心在l:y x1（x0）上，若圆C与圆x2y29订交，则圆心C的横坐标的取值范围为．【答案】71,31122考点：圆与圆的地点关系14、已知向量a，b，且b2，b 2a b0，则tb 1 2ta（t R）的最小值为．【答案】1考点：向量运算15、已知f1x x1，f n1x n 1f n x1，n，若函数y f3x kx恰有4个不一样零点，则正实数k的值为．【答案】2【分析】考点：函数与方程、零点。

绍兴市柯桥区2019学年第一学期高三数学期末试题参考答案

………………4 分
（2）①设点 A(x1, x12 ) ， B(x2, x22 ) ， Q(m, n) .切线 QA : y = 2x1x − x12 ， QB : y = 2x2x − x22 ，
由题设知 n = 2x1m − x12 ， n = 2x2m − x22 ，
………………5 分
即 x1 ， x2 是方程 x2 − 2mx + n = 0 的两根，于是 x1 + x2 = 2m ， x1x2 = n . ………………7 分
设 BC = 1，则 AF = 1 CD = 5 ， HF = GH = 2 ， AH = AG2 + GH 2 = 14 ，
2
2
4
4
由余弦定理可得： cos FAH = AH 2 + AF 2 − HF 2 = 4
70
.
2AH AF
35
………………14 分
所以 AF 与平面 ACF 所成角的余弦值为 4 70 ． 35
ABD ⊥ 平面 BCD ，且 AG ⊥ BD ，所以 AG ⊥ 平面 BCD ，
所以 AG ⊥ CE ，又 GF ⊥ CE ，所以 CE ⊥ 平面 AFG ，所以平面 ACE ⊥ 平面 AFG ，所以 AF 在平面 ACE 上的射影在直线 AH 上，则 FAH 即为 AF 与平面 ACE 所成角.………10 分
= −n ，即Tn
=−1 n
，
−1, n = 1
所以 bn
=
Tn
− Tn−1
=
1 n(n −1)
(n

2)
，故 bn
=

1
n(n −1)
,n

2,

2019届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末数学试题(解析版)

