点到直线的距离公式的七种推导方法

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点到直线距离公式的其他推导方法

点到直线距离公式的其他推导方法（阅读材料）

方法一、利用直角三角形的面积

过点P 作//PM x 轴交直线l 于M ，作//PN y 轴交直线l

于N ，作PQ l ⊥轴交直线l 于Q ，则||d PQ =，

由于00(,)P x y ，则00(,)by c M y a +-

，00(,)ax c N x b

+-，那么000||||M ax by c PM x x a

++=-=， 000||||N

ax by c PN y y b ++=-=，

由勾股定理知||MN =

00ax by c =++00ax by c ab ++= 根据面积相等||||||PM PN d MN ⋅=⋅，得.PM PN

d MN =，

那么.PM PN d MN =

==方法二、转化法

过点P 作//PN y 轴交直线l 于N ，

由于00(,)P x y ，00(,)ax c N x b

，那么000||||N ax by c PN y y b

++=-=，设直线l 的倾斜角为α，

那么P α∠=

或P πα∠=-，

由于tan a b α=-，所以|cos |α=，而||||

cos |||cos |PQ PM P PM α==⋅00

ax by c b ++==方法三、函数法

点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离.

在l 上取任意点 (,)Q x y ，利用两点间距离公式得

222200()[()()]a b x x y y +-+-222222220000()()(

)(

)a x x b y y a y y b x x =-+-+-+-

点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法(转载)

很有用哦

已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、定义法

证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为

B A

解得交点22

00002222

(

,)B x ABy AC A y ABx BC

Q A B A B ----++

22222

000000

2222

222200002222

2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B

A Ax By C

B Ax By

C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=

+|PQ ∴=

二、函数法

证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得：

22220022222222000022

0000220000()[()()]

()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=

十二种方式推导点到直线的距离公式

十二种方式推导点到直线的距离公式推导点到直线的距离公式一般有以下十二种方式（之后每种方式的推导过程都会超过1200字）：

方式一：利用三角形相似性质

方式二：利用投影的性质

方式三：利用距离的定义

方式四：利用向量的性质

方式五：利用垂直性质

方式六：利用向量叉乘的几何意义

方式七：利用二次曲线的性质

方式八：利用点到线段的距离

方式九：利用对称性质

方式十：利用向量积的性质

方式十一：利用平行线的性质

方式十二：利用解析几何的方法

以下是第一种方式的推导过程，其他方式的推导过程可以通过再次提问获取：

方式一：利用三角形相似性质

1.假设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。

2.过点P作直线L的垂线，设垂线与直线L的交点为垂足H。

3.点P到直线L的距离可以表示为PH的长度。

4.设PH的长度为d。

5.通过观察可以发现，三角形PHL与三角形P'HL'相似，其中P'是点(x0,-C/A)，L'是直线y=-C/A。

6.根据相似性质，可以得到PH与PL'之间的比值等于PHL与P'HL'之间的比值。

7.由于P'点的坐标已知，L'的方程也已知，可以计算出PHL与P'HL'之间的比值。

8.由此，可以求解出PH的长度，即点P到直线L的距离。

这是第一种方式的推导过程，其他方式的推导过程可以通过再次提问获取。

点到直线的距离公式推导

十二种点到直线距离公式证明方法

用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法。已知点P(Xo，Yo)直线l：Ax+By+C=0 (A、B均不为0)，求点P到直线I 的距离。(因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线) 《1．用定义法推导》

点P到直线l的距离是点P到直线l 的垂线段的长，设点P到直线l的垂线为垂足为Q，由l垂直l’可知l’的斜率为B/A

《2．用设而不求法推导》《3．用目标函数法推导》

《4．用柯西不等式推导》

“求证：(a2 +b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc，即a/c=b/d 时等号成立。”实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式。

《5．用解直角三角形法推导》

设直线l的倾斜角为，过点P作PM∥y轴交l于G(x1 ，y1)，显然X l=x。，所以

《6．用三角形面积公式推导》

《7．用向量法推导》

《8．用向量射影公式推导》

《 9．利用两条平行直线间的距离处处相等推导》

《10．从最简单最特殊的引理出发推导》

《11．通过平移坐标系推导》

《12.由直线与圆的位置关系推导》

初中生可以理解的点到直线的距离公式推导方法(包含多种适合高中生的推导方法)

