2020新课标高考数学二轮习题：小题专题练(二) 三角函数与平面向量

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2020年高考数学二轮限时训练三角函数、平面向量7理

、选择题A.C.第三部分：三角函数、平面向量（7）【解析】sin nn - 16（限时：时间2 2=a —ab—b ,.1—4ncos"6厶…n n 2 n=sin丁—sin严金—cos w【答案】B2 .已知sin a 14,a€ n,A.第一象限角.第二象限角45分钟，满分100分）则sinnc。

汴cos32n，2n ,则【解析】■/sina=—,a€n, n,4 24 3又cos 3 ==5, 3€ 2 n, 2 n ,• sin 3 3'5,• sin( a + 3')=sin a c os 3 + cos a sinC.第三象限角•第四象限角…cos.15 ~T，20>0.3<2 n,n <3 <2 n,5 • ••尹 <a 7 + 3 <2 n.「•a+3 是第二象限角.【答案】3. （2020年大同模拟）函数f（x）= sin 2 n 2 (x + ) —sin (x41 n 1=^cos(2x — ―) — ^cos(2x + ―)1 1=2s in 2x + 2Sin 2x = sin 2x ,••• f （x ）是周期为n 的奇函数.【答案】 CA . 周期为 2 n 的奇函数B . 周期为 2n 的偶函数 C. 周期为 n 的奇函数 D. 周期为n 的偶函数【解析】 2f(x) = sin (7t =2 1 — COs(2x + y) n 2 n + j ) —sin (x —Q )—2 1 — cos(2x —守)A .（2020年献县二模）已知cos （n . a — ―)+ sin a = 5 .^ 3，贝U sin(7 na+-了）的值是（2.3 5B.2..3 5C. D.【解析】 ■/ cos( n——)+ sin•撐cos1 . a+ qsina+ sin an 4• sin( a+ —) = 5,▼ 7n 又 T sin( a+ ) = sin(6 a+ _6)=— sin(na+ 7)，7n 4.•.Srin( a+ ~)=—匚.6 5 【答案】5. (2020 年正定模拟）若 sinn 1 n 小3 —a = 4，贝U cos — + 2a =(7t 、:3 1cos a+ 于 Sin a7 A.— 82n.cos —— 2 a = 1 — 2sin 1 — 2X 4 2= 7,4 8'【答案】 A :■、填空题6. （2020年海南•宁夏高考改编2— cos 10【答案】 2【解析】3n•.•a 、3€ 4 -,n3n n 3• ••尹 <a + 33 <2 n, 訂--7<4 n4 cos 3 n 5• . cos( a + 3门=5, —4 ：—13，n3 n•・ cos a+ ■4 = cos ( a + 3 )— —4nn=cos( a + 33 )cos3-4+ si n( a + 3 )sin3-T4 5312 56=-x — 513 + — 5x =13—65.C .4D.【解析】 n••• sin -n COS ~3 + 2 a = COS n —2n=—cos2nV —2a7 8.2n■3【解析】3— sin 70 °2— cos 2 103 — sin 70 1 + cos 2022(3 — sin 70 ° ) 3 — cos 20 °=2(3 — cos 20 ° )23 — cos 20 °= 2.7. （2020年南通模拟）已知a 、3nV ，n3nsin( a + 3 ) = — 5, sin 3 ——1 + cos 2x2+ sin x + a sin n 2sin 2 — x2, n=cos x + sin x + asin x +T=：2sin x + -4 + a 2sin=(辽 + a 2)sinx+-4 .依题意有：2+ a 2= ：2 + 3 ,.•• a =± : 3. 【答案】土 ,；3 三、解答题 nn【解析】T 2< a < n, 0< 3<2，n3 n an• •• 4< a —~2<n,- 7<2 —3<2.故由cos a得 sin aa 2 a由 sin — —3 = 3，得 cos — —310.在厶ABC 中，已知角A 为锐角，且 f(A)=(1)求f(A)的最大值;【答案】 56 65【解析】f(x)21 + 2cos x — 1 2+ sin x + a sin2cos x7tx+N[cos( n — 2A) — 1]sinAn + 2 sin.2n A.2 sin — — 2 —sin n 2 ”cos A.8.设 f(x)nx + —的最大值为:2 + 3,贝V 常数a =9 .设 cos a1 9,sin2 3,7tn<3<2，求 cos( a+3 ). a + 3cos 2=cosa7,5 27 .• cos( 2aa + 3 ) = 2cos —239729.3 27 n⑵若A + B = 了亍，f (A) = 1，求△ ABC 的三个内角.【解析】(1)f(A) A A(cos 2A + 1)sin 2°。

2020年高考数学二轮限时训练三角函数、平面向量2理

第三部分：三角函数、平面向量（2）（限时：时间45分钟，满分100分）一、选择题1 . (2020 年湖北高考)设 a = (1 , - 2) , b = ( — 3,4) , c = (3,2)，则(a + 2b) • c =()A . ( — 15, 12)B . 0 C.— 3 D . — 11 【解析】•/ a + 2b = ( — 5,6),•••(a + 2b) • c = ( — 5,6) • (3,2) =— 15 + 12=— 3.【答案】 C2 .如图，已知正六边形 P 1P 2P 3P4RR ，下列向量的数量积中最大的是 ( )【解析】利用数量积的几何意义，向量 P 1P 3、P 1P 4、P 1P 5、PR 中，P 1P 3在向量P 1P 2方向上的投影最大，故 P 1F 2 • P 1P 3最大.【答案】 A3. （2020年江安质检）设A （a,1） , B （2 , b ） , C （4,5）为坐标平面上三点， 0为坐标原点.若0A 与0B 在0C 方向上的投影相同，则 a 与b 满足的关系式为（） A . 4a — 5b = 3 B . 5a — 4b = 3C. 4a + 5b = 14 D . 5a + 4b = 12【答案】 A1 1 3 一【解析】O A • O C 由已知得 —— |O ©0E • O C |O © 4a + 58+ 5b ,41 — .41， •- 4a — 5b = 3. C.P 1P 2 • P P D.P 1P 2 • P1R4 .已知a= 3, 2si n a , b =，cos a, ?，且a与b平行，则锐角a的值为（）A. 8B. n6nC.〒D. 4n 3" 【解析】•• ■ a // b , 13^ 1—一 2sin a •石 COS a= 0,3 2 21 1即 ---- s in 2 2 2a = 0 ,• Sin 2 a= 1. 又••• 0<a< n 2,••• 0<2a <n,【答案】 C5. （2020年汤阴模拟）在厶ABC 中，（B ~C + B^A ） •AC = |A ~C|2，则三角形ABC 的形状一定是（）A .等边三角形B •等腰三角形 C.直角三角形 D •等腰直角三角形【解析】由(B"C + B A ) •A'C = |A"C|2,得 A T C • (B ~C + B^A — A_C) = 0, 即 A T C • (B ~C + B ^ + CA )= o ,2B T = 0,AA C ±B A ，•/A = 90° 【答案】 C、填空题【解析】a •b = |a||b| cos 0,— 3 = 3X 2X cos 0, 即卩 1 cos 0=— 2又•0€ [0 ,n ] ,「.0 =2n3 . 6 .（201 1年上海春招）已知|a| = 3,|b| = 2,若a •b =— 3，则a 与b 夹角的大小为【答案】 n则 2 a= — , •a n ~4'••AC 2n 3【解析】对于A , AC + A 乍=AC + CD = AD = 2B C ，故A 正确.1 —对于 B,vA D = A B + B C + C D = A B + ^A D + A F ,1• 2A D =A B + A F ，•••A E = 2A B + 2A "F ，故 B 正确.对于 C,VA c ・A~D = I A E I IA "C|COS / DAC= |A ~D| •3|A "B|cos 303 =^lA B||A D| , AD •A B = |A D| • |A B |cos Z DAB=|A ~D||A E|cos 601 _= 2|A _B||A D|.故 C 不正确.对于 D,v (A D •A F)E F = |A D||A F |cos 60 ° •E F ,1 =2|A D||A F| •E F , AD(A F •E F)—> —> —> =AD • |A F ||E F |cos 120=(-2E^) • |AP| • ADI •(—弓7 . （2020年江西高考）如图，正六边形 ABCDE 中，有下列四个命题:—> —> —>A . AC + AF = 2BCB . A "D = 2AB + 2A "?C. A _C •AD = A D •A 'B —> —> —> —> —> —>D. (A D •A F)E F = AD(A F •E F)其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）AB=2|A 1D| • |A •E "F ，故D 正确.【答案】 A B D8. (2020年淮安模拟)△ ABC 内接于以 O 为圆心的圆，且 30" + 4O B — 5O C = 0,则/C【解析】•/ 30" + 4013 — 5O C = 0,••• 3O 1 + 4O B = 5OC ,—1 2 —12 —1 —1 —1 2 • 9OA + 16OB + 24OA •O B = 25OC .又 O A 2= O —B 2 = O C 2,又 30A + 4OB = 5OC , •••点 C 在劣弧 AB 上，C = 135°.【答案】135°三、解答题9 •已知| a| = 1, |b| = .2 a 与b 的夹角为0.(1)若 a // b 求 a • b ;⑵若a — b 与a 垂直，求0.【解析】(1) ••• a / b ,「.0= 0 或 n,• a • b = | a|| b|cos 0= 1 x ：2 x cos 0=± '2.⑵•「(a — b)丄 a ,「. a •( a — b) = 0,2 即 a — a •b = 0,• 1 — 1 x ■'2cos 0= 0,二 cos 0=孑.nT0 € [0 ,n ] ,「・0=才.10.已知向量 O A = (3 , — 4) , O —B = (6 , — 3),OC = (5 — m — (3 + m)).(1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；⑵ 若厶ABC 为直角三角形，求实数 m 的值.【解析】 (1)已知向量 O 11 = (3 , — 4) , O B = (6 , — 3) , O C = (5 — m — (3 + m)), 若点A B 、C 不能构成三角形，则这三点共线，• OALOB.VA I B = (3,1) , A T C = (2 - m,1 - m),1故知3(1 —m)= 2 - m「•实数m=㊁时，满足条件.⑵由题意，△ ABC为直角三角形，①若/A为直角，则A E丄AC,• 3(2 —m)+ (1 —m)= 0，解得m= 4.②若/B 为直角，B C = ( — 1 —m, —m),3则A"B ±B C , • 3( — 1 —m) + ( —m)= 0,解得m= —③若/C为直角，则B C ±A C ,• (2 —m)( — 1 —m)+ (1 —m)( —m)= 0,解得m=号5。

2020届高三数学二轮复习过关检测2 三角函数与平面向量理

过关检测(二) 三角函数与平面向量(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2020·重庆)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2020·济南三模)已知非零向量a 、b 满足向量a ＋b 与向量a －b 的夹角为π2，那么下列结论中一定成立的是( )． A ．a ＝b B ．|a |＝|b | C ．a ⊥bD ．a ∥b3．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )．A.3π4 B ．－3π4 C.π4 D.π24．(2020·惠州模拟)已知向量a ，b ，则“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的________条件( )．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．(2020·哈尔滨四校联考三模)已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过－12，32,2α∈[0,2π)，则tan α＝( )．A ．－ 3 B. 3 C.33 D ．－336．(2020·皖南八校联考)设向量a ，b 满足：|a |＝2，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |等于( )．A.12 B ．1 C.32D ．2 7．(2020·湖南十二校第一次联考)已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则|a ＋3b |等于( )．A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．4 58．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )．A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π69．若△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的值是( )．A ．3B ．2C ．1D ．010．(2020·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )．A.32 B.22 C.12 D ．－1211．平面上不共线的4个点A ，B ，C ，D ，若(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形12．给出下列四个命题：①f (x )＝sin2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π；④函数f (x )＝sin x ＋π4在－π2，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．(2020·北京顺义模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．则sin 2α－tan α＝________.12．(2020·肇庆调研)已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－2,1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则|2a －λb |的值为________．13．函数y ＝tan π4x －π2(0＜x ＜4)的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于________．14．(2020·太原调研)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，sin B ＋sin C ＝3sin A ，且△ABC 的面积为43sin A ，则∠A ＝________.三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)(2020·临沂一模)已知f (x )＝cos x －3π4－sin x －5π4.(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)若f (α)＝85，求sin 2α－2sin 2α1－tan α的值．16.(10分)(2020·安徽)设函数f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．17．(10分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sinB ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．18．(12分)(2020·四川)函数f (x )＝6cos2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 19．(12分)(2020·陕西五校联考)已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n ，若函数g (x )的图象与f (x )的图象关于坐标原点对称． (1)求函数g (x )在区间－π4，π6上的最大值，并求出此时x 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若f (A )－g (A )＝32，b ＋c ＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．参考答案过关检测(二) 三角函数与平面向量1．A [由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.]2．B [由(a ＋b )·(a －b )＝0，得：a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.]3．A [∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，∴x ＋φ＝k π，即x ＝k π－φ(k ∈Z )，令π4＝k π－φ(k ∈Z )得φ＝k π－π4(k ∈Z )，显然在四个选项中，只有3π4满足题意．故正确答案为A.]4．B [a ∥b 只要求两向量共线，而“a ＋b ＝0”要求反向共线且模相等．] 5．B [由三角函数定义知：tan 2α＝32－12＝－3，又2 α∈[0,2π)，∴2α＝2π3，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.]6．B [|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋3＋b 2＝8，∴|b |＝1.]7．A [因为a ∥b ，所以m ＝－4，故a ＋3b ＝(1,2)，所以其模为 5.]8．D [由题图知：T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，又2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6.]9．A [仔细分析式子：2OA →＋AB →＋AC →＝0，易得△ABC 是直角三角形，且A 为直角，又|OA →|＝|AB →|，故C ＝30°，由此|AC →|＝3，|BC →|＝2，CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|·cos 30°＝3.]10．C [由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .又c 2＝12(a 2＋b 2)，所以2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.]11．解析因为角α终边经过点P (－3，3)，所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33，∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. 答案－3612．解析 a ＋λb ＝(4,3)＋λ(－2,1)＝(4－2λ，3＋λ)，∵(a ＋λb )⊥b ，∴(4－2λ，3＋λ)·(－2,1)＝0，解得λ＝1,2a －λb ＝(8,6)－(－2,1)＝(10,5)， |2a －λb |＝102＋52＝5 5. 答案 5 513．解析 (OB →＋OC →)·OA →＝2OA →2，由图知|OA →|＝2，∴(OB →＋OC →)·OA →＝8.答案 814．解析由正弦定理得：b ＋c ＝3a ＝23，①又S △ABC ＝12bc sin A ＝43sin A ，∴bc ＝83，②由①平方得：b 2＋c 2＝203，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝203－4163＝12，∴A ＝60°.答案 60°15．解 (1)f (x )＝cos x －34π－sin x －54π＝sin x －π4＋sin x －π4＝2sin x －π4.∴f (x )的最小正周期为2π，最小值为－2. (2)由f (α)＝85，得sin α－π4＝45，∴22(sin α－cos α)＝45， ∴2sin αcos α＝－725.∴sin 2α－2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α－sin α1－sin αcos α＝2sin αcos α－sin αcos α－sin αcos α＝2sin αcos α＝－725.16．解 (1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ，故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x .②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x .综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.17．解 (1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，由正弦定理知：a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． (2)由m ⊥p ，得：a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab ，由余弦定理知：4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0. 解得：ab ＝4(舍去ab ＝－1)∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.18．解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.19．解 (1)由题意得：f (x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin2x ＋π6，所以g (x )＝－12－sin2x －π6.因为x ∈－π4，π6，所以2x －π6∈－2π3，π6.所以当2x －π6＝－π2即x ＝－π6时，函数g (x )在区间－π4，π6上的最大值为12.(2)由f (A )－g (A )＝32得：1－sin2A ＋π6＋sin2A －π6＝32，化简得：cos 2A ＝－12，又因为0＜A ＜π2，所以A ＝π3，由题意知：S △ABC ＝12bc sin A ＝23，解得bc ＝8，又b ＋c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A ) ＝49－2×8×1＋12＝25.故所求边a的长为5.。

2020届二轮(理科数学) 数列三角函数平面向量专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）数列三角函数平面向量专题卷（全国通用） (2)(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x ＞5或x ＜－1} C ．{x |－1＜x ＜5} D ．{x |－1≤x ≤5}[答案] B[解析] 不等式化为x 2－4x －5＞0， ∴(x －5)(x ＋1)＞0，∴x ＜－1或x ＞5.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A.6 B ．2 C.3 D. 2[答案] D[解析] 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos120°＝a 2＋2－622a ，整理得a 2＋2a －4＝0，∵a >0，∴a ＝ 2.3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 [答案] A[解析] 由a 7＋a 9＝16，得a 8＝8，∴4d ＝a 8－a 4＝8－1＝7，∴a 12＝a 8＋4d ＝8＋7＝15.4．(2018·福建理，5)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2[答案] A[解析] 画出可行域，如图所示．将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 最小时，直线y ＝2x －z 的纵截距最大，即将直线y ＝2x 经过可行域向上移到过点B ⎝⎛⎭⎫－1，12时，z 取到最小值，最小值为z ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.5．对任意实数a ，b ，c ，d ，命题： ①若a >b ，c ≠0，则ac >bc ； ②若a >b ，则ac 2>bc 2； ③若ac 2>bc 2，则a >b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 当c <0时，①不正确；当c ＝0时，②不正确；只有③正确．6．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15 C ．2 D ．3 [答案] A[解析] ∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0，∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c . ∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152. 7．等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝( ) A ．15 B ．30 C ．45 D ．60[答案] A[解析] 解法1：由等差数列的求和公式及⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝2S 9＝5知，⎩⎨⎧6a 1＋6×52d ＝29a 1＋9×82d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－127d ＝427，∴S 15＝15a 1＋15×142d ＝15.解法2：由等差数列性质知，{S n n }成等差数列，设其公差为D ，则S 99－S 66＝3D ＝59－26＝29，∴D ＝227，∴S 1515＝S 99＋6D ＝59＋6×227＝1，∴S 15＝15. 8．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25[答案] C[解析] a 3·a 6·a 18＝a 9q 6·a 9q 3·a 9·q 9＝a 39的一个确定常数 ∴a 9为确定的常数．T 17＝a 1·a 2·…·a 17＝(a 9)17，∴选C.9．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12·2·1·sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B ＝3π4，使用余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B.10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12[答案] C[解析] ∵(x －a )⊗(x ＋a )<1，∴(x －a )(1－x －a )<1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0.又∵该不等式对任意实数x 都成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.11．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4 [答案] A[解析] 作出平面区域，如图阴影部分所示，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选A.12．(2018·福建理，8)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] D[解析] 由韦达定理得a ＋b ＝p ，a ·b ＝q ，因为p >0，q >0，则a ＞0，b ＞0，当a ，b ，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故a ·b ＝(－2)2＝4，故q ＝4，b ＝4a .当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a 是等差中项时，2a ＝4a －2，解得a ＝1，b ＝4，；当b 是等差中项时，8a ＝a －2，解得a ＝4，b ＝1，综上所述，a ＋b ＝p ＝5，所以p＋q ＝9，选D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．不等式(x 2－4)(x －6)2≤0的解集是________． [答案] {x |－2≤x ≤2或x ＝6}[解析] 原不等式变形得(x ＋2)(x －2)(x －6)2≤0. 解得－2≤x ≤2或x ＝6.14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝6，若S 1，S 2，…，S n ，…中，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则数列{a n －4}前n 项和最大时，则n ＝________.[答案] 3[解析] 当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝6＋7d >0，a 9＝6＋8d <0，得－67<d <－34，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －4≥0，a n ＋1－4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋(n －1)d ≥0，2＋nd ≤0，得：73<－2d ≤n ≤1－2d <113，∴n ＝3.15．(2018·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.[答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.16．数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (x ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.[答案] 102[解析] 由题意得x n ＋1＝10x n ，即数列{x n }是公比为10的等比数列，所以x 101＋x 102＋…＋x 200＝(x 1＋x 2＋…＋x 100)·10100＝10102，故lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知三角形的三边长分别为x 2＋x ＋1，x 2－1和2x ＋1(x >1)，求这个三角形的最大角．[解析] ∵x >1，∴(x 2＋x ＋1)－(x 2－1)＝x ＋2>0， (x 2＋x ＋1)－(2x ＋1)＝x 2－x ＝x (x －1)>0. ∴x 2＋x ＋1是三角形中的最大边．该边所对的角是最大角，设此最大角为A ，则cos A ＝(x 2－1)2＋(2x ＋1)2－(x 2＋x ＋1)22(x 2－1)(2x ＋1)＝－12，∵0°<A <180°， ∴A ＝120°，即三角形的最大角为120°.18．(本小题满分12分)已知b 是a ，c 的等差中项，且lg(a ＋1)，lg(b －1)，lg(c －1)成等差数列，同时a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c 的值．[解析] ∵2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝15，∴3b ＝15，b ＝5. 设等差数列a ，b ，c 的公差为d ，则 a ＝5－d ，c ＝5＋d .由2lg(b －1)＝lg(a ＋1)＋lg(c －1)知 2lg4＝lg(6－d )＋lg(4＋d )．从而16＝(6－d )(4＋d )，即d 2－2d －8＝0. ∴d ＝4或d ＝－2.∴a ，b ，c 三个数分别为1,5,9或7,5,3.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．[解析] (1)∵a ＋b ＋c ＝8，a ＝2，b ＝52，∴c ＝8－2－52＝72.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝4＋254－4942×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得：sin A ＋sin B ＋sin(A ＋B )＝4sin C ，即sin A ＋sin B ＝3sin C ，由正弦定理可得 a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，∴a ＋b ＝6 ①又面积S ＝12ab sin C ＝92sin C ，∴ab ＝9 ②解①②得a ＝3，b ＝3.20．(本小题满分12分)(2018·湖北理，18)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n－1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n ，②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值． [解析] (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a <x ，化为(ax ＋3)(x －a )<0.当a >0时，⎝⎛⎭⎫x ＋3a (x －a )<0，－3a <x <a ；当a <0时，⎝⎛⎭⎫x ＋3a (x －a )>0，x >－3a或x <a . 综上所述，当a >0时，不等式的解集为{x |－3a <x <a }；当a <0时，不等式的解集为{x |x >－3a或x <a }． (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)， ∴f (x )＝(t ＋a )2＋3t ＝t ＋a 2＋3t ＋2a≥2t ·a 2＋3t＋2a ＝2a 2＋3＋2a ，当且仅当t ＝a 2＋3t ，即t ＝a 2＋3时，f (x )有最小值2a 2＋3＋2a ，依题意2a 2＋3＋2a ＝6，解得a ＝1.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n .[解析] (1)设{a n }的公比为q . ∵a 1a 2…a n ＝(2)b n∴a 1·a 1q ·a 1q 2…a 1q n －1＝(2)b n又∵a 1＝2，a n 1·q1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(2)b n即2n ·q n (n －1)2＝2b n 2∴(2q n －12)n ＝2b n2∴(2q )3＝2b 32，(2q 12)2＝2b 22解得：3b 2＝b 3＋6 又∵b 3＝b 2＋6∴b 2＝6，b 3＝12，∴q ＝2. ∴a n ＝2n ，b n ＝n (n ＋1)(2)C n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n ＋1n ＋1－1n①S n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＋(12－1＋13－12＋14－13＋…＋1n ＋1－1n )＝12·1－12n1－12＋1n ＋1－1 ＝1－12n ＋1n ＋1－1＝1n ＋1－12n∴S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N ＋)②令S n ＋1－S n ＝1n ＋2－12n ＋1－1n ＋1＋12n ＝12n ＋1－1(n ＋1)(n ＋2)＝(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋12n ＋1(n ＋1)(n ＋2) 由于指数函数2n＋1比(n ＋1)(n ＋2)变化快．∴令S n ＋1－S n >0得n <4∴S 1，S 2，S 3，S 4递增，而S 4，S 5，S 6……S n 递减 ∴S 4最大，∴当k ＝4时，S k ≥S n .。

