江西省南昌市2016届高三上学期摸底数学试卷(理科)

2015-2016学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞3}，则A∩B=( )A．{x|﹣2＜x＜4} B．{x|x＞3} C．{x|3＜x＜4} D．{x|﹣2＜x＜3}2．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是( )A．y=x2 B．y=﹣x3C．y=﹣lg|x| D．y=2x3．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于( )A．1 B．C．2 D．34．设i为虚数单位，则复数=( )A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i5．在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A．28 B．40 C．56 D．606．在△ABC中，sinA=，，则△ABC的面积为( )A．3 B．4 C．6 D．7．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( )A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件8．的展开式中的常数项为( )A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣69．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．112 B．80 C．72 D．6410．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A．+2 B．+1 C．+1 D．+111．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O ﹣ABCD的侧面积为( )A．20+8B．44 C．20D．4612．设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），且f（x）=f（﹣x），f′（x）＜f（x），则下列不等式成立的是( )A．f（0）＜e﹣1f（1）＜e2f（2）B．e﹣1f（1）＜f（0）＜e2f（2）C．e2f（2）＜e﹣1f（1）＜f（0）D．e2f（2）＜f（0）＜e﹣1f（1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则cosθ=__________．14．若函数f（x）=4x﹣a•2x+1在区间[﹣1，1]上至少有一个零点，则实数a的取值范围是__________．15．在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为__________．16．己知等比数列{a n}的前n项和为Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则=__________．三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某购物网站为了解顾客对某商品的满意度，随机调查50名顾客对该商品的评价，具体数（Ⅰ）求x与y的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，现从对该商品作出了评价的顾客中，随机抽取一位，记该顾客的评分为X，求随机变量X的分布列一与数学期望．18．在锐角△ABC中，=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1．（I）求角A的大小（Ⅱ）求cos2B+4cosAsinB的取值范围．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．20．己知抛物线C1：y2=4x和C2：x2=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（﹣1，﹣1），且F1F2⊥OP（O为坐标原点）．（I）求抛物线C2的方程；（II）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．21．已知函数，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．（平面几何选讲）22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A 作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．（坐标系与参数方程）23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程；（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．（不等式选讲）24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设a，b∈（﹣1，1），证明：＜|1+|．2015-2016学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞3}，则A∩B=( )A．{x|﹣2＜x＜4} B．{x|x＞3} C．{x|3＜x＜4} D．{x|﹣2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】直接利用交集的概念求解．【解答】解：由A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞3}，则A∩B={x|﹣2＜x＜4}∩{x|x＞3}={x|3＜x＜4}．故选C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题．2．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是( )A．y=x2 B．y=﹣x3C．y=﹣lg|x| D．y=2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性加以判定．【解答】解：四个函数中，A，C是偶函数，B是奇函数，D是非奇非偶函数，又A，y=x2在（0，+∞）内单调递增，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．3．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于( )A．1 B．C．2 D．3【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．4．设i为虚数单位，则复数=( )A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】直接利用复数的除法运算求解．【解答】解：复数=．故选A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．5．在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A．28 B．40 C．56 D．60【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】设中间一组的频数为x，利用中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，建立方程，即可求x．【解答】解：设中间一组的频数为x，因为中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，所以其他8组的频数和为，由x+=140，解得x=40．故选B．【点评】本题主要考查频率直方图的应用，比较基础．6．在△ABC中，sinA=，，则△ABC的面积为( )A．3 B．4 C．6 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意结合数量积的运算可得，而△ABC的面积S=，代入数据计算可得．