高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算练习题(含解析)

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2022高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算学案文(含答案)

高考数学一轮总复习学案：第1讲集合及其运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . 常用结论(1)对于有限集合A ，其元素个数为n ，则集合A 的子集个数为2n ，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.(2)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .(3)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或32．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或123．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)集合的概念(自主练透)1．设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－x ∈A ，1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A ．若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ．因为32－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－324．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________．解析：因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.答案：2解决集合概念问题的3个关键点(1)确定构成集合的元素； (2)确定元素的限制条件；(3)根据元素特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．[提醒] 含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．集合的基本关系(典例迁移)(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．AB D ．BA(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，比较A ，B 中的元素可知AB ，故选C ．(2)因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．(3)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)C (2)D (3)(－∞，3]【迁移探究1】 (变条件)本例(3)中，若B A ，求m 的取值范围？解：因为BA ，①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]．【迁移探究2】 (变条件)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值范围．解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.【迁移探究3】 (变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，试求m 的取值范围．解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，2m －1<m ＋1，即m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．[提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行分类讨论．1．设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x<1，则( )A ．MN B ．N MC ．M ＝ND ．M ∪N ＝R解析：选C ．集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x<1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N .故答案为C ．2．设M 为非空的数集，M ⊆{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个解析：选A ．由题意知，M ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．3．若集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，2)．答案：[－2，2)集合的基本运算(多维探究) 角度一集合的运算(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，则A ∩B ＝( )A ．{－4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}(2)(2021·东北三校第一次联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ ( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)(3)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 (1)方法一：由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}，故选D ．方法二：因为(－4)2－3×(－4)－4>0，所以－4∉A ，故排除A ；又12－3×1－4<0，所以1∈A ，则1∈(A ∩B )，故排除C ；又32－3×3－4<0，所以3∈A ，则3∈(A ∩B )，故排除B ．故选D ．方法三：观察集合A 与集合B ，发现3∈A ，故3∈(A ∩B )，所以排除选项A 和B ，又52－3×5－4>0，所以5∉A ，5∉(A ∩B )，排除C ．故选D ．(2)由已知，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故选B ．(3)由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C ．【答案】 (1)D (2)B (3)C集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解．(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．角度二利用集合的运算求参数(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)(2021·福州市适应性考试)已知集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋my ＋1＝0}．若A ∩B ＝∅，则实数m ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B ．方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B ．(2)因为A ∩B ＝∅，所以直线2x ＋y ＝0与直线x ＋my ＋1＝0平行，所以m ＝12，故选C ．【答案】 (1)B (2)C利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)对于与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； (2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意对结果的验证(满足互异性)．1．(2021·河北九校第二次联考)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x，x ∈A }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{0，1，2}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，4 D ．{0，1，2，4}解析：选B ．A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈A }＝{1，2}，所以A ∪B ＝{0，1，2}，故选B ．2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D ．∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C ，则C ＝(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．3．(2021·广东省七校联考)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1，0}C ．{1，3}D ．{1，5}解析：选C ．由题意可得1－4＋m ＝0，解得m ＝3，所以B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，故选C ．核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．若集合A 具有以下性质： (1)0∈A ，1∈A ；(2)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．给出下列说法：①集合B ＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A .其中，正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B ，1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．②有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．③因为集合A 是“好集”，则0∈A ，由性质(2)知，若y ∈A ，则0－y ∈A ，知－y ∈A ，因此x －(－y )＝x ＋y ∈A ，所以③正确．故正确的说法是②③.故选C ．【答案】 C解决集合的新定义问题的两个切入点(1)正确理解新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．1．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．解析：由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．答案：{0，6}2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)。

2022版高考数学大一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合1

第一章集合与常用逻辑用语第一讲集合练好题·考点自测1.下列说法正确的是（)①集合{x∈N｜x3=x｝,用列举法表示为｛—1,0,1}。

②{x｜y=x2}={y|y=x2}=｛（x，y)｜y=x2}.③方程√x-2021+（y+2 022）2=0的解集为｛2 021，—2 022｝.④若5∈｛1,m+2,m2+4｝，则m的取值集合为｛1，-1，3}。

⑤若P∩M=P∩N=A,则A⊆（M∩N)。

⑥设U=R,A={x|lg x〈1},则∁U A={x|lg x≥1}={x|x≥10｝.A.①③④B.⑤⑥C.⑤ D。

②⑤2.［2021大同市高三调研测试]已知集合A满足{0,1｝⊆A⫋{0，1,2，3},则满足条件的集合A的个数为(）A.1 B.2 C。

3 D。

43。

[易错题]已知集合A=｛x|1〈1},则∁R A=（)x-1A.(-∞,2]B.[1,2]C。

（1，2] D。

（—∞，2）4.[2020全国卷Ⅲ，1，5分][文］已知集合A=｛1，2,3，5,7，11},B={x｜3<x〈15}，则A∩B中元素的个数为(）A。

2 B.3 C。

4 D.55.[2020全国卷Ⅰ,1,5分][文］已知集合A={x｜x2-3x—4<0｝，B={-4,1,3,5｝,则A∩B=(）A.{-4，1｝ B.{1，5}C.｛3，5｝D.{1，3}6.［2020全国卷Ⅱ,1,5分］已知集合U=｛—2，—1，0,1，2,3｝，A={-1,0，1}，B=｛1,2}，则∁U（A∪B)=（）A.｛—2，3｝B。

{-2,2，3}C。

{—2,—1，0,3}D.｛—2，—1,0,2,3｝拓展变式1.[2020全国卷Ⅲ,1,5分]已知集合A=｛(x,y)｜x,y∈N*，y≥x｝，B={（x，y)｜x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A。

2 B。

3 C。

4 D.62。

(1)[2021大同市调研测试]已知集合A={x|x2-x-2<0｝，B=｛x｜-1〈x<1｝,则(）A。

高考数学总复习第一章第一节集合的概念与运算课时精

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算1．(2013·惠州一模)若集合A ＝{x |x 2－4x －5＝0}，B ＝{x |x 2＝1}，则A ∩B ＝( )A ．－1B ．{－1}C ．{5，－1}D ．{1，－1} 解析：由集合A 中的方程x 2－4x －5＝0，解得：x ＝5或x ＝－1，所以集合A ＝{－1,5}，由集合B 中的方程x 2＝1，解得：x ＝1或x ＝－1，所以集合B ＝{－1,1}，则A ∩B ＝{－1}．故选B.答案：B2．集合M ＝{y ∈R |y ＝3x }，N ＝{－1，0,1}，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝{0,1}B ．M ∪N ＝(1，＋∞)C ．(∁R M )∪N ＝(－∞，0)D ．(∁R M )∩N ＝{－1,0}解析：M ＝{y ∈R |y >0}，∁R M ＝{y |y ≤0}，∴(∁R M )∩N ＝{－1,0}．故选D.答案：D3．(2013·合肥模拟)如图，已知R 是实数集，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ log 12（x －1）>0，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：题图中阴影部分表示集合B ∩∁R A ，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <32，所以∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ∩∁R A ＝{x |0<x ≤1}．答案：D4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( )A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．1或3解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ∈A .故m ＝m 或m ＝3，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1.又根据集合元素的互异性知，m ≠1，∴m ＝0或m ＝3.故选B.答案：B5．(2013·山东卷)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：依题意易知x －y ∈{－2，－1,0,1,2}．故选C.答案：C6．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝_____ .答案：{x |0＜x <1}7．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________.解析：由|x ＋2|<3，得－3<x ＋2<3，即－5<x <1，所以集合A ＝{x |－5<x <1}．因为A ∩B ＝(－1，n )，所以－1是方程(x －m )(x －2)＝0的根，所以代入得3(1＋m )＝0，所以m ＝－1.此时不等式(x ＋1)(x －2)<0的解为－1<x <2，所以A ∩B ＝(－1,1)，即n ＝1.答案：－1 18．(2013·河南调研)设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________________．解析：因为A ∪(∁I A )＝I ，所以{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，所以|a ＋1|＝3且a 2＋ 2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2.所以M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅、{1}、{2}、{1,2}9．设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B .解析：由9∈A ，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－8，－7，－4,4,9}；当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4,4,9}．10．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2.解得a ＝3，综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．。