柯桥区2018学年第一学期期末高中教学质量检测高三数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5A =，{}2,4.,6B =，则A B =I （）A. ∅B. {}2C. {}2,4D. {}2,4,6 【答案】C【解析】【分析】由A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】解：{1A =Q ，2，3，4，5}，{2B =，4，6}，{2A B ∴⋂=，4}．故选：C ．【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.双曲线2214x y -=的渐近线方程是（）A. 20x y ±=B. 20x y ±=C. 40x y ±=D. 40x y ±= 【答案】B【解析】【分析】渐近线方程是2204x y -=，整理后就得到双曲线的渐近线．【详解】解：双曲线2214x y -=，其渐近线方程是2204x y -=，整理得20x y ±=．故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐近线方程．3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原出几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【详解】解：根据几何体的三视图，该几何体为底面为等腰梯形，高为3的直四棱柱，故：1(13)?3?3182V=+=．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：由三视图还原出几何体的直观图，棱柱的体积公式的应用，主要考查想象能力．4.复数52i-（i为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出52i-在复平面上对应的点的坐标，则可求出答案．【详解】解：Q55(2)22(2)(2)iii i i+==+--+，∴复数52i-在复平面内对应的点的坐标为：(2,1)，在第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义．5.函数()2ln 1sin 2y x x =+⋅的图象可能是（） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用代入特殊值判断在π的右侧函数值的符号，进行排除即可．【详解】解：22()(1)sin(2)(1)?sin 2()f x ln x x ln x x f x -=+-=-+=-，即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，当x π>时，则π的右侧，sin 20x >，则()0f x >，排除C ，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及特殊值法是解决本题的关键．6.已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论．【详解】解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．7.设01p <<，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P2p 12p - 12 则当p 在()0,1内增大时（）A. ()E ξ减小，()D ξ减小B. ()E ξ减小，()D ξ增大C. ()E ξ增大，()D ξ减小D. ()E ξ增大，()D ξ增大【答案】B【解析】【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可．【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是 1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-，方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+，当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．8.已知ABC ∆中，AC BC …，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，沿直线DE 将CDE ∆反折成△C DE '，设1C DA θ∠'=，2C EB θ∠'=，二面角C DE A '--的平面角为3θ，则( )A. 123θθθ厖B. 132θθθ厖C. 213θθθ厖D. 312θθθ厖【答案】A【解析】【分析】过C 作AB （或其延长线）的垂线，垂足为H ，交DE （或其延长线于)G ，找出二面角C DE A '--的平面角3θ，连接C C '，在△C GC '，△C DC '，△C EC '中，由已知结合三角形的边角关系可得C DC C EC C GC ∠'∠'∠'剟，从而得到123θθθ厖．【详解】解：过C 作AB （或其延长线）的垂线，垂足为H ，交DE （或其延长线于)G ，则C GH ∠'为二面角C DE A '--的平面角为3θ，又1C DA θ∠'=，2C EB θ∠'=，连接C C '，在△C GC '，△C DC '，△C EC '中，C C C C '='Q ，CD CE CG 厖，C D C E C G '''厖，则C DC C EC C GC ∠'∠'∠'剟， 123θθθ∴厖，故选：A ．【点睛】本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力与思维能力．9.已知向量a r ，b r 满足1a =v ，2b =v ，若对于长度为2的任意向量c r 都有26a c b c ⋅+⋅≤v v v v ，则a b -v v 的最小值为（）A. 1 14 26 D. 3【答案】B【解析】【分析】由()?··a b c a c b c ++r r r r r r r 剟，可求2a b +r r „，结合向量数量积的性质可求a b r r g 的范围，然后由222||2?a b a b a b -=+-r r r r r r 即可求解．【详解】解：()?··a b c a c b c ++r r r r r r Q r 剟||2=r c ，a b ∴+r r „， ∴22132?2a ab b ++r r r r „， ||1a =r Q ，||2b =r ， ∴3·4a b r r „，则2227||2?52?2a b a b a b a b -=+-=-r r r r r r r r …，a b ∴-r r 的最小值为2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用．10.已知不等式()1ln x xe a x x -+≥对任意正数x 恒成立，则实数a 的最大值是（）A. 12B. 1 D. 2e 【答案】B【解析】【分析】分类参数，构造新的函数()g x ，求出零点，判断()g x 的单调性，求出()f x 的最小值，即可求出a ．【详解】解：0x >时，不等式(1)x xe a x lnx -+…可化为(1)xa x xe lnx +-„，所以1x xe lnx a x -+„，设()1x xe lnx f x x -=+，其中0x >，则221(1)1()(1)x x x e lnx x f x x ++--+'=+，设21()(1)1xg x x x e lnx x=++--+，其中0x >，则21()(1)[(2)]0x g x x x e x '=+++>恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，2211())(1)1(1)1x x x g x x x e lnx x e xe lnx x x==++--+=+---+，令()0o g x =，得1o x oe x =，所以()f x 在(0,)o x 单调递减，(o x ，)+∞单调递增，1()111o x o o o min o o ox e lnx x f f x x x -+====++，对任意正数x 恒成立，即()1min a f x =…，故选：B ．【点睛】考查导数在求参数问题中的应用，判断函数的单调性，恒成立问题，参数分离法的应用等．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一名纺织女工，在五天时间内共织了五尺布，后一天的织布量是前天的2倍，问每天的织布量分别是多少？若设第一天的织布量为1a 第五天织布量为5a ，则1a =_____，5a =_____.【答案】 (1).531 (2). 8031【解析】【分析】设这名女子第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比2q =的等比数列，由此利用等比数列的前n 项和公式能求出结果．【详解】解：设这名女子第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比2q =的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-， 1531a ∴=， 4558023131a ∴=⨯=，故答案为：531，8031．【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力．12.若,x y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______，最大值为_____.【答案】 (1). -6 (2). 10【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：画出x ，y 满足约束条件42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…可行域，如图所示，(2,2)A --，(6,2)B -，(2,2)C ，可知目标函数过点(2,2)A --时取得最小值，2(2)(2)6min z =⨯-+-=-，目标函数经过B 时，取得最大值：26210⨯-=，故答案为：6-；10．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及计算能力．13.已知ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，2c =，60B =o ，则b =___，C =_____．【答案】 (1). 3 (2). 30o【解析】【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，可求得3b =1sin 2C =，根据c b <，即C B <，即可求解．【详解】在ABC ∆中，因为4a =，2c =，60B =o ，由余弦定理可得222222cos 42242cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯=o ，所以3b = 又由正弦定理可得sin sin b c B C =，即sin 1sin 223c B C b ===o ，又由c b <，所以C B <，所以30C =o ．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.二项式91x x ⎫⎪⎭展开式中3x 项的系数是______. 【答案】9-【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中3x 项的系数．【详解】解：二项式91)x展开式的通项公式为： 93219·(1)?r r r r T C x-+=-，令9332r -=，可得1r =，∴展开式中3x 项的系数是199C -=-，故答案为：9-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．15.已知函数(),01,0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()1f x ≤的解集为______，若实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==且a b c <<，则2a b c ++的取值范围是_______.【答案】 (1). ](,2-∞ (2). (),2-∞ 【解析】【分析】分类讨论，即可求出不等式的解集，画出函数()f x 的图象，如图所示，结合图象即可求出答案．【详解】解：当0x „时，0()1x f x e e ==„，解得0x „，当0x >时，()11f x x =-„，解得02x <„，综上所述，不等式()1f x „的解集为(-∞，2]，画出函数()f x 的图象，如图所示， ()()()f a f b f c ==Q ，且a b c <<，由图象知，0a <，01b <<，由于()af a e =，()1f b b =-，且()()f a f b =， 1a e b ∴=-，即1a b e =-，则有1a a b a e +=+-，由于0x ≠时，1x e x >+，可知10x x e +-<，而0a <，所以10a a b a e +=+-<，即：0a b +<，而2b c +=，所以()()2a b b c +++<，22a b c ∴++<.故答案为：(-∞，2]，(,2)-∞.【点睛】本题考查了分段函数，以及函数图象的应用，考查数形结合思想.16.有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得．【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种，故答案为：144.【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..17.