2017-2018学年湖南省益阳市桃江一中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2017-2018学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜}B．{y|0＜y＜1}C．{y|＜y＜1}D．∅2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a=，b=lo，c=log 2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．（5分）（理）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．6．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8 B．7 C．6 D．57．（5分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．8．（5分）若直线y=k（x+2）上存在点（x，y）满足，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．4 C．4 D．10．（5分）设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．12．（5分）已知函数，若对任意的x∈[1，2]，f'（x）•x+f （x）≥0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．13．（5分）在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则满足2x﹣y＜0的概率为．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S k=1，S2k=3（k∈N+），则S4k=．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．16．（5分）在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，D在线段AC上，∠DBC=．（1）若△BCD的面积为24，求CD的长；（2）若，且c=12，求CD的长．18．（12分）2016年上半年数据显示，某市空气质量在其所在省中排名倒数第三，PM10（可吸入颗粒物）和PM2.5（细颗粒物）分别排在倒数第一和倒数第四，这引起有关部门高度重视，该市采取一系列“组合拳”治理大气污染，计划到2016年底，全年优、良天数达到190天．下表是2016年9月1日到9月15日该市的空气质量指数（AQI），其中空气质量指数划分为0～50，51～100，101～150，151～200，201～300和大于300六档，对应空气质量依次为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染．（1）指出这15天中PM2.5的最大值及PM10的最大值；（2）从这15天中连续取2天，求这2天空气质量均为优、良的概率；（3）已知2016年前8个月（每个月按30天计算）该市空气质量为优、良的天数约占55%，用9月份这15天空气质量优、良的频率作为2016年后4个月空气质量优、良的概率（不考虑其他因素），估计该市到2016年底，能否完成全年优、良天数达到190天的目标．19．（12分）已知等腰梯形ABCE（图1）中，AB∥EC，AB=BC=EC=4，∠ABC=120°，D是EC中点，将△ADE沿AD折起，构成四棱锥P﹣ABCD（图2），M，N分别是BC，PC的中点．（1）求证：AD⊥平面DMN；（2）当平面PAD⊥平面ABCD时，求点C到平面PAB的距离．20．（12分）已知中心在坐标系原点，焦点在y轴上的椭圆离心率为，直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过下焦点的直线l交椭圆于A，B两点，点P为椭圆的上顶点，求△PAB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2．（a∈R，e为自然对数的底）（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥0时，不等式f（x）≥4a﹣4恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，不等式f（x）＞4的解集为P．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）证明：当m，n∈P时，|mn+4|＞2|m+n|．2017-2018学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜}B．{y|0＜y＜1}C．{y|＜y＜1}D．∅【解答】解：A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，B={x|y=}={x|1﹣2x＞0}={x|x＜}，则A∩B={y|0＜y＜}，故选：A．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知a=，b=lo，c=log 2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：a==＞1，b=lo∈（0，1），c=log 2＜0，∴a＞b＞c．故选：A．5．（5分）（理）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1∴a1=S1=1，a2=S2﹣S1=2，q=2所以等比数列的首项为1，公比q为2，则a n=2n﹣1则a n2=4n﹣1，是首项为1，公比为4的等比数列，所以，则a12+a22+…a n2==故选：D．6．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得S=100，k=0满足条件S＞0，执行循环体，S=99，k=1满足条件S＞0，执行循环体，S=96，k=2满足条件S＞0，执行循环体，S=87，k=3满足条件S＞0，执行循环体，S=60，k=4满足条件S＞0，执行循环体，S=﹣21，k=5此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为5．故选：D．7．（5分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．【解答】解：依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣，∵与的夹角的取值范围是[0，π]，∴向量与的夹角是，故选：C．