点到直线距离公式相对较为简单的证明方法

（适合初中生的知识拓展）

点到直线距离公式的其他证明方法

1．用定义法推导

点P到直线l的距离是点P到直线l 的垂线段的长，设点P到直线l的垂线为垂足为Q，由l垂直l’可知l’的斜率为B/A

2，用目标函数法推导

3，用柯西不等式推导

“求证：(a2 +b2 )(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc，即a/c=b/d时等号成立。”实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式。

4．用解直角三角形法推导

设直线l的倾斜角为，过点P作PM∥y轴交l于G(x1 ，y1)，显然X l=x。，所以

5，用三角形面积公式推导

8．用向量法推导

9．用向量射影公式推导

10．利用两条平行直线间的距离处处相等推导

11．从最简单最特殊的引理出发推导

12．通过平移坐标系推导

13，由直线与圆的位置关系推导

感谢给数学作出贡献的每一位，本文档我也是稍作整理理解而编辑的。

点到直线的距离公式

点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
Q
. P(x0,y0)
o
x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
y
P
l
Q
P（x0，y0）
l:Ax+By+C=0 x O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 PQ .
l2
l
P
(提示：由 MN 3 2 及两平行线
间的距离 MT =3 知，l 与 l1的夹
角为450，利用夹角公式求得l 的
l1
M 斜率，进一步得 l 的方程。)
T
Ө N
(KEY:7x+y-17=0 或x-7y+19=0.)
反馈练习：
1.点（3，m）到直线l：x 3y 4 0的距离等于1，
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
A2 B2
（两平行线间的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。
例3：一直线经过点P(2,3),且和两平行线3x+4y+8=0与 3x+4y-7=0都相交,且交点间距离为3 2,求直线方程.

十二种方法推导点到直线的距离公式

要推导点到直线的距离公式，我们可以使用几何、向量和三角学的一些基本原理和定理。下面是一种常见的推导方法：

1.假设我们有一个点P(x1,y1)和一条直线L，直线的一般方程为

Ax+By+C=0，其中A，B和C是常数。

2.从点P到直线L的距离可以通过连接点P和直线L上的一点Q(x,y)来计算。

3.通过类似几何的方式，我们可以将向量OP表示为点O(0,0)到点

P(x1,y1)的向量，即OP=<x1,y1>。

4.同样地，我们可以将向量OQ表示为点O(0,0)到点Q(x,y)的向量，即OQ=<x,y>。

5.因为点Q在直线L上，所以我们可以用直线L的一般方程来表示点Q，即Ax+By+C=0。由于Q(x,y)属于直线L，所以代入方程后等式成立。

6.因此，我们可以得出以下等式：Ax+By+C=0。

7.为了求得点Q，我们可以解这个等式组，即解联立方程组：Ax +

By + C = 0和y = mx + n，其中m是直线的斜率，n是直线在y轴上的

截距。

8.将y = mx + n代入Ax + By + C = 0，可以得到Ax + B(mx + n) + C = 0。

9.将等式进一步化简得到(A+Bm)x+(Bn+C)=0。

10.由于点Q在直线L上，所以该等式要成立。根据向量的性质，即

两个向量相等当且仅当它们的相应分量相等，我们可以得出以下等式组：(A+Bm)x=-(Bn+C)

11.由于x≠0，我们可以除以x，得到(A+Bm)/x=-(Bn+C)/x。

点到直线的距离公式的七种推导方法

已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）

一、定义法

证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，

设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为

B A

l ∴的方程：00()B y y x x A

-与l 联立方程组解得交点22

00002222

(,)B x ABy AC A y ABx BC

Q A B A B ----++ 22222

000000

2222

2222000022222222200000022222222

||()()()()

()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=

+|PQ ∴= 二、函数法

22220022222222000022

0000220000()[()()]

()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=

点到直线的距离公式推导

要推导点到直线的距离公式，我们首先需要了解直线的一般方程形式，即Ax+By+C=0。假设点P(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的一点，我们的目标

