例5 已知等腰三角形的周长,求底边的取值范围
3等腰三角形中的三边关系
等腰三角形中的三边关系
学习目标：（1）分类讨论等腰三角形的三边关系（2）注意方法的总结
一、已知等腰三角形的两边，求周长
注意两个问题：1、一是分类讨论腰与底的情况２、二是验证能否构成三角形
练习1：等腰三角形的两边长分别为４和10，求三角形的周长
练习2：等腰三角形的两边长分别为６和８，求三角形的周长
二、已知等腰三角形的周长及一边长，求其它边长
注意两个问题：1、一是分类讨论腰与底的情况２、二是验证能否构成三角形
练习３：已知等腰三角形的周长是20，一边长是4，求三角形的三边长
练习４：已知等腰三角形的周长是20，一边长是８，求三角形的三边长
三、已知等腰三角形的底，求腰的取值范围
规律总结：腰长>1
2
×底长
练习５：已知等腰三角形的底为5，求腰的取值范围
四、已知等腰三角形的腰，求底的取值范围
规律总结：0<底<2×腰
练习６：已知等腰三角形的腰为７，求底的取值范围
五、已知周长，求腰与底的取值范围
等腰三角形的周长为20，则腰长a的取值范围是，则底边长c的取值范围是
总结：等腰三角形腰长的取值范围：1
4×周长<腰长<1
2
×周长
等腰三角形底长的取值范围：0<底长<1
2
×周长。
函数自变量取值范围
函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。
一、教法点拨：1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；2. 实际问题中自变量的取值范围：（1）注意自变量自身表示的意义；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。
3. 几何图形中函数自变量的取值范围：（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。
注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。
二、题型分类：题型一：函数关系式中自变量取值范围1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。
（原创题）①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。
①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。
②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。
④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠13.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。
①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。
②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。
等腰三角形的性质
例01．如图，已知：在中，，，求各内角的度数.分析：因为ABC ∆是等腰三角形，因此，ACB ABC ∠=∠，所以只要求出ACB ∠的度数，就可以求出ABC ∠的度数. 根据三角形内角和定理，又可求出A ∠的度数.解答：∵ACB ∠和ABD ∠是邻补角，又︒=∠110ACD ， ∴ ︒=∠70ACB∵ AC AB =，∴︒=∠=∠70ACB ABC （等边对等角） ∴ ︒=︒-︒-︒=∠407070180A说明：在等腰三角形中，两个底角相等，内角和为︒180，所以只要知道等腰三角形的一个内角，就很容易求出它的另外两个角.例02．如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，BD 和CE 是AC 和AB 边上的中线.求证：CE BD =.分析：欲证CE BD =，就要证明CDB BEC ∆≅∆. 或证明ACE ABD ∆≅∆. 证明：在ABC ∆中，∵ AC AB =，BD 和CE 是中线， ∴ AD AE =.在ABD ∆和ACE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已证公共已知AE AD A A AC AB ∴ )(SAS ACE ABD ∆≅∆.∴ CE BD =.说明：三角形中，如果有两边相等，就有对应的两个角相等，我们可以根据这些特点找出一些全等的关系，得出相应的对应线段或对应角相等的关系.例03．如图，已知：在ABC ∆中，如果AC AB =，BC AE //. 求证：AE 平分ABC ∆的外角DAC ∠.分析：要证AE 平分DAC ∠，即证EAC DAE ∠=∠，又因为DAC ∠是ABC ∆的外角，因此有C C B DAC ∠=∠+∠=∠2，所以，只需证EAC C ∠=∠即可. 则由平行线的性质很快就能证出EAC C ∠=∠.证明：∵AC AB =（已知）， ∴ C B ∠=∠（等边对等角） 又∵C B DAC ∠+∠=∠， ∴C DAC ∠=∠2. ∵BC AE //（已知）， ∴C EAC ∠=∠∴EAC DAC ∠=∠2 ∴AE 平分EAC ∠.说明：在等腰三角形中，角平分线，平行线往往同时出现. 而有等腰、角平分线，就可能出现平行，有平分线和等腰就可能出现角平分线，同样，有角平分线和平行线往往会构成等腰三角形.例04．如图，ABC ∆中，AC AB =，D 是AC 上一点，且BC DB AD ==，求A ∠的度数.分析 题中只给出了一些相等的线段，要求A ∠的度数，首先要把三角形中的边相等转化为角相等：)1(211∠+∠=∠=∠A A BDC ∠=21ABC ∠=21，可见，在ABC ∆中，C ABC A ∠=∠=∠2121. 由内角和定理可求出A ∠， 解答 因为AC AB BC DB DB AD ===,,， 所以C BDC A ∠=∠∠=∠,1，C ABC ∠=∠. 所以A A BDC C ABC ∠=∠+∠=∠∠=∠21＝.设︒=∠x A ，则︒=∠x ABC 2，︒=∠x C 2. 在ABC ∆中，18022=++x x x 解得36=x . 所以︒=∠36A .说明 在计算角的度数的题目中，若给出较多的等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质，找出图中某个三角形的各内角与未知数之间的关系，再利用三角形内角和定理，将“形”的总是转化为“方程”问题来解决.例05．已知：如图，D 、E 分别为等边ABC ∆的边BC 、AC 上的点，且CE BD =，BE 、AD 相交于点F .求证：︒=∠60AFE .分析 要证︒=∠60AFE ，而等边ABC ∆的每个内角都等于︒60，所以只要证明它与ABC ∆的一个内角相等，又由BAD FBA AFE ∠+∠=∠，而︒=∠+∠60EBC FBA ，所以只要证明CBE BAD ∠=∠.解答 因为ABC ∆为等边三角形（已知），所以︒=∠=∠60BCA ABC ，BC AB =.在ABD ∆和BCE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已证已证CE BD BCE ABD BC AB所以)(SAS BCE ABD ∆≅∆，所以CBE BAD ∠=∠.因为ABE BAD AFE ∠+∠=∠（外角定理） 所以︒=∠=∠+∠=∠60ABC ABE CBE AFE . 说明 本题亦可证明BAE ACD ∆≅∆.等边三角形的每个内角都等于︒60，每条边都相等，是题目中的隐含条件，解题时要注意.例06．如图，ABC ∆中，AC AB =，E 在AC 上，且AE AD =，DE 的延长线与BC 相交于F .求证：BC DF ⊥.分析 要证明BC DF ⊥，只要证明︒=∠+∠90D B ，也就是证明︒=∠+∠18022D B ，而B C B DAE ∠=∠+∠=∠2，AED D D ∠+∠=∠2.解答 ∵AE AD AC AB ==,， ∴AED D C B ∠=∠∠=∠,.∴B C B DAE ∠=∠+∠=∠2.又∵在ADE ∆中，︒=∠+∠+∠180AED D DAE ， ∴︒=∠+∠18022D B ， ∴BC DF ⊥.说明 要证明BC DF ⊥，也就是要证明DF 与等腰ABC ∆的底边BC 垂直. 可以作底边BC 上的高AG ，然后再证明AG DF //. 如下图.例07．已知：如图，AB BC >，BD 平分ABC ∠，且DC AD =.求证：︒=∠+∠180C A .分析 A ∠与C ∠不在同一个三角形内，也没有直接的联系，为了证明︒=∠+∠180C A ，需要将它们搬到一块，看看是否能构成平角. 这种搬动的方法有好几种.解答一 如图， ∵BD 平分ABC ∠， ∴EBD ABD ∠=∠.在BC 上取AB BE =，连结DE . 