备战高考数学一轮复习讲义第一章

答案与解析二配套精练第一章集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合及其运算1. D 解析： M ＝{x |0≤x <16}，N ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥13，则M ∩N ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13≤x <16. 2. A 解析：因为U ＝{x ∈N |x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，∁U (A ∩B )＝{0,2,3}，所以A ∩B ＝{1,4}，即1∈A 且4∈A .又A ＝{1，m }，所以m ＝4.3. C 解析：由题意，非空且互不相等的集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝A ，可得B ⊆A .又因为B ∩C ＝C ，可得C ⊆B ，所以C ⊆A ，所以A ∩C ＝C .4. C 解析：由题可知A ＝{－1,0,1}，所以A ∩B ＝{0,1}，所以其子集分别是∅，{1}，{0}，{0,1}，共有4个子集．5. C 解析：因为集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，集合N ＝{y |y ＝4k ＋3，k ∈Z }＝{y |y ＝2(2k ＋1)＋1，k ∈Z }，且x ∈N 时，x ∈M 成立，所以M ∪N ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }．6. ABC 解析：当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，即m <2，此时∁U B ＝R ，符合题意；当B ≠∅时，m ＋1≤2m －1，即m ≥2，由B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，得∁U B ＝{x |x <m ＋1或x >2m －1}．因为A ⊆∁U B ，所以m ＋1>7或2m －1<－2，可得m >6或m <－12.因为m ≥2，所以m >6.综上，实数m 的取值范围为{m |m <2或m >6}．7. BD 解析：因为N ∩(∁R M )＝∅，所以N ⊆M .若N 是M 的真子集，则M ∩(∁R N )≠∅，故A 错误；由N ⊆M ，得M ∪(∁R N )＝R ，故B 正确；由N ⊆M ，得∁R N ⊇∁R M ，故C 错误，D 正确．8. BD 解析：对于A ，由B －A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，知B －A ＝{3,8}，A 错误；对于B ，由A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A －B ＝∅，知A ⊆B ，B 正确；对于C ，由韦恩图知B －A 如图中阴影部分所示，则B －A ＝B ∩(∁U A )，C 错误；对于D ，∁U B ＝{x |x <－2或x ≥4}，则A －B ＝A ∩(∁U B )＝{x |x <－2或x ≥4}，D 正确．(第8题)9. (－∞，1] 解析：由x －a ≥0，得x ≥a ，所以B ＝[a ，＋∞)．因为A＝[1,6]，且A ⊆B ，所以a ≤1，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．10. (－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0} 解析：由题意，原问题转化为方程ax 2－2x ＋a ＝0至多只有一个根．当a ＝0时，方程为－2x ＝0，解得x ＝0，此时方程只有一个实数根，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－2x ＋a ＝0为一元二次方程，所以Δ＝4－4a 2≤0，解得a ≤－1或a ≥1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}．11. 15 解析：因为1∈A ，11＝1∈A ；－1∈A ，1－1＝－1∈A ；2∈A ，12∈A ；3∈A ，13∈A ，所以所求集合即为由1，－1，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.12. 【解答】 (1) 当a ＝0时，A ＝{x |－1<x <1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，所以(∁R A )∩B ＝{x |1≤x <4}．(2) 因为A ⊆B ，所以集合A 可以分为A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．当A ＝∅时，2a －1≥3a ＋1，即a ≤－2；当A ≠∅时，得⎩⎨⎧ 2a －1≥－1，3a ＋1≤4，2a －1<3a ＋1，即0≤a ≤1.综上，a ∈(－∞，－2]∪[0,1]．13. 【解答】集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x －13≤1＝{x |1＜x ≤4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝1－x 2＋10x －16＝{x |2＜x ＜8}． (1) 因为集合C ＝{x |x ≤a }满足A ∩C ＝A ，所以A ⊆C ，所以a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．(2) 因为A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜8}，所以集合D ＝{x |1＜x ≤2或4＜x ＜8}．14. 【解答】 (1) 因为集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，且A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，所以4－2a ＋a 2－19＝0，即a 2－2a －15＝0，解得a ＝－3或a ＝5.当a ＝－3时，A ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}，A ∩B ＝{2}，符合题意；当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，A ∩B ＝{2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为－3.(2) 因为A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅，所以3∈A ，所以9－3a ＋a 2－19＝0，即a 2－3a －10＝0，解得a ＝－2或a ＝5.当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{－5,3}，满足题意；当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为－2.第2讲充分条件、必要条件、充要条件1. B 解析：若x <0，y ＝0满足x <y ，则(x －y )·y 2＝0，即(x －y )·y 2<0不成立；若(x －y )·y 2<0，则有y ≠0，必有y 2>0，从而得x －y <0，即x <y 成立．所以“x <y ”是“(x －y )·y 2<0”成立的必要不充分条件．2. D 解析：非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．3. B4. A 解析：因为x <z ，y <z ，所以x ＋y <2z ，故充分性成立；当x ＝3，y ＝1，z ＝2.5时，满足x ＋y <2z ，但不满足x <y <z ，故必要性不成立．5. C 解析： x －1x >0⇒x 2－1x >0⇒x (x ＋1)(x －1)>0⇒x >1或－1<x <0.因为{x |－1<x <0}{x |x >1或－1<x <0}，所以不等式x －1x >0成立的一个充分条件是－1<x <0.6. BC 解析： x 2>x 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．对于A ，因为(1，＋∞)为(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A 不符合；对于B ，因为2x 2>2x 等价于x 2>x ，解集也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B 符合；对于C ，1x <1即为x (x －1)>0，解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故C 符合；对于D ，|x (x －1)|＝x (x －1)即为x (x －1)≥0，解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)为(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D 不符合．7. AC 解析：对于p ：|2x －1|<3，解得x ∈A ＝{x |－1<x <2}．对于q ：2x 2－ax －a 2≤0，得(2x ＋a )(x －a )≤0，当a ≥0时，解得x ∈B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－a 2≤x ≤a ；当a <0时，解得x ∈B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≤x ≤－a 2.因为p 是q 的一个必要不充分条件，所以B A .当a ≥0时，⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2>－1，a <2，解得0≤a <2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >－1，－a 2<2，解得－1<a <0.综上，可得－1<a <2.故只要实数a 的取值集合是集合{a |－1<a <2}的真子集即可．8. BCD 解析：对于A ，方程为x 2＋3＝0，方程没有实数根，所以A 错误；对于B ，如果方程没有实数根，则Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9<0，所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以B 正确；对于C ，因为方程有两个正根，所以⎩⎨⎧ Δ＝m 2－10m ＋9≥0，－(m －3)>0，m >0，所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以C 正确；对于D ，如果方程有一个正根和一个负根，则⎩⎨⎧Δ＝m 2－10m ＋9>0，m <0，所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以D 正确．9. [1，＋∞) 解析：由不等式|x ＋1|>2，可得x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又由綈q ：x ≤a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知a ≥1，所以实数a 的取值范围为[1，＋∞)．10. m ＝1(答案不唯一) 解析：当x ∈(2,3)时，易知x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14∈(2,6)．又∃x ∈(2,3)，mx 2－mx －3>0⇔∃x ∈(2,3)，m >3x 2－x ⇔m >⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x min ，x ∈(2,3)⇔m ≥12.显然m ＝1⇒m ≥12，m ≥12D ⇒/m ＝1，故“m ＝1”是命题“∃x ∈(2,3)，mx 2－mx －3>0”成立的充分不必要条件．11. [1,2] 解析：由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1.因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取得，即⎩⎨⎧a ≤2，a ≥1，解得1≤a ≤2. 12. 【解答】 (1) 当m ＝2时，A ＝{x |1<x <5}，B ＝{x |－2<x <2}，所以A ∪B ＝{x |－2<x <5}，A ∩B ＝{x |1<x <2}．(2) 由“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件，得A B .当A ＝∅，即m－1≥m 2＋1时，m 无解，所以A ≠∅，所以⎩⎨⎧m －1≥－2，m 2＋1≤2且等号不能同时取得，解得－1≤m ≤1.当m ＝－1时，A ＝B ＝(－2,2)，不成立．故实数m 的取值范围为{m |－1<m ≤1}．13. 【解答】 (1) 不存在，理由如下：由|4x －3|≤1，得－1≤4x －3≤1，故12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1.假设存在a ，使得p 是q 的充要条件，则不等式x 2－4ax ＋3a －1≤0的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤1，所以x 1＝12，x 2＝1是方程x 2－4ax ＋3a －1＝0的两个根，故⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋1＝4a ，12×1＝3a －1，此方程组无解，故假设不成立，所以不存在实数a ，使得p 是q 的充要条件．(2) 若p 是q 的充分不必要条件，则集合{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤1为不等式x 2－4ax ＋3a －1≤0的解集的真子集．令f (x )＝x 2－4ax ＋3a －1，则由二次函数的图象性质可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4a ×12＋3a －1≤0，1－4a ＋3a －1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤34，a ≥0，故0≤a ≤34.当a ＝0时，x 2－4ax ＋3a －1≤0⇒x 2－1≤0，解得－1≤x ≤1，满足题意；当a ＝34时，x 2－4ax ＋3a －1≤0⇒x 2－3x ＋54≤0，解得12≤x ≤52，满足题意．所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 14. 【解答】必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根，当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，解得x ＝－12，符合题意；当a <0时，Δ＝4－4a >0，设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a <0，此时方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根；当a >0时，由Δ＝4－4a ≥0，可得0<a ≤1，设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝1a >0，x 1＋x 2＝－2a <0，则x 1，x 2均为负数．由题意可知Δ＝0，可得a ＝1，符合题意．所以“方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根”⇒“a ≤0或a ＝1”．充分性：当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，解得x ＝－12，原方程只有一个负数根；当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，原方程只有一个负数根；当a <0时，对于原方程，Δ＝4－4a >0，此时方程ax 2＋2x ＋1＝0有两根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a <0，此时方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根．所以“方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根”⇐“a ≤0或a ＝1”．综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.第3讲全称量词和存在量词1. C 解析：因为集合M ，N 满足M ∩N ≠∅，所以根据交集的定义可得∃x ∈M ，x ∈N .2. A 解析：命题“∀x ∈R,2x >0”为全称量词命题，该命题的否定为“∃x ∈R,2x ≤0”．3. A 解析：由题意，①若甲说的是真话，则甲不会证明，乙会证明，丙不会证明，丁不会证明，此时丁说的也是真话，与题意矛盾；②若乙说的是真话，则丙会证明，甲和丁均会证明，与题意矛盾；③若丙说的是真话，则丁会证明，甲和丁均会证明，与题意矛盾；④若丁说的是真话，则丁不会证明，甲会证明，丙不会证明，满足题意．4. A 解析：若p 为真，则Δ1＝4－4a ≤0，解得a ≥1.若q 为真，则Δ2＝4a 2－4(2－a )<0，解得－2<a <1.若p 真q 假，则a ≥1；若p 假q 真，则－2<a <1.综上所述，若p ，q 一真一假，则实数a 的取值范围为(－2，＋∞)．5. A 解析：若不等式(m ＋1)x 2＋(m ＋1)x ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，则有①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式显然成立；②当m ＋1>0时，Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)<0，解得－1<m <3；③当m ＋1<0时，不等式(m ＋1)x 2＋(m ＋1)x ＋1>0对任意x ∈R 显然不恒成立，舍去．综上①②③可知，不等式(m ＋1)x 2＋(m＋1)x ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，则－1≤m <3，所以当“∀x ∈R ，(m ＋1)x 2＋(m ＋1)x ＋1>0”是假命题时，m ∈(－∞，－1)∪[3，＋∞)．6. AB 解析：由条件可知∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0是真命题，即λ≤2x 2＋1x ＝2x ＋1x ，即λ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.设f (x )＝2x ＋1x ≥22x ·1x ＝22，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，等号成立的条件是2x ＝1x ⇒x ＝22∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f (x )的最小值是22，即λ≤22，满足条件的是AB.7. BC 解析：当x ＝0时，1x 2＋1＝1，A 错误．当x ＝－1时，1x <x ＋1，B 正确．命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是命题“∀n ∈N ，n 2≤2n ”，C 正确．命题“∀n >4,2n >n 2”的否定是命题“∃n >4,2n ≤n 2”，D 错误．8. AD 解析：函数f (x )＝x ＋4x 在[1,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，f (x )min＝f (2)＝4，f (x )max ＝f (6)＝203.对任意a ，b ，c ∈[1,6]，不妨令f (a )≥f (b )≥f (c )，则f (b )＋f (c )≥2f (c )≥2f (x )min >f (x )max ≥f (a )，即f (a )，f (b )，f (c )均能作为一个三角形的三条边长，A 正确，B 错误；取a ＝b ＝2，c ＝22＋2，满足a ，b ，c ∈[1,6]，则f (a )＝f (b )＝4，f (c )＝42，显然有[f (a )]2＋[f (b )]2＝[f (c )]2，即以f (a )，f (b )，f (c )为边的三角形是直角三角形，C 错误，D 正确．9. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 解析：因为∀x ∈[1,2]，x 2－ax ＋1≤0为真命题，所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，x ∈[1,2]．因为y ＝x ＋1x 在区间[1,2]上单调递增，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝2＋12＝52，即a ≥52，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 10. (－∞，2] 解析：设x 1，x 2是方程的两个负实数根，则⎩⎨⎧ Δ＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1x 2＝1＞0，即⎩⎨⎧m 2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，所以当綈p 是真命题时，m 的取值范围是(－∞，2]．11. ∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0 (－3，＋∞)解析：綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.若綈p 是真命题，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则 ⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎨⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3，故满足题意的实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．12. 【解答】 (1) 因为命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋2≥0为真命题，所以Δ＝a 2－4×1×2≤0，解得－22≤a ≤22，所以实数a 的取值范围为[－22，22]．(2) 因为命题q ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－12，x 2－ax ＋1＝0为真命题，所以a ＝x 2＋1x ＝x ＋1x ，又y ＝x ＋1x 在[－3，－1]上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上单调递减，所以当x ＝－1时，a 取最大值－2.当x ＝－3时，a ＝－103；当x ＝－12时，a ＝－52.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－103，－2. 13. 【解答】若命题p 为真命题，则Δ＝(m －2)2－4≥0，解得m ≤0或m ≥4.若命题q 为真命题，由a ，b ∈(0，＋∞)，知b ＝2a a －1>0，所以a －1>0，则a (b －1)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a －1－1＝a ·a ＋1a －1＝(a －1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2a －1＝a －1＋2a －1＋3≥3＋22，m ＋22≤22＋3⇒m ≤3.当命题p 为真，命题q 为假时，⎩⎨⎧ m ≤0或m ≥4，m >3，解得m ≥4；当命题p 为假，命题q 为真时，⎩⎨⎧0<m <4，m ≤3，解得0<m ≤3.综上所述，实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3或m ≥4}．14. 【解答】 (1) 由题设知f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，而函数y ＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，则y max ＝－3，所以a ≥－3，所以a 的最小值为－3.(2) 由题可知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f ′(x )max ≤g (x )max .因为f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ′(x )max ＝f ′(2)＝8＋a .而g ′(x )＝1－xe x ，由g ′(x )＞0，得x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，g (x )max ＝g (1)＝1e .由8＋a ≤1e ，得a ≤1e －8，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e －8. 第4讲不等式的性质、基本不等式1. D 解析：对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a <1b ，A 错误；对于B ，取a＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a <b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a )⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12a 2＋34a 2>0，所以a 3<b 3，D 正确．2. D 解析：对于A ，当c ＝0时，显然不成立，故A 为假命题；对于B ，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但a 2<ab <b 2不满足，故B 为假命题；对于C ，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b＝12，不满足，故C 为假命题；对于D ，因为a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c ＝a (b ＋c )－b (a ＋c )b (b ＋c )＝ac －bc b (b ＋c )＝(a －b )c b (b ＋c )>0，即a b >a ＋c b ＋c，故D 为真命题． 3. B 解析：由题知4b ＋1a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1a (a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4a b ＋b a ＋5≥12(4＋5)＝92，当且仅当4a b ＝b a 时等号成立．4. C 解析： 7＝(a ＋2b )2－ab ＝(a ＋2b )2－12a ·2b ≥(a ＋2b )2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝7(a ＋2b )28，则(a ＋2b )2≤8，当且仅当a ＝2b ＝2时等号成立，又a ，b ∈(0，＋∞)，所以0<a ＋2b ≤22，当且仅当a ＝2b ＝2时等号成立，所以a ＋2b 的最大值为2 2.5. BCD 解析：对于A ，当c ＝0时，ac ＝bc ，故A 错误；对于B ，若ac 2>bc 2，则a >b ，故B 正确；对于C ，若a <b <0，则|a |>|b |，故C 正确；对于D ，若c >a >b >0，则0<c －a <c －b ，从而1c －a >1c －b，故D 正确． 6. AB 解析：对于A ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故A 正确．对于B ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤a ＋b ＋a ＋b ＝2，故a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故B 正确．对于C ，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以1a ＋1b 有最小值4，故C 错误．对于D ，(a ＋b )2＝1⇒a 2＋2ab ＋b 2＝1≤a 2＋(a 2＋b 2)＋b 2，即a 2＋b 2≥12，故a 2＋b 2有最小值12，故D 错误．7. －1，－2，－3(答案不唯一) 解析：－1>－2>－3，(－1)＋(－2)＝－3>－3，矛盾，所以－1，－2，－3可验证该命题是假命题．8. 9 解析：因为0<x <1，所以0<1－x <1，则1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [(1－x )＋x ]＝1＋4＋1－x x ＋4x 1－x ≥5＋21－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x，即x ＝13时，等号成立，故1x ＋41－x的最小值为9. 9. 6 解析：设矩形空地的长为x m ，则宽为32x m ．由题意，试验区的总面积S ＝(x －0.5×4)⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －0.5×2＝34－x －64x ≤34－2x ·64x ＝18，当且仅当x＝64x ，即x ＝8时，等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183＝6(m 2)．10. 【解答】 (1) 由不等式4a 2＋b 2≥4ab ，解得ab ≤12，当且仅当2a ＝b ＝1时取等号，所以ab 的最大值为12，此时a ＝12，b ＝1.(2) 由4a 2＋b 2＝2，得4a 2＋(1＋b 2)＝3.由4a 2＋(1＋b 2)≥24a 2·(1＋b 2)＝4a 1＋b 2，解得a 1＋b 2≤34，当且仅当4a 2＝1＋b 2，即a ＝64，b ＝22时取等号，所以a 1＋b 2的最大值为34，此时a ＝64，b ＝22.11. 【解答】 (1) 因为a >1，b >2，所以a －1>0，b －2>0，所以1a －1＋1b －2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b －2(a －1)(b －2)＝14[(b －2)＋(a －1)]≥14×2(b －2)(a －1)＝1，当且仅当⎩⎨⎧b －2＝a －1，(a －1)(b －2)＝4时，等号成立，解得a ＝3，b ＝4，所以1a －1＋1b －2的最小值为1，此时a ＝3，b ＝4.(2) 由2a ＋b ＝6，得2(a －1)＋(b －2)＝2，所以(a －1)＋b －22＝1，所以1a －1＋1b －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b －2×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b －2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －1)＋b －22＝32＋a －1b －2＋b －22(a －1)≥3＋222，当且仅当⎩⎨⎧b －2＝2(a －1)，2(a －1)＋(b －2)＝2时，等号成立，解得a ＝3－2，b ＝22，所以1a －1＋1b －2的最小值为3＋222，此时a ＝3－2，b ＝2 2.(3) 因为b >2，由1a ＋1b ＝1，可得a ＝b b －1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋1b －2＝b －2＋1b －2＋1≥3，当且仅当a ＝32，b ＝3时，等号成立，所以1a －1＋1b －2的最小值为3，此时a ＝32，b ＝3.12. D 解析：因为A ＝{1,2,3}，B ＝{0,1,2}，所以A ∩B ＝{1,2}，A ∪B ＝{0,1,2,3}，所以当x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B 时，z ＝0,1,2,3,4,6，所以A *B ＝{0,1,2,3,4,6}，所以∁(A *B )A ＝{0,4,6}．13. BC 解析： A 错误，当a <0时，显然有P <0.B 正确，当a >1时，P ＝a ＋2a ≥2a ·2a ＝22，故充分性成立，而P ≥22只需a >0即可．C 正确，P ＝a＋2a >3可得0<a <1或a >2，当a >2时，P >3成立．D 错误，当a >3时，a ＋2a >3＋23>3.14. 【解答】 (1) 当m ＝1时，B ＝{x |2<x <3}．因为A ＝{x |－1≤x ≤2}，所以∁R A ＝{x |x <－1或x >2}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x <3}，(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3}．(2) 因为∅是A ∩B 的真子集，所以A ∩B ≠∅.因为A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |2m <x <3}，所以⎩⎨⎧2m <3，2m <2，解得m <1，即实数m 的取值范围为(－∞，1)．(3) 因为B ∩(∁R A )中只有一个整数，∁R A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |2m <x <3}，所以B ≠∅，且－3≤2m <－2，解得－32≤m <－1，所以实数m 的取值范围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤m <－1. 第5讲一元二次不等式1. A 解析：因为不等式x 2＋kx ＋1<0的解集为空集，所以Δ＝k 2－4≤0，解得－2≤k ≤2.2. D 解析：当a ＝1时，不等式为－4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足⎩⎨⎧a －1<0，Δ<0，解得－3<a <1.综上，实数a 的取值范围是(－3,1]．3. C 解析：由x ＋a x －b ＝(1－b )x ＋ax ≥0，可知⎩⎨⎧x [(b －1)x －a ]≤0，x ≠0的解集为[－1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1>0，ab －1＝－1，则b >1且a ＋b ＝1.4. C 解析：因为关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |1<x <3}，所以1,3为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－ba ，1×3＝c a ，所以⎩⎨⎧c ＝3a ，b ＝－4a ，且a <0，则ax ＋b cx ＋a >0等价于x －43x ＋1>0，即(3x ＋1)(x －4)>0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(4，＋∞)．5. ACD 解析：对于A ，ax 2>0(a >0)的解集为{x |x ≠0}，A 错误；对于B ，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以x 2＋x ＋1<0的解集为∅，B 正确；对于C ，若a <0，Δ＝0，则ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－b 2a ，C 错误；对于D ，x 2＋3x －4>0的解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)，不等式组⎩⎨⎧x －1>0，x ＋4>0的解集为(1，＋∞)，D错误．6. BD 解析：设x 小时后蓄水池中的水量为y t ，则y ＝400＋60x －1206x .设6x ＝u ，则u 2＝6x (u ∈[0,12])，所以y ＝400＋10u 2－120u ＝10(u －6)2＋40.因为u ∈[0,12]，故当u ＝6，即x ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6个小时时，蓄水池中的存水量最少，为40t ，所以A 错误，B 正确．令400＋10u 2－120u >80，即u 2－12u ＋32>0，解得u <4或u >8，所以0≤x <83或323<x ≤24，所以C 错误．由400＋10u 2－120u <80，得83<x <323，又323－83＝8，所以每天约有8小时蓄水池中水量少于80t ，所以D 正确．7. [1，＋∞) 解析： x －1x >0⇒x (x －1)>0⇒x >1或x <0，则当x >a 时，x －1x >0成立，所以a ≥1.8. (－1,2) 解析：由表中二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值，得⎩⎨⎧c ＝2，a ＋b ＋c ＝2，a －b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以y ＝－x 2＋x ＋2.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0化为－x 2＋x ＋2＞0，即x 2－x －2＜0，解得－1＜x ＜2，所以该不等式的解集为(－1,2)．9. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：由题意可知，不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，又由(x －a )(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.10. 【解答】 (1) 因为不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}，所以a <0，且1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，所以⎩⎨⎧a ＋b －1＝0，4a ＋2b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32.(2) 由(1)知不等式ax ＋1bx －1≥0即为－12x ＋132x －1≥0⇔x －23x －2≤0⇔⎩⎨⎧3x －2≠0，(x －2)(3x －2)≤0，解得23<x ≤2，所以不等式的解集是{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫23<x ≤2.11. 【解答】 (1) 由已知易得y ≥4＋2a 即为x 2－(a －2)x －2a ≥0.令x 2－(a －2)x －2a ＝0，可得x ＝－2或x ＝a ，所以，当a <－2时，原不等式的解集为{x |x ≤a 或x ≥－2}；当a ＝－2时，原不等式的解集为R ；当a >－2时，原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥a }．(2) 由y －2a ＋14≥0，可得a (x ＋2)≤x 2＋2x ＋18.由1≤x ≤6，得x ＋2>0，所以a ≤x 2＋2x ＋18x ＋2.因为x 2＋2x ＋18x ＋2＝x ＋18x ＋2＝(x ＋2)＋18x ＋2－2≥218－2＝62－2，当且仅当x ＋2＝18x ＋2，即x ＝32－2时等号成立，所以a ≤62－2，所以a 的取值范围是{a |a ≤62－2}．12. C 解析：因为B ＝{x ∈N *|x 2－x －2≤0}＝{x ∈N *|(x －2)(x ＋1)≤0}＝{1,2}，A ＝{－2，－1}，所以A ∪B ＝{－2，－1,1,2}．13. C 解析：命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，cos x 0>1”，A 正确．在△ABC 中，因为sin A ≥sin B ，所以由正弦定理可得a 2R ≥b2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，所以a ≥b ，则由大边对大角可得A ≥B ；反之，由A ≥B 可得a ≥b ，所以由正弦定理可得sin A ≥sin B .即为充要条件，B 正确．当a ＝b ＝0，c ≥0时，满足ax 2＋bx ＋c ≥0，但是得不到“a >0，且b 2－4ac ≤0”，即不是充要条件，C 错误．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题，D 正确．14. 【解答】 (1) 当a ＝1时，B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －51－x >0，因为x －51－x >0⇔(x －1)(x －5)<0⇒1<x <5，所以B ＝{x |1<x <5}．(2) 因为|x －1|<3⇒－3<x －1<3⇒－2<x <4，所以A ＝{x |－2<x <4}．因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，3a ＋2＝1，解得a ＝－13，满足题意；②当B ≠∅时，若3a ＋2>1，即a >－13，则B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －3a －21－x >0＝{x |1<x <3a ＋2}，故3a ＋2≤4，所以－13<a ≤23.若3a ＋2<1，即a <－13，则B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －3a －21－x >0＝{x |3a ＋2<x <1}，43≤a<－13.综上所述，a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23.故3a＋2≥－2，所以－。