2020高考数学(理科)二轮专题复习跟踪检测：专题2 三角函数、解三角形与平面向量第1部分专题2 第3讲

O→A O→B
O→ C
| |＝| |＝1，| |＝
2，tan∠AOB＝－43，∠BOC＝45°，O→C＝mO→A＋nO→B，则mn ＝( )
5 A．7
7 B．5
3 C． 7
7 D．3
A 解析以 OA 所在的直线为 x 轴，过 O 作与 OA 垂直的直线为 y 轴，建立平面直角坐
标系如图所示．
O→A O→B 因为| |＝| |＝1，且
A．9 C． 109
B．3 D．3 10
D 解析向量 a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，所以 2a＋b＝(1，x－8)，由
(2a＋b)⊥c，可得 1＋8－x＝0，解得 x＝9，则|b|＝－32＋92＝3 10.故选 D 项． 6．(2019·广东东莞统考)如图所示，△ABC 中，B→D＝2D→C，点 E 是线段 AD 的中点，则
C→A C→B ＋y ，且
x＋y＝1，所以
O
在边
AB
上，所以当
CO⊥AB
时，|C→O|最小，|C→O|min＝12.
1
答案 2
12．(2019·江西上饶模拟)平行四边形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，A→B·A→D＝4，点 P 在
边 CD 上，则P→A·P→C的取值范围是________.
解析
( ) 设|P→D|＝x，x∈[0,4]，则P→A·P→C＝(P→D＋D→A)·P→C＝
(2)设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值．
解析 (1)a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，则|a－b|＝ 2－2cosα－β＝ 2，所以 π
cos(α－β)＝0，而 0＜β＜α＜π，所以 0＜α－β＜π，所以 α－β＝2.所以向量 a 在 b 上的投影 a·b

2020高考数学文二轮专题复习训练专题二三角函数与平面向量解三角形

三角函数与平面向量、解三角形一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a －c b ＝b －ca ＋c ，则A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.2π32．已知两个平面向量a 、b 的夹角为23π，且|a|＝|b|＝1，则|a －b|等于( ) A. 3 B ．1 C ．23 D ．2 3． “sin x ＞12”是“π6＜x ＜5π6”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＋1sin2θ为( )A.12B．－12C．2 D．－25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos A sin C，则b＝( ) A．6 B．4 C．2 D．16．如图，在平行四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3,2)，则AD→·AC→等于( )A．1B．3C．5D．67．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝23，cos A＝32，且b＜c，则b＝( )A. 3 B．2 C．2 2 D．38．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图，当x∈[0，π2]时，满足f(x)＝1的x的值为( )A.π6B.π3C.π2D.5π129．已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6，平面内一点M满足BM→＝23BC→－13BA→，则AC→·MB→等于( )A．－9 B．－18 C．12 D．18。

全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题二三角函数解三角形与平面向量第3讲平面向量练习

第3讲平面向量「考情研析」1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档． 2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.核心知识回顾1.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a ·b ＝□01|a ||b |·cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝□02x 1x 2＋y 1y 2. 2．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔□01a ＝λb (b ≠0)⇔□02x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔□03a ·b ＝0⇔□04x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝□01a ·a ＝□02 x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →| ＝□03 (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝□01a ·b |a ||b |＝□02x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 5．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔□01|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔□02OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔□03OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔□04aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.热点考向探究考向1 平面向量的概念及运算例1 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中m ，n ∈R 且n ≠0)，则m n＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12答案 A解析因为m a －n b ＝(m ＋2n,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，m a －n b 与2a ＋b 共线，所以m ＋2n ＝0，即m n＝－2.故选A.(2)(2019·云南第二次统考)已知点O (0,0)，A (－1,3)，B (2，－4)，OP →＝OA →＋mAB →.若点P 在y 轴上，则实数m 的值为( )A.13B.14C.15D.16 答案 A解析由题意，可得OA →＝(－1,3)，AB →＝(3，－7)，所以OP →＝OA →＋mAB →＝(3m －1,3－7m )，点P 在y 轴上，即3m －1＝0，m ＝13.故选A.(3)(2019·贵州南白中学(遵义县一中)高一联考)已知D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A.BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D ．－BC →＋12BA →答案 D解析 ∵D 是△ABC 的边AB 的中点，∴CD →＝12(CA →＋CB →)，CA →＝BA →－BC →，CD →＝12(BA →－BC →－BC →)＝－BC →＋12BA →.故选D.平面向量的线性运算有几何运算和坐标运算两种形式，几何运算主要是利用三角形法则和平面向量的基本定理，坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．(2019·四川巴中高三诊断)向量AB →＝(2,3)，AC →＝(4,7)，则BC →＝( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案 B解析 BC →＝AC →－AB →＝(2,4)．故选B.2．(2019·四川宜宾高三二诊)在平行四边形ABCD 中，M 是DC 的中点，向量DN →＝2NB →，设AB →＝a ，AD →＝b ，则MN →＝( )A.16a －23b B ．－16a ＋13bC.16a ＋76b D.16a －13b 答案 A解析根据题意画图，如图所示，则DM →＝12DC →＝12AB →＝12a ，DN →＝23DB →＝23(AB →－AD →)＝23AB →－23AD→＝23a －23b ，∴MN →＝DN →－DM →＝23a －23b －12a ＝16a －23b ，故选A.3．(2019·陕西高三一模)如图，在▱OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 上的一点，且BC＝3BF ，若OC →＝mOE →＋nOF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n 的值为( )A ．1 B.32 C.75 D.73答案 C解析在平行四边形中OA →＝BC →，OB →＝AC →，OC →＝OA →＋OB →，因为E 是AC 的中点，所以AE →＝12AC→＝12OB →，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12OB →，因为BC ＝3BF ，所以BF →＝13BC →＝13OA →，所以OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，因为OC →＝mOE →＋nOF →，所以OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋13n OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋n OB →，在▱OACB 中，OC →＝OA →＋OB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋13n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝35，所以m ＋n ＝75.故选C.考向2 平面向量的数量积例2 (1)(2019·辽宁鞍山一中三模)设a ，b 是夹角为60°的单位向量，则2a ＋b 和3a －2b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 B解析由题意，因为a ，b 是夹角为60°的单位向量，∴a ·b ＝|a ||b |cos60°＝12，则(2a ＋b )·(3a －2b )＝6a 2－2b 2－a ·b ＝6－2－12＝72，|2a＋b |＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋2＋1＝7，|3a －2b |＝(3a －2b )2＝9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9－12×12＋4＝13－6＝7，设2a ＋b 和3a －2b 的夹角为α，则cos α＝(2a ＋b )·(3a －2b )|2a ＋b ||3a －2b |＝727×7＝12，即α＝60°.故选B.(2)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，则AD →·AC →＝( )A ．0B ．4C ．8D ．－4答案 B解析因为AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，所以AD ＝4sin30°＝2，所以AD →·AC →＝AD →·(AB →＋BC →)＝AD →·AB →＋AD →·BC →＝AD →·AB →＝2×4×12＝4.故选B.(3)(2019·安徽黄山高三二模)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，且a ⊥(a ＋2b )，则b 在a 方向上的投影为( )A ．1B ．－ 2 C. 2 D ．－1答案 D解析因为a ⊥(a ＋2b )，所以a ·(a ＋2b )＝0，∴4＋2a ·b ＝0，a ·b ＝－2，因此b 在a 方向上的投影为a ·b|a |＝－1.选D.(1)向量数量积有两种不同形式的计算公式：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)用数量积求长度的方法：|a |＝a ·a ；|a ±b |＝a 2±2a ·b ＋b 2；若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(3)用数量积公式求夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |.1．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝2，|2a －b |＝2，则|b |＝( ) A ．2 3 B. 3 C. 2D ．3 2答案 A解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos30°＝3|b |，|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝16－43|b |＋|b |2＝4，∴|b |＝2 3.故选A.2．(2019·贵州省南白中学(遵义县一中)高二联考)已知|AB →|＝1，|BC →|＝2，若AB →·BC →＝0，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为( )A.255B ．2 C. 5 D ．2 5答案 C解析由题意可知，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，故四边形ABCD 为圆内接四边形，且圆的直径为AC ，由勾股定理可得AC ＝AB 2＋BC 2＝5，因为BD 为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故|BD →|的最大值为 5.故选C.3．如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝4，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案212解析因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝1×4×12＝2.又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14×(1＋4＋16)＝214，所以|OA →|＝212.考向3 平面向量与三角函数例3 (1)(2019·贵州遵义航天高级中学四模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π4，cos A ＝35，BA →·BC →＝28，则b 的值为( )A ．3 B.52 C ．4 D ．5答案 D解析由题意可知，BA →·BC →＝28，∴ac ＝282，在△ABC 中，∵cos A ＝35，∴sin A ＝1－cos 2A＝45，sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝7210，由正弦定理可得，a sin A ＝bsin B ＝c sin C ，即a 45＝b 22＝c 7210，∴a ＝425b ，c ＝75b ，代入ac ＝282中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫425b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫75b ＝282，得b 2＝25，∴b ＝5.故选D.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos2A －cos2B ，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n .①求角B 的值；②若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长．解 ①由m ∥n ，得cos2A －cos2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.②易知B ＝π3，则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin5π12＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2，所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件，通常利用向量的平行与垂直进行转化．1．(2019·安徽宣城二调)在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，P 在△ABC斜边BC 的中线AD 上，则AP →·(PB →＋PC →)的最大值为( )A.258 B.52 C.254 D.252答案 B解析以A 为坐标原点，以AB →，AC →方向分别为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (0,4)，中点D (1,2)，设P (x,2x )，所以AP →＝(x,2x )，PD →＝(1－x,2－2x )，AP →·(PB→＋PC →)＝AP →·(2PD →)＝2[x (1－x )＋2x ·(2－2x )]＝－10(x 2－x )，当x ＝12时，AP →·(PB →＋PC →)的最大值为52.故选B.2．(2019·贵州南白中学(遵义县一中)高一下学期第一次联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA →·CB →＝－27.(1)求cos B 的值； (2)求△ABC 的周长．解 (1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝18，∴sin C ＝378，sin A ＝74，∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝916.(2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝32BC ，∵2BA →·CB →＝－27，cos B ＝916，∴BC ·AB ＝24，∴BC ＝4，AB ＝6， ∴AC ＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos B ＝16＋36－2×4×6×916＝5，∴C △ABC ＝AB ＋AC ＋BC ＝15， ∴△ABC 的周长为15.真题押题『真题模拟』 1. (2019·山西吕梁模拟)如图，|OA →|＝2，|OB →|＝2，|OC →|＝4，OA →与OB →的夹角为135°，若OC →＝λOA →＋4OB →，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵|OA →|＝2，|OB →|＝2，|OC →|＝4，OA →与OB →的夹角为135°，∴OA →·OB →＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，若OC →＝λOA →＋4OB →，则OC →2＝λ2OA →2＋16OB →2＋8λOA →·OB →∴16＝4λ2＋16×2＋8λ×(－2)，∴λ＝2，故选B.2．(2019·厦门模拟)已知△ABC 是正三角形，O 是△ABC 的中心，D 和E 分别为边AB 和AC 的中点，若OA →＝xOD →＋yOE →，则x ＋y ＝( )A ．－4B ．4C ．2D ．－2答案 B解析 ∵O 是△ABC 的中心，D 和E 分别是边AB ，AC 的中点，∴OA →＝OD →＋DA →＝OD →＋12BA →＝OD→＋12(OA →－OB →)，∴OA →＝2OD →－OB →，同理可得：OA →＝2OE →－OC →.∴2OA →＝2OD →＋2OE →－(OB →＋OC →)，∵O A →＋O B →＋O C →＝0，∴OA →＝2OD →＋2OE →－(OB →＋OC →＋OA →)＝2OD →＋2OE →，∴x ＝y ＝2，∴x ＋y ＝4.3．(2019·贵州遵义航天高级中学四模)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,7)，则下列结论正确的是( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．a ⊥(a －b )D ．a ⊥(a ＋b )答案 D解析 a ·b ＝－5≠0，A 不正确；a ＝(2，－1)，b ＝(1,7)，2×7＋1＝15≠0，B 不正确；a ·(a －b )＝(2，－1)·(1，－8)＝10≠0，C 不正确；a ＋b ＝(3,6)，a ·(a ＋b )＝6－6＝0，即a ⊥(a ＋b )．故选D.4．(2019·安徽宣城二调)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，若(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值为________．答案－1解析 ∵|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，∴a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1.∵(a ＋λb )⊥b ，∴b ·(a ＋λb )＝0，∴λ|b |2＋a ·b ＝0，即λ＋1＝0，解得λ＝－1.5．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.答案 23解析由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·(2a －5b )|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23. 6．(2019·浙江高考)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是_______，最大值是_______．答案 0 2 5解析如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(1,0)，AD →＝(0,1)．设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．故|a |＝ (λ1－λ3＋λ5－λ6)2＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)2. ∵λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0.考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4或λ1－λ3＋λ5－λ6＝4，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝2时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5.『金版押题』7．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A解析建立如图所示的直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t(0，t )＝(1,4)，即P (1,4)，PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12时取“＝”．8．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于E ，F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ的最小值是________．答案 92解析由题意得，AB →＋AC →＝2AD →＝λAE →＋μAF →，所以AD →＝λ2AE →＋μ2AF →，又D ，E ，F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋4μ＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号．配套作业一、选择题1.(2019·安徽毛坦厂中学高三校区4月联考)如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD →＝－2AB →，点E 是AD 的中点，若AB →＝a ，CE →＝b ，则BE →＝( )A ．－3a －bB ．2a －bC ．－3a －2bD ．2a －2b答案 A解析 ∵CD →＝－2AB →，∴DC →＝2AB →，∵点E 是AD 的中点，∴AE →＝ED →.∴BE →＝AE →－AB →＝ED →－AB →＝CD →－CE →－AB →＝－2a －b －a ＝－3a －b .故选A.2．(2019·陕西榆林三模)已知向量a 与向量b 的模均为2，若|a －3b |＝27，则向量a 与向量b 的夹角是( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°答案 A解析 ∵|a －3b |2＝|a |2－6a ·b ＋9|b |2＝40－24cos 〈a ，b 〉＝28，∴cos 〈a ，b 〉＝12，∴〈a ，b 〉＝60°，故选A.3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，易知x ＝23，y ＝13.4．(2019·新疆维吾尔族自治区二模)O 是△ABC 的外接圆圆心，且OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|＝1，则CA →在BC →方向上的投影为( )A ．－12B ．－32C.12D.32 答案 B解析由OA →＋AB →＋AC →＝0，得OB →＝CA →，所以四边形ABOC 是平行四边形．又O 是△ABC 的外接圆圆心，所以OA ＝OB ＝OC ，所以四边形ABOC 是菱形，且∠ACO ＝60°，CB 平分∠ACO ，所以∠ACB ＝30°，即CA →与BC →的夹角为150°，因为|OA →|＝|AB →|＝1，所以CA →在BC →方向上的投影为|CA →|cos150°＝－32.故选B. 5．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A ．－3 5 B ．－355C.322D ．3 5答案 C解析 ∵点C (－1,0)，D (4,5)，∴CD →＝(5,5)．又AB →＝(2,1)，∴向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD→|CD →|＝1552＝322.6．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →.∴∠A ＝90°，选C.7．(2019·山东师范大学附属中学五模)已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB |sin B ＋AC →|AC |sin C ，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心答案 C解析 ∵|AB |sin B ＝|AC |sin C ，设它们等于t ，∴OP →＝OA →＋λ·1t(AB →＋AC →)，如图，设BC的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，λ·1t(AB →＋AC →)表示与AD →共线的向量AP →，而点D 是BC 的中点，即AD 是△ABC 的中线，所以点P 的轨迹一定通过三角形的重心．故选C.8．平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析根据条件，|a ＋b |cos 〈(a ＋b )，a 〉＝|a ＋b |·(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b4＝5，所以a ·b ＝4，所以(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16，所以|a －2b |＝4.故选B.二、填空题9．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)若平面向量e 1，e 2满足|e 1|＝|3e 1＋e 2|＝2，则e 1在e 2方向上的投影的最大值为________．答案－423解析因为|e 1|＝|3e 1＋e 2|＝2，所以|e 1|2＝4,9|e 1|2＋|e 2|2＋6e 1·e 2＝4，e 1在e 2方向上的投影为e 1·e 2|e 2|＝2cos θ，其中θ为e 1，e 2的夹角．又36＋|e 2|2＋12|e 2|cos θ＝4，故|e 2|2＋12|e 2|cos θ＋32＝0. 设t ＝|e 2|，则t 2＋12t cos θ＋32＝0有非负解，故⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，144cos 2θ－128≥0，故cos θ≤－223，故e 1·e 2|e 2|≤－423，即e 1在e 2方向上的投影的最大值为－423.10．向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|a －2b |∈(2，23]，则a ，b 的夹角θ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2π3解析 ∵|a －2b |∈(2,23]，∴(a －2b )2∈(4,12]，即a 2＋4b 2－4a ·b ＝4＋4－8cos θ∈(4,12]，∴cos θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2π3.11．(2019·四川成都外国语学校高三一模)如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，点F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y ＋1的最小值为_______，此时x ＝________.答案 3＋2 22－1解析 AF →＝x a ＋y b ＝2xAD →＋yAC →. ∵C ，F ，D 三点共线，∴2x ＋y ＝1.即y ＝1－2x .由图可知x >0. ∴1x ＋4y ＋1＝1x ＋21－x ＝x ＋1x －x 2. 令f (x )＝x ＋1x －x 2，得f ′(x )＝x 2＋2x －1(x －x 2)2，令f ′(x )＝0，得x ＝2－1或x ＝－2－1(舍去)．当0<x <2－1时，f ′(x )<0，当x >2－1时，f ′(x )>0. ∴当x ＝2－1时，f (x )取得最小值f (2－1)＝2(2－1)－(2－1)2＝3＋2 2.三、解答题12．已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin x ，cos x ，函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，求f (α)．解 (1)f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝32sin x cos x －12sin 2x ＋1＝34sin2x ＋14cos2x ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋34.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)f (α)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋34＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋34，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝223，∴f (α)＝229＋34. 13．已知△ABC 的面积为S ，且BA →·BC →＝S .(1)求tan2B 的值；(2)若cos A ＝35，且|CA →－CB →|＝2，求BC 边上的中线AD 的长．解 (1)由已知BA →·BC →＝S 有ac cos B ＝12ac sin B ，可得tan B ＝2，所以tan2B ＝2tan B1－tan 2B ＝－43. (2)由|CA →－CB →|＝2可得|BA →|＝2，由(1)知tan B ＝2，解得sin B ＝255，cos B ＝55，又cos A ＝35，所以sin A ＝45，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B ＝255.因为sin B ＝sin C ，所以B ＝C ，所以AB ＝AC ＝2，所以中线AD 也为BC 边上的高，所以AD ＝AB sin B ＝2×255＝455.14．(2019·湘赣十四校高三第二次联考)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝32，b ＝3，cos A ＝cos2B .(1)求边c 的长；(2)若D 为直线BC 上的一点，且|CD →|＝2|BD →|，求|AD →|. 解 (1)解法一：∵a ＝32，b ＝3， ∴sin A ＝2sin B . ① 又cos A ＝cos2B ， ②所以①与②平方相加得2sin 2B ＋cos 22B ＝1，即cos 22B －cos2B ＝0，∴cos2B ＝0或cos2B ＝1. 又a >b ，∴B 为锐角，∴0°<2B <180°， ∴cos2B ＝0，B ＝45°.∴sin A ＝2sin B ＝1，∴A ＝90°，所以△ABC 为等腰直角三角形，∴c ＝b ＝3. 解法二：∵a >b ，∴B 为锐角，∴0°<2B <180°，∵cos A ＝cos2B ，∴A ＝2B . ∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理与余弦定理得，a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，又∵a ＝32，b ＝3，∴c 2－6c ＋9＝0，即c ＝3.(2)解法一：①当CD →＝－2BD →时，AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋23CB →＝AC →＋23AB →－23AC →＝23AB →＋13AC →，∴|AD →|＝49AB →2＋2·23AB →·13AC →＋19AC →2＝5； ②当CD →＝2BD →时， AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋2CB →＝AC →＋2AB →－2AC →＝2AB →－AC →，∴|AD →|＝4AB →2－2·2AB →·AC →＋AC →2＝3 5.解法二：①当CD →＝－2BD →时，在△ACD 中，AC ＝3，CD ＝22，∠ACD ＝45°，∴AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos45°＝5，∴|AD →|＝5；②当CD →＝2BD →时，在△ACD 中，AC ＝3，CD ＝62，∠ACD ＝45°，∴AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos45°＝45，|AD →|＝3 5.15．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫2cosωx2，3，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫3cosωx2，sin ωx ，ω>0，设函数f (x )＝a ·b －3的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为等边三角形，其高为2 3.(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值．解 (1)由已知可得f (x )＝a ·b －3＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由正△ABC 的高为23，可得BC ＝4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，得ω＝π4，故f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3，所以函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3，又f (x 0)＝835，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45，由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，得πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23×22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3 ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋35＝765.。