在ABD ∆EBD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已证作图BD BD EBD ABD BA BE ∴EBD ABD ∆≅∆（边角边）∴BED A ∠=∠，DE AD =（全等三角形对应角、对应边相等） ∵DC AD =， ∴DE DC =.∴DCE C ∠∠＝（等边对等角）， ∴︒∠∠∠∠180＝＋＝＋DEC DEB C A解答二 如下图，延长BA 到F ，使BC BF =，连结DF . ∵BD 平分ABC ∠， ∴CBD FBD ∠=∠.在FBD ∆和CBD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已证作图BD BD CBD FBD BC BF ∴)(SAS CBD FBD ∆≅∆，∴C F ∠=∠，CD FD =（全等三角形对应角、对应边相等） 又∵DC AD =， ∴DF AD =， ∴DAF F ∠=∠，∴︒=∠+∠=∠+∠180DAF BAD C BAD .说明 在等腰三角形中，经常添加的辅助线是底边上的高或底边上的中线或顶角的平分线.本题还可以有下面的一些搬动A ∠和C ∠的方法，如下图.过点D 作BA DF ⊥于F ，BC DE ⊥于 E. 再证CDE ADF ∆≅∆，然后证明=∠+∠C BAD ︒=∠+∠180DAF BAD .也可以过点A 作BD AG ⊥交BC 、BD 于G 、H ，连结DG . 再证GHB AHB ∆≅∆，然后证明C BAD ∠+∠DGC BGD ∠+∠=︒=180.例08．已知：如图，D 、E 分别为等边ABC ∆的边BC 、AC 上的点，且CE BD =，连结BE 、AD 交于F ，求证：︒=∠60AFE .分析：要证︒=∠60AFE ，由等边三角形知它的内角都等于︒60，故只须证它与ABC ∆的一个内角相等，又BAD FBA AFE ∠+∠=∠. 而知︒=∠+∠60EBC FBA ，而只需证BCE ABD ∆≅∆即可.证明：∵ABC ∆为等边三角形（已知） ∴︒=∠=∠60BCA ABCAC AB =（等边三角形的定义）在ABD ∆和BCE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已证已证CE BD BCE ABD BC AB∴)(SAS BCE ABD ∆≅∆∴CBE BAD ∠=∠（全等三角形的对应角相等）∵ABE BAD AFE ∠+∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴ABE CBE AFE ∠+∠=∠ ∴︒=∠=∠60ABC AFE例09．已知：如图，在ABC ∆中，21∠=∠，C ABC ∠=∠2. 求证：AC AD AB =+.分析：已知C ABC ∠=∠2，出现2倍角，作辅助线，使2倍角为等腰三角形的顶角的外角，故可作延长AB 到E ，使AB BE =，再连结ED ，同时通过证全等三角形，使AE AC =，而BE AB AE +=，BD BE =得到证明结论.证明：延长AB 至E ，使BD BE =，连DE 则BDE BED ∠=∠（等边对等角）∵ BDE E ABD ∠+∠=∠（三角形的一个外角等于它不相邻两内角的和） ∴ E ABC ∠=∠2∵C ABC ∠=∠2（已知） ∴C E ∠=∠在AED ∆和ACD ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()(21)(公共边已知已证AD AD C E∴)(AAS ACD AED ∆≅∆∴AE AC =（全等三角形的对应边相等） ∵BE AB AE += ∴BD AB AC += 即AC BD AB =+例10．已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为cm 18和cm 21两部分，求，它的三边长.分析：在ABC ∆中，AC AB =. BD 是中线，BD 把周长分为cm 18和cm 21两部分，有可能是cm AD AB 18=+，也可能是cm CD BC 18=+. 所以要分两种情况进行讨论.解答：在ABC ∆中，设AC AB =. BD 是它的中线，根据题意，设腰长为x cm ，底边长为y cm ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2121,1821x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1821,2121x y x x 解这两个方程组得：⎩⎨⎧==.15,12y x 或⎩⎨⎧==.11,14y x ∴ ABC ∆的三边长12==AC AB ，15=BC 或14==AC AB ，11=BC .说明：在一个等腰三角形没有注明哪条边是腰，哪条边是底的情况下，要注意讨论，看一看各种条件是否符合题意.例11．如图，已知：D ，E 是ABC ∆的BC 边上的两点，并且EC DE BD ==AE AD ==. 求BAC ∠的度数.分析：由AE DE AD ==可知三角形ADE 是等边三角形，而ABD ∆和AEC ∆是等腰三角形，可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度数.解答：∵AE DE AD ==，（已知）∴ ADE ∆是等边三角形. ∴ ︒=∠60ADE 又∵ BD AD =，∴ BAD B ∠=∠.而 BAD B ADE ∠+∠=∠，∴ ︒=∠⨯=∠3021ADE B . 同理可得︒=∠30C ，∴︒=︒-︒-︒=∠1203030180BAC说明：在一个图形中，有时出现不止一个等腰三角形，可以由每个等腰三角形中的两个底角相等，找出相应的一些角的关系，利用三角形内角和定理，进一步求出有关角的度数.例12．如图，已知：ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在同一直线上. 求证：CD AC CE +=.分析：本期若用截取法，补短法都不易证出. 但BD CD BC CD AC =+=+. 即要证CE BD =. 由此想到ABD ∆和ACE ∆是否全等. 由已知条件容易得出ACE ABD ∆≅∆. 于是此题得证.证明：∵ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，∴ AC AB =，AE AD =. ︒=∠=∠60DAE BAC （等边三角形的定义） ∴ DAE CAD CAD BAC ∠+∠=∠+∠，即CAE BAD ∠=∠. 在BAD ∆与CAE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已证已证已证AE AD CAE BAD AC AB ∴)(SAS CAE BAD ∆≅∆∴CE BD =（全等三角形的对应边相等） ∴CD BC BD +=又∵ BC AC =（等边三角形的定义）， ∴CD AC BD +=. 即CD AC CE +=.说明：在含有等边三角形或等腰三角形中，要证两条线段之和等于第三条线段时，除了可以采用截取法，补短法之外，还可以通过相等的边，对要证的式子作适当变形，证出它的正确性.例13．如图，已知：在ABC ∆中，E 是AB 延长线上的一点，AC AE =，AD 平分A ∠，BE BD =.求证：C ABC ∠=∠2.分析：注意到题中所给条件BE BD =，所以有BDE BED ∠=∠，而ABC ∠是EBD ∆的外角，所以BED BDE BED ABC ∠=∠+∠=∠2. 所以欲证C ABC ∠=∠2，只需证C BED ∠=∠即可. 那么要证C BED ∠=∠，就要证明AED ACD ∆≅∆，题中已给出了AED ACD ∆≅∆的条件.证明：在AED ∆和ACD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边角平分线定义已知AD AD CAD EAD AC AE ∴)(SAS ACD AED ∆≅∆∴ C E ∠=∠（全等三角形的对应角相等） 又∵BE BD =（已知），∴E BDE ∠=∠（等边对等角）而E E BDE ABC ∠=∠+∠=∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴C ABC ∠=∠2例14_____,100)3(____,30)2(_____,,70)1(,:000为则它的另外两内角分别若一角为为则它的另外两内角分别若一个角为则若中在已知=∠=∠=∠=∆C B A ACAB ABC分析：注意到题中所给的条件AB ＝AC ，得到三角形为等腰三角形。
初二数学下《一次函数》单元测试题含答案