2020版高考数学一轮总复习第一单元集合与常用逻辑用语课时1集合的概念与运算教案文(含解析)新人教A版

集合的概念与运算1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见数集的记法(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.2．集合间的基本关系(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A⊆B(或B⊇A) .(2)如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A) .(3)若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．3．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} .(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} .(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} .1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1 个，真子集有2n－1 个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.热身练习1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A由于3<2，所以a∈A，即{a}⊆A.2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A∩B＝∅ B．∁A B＝BC．A B D．B AA＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，1∈A但1∉B，所以B A.3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B) A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是(C) A．A∪B＝{x|x<0} B．(∁R A)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0} D．A∪(∁R B)＝{x|x≥0}因为A＝{x|－1<x≤2}＝(－1,2]，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，2]，A错误；(∁R A)∩B＝(－∞，－1]，B错误；A∩B＝(－1,0)，C正确；A∪(∁R B)＝(－1，＋∞)，D错误．5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C) A．3 B．4C．7 D．8由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.集合的基本概念(1)(经典真题)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B中元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2(2)设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2019＋b 2019＝__________.(1)求解本题，关键是理解集合A 的意义，将集合A 进行化简，可以采用特殊化的方法．A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}，所以A 与B 的共同元素只有8,14两个，故选D.(2)考虑集合{a ，b a，1}中哪一个元素为0入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行分析．若a ＝0，则b a无意义，所以a ≠0，所以b a ＝0，从而b ＝0，所以{a ，b a，1}＝{a,0,1}．由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1. 又根据集合中元素的互异性a ＝1应舍去，所以a ＝－1.故a2019＋b2019＝(－1)2019＝－1.(1)D (2)－1(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验． (3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于(A) A ．4 B ．2C ．0D ．0或2(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为－32.(1)当a ＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A 为空集，不符合题意；当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，若m ＋2＝3，解得m ＝1，此时A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以m ＝1，不符合题意；若2m 2＋m ＝3，解得m ＝1(舍去)或m ＝－32.检验知m ＝－32满足题意．故所求m 的值为－32.集合间的基本关系已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}，且B ⊆A ，则实数p 的取值范围为________．欲求实数p 的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．由x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5，所以A ＝{x |－2≤x ≤5}．B ⊆A ，则有①当B ≠∅时，利用数轴可知：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1≤2p －1，－2≤p ＋1，2p －1≤5，解得2≤p ≤3.②当B ＝∅时，有p ＋1>2p －1，即p <2. 综合①②得实数p 的取值范围是(－∞，3]．(－∞，3]解决有关集合的包含关系的问题时，要注意： (1)所给集合若能化简，则先化简； (2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；(3)注意空集的特殊性，一般地，若B ⊆A ，则应分B ＝∅与B ≠∅两种情况进行讨论．2．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x |p －6≤x ≤2p －1}，且A ∩B ＝A ，则实数p 的取值范围为 [3,4] .由例2知，A ＝{x |－2≤x ≤5}．A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，画出示意图(如下图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p －1>p －6，p －6≤－2，2p －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p >－5，p ≤4，p ≥3.所以3≤p ≤4.故p 的取值范围为[3,4]．集合的基本运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 D ．A ∪B ＝R(2)(2018·宝鸡二模)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )A ．M ∩NB ．M ∪N C. ∁U (M ∪N ) D ．∁U (M ∩N )(1)首先化简集合A ，B ，再利用数轴得到A ∩B 和A ∪B .因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32，A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．(2)画出韦恩图，如图，所以∁U (M ∪N )＝{1,6}，故选C.(1)A (2)C进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．3．(1)(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝(C) A ．{－1,1} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{2,3,4} (2)(2018·广州一模)设集合A ＝{x |x ＋3x －1<0}，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝(D) A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B )(1)因为A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}，故选C. (2)因为A ＝{x |x ＋3x －1<0}＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |x ≤－3}，所以∁R A ＝{x |x ≥1，或x ≤－3}，∁R B ＝{x |x >－3}．易知(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x ≥1}，故选D.1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时，要根据互异性进行检验．2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元素．首先看“{ | }”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元素的关键．例如，{y |y ＝f (x )}是数集，表示函数y ＝f (x )的值域；{x |y ＝f (x )}是数集，表示函数y ＝f (x )的定义域；{(x ，y )|y ＝f (x )}是点集，表示函数y ＝f (x )图象上的点构成的集合．3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点，其解决办法是对端点值进行单独考虑．。