高考数学(理)二轮专题练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与 θ终边同样 (α的终边在 θ终边所在的射线上 )? α＝ θ＋ 2k π(k ∈ Z )，注意：相等的角的终边必定同样，终边同样的角不必定相等．随意角的三角函数的定义：设α是随意一个角， P(x ， y)是 α的终边上的随意一点 (异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ x 2＋y 2>0，那么 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ y(x ≠ 0)，三角函数值只与角r r x 的大小相关，而与终边上点P 的地点没关．[问题 1] 已知角 α的终边经过点 P(3，－ 4)，则 sin α＋ cos α的值为 ________．答案－152．同角三角函数的基本关系式及引诱公式 (1) 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1.sin α (2) 商数关系： tan α＝.cos α(3) 引诱公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－ απ－ απ＋ α2π－ απ－ α2sin －sin α sin α －sin α － sin α cos α cos cos α － cos α－ cos αcos αsin α9π 7π [问题 2] cos ＋ tan －＋ sin 21 π的值为 ___________________________ ．46答案22－333．三角函数的图象与性质 (1) 五点法作图；π(2) 对称轴： y ＝sin x ， x ＝ k π＋ 2， k ∈Z ；y ＝ cos x ， x ＝ k π，k ∈ Z ；π k π 对称中心： y ＝ sin x ，( k π，0) ，k ∈ Z ；y ＝ cos x ， k π＋， 0 ，k ∈ Z ； y ＝tan x ，，0 ，k ∈ Z .22(3) 单一区间：y ＝ sin x 的增区间： π π－＋2k π，＋ 2k π ( k ∈Z )，2 2 π 3π＋ 2k π，＋ 2k π(k ∈ Z )；减区间： 22y ＝ cos x 的增区间： [－ π＋ 2k π，2k π] (k ∈ Z )，减区间： [2k π， π＋ 2k π] k(∈ Z )；π πy ＝ tan x 的增区间：－＋ k π，＋ k π (k ∈ Z )．22(4) 周期性与奇偶性：y ＝ sin x 的最小正周期为 2π，为奇函数； y ＝ cos x 的最小正周期为 2π，为偶函数； y ＝ tan x 的最小正周期为 π，为奇函数．易错警告：求 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的单一区间时，简单出现以下错误：(1) 不注意 ω的符号，把单一性弄反，或把区间左右的值弄反；(2) 忘记写＋ 2k π，或＋ k π等，忘记写 k ∈ Z ；π (3) 书写单一区间时，错把弧度和角度混在一同．如[0,90 ]°应写为0，2 .[问题 3]函数 y ＝ sin － 2x ＋ π的递减区间是 ________．3π 5 答案k π－ 12， k π＋ 12π(k ∈ Z )4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式令α＝βsin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β――→sin 2α＝2sin αcos α.令 α＝βcos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β――→ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ 2cos 2α－ 1＝ 1－2sin 2α.tan(α±β)＝ tan α±tan β1?tan .αtan β21＋ cos 2α21－ cos 2α2tan αcos α＝2， sin α＝， tan 2α＝2 .21－ tan α在三角的恒等变形中，注意常有的拆角、拼角技巧，如：α＝ (α＋ β)－β， 2α＝ (α＋ β)＋ (α－β)，1α＝ 2[( α＋ β)＋ (α－ β)] ．π π π πα＋＝ (α＋ β)－ β－， α＝ α＋－ .44443π3 π 12 π[问题 4] 已知 α，β∈ 4 ，π， sin( α＋ β)＝－ 5， sin β－ 4 ＝13，则 cos α＋4 ＝ ________.答案－ 56655．解三角形(1) 正弦定理： a ＝ b ＝ c＝ 2R( R 为三角形外接圆的半径 )．注意： ①正弦定理的一些变 sin A sinB sin C式： (ⅰ )a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ；(ⅱ )sin A ＝ a ，sin B ＝ b ，sin C ＝ c；(ⅲ )a ＝ 2Rsin A ，2R 2R 2Rb ＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要联合详细状况进行弃取．在△ABC 中 A>B? sin A>sin B.222(2) 余弦定理： a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，cos A ＝ b ＋ c － a 等，常采用余弦定理判定三角形的形状．2bc[问题 5]在△ ABC 中， a ＝ 3， b ＝ 2， A ＝ 60°，则 B ＝ ________.答案45°6．向量的平行与垂直设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，且 b ≠0，则 a ∥ b ? b ＝ λa ? x 1y 2－x 2y 1＝ 0.a ⊥b (a ≠ 0)? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.0 当作与随意愿量平行，特别在书写时要注意，不然有质的不一样．[问题 6]以下四个命题：①若 |a |＝0，则 a ＝ 0；②若 |a |＝ |b |，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a ∥b ，则 |a |＝ |b |；④若 a ＝ 0，则－ a ＝ 0.此中正确命题是 ________．答案 ④7．向量的数目积 |a |2＝ a 2＝ a ·a ，a ·b ＝ |a||b |cos θ＝ x 1x 2＋ y 1 y 2，cos θ＝ a ·b ＝x 1x 2 ＋y 1 y 2 ，|a||b |x 12＋ y 12 x 22＋ y 22a ·b ＝ x 1x 2＋ y1y 2a 在b 上的投影＝ |a |cos 〈 a ， b 〉＝ |b|x 22＋ y 22 .注意：〈a ， b 〉为锐角 ? a ·b >0 且 a 、 b 不一样向；〈 a ， b 〉为直角 ? a ·b ＝ 0 且 a 、 b ≠0；〈 a ， b 〉为钝角 ? a ·b <0 且 a 、 b 不反向．易错警告：投影不是 “影 ”，投影是一个实数，能够是正数、负数或零．[问题 7]已知 |a |＝ 3， |b |＝ 5，且 a ·b ＝ 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ________．12答案58．当 a ·b ＝ 0 时，不必定获得 a ⊥ b ，当 a ⊥ b 时， a ·b ＝ 0；a ·b ＝ c ·b ，不可以获得 a ＝c ，消去律不建立； ( a ·b )c 与 a ( b ·c )不必定相等， (a ·b )c 与 c 平行，而 a ( b ·c )与 a 平行．[问题 8]以下各命题：①若 a ·b ＝ 0，则 a 、b 中起码有一个为＝ c ；③对随意愿量 a 、 b 、 c ，有 (a ·b ) c ≠a (b ·c )；④对任一直量0；②若 a ≠0， a ·b ＝a ·c ，则22a ，有 a ＝ |a | .此中正确命题是b________．答案④9．几个向量常用结论：→ → →① PA ＋ PB ＋ PC ＝ 0? P 为 △ ABC 的重心；→→ → → →→② PA ·PB ＝PB ·PC ＝ PC ·PA? P 为 △ABC 的垂心；→→ABAC③向量 λ( → ＋ → ) ( λ≠ 0)所在直线过 △ ABC 的心里；|AB| |AC|→ → →④ |PA|＝ |PB|＝ |PC|? P 为 △ ABC 的外心．易错点 1 图象变换方向或变换量掌握禁止致误例 1 要获得 y ＝ sin(－ 3x)的图象，需将 y ＝ 22(cos 3x －sin 3x)的图象向 ______平移 ______ 个单位 (写出此中的一种特例即可 )．错解右π π或右1242π 找准失分点 y ＝ 2 (cos 3x － sin 3x)＝ sin 4－ 3x＝ sin － 3 x － π .12π题目要求是由 y ＝ sin － 3x ＋ 4 → y ＝ sin(－ 3x)．ππ右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．412正解y ＝2π－ 3x2 (cos 3x －sin 3x)＝sin 4π＝ sin － 3 x － 12 ，ππ 2要由 y ＝ sin － 3 x － 12 获得 y ＝ sin( －3x)只要对 x 加上 12即可，因此是对 y＝2 (cos 3x － sin 3x)π 向左平移 12个单位．答案左π12易错点 2忽略隐含条件的发掘致误例 2ππ已知 cos α＝ 1， sin(α＋ β)＝ 5 3， 0< α< ， 0<β<，求 cos β.71422错解由ππ0<α<， 0<β< ，得 0<α＋β<π，2 211则 cos(α＋β)＝ ± .141 π4 3由 cos α＝ 7，0< α<2，得 sin α＝ 7.71 1 故 cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]＝ cos(α＋β)cos α＋sin( α＋ β)·sin α＝或 .98 2找准失分点由 0<α＋ β<π，且 sin( α＋ β)＝ 5 33，14<2 π 2π 1 1∴ 0<α＋ β< 或<α＋ β<π，又 cos α＝ < ，337 2π π 2π 11∴ <α< ，即 α＋ β∈，π， ∴ cos(α＋ β)＝－14.323正解π 1 <cosπ 1，∵ 0< α< 且 cos α＝＝273 2π π π∴ <α< ，又 0<β< ，322π< 3，∴ <α＋ β<π，又 sin( α＋ β)＝5 3314 22π∴ 3 <α＋ β<π. ∴ cos(α＋ β)＝－1－ sin 2α＋ β ＝－1114，24 3sin α＝ 1－ cos α＝ 7 .∴ cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]1＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin( α＋ β)sin α＝2.易错点 3 忽略向量共线致误例 3已知 a ＝(2,1) ， b ＝ (λ， 1)， λ∈ R ，a 与 b 的夹角为 θ.若 θ为锐角，则 λ的取值范围是__________．错解∵ cos θ＝a ·b＝2λ＋ 1.2|a| |b ·| 5· λ＋ 1因 θ为锐角，有 cos θ>0 ，2λ＋ 1∴2 >0? 2λ＋ 1>0，5· λ＋ 1得 λ>－1， λ的取值范围是－1，＋∞ .22找准失分点 θ为锐角，故 0<cos θ<1，错解中没有清除 cos θ＝ 1 即共线且同向的状况．正解由 θ为锐角，有 0<cos θ<1.又 ∵ cos θ＝ a ·b ＝ 2λ＋ 1 ，|a| |b ·| 25· λ＋ 1∴ 0<2λ＋ 12≠1，5· λ＋ 12λ＋1>0 ，λ>－ 1，∴2＋ 1 ，解得22λ＋ 1≠5· λλ≠ 2.∴ λ的取值范围是 λ|λ>－ 12且 λ≠2.1答案λ|λ>－且λ≠21． (2014 ·纲领全国 )已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ()4 3 A. 5B. 534C ．－ 5D ．－5答案 D分析由于角 α的终边经过点x 4 (－4,3)，所以 x ＝－ 4， y ＝ 3， r ＝ 5，所以 cos α＝＝－ .r52． (2014 ·纲领全国 )设 a ＝sin 33 ，°b ＝ cos 55 ，°c ＝ tan 35 ，°则 ( )A ．a>b>cB ． b>c>aC ． c>b>aD ． c>a>b答案 C分析∵ a ＝ sin 33 ，°b ＝ cos 55 °＝ sin 35 ，°c ＝ tan 35 °＝sin 35 °cos 35 ，°又 0<cos 35 °<1， ∴ c>b>a.4π3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 3 (0< θ< 4)，则 sin θ－ cos θ的值为 ()2 2 1 1A. 3B ．－ 3C.3 D ．－ 3答案B分析∵ sin θ＋ cos θ＝ 4， ∴ (sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ sin 2θ＝ 16， ∴ sin 2θ＝ 7，3 9 9π 又 0<θ< ， ∴ sin θ<cos θ.4∴ sin θ－ cos θ＝－θ－ cos θ 22＝－ 1－ sin 2θ＝－ 3 .4．已知 a ， b 是单位向量， a ·b ＝ 0，若向量 c 知足 |c － a － b |＝ 1，则 |c |的取值范围是( )A ．[ 2－1， 2＋1]B ．[ 2－1， 2＋2]C．[1，2＋ 1]D．[1，2＋2]答案A分析∵ a·b＝0，且a， b 是单位向量，∴ |a|＝ |b|＝ 1.又∵ |c－a－b|2＝c2－ 2c·(a＋b)＋ 2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋ 1.∵ |a|＝ |b|＝ 1 且a·b＝ 0，∴|a＋b|＝2，∴c2＋1＝2 2|c|cosθ(θ是 c 与 a＋ b 的夹角)．又－ 1≤cos θ≤1，∴ 0<c2＋ 1≤2 2|c|，∴c2－2 2|c|＋1≤0，∴2－ 1≤|c|≤ 2＋ 1.5.函数 f(x)＝ Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如下图，那么f(0) 等于 ()A ．－1B．－ 1 2C．－3D．－ 3 2答案B分析由题图可知，函数的最大值为2，所以 A＝ 2.又由于函数经过点ππ， 2 ，则 2sin2×＋φ＝ 2，33ππ即 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，32π得φ＝－＋2kπ，k∈ Z.6f(0) ＝ 2sin φ＝ 2sin π－＋ 2kπ＝－ 1. 66．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对边的长分别为a，b， c，若 a2＋ b2＝ 2c2，则 cos C 的最小值为 ()3211A. 2B. 2C.2D．－2答案Ca2＋ b2－ c2c2分析∵ cos C＝2ab＝2ab，又∵ a2＋ b2≥2ab，∴2ab≤2c2.11∴ cos C≥ .∴ cos C 的最小值为 .22→ →π7． (2014 ·山东 )在△ ABC 中，已知 AB·AC＝ tan A，当 A＝6时，△ ABC 的面积为 ________．1 答案6π分析已知 A ＝ 6，→ → π π 由题意得 |AB||AC|cos＝ tan，66→ →2|AB||AC|＝ 3，所以 △ABC 的面积1 → → π 12 1 1S ＝ |AB||AC |sin＝××＝.26 2 3 2 68． (2014 ·江苏 )已知函数 y ＝ cos x 与 y ＝ sin(2x ＋ φ)(0 ≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为点，则 φ的值是 ________．答案π6分析由题意，得π π sin 2×＋ φ ＝cos，33由于π0≤φ<π，所以 φ＝ .6π π9．已知函数 f(x)＝Asin( ω＋ φ)，x ∈ R (此中 A>0，ω>0，－ 2<φ<2)，其部分图象如下图．若横坐标分别为－1,1,5 的三点 M ，N ， P 都在函数 f(x)的图象上，记∠ MNP ＝ θ，则 cos 2θ的值是 ________ ．π3的交答案－725分析由图可知， A ＝ 1， f(x)的最小正周期 T ＝ 8，2ππ所以 T ＝ ω ＝ 8，即 ω＝ .4πππ又 f(1) ＝sin( ＋ φ)＝ 1，且－ <φ< ，4 2 2 π π 3π所以－ <φ＋ < ，4 4 4 π π π即 φ＋＝，所以 φ＝ .424π所以 f(x)＝sin(x ＋ 1)．4由于 f(－ 1)＝ 0， f(1) ＝ 1， f(5)＝－ 1，所以 M(－ 1,0)，N(1,1)， P(5，－ 1)．→ → → →所以 NM ＝ (－ 2，－ 1)，NP ＝ (4，－ 2)， NM ·NP ＝－ 6，→ →5，|NM |＝ 5， |NP|＝ 2→ →则 cos ∠ MNP ＝NM·NP＝－ 3， →→ 5|NM| ·|NP|3即 cos θ＝－ 5.于是 cos 2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.π23， x ∈ R . 10． (2014 天·津 )已知函数 f(x)＝ cos x ·sin(x ＋ 3)－ 3cos x ＋ 4 (1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在闭区间 [－ π π， 4 ]上的最大值和最小值．41sin x ＋3 23 解 (1)由已知，有 f(x)＝cos x ·(2cos x)－3cos x ＋421 3 23＝ sin x ·cos x －2cos x ＋421 3 (1＋ cos 2x)＋ 3＝ sin 2x －4441 3 cos 2x＝ sin 2x －441π＝ sin(2x － )．23所以 f(x)的最小正周期T ＝ 2π＝ π.2(2) 由于 f(x)在区间 [－ π π[－ π π，－ ] 上是减函数，在区间12 ， ] 上是增函数， 4 124 π 1 π 1 ， f( π 1 f(－ ) ＝－， f(－ 12)＝－ 2 )＝，4 4 4 4所以，函数 f(x)在闭区间 π π1 ，最小值为－ 1 [－， ] 上的最大值为 4.4 42。

2020年高考数学二轮限时训练三角函数、平面向量4理

第三部分：三角函数、平面向量（4）（限时：时间45分钟，满分100分）2), b = ( — 4, - 3), c = (x , y)，若 a — 2b + 3c = 0，则 c 等于(13 4 D —————一 D. 3， 3 【解析】 a — 2b + 3c = (13 + 3x,4 + 3y) = (0,0),【答案】 D2 . (2020年石家庄二模)在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 AB = (2,4) , AC= (1,3)，则 BD 等于( )A . ( — 2, — 4)B . ( — 3,— 5)C. (3,5) D . (2,4)【解析】在平行四边形 ABCD 中, A C = AB+ A D, BD= A D — A B,••• BD= (A C — A B) — AB= (1,3) — 2(2,4)=(1,3) — (4,8) = ( — 3, — 5).【答案】 B3. 设向量 a = (1 , — 3) , b = ( — 2,4) , c = ( — 1,— 2)，若表示向量 4a, 4b — 2c, 2( a — c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A . (2,6)B . ( — 2,6)C. (2 , — 6) D . ( — 2, — 6)【解析】由题知：4a = (4 , — 12),4b — 2c = ( — 6,20),2( a — c ) = (4 , — 2).由题意知：4a + 4b — 2c + 2( a — c ) + d = 0,则(4 , — 12) + ( — 6,20) + (4 , — 2) + d = 0,即(2,6) + d = 0，故 d = ( — 2,— 6).【答案】 D3 1 14. (2020年广东五校联考)设a = sinx , 4 , b = 3, ^cosx ，且a // b ,则锐角x 为(、选择题 A. 1, B. 13 81 .已知 a = (5 , C. 13 4 亍，3 13+ 3x = 04+ 3y = 0 ，解得134)A. nB. n6 Tn 5C.=D. n3 123 1 1【解析】•/ a =sinx ,,b=4 ,3，qcosx，且a //b,1 3 1 1 1 ••• ^inxcosx —4X 3= 0,即卩4Sin2x —才=0, /• si n2x = 1.n n 又Tx 为锐角，•• 2x= —, x=—.【答案】B5. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1) , B( —1,3)3 6B其中a、B€ R且a + 3= 1，则点C的轨迹方程为()2 2A. 3x + 2y —11 = 0 B . (x —1) + (y —2) = 5C. 2x —y = 0 D . x + 2y —5 = 0【解析】由已知得6A= (3,1) , OB= ( —1,3),设C(x , y)，由OC=a OM3 OB 得(x , y) = a (3,1) +3 (—1,3),又a+3= 1 ,1 1• 10(3x + y) + 10(3y —x) = 1,即x + 2y —5= 0.【答案】D二、填空题6. e*1, e2 是不共线向量，且 a = —e1 + 3e2, b = 4e1 + 2e2, c=—组基底，贝U a= _______ .r【解析】设a=^ 1b +入2c,则一e1 + 3e2 =入1(4 e1 + 2e2) + 入2( —3e1 + 12e2)即一e1 + 3e2= (4 入 1 — 3 入2) e1 + (2 入 1 +12 入2)e2,若点C满足OC=a OAFx= 3 a — 3 y=a + 3 3 ，解得1a = 10(3x +y)3e1+ 12e2，若b, c 为2 入 i + 12 入 2 = 31 7a =—血b + 27c.1 7【答案】 —18b + 27c7. _____________________________________________________________________ 向量 a = (1,2) , b = (x,1) , c = a + b , d = a — b ,若 c // d ,则实数 x= ________________________ .【解析】 c = a + b = ( 1 + x,3) , d = a — b = (1 — x,1),由 c // d ,得 1 + x — 3(1 — x) = 0,解得x = 1.1【答案】8. ________________________________ (2020 年启东模拟)已知向量集合 M = {a |a = (1,2) +入(3,4)，入 € R}, N= { b | b =(— 2,— 2) +入(4,5)，入 € F}，贝U MA N= r ___.【解析】由(1,2) +入 1(3,4) = ( — 2, — 2) +入 2(4,5),1 + 3 入 1 = — 2+ 4 入 22 + 4 入 1=— 2+ 5 入 2入 1 = — 1解得，••• Min N= {( — 2,— 2)}. 入2= 0【答案】{( — 2, — 2)}三、解答题9 .已知 A(1 , — 2) , B(2,1) , C(3,2)和 D( — 2, 3)，以 A B. A C 为一组基底来表示 A D + BD + C D【解析】由已知得：AiB= (1,3) , A C = (2,4),—A —A—A AD= ( — 3,5) , BD= ( — 4,2) , CD= ( — 5,1),—3,5) + ( — 4,2) + ( — 5,1) = ( —12,8 ) 解得入 2= 27A T+ BD )+ CD =( 17设AD+ BD+ CD=^ 1AB+入s AC,则(—12,8)=入1(1,3) +入2(2,4),3 入i +4 入2= 8入 1 = 32解得入2=—22 ，••• AD B D^C D= 32AB- 22AC2 1 110•已知向量a= (1,2) , b= ( —2,1) , k, t 为正实数，x = a + (t + 1) b, y =—匚a+厂b, k t 问是否存在k、t，使x// y,若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.2【解析】x = a+ (t + 1)b2 2 2=(1,2) + (t + 1)( —2,1) = ( —2t — 1 , t + 3)1 1 1 1y= —k a+严=—k(1,2) + f(—2,1)1 2 2 1 =—k —t，—k +1，假设存在正实数k, t使x// y，则2 2 1 2 1 2(—2t —1)( —k +1) —(t + 3)( —k —-) = 0,t2+ 1 1 3化简得k~ +厂=0，即t +1 + k = 0,••• k, t是正实数，故满足上式的k, t不存在,•不存在这样的正实数k, t，使x / y.。