人教版八年级数学《一次函数》单元测试之蔡仲巾千创作完成时间：120分钟满分：150分姓名成绩一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）1．若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围是（）A．y＝60－2x(0<x<60)B．y＝60－2x(0<x<30)C．y＝12(60－x)(0<x<60)D．y＝12(60－x)(0<x<30)1．函数y＝1x－3＋2.x－1的自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥1且x≠3 C．x≠3D．1≤x≤33．下列各曲线中暗示y是x的函数的是（）A B C D4．李大爷想围成一个如图所示的长方形菜园，已知长方形菜园ABCD 的面积为24平方米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数解析式为（）A．y＝24xB．y＝－2x＋24 C．y＝2x－24 D．y＝12x－12第4题图第9题图第10题图5．已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D6．已知一次函数y＝kx＋b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在平面直角坐标系内它的大致图象是（）A B C D7．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0C．m＜12D．m＞128．若点M(－7，m)，N(－8，n)都在函数y＝－(k2＋2k＋4)x＋1(k为常数)的图象上，则m和n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不克不及确定9．如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是（）A．x＞2 B．x＜2C．x＞－1 D．x＜－110．如图是当地区一种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图2是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×每件产品的销售利润，下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为200件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元二、填空题（每题5分，共20分）11．在函数y＝x－1x－2中，自变量x的取值范围是．12．如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为.第12题图第13题图第14题图13．有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的高度y(米)与注水时间x(小时)之间的函数图象如图所示，若要使甲、乙两个蓄水池的蓄水深度相同，则注水的时间应为小时．14．如图，经过点B(－2，0)的直线y＝kx＋b与直线y＝4x＋2相交于点A(－1，－2)，则不等式4x＋2＜kx＋b＜0的解集为．三、解答题（共90分）15．（8分）已知y＝(m＋1)x2-|m|＋n＋4.(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？16．已知y与x＋2 成正比例，当x＝4时，y＝12.(1)写出y与x之间的函数解析式；(2)求当y＝36时x的值；(3)判断点(－7，－10)是否是函数图象上的点．17．（8分）已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.(1)求正比例函数的解析式；(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（8分）已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝－3时，y＝4.(1)求y与x的函数解析式，并说明此函数是什么函数；(2)当x＝3时，求y的值．19．（10分）某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时)之间的函数关系如图所示，回答下列问题．(1)机动车行驶几小时后加油？(2)求加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系，并求自变量t的取值范围；(3)中途加油多少升？(4)如果加油站距目的地还有230千米，车速为40千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．20．（10分）两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，如图，请根据图中给出的数据信息，解答问题：(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．21．（12分）为更新果树品种，某果园计划购进A，B两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．求y与x的函数解析式．22．（12分）如图，直线y＝2x＋3与直线y＝－2x－1.(1)求两直线与y轴交点A，B的坐标；(2)求两直线交点C的坐标；(3)求△ABC的面积．23．（14分）为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系，根据图象回答下列问题：(1)求手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式；(2)李老师经常骑行共享单车，请根据分歧的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．参考答案姓名成绩一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。
人教版八年级数学上册 等腰三角形的性质 讲义
等腰三角形的性质知识点一、等腰三角形的概念与性质顾名思义，至少有两边相等的三角形叫等腰三角形，这两条边就是等腰三角形的“腰”，另一边叫做“底边”腰和底边的夹角叫做“底角”，两腰的夹角叫做“顶角”如图，过等腰三角形ABC的顶点A，作垂线AD⊥BC于D，则△ADB与△ADC有什么关系？为什么？等腰三角形性质总结：1、两腰相等2、两底角相等3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称：三线合一）例1、等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A、50°，50°，80°B、80°，80°，20°C、100°，100°，20°D、50°，50°，80°或80°，80°，20°例2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）A 、40°，40°B 、100°，20°C 、50°，50°D 、40°，40°或100°，20°例3、一个等腰三角形的一边是6，周长是12，则它的三边长分别为_____________1、已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A 、55°，55°B 、70°，40°C 、55°，55°或70°，40°D 、以上都不对2、在下列命题中，正确的是（ ）A 、等腰三角形是锐角三角形B 、等腰三角形两腰上的高相等C 、两个等腰直角三角形全等D 、等腰三角形的角平分线是中线3、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为（ ）A 、11cmB 、17cmC 、16cmD 、16cm 或17cm4、在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（）A 、121≤≤xB 、120≤<xC 、120<<xD 、126<<x5、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、若△ABC三条边的长度分别为m,n,p,且()02=-+-pnnm，则这个三角形为（）A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D.等腰直角三角形7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.8、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.9、如果△ABC中，AB=AC，它的两边长为2cm和4cm，那么它的周长为________.10、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.11、如果等腰三角形的周长为cm18，那么它的底边x的取值范围是_______.12、已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.13、等边三角形的周长为cm15，则它的边长为________14、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.15、如图，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BD=5cm，那么BC的长为_________.16、如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若∠BDE=158°，则∠DEF=_____.17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