2023年高考数学一轮复习点点练1集合的概念与运算含解析理

第一单元集合与常用逻辑用语考情分析本单元在全国卷中以选择题为主，难度不大．集合主要考查具体集合的运算，偶尔涉及集合间的关系和新定义问题；常用逻辑用语主要考查充分必要条件的判断、含有一个量词的命题的否定，有时会涉及创新题型．点点练1集合的概念与运算一基础小题练透篇1.[2022·福建宁德高三期中]已知集合A＝{x∈N|－1≤x≤2}，B＝{x|－2<x≤1}，则A∩B等于( )A．{1}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．{－1，0，1，2}x|－2<x≤0，B＝2．[2021·北京市第十三中学高三阶段练习]已知A＝{} {}x|－1≤x<2，则集合A∪B＝( )A．(－2，2) B．[－1，2)C．[－1，0] D．(－1，0)3．[2022·陕西省宝鸡市高三质检]已知集合M＝{x∈N|－2≤x<4}，N＝{x∈N|(x＋1)(x －3)<0}，则∁M N中元素的个数是( )A．1B．2C．3D．44．[2022·山东烟台高三期中]设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2－6x＋8≥0}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|2<x≤3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|2<x<4}5．[2021·湖北高三期末]已知集合A＝{x∈R|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，则A∩B＝( )A．{0，1}B．{(0，0)，(1，2)}C．∅D．[1，＋∞)6．已知集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a≤0}，若M∩N＝∅，则a的取值范围是( )A．a>1B．a≥1C．a<1D．a≤17．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，若A⊇B，则m的取值范围是________．8．[2022·甘肃武威月考]已知全集U ＝{2，4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋1，2}，∁U A ＝{7}，则a ＝________．二能力小题提升篇1.[2022·江苏苏州市高三模拟]设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，C ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，则C 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．[2022·山东高三模拟]已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，3)B ．[1，3]C ．(2，3)D ．[2，3]3．[2022·江苏扬州市高三模拟]设全集U ＝{x |y ＝lg (2x －x 2)}，集合A ＝{y |y ＝2x ，x <0}，则∁U A ＝( )A ．[1，＋∞) B．(0，1]C ．[1，2)D ．(－∞，1]4．[2022·浙江省嘉兴市模拟]已知S 1，S 2，S 3为非空集合，且S 1，S 2，S 3⊆Z ，对于1，2，3的任意一个排列i ，j ，k ，若x ∈S i ，y ∈S j ，则x －y ∈S k ，则下列说法正确的是( )A ．三个集合互不相等B ．三个集合中至少有两个相等C ．三个集合全都相等D ．以上说法均不对5．[2022·河南驻马店模拟]已知关于x 的不等式ax －5x －a <0的解集为M ，则当3∈M ，且5∉M 时，实数a 的取值范围是________．6．[2022·福建省厦门第二中学模拟]若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为________．三高考小题重现篇1.[2021·全国甲卷]设集合M ＝{1，3，5，7，9}，N ＝{x |2x >7}，则M ∩N ＝( )A ．{7，9}B ．{5，7，9}C ．{3，5，7，9}D ．{1，3，5，7，9}2．[2021·北京卷]已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝( )A ．(－1，2)B ．(－1，2]C ．[0，1)D ．[0，1]3．[2021·浙江卷]设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝( )A．{x|x>－1}B．{x|x≥1}C．{x|－1<x<1}D．{x|1≤x<2}4．[2020·天津卷]设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁U B)＝( )A．{－3，3}B．{0，2}C．{－1，1}D．{－3，－2，－1，1，3}5．[2020·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )A．2B．3C．4D．66．[2021·全国乙卷]已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )A．∅B．S C．T D．Z四经典大题强化篇1.[2022·张家口市高三期中]已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．2．[2022·宁夏大学附属中学高三期中]已知集合A＝{x|0<x<4}，B＝{x|－m<x<m＋1}(1)当m ＝2时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∪B ＝A ，求m 的取值范围．点点练1 集合的概念与运算一基础小题练透篇1．答案：B解析：根据题意得，集合A ＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{0，1}．2．答案：A解析：∵A ＝{}x |－2<x ≤0，B ＝{}x |－1≤x <2，∴A ∪B ＝(－2，2).故选A.3．答案：A解析：根据题意，M ＝{x ∈N |－2≤x <4}＝{0，1，2，3}，N ＝{x ∈N |(x ＋1)(x －3)<0}＝{0，1，2}，则∁M N ＝{3}，则集合∁M N 中有1个元素．4．答案：A解析：由题意A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ≥4或x ≤2}，则∁R B ＝{x |2<x <4}，故A ∩(∁R B )＝{x |2<x ≤3}．5．答案：D解析：∵A ＝R ，B ＝[1，＋∞)，∴A ∩B ＝[1，＋∞).6．答案：B解析：由题意得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2，因为M ∩N ＝∅，所以－a 2≤－12，所以a ≥1.7．答案：(－∞，－2]∪[－1，2]解析：因为A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，所以A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为A ⊇B ，所以B 是A 的子集，当B ＝∅时，则m －1≥2m ＋1，解得m ≤－2；当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－22m ＋1≤5m －1<2m ＋1，解得－1≤m ≤2；综上所述，m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，2].8．答案：3解析：因为∁U A ＝{7}，U ＝{2，4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋1，2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝4，a 2－a ＋1＝7，得a＝3. 二能力小题提升篇1．答案：B解析：x ∈A ，y ∈B 时，x ＋y 的值依次为5，6，6，7，7，8，有4个不同值，即C ＝{5，6，7，8}，因此C 中有4个元素．2．答案：C解析：由题意知A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}，由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，故⎩⎪⎨⎪⎧a >2a ＋1<4，解得2<a <3. 3．答案：C解析：因为U ＝{x |y ＝lg (2x －x 2)}＝{x |0<x <2}，集合A ＝{y |y ＝2x ，x <0}＝{y |0<y <1}，所以∁U A ＝[1，2).4．答案：B解析：根据题意，若S 1＝S 2＝S 3＝Z ，显然正确，故排除A ，若S 1＝{1}，S 2＝{1}，S 3＝{0}亦符合题意，故排除C ，而D 排除了所有可能，也是错的． 5.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪（3，5] 解析：根据题意，不等式ax －5x －a<0的解集为M ，若3∈M ，且5∉M ，则有⎩⎪⎨⎪⎧3a －53－a <05a －55－a ≥0或5－a ＝0，解可得1≤a <53或3<a ≤5，即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪（3，5]. 6．答案：15解析：因为1∈A ，11＝1∈A ；－1∈A ，1－1＝－1∈A ；2∈A ，12∈A ；3∈A ，13∈A ；这样所求集合即由1，－1，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 三高考小题重现篇1．答案：B解析：由题得集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >72，所以M ∩N ＝{5，7，9}． 2．答案：B解析：由题意可得，A ∪B ＝{x |－1＜x ≤2}，即A ∪B ＝（－1，2].3．答案：D解析：由交集的定义结合题意可得：A ∩B ＝{x |1≤x <2}．4．答案：C解析：方法一由题知∁U B ＝{－2，－1，1}，所以A ∩（∁U B ）＝{－1，1}．方法二易知A ∩（∁U B ）中的元素不在集合B 中，则排除选项A ，B ，D.5．答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，x ，y ∈N *得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以A ∩B ＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，故A ∩B 中元素的个数为4，选C.6．答案：C解析：方法一在集合T 中，令n ＝k （k ∈Z ），则t ＝4n ＋1＝2（2k ）＋1（k ∈Z ），而集合S 中，s ＝2n ＋1（n ∈Z ），所以必有T ⊆S ，所以T ∩S ＝T .方法二 S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T ＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T ⊆S ，所以T ∩S ＝T .四经典大题强化篇1．解析：（1）当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，又A ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}；（2）由A ⊆B ，知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m 2m ≤11－m ≥3，解得m ≤－2，即m 的取值范围是（－∞，－2]；（3）由A ∩B ＝∅得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <131－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <132m ≥3. 得0≤m <13或m ∈∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数的取值范围为[0，＋∞）.2．解析：（1）当m ＝2时，B ＝{x |－m <x <m ＋1}＝{x |－2<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－2或x ≥3}，又A ＝{x |0<x <4}，所以A ∩（∁R B ）＝{x |3≤x <4}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，当B ＝∅时，－m ≥m ＋1，解得m ≤－12；当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧－m <m ＋1－m ≥0m ＋1≤4，解得－12<m ≤0；综上，m 的取值范围为m ≤0.。

高考数学一轮复习专题一集合与常用逻辑用语1集合综合集训含解析新人教A版

专题一集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷理数第1题则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进行真假判断,要学会用特值检验.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考Ⅱ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ理,2 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ文,1 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,1 4选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,1 5选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,2 5选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,9 4选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.§1.1 集合基础篇【基础集训】考点一集合及其关系1.若用列举法表示集合A ={(x ,x )|{2x +x =6x -x =3},则下列表示正确的是 ( )A.A ={x =3,y =0}B.A ={(3,0)}C.A ={3,0}D.A ={(0,3)} 答案 B2.若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则 ( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =⌀ D.N ⫋M 答案 D3.已知集合A ={x ∈R|x 2+x -6=0},B ={x ∈R|ax -1=0},若B ⊆A ,则实数a 的值为 ( ) A.13或-12B.-13或12C.13或-12或0 D.-13或12或0答案 D4.已知含有三个实数的集合既可表示成{x ,x x,1},又可表示成{a 2,a +b ,0},则a 2021+b 2021等于 . 答案 -1考点二集合的基本运算5.已知集合M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N = ( )A .(-2,1)B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3) 答案 B6.已知全集U =R,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( ) A.{x |x ≥0} B.{x |x ≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁R A)∩B= ()A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-1<x≤3}D.{x|-1<x<9}答案 C8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B=.答案{1,2,3,5,8,9}[教师专用题组]【基础集训】考点一集合及其关系1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B= ()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是()A.0B.1C.2D.3答案C易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是 ()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A答案D对于A,0∈A,故A错误;对于B,{0}⊆A,故B错误;对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个答案C由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么 ()A.若a=3,则B⊆AB.若a=3,则A⫋BC.若A⊆B,则a=2D.若A⊆B,则a=3答案B当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B. 6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是()A.A⊆BB.A⫋BC.B⫋AD.A∈B答案D因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.,x≠0},集合B={x|x2-4 7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A={x|x=x+1x≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}答案D因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;},又知B⊆A,当B≠⌀时,a≠0,∴B={x|x=-1x∈A,∴a=±1.∴-1x综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.易错警示由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.答案 2解析若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪(∁R B)=()A.RB.⌀C.[3,5)D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案D∁R A=[5,+∞),∁R B=(-∞,3),所以(∁R A)∪(∁R B)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=√2x-1},则A ∩B= ()A.[12,1)∪(2,+∞) B.[12,1)C.(12,1)∪(2,+∞) D.R答案A因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=√2x-1}={x|x≥12},所以A∩B=[12,1)∪(2,+∞),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B={x|x<-1}B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁R B)={x|x≥0}D.A∪B={x|x<0}答案B∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0}.对于选项A,(∁R A)∩B={x|x≤-1},故A错误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁R B)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},故D错误.故选B.名师点拨对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A ={(x ,y )|x +y =2},B ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B = ( ) A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀ 答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算. 联立{x +x =2,x =x 2,消y 可得x 2+x -2=0,∴x =1或-2, ∴方程组的解为{x =1,x =1或{x =-2,x =4,从而A ∩B ={(1,1),(-2,4)},故选C .5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R 为实数集,集合A ={x |(x +1)2(x -1)x>0},B ={x |(x +1)(x -12)>0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.{-1}∪[0,1]B.[0,12]C.[-1,12]D.{-1}∪[0,12] 答案 D ∵(x +1)2(x -1)x>0,∴x ≠-1且x (x -1)>0,∴x <-1或-1<x <0或x >1,∴A ={x |x <-1或-1<x <0或x >1}. ∵(x +1)(x -12)>0,∴x >12或x <-1,∴B ={x |x >12或x <-1}.∴A ∪B ={x |x <-1或-1<x <0或x >12}.故图中阴影部分表示的集合为∁R (A ∪B )={-1}∪{x |0≤x ≤12},即{-1}∪[0,12].故选D .综合篇【综合集训】考法一集合间基本关系的求解方法1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A ={x |x 2+x =0,x ∈R},则满足A ∪B ={0,-1,1}的集合B 的个数是( )A.4B.3C.2D.1 答案 A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M ={x |x =4n +1,n ∈Z},N ={x |x =2n +1,n ∈Z},则 ( ) A.M ⫋N B.N ⫋M C.M ∈N D.N ∈M 答案 A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为.答案(-∞,9]考法二集合运算问题的求解方法}, 4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B={x|x=√x 则(∁U A)∩B= ()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁U A)∩B= ()A.[2,+∞)B.⌀C.[1,2)D.(1,2)答案 C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3},则集合B= ()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}答案 B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁U M)∪(∁U N)等于()A.{5,6}B.{1,5,6}C.{2,5,6}D.{1,2,5,6}答案 D8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B= ()A.{1}B.{1,2,3}C.{1,4,9}D.⌀答案 A[教师专用题组]【综合集训】考法一集合间基本关系的解题方法1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015=.答案-1或0解析因为M =N ,所以{1,m }={n ,log 2n }. 当n =1时,log 2n =0,则m =0,所以(m -n )2015=-1; 当log 2n =1时,n =2,则m =2,所以(m -n )2015=0.故(m -n )2015=-1或0.2.已知集合A ={x |x =2x +13,x ∈Z },B =,则集合A 、B 的关系为 . 答案 A =B 解析 A =,B ={x |x =13(2x +3),x ∈Z }.∵{x |x =2n +1,n ∈Z}={x |x =2n +3,n ∈Z},∴A =B.故答案为A =B.3.设集合A ={-2},B ={x |ax +1=0,a ∈R},若A ∩B =B ,则a 的值为 . 答案 0或12解析 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A. ∵A ={-2}≠⌀,∴B =⌀或B ≠⌀.当B =⌀时,方程ax +1=0无解,此时a =0,满足B ⊆A. 当B ≠⌀时,a ≠0,则B ={-1x }, ∴-1x∈A ,即-1x=-2,解得a =12.综上,a =0或a =12.4.已知集合A ={x |x <-1或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3}.若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①当B =⌀时,只需2a >a +3,即a >3; ②当B ≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得{x +3≥2x ,x +3<-1或{x +3≥2x ,2x >4, 解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).考法二集合运算问题的求解方法1.(2017北京东城二模,1)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系,那么阴影部分所表示的集合为()A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>3}D.{x|x≤1}答案D由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴∁U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},则()A.a=12B.a≤12C.a=-12D.a≥12答案C∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1<x<3,则N={x|1<x<3},∵U=R,∴∁U N={x|x≤1或x≥3},又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥-2a},M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},∴-2a=1,解得a=-12.故选C.3.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁U A)∩B=⌀,则m=.答案1或2解析A={-2,-1},由(∁U A)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.11。