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上任意一点，直线2F M 垂直于OP 且交线段1F P 于点M ，若12F M MP =，则该椭圆的离心率的取值范围是______.【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】设(,)P m n ，||m a <，又1(,0)F c -，2(,0)F c ，运用向量共线的坐标表示，可得M 的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，由P 的坐标满足椭圆方程，化简整理可得m 的方程，求得m ，由||m a <，解不等式结合离心率公式即可得到范围．【详解】解：设(,)P m n ，||m a <，又1(,0)F c -，2(,0)F c ，1||2||F M MP =，∴12MF PM =u u u u v u u u u v，可得(M c x --，)2(M M y x m -=-，)M y n -，可得2(3m c M -，2)3n ，又(,)OP m n =u u u r ，22(3m c MF c -=-u u u u v ，2)3n -，由2·0MF OP =u u u u vu u u v ，可得222()033m c n m c ---=，化为2(2)n m c m =-，由P 在椭圆上，可得22221m n a b+=，即有2222(1)m n b a =-，可得222(2)(1)m m c m b a -=-，化为2222220c m mc a c a-+-=，解得2a m a c =-，或2a m a c=+（舍去），由2a a a c-<，可得2c a >，即有12c e a =>，又01e <<，可得112e <<， ∴该椭圆的离心率的取值范围是1(,1)2，故答案为：1(2，1)．【点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用向量的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，考查椭圆的范围，以及化简整理的运算能力．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知10sin cos 02252ααπα⎫-=<<⎪⎝⎭（1）求tan α的值；（2）若角β满足()12sin 213αβ+=，求()cos αβ+值. 【答案】（1）3tan 4α=（2）5665或1665【解析】【分析】（1）把已知等式两边平方，即可求得sin α，进一步得到cos α，则tan α可求；（2）由12sin(2)13αβ+=，得5cos(2)13αβ+=±，利用cos()cos[(2)]αβαβα+=+-，分类展开两角差的余弦求解.【详解】解：（1）将10sincos 22αα-=-两边平方，可得212sin cos 225αα-=，所以3sin 5α=，又02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=，故sin 3tan cos 4ααα==，（2）由()12sin 213αβ+=，得()5cos 213αβ+=±，又因为()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=+++⎡⎤⎣⎦，若()5cos 213αβ+=-，则5412316cos()13513565αβ+=-⨯+⨯=，若()5cos 213αβ+=，则5412356cos()13513565αβ+=⨯+⨯=．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，体现了分类讨论的数学思想方法．19.已知四面体ABCD 中，2AB BC AC CD ====，10AD =，120BCD ∠=︒，E 为BC 中点.（1）求证：AE ⊥平面BCD ；（2）求AD 与平面ABC 所成的角的正切值.【答案】（1）见解析（2）217【解析】【分析】（Ⅰ）连结DE ，推导出AE ED ⊥，AE BC ⊥，由此能证明AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ，则DF ⊥平面ABC ，从而DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成角，由此能求出AD 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】解：（1）连接DE ，在DCE V 中，由余弦定理得：22212212cos1207DE =+-⋅⋅︒= 在ABC V 中，3AE =，则有222AE DE AD +=，所以AE ED ⊥，E Q 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，DE BC E ⋂=Q ，所以AE ⊥平面BCD ，（2）由于AE ⊂平面ABC ，由（1）可得平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ，则DF ⊥平面ABC ，则DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成的角，在Rt CDF V 中，sin603DF CD =︒，在Rt ADF V中，AF =AD ∴与平面ABC 所成的角的正切值：tan DF DAF AF ∠==. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想．20.已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，124,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，1n n n a b b +=，求证：121111n b b b ++⋅⋅⋅+≥. 【答案】（1）n a n =（2）见解析【解析】【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.【详解】解：（1）设公差为d ，则由题设可得：()2113d d +=+，解得1d =或0d =（舍去），所以n a n =，（2）当2n ≥时，有1n n b b n +=，11n n b b n -=-，两式相减得：11()1n n n b b b +--=，即111n n b b b+-=-，所以()()()()3142311121111n n n n nb b b b b b b b b b b -+-++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+-+-1121121n n nn b b b b bn b +=++--=++-≥，当1n =时，左边1=，右边1=，不等式也成立，综上所述，对于任意N n *∈都有121111n b b b ++⋅⋅⋅+≥. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．21.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．【答案】6π 【解析】【分析】由余弦定理直接进行计算即可得b 的值，根据正弦定理可求sin C ，结合大边对大角可求C 的值．【详解】解：4a =Q ，2c =，60B =︒， ∴由余弦定理得：22212cos 164242208122b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=-=，则b = ∴由正弦定理sin sin b c B C=，可得：2·sin 1sin 2c B C b ===， c a <Q ，C 为锐角，6C π∴=．故答案为：6π．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力．22.已知F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，A 是C 上异于原点的点，过A 作C 的切线与C 的准线l 相交于点P ，点B 满足BP l ⊥，AB l P .（1）求证：FB AP ∥；（2）设直线FB 与抛物线C 相交于M ，N 两点，求AMN V 面积的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2,2p ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）设0(A x ，0)y ，则点A 处的切线方程为000()x y y x x p-=-．故000((),)2p p B y y x -，00002()2FB p y x k p p py x -==-，即可得//FB AP ；（2）由（1）可知MN 的方程为02x p y x p =+，代入抛物线方程22x py =，得22020x x x p --=， 221202x x x p -=+，32222120000011·()?()22?()22222AMN PMN p p p S S PB x x y x p y py p p y ∆∆==-=++=++=+，即可求解．【详解】解：（1）证明：设0(A x ，0)y ，则点A 处的切线方程为000()x y y x x p-=-．令2p y =-，可得00()2p p x y x =-，故000((),)2p p B y y x -，∴00002()2FB p y x k p p py x -==-， FB k k ∴=切线，//FB AP ∴；（2）由（1）可知MN 的方程为02x p y x p =+，代入抛物线方程22x py =，得：22020x x x p --=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y，则12x x -=，//AP MN Q ，∴12011·()?222AMN PMN p S S PB x x y ∆∆==-=+3200()22p p y y =+=+， 00y >Q ，∴22AMN p S ∆>，所以AMN ∆面积的取值范围为：2,2p ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了圆锥曲线直线与曲线的位置关系，韦达定理，三角形面积计算，属于中档题．23.已知函数()()1R x f x x ae a =-+∈.（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）试求函数()y f x =零点的个数，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导得()1x f x ae ¢=-，分类讨论当0a ≤和0a >时，利用导函数研究函数()y f x =的单调性；（2）根据题意，当0a =时，()1f x x =+，函数()f x 有且只有一个零点1x =-；当0a <时，利用零点存在性定理，得出()f x 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，根据零点存在性定理和单调性讨论零点个数，综合即可得出结论.【详解】解：（1）()1xf x ae ¢=-，当0a ≤时，()()0,f x f x '>在(,)-∞+∞上单调递增，当0a >时，由()0f x >，得1ln x a<，所以()f x 在1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，（2）0a =时，()1f x x =+，函数()f x 有且只有一个零点1x =-，当0a <时，因为()010f a =->，()()1110a f a a e --=-<，由根的存在定理可知，在()1,0a -上存在零点，又因为()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，从而()f x 在R 上有且只有一个零点.当0a >时，由（1）可知()f x 存在最大值，且()max 11ln ln f a a f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ①若1ln0a<，即1a >时，函数()f x 无零点， ②若1ln 0a =，即1a =时，函数()f x 有且只有一个零点0x =， ③若1ln 0a>，即01a <<时，因为()1110,ln ln 0a f f e a a ⎛⎫-=-<=> ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-1 ⎪⎝⎭上存在零点，由（1）可知()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零，下面寻找0x ，使得满足01ln x a>，且()00f x <，先证明若0x >，则212x e x >，令()212x g x e x =-，()0x g x e x '=->，所以函数()g x 在()0,∞+单调递增，所以()()010g x g >=>，所以212x e x >，所以当0x >时，()()22112222a f x x x ax x <-+=---，令2220ax x --=，解得x =，取0x =，则()()0220000011122022x f x x ae x a x ax x =-+<-⋅=---=，又因为111ln 1a a a <-<< 所以()fx 1ln a ⎛ ⎝⎭存在零点，由（1）可知()f x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点，所以()f x 有且只有两零点，综上，当0a ≤或1a =时函数()f x 有且只有一个零点，当01a <<时，函数()f x 有且只有两个零点，当1a >时，函数()f x 无零点【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性以及零点个数问题，还涉及零点存在性定理、函数的最值等，考查函数思想和转化思想以及解题分析能力.。