八年级数学 第十二章 第3节 等腰三角形 人教新课标版
初二数学第十二章第3节等腰三角形人教新课标版一、学习目标：1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30的直角三角形的性质。
二、重点、难点：重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30的直角三角形的性质。
难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。
三、考点分析：本节知识内容是初中数学的基础，考试题型多，方法灵活。
对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定，即边角的相互转化。
这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。
在综合题中，对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见，中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题，如函数中的动点，考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。
知识点一：等腰三角形的有关概念例1.如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。
思路分析：这里要求根据条件说明图形的名称，而不是凭直观和想象。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，另外的两个角叫做底角。
解答过程：图中的等腰三角形有ABC∆和ADB∆。
其中∠；∠和C ABC∠，底角是CBA ∆的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是BAC∠，底角是∠A和ABD∠。
∆的腰是DA和DB，底边是AB，顶角是BDAADB解题后的思考：解决此类题目应先找到两腰，然后根据其他元素与两腰的相对位置关系来进行识别。
例2. 已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________； 思路分析：长为3的边是否是腰并不清楚，故应分类讨论。
解答过程：当3为底边时，其他两边均为(133)25-÷=；当3为腰长时，其他两边为3和13337--=。
2021年【区级联考】山东省泰安市泰山区数学八年级第二学期期末考试试题含解析
2021年【区级联考】山东省泰安市泰山区数学八年级第二学期期末考试试题 考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图所示,如果把△ABC 的顶点A 先向下平移3格,再向左平移1格到达A'点,连接A'B ,则线段A'B 与线段AC 的关系是 ( )A ．垂直B ．相等C ．平分D ．平分且垂直2．一次函数24y x =-+，当0y >时，x 的取值范围是() A ．2x >- B ．2x > C ．2x <- D ．2x <3．已知点1(1,)y -，2(1,)y ，3(2,)y -都在直线y x =-上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．312y y y >>D ．312y y y <<4．一元二次方程的解是（ ） A ．B ．C ．D ． 5．如图，一次函数1y x =-+的图象与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 是线段AB 上一动点(不与点A 、B 重合)，过点C 分别作CD 、CE 垂直于x 轴、y 轴于点D 、E ，当点C 从点A 开始向点B 运动时，则矩形CDOE 的周长( )A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变小后变大6．如图，P 为□ABCD 对角线BD 上一点，△ABP 的面积为S 1，△CBP 的面积为S 2，则S 1和S 2的关系为 （ ）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法判断7．如图，在长方形ABCD 中，点M 为CD 中点，将MBC △沿BM 翻折至MBE △，若∠=AME α，ABE β∠=，则α与β之间的数量关系为（ ）A ．3180αβ+=︒B ．20βα-=︒C ．80αβ+=︒D ．3290βα-=︒8．如图，先将矩形ABCD 沿三等分线折叠后得到折痕PQ ，再将纸片折叠，使得点A 落在折痕PQ 上E 点处，此时折痕为BF ，且AB ＝1．则AF 的长为（ ）A ．4B 55C 95D 59．为了了解我市50000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了1名考生的成绩进行统计．下列说法： ①这50000名学生的数学考试成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③1名考生是总体的一个样本；④样本容量是1．其中说法正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，过点A 0（1，0）作x 轴的垂线，交直线l ：y ＝2x 于B 1，在x 轴上取点A 1，使OA 1＝OB 1，过点A 1作x 轴的垂线，交直线l 于B 2，在x 轴上取点A 2，使OA 2＝OB 2，过点A 2作x 轴的垂线，交直线l 于B 3，…，这样依次作图，则点B 8的纵坐标为（ ）A ．（5）7B ．2（5）7C ．2（5）8D ．（5）9二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知正方形ABCD ，以BAE ∠为顶角，边AB 为腰作等腰ABE ∆，连接DE ，则DEB ∠=__________．12．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB =，6AC =，点D 、E 分别是BC 、AD 的中点，//BC AF 交CE 的延长线于F ，则四边形AFBD 的面积为______．13．如图，点P 在第二象限内，且点P 在反比例函数k y x=图象上，PA ⊥x 轴于点A ，若S △PAO 的面积为3，则k 的值为 ．14．一辆汽车的行驶距离s(单位：m)与行驶时间t(单位：s)的函数关系式是s ＝9t+212t ，则汽车行驶380m 需要时间是______s. 15．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为__________．16．如图，正方形ABCD 的边长为8，点E 是BC 上的一点，连接AE 并延长交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE翻折，点B 落在点N 处，AN 的延长线交DC 于点M ，当AB ＝2CF 时，则NM 的长为_____．17．将直线y=2x-3向上平移5个单位可得______直线．18．在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为30cm,则甲,乙两地的实际距离是__________千米．三、解答题(共66分)19．（10分）某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．20．（6分）定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．（1）在三等角四边形ABCD 中，A B C ∠=∠=∠，则A ∠的取值范围为________．（2）如图①，折叠平行四边形DEBF ，使得顶点E 、F 分别落在边BE 、BF 上的点A 、C 处，折痕为DG 、DH ．求证：四边形ABCD 为三等角四边形；（3）如图②，三等角四边形ABCD 中，A B C ∠=∠=∠，若4AB =，17AD =6DC =，则BC 的长度为多少？21．（6分）若抛物线上21y ax bx c =++，它与y 轴交于()0,4C ，与x 轴交于()1,0A -、(),0B k ，P 是抛物线上B 、C 之间的一点，（1）当4k =时，求抛物线的方程，并求出当BPC ∆面积最大时的P 的横坐标．