2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算理

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算一、选择题1．已知集合A ＝{y|x2＋y2＝1}和集合B ＝{y|y ＝x2}，则A∩B 等于( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(0，＋∞)D ．{(0,1)，(1,0)}解析 ∵A ＝{y|x2＋y2＝1}，∴A ＝{y|－1≤y≤1}．又∵B ＝{y|y ＝x2}，∴B ＝{y|y≥0}．A∩B＝{y|0≤y≤1}．答案 B2. 设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M∩∁UN ＝{2,4}，则N ＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}解析由M∩∁UN ＝{2,4}可得集合N 中不含有元素2,4，集合M 中含有元素2,4，故N ＝{1,3,5}．答案 B3．设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝( )．A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,3}D ．{3,4} 解析 U ＝{1,2,3,4}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U M ＝{1,4}．答案 A4．若A ＝{2,3,4}，B ＝{x|x ＝n·m，m ，n ∈A ，m≠n}，则集合B 中的元素个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 B ＝{x|x ＝n·m，m ，n ∈A ，m≠n}＝{6,8,12}．答案 B5．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a2}，则“a＝1”是“N ⊆M”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析若N ⊆M ，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a ＝±1或a ＝± 2.故“a＝1”是“N ⊆M”的充分不必要条件．答案 A6．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2,2] B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1,1)，(1,1)}解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]．答案 B二、填空题7．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.答案 18．已知集合A ＝{0,2，a2}，B ＝{1，a}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．解析若a ＝4，则a2＝16∉(A ∪B)，所以a ＝4不符合要求，若a2＝4，则a ＝±2，又－2∉(A ∪B)，∴a ＝2.答案 29．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析 ①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确．②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确．③令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，3∈A 1,2∈A 2，但是，3＋2∉A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案 ②10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．解析由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0， ∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.答案 8三、解答题11．若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b .解 ∵A ＝B ，∴B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－1＋3＝2，b ＝－＝－3，∴a ＝－2，b ＝－3.12．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解 (1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3，经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．∴a ＝－3.13．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .解由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A ＝{3,5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5. ∴B ＝{5}，∴B A .(2)∵A ＝{3,5}且B ⊆A ，∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0.若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a， ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15， ∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 14．设集合A ＝{x2,2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A ∪B.解由9∈A ，可得x2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}；当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A∪B＝{－8，－4,4，－7,9}．。

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念及运算课时练理

2017高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及运算课时练理时间：45分钟基础组1.[2016·武邑中学模拟]已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则下列集合A与B的关系正确的是( )A．A⊆B B．A BC．B A D．A∈B答案 D解析因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B.故选D.2．[2016·枣强中学一轮检测]已知集合A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,5,9}，C＝{2,4,8,10}，则A可以是( )A．{1,2} B．{2,4}C．{4} D．{2}答案 D解析解法一：因为A⊆B，A⊆C，所以A⊆(B∩C)，故集合A可以是{2}，故选D.解法二：逐项验证，可知当A＝{1,2}时，不满足A⊆C；同理可知当A＝{2,4}和A＝{4}时，不满足A⊆B，故选D.3．[2016·衡水中学周测]若集合A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝m＋n，m，n∈A，m≠n}，则集合B的非空子集的个数是( )A．4 B．7C．8 D．15答案 B解析解法一：因为x＝m＋n，m，n∈A，m≠n，所以B＝{5,6,7}，故B的非空子集有{5}，{6}，{7}，{5,6}，{5,7}，{6,7}，{5,6,7}，共7个．解法二：因为x＝m＋n，m，n∈A，m≠n，所以B＝{5,6,7}，根据公式可得集合B的非空子集的个数是23－1＝7.4．[2016·冀州中学月考]已知集合A＝{x|y＝lg (x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案 B解析因为A＝{x|y＝lg (x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.故选B.5．[2016·武邑中学周测]设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，从而b a＝－1，所以有a＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2，故选C.6．[2016·衡水中学月考]已知集合A ＝(－2,5]，B ＝[m ＋1,2m －1]．若B ⊆A ，则m 的取值范围是( )A ．(－3,3]B ．[－3,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3)答案 C解析当B ＝∅时，m ＋1>2m －1即m <2，B ⊆A . 当B ≠∅时，由题意可画数轴m ≥2且⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－22m －1≤5解得2≤m ≤3.综上可知m ∈(－∞，3]，故选C.7．[2016·枣强中学猜题]设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1答案 C解析若M ∩N ＝N ，则N ⊆M .结合集合元素的互异性得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝－1，所以a ＝－1.故选C.8．[2016·衡水中学期中]若集合A ＝{x |1≤3x ≤81}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B ＝( )A ．(2,4]B ．[2,4]C ．(－∞，0)∪(0,4]D ．(－∞，－1)∪[0,4]答案 A解析因为A ＝{x |1≤3x≤81}＝{x |30≤3x≤34}＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2}＝{x |x <－1或x >2}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤4}∩{x |x <－1或x >2}＝{x |2<x ≤4}＝(2,4]．9．[2016·武邑中学期中]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1) 答案 D解析由题意可知，M ＝(－3,1)，N ＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝(－3，－1)．10．[2016·衡水中学期末]设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x 2>2x }，N ＝{x |log 2(x －1)≤0}，则(∁U M )∩N 为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x <2}答案 C解析 x 2>2x ⇒x >2或x <0.M ＝{x |x >2或x <0}，log 2(x －1)≤0⇒0<x －1≤1,1<x ≤2，N ＝{x |1<x ≤2}，(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}，故选C.11．[2016·冀州中学猜题]已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A ．{0,2}B ．{0,1,3}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}答案 C解析集合A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{2}，阴影部分表示的集合为{1,3,4}．12．[2016·武邑中学仿真]已知R 是实数集，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝( )A ．(1,2)B ．[0,2]C ．∅D ．[1,2]答案 D解析 ∵2x <1，∴x －2x>0，∴x <0或x >2，∴M ＝{x |x <0或x >2}，∴∁R M ＝{x |0≤x ≤2}．∵y ＝x －1＋1，∴y ≥1，∴N ＝{y |y ≥1}，∴N ∩(∁R M )＝[1,2]，故选D.能力组13.[2016·衡水中学模拟]已知集合A ＝{0,1}，则满足条件A ∪B ＝{0,1,2,3}的集合B 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 D解析由题知B 集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共四个，故选D.14．[2016·冀州中学期中]已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A ．－32<a ≤－1B ．a ≤－32C ．a ≤－1D ．a >－32答案 C解析因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②得，a ≤－1.15. [2016·衡水中学仿真]已知集合A ＝{x |2x 2－2x <8}，B ＝{x |x 2＋2mx －4<0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，则实数m 等于________．答案 32解析由2x 2－2x <8，得x 2－2x <3，解得－1<x <3，所以A ＝{x |－1<x <3}．因为A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，所以B ＝{x |－4<x <1}．由不等式与方程之间的关系可得，－4,1是方程x 2＋2mx －4＝0的两根，所以－4＋1＝－2m ，即－2m ＝－3，解得m ＝32.16．[2016·枣强中学预测]已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2x ，－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是________．答案 29解析依题意，函数y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1(－2≤x ≤2)的值域是A ＝{y |－1≤y ≤8}；由x 2＋2x －3≤0得－3≤x ≤1，即B ＝{x |－3≤x ≤1}，则A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1}，因此所求的概率等于1－－8－－＝29.。

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算课时作业理新人教版

第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算1. 集合与元素(1) 集合元素的三个特征：确定性、________ 、无序性•(2) 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 _或_表示•⑶集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法.(4) 常用数集：自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集乙有理数集Q;实数集R(5) 集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、_________ 2. 集合间的基本关系3. 集合的基本运算表示合A 的补集为？u A图形表示-------------------------------------- !---------- —n意义基础自测1.已知集合 A={x|x>1}, B={x|- 1<x<2},则 A n B 等于( ).A. { x|- 1<x<2}B. { x|x>- 1}A. {4}B. {4, -1}C. {4,5}D. { -1,0}23.已知集合 P={x|x < 1}, M=a },若P U M=P 则a 的取值范围是().A. ( - g , -1]B. [1, +8)C. [ -1,1]D. ( - 8,-1] U [1, +8)4. (教材改编)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5}, B={1,3,5,7}, 贝 U A n ( ?UB ) = ______ .5. (教材改编)已知集合 A={ -1,2}, B={x|mx+1=0},若A U B=A 则m 的可能取值组成的集合指点迷津♦一个性质要注意 A ? B A n B=A A U B=B ?U A ? ?u B 、A n （?U B ）=这五个关系式的等价性C. { x|- 1<x<1}D. { x| 1 <x<2}2.已知集合 A={-1,0,4}, 集合B={x|x 2-2x- 3<0, x € N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是（）.（第2题）♦两种方法Venn 图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法别注意端点是实心还是空心如：全集 U=R,A={x|a < x < a+1}, B={x|x<- 1},若 A n (?U B )=,则 a 的范围为 a<-2.♦三个防范①认清元素的意义 , 数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等, 如}与{ y|y=,其中运用数轴图示法要特{ x|y={( x , y )|y=}分别表示函数『=的定义域、值域以及函数图象上的点集② 注意防范 : 集合的基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解否定条件导致错解 , 如已知 A= 补集写为导致漏解；③空集是任何集合的子集，注意对空集的讨论，防止漏解；注意集合中元素的互异性，防止增解,如关系“ B ? A ”中,B 可以为 .考点透析考向一集合的基本概念例 1 (2014 •全国新课标 I )已知集合 M=x|- 1<x<3}, B={x\- 2<x<1},则 Mn B 等于( ).A. ( -2,1)B. ( -1,1), 求解集合的补集时由于错误,误把集合A 的C. (1,3)D. ( -2,3)【审题视点】根据集合的定义，通过运算可求两集合的公共部分.【方法总结】(1)解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.(2)利用元素与集合的关系求字母参数时，要注意元素互异性的应用，一方面能利用互异性顺利找到解题的切入点，另一方面在解答完毕时注意检验集合元素是否满足互异性以确保答案正确.变式训练1.已知集合A=f x|x2-2x+a>0},且1?A,则实数a的取值范围是().A. ( - a ,1]B. [1, +8)C. [0, +8)D. ( - a ,1)考向二集合间的基本关系例2 (1)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5}, B=[2, +a),则图中阴影部分所表示的集合为( ).A. {0,1,2} C. {1,2}D. {1}⑵（2014 •苏北四市联考）已知集合A={2 +, a }, Bp-1,1,3},且A ? B,则实数a 是 .【审题视点】（1）本题考查集合运算，难度较小.（2）本题考查集合与集合之间的关系【方法总结】（1）两个集合相等，可以从两个集合中的元素相同求解，也可利用定义且 B ? A ? A=B.（2）对于集合的包含关系，B ? A 时,别忘记B= 的情况.对于端点的虚实可单独验证 .2. （2014 •辽宁五校联考）设集合P={x|x>1}, Q=X |X 2-X >0},则下列结论正确的是（A. P ? QB. Q ? PC. P=QD. P U Q=R考向三集合的基本运算.. 2例3 （2014 •全国新课标 n ）已知集合 A={-2,0,2}, B={ x|x -x- 2=0},则A n B 等于（ A. B.{2} C. {0}D. { -2}【审题视点】本题考查集合的运算，难度较小.B. {0,1} 的值:A ? B).).,B={ y|y=x 2},贝U AH B 等于€ A 就称A 是“和谐”集合.则在集合 M= 的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是 ________ .【解题指南】本题考查对以集合为背景的新定义的理解和应用、古典概型，难度较大•【解析】集合 M 的所有非空子集有28-1 =255个,其中“和谐”集合中的元素在-1,1,C. [0, +8)D. {( -1,1),(1,1)}考题回顾典例（2014• 浙江六校联考）若任意x € A, 则B. [0,2]3. 设集合 A= ( ) . A. [ -2,2]和2,和 3 四组中选取, 有24- 1=15 个, 所以和谐”集合的概率是答案】1. （2014 •全国大纲）设集合M=1,2,4,6,8}, N={1,2,3,5,6,7}, 贝U MP N中元素的个数为（）.A. 2B. 3C. 5D. 72. （2014 •北京）若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A P B等于（）.A. {0,123,4}B. {0,4}C. {1,2}D. {3}3. （2014 •重庆）已知集合A={3,4,5,12,13}, B={2,3,5,8,13}, 则A P B= ______参考答案与解析第一章第1课时集合与常用逻辑用语集合的概念与运算1.(1) 互异性(2)€(5)空集2.3.1. D2.B3. C4. {2, 4}5.考点透析【例1】B解析:通过对集合MB的比较可得两集合公共部分为(-1, 1).【例2】⑴D解析：图中阴影部分表示为所以故选D.(2)1 解析例3】 B 解析因为: 故选B.1. A 解析：因为2. A 解析：由集合所以选A.3. B 解析中有3个元素，故选B.2. C 解析:3. {3, 5, 13} 解析:。

