不用平面法向量求二面角的简单方法
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求
求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：
1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s
投影面
=s
被投影面
θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，
是求二面角的好方法。尤其对无棱问题
5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos
例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，
PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法
解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE
AC=AB ，PB=PC ∴
AE ⊥ BC ，PE ⊥BC
∴PEA ∠为二面角
P-BC-A 的平面角
在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6
P
C
B
A
E
∴PEA ∠=900
∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
求二面角的五种方法
五法求二面角
从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，
并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。 一、 定义法：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面
ABCD
，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°
（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略
解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B
作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，
连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法
一、引言
二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。
二、向量法
向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。具体步骤如下：
2.1 确定两个平面
首先，我们需要确定需要求解的两个平面。平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。
2.2 求解法向量
找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。
2.3 计算二面角的余弦值
通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：
cosθ=
n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥
2.4 计算二面角
通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：
θ=arccos(cosθ)
三、三角函数法
三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。具体步骤如下：
3.1 确定两个平面
同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。
3.2 求解法向量和对应边长
求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。
3.3 计算三角函数的值
根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n
1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。
求解二面角的六种常规方法
求解二面角的六种常规方法
作者：李淑芸
来源：《中学教学参考·理科版》2010年第03期
求解二面角问题是高考的热点问题,在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析,我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此,本文总结了常见的六种求解二面角的方法,希望能给部分读者以帮助.
1.定义法
是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线,则两直线所构成的角即为二面角的平面角,继而在平面中求出其平面角的一种方法.
【例1】如图1,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=a,对角线AC=a,BD=2a,求二面角A—BD—C的大小.
图1
解:取BD的中点为O,分别连接AO、CO,
∵AB=AD,BC=CD.
∴AO⊥BD,CO⊥BD.
∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.
∵AB=AD=a,BD=2a,
∴AO=22a.
∵BC=CD=a,BD=2a,∴OC=22a.
在△AOC中,OC=22a,OA=22a,AC=a,OA2+OC2=AC2,
∴∠AOC=90°,即二面角A—BD—C为直二面角.
2三垂线法
是指利用三垂线定理,根据“与射影垂直,则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角,继而求出平面角的方法.
【例2】如图2,二面角α-AB-β的棱AB上有一点C,线段CDα,CD=100,∠BCD=30°,点D 到平面β的距离为253,求二面角α-AB-β的度数.
图2
解:过D作DE⊥β于E,DF⊥AB于F,连接EF.
∵DF⊥AB,EF是DF在β内的射影,
二面角求解方法
二面角的作与求
求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：
1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s
投影面
=s
被投影面
θ
cos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，
是求二面角的好方法。尤其对无棱问题
5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos
例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，
PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法
解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE
AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC
∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角
在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6
P
C
B
A
E
∴PEA ∠=90
∴二面角P-BC-A 的平面角为900
。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
二面角的求法(总结)
点评
这几种方法是现在求二面角的常用 的方法，在高考中经常被考查；尤其是 向量法，更有着广泛的被考查性，在应 用的时候主要注意以下两点： 1、合理建系。本着“左右对称 就地取 材”的建系原则。 2、视图取角。由于法向量的取定有人为 的因素，其夹角不一定正好是二面角的 平面交的大小，我们要视原图形的情况 和题意条件进行正确的选择大小，即要 么是这个角，要么是它的补角。
D1 A1 F D A P B C B1 C1
解法二：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线； 因为是直棱柱，所以AA1 ⊥ 底面ABCD, 过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF, 由三垂线定理可知，EF⊥PB, ∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角； 同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300， Rt△APB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱 的棱长为2）又AF= 1, ∴∠AEF=450，即 为所求。 D1 A1 F D C B E P C1
P F A B E C D
谢谢大家的合作
祝大家学习进步
再见
请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
二面角求值方法八种
二面角求值方法八种
摘要】在奥妙无穷的空间形式里，二面角的平面角总是以量的大小决定着某些图形的空间形式，使得立体几何研究中，求二面角的大小成为了一个“角量计算”的重要内容。那么怎样去求二面角的大小呢？笔者通过自身的实践，总结出常见的八种求法。
【关键词】二面角；二面角求值；八种1定义法
11定义：二面角求值的“定义法”就是依二面角的平面角的定义，通过对线线垂直关系的研究，首先将空间角转化为平面角，然后依据解三角形的相关知识或某些公理体系的保证求出这个平面角，从而达到求二面角大小的数学方法。它体现了“回到定义中去”是数学解题的根本方法。
12用“定义法”求二面角大小的解题思路是：求作二面角的平面角→证明这个平面角是所求→解出这个二面角。
13求作二面角的平面角应把握的原则：先找后作。常见的作法有两种：其一，根据定义或图形的特征作。其二，根据三垂线定理（或逆定理）作。此法难点在于找到平面的垂线，解决的办法：先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理找到面的垂线，作棱的垂线，连接垂足与面的垂线的端点，利用线线垂直得出所求角是二面角的平面角。
14常见的线线垂直的判断方法有：①三垂线定理及逆定理。②等腰三角形“中线是高线”的性质。③勾股定理的逆定理。④菱形对角线互相垂直的性质。⑤线面垂直则线线垂直的性质。⑥同一法（有公共边的全等三角形中，公共边上的垂足相同）
例1（2005年全国卷Ⅰ.18）：已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点，求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小。
二面角的求法
P 则∠BDE就是此二面角的平面角。 3 ③∵△ABC为正△，∴ BE= 2 a 在Rt△PAC中，E为AC中点， 则DE=
2 a 4
D
A E B
在Rt△DEB中 C BE 6 tan ∠ BDE=
DE
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。 ⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。 ⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。 ⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
D1 A 1
z
B 1
C 1
OA1 OC1 OA1 OC1
1 3
A
D
O
y
C B
1 ∴ 二面角A1－BD－C1的大小为 arccos 3
x
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
用向量求二面角大小的五种方法
述 的判断方法 ，（ ， ｎ
㈣
） 等于二面角 Ａ 一 Ｅ 口的平 而角 的大小． Ｄ 一
于是
：（ ，２ １ ， ０ ， ）
：（ ，０ ） ２ ，４ ，
）ｌ ｆ 一 ＿篇 ＝ ，
的法向最． ， ． 与 ｎ ． 若 ｌ 耐 ， ，
同号 ，则 ０： 竹一（。 ｌ ； ，，，） ｌ
收稿 日期 ：２ １— ９ １ ０００—９
作者简介：宋波 （９ １ ，男，甘 肃甘谷人 ，中学高级教 师，甘肃省青年教学能手 ，兰 州市骨干教师 ，兰州市教科研 工作先进个人 ，主要从 １７ 一） 事高 中数 学教 学、解题思想和方法 、高考复习的研究．
如 图 ６ 已 知 四 棱 锥 Ｐ ＡＢ Ｄ 中 ， ， － Ｃ Ｐ Ｌ Ｄ，侧 面 Ｐ Ｄ 是 边 长 为 ２的 Ｂ＿Ａ Ａ
Ｃ பைடு நூலகம்
丁３ ， ｘ ｝ 音 ① －
因 为 ＝（ 一， ， ） ，
等边 三 角形 ，底 面 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是菱 形 ，
【 点评】此法通过确定法 向量的指 向，把两个半平面的法向
量 的 夹 角 和 二 面 角 的 大 小 关 系 的 判 断 问题 转 化 为 判 断这 两个 法 向 量 的 指 向性 闸 题 ， 充 分 利 用 了向 量 的 几 何 形 式 和 “ ” 的特 形
二面角求解方法
二面角的作与求之马矢奏春创作
求角是每年高考必考内容之一, 可以做为选择题, 也可作为填空题, 时常作为解答题形式呈现, 重点掌控好二面角, 它一般呈现在解答题中.下面就对求二面角的方法总结如下：
1、界说法：在棱上任取一点, 过这点在两个面内分别引棱的垂线, 这两条射线所成的角就是二面角的平面角.