（2）当1a =时，求抛物线的方程及B 的坐标，并求当BPC ∆面积最大时P 的横坐标．（3）根据（1）、（2）推断P 的横坐标与B 的横坐标有何关系？22．（8分）某校初二年级以班为单位进行篮球比赛，第一轮比赛是先把全年级平分成A 、B 两个大组，同一个大组的每两个班都进行一场比赛，这样第一轮A 、B 两个大组共进行了20场比赛，问该校初二年级共有几个班？23．（8分）阅读材料：关于x 的方程：11x a x a +=+的解为：1x a =，21x a = 11x a x a -=-（可变形为11x a x a --+=+）的解为：1x a =，21x a-= 22x a x a +=+的解为：1x a =，22x a= 33x a x a +=+的解为：1x a =，23x a= …………根据以上材料解答下列问题：（1）①方程1122x x +=+的解为 ． ②方程111313x x -+=+-的解为 ． （2）解关于x 方程： ①2211x a x a +=+-- （1a ≠） ②3322x a x a -=---（2a ≠） 24．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F . 求证：△ABF 是等腰三角形．25．（10分）已知直线y x b =+分别交x 轴于点A 、交y 轴于点()0,2B()1求该直线的函数表达式；()2求线段AB 的长．26．（10分）已知等腰三角形的周长为12cm ， 底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数．()1写出这个函数关系式；()2求自变量x 的取值范围；()3画出这个函数的图象．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】【分析】先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B 与线段AC 的关系．【详解】解：如图，将点A 先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B ，与线段AC 交于点O ．∵2，2，∴线段A′B 与线段AC 互相平分，又∵∠AOA′=45°+45°=90°，∴A′B ⊥AC ，∴线段A′B 与线段AC 互相垂直平分．故选D ．【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理，正确利用网格求边长长度及角度是解题的关键．2、D【解析】【分析】根据一次函数24y x =-+, 0y >可得: 240x -+>,解得: 2x <,即可求解.【详解】因为24y x =-+,所以当0y >时,则240x -+>,解得2x <,故选D.【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数与不等式的关系.3、C【解析】【分析】y x =-中，10k =-<,所以y 随x 的增大而减小，依据三点的x 值的大小即可确定y 值的大小关系.【详解】解：10k =-<∴y 随x 的增大而减小 又211-<-<∴312y y y >>故答案为：C【点睛】本题考查了一次函数的性质，正确理解并应用其性质是解题的关键.4、D【解析】【分析】用因式分解法求解即可．【详解】解：x 2+1x =0，x (x +1)=0，所以x =0或x +1=0，解得：x 1=0，x 2=-1．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键．5、A【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C 的坐标为（m ，-m+1），根据矩形的周长公式即可得出C 矩形CDOE =2，此题得解.【详解】解：设点C 的坐标为(m ，m 1)(0m 1)-+<<，则CE m =，CD m 1=-+，()CDOE C 2CE CD 2∴=+=矩形，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C的坐标是解题的关键.6、B【解析】分析：根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等.详解：∵在□ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h.∴S1= S△ABP=12BP h,S2= S△CPB=12BP h.∴S1=S2,故选：B.点睛：本题主要考查的平行四边形的性质，关键在于理解等底等高的三角形的面积相等的性质.7、D【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合翻折变换的性质得出△ADM≌△BCM(SAS)，进而利用直角三角形的性质得出答案．【详解】∵M为CD中点，∴DM=CM，在△ADM和△BCM中∵AD BCD C DM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADM≌△BCM(SAS)，∴∠AMD=∠BMC，AM=BM∴∠MAB=∠MBA∵将点C绕着BM翻折到点E处，∴∠EBM=∠CBM,∠BME=∠BMC=∠AMD ∴∠DME=∠AMB∴∠EBM=∠CBM=12(90°-β)∴∠MBA=12(90°-β)+ β=12(90°+β)∴∠MAB=∠MBA=12(90°+β)∴∠DME=∠AMB=180°-∠MAB-∠MBA=90°-β∵长方形ABCD中，∴CD∥AB∴∠DMA=∠MAB=12(90°+β)∴∠DME+∠AME=∠ABE+∠MBE ∵∠AME=α，∠ABE=β，∴90°-β+α=β+12(90°-β)∴3β－2α＝90°故选D.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是利用全等三角形对应角相等即可求解.8、C【解析】【分析】作EM⊥AD于M，交BC于N．只要证明△EMB∽△BNE，可得BE：EF=BN：EM，由此即可解决问题. 【详解】解：作EM⊥AD于M，交BC于N．在Rt△BEN中，BE＝AB＝1，EN＝6，∴BN＝229635-=∵∠FEM+∠BEN＝10°，∠BEN+∠EBN＝10°，∴∠FEM＝∠EBN，∵∠FME＝∠ENB＝10°，∴△EMB∽△BNE，∴BE：EF＝BN：EM，∴1：EF＝3，∴EF，∴AF＝EF．故选C．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．9、C【解析】【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【详解】①这50000名学生的数学考试成绩的全体是总体，说法正确；②每个考生是个体，说法错误，应该是每个考生的数学成绩是个体；③1名考生是总体的一个样本，说法错误，应是1名考生的数学成绩是总体的一个样本；④样本容量是1，说法正确；正确的说法共2个．故选C．【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．10、B【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵A 0（1，0），∴OA 0＝1，∴点B 1的横坐标为1，∵B 1，B 2、B 3、…、B 8在直线y ＝2x 的图象上，∴B 1纵坐标为2，∴OA 1＝OB 1∴A 10），∴B 2点的纵坐标为于是得到B 3的纵坐标为22…∴B 8的纵坐标为27故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是找出B n 的坐标的变化规律．二、填空题(每小题3分,共24分)11、135︒或45︒【解析】【分析】分两种情况画图分析：点E 在正方形内部和点E 在正方形外部．设BAE α∠=，再利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和分别求解即可．【详解】解：如图1，设BAE α∠=90DAE α︒∴∠=-AB AE =902AEB α︒∴∠=-AD AE =()180904522AED αα︒︒︒--∴∠==+ 135DEB AEB AED ︒∴∠=∠+∠=如图2，设BAE α∠=90DAE α︒∴∠=+AB AE =902AEB α︒∴∠=-AD AB AE ==()180904522AED αα︒︒︒-+∴∠==- 45DEB AEB AED ︒∴∠=∠-∠=，故答案为：135°或45°.【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论的数学思想，对E 点在正方形内部或外部进行讨论．解题关键是画出相应的图．