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及运算练习文-人教版高三全册数学试

§1．1 集合的概念及运算考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1．集合的含义与表示了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题Ⅰ2017课标全国Ⅰ,1;2017课标全国Ⅲ,1;2016某某,1选择题★★☆2．集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义Ⅱ2013某某,3 选择题★★☆3．集合间的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算Ⅱ2017课标全国Ⅱ,1;2017,1;2016课标全国Ⅰ,1;2016课标全国Ⅱ,1;2016课标全国Ⅲ,1选择题★★★分析解读1．掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系．2．深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念．熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质．能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算．3．本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法．4．本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题．命题探究五年高考考点一集合的含义与表示1．(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案B2．(2016某某,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=（）A．{1,3} B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}答案A3．(2015课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2答案DA．⌀B．{2} C．{0} D．{-2}答案B5．(2013某某,2,5分)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=（）A．4 B．2C．0 D．0或4答案A教师用书专用(6—8)6．(2015某某,10,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A ⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30答案C7．(2014某某,1,5分)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=（）A．{-1,0} B．{0,1}C．{-2,-1,0,1} D．{-1,0,1,2}答案D8．(2013课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=（）A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}答案A考点二集合间的基本关系(2013某某,3,5分)若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．16答案C考点三集合间的基本运算1．(2017课标全国Ⅱ,1,5分)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=（）A．{1,2,3,4} B．{1,2,3} C．{2,3,4} D．{1,3,4}答案A2．(2017,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=（）A．(-2,2) B．(-∞,-2)∪(2,+∞)C．[-2,2] D．(-∞,-2]∪[2,+∞)答案CA．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}答案B4．(2017某某,1,5分)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=（）A．(-1,1) B．(-1,2) C．(0,2) D．(1,2)答案C5．(2016课标全国Ⅰ,1,5分)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=（）A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}答案B6．(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=（）A．{-2,-1,0,1,2,3} B．{-2,-1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}答案D7．(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁A B=（）A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}答案C8．(2016,1,5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=（）A．{x|2<x<5} B．{x|x<4或x>5}C．{x|2<x<3} D．{x|x<2或x>5}答案C9．(2016某某,1,5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=（）A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}答案A10．(2016某某,2,5分)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3答案B11．(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=（）A．(-1,3) B．(-1,0) C．(0,2) D．(2,3)答案A12．(2015某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁U B=（）13．(2015某某,1,5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x-1)·(x-3)<0},则A∩B=（）A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)答案C14．(2014某某,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}答案D15．(2013课标全国Ⅱ,1,5分)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=（）A．{-2,-1,0,1} B．{-3,-2,-1,0}C．{-2,-1,0} D．{-3,-2,-1}答案C16．(2017某某,1,5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}．若A∩B={1},则实数a的值为____．答案1教师用书专用(17—40)17．(2016某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=（）A．{1} B．{3,5}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}答案C18．(2015,1,5分)若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B=（）A．{x|-3<x<2} B．{x|-5<x<2}C．{x|-3<x<3} D．{x|-5<x<3}答案A19．(2015某某,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=（）A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(-∞,1]答案A20．(2015某某,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=（）A．[3,4) B．(2,3] C．(-1,2) D．(-1,3]答案A21．(2015某某,2,5分)若集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于（）22．(2014某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁U A=（）A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}答案C23．(2014某某,1,5分)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于（）A．{x|3≤x<4}B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3}D．{x|2≤x≤3}答案A24．(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则M∩N=（）A．(-2,1) B．(-1,1) C．(1,3) D．(-2,3)答案B25．(2014某某,2,5分)设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=（）A．(0,2] B．(1,2) C．[1,2) D．(1,4)答案C26．(2014某某,1,5分)设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=（）A．(-∞,5]B．[2,+∞)C．(2,5) D．[2,5]答案D27．(2014大纲全国,1,5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案B28．(2014某某,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=（）A．[0,1] B．(0,1)C．(0,1] D．[0,1)答案D29．(2013,1,5分)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=（）A．{0} B．{-1,0} C．{0,1} D．{-1,0,1}答案B30．(2013某某,1,5分)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=（）A．[-4,+∞)B．(-2,+∞)31．(2013某某,2,5分)已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁R A)∩B=（）A．{-2,-1} B．{-2} C．{-1,0,1} D．{0,1}答案A32．(2013某某,1,5分)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=（）A．{0} B．{0,2} C．{-2,0} D．{-2,0,2}答案A33．(2013某某,1,5分)设集合A={1,2,3},集合B={-2,2},则A∩B=（）A．⌀B．{2}C．{-2,2} D．{-2,1,2,3}答案B34．(2013某某,1,5分)已知集合A={0,1,2,3,4},B={x||x|<2},则A∩B=（）A．{0} B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}答案B35．(2013某某,1,5分)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=（）A．(-∞,2]B．[1,2] C．[-2,2] D．[-2,1]答案D36．(2013某某,1,5分)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁R M为（）A．(-∞,1)B．(1,+∞)C．(-∞,1]D．[1,+∞)答案B37．(2013某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=（）A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}答案D38．(2015某某,11,5分)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=______．答案{1,2,3}39．(2014某某,11,5分)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=_______．答案{3,5,13}40．(2013某某,10,5分)已知集合U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(∁U A)∩B=__________．答案{6,8}三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组1．(2018某某师大附中11月模拟,1)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且y=x2},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为（）A．无数个B．3 C．2 D．1答案C2．(2017某某某某高中毕业班4月调研,2)已知集合A={1,3},B=,则A ∪B=（）A．{1,3} B．{1,2,3} C．{1,3,4} D．{1,2,3,4}答案B3．(2016某某某某一模,1)集合U=R,A={x|x2-x-2<0},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1}D．{x|x≤1}答案B考点二集合间的基本关系4．(2017某某某某一模,2)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是（）A．M=N B．M∩N=N C．M∪N=N D．M∩N=⌀答案B5．(2016某某某某二模,1)设集合M={-1,1},N={x|x2-x<6},则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．N∩M=⌀C．M⊆N D．M∩N=R答案C6．(2018某某某某调研,13)设集合A={1,},B={a},若B⊆A,则实数a的值为______．答案07．(2017某某八市联考,13)已知A={x|x2-3x+2<0},B={x|1<x<a},若A⊆B,则实数a的取值X围是_____．答案[2,+∞)考点三集合间的基本运算8．(2018某某重点中学11月质检,1)已知集合A={x|3x>3},B={x|3x2-2x-5<0},则A∩B=（）A．B．(-1,1) C．(-1,+∞)D．9．(2018某某重点中学期中联考,1)已知集合A=,B={x|(x+2)(x-1)>0},则A∩B等于（）A．(0,2) B．(1,2)C．(-2,2) D．(-∞,-2)∪(0,+∞)答案B10．(2018某某某某一模,1)若集合A={x|1≤x≤5},B={x|log2x<2},则A∪B等于（）A．(-1,5] B．(0,5] C．[1,4) D．[-1,4)答案B11．(2017某某百校联盟4月质检,1)已知集合A={x|2x2-7x+3<0},B={x∈Z|lg x<1},则阴影部分所表示的集合的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案B12．(2017某某某某三模,1)已知全集U=R,集合M={x||x|<1},N={y|y=2x,x∈R},则集合∁U(M∪N)等于（）A．(-∞,-1] B．(-1,2)C．(-∞,-1]∪[2,+∞)D．[2,+∞)答案A13．(2017某某襄阳五中模拟,1)设集合U={1,2,3,4},集合A={x∈N|x2-5x+4<0},则∁U A等于（）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,4} D．{1,3,4}答案B14．(2016中原名校四月联考,1)设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B=（）A．(2,3] B．(-∞,1]∪(2,+∞)C．[1,2) D．(-∞,0)∪[1,+∞)答案DB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1．(2018某某南开中学月考,1)已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,2,3,5},B={2,4},则(∁U A)∪B=（）A．{1,2,4} B．{4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}2．(2018某某浏阳三校联考,1)设A={x|y=},B={y|y=ln(1+x)},则A∩B=（）A．{x|x>-1} B．{x|x≤1}C．{x|-1<x≤1}D．⌀答案B3．(2018某某某某重点高中联考,2)已知集合M=,N=,则M∩N=（）A．⌀B．{(3,0),(0,2)}C．[-2,2] D．[-3,3]答案D4．(2018某某五校协作体9月联考,2)已知集合P={x|x2-2x-8>0},Q={x|x≥a},P∪Q=R,则a的取值X围是（）A．(-2,+∞)B．(4,+∞)C．(-∞,-2] D．(-∞,4]答案C5．(2017某某某某、某某等六市一模,1)已知集合A={(x,y)|y-=0},B={(x,y)|x2+y2=1},C=A∩B,则C的子集的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4答案C6．(2017某某某某第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},那么a的取值为（）A．a=B．a≤C．a=-D．a≥答案C7．(2016某某某某瑞安八校联考,1)已知集合A={x|ax=1},B={0,1},若A⊆B,则由a的取值构成的集合为（）A．{1} B．{0} C．{0,1} D．⌀答案C二、解答题(每小题10分,共20分)8．(2018某某某某四校联考,17)已知三个集合:A={x∈R|log2(x2-5x+8)=1},B={x∈R|=1},C={x∈R|x2-ax+a2-19>0}．(2)已知A∩C≠⌀,B∩C=⌀,某某数a的取值X围．解析(1)∵A={x∈R|log2(x2-5x+8)=1}={x∈R|x2-5x+8=2}={2,3},(2分)B={x∈R|=1}={x∈R|x2+2x-8=0}={2,-4},(4分)∴A∪B={2,3,-4}．(5分)(2)∵A∩C≠⌀,B∩C=⌀,∴2∉C,-4∉C,3∈C．(6分)∵C={x∈R|x2-ax+a2-19>0},∴(7分)即,解得-3≤a<-2．(9分)所以实数a的取值X围是[-3,-2)．(10分)9．(2017某某某某、某某联考,18)已知函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=(-1≤x≤0)的值域为B．(1)求A∩B;(2)若C=[a,2a-1],且C∪B=B,某某数a的取值X围．解析(1)要使函数f(x)=有意义,需log2(x-1)≥0,解得x≥2,∴A=[2,+∞)．对于函数g(x)=,∵-1≤x≤0,∴1≤g(x)≤2,∴B=[1,2],∴A∩B={2}．(2)∵C∪B=B,∴C⊆B．当2a-1<a,即a<1时,C=⌀,满足条件．当2a-1≥a,即a≥1时,要使C⊆B,则解得1≤a≤．综上可得,a∈．C组2016—2018年模拟·方法题组方法1利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法1．(2018某某某某一中11月模拟,2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠⌀,若A∪B=A,则（）A．-3≤m≤4B．-3<m<4 C．2<m<4 D．2<m≤4答案D2．(2017豫北名校联考,1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},M={3,4,5},N={1,3,6},则集合{2,7}=（）A．M∩N B．(∁U M)∩(∁U N)C．(∁U M)∪(∁U N) D．M∪N答案B3．(2016某某蓟县期中,1)函数y=的定义域为集合A,函数y=ln(2x+1)的定义域为集合B,则A∩B=（）A．B．C．D．答案A方法2解决与集合有关的新定义问题的方法4．(2018某某某某三校联考,4)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有个__________．答案175．(2016某某中原名校3月联考,14)当两个集合中一个集合为另一集合的子集时,称这两个集合构成“全食”,当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”．对于集合A=,B={x|ax2=1,a≥0},若A与B构成“全食”或构成“偏食”,则a的取值集合为___________．答案{0,1,4}。

(湖南专用)高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算课时作业理

课时作业1 集合的概念与运算一、选择题1．(2013届湖南周南中学高三入学考试)已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝－a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝( )．A ．{0，－1}B ．{0}C ．{－1，－2}D ．{0，－2}2．设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)＜0}，B ＝{x |x ＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A ．{x |x ＞0}B ．{x |－3＜x ＜0}C ．{x |－3＜x ＜－1}D ．{x |x ＜－1}3．(2012大纲全国高考)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )．A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D4．已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为( )．A ．1或0B ．－1或0C ．1或－1D ．0或1或－15．集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{－1,0,1}，则下列结论正确的是( )．A ．A ∪B ＝(0，＋∞) B ．(ðR A )∪B ＝(－∞，0]C ．(ðR A )∩B ＝{－1,0}D ．(ðR A )∩B ＝{1}6．设集合M ＝{y |y ＝2x ，x ＜0}，N ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则M ∪N ＝( )．A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)7．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤a }，且(A ∪B )⊆(A ∩B )，则实数a ＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题8．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝__________.9．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |0＜x ＜2}，Q ＝{x |1＜x ＜3}，那么P －Q ＝__________.10．(2013届湖南师大附中月考)设集合A ＝(－∞，a ]，B ＝(b ，＋∞)，a ∈N ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2}，则a ＋b 的值是__________．三、解答题11．设集合A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求A ∪B .12．已知全集S ＝{1,3，x 3－x 2－2x }，A ＝{1，|2x －1|}．如果ðS A ＝{0}，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．B 解析：N ＝{0，－1，－2}，所以M ∩N ＝{0}，故选B.2．C 解析：题图中阴影部分表示的集合是A ∩B ，而A ＝{x |－3＜x ＜0}，故A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．3．B 解析：∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，∴C ⊆B .4．D 解析：当a ＝0时，N ＝∅，符合M ∩N ＝N ；当a ≠0时，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝1a ，由题意得1a∈M ， ∴1a－a ＝0，解得a ＝±1. 5．C 解析：∵A ＝{y |y ＞0}，∴ðR A ＝{y |y ≤0}，(ðR A )∩B ＝{－1,0}．6．C 解析：∵M ＝{y |y ＜1}，N ＝{x |x ＜1}．∴M ∪N ＝(－∞，1)．7．B 解析：由(A ∪B )⊆(A ∩B )易得A ∪B ＝A ∩B ，则A ＝B ，∴a ＝1.二、填空题8．{(0,1)，(－1,2)} 解析：A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．9．{x |0＜x ≤1} 解析：由定义知，P －Q 为P 中元素除去Q 中的元素，故P －Q ＝{x |0＜x ≤1}．10．3 解析：A ∩B ∩N ＝{2}，A ∩B ＝(b ，a ]，a ∈N ，b ∈N ，∴a ＝2，b ＝1.故a ＋b ＝3.三、解答题11．解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， ∴12∈A 且12∈B . 将x ＝12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12－12p ＋q ＝0，32＋12(p ＋2)＋5＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－7，q ＝－4，∴A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12， B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13， ∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4. 12．解：(方法一)∵ðS A ＝{0}，∴0∈S 且0∉A ，即x 3－x 2－2x ＝0，解得x1＝0，x2＝－1，x3＝2.当x＝0时，|2x－1|＝1，集合A中有相同元素，故x＝0不合题意；当x＝－1时，|2x－1|＝3∈S；当x＝2时，|2x－1|＝3∈S.∴存在符合题意的实数x，x＝－1或x＝2.(方法二)∵ðS A＝{0}，∴0∈S且0 A,3∈A，∴x3－x2－2x＝0且|2x－1|＝3，∴x＝－1或x＝2，∴存在符合题意的实数x，x＝－1或x＝2.。