2021年1月绍兴市柯桥区高三期末(答案)

2020学年第一学期期末高中教学质量检测高三数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1-5：BADCB 6-10：DABBA二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分. 11. 3sin 5θ=，27cos 212sin 25θθ=-= 12. 032a =，340a =- 13. -2，5 14. 2a ≥- 15. ()13220P ξ==，()775204E X =⨯= 16. max 23c = 17. 21 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 解析：（1）由题设可知，在APB △中，24AB πω==，max ()2PQ f x ==，所以222145AP AQ PQ =+=+=， 22210BP PQ BQ =+=，由余弦定理可得：222cos 220AP PB AB APB AP BP +-∠==-⋅⋅.（2）易知24T =，8T =，所以4πω=，又2πωϕ+=，所以4πϕ=，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 19. 解析：（1）连接1BC 与1B C 相交于M ，连接EM ，由于E ，M 分别是11A C ，1BC 的中点，则1//EM A B ，因为EM ⊂平面1B CE ，1A B ⊄平面1B CE ，所以1//A B 平面1B CE .（2）取BC 中点F ，连接AF ，1B F ，则AF BC ⊥，因为1B A ⊥平面ABC ，所以1B A BC ⊥，所以BC ⊥平面1AB F ，所以平面1AB F ⊥平面11BCC B ，过N 作1NO B F ⊥于O ，则NO ⊥平面11BCC B ，连接OB ，则OBN ∠即为1A B 与平面11BCC B 所成角，设12BB =，易知2BN ==，由11ONB AFB △△，1114B N ON AF B F =⋅=，所以sin ON OBN BN ∠==.20. 解析：（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)n n n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2nn a n N --=∈（或1,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）. （2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a +=，即()*21n n a n N =-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-，综上说述：()*22n T n n N <+∈.21. 解：（1）∵2TF =，由抛物线定义知，122p +=，∴2p =，∴24x y =. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,G x y ，[]03,1y ∈--，切线AM ：()112x x y y =+，因此：11122A y x x x ==，切线AN ：()222x x y y =+，因此：22222B y x x x ==，另一方面，点()00,G x y 在两切线上，从而满足：()()1010202022x x y y x x y y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，因此切点弦MN 的方程为：()002x x y y =+，直线MN 与抛物线24x y =进行方程联立：200240x x x y -+=，从而12012024x x x x x y +=⎧⎨=⎩，且MN ==， ABMN GMN GAB S S S =-△△120112222x x y =⋅- ()()3322222000120011144242x y y x x x y ⎡⎤=---=-+⎢⎥⎣⎦()()2200000473x y y y y =-+=---，当[]03,1y ∈--=≤ 2200073773924y y y ⎡⎤⎛⎫---=-++≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴ABMN S ≤，当且仅当03y =-时，取到最大值.22.（1）解：设21()()ln(1)11x x g x f x x x x =+=+-++，则2'()(1)x g x x =+，所以()g x 在()1,0-单调递减，在[)0,+∞单调递增，所以()()00g x g ≥=，即21()1x f x x≥-+. （2）证明：'11(1)()1(1)n n x f x x n n x --=-=++，所以()n f x 在(]1,1n --上单调递增，在()1,n -+∞单调递减，且()00n f =，由（1）可知111(1)ln 0n n n n f n n n n n----=->-=，取204x n =， ()()()000ln 14ln 14n f x x n x n =+-<+-(2ln 1440n n =+-<=，由以上知()0n f x =在()0,+∞存在唯一的非零实数根n x .（3）解法一：当2n ≥时，设()()ln 11n n n x g x x n +==，()()111ln 111n n n x g x x n ++++==+， ∵2ln(1)1'()0x x x g x x-++=≤，所以函数()g x 单调递减，所以11n n x x +->等价于证明()()1111n n g x g x n ++>=+，等价于()()111ln 2ln 1n n n n x x n x x +<+=+++，设()(1)ln(1)ln(2)ln(1)ln(2)(0)h x x x x x x x x =++-+-++≥，12ln(1)ln(2)'()ln2221x x x h x x x x x +++=+--++++，由（1）可知ln(1)1x x x x <+<+，所以111ln ln 1222x x x x +⎛⎫=-<- ⎪+++⎝⎭，ln(2)1111122x x x x x x ++-<-⋅=-++++，所以当0x >时，ln(1)'()02x h x x+<-<+，故()h x 在()0,+∞单调递减，所以()()00h x h ≤=，故11n n x x +->.。