2020高考数学专题测试《三角函数解三角形与平面向量和数列》含解析

《三角函数解三角形与平面向量和数列》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2π B．π C．π2 D ．4π答案 A解析 f (x )＝1－2sin 2x2＝cos x ，最小正周期T ＝2π，故选A ．2．已知sin θ<0，tan θ>0，则 1－sin 2θ 化简的结果为( ) A ．cos θ B ．－cos θ C ．±cos θ D ．以上都不对答案 B解析由已知可判断出θ是第三象限角，所以1－sin 2θ＝|cos θ|＝－cos θ．故选B ．3．(2018·福建4月质检)已知向量AB →＝(1,1)，AC →＝(2,3)，则下列向量与BC →垂直的是( )A ．a ＝(3,6)B ．b ＝(8，－6)C ．c ＝(6,8)D ．d ＝(－6,3) 答案 D解析 BC →＝AC →－AB →＝(1,2)，因为(1,2)·(－6,3)＝1×(－6)＋2×3＝0．故选D ． 4．(2018·长沙统考)已知a ，b 为单位向量，且a ⊥(a ＋2b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C解析由题意，a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°．故选C ．5．(2018·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案 B解析 ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C ＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B ．6．(2018·广东广州调研)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A ．911B ．511C ．311D ．211 答案 B解析因为N ，P ，B 三点共线，所以AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511．故选B ． 7．(2018·湖南长郡中学调研)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( )A ．2B ．3C ． 2D ． 3 答案 A解析由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理，得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a b＝2．故选A ．8．(2018·江西九校联考)已知5sin2α＝6cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )A ．－23B ．13C ．35D ．23答案 B解析由题意知10sin αcos α＝6cos α，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，cos α＝45，tanα2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13．9．(2018·东北三省四市二联)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在0，π2上的最小值为( )A ．32 B ．12 C ．－12 D ．－32答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin2x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，可得φ＝－π3，所以f (x )＝sin2x －π3，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin －π3＝－32．故选D ． 10．(2018·湖北宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．127 答案 A解析因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215，故选A ．11．(2018·河北石家庄一模)已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[2－1,1] 答案 A解析由题意不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)．则a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， |a ＋b －c |＝(1－cos θ)2＋(1－sin θ)2＝3－22sin θ＋π4，令t ＝3－22sin θ＋π4，则3－22≤t ≤3＋22，故|a ＋b －c |∈[2－1，2＋1]．12．(2018·湖南长沙长郡中学摸底)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点π12，0对称D ．关于点5π12，0对称答案 C解析由题意T ＝2πω＝π，得ω＝2，把g (x )＝cos2x 的图象向右平移π3个单位长度得f (x )＝cos2x －π3＝cos2x －2π3＝sin π2－2x ＋2π3＝sin －2x ＋7π6＝sin2x －π6的图象，f π12＝0，f 5π12＝32，因此函数f (x )的图象关于点π12，0对称．故选C ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·合肥质检一)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．答案－12解析依题意，有|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×2cos〈a ，b 〉＋4＝3，解得cos 〈a ，b 〉＝－12，则a 在b 方向上的投影等于|a |cos 〈a ，b 〉＝－12．14．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．答案 75° 解析由正弦定理得3sin60°＝6sin B ，∴sin B ＝22．又∵c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝75°．15．(2018·河北石家庄质检)已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB→＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．答案 14解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB →＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，即x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14．16．(2018·广州调研) 如图所示，某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 处和D 处，已知CD ＝6000 m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是________ m ．(结果保留根号)答案 100042解析在△ACD 中，∵∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°， ∴∠CAD ＝60°，由正弦定理可得AD sin45°＝CDsin60°，∴AD ＝6000×2232＝20006(m)．在△BCD 中，由正弦定理得BD sin30°＝CDsin135°，∴BD ＝12×600022＝30002(m)，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴AB ＝ (30002)2＋(20006)2＝100042(m)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55．(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255．故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010． (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α ＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310．18．(2018·浙江温州统考)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？解 (1)函数可化为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．列表如下：画出图象如图所示：(2)将函数y ＝sin x (x ∈R )图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．19．(2018·河南洛阳二模)(本小题满分12分)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π3，半径为42，若点C 是AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)．(1)若弦BC ＝4(3－1)，求BC 的长； (2)求四边形OACB 面积的最大值．解 (1)在△OBC 中，BC ＝4(3－1)，OB ＝OC ＝42，所以由余弦定理得cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝32，所以∠BOC ＝π6，于是BC 的长为π6×42＝22π3．(2)设∠AOC ＝θ，θ∈0，2π3，则∠BOC ＝2π3－θ，S 四边形OACB ＝S △AOC ＋S △BOC＝12×42×42sin θ＋12×42×42sin 2π3－θ＝24sin θ＋83cos θ＝163sin θ＋π6，由于θ∈0，2π3，所以θ＋π6∈π6，5π6，当θ＝π3时，四边形OACB 的面积取得最大值163．20．(2018·河南濮阳三模)(本小题满分12分)△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，c ＝3．(1)求角A 的大小；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积．解 (1)因为2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，所以2R sin B sin B －2R sin A sin A ＝(b －c )sin C ，所以b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝60°．(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝19，由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos120°，即19＝9＋BE 2－2×3×BE ×－12，解得BE ＝2(负值舍去)，所以AC ＝2．故S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC＝12×3×2×32＝332． 21．(2018·荆门调研)(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(－cos x ，3cos x )，f (x )＝m ·n －32． (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n －32＝－3sin x cos x ＋3cos 2x －32＝－32sin2x ＋32(1＋cos2x )－32＝－32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6．当2x ＋5π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π6，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值3．(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，11π6．而函数g (x )＝3sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，3π2上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，11π6上单调递增．又g ⎝⎛⎭⎪⎫11π6＝－32，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝32．结合图象(如图)，所以方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根时，a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－3，－32．22．(2018·广东茂名二模)(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＝2sin C,2b ＝3c ．(1)求cos C ；(2)若∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且△ABC 的面积为3154，求BD 的长．解 (1)∵sin A ＝2sin C ，∴a ＝2c ．于是，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(2c )2＋32c 2－c 22×2c ×32c＝78．(2)由(1)知cos C ＝78，∴sin C ＝158．∵S △ABC ＝12·2c ·32c ·158＝3154，∴c 2＝4，c ＝2，则a ＝4，b ＝3． ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴a c ＝CD AD＝2，∴CD ＝2AD ．又CD ＋AD ＝3，∴CD ＝2，AD ＝1．在△BCD 中，由余弦定理可得BD 2＝42＋22－2×4×2×78＝6，∴BD＝6．专题测试二一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 答案 D解析由S 3＝6，知a 1＋d ＝2；由a 3＝0，知a 1＋2d ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝0，解得d ＝－2．故选D ．2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198 D ．297 答案 B解析由等差数列的性质得2a 6＝27－a 6，所以a 6＝9，又S 11＝11a 6＝99．故选B ． 3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝12，若a k ＝2－5，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．10 答案 D解析设该数列的公比为q ，则由等比数列的通项公式可得，q 3＝a 4a 1＝14，∴q ＝2－23，∴a k ＝a 1qk －1＝2·qk －1＝2－5，∴qk －1＝2－6，∴2(k －1)3＝6，∴k ＝10．4．在数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2018＝( ) A ．－1 B ．－12 C ．12 D ．1答案 B解析将x 1＝1代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 3＝1，所以数列{x n }的周期为2，故x 2018＝x 2＝－12．故选B ．5．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10＝S 4，则S 8a 9＝( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 A解析由a 10＝S 4得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0．所以S 8＝8a 1＋8×72d＝8a 1＋28d ＝36d ，所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d9d＝4．故选A ．6．(2018·甘肃天水检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．12n －1C ．23n －1D ．32n －1 答案 D解析因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝32n －1．故选D ．7．数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝( ) A ．－495 B ．765 C ．1080 D ．3105 答案 B解析由a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3可得a n ＝3n －63，则a 21＝0，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝765．故选B ．8．(2018·安徽淮南模拟)已知{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C ．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞) 答案 C解析 ∵{a n }是递增数列，∴∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，化简得λ>－(2n ＋1)，∴λ>－3．故选C ．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0 D ．S 15>0 答案 C解析因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大，即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见A 错误；易知a 16<a 15<0，S 16＝S 15＋a 16<S 15，B 错误；S 15＝152(a 1＋a 15)＝15a 8<0，D 错误；S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7>0．故C正确．10．(2018·福建漳州调研)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )A ．一鹿、三分鹿之一B ．一鹿C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一答案 B解析由题意可知，五人按等差数列分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a 1，且a 1＝1＋23＝53，公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝5，解得d ＝－13，所以a 3＝a 1＋2d ＝53＋2×－13＝1，所以簪裹得一鹿，故选B ．11．(2018·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n；①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ．则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A ．n 24 B ．(n －1)24C ．n (n －1)4D ．n (n ＋1)4答案 C解析依题意可得新数列为n 2，n 4，n6，…，1n ×n 2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 2411×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝n 241－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 24·n －1n ＝n (n －1)4．故选C ． 12．(2018·河南六市第一次联考)若正项递增等比数列{a n }满足1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0(λ∈R )，则a 6＋λa 7的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．2D ．4 答案 D解析 ∵{a n }是正项递增的等比数列，∴a 1>0，q >1，由1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0，得1＋(a 2－a 4)＋λq (a 2－a 4)＝0，∴1＋λq ＝1a 4－a 2，∴a 6＋λa 7＝a 6(1＋λq )＝a 6a 4－a 2＝q 4q 2－1＝[(q 2－1)＋1]2q 2－1＝(q 2－1)＋2＋1q 2－1≥2(q 2－1)·1q 2－1＋2＝4(q 2－1>0)，当且仅当q ＝2时取等号，∴a 6＋λa 7的最小值为4．故选D ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________．答案152解析 S 4a 2＝a 1·1－q 41－q a 1q ＝1－q 4q (1－q )＝1－242×(1－2)＝152．14．若数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________．答案 6解析由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，得a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，所以S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6．15．(2018·江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考)若{a n }，{b n }满足a n b n＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前2018项和为________．答案10092020解析 ∵a n b n ＝1，且a n ＝n 2＋3n ＋2，∴b n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋2)(n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2，∴{b n }的前2018项和为12－13＋13－14＋14－15＋…＋12019－12020＝12－12020＝1010－12020＝10092020．16．(2018·河北邯郸第一次模拟)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________．答案 2n ＋2＋n (n ＋1)－4解析由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1－2，又S n ＋T n ＝2n ＋1＋n2－2，所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2n ＋2＋n (n ＋1)－4．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(2018·云南统测)(本小题满分10分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3，∴q ≠1．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝26，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝728.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.∴a n ＝2×3n －1．(2)证明：由(1)可得S n ＝2×(1－3n)1－3＝3n－1．∴S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1．∴S 2n ＋1－S n S n ＋2＝(3n ＋1－1)2－(3n－1)(3n ＋2－1)＝4×3n．18．(2018·南昌一模)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1．(1)求{a n }的通项公式； (2)记b n ＝log 216S n ＋1，求b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值．解 (1)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4，得 2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2．又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1，所以a 1＝1．所以a n ＝2n －1．(2)由(1)知，S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，所以b n ＝log 216S n ＋1＝2log 224－n＝8－2n ，b n ＋1－b n ＝－2，b 1＝8－2＝6，所以数列{b n }是首项为6，公差为－2的等差数列，所以b 2＝4，b 3＝2，b 4＝0，当n >5时b n <0，所以当n ＝3或n ＝4时，b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值为12．19．(2018·湖南长沙模拟)(本小题满分12分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，S n ＝2－2a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)nlog 12a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解 (1)∵S n ＝2－2a n ＋1，a 1＝1， ∴当n ＝1时，S 1＝2－2a 2，得a 2＝1－S 12＝1－a 12＝12；当n ≥2时，S n －1＝2－2a n ，∴当n ≥2时，a n ＝2a n －2a n ＋1，即a n ＋1＝12a n ，2∴{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1．(2)由(1)知b n ＝(－1)n(n －1)， ∴T n ＝0＋1－2＋3－…＋(－1)n(n －1)，当n 为偶数时，T n ＝(－0＋1)＋(－2＋3)＋…＋[－(n －2)＋n －1]＝n2；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝n ＋12－n ＝1－n2， ∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧1－n 2，n 为奇数，n2，n 为偶数.20．(2018·太原三模)(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1．(1)求证：数列1a n是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝12n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解 (1)证明：因为a n ＋1＝a n2a n ＋1，且可知a n ≠0，所以1a n ＋1－1a n＝2，所以数列1a n是等差数列．所以1a n ＝1a 1＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝12n ．(2)因为b n ＝2n 2n ＝n 2n －1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，则12S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，两式相减得 12S n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n22所以S n ＝4－n ＋22n －1．21．(2018·东北三校联考)(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n＋1－b n )(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5，所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5．(2)因为b n ＝2n，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1．当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n＋2n －1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2；当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2．由λa n >2n＋n ＋2λ，得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n2n ＋1．又n ＋12n ＋2－n2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取得最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞．22．(2018·河北唐山一模)(本小题满分12分)已知数列{a n }为单调递增数列，S n 为其前n 项和，2S n ＝a 2n ＋n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，证明：T n <12．解 (1)当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1，又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，则2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2．所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．(2)证明：b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1，所以T n ＝11×21－12×22＋12×22－13×23＋…＋1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1＝12－1(n ＋1)·2n ＋1<12．。

2020届高考数学二轮复习专题2三角函数、解三角形、平面向量第3讲平面向量练习理

第3讲平面向量专题复习检测A 卷1．已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a∥b ，则λ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－13【答案】B2．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0【答案】D3．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．10【答案】C4．(2019年山东模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( )A ．1B ． 2C ．12D ．22【答案】D【解析】由a⊥(a －b )，可得a·(a －b )＝a 2－a·b ＝0，所以a·b ＝a 2＝1.所以向量a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝12＝22.故选D ．5．(2019年湖南怀化模拟)在△ABC 中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD →＝λDC →，CE →＝13AB →＋μAC →，则λ＋μ＝( ) A ．13 B ．－13C ．76D ．－76【答案】B【解析】如图所示，由BD →＝λDC →，可得AD →－AB →＝λ(AC →－AD →)，则AD →＝11＋λAB →＋λ1＋λAC →.又E 是AD 的中点，所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋12AD →＝12(1＋λ)AB →＋－λ－22(1＋λ)AC →.又CE →＝13AB →＋μAC →，AB ，AC 不共线，所以12(1＋λ)＝13，－λ－22(1＋λ)＝μ，解得λ＝12，μ＝－56，则λ＋μ＝－13.故选B ．6．(2017年新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2b|＝________.【答案】2 3【解析】|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.7．(2019年新课标Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.【答案】23【解析】a·c ＝a·(2a －5b )＝2a 2－5a·b ＝2，c 2＝(2a －5b )2＝4a 2－45a·b ＋5b 2＝9，则|c|＝3.所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a||c|＝23.8．(2018年内蒙古呼和浩特一模)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2AC ＝2，满足|BA →－tBC →|≤3|AC →|的实数t 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 【解析】由题意，得AC ＝1，cos 〈BA →，BC →〉＝BA 2＋BC 2－AC 22BA ·BC ＝3＋4－123×2＝32.由|BA →－tBC →|≤3|AC →|，得BA →2－2t |BA →||BC →|cos 〈BA →，BC →〉＋t 2BC →2≤3AC →2，即3－2t ×23×32＋4t 2≤3，解得0≤t ≤32.9．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)求|a ＋b|的值；(2)当(a ＋2b )⊥(k a －b )时，求k 的值．【解析】(1)由已知，得a·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16， ∵|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b|＝4 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0. ∴k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.10．已知向量a ＝(cos x,2cos x )，b ＝(2cos x ，sin x )，函数f (x )＝a·b .(1)把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当a ≠0，a 与b 共线时，求f (x )的值．【解析】(1)∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12＋1.由－π2＋2k π≤2x －π12≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π24＋k π≤x ≤7π24＋k π，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π，7π24＋k π，k ∈Z .(2)∵a≠0，a 与b 共线，∴cos x ≠0.∴sin x cos x －4cos 2x ＝0.∴sin x ＝4cos x ，tan x ＝4.则f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝2cos 2x ＋2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2tan x tan 2x ＋1＝1017. B 卷11．(2017年新课标Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【答案】B【解析】如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线DA 所在直线为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)．设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，PA →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32≥－32，当x ＝0，y ＝32，即P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，PA →·(PB →＋PC →)有最小值－32.12．(2018年四川成都模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．－2 3D ．－3【答案】A【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．∴OC →＝53OA →－23OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2.由|AB →|＝2，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝4.① 又A ，B 在圆O 上，∴x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4.② 联立①②得x 1x 2＋y 1y 2＝2，∴OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，化简得56(x 21＋y 21)－13(x 22＋y 22)＋12(x 1x 2＋y 1y 2)＝56×4－13×4＋12×2＝3. 13．(2019年浙江)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．【答案】0 2 5【解析】由正方形ABCD 的边长为1，可得AB →＋AD →＝AC →，BD →＝AD →－AB →，AB →·AD →＝0， ∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|＝|λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5AB →＋λ5AD →＋λ6AD →－λ6AB →|＝|(λ1－λ3＋λ5－λ6)·AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD →|.要使|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|最小，只需要|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝0，此时只需取λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝1，λ4＝1，λ5＝1，λ6＝1，此时所求最小值为0.又|(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)·AD →|2＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)2＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)2≤(|λ1|＋|λ3|＋|λ5－λ6|)2＋(|λ2|＋|λ4|＋|λ5＋λ6|)2＝(2＋|λ5－λ6|)2＋(2＋|λ5＋λ6|)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)＋(λ5－λ6)2＋(λ5＋λ6)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)2＋2(λ25＋λ26)＝12＋42(λ25＋λ26)＋2|λ25－λ26|＝20，当且仅当λ1－λ3，λ5－λ6均非负或均非正，并且λ2－λ4，λ5＋λ6均非负或均非正，可取λ1＝1，λ2＝1，λ3＝－1，λ4＝－1，λ5＝1，λ6＝1，则所求最大值为20＝2 5.14．(2019年四川眉山模拟)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】(1)证明：因为m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，m∥n ，所以a sin A ＝b sin B .结合正弦定理，可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．(2)因为m ＝(a ，b )，p ＝(b －2，a －2)，m⊥p ，所以m·p ＝a (b －2)＋b (a －2)＝0，则a ＋b ＝ab . 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，其中c ＝2，C ＝π3，所以a 2＋b 2－ab ＝4，则(a ＋b )2－3ab －4＝0. 所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4(ab ＝－1舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。