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线, 再由垂足向棱作垂线获得棱上的点.斜足与面上一点连线, 和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角.
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面, 截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角.
4、投影法：利用s
投影面
=s
被投影面θcos
这个公式对斜面三角形,
任意多边形都成立, 是求二面角的好方法.尤其对无棱问题
5异面直线距离法： EF 2
=m 2
+n 2
+d 2
－2mn θcos
例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点, 而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形, PA=6,求二面角P-BC-A 的年夜小.
分析：由于这两个三角形是全等的三角形, 故采纳界说法
解：取BC 的中点E, 连接AE 、PE
P
C
B
A
E
AC=AB, PB=PC ∴AE ⊥ BC, PE ⊥BC
∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角
在PAE ∆中AE=PE=3, PA=6
∴PEA ∠=90
∴二面角P-BC-A 的平面角为900
.
例2：已知ABC ∆是正三角形, ⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的年夜小.
[思维]二面角的年夜小是由二面角的平面角 来怀抱的, 本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角, 还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角.
求解二面角的四种基本方法
求解二面角的四种基本方法
高中数学学习过程中，求解二面角是高考理科高考的必考题型，多种角度，多种方法处理这类问题是一项重要的基本能力，是落实数学核心素养培养的基本方法，在教学过程中有必要对本类型习题进行详尽的介绍和广泛的探索，提升本类问题的处理方式和方法，是多种知识交汇，处理问题的能力的体现，本文根据近年高考题与模拟题中的常见题型，对常用的处理方法进行探究和总结，希望能够找到本类题型的常见处理方法，帮助学生建立良好的处理策略.
一、利用定义求解
例1. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，
23AC =，12A A BD ==,E 为1BD 中点.
求二面角E DC A --的余弦值.
分析 过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，则EFO ∠是二面
角E OC A --的平面角.
解答过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，
∵1DD ⊥面ABCD ，1//OE DD ，∴OE ⊥面ABCD .
∴EFO ∠是二面角E OC A --的平面角.
∵1112OE DD ==，3OF =，∴7EF =，217
cos EFO ∠=. 故二面角E DC A --的余弦值为
217. 说明 二面角是规则图形的面与面之间的角是，采用二面角的定义，直接做出角，利用边长的长度关系找到二面角的平面角之间的边长长度关系，进而求解二面角大小.
变式训练1 （2019年天津高考题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平
行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，
六种方法求二面角的大小
六种方法求二面角的大小
河北省武邑县职教中心 053400 李凤迎 李洪涛
求二面角的大小是高考立体几何题中的重要题型，它几乎涉及到了立体几何中的所有知识点，考查到了所有思想和方法，具有很强的综合性.我们要根据题目环境条件的不同灵活地采用适当的方法.下面总结一下二面角的常见求法，以供大家学习和参考.
一、定义法
例1. 在三棱锥A BCD -中，AB AC AD BC ===，CD BD =，90BAC ∠=，
90BDC ∠=，求二面角A BC D --的大小.
分析 因为ABC ∆和BCD ∆是有公共边的等腰三角形，此时宜采用“定义法”.
解答 取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，因为OA 、OD 分别为等腰ABC ∆和BCD ∆的中线，所以AO BC ⊥，DO BC ⊥，则AOD ∠即为所求二面角A BC D --的平面角.设AB a =，则
AD a =
，AO =
，2OD a =，在AOD ∆
中，因为2
2
2
2a a ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即222AO OD AD +=，所以90AOB ∠=，所以二面角A BC D --大小为90.
说明 当二面角的两个面是有公共边的等腰三角形和矩形的组合时，可采用“定义法”；
当二面角的两个面是关于公共边对称的两个全等三角形时，同时取公共边上的高，由定义可作出二面角的平面角.
变式训练1 （2008年高考题）在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =
, CD =
,AB AC =.