是求点P到直线的距离。

为了便于推导，我们先假设直线过原点O(0,0)，且坐标轴上的点

A(x1,y1)，B(x2,y2)分别在x轴和y轴上。

以下是12种不同的推导方法，每种方法都给出了点到直线的距离公式：

方法1：两点式公式

基于点P(x0,y0)，我们可以找到直线上的两点，我们将其中一个点

记为A(x1,y1)。使用两点间的距离公式，我们可以得到点P到直线AB的

距离。

方法2：距离公式

我们可以通过求点P到直线上的任意一点的距离以及直线上的任意一

点到原点的距离来计算点P到直线的距离。

方法3：向量法

我们可以使用向量的内积求取点P到直线的距离。

方法4：投影法

我们可以通过将点P在直线上的垂直投影点记为M，然后计算点P和

M之间的距离来求取点P到直线的距离。

方法5：余弦定理

基于点P和直线上的两点A、B，我们可以使用余弦定理来推导点P

到直线AB上的距离。

方法6：面积

我们可以使用点P和直线上的两点A、B构成的三角形的面积，再除

以底边AB的长度来计算点P到直线的距离。

方法7：公式法

基于直线的一般方程形式Ax + By + C = 0，我们可以使用公式d = ，Ax0 + By0 + C， / sqrt(A^2 + B^2)计算点P到直线的距离。

方法8：类似直角三角形法

我们可以使用点P和直线上的两点A、B所构成的直角三角形的性质，通过求取三角形的面积和底边AB的长度来计算点P到直线的距离。

点到直线距离公式的十种推导方法

一、点到直线距离公式的介绍与基础证法

点到直线距离公式是高中解析几何中的基础公式，通过点到直线距离这一几何关系的

代数化，我们可以使用代数方法描述或者证明更多的几何问题。而在这一公式的证明

层面，实际上价值十分深厚，其推导方法所涉及范围之广，是令人惊叹的，同时也处

处生动地表现着数学的连贯性与灵活度，是值得中学生研究的问题。

点到直线距离公式表述：

设直线 L 的方程为 Ax+By+C=0 ，点 P 的坐标为（x0,y0），则点 P 到直线 L 的距离为：

同理可知，当 P(x0，y0），直线 L 的解析式为 y=kx+b 时，则点 P 到直线 L 的距

离为：

在人教新版教材中，课本对于该公式的介绍依旧占有很大的篇幅，提到了两种证法，

分别是十分直截的垂线段法和结合前面所学的向量方法。这两种方法具有很强的象征，体现了不同流派的不同处理思路。

我们首先介绍简洁明了的垂线段方法，虽然计算量交大，但思维难度可以说是极小的。法一：垂线段法

①首先解出直线 AB 的方程;

②联立 L 与直线 AB，解出垂足 B 的坐标；

③利用两点间距离公式得到 AB 距离，即点到直线距离下面我们来探索一下向量的方法，实际上在空间向量章节我们已经学习过如何求一个点到一条直线的距离，主要方法和点到平面距离思路一致，法向量都是十分关键的一点，这也是中学阶段空间向量部分的核心。

法二：向量法

①首先求出直线 L 的方向向量，再求出其法向量；

②在直线上任取一点 M，求出向量 MP 与法向量的夹角；

③利用模长公式即可求解。

点到直线的距离公式的七种推导法一--法

点到直线的距离公式的12种推导方法

已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、定义法

证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为

B A

l ∴的方程：00()B y y x x A

-与l 联立方程组解得交点22

00002222

(,)B x ABy AC A y ABx BC

Q A B A B ----++ 2222

20000002222

2222

000022222222200000022222222

||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B

A x ABy AC

B y ABx B

C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=

+|PQ ∴= 二、函数法

22220022222222000022

0000220000()[()()]

()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)

点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法已知点P （X 0，y 0）直线

l ：

Ax By C 0（A 0,B 0）求点P 到直线I 的

距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）

定义法

的长，如图1,

(A 2 B 2)2

函数法

线I 的距离。在I 上取任意点Q （x ，y ）用两点的距离公式有利用条件Ax By C 0上式变形一下，配凑系数处理得:

设点P 到直线I 的垂线为i '

，垂足为Q,

「的方程:

B y

% A （x x0）与I 联立方程组

解得交点

Q （ A 2 B 2

2 2

B x 0 ABy 0 A

C A y 0 ABx 0

A 2 B

B C )

2 2 I P Q |2 (B X 。ABy 。AC 、2 , A y 。ABx 2 2 X 。) (

A 2

B 2 A 2 B

2 2

A x 0 ABy 0 AC\2 /

B y 0 ABx 0 BC)2 A 2 B 2 A 2 B 2

2 2 2 2 A (Ax 。By 。C) B (Ax 。 By 。 C)

y 。)2

(Ax ° By ° C)

PQ |

| Ax 0 By 0 C 1

证：根据定义，点P 到直线I 的距离是点

P 到直线I 的垂线段

A 2

B 2

证：点P 到直线I 上任意一点的距离的最小值就是点

P 到直

，为了

(A 2 B 2)[(x X 。)2 (y y o )2]

A 2(x X o )2

B 2(y y o )2 A 2(y y °)2 B 2(x 拓2 [A(x X o ) B(y y o )]2 [A(y y 。)B(x x 。)]2

点到直线的距离的公式的推导方法

点到直线的距离的公式的推导方法：方法一：定义法

22002020|

|)()(||B A C By Ax y y x x PQ d Q Q +++=-+-==此法的关键是求出点Q 的坐标；

思路一：由⎪⎩

⎪⎨⎧-=-=++)(:0:00x x A B y y PQ C By Ax l 解得点),(2200222002B A BC ABx y A B A AC ABy x B Q +--+--202

200220220022020)()()()(||y B A BC ABx y A x B A AC ABy x B y y x x PQ Q Q -+--+-+--=-+-=2200|

|B A C By Ax +++=；

思路二：0)()(:00=---y y A x x B PQ ①；l 方程写成：0)()(00=-+-y y B x x A ②；

由①②解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+++-=-+++-=-2200022000)((B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x Q Q ），22002020|

|)()(||B A C By Ax y y x x PQ d Q Q +++=-+-==；

【反思】比较两种不同的处理过程；设而不求可以减少大量的运算量。

方法二:面积法（构造直角三角形）如上图所示，设),(,),(00S R y x S y x R 由R，S 在直线上，

得到：⎩⎨⎧=++=++0

000C By Ax C By Ax S R ，所以：B C Ax y A C By x S R --=--=00,；所以：||||||,||||||000000B

点到直线距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式是解析几何中常用的公式之一，它可以通过多种推导方法得到。本文将介绍七种推导方法，包括直线的一般方程法、直线的截距法、垂直平分线法、斜率法、向量法、几何法和矢量法。

1.一般方程法：

设直线的一般方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0，y0)。将点坐标代入直线方程得到点到直线的距离公式：

d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)

2.截距法：

设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，点的坐标为(x0，y0)。根据截距的几何意义，可以得到点到直线的距离公式：

d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)

3.垂直平分线法：

设直线的方程为y = kx + c，其中k为斜率，c为截距，点的坐标为(x0，y0)。垂直平分线的斜率为-1/k，过点(x0，y0)的垂直平分线方程为y = (-1/k)(x - x0) + y0。将垂直平分线方程与直线方程联立，解方程组得到交点的坐标(xp, yp)，然后计算点到交点的距离：

d = √((x0 - xp)^2 + (y0 - yp)^2)

4.斜率法：

设直线的斜率为k，截距为c，点的坐标为(x0，y0)。设直线上一点为(x，y)，则有y - y0 = k(x - x0)。将直线方程和垂直平分线方程联立，解方程组得到交点的坐标(xp, yp)，然后计算点到交点的距离：

d = √((x0 - xp)^2 + (y0 - yp)^2)

5.向量法：

设直线上一点为M(a,b)，点的坐标为(x0，y0)。可以用向量来表示直线上的点，直线的方向向量为v=(p,q)。设点M到点的向量为u=(x0-a,y0-b)，则直线上的点满足u∙v=0。将向量点积的几何意义应用到点M和点的向量u上，得到点到直线的距离公式：