2020年新高考数学小题专题练(二)三角函数与平面向量

小题专题练（二）三角函数与平面向量、选择题1 . （2019昆明市诊断测试）在平面直角坐标系中，角与单位圆交于点P （— 5, 5），则sin （ a+ 7）=（2. （2019湖南省五市十校联考）已知向量a , b 满足 |a |= 1, |b |= 2, a (a —2b )= 0，则 |a +B .为奇函数，在n（0, ~）上单调递增3 nD .周期为n 图象关于点（-^, 0）对称107、210b |=( )A. ,6B. ,5 D. .3 3. （2019洛阳尖子生第二次联考）在厶ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD = 2DC ,点O 在线段CD 上（与点C , D 不重合）.若A O = X A B + （1 — x ）AC ，贝y x 的取值范围是（） (0, 1) B . (3 1)1 （°，1） 1 2 D . (3, 3) 4. n （2019 •东六校第一次联考）将函数f （x ）= cos 2x 的图象向右平移—个单位长度后得到函数g （x ）的图象，贝U g （x ）具有性质（） A .最大值为1, 图象关于直线x =n 对称C •为偶函数，在 3 n n（— 百,―）上单调递增a 的始边与X 轴的正半轴重合，终边 5 .函数 f(x)= cos 2 x ——sin 2x 在 0,亍的值域是（A.3 _3 4， 2B.3 4,4D ・47. （2019长春市质量监测（一））在厶ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,若b1=acos C + 2c ,则角 A 等于（）A .60°B .120°C .45°D .135°8 .（2019开封模拟）已知△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b ,ABC 的面积为4 3,且2bcos A + a = 2c , a + c = 8,则其周长为( )A .10B .12C .8 + 3D .8 + 2 .39 .设厶ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a ,b,c ,且满足 nf — 2A= —, a = 2, cos B —2小 cos2-sin A =— sin As in B ,则边长 b 的值为( ).2 + 6.6 — \ 2A. 2B .2C ¥10. 在厶 ABC 中，若(sin A + sin B) : (sin A + sin C) : (sin B + sin C) = 4 : 5 : 6,且该三角形的面积为15.3，则△ ABC 的最大边长等于()A . 12B . 14C . 16D . 1811.侈选)若角A ,B ,C 是厶ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A . cos(A + B)= cos CB . sin(A + B)= — sinC A +C . B_ B +C AC . cos 2 =sin 2D . sin 2 =cos12. (多选)已知函数 f(x)= As in 3 x(A > 0, 分图象如图所示，则()A . A = 1nC . 3 = T13.(多选)函数f(x) = sin 2x —』3(COS 2X — sin,)的图象为C ,如下结论正确的是( )PC ）等于（）C.43 > 0)与 g(x)= ^cos B . A = 2D . 3 =3nA . f(x)的最小正周期为nB .对任意的x€ R，都有f x + ： + f ~6—x =0C . f(x)在—12, 5才上是增函数D .由y= 2sin 2x的图象向右平移才个单位长度可以得到图象C二、填空题n 1 …14. ________________________________________________________________________ (2019广州市调研测试)设B为第二象限角，若tan(B+&)=㊁，则cos 0 = ______________________ .n r r . —15. __________________ (2019湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，/ C = ~2，AB=4, AC = 2,右AD =|A B,^C D C B = .i,z n I 1 1 116. 已知函数f(x) = sin ax—— +1，3 >0, x€ R，且f( a)= —|, f( 3 =㊁若|a— 3的最小值为3n，则告=—__,函数f(x)的单调递增区间为______________________ .17. ________________________ (2019贵阳模拟)已知锐角厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a= 1, 2acos C+ C= 2b，则角A= ______________________________ , △ ABC的周长的取值范围是_______________________ .小题专题练(二)三角函数与平面向量4 3 n n1.解析：选A.由题意，得sina = 5, cos a = —5,所以Sin( a+：)= sin a CO^ +n 2cos a sin"4 = 10.故选A.2.解析：选A.由题意知，a (a —2b) = a2—2a b = 1 —2a b = 0,所以2a b = 1，所以|a + b| =,a2+ 2a b+ b2= 1 + 1 + 4= .6.故选 A.—> —> —> —> —> —> —> —> —> —>3. 解析：选C.通解：AO= xAB+ (1 —x)AC = x(AB—AC) + AC,即AO —AC = x(AB—AC),所以CO = X C B，所以JCOJ= x.因为BD = 2DC，所以BC = 3DC，贝U 0<x<JDC|= 1，所以x 的取3|CB| |BC|1 值范围是(0, 3)，故选C .优解：设BO = ?BC ,入 €(2, 1),则AO = AB + EBO = AB + 疋总=(1 — R AB + A C = xAB +3 ~i-t r1(1 — X )A C ，则 x = 1 - 入€ (0, 3)，故选 C.n4.解析：选B.将函数f(x) = cos 2x 的图象向右平移 —个单位长度后得到函数g(x)= cos[2(xn—)]=sin 2x 的图象，则函数g(x)的最大值为1,其图象关于直线n n n故选项A 不正确；函数g(x)为奇函数，当x € (0,壬)时，2x € (0, y)，故函数g(x)在(0，匸)上单调递增，故选项B 正确，选项C 不正确；函数g(x)的周期为n ,其图象关于点(号，0)你€ Z ) 对称，故选项D 不正确.故选B.5 .解析：选 A.f(x) = cos 2 |x —6 L sin 「x = 2 1 + cos'2x —~1& 解析：选B.因为△ ABC 的面积为4.3，所以？acsin B = 4 . 3 •因为2bcos A + a = 2c ,所k n , n x =2 + —(k € Z )对称,1 1—^(1 — cos 2x) = 2cos 2x -专 +cos 2x = 1p23sini n I sin 2x+§.因为x € 0, -2 I,所以2x +sin 2x +才 w 1,所以一4w f(x)三于•故选A.6.解析：选 A.如图，因为 AP = 2PM ，所以 AP = PB + PC ，所以 PA (PB + PC) = — PA 2, 因为 AM = 1 且AP = 2PM ，所以 |PA|= 2,1 1 即 sin(A + C) = sin Acos C + ?si n C ,即卩 sin Acos C + cos As in C = sin Acos C +?s in C ,所以 cos 1 1As in C = 2sin C ,又在△ ABC 中，sin C M 0，所以 cos A = 2，所以 A = 60°,故选 A.2 2 21b + a —c 1 2 2 22法一：由b = acos C+： c 及余弦定理，可得 b = a • +~ c ,即2b = b + a — c +2 2ab 2 2 2 2b +c — a 1be ,整理得 b 2+ c 2— a 2= be ,于是 cos A = 応 =?,所以 A = 60°，故选 A.所以一辛所以 S A (PB + PC)= — 4 故选A.7.解析：选A.法一:由b = 1sin B = sin Acos C + ?si n C ,3以由正弦定理得 2sin Bcos A + sin A = 2sin C ,又 A + B + C = n ,所以 2sin Bcos A + sin A = 2sin1 、Acos B + 2cos As in B ,所以 sin A = 2cos Bsin A ,因为 sin A 丰 0,所以 cos B = ，因为 0<B<n,n所以B =—，所以ac = 16，又a + c = 8，所以a = c = 4，所以△ ABC 为正三角形，所以△ ABC3 的周长为3X 4= 12.故选B.2 2 29.解析：选 A.在厶 ABC 中，cos B — cos C — sin A =— sin Asin B , 所以(1 — sin 2B )—(1 — sin 2C) — sin 2A =— sin Asin B , 所以 si n 2C — si n 2B — sin 2A =— sin As in B ，所以 a 2+ b 2— c 2= ab ,1n所以cos C =㊁，又因为C € (0, n )，所以C =—,=15 3, a 2 = 36,解得 a = 6, 故 c = fa = 7X 6 = 14,选 B.11•解析：选 CD.因为 A + B 十 C = n ,所以 A + B = n — C , A +十C = n—B , B +十C =n又A =-，n n 5 n3 —4 = 12 .根据正弦定理 a ____sin A sin B ‘得b = as in Bsin A =2si 门竽 12=2sin故选A.10.解析: 选B.依题意可得sin A + sin B sin A + sin C 5,船畔=-根据正弦定理可得4 a + b5 'b + ca + 5b = 4c 6a + 2b = 4c5 7，解得b = 3a , c = 3a ,故厶ABC 的最大边长为 c.由 cos C = a 2 + b 2 — 2ab2 丄 25 249 2a 十 a — a 9 95 2a x 3a11,可得^absin C =fa xA + C n cos2 =cos 2=sin B ,sinB +C 2sin 专—A = cos A 2. 12.解析：选BC.由题图可得过点 (0, 1)的图象对应的函数解析式为Ag(x) = cos 3 x , sin C =依题意可得3所以 cos(A + B)= cos(n — C)=— cos C , sin(A + B)= sin( n — C) = sin C ,A = 1, A = 2.过原点的图象对应函数f(x)= Asin 3 x.由f(x)的图象可知,2 nT =——=1.5 x 4,可n3.13.解析：选 ABC. f(x) = sin 2x — 3(cos 2x — sin 2x) = sin 2x — 3cos 2x = 2sin 2x —石.所以2sin 2x^ —n = o ,即函数f (x)的图象关于< 6 3 ./D 错误.故选ABC.14.解析：法一：tan 0 _L 1 1 1由已知可得1—tan 0= 2，解得tan 0 一？.因为0为第二象限角,"sin B _1所以 cos 0 <0,由 cos °3,可得 geos 2 0 + cos 2 0 = 1，故 cos 2 0 =倉，得 cos 02 2 9 10sin 0 + cos 0 = 1=_ 3航 =—10 .tan 0 —L 1 1 1法二：由已知可得=3，解得tan 0 = —&.因为0为第二象限角，所以cos 01 — ta n 02 3—x 3 10<0，不妨设P( — 3, 1)为0终边上一点，贝U r =10,故cos 0 = = 一〒^.15 .解析：通解：由/ C = ~, AB = 4, AC = 2, 得 CB = 2 3, CA CB = 0.CD CB = (CA-> ->-> ->3 ~~>3 ~>->-> 3 ~2+ AD) CB = CA CB + 2AB CB = ?(CB — CA) • CB = "CB = 18.优解一：如图，以C 为坐标原点，CA , CB 所在的直线分别为 x , y 轴，建立平面直角坐标系，f(x)的最小正周期为-^= n,故A 正确；f n 6 =点扌,0对称，即对任意的 x € R ，都有f x7t6 x = 0成立，故 B 正确；当 x € 2，7，所以f(x)在［—$ 5n2广是增函数，故 C 正确;n由y = 2sin 2x 的图象向右平移石个单位长度得到3y = 2sin 2 2sin 2x —年【勺图象，故答案:3 .‘1010则C(0, 0), A(2, 0), B(0, 2 .3).由题意得/ CBA=-j6，又因为AD = 玮，所以D =(—1, 3 , 3)，则CDCB = (—1 , 3 .3) (0, 2 3) = 18.n —> —>优解二：因为/ C = —, AB= 4, AC= 2,所以CB= 2 3,所以AB在CB上的投影为2 3,又AD = —AB ，所以AD在C B上的投影为|x 2西=碍，则CD在C B上的投影为3/3，所以CD CB=|CB| | CD| •os CD , CB = 2 3X 3 3= 18.答案：18n ■ i 1116. 解析：函数f(x) = sin ax—6 + 2， 3 >0，x € R，由f( a)=- -, f( ® =-，且| a—日的最小值为^4-,得T=©^,即T= 3 n = -3.,所以3 =彳.所以f(x) = sin ^x—6 + gj则 f 34~ n 1 3 + 1 n 2 n n n=sin — + 2 = —.由一—+ 2k n w 十一—< —+ 2k n , k € Z，得一—+ 3k n < x< n + 3kn , k€ Z,即函数f(x)的单调递增区间为一才+ 3k n , n + 3k n L k€ Z.答案：匕—-2 + 3k n , n + 3k n , k€ Z17. 解析：由题意，2acos C + c= 2b,利用正弦定理，得2sin Acos C+ sin C= 2sin B, (1),将sin B = si n(A+ C) = sin Acos C+ cos Asin C 代入(1)式得sin C= 2cos As in C,又因为sin C 丰 0,1 n 2故cos A = 2’所以A= "3.由正弦定理可得，△ ABC的周长I A ABC =寸3(sin B+ sin C) + 1,将C=^n^—B 代入化简得I SBC= ^[sin B + si□(^^一B)] + 1 = 2sin(B + 青)+ 1,由0<2^—B<专及n nn n n 2 n 3 n—0<B<y，可得—<B<y，所以3<B+"6<2，所以^<s"(B + $)< 1,所以△ ABC 周长的取值范围是(.3+ 1, 3].答案：nn (.3+1, 3]D.6 .在△ ABC中，M是BC的中点，AM = 1，点P在AM上且满足AP = 2PM，则PA （PB +。

2020版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角变换、解三角形练习文苏教版(最新整理)

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第2讲三角变换、解三角形1．（2019·南通市高三模拟)已知sin错误!＝错误!，则sin错误!＋sin2错误!的值为________．［解析］ sin错误!＝sin错误!＝－sin错误!＝－错误!,sin2错误!＝sin2错误!＝cos2错误!＝错误!，则sin错误!＋sin2错误!＝－错误!＋错误!＝错误!．[答案] 错误!2．（2019·扬州模拟)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC 的形状为________．[解析] 由正弦定理asin A＝错误!＝错误!＝2R（R为△ABC外接圆半径)及已知条件sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x（x〉0）．则cos C＝错误!＝错误!〈0，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．［答案] 钝角三角形3．(2019·江苏省高考名校联考(二）)若cos错误!cos错误!＝－错误!,α∈错误!，则sin 2α＝________．［解析] cos错误!cos错误!＝错误!·错误!＝－错误!,则错误!cos 2α＋错误!sin 2α＝－错误!，可得错误!又α∈错误!，解得cos 2α＝－错误!，sin 2α＝错误!．[答案］1 24．(2019·无锡模拟)计算错误!的值为________．［解析] 错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．[答案］1 25．在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是________．［解析］由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，可得错误!＝－1，即tan（A＋B）＝－1，所以A＋B＝错误!,则C＝错误!，cos C＝错误!．［答案］错误!6．（2019·南京市四校第一学期联考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sin B＝45，cos B＝错误!，则b的值为________．[解析］因为2b＝a＋c，sin B＝错误!，cos B＝错误!，sin2B＋cos2B＝1，所以ac＝15,所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－48＝4b2－48，得b＝4．［答案] 47．已知cos θ＝－错误!，θ∈（－π，0）,则sin错误!＋cos错误!＝________________________________________________________________________．［解析］因为θ∈(－π，0），所以sin θ＝－错误!＝－错误!，因为sin θ<cos θ<0，所以θ∈错误!，错误!∈错误!，所以－1<sin错误!<－错误!，0〈cos错误!〈错误!，故sin错误!＋cos错误!〈0,sin错误!＋cos错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!．[答案] －错误!8．（2019·苏州第一次调研)已知a，b,c是△ABC中角A，B,C的对边，a＝4，b∈（4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________．[解析] 由错误!＝错误!，得错误!＝错误!,所以c＝8cos A，因为16＝b2＋c2－2bc cos A，所以16－b2＝64cos2A－16b cos2A，又b≠4，所以cos2A＝错误!＝错误!＝错误!，所以c2＝64cos2A ＝64×错误!＝16＋4b．因为b∈（4，6），所以32<c2<40，所以4错误!〈c<2错误!．［答案］（4错误!，2错误!）9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b，c，已知a＝2错误!，c＝2错误!，1＋错误!＝错误!，则C＝________．[解析］由1＋错误!＝错误!和正弦定理得cos A sin B＋sin A cos B＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，因为在三角形中sin C≠0，所以cos A＝错误!，则A＝60°．由正弦定理得错误!＝错误!,则sin C＝错误!，又c<a，则C〈60°，故C＝45°．[答案］ 45°10．（2019·扬州市第一学期期末检测）设a，b是非零实数，且满足错误!＝tan错误!,则错误!＝______．［解析］因为错误!＝tan错误!，所以错误!＝错误!，所以a cos错误!sin错误!＋b cos错误!cos 错误!＝a sin错误!cos错误!－b sin错误!sin错误!，所以a（sin错误!cos错误!－cos错误!·sin错误!)＝b(cos错误!cos错误!＋sin错误!sin错误!），即a sin(错误!－错误!)＝b cos(错误!－错误!)，a sin 错误!＝b cos错误!，所以错误!＝tan错误!＝错误!．［答案] 311．在△ABC中,已知AB＝2,AC＝3,A＝60°．（1）求BC的长;（2）求sin 2C的值．[解］（1）由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝错误!．（2)由正弦定理知，错误!＝错误!，所以sin C＝错误!·sin A＝错误!＝错误!．因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝错误!＝错误!＝错误!．因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×错误!×错误!＝错误!．12．(2019·南通市高三模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a＋b －c)(a＋b＋c)＝ab．(1)求角C的大小；(2)若c＝2a cos B，b＝2，求△ABC的面积．［解］ (1)在△ABC中，由（a＋b－c)（a＋b＋c)＝ab，得错误!＝－错误!，即cos C＝－错误!．因为0<C<π，所以C＝错误!．(2)法一:因为c＝2a cos B，由正弦定理,得sin C＝2sin A cos B,因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)，所以sin(A＋B)＝2sin A cos B，即sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin(A－B）＝0,又－错误!〈A－B〈错误!，所以A－B＝0，即A＝B,所以a＝b＝2．所以△ABC的面积为S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!×2×2×sin错误!＝错误!．法二：由c＝2a cos B及余弦定理，得c＝2a×a2＋c2－b22ac，化简得a＝b，所以△ABC的面积为S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!×2×2×sin错误!＝错误!．13．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C 所对的边，且满足a cos B＋b cos A＝错误!．(1）求证：A＝C；(2)若b＝2，错误!·错误!＝1，求sin B的值．［解] （1）由正弦定理，得sin A cos B＋sin B cos A＝错误!,即(sin A cos B＋sin B cos A)cos C＝sin（A＋B)cos C＝sin C cos A．因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin C，所以sin C cos C＝sin C cos A．因为C是△ABC的内角，所以sin C≠0，所以cos C＝cos A．又A，C是△ABC的内角，所以A＝C．(2)由（1)知，A＝C,所以a＝c,所以cos B＝错误!＝错误!．因为错误!·错误!＝1，所以a2cos B＝a2－2＝1，所以a2＝3．所以cos B＝错误!．又B∈（0，π)，所以sin B＝1－cos2B＝错误!．14．（2019·江苏省高考名校联考（四）)已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且acos A＋错误!＝错误!．(1)证明：cos A cos B＝cos C；(2)若b2＋c2－a2＝23bc，求tan C的值．［解］（1)证明：因为错误!＋错误!＝错误!，所以由正弦定理可知错误!＋错误!＝错误!,即sin A cos B＋cos A sin Bcos A cos B＝错误!＝错误!．因为在△ABC中，sin（A＋B）＝sin C≠0,所以cos A cos B＝cos C．（2)因为b2＋c2－a2＝错误!bc，根据余弦定理可知cos A＝错误!＝错误!,因为A为三角形的内角，所以sin A＝错误!，tan A＝2错误!．由cos A cos B＝cos C和A＋B＋C＝π得，cos A cos B＝cos C＝－cos（A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B，所以2cos A cos B＝sin A sin B,所以tan A tan B＝2，由tan A＝2错误!得，tan B＝错误!，所以tan C＝－tan(A＋B)＝－错误!＝错误!．。

2020江苏高考理科数学二轮练习：小题专题练(二) 三角函数、平面向量 Word版含解析

小题专题练(二) 三角函数、平面向量(建议用时：50分钟)1．(2019·宿迁模拟)在平面直角坐标系中，已知向量AB →＝(2，1)，向量AC →＝(3，5)，则向量BC →的坐标为________．2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于________．3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________．4．已知sin 2α＝35⎝⎛⎭⎫π4＜α＜π2，tan(α－β)＝12，tan ()α＋β＝________． 5．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 6．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________． 7．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B－A )＝2sin 2A ，则A ＝____________．9．已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，则下列结论中正确的序号是________． ①函数f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，5π12上是增函数；④将y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数f (x )的图象．10．(2019·淮安模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0≤φ<2π)在R 上的部分图象如图所示，则f (2 018)的值为________．11．(2019·辽宁师大附中模拟) 已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________．12．甲船从位于海岛B 正南10海里的A 处，以4海里/小时的速度向海岛B 行驶，同时乙船从海岛B 以6海里/小时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时．13．已知角φ的终边经过点P (1，－1)，点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________． 14．如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP →·CQ →的取值范围是________．参考答案与解析1．解析：BC →＝AC →－AB →＝(1，4)．答案：(1，4)2．解析：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tanα＝sin αcos α＝－5131213＝－512.答案：－5123．解析：在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，有3sin 2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22.因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4.答案：π44．解析：因为π4＜α＜π2，所以π2＜2a ＜π，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan （α－β）1＋tan 2αtan （α－β）＝－2.答案：－2 5．解析：因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .答案：π6．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.答案：07．解析：由AP →⊥BC →，知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λAB→2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案：7128．解析：在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，所以cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ，①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，所以a ＝233，b ＝433，所以b 2＝a 2＋c 2，所以B ＝π2，所以A ＝π6.综上可得，A ＝π2或π6.答案：π2或π69．解析：f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，当k ＝1时，函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝11π12，所以①正确；令2x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝1时，函数f (x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫2π3，0，所以②正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以当k ＝0时，函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，所以③错误；将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，所以④错误．所以正确的序号是①②. 答案：①②10．解析：由题图知A ＝5，T ＝12，从而ω＝π6，φ＝π6，解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6，故f (2 018)＝f (2)＝5.答案：511．解析：由a ，b 是单位向量，且a·b ＝0，可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )．因为向量c 满足|c －a －b |＝1，所以（x －1）2＋（y －1）2＝1，即(x －1)2＋(y －1)2＝1.该方程表示圆心为(1，1)，半径为1的圆，所以2－1≤|c |＝x 2＋y 2≤2＋1，所以|c |的取值范围是[2－1，2＋1]．答案：[2－1，2＋1]12．解析：如图，设经过x 小时后，甲船行驶到D 处，乙船行驶到C 处时两船相距最近，则AD ＝4x ，BC ＝6x ，则BD ＝10－4x ，由余弦定理知，CD 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2×(10－4x )×6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142＋6757，若甲行驶2.5小时，则甲船到达海岛B ，因而若x <2.5，则当x ＝514时距离最小，且最小距离为6757＝15217，若x ≥2.5，则BC ≥6×2.5＝15>15217，因而当两船相距最近时，两船行驶514小时．答案：51413．解析：结合三角函数图象，可知函数的最小正周期为2π3，则ω＝3，因为角φ的终边经过点P (1，－1)，所以不妨取φ＝－π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4，f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin 5π4＝－22. 答案：－2214．解析：以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则P ，Q 在以O 为圆心的单位圆上，设P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，又A (－1，－1)，C (1，1)所以AP →＝(cos α＋1，sin α＋1)，CQ →＝ (cos β－1，sin β－1)所以AP →·CQ →＝(cos α＋1)·(cos β－1)＋(sin α＋1)·(sin β－1)＝cos αcos β＋cos β－cos α－1＋sin αsin β＋sin β－sin α－1＝(cos αcos β＋sin αsin β)＋(sin β＋cos β)－(sin α＋cos α)－2＝cos(α－β)＋2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2，当cos(α－β)＝－1且sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝－1 且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1时，则AP →·CQ →有最小值，此时α－β＝(2k ＋1)π且β＝54π＋2k π且α＝π4＋2k π，(k ∈Z )，所以AP →·CQ →能取到最小值－3－22，AP →·CQ →夹角范围是[90°，180]，故AP →·CQ →有最大值0，所以AP →·CQ →的取值范围是[－3－22，0]．答案：[－3－22，0]。