高考练习题库——浙江省绍兴市2021-2022学年高三上学期期末数学试题(含答案解析)

三视图可得该几何体为正方体中挖去一个圆锥，由此可得答案.
【详解】
由三视图可得该几何体为正方体中挖去一个圆锥，
且圆锥的底面圆为正方体的上底面的内切圆，
该正方体的棱长为2，圆锥的底面圆的半径为1，高为2.
所以该几何体的体积为
故选：C
4．B
【分析】
由，则，根据集合的包含关系得出结论.
【详解】
由，则
由
利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.
【详解】
对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为 <1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能；
对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为 <1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；
对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为 >1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；
所以，即，即，即
所以，即
故答案为：
13．
【分析】
建立坐标系，根据题意设出可设， ,利用向量的数量积和夹角余弦值的坐标运算公式，结合二次函数性质，基本不等式，利用分类讨论思想求得与夹角余弦值的最大值.
【详解】
如图建立直角坐标系，则可设， ,
，
，
当时，，
当时，由，
故 ,
∴ ,∴ ,
12．已知是双曲线 .左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是__________.
13．已知矩形中，，点分别在边上（包含端点），若，则与夹角的余弦值的最大值是__________.
评卷人
得分
三、双空题
14．若实数满足约束条件，则的最小值是__________，最大值是_________.