12、12【解析】【分析】由于AF ∥BC ，从而易证△AEF ≌△DEC （AAS ），所以AF=CD ，从而可证四边形AFBD 是平行四边形，所以2AFBD ABD S S=四边形，又因为BD=DC ，所以2ABC ABD S S =，所以AFBD ABC S S =四边形，从而求出答案；【详解】 解：∵AF ∥BC ，∴∠AFC=∠FCD ，在△AEF 与△DEC 中，AFC FCD AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△DEC(AAS)，∴AF=DC ，∵BD=DC ，∴AF=BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∴2AFBD ABD S S =四边形， 又∵BD=DC ，∴2ABC ABD S S =，∴AFBD ABC S S =四边形，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S △ABC=12AB ×AC=12×4×6=12， ∴四边形AFBD 的面积为：12；故答案为：12.【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.13、-6【解析】【分析】由△PAO 的面积为3可得12k =3，再结合图象经过的是第二象限，从而可以确定k 值； 【详解】解：∵S △PAO =3， ∴11=22x y k =3， ∴|k|=6，∵图象经过第二象限，∴k<0，∴k=−6；故答案为：−6.【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.14、20【解析】【分析】令S＝380m，即可求出t的值．【详解】解：当s＝380m时，9t+12t2＝380，整理得t2+18t﹣760＝0，即(t﹣20)(t+38)＝0，解得t1＝20，t2＝﹣38(舍去)．∴行驶380米需要20秒，故答案为：20【点睛】本题主要考查根据函数值求自变量的值，能够利用方程的思想是解题的关键．15、【解析】设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=16﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16﹣x）2，解得x=6，∴AE=16﹣6=10，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，在Rt△EFH中，EF =故答案为．点睛：本题考查矩形的翻折，解题时要注意函数知识在生产生活中的实际应用，注意用数学知识解决实际问题能力的培养．16、2 3【解析】【分析】先根据折叠的性质得∠EAB=∠EAN，AN=AB=8，再根据正方形的性质得AB∥CD，则∠EAB=∠F，所以∠EAN=∠F，得到MA=MF，设CM=x，则AM=MF=4+x，DM=DC-MC=8-x，在Rt△ADM中，根据勾股定理，解得x，然后利用MN=AM-AN求解即可.【详解】解：∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，∴AN＝AB＝8，∠BAE＝∠NAE，∵正方形对边AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∴∠NAE＝∠F，∴AM＝FM，设CM＝x，∵AB＝2CF＝8，∴CF＝4，∴DM＝8﹣x，AM＝FM＝4+x，在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM2＝AD2+DM2，即（4+x）2＝82+（8﹣x）2，解得x＝243，所以，AM＝4+423＝823，所以，NM＝AM﹣AN＝823﹣8＝23．故答案为：23.【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，也考查了正方形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质及折叠的性质并能正确运用勾股定理是解题的关键.17、y=1x+1【解析】【分析】根据平移前后两直线解析式中k值相等，b的值上加下减即可得出结论．【详解】解：原直线的k=1，b=-3；向上平移5个单位长度，得到了新直线，那么新直线的k=1，b=-3+5=1．∴新直线的解析式为y=1x+1．故答案是：y=1x+1．【点睛】此题考查的是求直线平移后的解析式，掌握直线的平移规律是解决此题的关键．18、1.1【解析】【分析】设相距30cm的两地实际距离为xcm，根据题意可得方程l：1000=30：x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．【详解】解：设相距30cm的两地实际距离为xcm，根据题意得：l：1000=30：x，解得：x=110000，∵110000cm=1.1km，∴甲，乙两地的实际距离是1.1千米．故答案为：1.1．【点睛】此题考查了比例尺的性质．此题比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．三、解答题(共66分)19、见解析【解析】【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．【详解】如图，①连接AB ，AC ，②分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P ，则P 即为售票中心．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．20、（1）60120BAD ︒<∠<︒；（2）见解析；（3）BC 517【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠BAD 的范围；（2）由四边形DEBF 为平行四边形，得到∠E=∠F ，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC 即可；（3）延长BA ，过D 点作DG ⊥BA ，继续延长BA ，使得AG=EG ，连接DE ；延长BC ，过D 点作DH ⊥BC ，继续延长BC ，使得CH=HF ，连接DF ，由SAS 证明△DEG ≌△DAG ，得出17DAG=∠DEA ，由SAS 证明△DFH ≌△DCH ，得出CD=DF=6，∠DCH=∠DFH ，证出DE ∥BF ，BE ∥DF ，得出四边形DEBF 是平行四边形，得出DF=BE=6，17EG=AG=12（BE-AB ）=1，在Rt △DGA 中，由勾股定理求出22AD AG -，由平行四边形DEBF 的面积求出1717DH =，在Rt △DCH 中，由勾股定理求出617CH =，即可得出BC 的长度． 【详解】（1）∵BAD B BCD ∠=∠=∠∴3360BAD ADC ∠+∠=︒∴3603ADC BAD ∠=︒-∠∵0180ADC ︒<∠<︒∴03603180BAD ︒<︒-∠<︒∴60120BAD ︒<∠<︒故答案为：60120BAD ︒<∠<︒（2）证明：∵四边形DEBF 为平行四边形，∴E F ∠=∠，DE BF∴180E EBF ∠+∠=︒∵DE DA =，DF DC =∴E DAE F DCF ∠=∠=∠=∠∵180DAE DAB ∠+∠=︒，180DCF DCB ∠+∠=︒，180E EBF ∠+∠=︒∴DAB DCB ABC ∠=∠=∠∴四边形ABCD 是三等角四边形；（3）延长BA ，过D 点作DG BA ⊥，继续延长BA ，使得AG EG =，连接DE ；延长BC ，过D 点作DH BC ⊥，继续延长BC ，使得CH HF =，连接DF ，如图所示：在DEG △和DAG △中，90EG AG DGE DGA DG DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴DEG DAG △≌△()SAS ， ∴17AD DE ==DEG DAG ∠=∠同理可得DFH DCH △≌△，()SAS∴6DF DC ==，DFH DCH ∠=∠∵BAD B BCD ∠=∠=∠∴180DEB B ∠+∠=︒，180DFB B ∠+∠=︒∴DE BF ，BE DF ∥∴四边形DEBF 是平行四边形，∴6DF BE ==，DE BF ==， ∴()()1164122EG AG BE AB ==-=⨯-=在Rt DGA ∆中,4DG ===∵平行四边形DEBF 的面积BF DH BE DG =⋅=⋅，64=⨯∴17DH =在Rt DCH ∆中，CH ===∴22BC BF CH =-==故答案为：BC 【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了三等角四边形的判定与性质，翻折变换-折叠问题，四边形的内角和定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．21、（1）2；（2）－2；（3）P 的横坐标等于B 的横坐标的一半【解析】【分析】（1）将k=4代入21y ax bx c =++化成交点式，然后将C （0,4）代入确定a 的值，求得B 点坐标，连接OP ；设()2,34P m m m -++，即可求出△BCP 的面积表达式，然后求最值即可.