2020版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量练习 1

第1讲等差数列与等比数列1．(2019·南京模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10＝________． [解析] 法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3＝±4．由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1．于是a 20a 10＝q 10＝1．法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－4，a 8＝12．因为a 26＝a 4a 8>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4，则公比q 满足q 4＝1，q 2＝1，所以a 20a 10＝q 10＝1．[答案] 12．(2019·宿迁模拟)若等差数列{a n }满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________．[解析] 由S 3＝3a 2，得a 2＝1，由S 5＝5a 3，得a 3＝2，则a 4＝3，S 7＝7a 4，则a 4＋S 7＝8a 4＝24．[答案] 243．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2n ＋1a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12a n ＋2n，b n ＝2na n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式是________．[解析] 由已知得a n ＋12n ＋1＝a n⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12a n ＋2n (n ∈N *)，则2n ＋1a n ＋1＝2na n ＋n ＋12(n ∈N *)，即b n ＋1－b n ＝n ＋12(n ∈N *)，所以b 2－b 1＝1＋12，b 3－b 2＝2＋12，…，b n －b n －1＝(n －1)＋12，累加得b n －b 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －12＝（n －1）n 2＋n －12＝n 2－12，又b 1＝2a 1＝1，所以b n ＝n 2－12＋1＝n 2＋12．[答案] b n ＝n 2＋124．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．[解析] 因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2a n (1＋q 2)＝5a n q ，所以2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12．因为数列为递增数列，且a 1>0，所以q >1，所以q ＝2． [答案] 25．(2019·苏锡常镇四市高三教学调研(一))中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马最后一天行走的里程数为______．[解析] 由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为{a n }，易知公比q ＝12，则S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝2a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1128＝12764a 1＝700，所以a 1＝700×64127，所以a 7＝a 1q 6＝700×64127×⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝700127，所以这匹马最后一天行走的里程数为700127．[答案] 7001276．(2019·苏州市第一学期学业质量调研)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝______．[解析] 法一：设等比数列{a n }的公比为q ，若公比q 为1，则S 5S 10＝12，与已知条件不符，所以公比q ≠1，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，因为S 5S 10＝13，所以1－q 51－q 10＝13，所以q 5＝2，所以S 5S 20＋S 10＝1－q 51－q 20＋1－q 10＝1－21－24＋1－22＝118．法二：因为S 5S 10＝13，所以不妨设S 5＝a ，S 10＝3a ，a ≠0，易知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，S 20－S 15成等比数列，由S 5＝a ，S 10－S 5＝2a ，得S 15－S 10＝4a ，S 20－S 15＝8a ，从而S 20＝15a ，所以S 5S 20＋S 10＝a 15a ＋3a ＝118．[答案] 1187．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么a n ＋b n 组成的数列的第37项的值为________．[解析] {a n }，{b n }都是等差数列，则{a n ＋b n }为等差数列，首项为a 1＋b 1＝100，d ＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－100＝0，所以{a n ＋b n }为常数数列，第37项为100．[答案] 1008．(2019·南京市四校第一学期联考)已知各项均为正数的等比列{a n }中，a 2＝3，a 4＝27，S 2n 为该数列的前2n 项和，T n 为数列{a n a n ＋1}的前n 项和，若S 2n ＝kT n ，则实数k 的值为______．[解析] 因为各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝3，a 4＝27，所以a 1＝1，公比q ＝3，所以S 2n ＝1×（1－32n）1－3＝32n－12，a n ＝3n －1．令b n ＝a n a n ＋1＝3n －1·3n ＝32n －1，所以b 1＝3，数列{b n }为等比数列，公比q ′＝9，所以T n ＝3×（1－9n ）1－9＝3（32n －1）8．因为S 2n ＝kT n ，所以32n－12＝k ·3（32n－1）8，解得k ＝43．[答案] 439．(2019·泰州市高三模拟)已知公差为2的等差数列{a n }及公比为2的等比数列{b n }满足a 1＋b 1>0，a 2＋b 2<0，则a 3＋b 3的取值范围是________．[解析] 法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1>0a 1＋2b 1<－2，该不等式组在平面直角坐标系a 1Ob 1中表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当a 3＋b 3＝a 1＋4＋4b 1经过点(2，－2)时取得最大值－2，则a 3＋b 3<－2．法二：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1>0a 1＋2b 1<－2，则a 3＋b 3＝a 1＋4＋4b 1＝－2(a 1＋b 1)＋3(a 1＋2b 1)＋4<－2，故a 3＋b 3的取值范围是(－∞，－2)．[答案] (－∞，－2) 10．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0．其中所有正确判断的序号是________．[解析] 由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a n }是等比数列，且公比q ＝1时，{a n }不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．[答案] ①④11．(2019·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：因为a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，所以a 2＋2a 1＝15，所以a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，所以a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，所以数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n，所以a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又因为a 1－3＝2，所以a n －3n≠0，所以{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．所以a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．12．(2019·苏州市高三模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1－nq ，n ∈N *，p ，q ∈R ．(1)若q ＝0，且数列{a n }为等比数列，求p 的值；(2)若p ＝1，且a 4为数列{a n }的最小项，求q 的取值范围． [解] (1)因为q ＝0，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1，所以a 2＝a 1＋p ＝12＋p ，a 3＝a 2＋3p ＝12＋4p ．由数列{a n }为等比数列，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4p ，解得p ＝0或p ＝1．当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，所以a n ＝12，符合题意；当p ＝1时，a n ＋1－a n ＝3n －1，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝12＋(1＋3＋…＋3n －2)＝12＋1－3n －11－3＝12·3n －1，所以a n ＋1a n＝3．符合题意．所以p 的值为0或1． (2)因为p ＝1，所以a n ＋1－a n ＝3n －1－nq ，又a 4为数列{a n }的最小项，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4－a 3≤0a 5－a 4≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧9－3q ≤027－4q ≥0，所以3≤q ≤274．此时a 2－a 1＝1－q <0，a 3－a 2＝3－2q <0，所以a 1>a 2>a 3≥a 4．当n ≥4时，令b n ＝a n ＋1－a n ，b n ＋1－b n ＝2·3n －1－q ≥2·34－1－274>0，所以b n ＋1>b n ，所以0≤b 4<b 5<b 6<…，即a 4≤a 5<a 6<a 7<…．综上所述，当3≤q ≤274时，a 4为数列{a n }的最小项，即所求q 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，274．13．已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数的均值为C n －1．(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求C 1，C 2，C 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{C n ＋1－λC n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由．[解] (1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10，所以在a 1与a 2之间插入－1，0，C 1＝－12．在a 2与a 3之间插入2，3，4，C 2＝3．在a 3与a 4之间插入6，7，8，9，C 3＝152．(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差数列，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1，所以C n －1＝n （a n －1＋a n ）2n＝a n －1＋a n 2＝n 2＋2n －92．假设存在λ使得{C n ＋1－λC n }是等差数列．所以(C n ＋1－λC n )－(C n －λC n －1) ＝C n ＋1－C n －λ(C n －C n －1) ＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，所以λ＝1．即λ＝1时，{C n ＋1－λC n }是等差数列．14．(2019·无锡期中检测)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，其前n 项和为T n ，且b 2＋S 2＝11，2S 3＝9b 3．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)问是否存在正整数m ，n ，r ，使得T n ＝a m ＋r ·b n 成立？如果存在，请求出m ，n ，r 的关系式；如果不存在，请说明理由．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋3＋d ＝11，2（3＋3＋d ＋3＋2d ）＝9q 2，解得d ＝3，q ＝2．所以a n ＝3n ，b n ＝2n －1．(2)因为T n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n－1，所以有2n－1＝3m ＋r ·2n －1．(*)若r ≥2，则r ·2n －1＞2n－1，(*)不成立，所以r ＝1，m ＝2n －1－13．若n 为奇数，①当n ＝1时，m ＝0，不成立， ②当n ＞1时，设n ＝2t ＋1，t ∈N *，则m ＝2n －1－13＝22t －13＝4t－13∈Z ；若n 为偶数，设n ＝2t ，t ∈N *，则m ＝2n －1－13＝22t －1－13＝2·4t －1－13＝2·4t －1－13＋13，因为4t －1－13∈Z ，所以m ∉Z ．综上所述，存在正整数m ，n ，r ，使得T n ＝a m ＋r ·b n 成立，此时n 为大于1的奇数，r ＝1，且m ＝2n －1－13．第1讲等差数列与等比数列[2019考向导航]1．必记的概念与定理 (1)a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n－S n －1， n ≥2．(2)等差数列和等比数列2．记住几个常用的公式与结论 (1)等差数列的性质①在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m； ②当公差d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的常数项为0的二次函数．③若公差d >0，则数列为递增等差数列，若公差d <0，则数列为递减等差数列，若公差d ＝0，则数列为常数列．④当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p ． ⑤若{a n }是等差数列，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列．⑥在等差数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S偶＝a 中，S 2n －1＝(2n －1)·a 中(这里a 中即a n )，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．⑦若等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且A n B n ＝f (n )，则a n b n ＝（2n －1）a n （2n －1）b n ＝A 2n －1B 2n －1＝f (2n －1)．⑧“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和．法一：由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0)确定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n∈N*．⑨如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．(2)等比数列的性质①在等比数列{a n}中，a n＝a m q n－m，q＝n－m ana m；②当m＋n＝p＋q时，则有a m·a n＝a p·a q，特别地，当m＋n＝2p时，则有a m·a n＝a2p．③若{a n}是等比数列，且公比q≠－1，则数列S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也是等比数列．当q＝－1，且n为偶数时，数列S n，S2n－S n，S3n－S2n，…是常数列{0，0，0，…}，它不是等比数列．④若a1>0，q>1，则{a n}为递增数列；若a1<0，q>1, 则{a n}为递减数列；若a1>0，0<q<1，则{a n}为递减数列；若a1<0，0<q<1, 则{a n}为递增数列；若q<0，则{a n}为摆动数列；若q＝1，则{a n}为常数列．3．需要关注的易错易混点(1)用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n＋1－a n＝d和a n－a n－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．(2)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．(3)由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0．等差数列与等比数列基本量的运算[典型例题](1)(2019·高考江苏卷)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．(2)(2019·苏北三市高三模拟)在公比为q且各项均为正数的等比数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和．若a1＝1q2，且S5＝S2＋2，则q的值为________．【解析】(1)通解：设等差数列{a n}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d ＝a21＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16．优解：设等差数列{a n }的公差为d ．S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4(1＋3)＝16．(2)由题意得，a 3＋a 4＋a 5＝2，又a 1＝1q2，所以1＋q ＋q 2＝2，即q 2＋q －1＝0，所以q ＝－1±52，又q ＞0，所以q ＝5－12．【答案】 (1)16 (2)5－12(1)等差(比)数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d (q )，n ，S n ，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d (q )是等差(比)数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．[对点训练]1．(2019·江苏省高考名校联考(一))设S n 为数列{a n }的前n 项和，若数列{a n }与数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n ＋t (t ＜－1)分别是公比为q ，q ′的等比数列，则q ＋q ′的取值范围为________． [解析] 若q ＝1，则S n a n ＋t ＝n ＋t ，不成等比数列，故q ≠1，则S n a n ＋t ＝1－qnq n －1（1－q ）＋t ，考虑前三项1＋t ，1＋q q ＋t ，1＋q ＋q 2q 2＋t 成等比数列得，t ＝q 1－q ，反之，当t ＝q 1－q 时，S na n ＋t ＝1q n －1（1－q ）成等比数列，此时，公比为1q ，即q ′＝1q ．由t ＜－1，得q1－q＜－1，q ＞1，q ＋q ′＝q ＋1q＞2，故q ＋q ′的取值范围是(2，＋∞)．[答案] (2，＋∞)2．(2019·苏州市高三调研)已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时的n 的值为________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15，a 1＋9d ＝－10得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝35d ＝－5，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝40－5n ，得T n＝(40－5n )＋…＋(15－5n )＝165－30n ，因为|T n |≥0，又n ∈N *，故当n ＝5或6时，|T n |取得最小值15． [答案] 5或6等差、等比数列的判断与证明[典型例题](2019·江苏名校联考信息卷)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且对任意的m ，n ∈N *，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ．(1)求a 2a 1的值；(2)求证：{a n }为等比数列．【解】 (1)由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22．因为a 1>0，a 2>0，所以a 2＋2a 1＝2a 2，即a 2a 1＝2．(2)证明：法一：令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4，令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4．又a 2a 1＝2，所以a 4＝4a 2＝8a 1，a 3＝4a 1．由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4．两式相除，得（S n ＋2＋S 1）2（S n ＋1＋S 1）2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2，即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)，从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．以上两式相减，得a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列．又a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2n －1，n ∈N *．显然，a n ＝a 1·2n －1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列．法二：在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中，令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ．①令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2，② 在①中，用n ＋1代替n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2．③②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )，④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2·(a 2n ＋2－a 2n )，⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2．⑥ 将⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ，将⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n＝2．又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2n －1，n ∈N *．显然a n ＝a 1·2n －1满足题设．因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列．递推数列问题常见的处理方法(1)将第n 项和第n ＋1项合并在一起，看是否是一个特殊数列；若递推关系式含有a n 与S n ，则考虑是否可以将a n 与S n 进行统一．(2)根据递推关系式的结构特征确定是否为熟悉的、有固定方法的递推关系式向通项公式的转换类型，否则可以写出数列的前几项，看能否找到规律，即先特殊、后一般、再特殊．[对点训练]3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝b n －11＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)判断数列{1b n}是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，解得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n a n －1＝12(n ≥2，n ∈N *)．所以数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1．(2)因为a 1＝1，所以b 1＝2a 1＝2．因为b n ＝b n －11＋b n －1，所以1b n ＝1b n －1＋1，即1b n －1b n －1＝1(n ≥2)．所以数列{1b n }是首项为12，公差为1的等差数列．所以1b n ＝12＋(n －1)·1＝2n －12，故数列{b n }的通项公式为b n ＝22n －1．等差数列与等比数列的综合运用[典型例题](2018·高考江苏卷)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，求d 的取值范围； (2)若a 1＝b 1>0，m ∈N *，q ∈(1，m2]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．【解】 (1)由条件知：a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1，因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，即|(n －1)d －2n －1|≤1对n ＝1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得73≤d ≤52，因此，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，52．(2)由条件知：a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1．若存在d ，使得|a n －b n |≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)成立，即|b 1＋(n －1)d －b 1qn －1|≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)，即当n ＝2，3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1．因为q ∈(1，m2]，则1<qn －1≤q m≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －1n －1b 1>0，对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．因此，取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大值和数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小值(n ＝2，3，…，m ＋1)． ①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n （n －1）＝n （q n －q n －1）－q n ＋2n （n －1），当1＜q ≤21m 时，有q n ≤q m ≤2，从而n (q n －q n －1)－q n＋2>0．因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1单调递增，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大值为q m －2m ．②设f (x )＝2x (1－x )，当x >0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x<0，所以f (x )单调递减，从而f (x )<f (0)＝1．当2≤n ≤m 时，q nn q n －1n －1＝q （n －1）n ≤21n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n <1，因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1单调递减，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小值为q mm ．因此，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 1（q m －2）m ，b 1q mm ．等差数列与等比数列综合问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．首项和公差(公比)是等差(比)数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．[对点训练]4．(2019·江苏省高考名校联考(九))已知单调递增的等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝6，a 3＝8，正项数列{b n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝b 2n ＋2b n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：对任意实数m ，数列{b n ＋mb n ＋1}都是等差数列，并求该数列的公差；(3)设c n＝⎩⎪⎨⎪⎧－23，n ＝1，a n·bn －1b n·b n ＋1，n ≥2，d n＝a n（15－bn ＋1）－2b n ＋1b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ，并比较T n 与d n 的大小．[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1（1＋q ）＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝18，q ＝－23(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n．(2)当n ＝1时，4b 1＝b 21＋2b 1＋1，所以b 1＝1，当n ≥2时，4(S n －S n －1)＝4b n ＝b 2n ＋2b n ＋1－(b 2n －1＋2b n －1＋1)，所以(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0，因为b n ＋b n －1>0，所以b n －b n －1＝2，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝2n －1．因为b n ＋1＋mb n ＋2－(b n ＋mb n ＋1)＝(b n ＋1－b n )＋m (b n ＋2－b n ＋1)＝2＋2m ，所以对任意实数m ，数列{b n ＋mb n ＋1}都是等差数列，且该数列的公差为2＋2m ．(3)因为当n ≥2时，c n ＝2n ·（2n －3）（2n －1）·（2n ＋1）＝2n ＋12n ＋1－2n2n －1，又c 1＝－23也符合此式，所以c n ＝2n ＋12n ＋1－2n2n －1，所以T n ＝(21＋13－2)＋(22＋15－21＋13)＋…＋(2n ＋12n ＋1－2n 2n －1)＝2n ＋12n ＋1－2．又d n ＝a n （15－b n ＋1）－2b n ＋1b n ＋1＝2n ＋1（7－n ）2n ＋1－2，所以T n －d n ＝2n ＋12n ＋1－2－[2n ＋1（7－n ）2n ＋1－2]＝2n ＋1（n －6）2n ＋1，当n <6时，2n ＋1（n －6）2n ＋1<0，所以T n <d n ；当n ＝6时，2n ＋1（n －6）2n ＋1＝0，所以T n ＝d n ；当n >6时，2n ＋1（n －6）2n ＋1>0，所以T n >d n ．1．(2019·南京模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10＝________． [解析] 法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3＝±4．由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1．于是a 20a 10＝q 10＝1．法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－4，a 8＝12．因为a 26＝a 4a 8>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4，则公比q 满足q 4＝1，q 2＝1，所以a 20a 10＝q 10＝1．[答案] 12．(2019·宿迁模拟)若等差数列{a n }满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________．[解析] 由S 3＝3a 2，得a 2＝1，由S 5＝5a 3，得a 3＝2，则a 4＝3，S 7＝7a 4，则a 4＋S 7＝8a 4＝24．[答案] 243．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2n ＋1a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12a n ＋2n，b n ＝2na n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式是________．[解析] 由已知得a n ＋12n ＋1＝a n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12a n ＋2n(n ∈N *)，则2n ＋1a n ＋1＝2na n ＋n ＋12(n ∈N *)，即b n ＋1－b n ＝n ＋12(n ∈N *)，所以b 2－b 1＝1＋12，b 3－b 2＝2＋12，…，b n －b n －1＝(n －1)＋12，累加得b n －b 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －12＝（n －1）n 2＋n －12＝n 2－12，又b 1＝2a 1＝1，所以b n ＝n 2－12＋1＝n 2＋12．[答案] b n ＝n 2＋124．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．[解析] 因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2a n (1＋q 2)＝5a n q ，所以2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12．因为数列为递增数列，且a 1>0，所以q >1，所以q ＝2． [答案] 25．(2019·苏锡常镇四市高三教学调研(一))中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马最后一天行走的里程数为______．[解析] 由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为{a n }，易知公比q ＝12，则S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝2a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1128＝12764a 1＝700，所以a 1＝700×64127，所以a 7＝a 1q 6＝700×64127×⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝700127，所以这匹马最后一天行走的里程数为700127．[答案] 7001276．(2019·苏州市第一学期学业质量调研)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝______．[解析] 法一：设等比数列{a n }的公比为q ，若公比q 为1，则S 5S 10＝12，与已知条件不符，所以公比q ≠1，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，因为S 5S 10＝13，所以1－q 51－q 10＝13，所以q 5＝2，所以S 5S 20＋S 10＝1－q 51－q 20＋1－q 10＝1－21－24＋1－22＝118．法二：因为S 5S 10＝13，所以不妨设S 5＝a ，S 10＝3a ，a ≠0，易知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，S 20－S 15成等比数列，由S 5＝a ，S 10－S 5＝2a ，得S 15－S 10＝4a ，S 20－S 15＝8a ，从而S 20＝15a ，所以S 5S 20＋S 10＝a 15a ＋3a ＝118．[答案] 1187．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么a n ＋b n 组成的数列的第37项的值为________．[解析] {a n }，{b n }都是等差数列，则{a n ＋b n }为等差数列，首项为a 1＋b 1＝100，d ＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－100＝0，所以{a n ＋b n }为常数数列，第37项为100．[答案] 1008．(2019·南京市四校第一学期联考)已知各项均为正数的等比列{a n }中，a 2＝3，a 4＝27，S 2n 为该数列的前2n 项和，T n 为数列{a n a n ＋1}的前n 项和，若S 2n ＝kT n ，则实数k 的值为______．[解析] 因为各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝3，a 4＝27，所以a 1＝1，公比q ＝3，所以S 2n ＝1×（1－32n ）1－3＝32n－12，a n ＝3n －1．令b n ＝a n a n ＋1＝3n －1·3n ＝32n －1，所以b 1＝3，数列{b n }为等比数列，公比q ′＝9，所以T n ＝3×（1－9n ）1－9＝3（32n －1）8．因为S 2n ＝kT n ，所以32n－12＝k ·3（32n－1）8，解得k ＝43．[答案] 439．(2019·泰州市高三模拟)已知公差为2的等差数列{a n }及公比为2的等比数列{b n }满足a 1＋b 1>0，a 2＋b 2<0，则a 3＋b 3的取值范围是________．[解析] 法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1>0a 1＋2b 1<－2，该不等式组在平面直角坐标系a 1Ob 1中表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当a 3＋b 3＝a 1＋4＋4b 1经过点(2，－2)时取得最大值－2，则a 3＋b 3<－2．法二：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1>0a 1＋2b 1<－2，则a 3＋b 3＝a 1＋4＋4b 1＝－2(a 1＋b 1)＋3(a 1＋2b 1)＋4<－2，故a 3＋b 3的取值范围是(－∞，－2)．[答案] (－∞，－2) 10．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0．其中所有正确判断的序号是________．[解析] 由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a n }是等比数列，且公比q ＝1时，{a n }不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．[答案] ①④11．(2019·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：因为a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，所以a 2＋2a 1＝15，所以a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，所以a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，所以数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n，所以a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又因为a 1－3＝2，所以a n －3n≠0，所以{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．所以a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．12．(2019·苏州市高三模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1－nq ，n ∈N *，p ，q ∈R ．(1)若q ＝0，且数列{a n }为等比数列，求p 的值；(2)若p ＝1，且a 4为数列{a n }的最小项，求q 的取值范围． [解] (1)因为q ＝0，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1，所以a 2＝a 1＋p ＝12＋p ，a 3＝a 2＋3p ＝12＋4p ．由数列{a n }为等比数列，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4p ，解得p ＝0或p ＝1．当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，所以a n ＝12，符合题意；当p ＝1时，a n ＋1－a n ＝3n －1，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝12＋(1＋3＋…＋3n －2)＝12＋1－3n －11－3＝12·3n －1，所以a n ＋1a n＝3．符合题意．所以p 的值为0或1． (2)因为p ＝1，所以a n ＋1－a n ＝3n －1－nq ，又a 4为数列{a n }的最小项，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4－a 3≤0a 5－a 4≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧9－3q ≤027－4q ≥0，所以3≤q ≤274．此时a 2－a 1＝1－q <0，a 3－a 2＝3－2q <0，所以a 1>a 2>a 3≥a 4．当n ≥4时，令b n ＝a n ＋1－a n ，b n ＋1－b n ＝2·3n －1－q ≥2·34－1－274>0，所以b n ＋1>b n ，所以0≤b 4<b 5<b 6<…，即a 4≤a 5<a 6<a 7<…．综上所述，当3≤q ≤274时，a 4为数列{a n }的最小项，即所求q 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，274．13．已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数的均值为C n －1．(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求C 1，C 2，C 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{C n ＋1－λC n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由．[解] (1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10，所以在a 1与a 2之间插入－1，0，C 1＝－12．在a 2与a 3之间插入2，3，4，C 2＝3．在a 3与a 4之间插入6，7，8，9，C 3＝152．(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差数列，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1，所以C n －1＝n （a n －1＋a n ）2n＝a n －1＋a n 2＝n 2＋2n －92．假设存在λ使得{C n ＋1－λC n }是等差数列．所以(C n ＋1－λC n )－(C n －λC n －1) ＝C n ＋1－C n －λ(C n －C n －1) ＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，所以λ＝1．即λ＝1时，{C n ＋1－λC n }是等差数列．14．(2019·无锡期中检测)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，其前n 项和为T n ，且b 2＋S 2＝11，2S 3＝9b 3．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)问是否存在正整数m ，n ，r ，使得T n ＝a m ＋r ·b n 成立？如果存在，请求出m ，n ，r 的关系式；如果不存在，请说明理由．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋3＋d ＝11，2（3＋3＋d ＋3＋2d ）＝9q 2，解得d ＝3，q ＝2．所以a n ＝3n ，b n ＝2n －1．(2)因为T n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n－1，所以有2n－1＝3m ＋r ·2n －1．(*)若r ≥2，则r ·2n －1＞2n－1，(*)不成立，所以r ＝1，m ＝2n －1－13．若n 为奇数，①当n ＝1时，m ＝0，不成立， ②当n ＞1时，设n ＝2t ＋1，t ∈N *，则m ＝2n －1－13＝22t －13＝4t－13∈Z ；若n 为偶数，设n ＝2t ，t ∈N *，则m ＝2n －1－13＝22t －1－13＝2·4t －1－13＝2·4t －1－13＋13，因为4t －1－13∈Z ，所以m ∉Z ．综上所述，存在正整数m ，n ，r ，使得T n ＝a m ＋r ·b n 成立，此时n 为大于1的奇数，r ＝1，且m ＝2n －1－13．第2讲数列的求解与综合创新1．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N *)且a 1＝5，则a 8＝________． [解析] 数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N *)且a 1＝5，令m ＝1，则S n ＋1＝S n ＋S 1＝S n ＋5，即S n ＋1－S n ＝5，所以a n ＋1＝5，所以a 8＝5．[答案] 52．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则S 3S 7－S 4的值为________．[解析] 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，因为d ≠0，所以a 1＝－4d ，所以S 3S 7－S 4＝3a 1＋3×22d7a 1＋7×62d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝3a 1＋3d 3a 1＋15d ＝－9d3d ＝－3．法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，因为d ≠0，所以a 1＝－4d ，所以S 3S 7－S 4＝3a 23a 6＝a 1＋d a 1＋5d ＝－3dd＝－3． [答案] －33．(2019·泰州市高三模拟)设f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x＋ln x4，记a n＝f (n －5)，则数列{a n }的前8项和为________．[解析] 数列{a n }的前8项和为a 1＋a 2＋…＋a 8＝f (－4)＋f (－3)＋…＋f (3)＝f (－4)＋[f (－3)＋f (3)]＋[f (－2)＋f (2)]＋[f (－1)＋f (1)]＋f (0)＝f (－4)＝－f (4)＝－(24＋ln 1)＝－16．[答案] －164．(2019·日照模拟改编)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n＝________．[解析] 由S n ＝n 2－6n 可得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7．当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，也满足上式，所以a n ＝2n －7，n ∈N *．所以n ≤3时，a n ＜0；n ≥4时，a n ＞0，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥45．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．[解析] 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5．[答案] 56．(2019·南京高三模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为________．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0且q ≠1)，则由a 3－a 1＝2，得a 1＝2q 2－1．因为a 3－a 1＝2＞0，所以q ＞1，所以a 5＝a 1q 4＝2q 4q 2－1．令q 2－1＝t ＞0，所以a 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2≥8，当且仅当t ＝1，即q ＝2时，等号成立，故a 5的最小值为8．[答案] 87．(2019·江苏名校高三入学摸底)定义实数a ，b 之间的运算⊕如下：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥b ）b （a <b ），已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝2（a n ＋1⊕2）a n(n ∈N *)，若a 2 017＝1，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017的值为________．[解析] 因为a 1＝1，a 2＝1，所以a 3＝4，a 4＝8，a 5＝4，a 6＝1，a 7＝1，a 8＝4，…即此时{a n }是周期数列，且周期为5，所以a 2 017＝a 2＝1，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝18，故S 2 017＝403×18＋a 1＋a 2＝7 256． [答案] 7 2568．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．[解析] 因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n．所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2．[答案] 2n ＋1－29．(2019·徐州调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36，与a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12． [答案] －1210．(2019·昆明调研)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6a 7，a 8，a 9，a 10……记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n＝2b n －1，则a 56＝________．[解析] 当n ≥2时，因为S n ＝2b n －1，所以S n －1＝2b n －1－1，所以b n ＝2b n －2b n －1，所以b n＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，因为b 1＝2b 1－1，所以b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以b n ＝2n －1．设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1，2，4，7，11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，所以c n ＝n （n －1）2＋1，由c n ＝n （n －1）2＋1＝56，得n ＝11，所以a 56＝b 11＝210＝1 024．[答案] 1 02411．(2019·江苏名校高三入学摸底)构造数组，规则如下：第一组是两个1，即(1，1)，第二组是(1，2a ，1)，第三组是(1，a (1＋2a )，2a ，a (2a ＋1)，1)，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的a 倍得到下一组，其中a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14．设第n 组中有a n 个数，且这a n 个数的和为S n (n ∈N *)．(1)求a n 和S n ； (2)求证：a 1－1S 1＋a 2－1S 2＋…＋a n －1S n ≥n2． [解] (1)由题意可得a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋(a n －1)＝2a n －1，所以a n ＋1－1＝2(a n －1)，又a 1－1＝1，则a n －1＝2n －1，所以a n ＝2n －1＋1．又S 1＝2，且S n ＋1＝S n ＋2a (S n －1)＝(2a ＋1)S n －2a ，则S n ＋1－1＝(2a ＋1)(S n －1)，又S 1－1＝1，所以S n －1＝(2a ＋1)n －1，所以S n ＝(2a ＋1)n －1＋1．(2)证明：令b n ＝a n －1S n ，则b n ＝2n －1（2a ＋1）n －1＋1．下面用分析法证明数列{b n }为单调递增数列．要证b n <b n ＋1，即证2n －1（2a ＋1）n －1＋1<2n（2a ＋1）n＋1，又a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，故即证2(2a ＋1)n －1＋2>(2a ＋1)n ＋1，只需证2(2a ＋1)n －1≥(2a ＋1)n，即证2≥2a ＋1，显然成立，则数列{b n }为单调递增数列．所以a 1－1S 1＋a 2－1S 2＋…＋a n －1S n ≥n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1S 1＝n2． 12．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a ，a 2＝b ，a n ＋1＝a n a n ＋2＋m (n ∈N *)，其中m ，a ，b 均为实常数．(1)若m ＝0，且a 4，3a 3，a 5成等差数列． ①求ba的值；②若a ＝2，令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数2log 2a n －1，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意的n ∈N *都成立？若存在，求出实数λ的值(用m ，a ，b 表示)；若不存在，请说明理由．[解] (1)①因为m ＝0，所以a 2n ＋1＝a n a n ＋2，所以正项数列{a n }是等比数列，不妨设其公比为q ．又a 4，3a 3，a 5成等差数列，所以q 2＋q ＝6，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，所以b a＝2．②当a ＝2时，数列{a n }是首项为2、公比为2的等比数列，所以a n ＝2n，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即数列{b n }的奇数项依次构成首项为2、公比为4的等比数列，偶数项依次构成首项为3、公差为4的等差数列．当n 为偶数时，S n ＝2（1－4n 2）1－4＋n2（3＋2n －1）2＝2n ＋13＋n 2＋n 2－23；当n 为奇数时，S n ＝2（2n ＋1－1）3＋（n ＋1）（n ＋1＋1）2－(2n ＋1)＝2n ＋23＋n 2－n 2－23．所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋13＋n 2＋n 2－23，n 为偶数2n ＋23＋n 2－n 2－23，n 为奇数．(2)存在常数λ＝a 2＋b 2－m ab，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意的n ∈N *都成立．证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋m (n ∈N *)，。