设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C AD E --的大小. 二、三垂线定理法
用向量法求二面角的常用技巧
用向量法求二面角的常用技巧作者：唐中奎
来源：《新课程·中学》2019年第09期
摘要：在高中数学教学中，不管是教学观念，还是教学方法，都发生了很大的变化，作为高中数学教师，需要积累丰富的教学经验以及诸多的解题技巧，并且充分认识到教学过程中存在的不足之处，进而采取有效的解决对策，提升教学水平。其中，对二面角进行教学时，教师应该对向量法给予高度重视，让学生充分掌握常用的解题技巧。主要阐述了采用向量法求二面角的常用技巧。
关键词：向量法;技巧;二面角
由于新课改的不断推进，在现阶段的高中数学教学中，为了有效提高教学效率，数学教师应该从学生的学习情况出发，明确教学中存在的问题，不断调整教学模式，设计的教学内容要满足学生的实际需求，尤其要重视一些解题技巧，以此提高学生的解题能力。一直以来，在高中教学中，向量法是重要的教学内容，在高考的考点中，二面角方面的命题也比较常见，通过空间向量的应用，为二面角命题提供了有效的解题方式。下面以向量求解二面角问题为例。
题目：在四棱锥P-ABCD中，PD⊥CD，PDC面与ABCD面相互垂直，ABCD为直角梯形，∠ADC为直角，AB∥CD，AB=PD=AD=1，DC=2，详情见图1。
（1）证明：BC垂直于面PBD;
（2）求二面角B-PC-D的余弦值;
（3）在PC中，是否存在点Q，可以使P-DB-Q等于45°，如果存在点Q，请给出具体位置，如果不存在，请说明理由。
一、根据现有的垂直关系构建空间坐标系
（1）证明：因为PCD⊥ABCD，CD⊥PD，所以，PD⊥ABCD。具体见图2所示。
二面角求解方法
教师: 学生: 年级: 科目： 课次： 时间: 年 月 日 内容： 二面角求解方法总结
二面角的作与求
求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：
1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s
投影面
=s
被投影面
θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，
是求二面角的好方法。尤其对无棱问题
5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos
例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，
PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法
解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE
AC=AB ，PB=PC ∴
AE ⊥ BC ，PE ⊥BC
∴PEA ∠为二面角
P-BC-A 的平面角
P
C
B
A
E
在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6
∴PEA ∠=900
∴二面角
P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
二面角的求法
例3：在正方体AC1中，求二面角A1 BD C1的大小。
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则 B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）
DB 2,2,0, OA1 2,0,2 1,1,0 1,1,2, OC1 1,1,2 DB OA （1 ） 0 2＝0 1 2 1 2 C D1 z 1 DB OC1 2 (1) 2 1 0 2 0
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角的大小来度量
P
l
A
B
P1
A1
B1
∠APB= ∠A1P1B1
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围: 0180
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就是 此二面角的平面角。 垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
2、三垂线法:在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB， 3、垂面法:
二面角的计算方法
图1
二面角计算
一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的
平面角的途径有：
⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发
在二面角的两个面内分别作棱的垂线；
⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面β内
的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD⊥AB 于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是 所求二面角的平面角。
⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。
例1 如图2，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD⊥底面ABCD ． （1）证明AB⊥平面VAD ；
（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小． 解：（1）证明：
VAD ABCD AB AD AB VAD
AB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫
⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⎭
平面平面平面平面平面平面 （2）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ， ∵△VAD 是正三形，四边形ABCD 为正方形， ∴由勾股定理可知，
BD VB,=
==
∴AE⊥VD，BE⊥VD，
∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt△ABE 中，∠BAE=90°，
AB ，
因此，tan∠AEB=
.3
3
2=AE AB 即得所求二面角的大小为.33
2arctan
例2 如图3，AB⊥平面BCD ，DC⊥CB，AD 与平面BCD
成30°的角，且AB=BC.
（1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小； （2）求二面角C-AD-B 的大小；