（2）设24y x bx =++，将()1,0A -代入得5b =，得到二次函数解析式；令y=0，求出直线BC 所在的直线方程；过P 作PH 平行于y 轴，交直线BC 于H ，设()2,54P n n n ++、(),4H n n +，求出△BCP 的面积表达式，然后求最值即可.（3）由（1）（2）的解答过程，进行推断即可.【详解】解：（1）4k =时，由交点式得()()14y a x x =+-，()0,4代入得1a =-，∴234y x x =-++，∵k=4∴B 点坐标()4,0;连OP ，设()2,34P m m m -++， BCP OPB OPC OBC S S S S ∆∆∆∆=+-()2434444222m m m -++⋅=+- ()2228m =--+ 2m =时，最大值为8，∴P 的横坐标为2时有最大值.（2）当1a =时，4c =，设24y x bx =++， ()1,0A -代入得5b =，∴254y x x =++.令0y =求得()4,0B -，易求直线BC 方程为4y x =+，过P 作PH 平行于y 轴交直线BC 于H ，设()2,54P n n n ++、(),4H n n +， 12PBC S PH OB ∆=⋅()2145442n n n =+---⋅ ()2228n =-++2n =-面积最大值为8，此时P 的横坐标为-2.（3）根据（1）（2）得，面积最大时P 的横坐标等于B 的横坐标的一半.【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于根据题意确定△BPC 面积的表达式.22、10个【解析】【分析】设全年级共有2n 个班级，则每一大组有n 个班，每个班需参加（n-1）场比赛，则共有n （n-1）×12 场比赛，可以列出一个一元二次方程.【详解】解：设全年级个2n 班，由题意得：()12202n n -⋅=， 解得5n =或4n =-（舍），210n =，答：全年级一共10个班.【点睛】本题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.23、（1）①12x =，212x =；②14x =，243x =；（2）①1x a =，211a x a +=-；②1x a =，2272a x a -=-． 【解析】试题分析：（1）①令第一个方程中的a ＝2即可得到答案；②把(x －1)看成一个整体，利用第一个方程的规律即可得出答案；（2）①等式两边减去1，把(x －1)和(a －1)分别看成是整体，利用第三个方程的规律即可得出答案；②等式两边减去2，把(x －2)和(a －2)分别看成是整体，利用第二个方程和第四个方程的规律即可得出答案． 试题解析： 解：（1）①由第一个方程规律可得：x 1＝2，x 2＝12； ②根据第一个方程规律可得：x －1＝3或x －1＝13， ∴x 1＝4，x 2＝43； （2）①方程两边减1得：(x －1)＋21x -＝(a －1)＋ 2a 1-， ∴x －1＝a －1或x －1＝2a 1-， ∴：x 1＝a ，x 2＝11a a +-； ②方程两边减2得：(x －2)＋32x --＝(a －2)＋ 32a --， ∴∴x －2＝a －2或x －2＝32a --， ∴：x 1＝a ，x 2＝272a a --． 点睛：此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．24、详见解析.【解析】【分析】根据已知条件易证△ADE ≌△FCE ，由全等三角形的性质可得AE=EF ，已知BE ⊥AE ，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明△ABF 是等腰三角形【详解】∵AD ∥BC ，∴∠ADC=∠ECF ，∵E 是CD 的中点，∴DE=EC ．在△ADE 与△FCE 中，ADC ECF DE ECAED CEF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴AE=EF ，∵BE ⊥AE ，∴△ABF 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质证得AE=EF 是解决问题的关键.25、（1）2y x =+；（2）AB=【解析】【分析】()1把B 点坐标代入y x b =+中求出b 即可；()2先利用一次函数解析式确定A 点坐标，然后利用勾股定理计算出AB 的长．【详解】解：()1把()0,2B 代入y x b =+得2b =，所以该直线的函数表达式为2y x =+；()2当0x =时，20x +=，解得2x =-，则()2,0A -，所以AB的长==【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y kx b =+；将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．26、（1）122y x =-；（2）36x <<；（3）见详解.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的周长计算公式表示即可；（2）根据构成三角形三边的关系即可确定自变量x 的取值范围；（3）可取两个点，在平面直角坐标系中描点、连线即可.【详解】解：（1）这个函数关系式为122y x =-；（2）由题意得122x x x x x -<-<+，即01222x x <-<，解得36x <<，所以自变量x 的取值范围为36x <<；（3）当3x =时，6y =；当6x =时，0y =，函数关系式122y x =-（36x <<）的图象如图所示，【点睛】本题考查了一次函数关系式、函数自变量的取值范围及函数的图象，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系是解题的关键.。
2023-2024学年天津市武清区八年级上学期数学期末质量检测模拟卷合集两套(含解析)
2023-2024学年天津市武清区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）一.单选题（共10题；共30分）1.如图，BD 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥AB ，AD=3，BC=5，则△BCD 的面积为（）A.7.5B.8C.10D.152.在平面直角坐标系中，点（﹣1，m 2+1）一定在（）A.象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD ⊥AB 于D,AB=4cm,则BD 的长为（）.A .3B.4C.1D.74.已知一个锐角三角形两边长分别为3,4，则第三边长没有可能的值是（）A.4B.2C.6D.4.55.下列命题中，正确的是（）A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形C.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等D.三角形的三条高都在三角形内部6.在函数y =x 的取值范围是（）A.x>12B.x <12C.x ≥12D.x≤127.如图，点,A B 的坐标分别为(2,0),(0,1)，若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为_____．8.如图,ABC 中,AD BC ⊥于D ,BE AC ⊥于E ,AD 交BE 于点F ,若BF AC =,则ABC ∠等于()A.45︒B.48︒C.50︒D.60︒9.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A.5B.7C.5或7D.1010.能把三角形的面积分为相等的两部分的是（）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.以上都没有对二.填空题（共8题；共24分）11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC，则AC边上的高的长度是_____________．12.已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为________13.如图所示，以直角三角形的一直角边和斜边为边长所作正方形A、C的面积分别为9和25，则以另一直角边为边长的正方形B的面积为________．14.一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，则该大等腰三角形顶角的度数是________．15.如图是y=kx+b的图象，则b=______，与x轴的交点坐标为_______，y的值随x的增大而_____．