2020版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习文

第3讲平面向量1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝________．[解析］由题意知a＋λb＝k[－(b－3a）]，所以错误!解得错误!［答案] －错误!2．（2019·江苏名校高三入学摸底）已知平面向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则｜a－2b＋3c|＝________．［解析] 设a＝（1，0），b＝（0，1)，c＝(x,y)，则c·a＝x＝－1，c·b＝y＝－1,所以c＝(－1，－1），所以a－2b＋3c＝（－2，－5)，所以｜a－2b＋3c|＝错误!＝错误!．[答案］错误!3．(2019·南京、盐城高三模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC ＝3，cos∠BAC＝错误!,错误!＝2错误!，则错误!·错误!的值为________．[解析] 由错误!＝2错误!，得错误!＝错误!(错误!＋2错误!）,又错误!＝错误!－错误!,AB＝AC＝3，cos∠BAC＝错误!，所以错误!·错误!＝错误!（错误!＋2错误!)·（错误!－错误!)＝错误!(－9＋3）＝－2．[答案］－24．已知|a｜＝1，|b｜＝6，a·（b－a）＝2，则向量a与b的夹角θ＝________．［解析］因为a·(b－a）＝a·b－a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3．所以cos θ＝错误!＝错误!＝错误!．所以向量a与b的夹角为错误!．［答案］π35．(2019·无锡市高三模拟)已知平面向量α,β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°,则α的模的取值范围为________．[解析] 法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量错误!＝α,错误!＝β－α，则错误!＝β，在△OAB中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝1，则由正弦定理错误!＝错误!，得OA＝错误!sin∠ABO∈错误!，即0〈｜α|≤错误!．法二：设|α｜＝u，｜β－α｜＝v，由|β｜2＝|α＋（β－α）|2＝α2＋2α·（β－α)＋(β－α）2，得v2－uv＋u2－1＝0,再由关于v的一元二次方程有解，得u2－4（u2－1）≥0,又u>0，故0<u≤错误!，即0<|α｜≤错误!．[答案] 错误!6．(2019·高三第一次调研测试）在平面四边形ABCD中,AB＝1,DA＝DB，则错误!·错误!＝3，错误!·错误!＝2，则｜错误!＋2错误!｜的最小值为______．[解析］以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A错误!，B错误!．设D（0，b），C(m，n），则错误!·错误!＝（1,0）·错误!＝m＋错误!＝3，解得m＝错误!，错误!·错误!＝(3,n)·错误!＝错误!＋nb＝2，得nb＝错误!．易得错误!＋2错误!＝(4，n＋2b）,则｜错误!＋2错误!｜＝错误!≥错误!＝2错误!，当且仅当n＝2b时取等号，故｜错误!＋2错误!｜的最小值为2错误!．[答案] 257．(2019·南通市高三模拟）如图,在同一平面内,点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1,3．点B,C分别在m，n上，｜AB，→＋错误!|＝5，则错误!·错误!的最大值是________．［解析] 以直线n为x轴,过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A（0，3)，设C（c，0),B(b，2），则错误!＝（b,－1)，错误!＝（c，－3），从而（b＋c）2＋（－4)2＝52，即（b＋c)2＝9,又错误!·错误!＝bc＋3≤错误!＋3＝错误!，当且仅当b＝c时取等号．[答案] 错误!8．(2019·南京高三模拟）在凸四边形ABCD中，BD＝2，且错误!·错误!＝0，（错误!＋错误!)·(错误!＋错误!）＝5，则四边形ABCD的面积为________．［解析] (错误!＋错误!)·(错误!＋错误!)＝(错误!－错误!＋错误!)·（错误!－错误!＋错误!）＝(错误!＋错误!）·(错误!－错误!)＝错误!－错误!＝5，即AC2－BD2＝5．因为BD＝2,所以AC＝3,所以四边形ABCD的面积为错误!AC×BD＝错误!×2×3＝3．[答案] 39．（2019·江苏省高考名校联考信息卷（一）)如图，点A，B，C在半径为5的圆O上，E是OA的中点,AB＝8，AC＝6，错误!＝x错误!＋y错误!（x，y是实数）,则错误!的值是______．［解析］连结BC,根据题意，可知AB2＋AC2＝102，又圆O的半径为5,则直径是10，所以BC恰好是圆O的直径,所以AB⊥AC．CE→＝错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!－错误!错误!，此时x＝错误!，y＝－错误!，x－y＝错误!－（－错误!）＝1．又错误!＝错误!（错误!＋错误!），错误!·错误!＝(错误!错误!－错误!错误!）·错误!（错误!＋错误!）＝错误!(错误!错误!2－错误!错误!2）＝－错误!，故错误!＝－错误!．[答案] －错误!10．(2019·苏锡常镇四市高三调研）在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0）,B(0，1），C(a，b）,D（c，d)，若不等式错误!2≥(m－2)错误!·错误!＋m(错误!·错误!）·（错误!·错误!)对任意实数a，b，c，d都成立,则实数m的最大值是________．[解析] 原不等式可化为（a－c）2＋(b－d）2≥（m－2)·（ac＋bd）＋mbc,即a2＋b2＋c2＋d2－m(ac＋bd＋bc)≥0，整理成关于实数a 的不等式为a2－mca＋b2＋c2＋d2－mbd－mbc≥0，此式恒成立，从而Δ1＝m2c2－4(b2＋c2＋d2－mbd－mbc）≤0,再整理成关于实数d的不等式为d2－mbd＋b2＋c2－mbc－错误!m2c2≥0，从而Δ2＝m2b2－4错误!≤0，再整理成关于实数b的不等式为(4－m2)b2－4mcb＋4c2－m2c2≥0，从而错误!,解得1－错误!≤m≤－1＋错误!，所以m的最大值是错误!－1．［答案］错误!－111．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量m＝(cos A,cos B)，n＝（b＋2c，a)，且m⊥n．（1）求角A的大小；（2)若a＝4错误!,b＋c＝8,求AC边上的高h的值．[解] （1）因为m⊥n，所以m·n＝0，所以（b＋2c）cos A＋a cos B＝0，由正弦定理得cos A sin B＋2cos A sin C＋cos B sin A＝0，即sin（A＋B）＋2cos A sin C＝0，因为A＋B＝π－C,所以sin(A＋B)＝sin C，所以sin C＋2cos A sin C ＝0．又C∈(0，π)，所以sin C＞0,所以cos A＝－错误!．因为A∈（0，π）,所以A＝错误!．(2）由错误!解得b＝c＝4．又S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!h·AC,所以h＝2错误!．12．(2019·苏州期末检测）已知向量a＝(sin θ，2），b＝(cos θ,1)，且a，b共线，其中θ∈错误!．(1)求tan错误!的值；（2）若5cos （θ－φ）＝3错误!cos φ，0＜φ＜错误!，求φ的值．[解] (1)因为a∥b，所以sin θ－2cos θ＝0，即tan θ＝2．所以tan 错误!＝错误!＝错误!＝－3．(2）由（1）知tan θ＝2，又θ∈错误!,所以sin θ＝错误!，cos θ＝错误!，因为5cos(θ－φ)＝3错误!cos φ，所以5（cos θcos φ＋sin θsin φ）＝35cos φ,即错误!cos φ＋2错误!sin φ＝3错误!cos φ，所以cos φ＝sin φ，即tan φ＝1，又0＜φ＜错误!，所以φ＝错误!．13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝（cos x，sin x)，c＝（sin x ＋2sin α，cos x＋2cos α），其中0<α<x<π．(1）若α＝错误!，求函数f(x）＝b·c的最小值及相应x的值；（2）若a与b的夹角为错误!，且a⊥c,求tan 2α的值．[解］(1)因为b＝(cos x，sin x)，c＝（sin x＋2sin α，cos x＋2cos α），α＝错误!,所以f(x)＝b·c＝cos x sin x＋2cos x sin α＋sin x cos x＋2sin x cos α＝2sin x cos x＋错误!（sin x＋cos x）．令t＝sin x＋cos x错误!，则2sin x cos x＝t2－1，且－1〈t〈错误!．则y＝t2＋2t－1＝错误!错误!－错误!，－1<t〈错误!，所以当t＝－错误!时，y min＝－错误!，此时sin x＋cos x＝－错误!，即错误!sin错误!＝－错误!，因为错误!〈x〈π，所以错误!〈x＋错误!〈错误!π，所以x＋错误!＝错误!π,所以x＝错误!．所以函数f（x)的最小值为－错误!,相应x的值为错误!．(2)因为a与b的夹角为错误!，所以cos 错误!＝错误!＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α）．因为0<α<x〈π，所以0〈x－α〈π，所以x－α＝π3．因为a⊥c，所以cos α（sin x＋2sin α)＋sin α（cos x＋2cos α）＝0,所以sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin错误!＋2sin 2α＝0．所以错误!sin 2α＋错误!cos 2α＝0,所以tan 2α＝－错误!．14．(2019·镇江期末）已知△ABC的面积为S，且错误!·错误!＝错误! S．(1)求sin A；(2)若|错误!|＝3,|错误!－错误!｜＝2错误!，求sin B．［解］（1）因为△ABC的面积为S，且错误!·错误!＝错误!S，所以bc cos A＝错误!×错误!bc sin A，所以sin A＝错误!cos A，所以A为锐角,且sin2A＋cos2A＝sin2A＋错误!sin2A＝错误!sin2A＝1,所以sin A＝错误!．（2）设△ABC中角A,B,C的对边分别为a，b，c，因为｜错误!｜＝c＝3，｜错误!－错误!｜＝|错误!｜＝a＝2错误!,由正弦定理得错误!＝错误!,即错误!＝错误!,所以sin C＝错误!,又因为c＜a,则C为锐角,所以C＝错误!，所以sin B＝sin错误!＝sin A cos 错误!＋cos A sin 错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．。