8．（5分）若直线y=k（x+2）上存在点（x，y）满足，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，直线y=k（x+2）过定点P（﹣2，0），实数k的值是直线l的斜率，A（﹣1，﹣1），B（）．∵k PA=﹣1，．∴实数k的取值范围是[﹣1，]．故选：B．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．4 C．4 D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD=2，BC=4，AD⊥AB，AP=2，AB=2．∴该几何体的体积V==4．故选：C．10．（5分）设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得y轴右侧第一条对称轴为x==，故=﹣，∴ω=2．∵x=时函数取得最小值，故有2•+φ=，∴φ=．再根据B﹣A=﹣3，且Asin（2•+）+B=+B=0，∴A=2，B=﹣1，即f（x）=2sin （2x+）﹣1．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）=2sin（2x+2m+）﹣1的图象，根据得到的函数g（x）图象关于点（，﹣1）对称，可得2•+2m+=kπ，k∈Z，∴m=﹣，则m的最小值是，故选：A．12．（5分）已知函数，若对任意的x∈[1，2]，f'（x）•x+f （x）≥0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f′（x）=，∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）≥0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，≥0恒成立，⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1≥0恒成立，⇔t≤=x+=x+恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴g（x）min=g（1）=，∴t≤．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．13．（5分）在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则满足2x﹣y＜0的概率为．【解答】解：由题意可得实数x，y满足，满足约束条件的平面区域如图：则满足2x﹣y＜0的概率为P=．故答案为：．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S k=1，S2k=3（k∈N+），则S4k= 10．【解答】解：∵S k，S2k﹣S k，S3k﹣S2k，S4k﹣S3k成等差数列，S k=1，S2k=3（k∈N+），∴1，S2k﹣1，S3k﹣3，S4k﹣S3k成等差数列，∴2（S2k﹣1）=1+S3k﹣3，2（S3k﹣3）=S2k﹣1+S4k﹣S3k，∴S4k=10．故答案为：10．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π16．（5分）在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M 为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为[1，2] ．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧BC上一动点，∴p≥0，q≥0，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，D在线段AC上，∠DBC=．（1）若△BCD的面积为24，求CD的长；（2）若，且c=12，求CD的长．【解答】解：（1）由S=•BD•BC•=24，△BCD解得：BD=12，在△BCD中，CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos45°，即CD2=32+BD2﹣8BD，故CD2=32+144﹣8×12，解得：CD=4；（2）∵tanA=，且A∈（0，π），故sinA=，cosA=，由题意得=，即=，解得：sinC=，∵C∈（0，），∴cosC=，∴sin∠BDC=sin（C+）=，在△BCD中，由正弦定理得=，解得：CD=2．18．（12分）2016年上半年数据显示，某市空气质量在其所在省中排名倒数第三，PM10（可吸入颗粒物）和PM2.5（细颗粒物）分别排在倒数第一和倒数第四，这引起有关部门高度重视，该市采取一系列“组合拳”治理大气污染，计划到2016年底，全年优、良天数达到190天．下表是2016年9月1日到9月15日该市的空气质量指数（AQI），其中空气质量指数划分为0～50，51～100，101～150，151～200，201～300和大于300六档，对应空气质量依次为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染．（1）指出这15天中PM2.5的最大值及PM10的最大值；（2）从这15天中连续取2天，求这2天空气质量均为优、良的概率；（3）已知2016年前8个月（每个月按30天计算）该市空气质量为优、良的天数约占55%，用9月份这15天空气质量优、良的频率作为2016年后4个月空气质量优、良的概率（不考虑其他因素），估计该市到2016年底，能否完成全年优、良天数达到190天的目标．【解答】解：（1）由统计表知：这15天中PM2.5的最大值为112，PM10的最大值为199．（2分）（2）从这15天中连续取2天的取法有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（6，7），（7，8），（8，9），（9，10），（10，11），（11，12），（12，13），（13，14），（14，15），共14种．（5分）这2天空气质量均为优、良的取法有：（1，2），（7，8），（10，11），（11，12），（12，13），共5种．所以从这15天中连续取2天，这2天空气质量均为优、良的概率为．（8分）（3）由前8个月空气质量优、良的天数约占55%，可得空气质量优、良的天数为55%×240=132，（10分）9月份这15天空气优、良的天数有8天，空气质量优、良的频率为，2016年后4个月该市空气质量优、良的天数约为120×=64，132+64=196＞190，所以估计该市到2016年底，能完成全年优、良天数达到190天的目标．（12分）19．（12分）已知等腰梯形ABCE（图1）中，AB∥EC，AB=BC=EC=4，∠ABC=120°，D是EC中点，将△ADE沿AD折起，构成四棱锥P﹣ABCD（图2），M，N分别是BC，PC的中点．