2021年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念及运算文(含解析)

2021年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念及运算文（含解析）1．集合的含义与表示①集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．②集合中元素与集合的关系意义符号表示属于集合是集合的元素不属于集合不是集合的元素③集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．④常用数集的表示集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示2．集合间的基本关系①子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B．②真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B．③相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3.集合的基本运算4．集合A元素的个数为n则①A的子集个数为．②A的真子集个数为．5. 集合的运算及性质，．【例1】（xx延庆一模）已知集合，，，则（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【解析】∵，∴，∴或．若，则，满足．若，解得或．若，则，满足．若，显然不成立，综上：或．【变式】（xx黑龙江质检）设集合，,则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴．【例2】(xx惠州调研）已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】(1)若时，得，满足；（2）若时，得．，∴或，解得，或．故所求实数的值为，或，或．【变式】已知集合，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴．（1）当时，则，解得．（2）当时，则，解得．∴实数的取值范围是．【例3】（xx揭阳一模）已知集合，集合，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵，，∴．【变式】（xx 山东高考）已知集合、均为全集的子集，且，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵，∴且，∵，∴，，∴，或，或，或，∴，．【例4】(xx 珠海一模）设为全集，对集合，定义运算“”，满足，则对于任意集合，（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】()[()]()()U U U X Y Z X Y Z X Y Z ⊕⊕=⊕=．【变式】设、为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】∵，，，∴当时，的值为1,2,6；当时，的值为3,4,8；当时，的值为6,7,11，∴，∴中有8个元素．第1课集合的概念及运算的课后作业1．（xx 福建高考）若集合，则的子集个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．16【答案】C【解析】∵，∴的子集为．2．（xx 惠州调研）已知集合，,则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，故．3．（xx 全国高考）设集合则中的元素个数为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，有4个元素．4．(xx 中山质检）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）AB ．C ．D ．．5.(xx·惠州一模)若集合，，则A∩B＝( )A ．－1B ．{－1}C ．{－1,5}D ．{1，－1}【答案】B【解析】由集合A 中的方程，解得：或，所以集合，由集合B 中的方程，解得：或，所以集合，则．故选B.6. (xx·新课标全国卷Ⅰ)已知集合，，则 ( )A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}【答案】A【解析】因为，所以 .所以．所以，故选A.7．(xx·梅州二模)已知集合，集合，且A∩B＝{1}，则A∪B＝( )A ．{0,1,3}B ．{1,2,4}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4}【答案】C【解析】因为，集合，且A∩B＝{1}，所以，解得：或，当时，，不合题意，舍去；当时，，此时，所以，集合，则．故选C.8．若全集，集合，则 ________.【答案】{x|0＜x<1}9．(xx·上海卷)若集合，，则A∩B＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜x ＜1 【解析】解得集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12，集合B ＝{x|－1＜x ＜1}，求得A∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜x ＜1. 10．(xx·河南调研)设全集，，，，则集合的所有子集是________________．【答案】、{1}、{2}、{1,2}【解析】因为，所以，所以|a ＋1|＝3，且，解得或 .所以．11．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 6x ＋1≥1，x∈R ，，若，求实数m 的值．【解析】由6x ＋1＞1，得x －5x ＋1≤0，所以－1＜x≤5，即A ＝{x|－1＜x≤5}，又A∩B＝{x|－1＜x ＜4}，所以4是方程的根，于是，解得m＝8.此时，符合题意，故实数m的值为8.12．设全集，已知集合，．(1)求；(2)记集合，已知集合，若B∪A＝A，求实数的取值范围．【解析】(1)∵，，∴，．(2) ，∵，，∴或，当时，，∴；当时，，解得从而，综上所述，所求的取值范围为．t30464 7700 眀28956 711C 焜 28147 6DF3 淳L-23767 5CD7 峗25830 64E6 擦,ugt。

高考数学一轮复习分层练习第一章集合常用逻辑用语与不等式第1讲集合

第1讲集合1.[2024武汉部分学校调考]已知集合A ＝{x ｜x 2－2x －8＜0}，B ＝{－2，－1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ B ）A.{－2，－1，0，1，2}B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－2，－1，0，1}解析因为A ＝{x ｜x 2－2x －8＜0}＝{x ｜－2＜x ＜4}，B ＝{－2，－1，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选B.2.[2024南昌市模拟]已知集合P ＝{x ｜y ＝√x }，Q ＝{y ｜y ＝2x }，则（ A ）A.Q ⊆PB.P ⊆QC.P ＝QD.Q ⊆∁R P解析由已知，得P ＝[0，＋∞），Q ＝（0，＋∞），所以Q ⊆P ，故选A.3.[2024辽宁联考]设全集U ＝{1，2，m 2}，集合A ＝{2，m －1}，∁U A ＝{4}，则m ＝（ D ）A.3B.－2C.4D.2解析因为∁U A ＝{4}⊆U ，且A ⊆U ，所以4∈U ，m －1∈U ，则{m 2=4，m －1=1，解得m ＝2.故选D.4.[2024江西南昌模拟]已知集合A ＝{x ｜2x ≤8，x ∈N }，B ＝{x ｜－2＜x ＜5}，则A ∩B 中元素的个数为（ B ）A.3B.4C.5D.6解析因为A ＝{x ｜2x ≤8，x ∈N }＝{0，1，2，3}，所以A ∩B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B 中元素的个数为4.故选B.5.[2023全国卷乙]设全集U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合M ＝{0，4，6}，N ＝{0，1，6}，则M ∪∁U N ＝（ A ）A.{0，2，4，6，8}B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8}D.U解析由题意知，∁U N ＝{2，4，8}，所以M ∪∁U N ＝{0，2，4，6，8}.故选A.6.[2024山东模拟]已知集合M ＝{x ｜x 2－2x ≤0}，N ＝{x ｜log 2（x －1）＜1}，则M ∩N ＝（ B ）A.[0，2]B.（1，2]C.（0，3）D.[2，3）解析解法一因为M ＝{x ｜x 2－2x ≤0}＝{x ｜0≤x ≤2}，N ＝{x ｜log 2（x －1）＜1}＝{x ｜0＜x －1＜2}＝{x ｜1＜x ＜3}，所以M ∩N ＝（1，2]，故选B.解法二因为1∉N ，所以1∉（M ∩N ），故排除A ，C ；又52∉M ，所以52∉（M ∩N ），故排除D.综上，选B.7.[2024重庆渝北模拟]设集合A ＝{x ｜x 2－8x ＋15＝0}，集合B ＝{x ｜ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 取值集合的真子集的个数为（ C ）A.2B.3C.7D.8 解析由x 2－8x ＋15＝0，得（x －3）（x －5）＝0，解得x ＝3或x ＝5，所以A ＝{3，5}.当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A .当a ≠0时，B ＝{1a }，因为B ⊆A ，所以1a ＝3或1a＝5，故a ＝13或a ＝15.综上，实数a 取值的集合为{0，13，15}，所以实数a 取值集合的真子集的个数为23－1＝7，故选C.8.[2023辽宁名校联考]设集合A ＝{x ｜x ＞a }，集合B ＝{0，1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ C ）A.（－∞，1]B.（－∞，0]C.（－∞，1）D.（－∞，0）解析因为集合A ＝{x ｜x ＞a }，集合B ＝{0，1}，若A ∩B ＝∅，则a ≥1，故当A ∩B ≠∅时，a ＜1.故选C.9.[2024江西吉安模拟]若全集U ＝{3，4，5，6，7，8}，M ＝{4，5}，N ＝{3，6}，则集合{7，8}＝（ D ）A.M ∪NB.M ∩NC.（∁U M ）∪（∁U N ）D.（∁U M ）∩（∁U N ）解析因为M ＝{4，5}，N ＝{3，6}，所以M ∪N ＝{3，4，5，6}，M ∩N ＝∅，所以选项A ，B 不符合题意；又因为U ＝{3，4，5，6，7，8}，所以（∁U M ）∪（∁U N ）＝{3，6，7，8}∪{4，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}，（∁U M ）∩（∁U N ）＝{3，6，7，8}∩{4，5，7，8}＝{7，8}，因此选项C 不符合题意，选项D 符合题意，故选D.10.[全国卷Ⅱ]已知集合A ＝{（x ，y ）｜x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ A ）A.9B.8C.5D.4解析解法一由x 2＋y 2≤3，知－√3≤x ≤√3，－√3≤y ≤√3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，当x ＝－1时，y ＝－1，0，1；当x ＝0时，y ＝－1，0，1；当x ＝1时，y ＝－1，0，1.所以A 中元素的个数为9，故选A.解法二根据集合A 中的元素特征及圆的方程x 2＋y 2＝3在平面直角坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即集合A 中元素的个数为9，故选A.11.[2023广东六校联考]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜x －3x+1＞0}，B ＝{x ｜y ＝ln （3－x ）}，则图中阴影部分表示的集合为（ D ）A.[－1，3]B.（3，＋∞）C.（－∞，3]D.[－1，3）解析集合A ＝{x ｜x －3x+1＞0}＝{x ｜x ＜－1或x ＞3}，B ＝{x ｜y ＝ln （3－x ）}＝{x ｜x ＜3}，所以题图中阴影部分表示的集合为（∁U A ）∩B ＝{x ｜－1≤x ≤3}∩{x ｜x ＜3}＝{x ｜－1≤x ＜3}.故选D.12.[2023江西五校联考]设集合A ＝{x ｜m －3＜x ＜2m ＋6}，B ＝{x ｜log 2x ＜2}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是（ D ）A.∅B.[－3，－1]C.（－1，3）D.[－1，3] 解析由题意可知，B ＝{x ｜log 2x ＜2}＝{x ｜0＜x ＜4}，由A ∪B ＝A ，可得B ⊆A ，所以{m －3≤0，2m +6≥4，m －3<2m +6，可得－1≤m ≤3.故选D.13.[2021全国卷乙]已知集合S ＝{s ｜s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t ｜t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝（ C ）A.⌀B.SC.TD.Z解析解法一在集合T 中，令n ＝k （k ∈Z ），则t ＝4n ＋1＝2（2k ）＋1（k ∈Z ），而集合S 中，s ＝2n ＋1（n ∈Z ），所以必有T ⫋S ，所以T ∩S ＝T ，故选C.解法二 S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T ＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T ⫋S ，所以T ∩S ＝T ，故选C.14.[2023河南安阳名校联考]已知非空集合A ，B ，C 满足（A ∩B ）⊆C ，（A ∩C ）⊆B .则（ D ）A.B ＝CB.A ⊆（B ∪C ）C.（B ∩C ）⊆AD.A ∩B ＝A ∩C解析解法一由非空集合A，B，C满足（A∩B）⊆C，（A∩C）⊆B，作出符合题意的三个集合之间关系的Venn图，如图所示，故排除A，B，C，选D.解法二根据题意，取A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{2，3，4}，则A∩B＝{2}，A∩C＝{2}，B∪C＝{2，3，4}，B∩C＝{2，3}，所以B≠C，A⊈（B∪C），（B∩C）⊈A，故排除A，B，C，选D.15.某校举办运动会，某班的甲、乙、丙三名运动员共报名参加了13个项目，其中甲和丙都报名参加了7个项目，乙报名参加了6个项目，甲、乙报名参加的项目中有2个相同，甲、丙报名参加的项目中有3个相同，同一个项目，每个班级最多只能有2名运动员报名参加，则乙、丙报名参加的项目中，相同的个数为（C）A.0B.1C.2D.3解析三人各自报名参加的项目个数之和为7＋7＋6＝20，重复报名参加的项目个数为20－13＝7，又甲、乙报名参加的项目有2个相同，甲、丙报名参加的项目有3个相同，所以乙、丙报名参加的项目中，相同的个数为7－2－3＝2.故选C.16.[多选/2024辽宁朝阳模拟]设S为实数集R的非空子集.若对任意x，y∈S，都有x＋y，x －y，xy∈S，则称S为封闭集.下列说法正确的是（BCD）A.自然数集N为封闭集B.整数集Z为封闭集C.集合S＝{a＋√2b｜a，b为整数}为封闭集D.若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集解析对于A，取1，2∈N，则1＋2∈N，1－2＝－1∉N，故自然数集N不是封闭集，A 错误；对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集，B正确；对于C，设x＝a1＋√2b1，y＝a2＋√2b2，a1，b1，a2，b2都是整数，则a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，故x＋y＝a1＋a2＋√2（b1＋b2）∈S，同理x－y＝a1－a2＋√2（b1－b2）∈S，xy＝（a1＋√2b1）（a2＋√2b2）＝（a1a2＋2b1b2）＋√2（a1b2＋a2b1）∈S，故集合S＝{a＋√2b｜a，b为整数}为封闭集，C正确；对于D，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，则0－1∈S，1＋2＝3∈S，以此类推可得所有整数都属于S，则S一定为无限集，D正确，故选BCD.17.[条件创新]已知集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x2－ax＜0}，若集合A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是（A）A.（2，4]B.（2，4）C.（2，3]D.[2，4]解析由题意得A＝{x｜x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，8，…}，B＝{x｜x2－ax＜0}＝{x｜x（x－a）＜0}，因为集合A∩B中只有一个元素，所以a＞0，故B＝（0，a），因此A∩B＝{2}，所以2＜a≤4，故选A.。