2020版高考数学二轮复习教程第二编专题二三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质练习

第1讲三角函数的图象与性质「考情研析」1。

以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．2。

考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点。

核心知识回顾1.同角关系式与诱导公式（1）同角三角函数的基本关系：错误!sin2α＋cos2α＝1，错误!错误!＝tanα。

（2）诱导公式：在错误!＋α，k∈Z的诱导公式中“错误!奇变偶不变,符号看象限"．2．三种三角函数的性质3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤热点考向探究考向1 同角三角关系式、诱导公式例1 (1）(2019·临川第一中学等九校高三3月联考）已知α∈(0，π），且cosα＝－错误!,则sin错误!tan（π＋α)＝（）A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!答案D解析sin错误!tan（π＋α)＝cosαtanα＝sinα,因为α∈（0,π），且cosα＝－错误!，所以sinα＝1－cos2α＝错误!＝错误!.故选D。

（2)已知sinα－cosα＝错误!，α∈（0，π），则tanα＝（)A．－1 B．－错误!C．错误!D．1答案A解析因为sinα－cosα＝错误!，所以(sinα－cosα）2＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈（0,π），2α∈(0，2π)，所以2α＝错误!，即α＝错误!,故tanα＝－1。

（3）已知α为锐角，且有2tan（π－α)－3cos错误!＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝( )A.错误!B．错误!C．错误!D．－错误!答案C解析由已知可得,－2tanα＋3sinβ＋5＝0，①tanα－6sinβ－1＝0, ②①×2＋②得tanα＝3。

∵α为锐角，∴sinα＝错误!.故选C。

（1）利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤:去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．(2）应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα,可以知一求二．（3)关于sinα,cosα的齐次式，往往转化为关于tanα的式子求解．1．(2019·内江市高三第三次模拟）已知α∈错误!，sinα＝错误!，则tan错误!＝( ）A．7 B．错误!C．－7 D．－错误!答案D解析∵α∈错误!，sinα＝错误!，∴cosα＝－错误!，∴tanα＝－错误!。

2020版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量练习

第1讲三角函数的图象与性质1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是________．[解析] 因为x －π4≠k π＋π2，所以x ≠k π＋3π4，k ∈Z ．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z2．(2019·徐州模拟)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．[解析] 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )3．(2019·镇江市高三调研考试)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的函数f (x )＝8sin x －tan x 的最大值为________．[解析] f ′(x )＝8cos x －cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝8cos 3x －1cos 2x ，令f ′(x )＝0，得cos x ＝12，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x ＝π3，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3是f (x )的极大值，也是最大值，故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝33．[答案] 3 34．(2019·苏北三市高三模拟)已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．[解析] 由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或cos x ＝12，则x ＝0或π或π3，不妨设A (0，0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则△ABC 的面积为12π×32＝34π．[答案]34π5．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知在矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y ＝a cos(a πx )＋b (a ，b ∈R ，a ≠0)的一个完整周期的图象，则当a 变化时，矩形ABCD 的面积为________．[解析] 由题意得，矩形ABCD 的边长分别为函数y ＝a cos(a πx )＋b (a ，b ∈R ，a ≠0)的最小正周期⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 和|2a |，故此矩形的面积为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ×|2a |＝4．[答案] 46．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．[解析] 根据所给图象，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，所以ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值． [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z7．(2019·南京模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________．[解析] 因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2．[答案] －28．(2019·苏北三市高三第一次质量检测)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为______．[解析] 函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，如图所示，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，B ，C 之间的距离为一个周期π，所以三角形ABC的面积为12π×2×32＝3π2．[答案]3π29．(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为________．[解析] 由f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝1－cos （2ωx ＋2φ）2及其图象知，12<12×2π2ω<1，即π2<ω<π，所以正整数ω＝2或3．由函数f (x )的图象经过点(1，0)，得f (1)＝1－cos （2ω＋2φ）2＝0，得2ω＋2φ＝2k π(k ∈Z )，即2φ＝2k π－2ω(k ∈Z )．由图象知f (0)>12，即1－cos 2φ2＝1－cos 2ω2>12，得cos 2ω<0，所以ω＝2． [答案] 210．(2019·无锡市普通高中高三调研考试)已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝______． [解析] 易知直线y ＝a (x ＋2)过定点(－2，0)，作出直线y ＝a (x ＋2)与函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知，直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与y ＝|cos x |的图象在x ＝x 4处相切，且x 4∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则a (x 4＋2)＝－cos x 4，所以a ＝－cos x 4x 4＋2，又在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上，y ＝－cos x ，y ′＝sin x ，所以(－cos x 4)′＝sin x 4，所以a ＝sin x 4．因此a ＝－cos x 4x 4＋2＝sin x 4，即cos x 4sin x 4＝－x 4－2，x 4＋cos x 4sin x 4＝x 4＋1tan x 4＝－2．[答案] －211．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1．(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4．(2)图象如图所示．12．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ，x ∈R ．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)求方程f (x )＝0在(0，π]内的所有解．[解] f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π]，k ∈Z ．(2)由f (x )＝0，得2sin(2x ＋π6)＝0，得2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ，因为x ∈(0，π]，所以x ＝5π12或x ＝11π12． 13．(2019·南通市高三调研)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值． [解] (1)由条件得，最小正周期T ＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3．因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3．(2)由f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1，即sin α＝12．因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6．14．已知函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4． (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．[解] (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6．令2x －π6＝t ，因为0≤x ≤π2，所以－π6≤t ≤5π6．g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1．所以－12<k ≤12或k ＝－1．第1讲三角函数的图象与性质[2019考向导航]1．必记的概念与定理(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α．(2)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．(3)三角函数的图象及常用性质2．记住几个常用的公式与结论对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)要记住下面几个常用结论： (1)定义域：R ． (2)值域：[－A ，A ]．当x ＝2k π＋π2－φω(k ∈Z )时，y 取最大值A ；当x ＝2k π－π2－φω(k ∈Z )时，y 取最小值－A ．(3)周期性：周期函数，最小正周期为2πω．(4)单调性：单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π2－φω，2k π＋π2－φω(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π2－φω，2k π＋3π2－φω(k ∈Z )． (5)对称性：函数图象与x 轴的交点是对称中心，即对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )，对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x ＝k π＋π2－φω，其中k ∈Z ．(6)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A 影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少长度重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．(7)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．3．需要关注的易错易混点三角函数图象平移问题(1)看平移要求：看到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．(2)看移动方向：在学习中，移动的方向一般我们会记为“正向左，负向右”，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规则不是简单地看y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确地理解应该是：平移变换中，将x 变换为x ＋φ，这时才是“正向左，负向右”．(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后移动的单位是|φω|．三角函数的图象与解析式(1)(2018·高考江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是________． (2)(2019·江苏省高考名校联考(八))已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12的值为________．【解析】 (1)由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6．(2)由函数f (x )的部分图象可知，A ＝2，12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2．当x＝π6时，f (x )＝2，即sin (2×π6＋φ)＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin(2x ＋π6)，所以f (－5π12)＝2sin(－5π6＋π6)＝2sin(－2π3)＝－3．【答案】 (1)－π6(2)－3确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)是ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)是ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)是ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)是ωx ＋φ＝3π2；“第五点”是ωx ＋φ＝2π．1．定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．[解析] 由sin 2x ＝cos x 可得cos x ＝0或sin x ＝12，又x ∈[0，3π]，则x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，故所求交点个数是7． [答案] 72．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中M ，N 是图象与x 轴的交点，K 是图象的最高点，若点M 的坐标为(3，0)且△KMN 是面积为3的正三角形，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝________．[解析] 由正三角形KMN 的面积为3知，△KMN 的边长为2，高为3，即A ＝3，最小正周期T ＝2×2＝4，ω＝2πT ＝2π4＝π2，又M (3，0)，MN ＝2，所以π2×4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π－3π2，k ∈Z ，又0<φ<π，所以φ＝π2，即f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＝3cos π2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32．[答案] 32三角函数的图象与性质[典型例题](2019·南京、盐城高三模拟)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．【解】 (1)由图象及A >0知，A ＝2．又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1．所以f (x )＝2sin(x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6．所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]．在江苏高考中，三角函数试题主要以两种形式出现：一是注重考查三角函数定义、性质、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识；二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型函数图象为载体，全面考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象变换等基础知识，即考查三角函数图象性质和数形结合思想等．[对点训练]3．(2019·合肥模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6．(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0，1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．[解] (1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx3－1 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6．由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z ．(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0，1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3，4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3，4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即当x ∈[0，1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12．1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是________．[解析] 因为x －π4≠k π＋π2，所以x ≠k π＋3π4，k ∈Z ．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z2．(2019·徐州模拟)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．[解析] 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )3．(2019·镇江市高三调研考试)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的函数f (x )＝8sin x －tan x 的最大值为________．[解析] f ′(x )＝8cos x －cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝8cos 3x －1cos 2x ，令f ′(x )＝0，得cos x ＝12，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x ＝π3，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3是f (x )的极大值，也是最大值，故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝33．[答案] 3 34．(2019·苏北三市高三模拟)已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．[解析] 由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或cos x ＝12，则x ＝0或π或π3，不妨设A (0，0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则△ABC 的面积为12π×32＝34π．[答案]34π 5．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知在矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y ＝a cos(a πx )＋b (a ，b ∈R ，a ≠0)的一个完整周期的图象，则当a 变化时，矩形ABCD 的面积为________．[解析] 由题意得，矩形ABCD 的边长分别为函数y ＝a cos(a πx )＋b (a ，b ∈R ，a ≠0)的最小正周期⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 和|2a |，故此矩形的面积为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a×|2a |＝4． [答案] 46．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．[解析] 根据所给图象，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，所以ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值． [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z7．(2019·南京模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________．[解析] 因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2．[答案] －28．(2019·苏北三市高三第一次质量检测)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为______．[解析] 函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，如图所示，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，B ，C 之间的距离为一个周期π，所以三角形ABC的面积为12π×2×32＝3π2．[答案]3π29．(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为________．[解析] 由f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝1－cos （2ωx ＋2φ）2及其图象知，12<12×2π2ω<1，即π2<ω<π，所以正整数ω＝2或3．由函数f (x )的图象经过点(1，0)，得f (1)＝1－cos （2ω＋2φ）2＝0，得2ω＋2φ＝2k π(k ∈Z )，即2φ＝2k π－2ω(k ∈Z )．由图象知f (0)>12，即1－cos 2φ2＝1－cos 2ω2>12，得cos 2ω<0，所以ω＝2． [答案] 210．(2019·无锡市普通高中高三调研考试)已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝______． [解析] 易知直线y ＝a (x ＋2)过定点(－2，0)，作出直线y ＝a (x ＋2)与函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知，直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与y ＝|cos x |的图象在x ＝x 4处相切，且x 4∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则a (x 4＋2)＝－cos x 4，所以a ＝－cos x 4x 4＋2，又在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上，y ＝－cos x ，y ′＝sin x ，所以(－cos x 4)′＝sin x 4，所以a ＝sin x 4．因此a ＝－cos x 4x 4＋2＝sin x 4，即cos x 4sin x 4＝－x 4－2，x 4＋cos x 4sin x 4＝x 4＋1tan x 4＝－2．[答案] －211．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1．(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4．(2)图象如图所示．12．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ，x ∈R ．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)求方程f (x )＝0在(0，π]内的所有解．[解] f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π]，k ∈Z ．(2)由f (x )＝0，得2sin(2x ＋π6)＝0，得2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ，因为x ∈(0，π]，所以x ＝5π12或x ＝11π12． 13．(2019·南通市高三调研)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值． [解] (1)由条件得，最小正周期T ＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3．因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3．(2)由f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1，即sin α＝12．因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6．14．已知函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4． (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．[解] (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6．令2x －π6＝t ，因为0≤x ≤π2，所以－π6≤t ≤5π6．g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1．所以－12<k ≤12或k ＝－1．第2讲三角变换、解三角形1．(2019·南通市高三模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________．[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59．[答案] 592．(2019·扬州模拟)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 的形状为________．[解析] 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x >0)．则cos C ＝（5x ）2＋（11x ）2－（13x ）22·5x ·11x ＝－23x 2110x 2<0，所以C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形． [答案] 钝角三角形3．(2019·江苏省高考名校联考(二))若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，则sin 2α＝________．[解析] cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝－14，则34cos 2α＋14sin 2α＝－14，可得⎩⎨⎧3cos 2α＋sin 2α＝－1，cos 22α＋sin 22α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，解得cos 2α＝－32，sin 2α＝12．[答案] 124．(2019·无锡模拟)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为________． [解析] sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12．[答案] 125．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________． [解析] 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22． [答案]226．(2019·南京市四校第一学期联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．[解析] 因为2b ＝a ＋c ，sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以ac ＝15，所以b2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，得b ＝4．[答案] 47．已知cos θ＝－725，θ∈(－π，0)，则sin θ2＋cos θ2＝________________________________________________________________________．[解析] 因为θ∈(－π，0)，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－2425，因为sin θ<cos θ<0，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－π2，θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，－π4，所以－1<sin θ2<－22，0<cos θ2<22，故sinθ2＋cos θ2<0，sin θ2＋cos θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝－1＋sin θ＝－15．[答案] －158．(2019·苏州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．[解析] 由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝c sin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cosA ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝（4－b ）（4＋b ）16（4－b ）＝4＋b16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b ．因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210．[答案] (42，210)9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则C ＝________．[解析] 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，因为在三角形中sin C ≠0，所以cos A ＝12，则A ＝60°．由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22，又c <a ，则C <60°，故C ＝45°． [答案] 45°10．(2019·扬州市第一学期期末检测)设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba＝______．[解析] 因为a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sin π7＝tan 10π21，所以a sin π7＋b cos π7a cos π7－b sin π7＝sin10π21cos10π21，所以a cos10π21sinπ7＋b cos 10π21cos π7＝a sin 10π21cos π7－b sin 10π21sin π7，所以a (sin 10π21cos π7－cos 10π21·sin π7)＝b (cos 10π21cos π7＋sin 10π21sin π7)，即a sin(10π21－π7)＝b cos(10π21－π7)，a sin π3＝b cos π3，所以b a ＝tan π3＝3．[答案] 311．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°． (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．[解] (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7．(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217．因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277．因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437． 12．(2019·南通市高三模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积．[解] (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12．因为0<C <π，所以C ＝2π3．(2)法一：因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，又－π3<A －B <π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2．所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝3．法二：由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得a ＝b ，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝3．13．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C． (1)求证：A ＝C ；(2)若b ＝2，BA →·BC →＝1，求sin B 的值．[解] (1)由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C cos Acos C，即(sin A cos B ＋sinB cos A )cosC ＝sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A ．因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．(2)由(1)知，A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a2．因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．所以cos B ＝13．又B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223． 14．(2019·江苏省高考名校联考(四))已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cos A ＋b cos B ＝ccos C． (1)证明：cos A cos B ＝cos C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝23bc ，求tan C 的值．[解] (1)证明：因为a cos A ＋b cos B ＝ccos C，所以由正弦定理可知sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin Ccos C ，即sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin （A ＋B ）cos A cos B ＝sin Ccos C．因为在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，所以cos A cos B ＝cos C ．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝23bc ，根据余弦定理可知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13，因为A 为三角形的内角，所以sin A ＝223，tan A ＝22．由cos A cos B ＝cos C 和A ＋B ＋C ＝π得，cos A cos B ＝cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ，所以2cos A cos B ＝sinA sinB ，所以tan A tan B ＝2，由tan A ＝22得，tan B ＝22，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝522．第2讲三角变换、解三角形[2019考向导航]1．必记的概念与定理(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β． ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．(2)倍角公式①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 2．记住几个常用的公式与结论 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形：1＝sin 2α＋cos 2α；sin 2α＝1－cos 2α； cos 2α＝1－sin 2α； sin α＝±1－cos 2α；cos α＝±1－sin 2α． (2)升(降)幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α．(3)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(φ由a ，b 具体的值确定)．(4)正切公式的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)． (5)正弦定理的各种形式：形式一：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ；形式二：sin A ＝a 2R ；sin B ＝b 2R ；sin C ＝c2R；(角到边的转换)形式三：a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，c ＝2R ·sin C ；(边到角的转换) 形式四：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ．(求三角形的面积)(6)余弦定理的各种形式：形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ；形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．(角到边的转换)3．需要关注的易错易混点(1)三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；α 可视为α2的倍角；π4±α可视为(π2±2α)的半角等等．当然变换形式不唯一，应因题而异．(2)解题前要善于分析题目中所给式子的结构，掌握结构的特点，通过降幂、升幂、常数代换等手段，为使用公式创造条件，这是三角变换的重要策略．(3)解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助解题”．三角变换与求值 [典型例题](1)(2019·高考江苏卷)已知tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是________．(2)(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55．①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值．【解】 (1)tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或tan α＝－13，当tan α＝2时，sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，此时sin 2α＋cos 2α＝15，同理当tan α＝－13时，sin 2α＝－35，cos 2α＝45，此时sin 2α＋cos 2α＝15，所以sin(2α＋π4)＝22(sin 2α＋cos 2α)＝210． (2)①因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α．因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725．②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2．因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211．(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[对点训练]1．(2019·徐州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为________．[解析] 由条件得32sin α＋32cos α＝435，即12sin α＋32cos α＝45．所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45． [答案] 452．在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． [解析] 由sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B sin C 得sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同时除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，令tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ＝m ，因为△ABC 是锐角三角形，所以2tan B tan C >2tan B ·tan C ，则tan B tan C >1，m >2．又在三角形中有tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－m1－12m ·12m ＝m 2m －2＝m －2＋4m －2＋4≥2（m －2）·4m －2＋4＝8，当且仅当m －2＝4m －2，即m ＝4时取得等号，故tan A tan B tan C 的最小值为8． [答案] 8解三角形[典型例题](2019·高考江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．【解】 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c ，即c 2＝13．所以c ＝33． (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B ．从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45．因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255．因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255．解三角形问题的求解一般是从两个角度来看，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．[对点训练]3．(2019·高考江苏卷)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d (单位：百米)，求当d 最小时，P ，Q 两点间的距离．[解] (1)过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ．由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，DE ＝BE ＝AC ＝6，AE ＝CD ＝8．因为PB ⊥AB ，所以cos ∠PBD ＝sin ∠ABE ＝810＝45．所以PB ＝BDcos ∠PBD ＝1245＝15．因此道路PB 的长为15百米．(2)①若P 在D 处，由(1)可得E 在圆上，则线段BE 上的点(除B ，E )到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连结AD ，由(1)知AD ＝AE 2＋ED 2＝10，从而cos ∠BAD ＝AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝725>0，所以∠BAD 为锐角．所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径．因此Q 选在D 处也不满足规划要求．综上，P 和Q 均不能选在D 处． (3)先讨论点P 的位置．当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求．设P 1为l 上一点，且P 1B ⊥AB ，由(1)知，P 1B ＝15，此时P 1D ＝P 1B sin ∠P 1BD ＝P 1B cos ∠EBA ＝15×35＝9；当∠OBP >90°时，在△PP 1B 中，PB >P 1B ＝15．由上可知，d ≥15．再讨论点Q 的位置．由(2)知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求．当QA ＝15时，CQ ＝ QA 2－AC 2＝ 152－62＝321．此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ ＝321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ ＝PD ＋CD ＋CQ ＝17＋321．因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17＋321(百米)．1．(2019·南通市高三模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________．[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59．[答案] 592．(2019·扬州模拟)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 的形状为________．[解析] 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x >0)．则cos C ＝（5x ）2＋（11x ）2－（13x ）22·5x ·11x ＝－23x 2110x 2<0，所以C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形． [答案] 钝角三角形3．(2019·江苏省高考名校联考(二))若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，则sin 2α＝________．[解析] cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝－14，则34cos 2α＋14sin 2α＝－14，可得⎩⎨⎧3cos 2α＋sin 2α＝－1，cos 22α＋sin 22α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，解得cos 2α＝－32，sin 2α＝12． [答案] 124．(2019·无锡模拟)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为________． [解析] sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12．[答案] 125．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________． [解析] 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22． [答案]226．(2019·南京市四校第一学期联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．[解析] 因为2b ＝a ＋c ，sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以ac ＝15，所以b2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，得b ＝4．[答案] 47．已知cos θ＝－725，θ∈(－π，0)，则sin θ2＋cos θ2＝________________________________________________________________________．[解析] 因为θ∈(－π，0)，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－2425，因为sin θ<cos θ<0，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－π2，θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，－π4，所以－1<sin θ2<－22，0<cos θ2<22，故sinθ2＋cos θ2<0，sin θ2＋cos θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝－1＋sin θ＝－15．。