（1）求证：AD⊥平面DMN；（2）当平面PAD⊥平面ABCD时，求点C到平面PAB的距离．【解答】（1）证明：取AO的中点O，连结OB，BD，OP，∵△PAD，△ABD，O是AD的中点，∴PO⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB=O，AD⊥平面POB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB，∵M，N分别是BC，PC的中点，∴MN∥PB，∴AD⊥MN，又△BCD是等边三角形，M是BC的中点，∴DM⊥BC，又BC∥AD，∴AD⊥DM，又DM∩MN=M，∴AD⊥平面MND．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵△PAD，△ABD是边长为4的等边三角形，∴OP=OB=2，PB=2，PA=AB=4，∴cos∠PAB==，∴sin∠PAB=．==2，∴S△PAB==4，V P﹣ABC=V C﹣PAB，又S△ABC设C到平面PAB的距离为h，则=，解得h=．20．（12分）已知中心在坐标系原点，焦点在y轴上的椭圆离心率为，直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过下焦点的直线l交椭圆于A，B两点，点P为椭圆的上顶点，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）根据题意，因为，所以2c=a①又直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．所以椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得②又a2=b2+c2③由①②③得a2=16，b2=12所以椭圆方程为；（2）设直线l的方程为y=kx﹣2由得（4+3k2）x2﹣12kx﹣36=0显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以=又点P（0，4）到直线AB的距离为所以，令，则t≥1，k2=t2﹣1所以因为t≥1，在[1，+∞）上单调递增所以当t=1时，即k=0时，取最小值4所以S max=18．21．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2．（a∈R，e为自然对数的底）（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥0时，不等式f（x）≥4a﹣4恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，有f（x）=（2x﹣4）e x+（x+2）2，则f'（x）=（2x﹣2）e x+2x+4⇒f'（0）=﹣2+4=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又因为f（0）=﹣4+4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣0），即y=2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）因为f'（x）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），令g（x）=f'（x）=（2x﹣2）e x+2a （x+2）有g'（x）=2x•e x+2a（x≥0）且函数y=g'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当2a≥0时，有g'（x）≥0，此时函数y=f'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，则f'（x）≥f'（0）=4a﹣2（ⅰ）若4a﹣2≥0即时，有函数y=f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，则f（x）min=f（0）=4a﹣4恒成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（ⅱ）若4a﹣2＜0即时，则在x∈[0，+∞）存在f'（x0）=0，此时函数y=f（x）在x∈（0，x0）上单调递减，x∈（x0，+∞）上单调递增且f （0）=4a﹣4，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当2a＜0时，有g'（0）=2a＜0，则在x∈[0，+∞）存在g'（x1）=0，此时x∈（0，x1）上单调递减，x∈（x1，+∞）上单调递增，所以函数y=f'（x）在x∈[0，+∞）上先减后增．又f'（0）=﹣2+4a＜0，则函数y=f（x）在x∈[0，+∞）上先减后增且f（0）=4a ﹣4．所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上所述，实数a的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）由圆C的参数方程（φ为参数）知，圆C的圆心为（0，2），半径为2，圆C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4．…（4分）（II）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入x2+（y﹣2）2=4．得圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．…（5分）设P（ρ1，θ1），则由，解得．…（7分）设Q（ρ2，θ2），则由，解得ρ2=5，θ2=．所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，不等式f（x）＞4的解集为P．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）证明：当m，n∈P时，|mn+4|＞2|m+n|．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x﹣1|+|x+1|=，由f（x）的单调性及f（x）＞4，得或，解得x＞2或x＜﹣2．所以不等式f（x）＞4的解集为P={x|x＞2或x＜﹣2}．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知|m|＞2，|n|＞2，所以m2＞4，n2＞4，（mn+4）2﹣4（m+n）2=（m2﹣4）（n2﹣4）＞0，所以（mn+4）2＞4（m+n）2，从而有|mn+4|＞2|m+n|．。