【解答】解：由题意可得，又sinA=，故可得cosA=，故=10故△ABC的面积S===3故选A【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式，属中档题．7．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( )A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】常规题型．【分析】由题意a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，若a∥b，l与a 垂直，且斜交，推不出l一定垂直平面α，利用此对命题进行判断；【解答】解：∵a、b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，“∵l⊥a，l⊥b”，若a∥b，l可以与平面α斜交，推不出l⊥α，若“l⊥α，∵a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，∴l⊥a，l⊥b，∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分的条件，故选C．【点评】此题以平面立体几何为载体，考查了线线垂直和线面垂直的判定定了，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题．8．的展开式中的常数项为( )A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：展开式中的通项公式为T r+1=•x6﹣2r•（﹣2）r•x﹣r=（﹣2）r••x6﹣3r，令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为4×3=12，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．112 B．80 C．72 D．64【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案．【解答】解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3则V正方体=4×4×4=64=16故V=64+16=80故选B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键．10．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A．+2 B．+1 C．+1 D．+1【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标，将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0），∴p=2c，∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，将x=c代入双曲线方程得到A（c，），将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc，即4a4+4a2b2﹣b4=0．解得，∴，解得：．故选：D．【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求双曲线的离心率，是中档题．11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O ﹣ABCD的侧面积为( )A．20+8B．44 C．20D．46【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．12．设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），且f（x）=f（﹣x），f′（x）＜f（x），则下列不等式成立的是( )A．f（0）＜e﹣1f（1）＜e2f（2）B．e﹣1f（1）＜f（0）＜e2f（2）C．e2f（2）＜e﹣1f（1）＜f（0）D．e2f（2）＜f（0）＜e﹣1f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】通过分析给出的选项的特点，每一个选项中要比较的三个式子都涉及含有e的负指数幂及f（x），所以设想构造函数g（x）=e﹣x•f（x），通过求其导函数，结合题目给出的f′（x）＜f（x），得到函数g（x）的单调性，然后在函数g（x）的解析式中分别取x=0，1，﹣2，利用函数单调性即可得到结论．【解答】解：构造辅助函数，令g（x）=e﹣x•f（x），则g′（x）=（e﹣x）′•f（x）+e﹣x•f′（x）=﹣e﹣x•f（x）+e﹣x•f′（x）=e﹣x（f′（x）﹣f（x））．∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）=e﹣x（f′（x）﹣f（x））＜0，∴函数令g（x）=e﹣x•f（x）为实数集上的减函数．则g（﹣2）＞g（0）＞g（1）．∵g（0）=e0f（0）=f（0），g（1）=e﹣1f（1），g（﹣2）=e2f（﹣2），又f（﹣x）=f（x），∴g（﹣2）=e2f（2），∴e﹣1f（1）＜f（0）＜e2f（2）．故选：B．【点评】本题考查了利用导函数判断原函数的单调性，考查了不等关系与不等式，训练了函数构造法，解答此题的关键是结合选项的特点，正确构造出辅助函数，使抽象问题变得迎刃而解，此题是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则cosθ=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知及两角和的正切函数公式可求tanθ，再利用同角三角函数关系式即可求值．【解答】解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=，∵θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．14．若函数f（x）=4x﹣a•2x+1在区间[﹣1，1]上至少有一个零点，则实数a的取值范围是a≤﹣2或2≤a≤2.5．【考点】函数零点的判定定理．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】令t=2x（≤t≤2），y=t2﹣at+1=（t﹣）2+1﹣，通过题意知，需讨论二次函数f（x）对称轴的分布情况，解出a即可．【解答】解：令t=2x（≤t≤2），y=t2﹣at+1=（t﹣）2+1﹣对称轴x=，①若≤或≥2，即a≥4或a≤1时，则在区间[，2]上有零点的条件是：f（）•f（2）≤0，无解；②若＜＜2，即1＜a＜4时，则在区间[，2]上有零点的条件是：f（﹣）＜0，且f（），f（2）中有一个大于0，即或，解得：a＜﹣2或2＜a＜2.5，取“=”也成立，综上所述，实数a的取值范围是：2≤a≤2.5，故答案为：2≤a≤2.5．【点评】熟练掌握二次函数图象以及对称轴、取零点的情况是求解本题的关键．15．在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为．【考点】模拟方法估计概率．【专题】概率与统计．【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求不规则图形M的面积的估计值．【解答】解：由题意，∵在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，∴概率P==，∵边长为2的正方形ABCD的面积为4，∴不规则图形M的面积的估计值为=．故答案为：【点评】本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．16．己知等比数列{a n}的前n项和为Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则=31．