1901绍兴一中高三上期末考数学答案

参考答案DBCCC BADCB5 -1 3 ()1,+∞ 4－218．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，f (x )的最大值为2，求a 的值．18.解：(1)f(x)＝2cos2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，f(x)单调递增，即k π－38π≤x≤k π＋π8(k ∈Z)．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)为f(x)的单调递增区间。

(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，π4≤2x＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1。

所以f(x)max ＝2＋1＋a ＝2，∴a ＝1－ 2.19．如图，已知三棱锥D ABC -，2DC DA AB BC ===，AC BC ⊥，ABD CBD ⊥平面平面，M是BD 中点．（Ⅰ）证明：BC MAC ⊥平面；（Ⅱ）求直线BD 与平面ABC 所成的角的正弦值．19.（Ⅰ）由AD AB =得AM BD ⊥，由ABD CBD ⊥平面平面得AM CBD ⊥平面，所以AM BC ⊥，又因为AC BC ⊥，所以BC MAC ⊥平面．（Ⅱ）过M 作ME AC ⊥且ME AC E =，连结EB ．由BC MAC ⊥平面得MAC ABC ⊥平面平面，所以ME ABC ⊥平面，故MBE ∠为直线BD 与平面ABC 所成的角．不妨设22DC DA AB BC ====．由AC BC ⊥得AC ．由222AM MC AC +=，222AM MB AB +=， 22222()MC MB CD CB +=+得32AM =，MCMB =．所以34ME =，sin MBE ∠=，故直线BD 与平面ABC20.已知等差数列满足：，，的前n 项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有，解得，所以；==。

浙江省绍兴市柯桥区2020届高三上学期期末考试数学试题(含答案解析)