三维设计高考数学人教版理科一轮复习配套题库1.1集合(含答案详析)

高考真题备选题库第1章集合与常用逻辑用语第1节集合考点一集合的含义与表示1．(2013江西，5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝A．4B．2C．0 D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A2．(2013山东，5分)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是A．1 B．3C．5 D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C3．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为A．3 B．6C．8 D．10解析：列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．(2012江西，5分)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为A．5 B．4C．3 D．2解析：当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z ＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．答案：C5．(2009广东，5分)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：由M＝{x|－2≤x－1≤2}得－1≤x≤3，则M∩N＝{1,3}，有2个．答案：B考点二集合的基本关系1．(2013新课标全国Ⅰ，5分)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：本题考查一元二次不等式的解法和集合的运算，意在考查考生运用数轴进行集合运算的能力．解题时，先通过解一元二次不等式求出集合A，再借助数轴求解集合的运算．集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，选择B.答案：B2．(2010浙江，5分)设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：集合Q＝{x|－2＜x＜2}，所以Q⊆P.答案：B3．(2010湖南，5分)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}解析：由已知得M∩N＝{2,3}，故选C.答案：C4．(2009江苏，5分)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝______.解析：可知A＝(0,4]，若A⊆B即(0,4]⊆(－∞，a)，则a>4，而a的取值范围为(c，＋∞)，∴c＝4.答案：4考点三集合的基本运算1．(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}解析：本题主要涉及简单不等式的解法以及集合的运算，属于基本题，考查考生的基本运算能力．不等式(x －1)2＜4等价于－2＜x －1＜2，得－1＜x ＜3，故集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，则M ∩N ＝{0,1,2}，故选A.答案：A2．(2013浙江，5分)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝ A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：本题考查无限元素集合间的交、并、补运算以及简单的一元二次不等式的解法．浙江省每年都会有一道涉及集合的客观题，主要考查对集合语言的理解以及简单的集合运算．T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.答案：C3．(2013陕西，5分)设全集为R ，函数f (x )＝ 1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：本题考查集合的概念和运算，涉及函数的定义域与不等式的求解．本题抓住集合元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解，使集合与函数有机结合，体现了转化化归思想的具体应用．从函数定义域切入，∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D4．(2013湖北，5分)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}解析：本题主要考查集合的基本运算和不等式的求解，意在考查考生的运算求解能力．由题意可知，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，此时A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}，故选C.答案：C5．(2013辽宁，5分)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝C ．(1,2)D ．(1,2]解析：本题考查集合的运算，同时考查对数不等式的解法．求解对数不等式时注意将常数转化为对应的对数，而后准确应用对数函数的单调性进行求解．0<log 4x <1，即log 41<log 4x <log 44，故1<x <4， ∴集合A ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：D6．(2013四川，5分)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝ A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2}D ．∅解析：本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握．由x 2－4＝0，解得x ＝±2，所以B ＝{2，－2}，又A ＝{－2}，所以A ∩B ＝{－2}，故选A.答案：A7．(2012山东，5分)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}解析：因为∁U A ＝{0,4}，所以(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．答案：C8．(2012浙江，5分)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：因为∁R B ＝{x |x ＞3或x ＜－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}．答案：B9．(2012北京，5分)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}，则A ∩B ＝A ．(－∞，－1)B ．(－1，－23)C ．(－23，3)D ．(3，＋∞)解析：集合A ＝(－23，＋∞)，集合B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故A ∩B ＝(3，＋∞)．答案：D10．(2012陕西，5分)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝C ．(1,2]D ．[1,2]解析：由题意得M ＝(1，＋∞)，N ＝[－2,2]，故M ∩N ＝(1,2]．答案：C11．(2011辽宁，5分)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝A ．MB ．NC ．ID ．∅解析：本小题利用韦恩图解决，根据题意，N 是M 的真子集，所以M ∪N ＝M ，选A. 答案：A12．(2011北京，5分)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．答案：C13．(2011陕西，5分)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||x －1i |＜2，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 为A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]解析：对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式 x 2＋1＜2，即x 2＜1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为C.答案：C14．(2011江西，5分)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x ≤0}，则A ∩B ＝A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．答案：B15．(2010新课标全国，5分)已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝C ．{0,2}D ．{0,1,2}解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }，B ＝{x |0≤x ≤16，x ∈Z }， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2，x ∈Z }＝{0,1,2}．答案：D16．(2010安徽，5分)若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A ＝A ．(－∞，0]∪(22，＋∞) B ．(22，＋∞) C ．(－∞，0]∪[22，＋∞)D ．[22，＋∞) 解析：不等式log 12x ≥12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 12x ≥log 12(12)12 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0x ≤22⇒0<x ≤22，所以∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)．答案：A17．(2010辽宁，5分)已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：根据题意，画出韦恩图，得A ＝{3,9}．答案：D18．(2010陕西，5分)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝ A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：A ∩(∁R B )＝[－1,2]∩[1，＋∞)＝[1,2]．答案：D19．(2009山东，5分)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，则A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的取值为A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4,16}，故只能是a ＝4.20．(2012江苏，5分)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________. 解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}．答案：{1,2,4,6}21．(2011江苏，5分)设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|2m ≤x＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．解析：①若m ＜0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m ＜0矛盾；②若m ＝0，代入验证，可知不符合题意；③若m ＞0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，集合B 表示一个带形区域，从而当直线x ＋y ＝2m ＋1与x ＋y ＝2m 中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋2，由于12＞2－22，所以12≤m ≤2＋ 2.综上所述，m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.答案：[12，2＋2]考点四抽象集合与新定义集合1．(2013广东，5分)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }．令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉SB ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈SC ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈SD ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S解析：本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与创新意识．题目中x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立说明x ，y ，z 是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x ＝1，y ＝2，z ＝3，w ＝4满足题意，且(2,3,4)∈S ，(1,2,4)∈S ，从而(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S 成立．答案：B2．(2013重庆，12分)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”，求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解：本题主要考查集合运算，意在考查考生对新概念的理解能力． (1)对于集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 7，当k ＝1时与当k ＝4时该集合中都含有元素1,2,3，因此集合P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n ，不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理6∈A,10∈B ，又由假设可得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求．当k ＝1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132.当k ＝9时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133，B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143.最后，集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数．因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上，所求n 的最大值为14. 注：对P 14的分拆方法不是唯一的．3．(2011广东，12分)设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T ，V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ；∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是A ．T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．T ，V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．T ，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．T ，V 中每一个关于乘法都是封闭的解析：取T ＝{x |x ∈(－∞，0)，且x ∈Z }，V ＝{x |x ∈(0，＋∞)，且x ∈Z }∪{0}，可得T 关于乘法不封闭，V 关于乘法封闭，又取T ＝{奇数}，V ＝{偶数}，可得T ，V 关于乘法均封闭，故排除B 、C 、D ，选A.答案：A。

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算练习(含解析)

集合一、选择题1．集合A ＝{1,2，a }，B ＝{2,3，a 2}，C ＝{1,2,3,4}，a ∈R，则集合(A ∩B )∩C 不可能是（ )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{3}解析若a ＝－1，(A ∩B )∩C ＝{1,2}；若a ＝3，则(A ∩B )∩C ＝{2,3}若a ≠－1且a ≠3，则(A ∩B )∩C ＝{2}，故选D.答案 D2．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋b 3，a ，b ∈Z }，x 1，x 2∈A ，则下列结论不正确的是( )A ．x 1＋x 2∈AB ．x 1－x 2∈AC ．x 1x 2∈AD ．当x 2≠0时，x 1x 2∈A解析由于x 1，x 2∈A ，故设x 1＝a 1＋b 13，x 2＝a 2＋b 23，a 1，a 2，b 1，b 2∈Z ，则x 1±x 2＝(a 1±a 2)＋(b 1±b 2)3，由于a 1，a 2，b 1，b 2∈Z ，故a 1±a 2，b 1±b 2∈Z ，所以x 1＋x 2∈A ，x 1－x 2∈A ；x 1x 2＝(a 1a 2＋3b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)3，由于a 1，a 2，b 1，b 2∈Z ，故a 1a 2＋3b 1b 2，a 1b 2＋a 2b 1∈Z ，所以x 1x 2∈A ；由于x 1x 2＝a 1＋b 13a 2＋b 23＝a 1a 2－3b 1b 2a 22－3b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22－3b 223，但这里a 1a 2－3b 1b 2a 22－3b 22，a 2b 1－a 1b 2a 22－3b 22都不一定是整数，如设x 1＝1＋3，x 2＝3－3，则x 1x 2＝1＋33－3＝ 1＋3 3＋3 3＋3 3－3＝6＋439－3＝1＋233∉A ，故当x 2≠0时，x 1x 2不一定是集合A 中的元素．答案 D3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )．A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为A 去掉A ∩B ，所以阴影部分所表示的集合为{1}．答案 B4．设集合M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，N ＝{(x ，y )|x 2－y ＝0，x ∈R }，y ∈R ，则集合M ∩N 中元素的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 (数形结合法)x 2＋y 2＝1表示单位圆，y ＝x 2表示开口方向向上的抛物线，画出二者的图形，可以看出有2个交点，故选B.答案 B【点评】本题画出方程的曲线，立即得到正确的答案，避免了计算求解，提高了解题速度.5.已知全集U=R ,集合A={x|x+1<0},B={x|x-3<0},那么集合()U A B ⋂ð等于( )A.{x|13x -≤<}B.{x|-1<x<3}C.{x|x<-1}D.{x|x>3}解析因为集合A={x|x<-1},B={x|x<3},所以U A =ð{x|1x ≥-},()U A B ⋂=ð{x|13x -≤<},故选A.答案 A6．已知集合A ＝{x|x ＝a ＋(a2－1)i}(a ∈R ，i 是虚数单位)，若A ⊆R ，则a ＝( )．A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析 ∵A ⊆R ，∴A 中的元素为实数，所以a2－1＝0，即a ＝±1.答案 C7.已知全集U=R,集合A={x|37x ≤<},B={x|27100x x -+<},则()A B ⋂R ð等于( )A.(3)(5)-∞,⋃,+∞B.(3)[5)-∞,⋃,+∞C.(3][5)-∞,⋃,+∞D.(3](5)-∞,⋃,+∞解析解不等式27100x x -+<得B={x|2<x<5},所以A B ⋂={x|35x ≤<},所以()A B ⋂=R ð{x|x<3或5x ≥},故选B.答案 B二、填空题8．已知集合A ＝{－1,1,2,4}，B ＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.解析 A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．答案 {－1,2}9．若全集U ＝R ，集合A ＝{x|x≥1}，则∁UA ＝________.解析 ∁UA ＝{x|x ＜1}．答案 {x|x ＜1}10．已知集合A ＝{x ∈R|ax2＋2x ＋1＝0，a ∈R}只有一个元素，则a 的值为________．解析当a ＝0时，A ＝{－12}；当a≠0时，若集合A 只有一个元素，则4－4a ＝0，即a ＝1.综上，当a ＝0或a ＝1时，集合A 只有一个元素．答案 0或111．已知集合A ＝{x|x≤1}，B ＝{x|x≥a}，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析 (数形结合法)A ＝(－∞，1]，B ＝[a ，＋∞)，要使A ∪B ＝R ，只需a≤1.如图．答案 (－∞，1]【点评】本题采用数形结合法，含参数的集合运算中求参数的范围时，常常结合数轴来解决时注意“等号”的取舍．12．设A ，B 是非空集合，定义A*B ＝{x|x ∈A ∪B 且x ∉A∩B}，已知A ＝{x|0≤x≤3}，B ＝{y|y≥1}， A*B ＝____________________.解析由题意知，A ∪B ＝[0，＋∞)，A∩B＝[1,3]，∴A*B ＝[0,1)∪(3，＋∞)．答案 [0,1)∪(3，＋∞)三、解答题13．若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}且A ＝B ，求实数a ，b .解析 ∵A ＝B ，∴B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－1＋3＝2，b ＝－1 ×3＝－3，∴a ＝－2，b ＝－3.14．已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x |x 2＋ax －6<0}，C ＝{x |x 2－2x －15<0}．(1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围；(2)是否存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析 A ＝{x |－1<x <3}，C ＝{x |－3<x <5}．(1)由A ∪B ＝B 知，A ⊆B ，令f (x )＝x 2＋ax －6，则⎩⎪⎨⎪⎧ f －1 ＝－1 2－a －6≤0，f 3 ＝32＋3a －6≤0，解得－5≤a ≤－1，即a 的取值范围是[－5，－1]．(2)假设存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆B 知A ⊆B ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆C 知B ⊆C ，于是A ⊆B ⊆C ，由(1)知若A ⊆B ，则a ∈[－5，－1]，当B ⊆C 时，由Δ＝a 2＋24>0，知B 不可能是空集，于是⎩⎪⎨⎪⎧ f －3 ＝－3 2－3a －6≥0，f 5 ＝52＋5a －6≥0，－3<－a 2<5，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－195，1，综合a ∈[－5，－1]知存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－195，－1满足条件． 15． A ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＞1}，B ＝{x |a ≤x ＜b }，A ∪B ＝{x |x ＞－2}，A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值．解析 ∵A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴b ＝3，又A ∪B ＝{x |x ＞－2}，∴－2＜a ≤－1，又A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴－1≤a ＜1，∴a ＝－1.16．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．思路分析本题体现了分类讨论思想，应对集合B 中所含元素个数分类讨论．解析 ∵A ＝{0，－4}，∴B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4 a ＋1 2－4 a 2－1 ＞0，－2 a ＋1 ＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.(2)当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．【点评】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，是历年来高考考查的重点，其基本思路是将一个复杂的数学问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.。