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=，a2+a4=，∴，，解得q=，a1=2．∴S5==，a5==，∴=31．故答案为：31．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某购物网站为了解顾客对某商品的满意度，随机调查50名顾客对该商品的评价，具体数（Ⅰ）求x与y的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，现从对该商品作出了评价的顾客中，随机抽取一位，记该顾客的评分为X，求随机变量X的分布列一与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）列出题意：x+20+10=50×80%，5+y=50×20%，即可求解．（Ⅱ）确定随机变量，分别求解概率，列出分布列，运用公式求解X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，x+20+10=50×80%，5+y=50×20%，解得x=10，y=5．…（Ⅱ），，，，…【点评】本题考查了离散型的概率分布，数学期望，仔细阅读理解题意，利用排列组合知识求解，属于中档题．18．在锐角△ABC中，=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1．（I）求角A的大小（Ⅱ）求cos2B+4cosAsinB的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（I）利用数量积运算和正弦函数的单调性即可得出．（II）利用（I）、三角函数的平方关系、二次函数的单调性、正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）由题意：，，，∵，∴，∴，即．（II）由（1）知：．∴cos2B+2sinB=1﹣2sin2B+2sinB=﹣2+，∵△ABC为锐角三角形．∴B+C=，，∴B，∴，∴，∴．【点评】熟练掌握数量积运算和正弦函数的单调性、三角函数的平方关系、二次函数的单调性等是解题的关键．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=，在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为α，则sinα=．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．20．己知抛物线C1：y2=4x和C2：x2=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（﹣1，﹣1），且F1F2⊥OP（O为坐标原点）．（I）求抛物线C2的方程；（II）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得焦点坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，解得p=2，进而得到抛物线的方程；（II）设过点O的直线为y=kx，联立抛物线的方程，求得交点M，N的坐标，进而得到MN 的长，由P到直线的距离，运用三角形的面积公式，由二次函数的最值，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）F1（1，0），，∴，，∴p=2，∴抛物线C2的方程为x2=4y；（Ⅱ）设过点O的直线为y=kx，联立得（kx）2=4x，求得M（，），联立得N（4k，4k2）（k＜0），从而，点P到直线MN的距离，进而=，令，有S△PMN=2（t﹣2）（t+1），当t=﹣2时k=﹣1，取得最小值．即当过原点直线为y=﹣x，△PMN面积的面积取得最小值8．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，求交点，考查二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导函数，对k讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）分离参数，构造新函数，g（x）=（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）max，由此可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得f′（x）=当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调减区间为（0，2）；当k＞0时，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2∴函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；（2）当k=1时，，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等价于a＜设g（x）=（x＞0）存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）max，，当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（e）=∴a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查存在性问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．（平面几何选讲）22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A 作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．【点评】本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．（坐标系与参数方程）23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程；（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；（2）设P（x，y），A（x0，y0），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1．…（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P所以有：又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1∴动点P的轨迹方程为．…【点评】本题考查参数方程和直角坐标的互化，利用直角坐标方程与参数方程间的关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．（不等式选讲）24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设a，b∈（﹣1，1），证明：＜|1+|．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）把a=5代入，然后由根式内部的代数式大于等于0，求解绝对值的不等式得答案；（Ⅱ）把要证的不等式转化为2|a+b|＜|4+ab|，然后利用平方作差证得答案．【解答】（Ⅰ）解：由|x+1|+|x+2|﹣5≥0，得x≤﹣4或x≥1．∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；（Ⅱ）证明：∵，而4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=a2（4﹣b2）+4（b2﹣4）=（b2﹣4）（4﹣a2），又∵a，b∈（﹣1，1），∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，故．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了绝对值不等式的解法，训练了利用作差法证明不等式，是中档题．。