浙江省绍兴市柯桥区2020届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习浙江省绍兴市柯桥区2020届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）1 已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】求出集合的补集，然后求解交集即可.【详解】解：由已知，所以，故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查.2 若实数，满足约束条件，则的最大值是（）A. －1B. 0C. 2D. 3【答案解析】 D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为直线方程的斜截式，由图可知，当直线过点A时，直线在轴上的截距最小，最大，为.故选：D.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.3 双曲线的焦点到其渐近线的距离是（）A. 1B.C. 2D.【答案解析】 C【分析】求出双曲线的，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，可得所求值. 【详解】解：双曲线的，焦点为，渐近线方程为，即，即有焦点到渐近线的距离为，故选：C.【点睛】本题考查双曲线的焦点和渐近线，考查运算能力，属于基础题.4 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）（单位：cm3）A. 2B. 6C. 10D. 12【答案解析】 A【分析】由三视图可得原几何体为四棱锥，利用棱锥的体积公式求结果.【详解】解：由三视图可得原几何体为四棱锥，如图：则体积，故选：A.5 已知则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 B试题分析：，其表示的是如图阴影圆弧部分，其表示的是如图阴影部分，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案选考点：命题的充分必要性.6 在同一坐标系中，函数与的图象可能是（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】根据指数函数，幂函数的性质逐一判断，可得结果.【详解】解：对A，由图知中的，中的，符合；对B，由图知中的，的图没有过，不符；对C，由图知中的，中的，不符；对D，由图知中的，此时中的，不符；故选：A.【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质，是基础题.7 已知多项式，则（）A. －15B. －20C. 15D. 20【答案解析】 C【分析】令，原多项式转化为，利用通项公式求展开式第四项的系数即可.【详解】解：令，原多项式转化为，则，故选：C.【点睛】本题考查二项展开式的确定项的系数，利用换元法可简化原多项式，是基础题. 8 斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面是矩形，且，M是AB的中点，记直线与直线BC所成的角为，直线与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案解析】 B【分析】过点作面交面于点，连结，过点作交于点，连结，则，，表示出这些角然后比较大小即可.【详解】解：如图：过点作面交面于点，连结，过点作交于点，连结，则，，因为直线与平面所成的角为直线与平面内所有直线所成的角中最小的，故，又因为，故，故选：B.【点睛】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面所成角的大小及二面角的大小，考查空间想象能力及分析问题的能力，是一道难度较大的题目.9 已知函数，则满足“对于任意给定的不等于1的实数，都有唯一的实数，使得”的实数的值（）A. 不存在 B. 有且只有一个C. 有且只有两个D. 无数个【答案解析】 A【分析】求出，然后将题目转化为直线一旦和的图像相交，则必有两个交点且交点横坐标不为1，画出的图像，观察即可得结果.【详解】解：由已知得，“对于任意给定的不等于1的实数，都有唯一的实数，使得”即直线一旦和的图像相交，则必有两个交点且交点横坐标不为1，现在研究的图像，若，明显不可能；若，当时，完整的抛物线的图像其对称轴，与轴交点坐标，开口向上；当，单调递增，与轴交点坐标，图像如图：由图可知，不可能存在这样的直线一旦和的图像相交，必有两个交点，故选：A.【点睛】本题考查等式恒成立问题，关键是转化为图像的交点个数问题，是一道难度较大的题目10 已知数列{an}满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案解析】 B【分析】利用排除法，将，代入验证排除，即可得结果.【详解】解：用排除法：当时，，明显有，下面用数学归纳法证明，当时，，成立；假设当时，成立，则当时，，所以当时，成立，综上：对任意，都有；另外，所以，所以当时，恒成立，排除CD；当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，故选：B.【点睛】本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用排除法可方便得出结果，是一道难度较大的题目.11 已知复数，，则复数______.【答案解析】【分析】设，根据条件利用复数相等列方程组求解即可.【详解】解：设，则，，解得，，故答案为：.【点睛】本题考查复数代数形式的求解，关键是理解复数相等，是基础题.12 设直线与圆C：相交于A，B两点，若，则______，当变化时，弦AB中点轨迹的长度是______.【答案解析】；【分析】第一空：利用垂径定理列方程可求出的值；第二空：设，弦中点，联立，利用韦达定理通过消去参数可得弦中点轨迹，根据轨迹可得轨迹的长度.【详解】解：由垂径定理可得，解得；设，弦中点，则，联立，消去得，，解得，，，即，消去得，又由得，故弦中点轨迹长度为半径为1的圆的周长的，如图：所以弦中点轨迹长度为，故答案为：；.13 设随机变量的分布列是-11P若，则______，______.【答案解析】；【分析】利用分布列以及期望列出方程，然后求解即可.【详解】解：由题意可得：，可得，解得, 所以,故答案为：；.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查计算能力.14 在△ABC中，，，点D在线段上，满足，且，则______，______.【答案解析】；【分析】先求出，然后由三角形内角和外角的关系得，利用两个差的余弦公式代入角的三角函数值计算即可；在中，利用正弦定理即可求得【详解】解：在中，，，，在中，，，故答案为：；【点睛】本题考查求解三角形的边与角，关键是对公式要熟悉，并能灵活应用，考查了计算能力，难度不大.15 已知双曲线C：的右焦点关于直线的对称点在直线上，则该双曲线的离心率为______.【答案解析】【分析】先求出点到渐近线的距离，在利用，得，代入数据整理计算即可得双曲线的离心率.【详解】如图：，由已知点到渐近线的距离，由对称性可得，由题得，所以，即，整理得，故，故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，关键是要根据题目条件找到之间的等量关系，是中档题.16 已知正三角形ABC的边长为4，P是平面ABC内一点，且满足，则的最大值是______，最小值是______.【答案解析】不存在；【分析】根据题意可得点在正三角形的外接圆⊙O的优弧上，以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标运算计算，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：设正三角形的外接圆为⊙O，则⊙O的直径，，如图以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，，则点在的优弧上，设，又，，，，则，则的最大值不存在，最小值是.故答案为：最大值不存在，最小值是.【点睛】本题考查向量数量积的最值问题，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算去解决问题会方便许多，本题难度较大.17 设实数、满足，则的最大值为______.【答案解析】【分析】将的最大值问题转化的角最小的问题，数形结合，构造以的大小为边长的三角形，观察图像，利用对勾函数的性质，可得最大值.【详解】解：设，则的几何意义为以为长度构成的三角形中，长度为的边所对角的余弦值，要最大，则需要最大，即需要最小，分别以为圆心，以为半径作圆，会得到两个圆环，圆环的公共区域满足，又，当点在弧，弧，线段围成的封闭区域（包括边界）内时，，其中，要最小，则点必在弧上运动，此时，根据对勾函数的性质，当时，取最大值，最大值为，的最大值为，故答案为：.【点睛】本题考查最值的求法，注意运用不等式的性质和函数的单调性，考查运算能力，是一道难度较大的题目.18 已知函数.（1）求的值；（2）求f(x)的最小正周期和单调递增区间.【答案解析】（1）（2）最小正周期为，递增区间是.【分析】（1）直接将代入求值即可；（2）将变形为，然后即可求最小正周期和单调递增区间.【详解】解：（1）.（2），所以的最小正周期为，由得，，所以函数的递增区间是.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，是基础题.19 如图，三棱锥A﹣BCD中，平面平面BCD，，E，F分别是BD，CD的中点，且.（1）证明：；（2）求与平面所成角的余弦值.【答案解析】（1）见解析（2）【分析】（1）先由已知得到平面，从而，再加上，可得线面垂直，进而可得线线垂直；（2）取中点，连接与相交于，可得即为与平面所成角，利用余弦定理求解即可.【详解】解：（1）因为平面平面，且，所以平面，所以，又由于，所以，所以平面，所以.（2）取中点，连接与相交于，由于平面平面，且，所以平面，所以，设，则，又，所以平面，所以平面平面，所以在平面上的射影在直线上，则即为与平面所成角.因为，则，所以，，由余弦定理可得：.所以与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，以及线面角的求解，关键是要找到线面角的平面角，考查学生空间想象能力和作图能力，是中档题.20 设等差数列{an}的前n项和为Sn，，，数列{bn}的前n项和为Tn，满足，.（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）记，，证明：.【答案解析】（1），.（2）见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程组求出和，进而可得的通项公式；由，得，可得，利用，可得的通项公式；（2）利用数学归纳法, ①当时，左边，右边，不等式成立，②假设时成立，即，证明当时，不等式也成立.【详解】解：（1）设首项为，公差为，则，解得，，故，由，得，即，，所以，即，所以，故.（2）由（1）知，用数学归纳法：，①当时，左边，右边，不等式成立，②假设时成立，即，即当时，.即当时，不等式也成立.由①，②可知，不等式对任意都成立.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及法求数列的通项公式，考查数列归纳法，是中档题.21 已知抛物线C：，直线截抛物线C所得弦长为.（1）求的值；（2）若直角三角形的三个顶点在抛物线C上，且直角顶点P的横坐标为1，过点A、B分别作抛物线C的切线，两切线相交于点Q.①若直线AB经过点(0,3)，求点Q的纵坐标；②求的最大值及此时点Q的坐标.【答案解析】（1）（2）①-3.②最大值见解析，【分析】（1）联立，求出交点，利用两点距离公式列方程求解即可；（2）①设点，，，切线：，：，化归为二次方程的根的问题，可得直线的方程，代入点，即可得点的纵坐标；②由题设知，即，利用面积公式表示出，利用函数的性质求其最值.【详解】解：（1），解得两交点为，.所以，.（2）①设点，，.切线：，：，由题设知，，即，是方程的两根，于是，.故直线：.又因为直线经过点，所以，即点的纵坐标为-3；②由题设知，即.则，若，令，，若，令，，当且仅当，时，等号成立，此时点的坐标为.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线方程的综合问题，设而不求的思想，韦达定理的应用，函数的单调性等知识，考查计算能力转化思想的应用，是中档题.22 设函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）当时，若对任意，均有，求的取值范围.【答案解析】（1）递减区间是，递增区间是.（2）【分析】（1）求出，利用导数知识即可得函数的单调区间；（2）令，缩小的范围，，，利用导数求出的最大值，令其小于1，研究的取值范围.【详解】解：（1）当时，，由于，且函数单调递增，所以当时，，当时，，故函数的单调递减区间是，递增区间是.（2）令，得，所以.因为，令，则，由，解得，故在单调递增，在单调递减，所以，下面证明当时，，即，令，即证，，令，，在区间单调递减，则.综上所述当时，对任意，均有.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.。

2020届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末数学试卷(解析版)

D. 12
）（单
5. 设 a，b 是实数，则“a2+b2≤1”是“|a|+|b|≤1”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 在同一坐标系中，函数 f（x）=xa（x＞0）与 g（x）=ax+1 的图象可能是（）
A.
B.
C.
D.
7. 已知多项式 x6=a0+a1（1-x）+a2（1-x）2+…+a6（1-x）6，则 a4=（）
6.【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜1 或 a＞1，∴当 x＞0 时，幂函数 f（x）=xa（x＞0）为增函数，排除 B， A 中，g（0）=a＞1，函数 g（x）为增函数，此时当 0＜x＜1 时，xa＜x，满足条件． C 中，g（0）=a＞1，函数 g（x）为增函数，此时当 0＜x＜1 时，xa＜x，此时不满足条件． D 中，g（0）=a＜1，函数 g（x）为减函数，此时当 0＜x＜1 时，xa＞x，不满足条件．故选：A．根据 a 的取值范围先判断幂函数的单调性，结合指数函数的单调性以及当 0＜x＜1 时，xa 与 x 的大小关系进行判断即可，本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和幂函数的单调性是解决本题的关键．难度中等．
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8.பைடு நூலகம்答案】B
【解析】解：由最小角定理可得 β＜α，设 AB=2，则形，M 是 AB 的中点， ∴A1M=2，设侧棱与底面所成的角为 θ，斜三棱柱的高为
，侧面 ABB1A1 是矩，
∴
，
取 A1B1 的中点 N，并连接 MN，C1N，可得平面 C1CMN⊥底面 ABC，过点 C1 作 C1O⊥CM 于点 O，OG⊥AG 于点 G，连接 C1G，

2022-2023学年浙江省绍兴市高三(上)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省绍兴市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题。

（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，5}，则A ∩（∁U B ）＝（） A ．{1}B ．{1，3}C ．{2}D ．{1，2，3，4，6}2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1+i ）＝1，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知平面向量a →=(3，4)，b →=(−k ，2)，若(a →+b →)∥ka →，则实数k （k ≠0）的值为（） A ．−12B ．12C ．−32D ．324．某校进行“七选三”选课，甲、乙两名学生都要从物理、化学、生物、政治、历史、地理和技术这7门课程中选择3门课程进行高考，假设他们对这7门课程都没有偏好，则他们所选课程中有2门课程相同的概率为（） A ．1235B ．1335C ．1528D ．13285．仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间11月29日23时08分发射，约10分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离．早在1903年，科学家康斯坦丁•齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：v =v 0lnm 1+m 2m 1，其中m 1，m 2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v 0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4） A ．10km /sB ．20km /sC ．803km/s D ．40km /s6．已知0＜a ＜b ，log a x +log b y ＜log a y +log b x ，则下列说法正确的是（） A ．当log a b ＞0时，x ＞y B ．当log a b ＞0时，x ＜yC ．当log a b ＜0时，x ＜yD ．当log a b ＜0时，x ，y 大小不确定7．已知函数f(x)=2sin(ωx +π6)−1(ω＞0)，若函数f （x ）在x ∈[1，7]上恰有3个零点，则实数ω的取值范围是（） A ．[π3，2π3)B ．[2π3，2π)C ．[8π21，3π7)D ．[8π21，4π7)8．已知△ABC 是边长为4的正三角形，M ，N 分别为BA ，BC 边上的一点（不含端点），现将△BMN 折起，记二面角B ﹣MN ﹣A 的平面角为α，若α=π3，则四棱锥B ﹣MNAC 体积的最大值为（）A ．83B ．163C ．16√39D ．32√39二、多项选择题。