16.若a＜b，c＜0，则2a________2b，a+c________b+c，ac________bc（用没有等号填空）17.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，CD⊥AB于点D，则CD的长为____．18.函数y=kx（k≠0）的图象过P（﹣3，3），则k=________，图象过________象限．三.解答题（共6题；共36分）19.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．20.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？21.已知：如图，D、E是△ABC中BC边上的两点，AD=AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明．22.如果关于x的没有等式|x﹣2|+|x+3|≥a对于x取任意数都成立，则a的取值范围是多少？并说明理由．23.能没有能找到这样的a值，使关于x的没有等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2．24.如图：有一个圆柱，底面圆的直径EF=16，高FC=12cm，P为FC的中点，求蚂蚁从E点爬到P点的最短距离是多少？（画出平面图形）四.综合题（共10分）25.李老师每天坚持晨跑.下图反映的是李老师某天6:20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象.其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离.（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式？（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米？2023-2024学年天津市武清区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）一.单选题（共10题；共30分）1.如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD的面积为（）A.7.5B.8C.10D.15【正确答案】A【详解】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，由BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S △BCD =12×BC×DE=7.5，故选A．2.在平面直角坐标系中，点（﹣1，m 2+1）一定在（）A.象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】B【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【详解】解：因为点（﹣1，m 2+1），横坐标﹣1＜0，纵坐标m 2+1一定大于0，所以满足点在第二象限的条件．故选：B本题主要考查平面直角坐标系里象限的坐标，熟练掌握每个象限的坐标符号特点是解题的关键．3.在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD ⊥AB 于D,AB=4cm,则BD 的长为（）.A.3B.4C.1D.7【正确答案】C【详解】根据含30°角的直角三角形的性质,已知∠ACB=90°,∠A=30°，得∠ABC=60°,BC=2,；再由含30°角的直角三角形可得BD 是BC 的一半为1.故选C.点睛：本题主要考查了余角的性质，含30度角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，比较简单．4.已知一个锐角三角形两边长分别为3,4，则第三边长没有可能的值是（）A.4B.2C.6D.4.5【正确答案】C【详解】设第三边是x ，由题意得：4-3＜x ＜4+3，即：1＜x ＜7．∵三角形是锐角三角形，∴a 2+b 2＜c 2，∵A、4，在1＜x＜7范围内，a=3，b=4，c=4，∴a2+b2＞c2，且故本选项A错误；B、2，在1＜x＜7范围内，a=2，b=3，c=4，∴a2+b2＜c2，故本选项B错误；C、6，在1＜x＜7范围内，a=3，b=4，c=6，∴a2+b2＜c2，故本选项C正确；D、4，在1＜x＜7范围内，a=3，b=4，c=4.5，∴a2+b2＞c2，故本选项D错误．故选C．5.下列命题中，正确的是（）A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形C.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等D.三角形的三条高都在三角形内部【正确答案】B【详解】试题分析：A、当钝角三角形时，钝角的外角就小于内角；C、当两条边和两边的夹角对应相等的时候，两个三角形全等；D、当三角形为直角三角形时，其中有两条高在三角形上.考点：三角形的性质.6.在函数y=x的取值范围是（）A.x>12B.x<12C.x≥12D.x≤12【正确答案】D【详解】试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，得：1-2x≥0，解得x≤1 2．故选D．7.如图，点,A B的坐标分别为(2,0),(0,1)，若将线段AB平移至11A B，则a b+的值为_____．【正确答案】2【分析】由图可得到点B 的纵坐标是如何变化的，让A 的纵坐标也做相应变化即可得到b 的值；看点A 的横坐标是如何变化的，让B 的横坐标也做相应变化即可得到a 的值，相加即可得到所求．【详解】由题意可知：a=0+（3-2）=1；b=0+（2-1）=1；∴a+b=2．故2.此题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是得到各点的平移规律．8.如图,ABC 中,AD BC ⊥于D ,BE AC ⊥于E ,AD 交BE 于点F ,若BF AC =,则ABC ∠等于()A.45︒B.48︒C.50︒D.60︒【正确答案】A【分析】根据垂直的定义得到∠ADB=∠BFC=90°，得到∠FBD=∠CAD ，证明△FDB ≌△CAD ，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ADB=∠BEC=90°，∴∠FBD=∠CAD ，在△FDB 和△CAD 中，FBD CAD BDF ADC BF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FDB ≌△CDA ，∴DA=DB ，∴∠ABC=∠BAD=45°，故选A．本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A.5B.7C.5或7D.10【正确答案】B【分析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．【详解】x2-4x+3=0(x−3)(x−1)=0，x−3=0或x−1=0，所以x₁=3,x₂=1，当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，当三角形的腰为1，底为3时没有符合三角形三边的关系，舍去，所以三角形的周长为7．故答案选B10.能把三角形的面积分为相等的两部分的是（）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.以上都没有对【正确答案】B【详解】∵三角形的中线把三角形分成两个底相等、高相同的三角形，∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形.故选B.二.填空题（共8题；共24分）11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC，则AC边上的高的长度是_____________．【正确答案】【详解】解：∵四边形DEFA 是正方形，∴四边形DEFA 的面积是4；∵△ABF ，△ACD 的面积相等，且都是12×1×2=1，△BCE 的面积是：12×1×1=12．∴△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32．在直角△ADC 中根据勾股定理得到：AC 设AC 边上的高线长是x ．则12AC •x =2x =32，解得：x ．12.已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为________【正确答案】10或90【详解】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况：如图1，AC =5，CD =3，CD ⊥AB ，根据勾股定理可知：AD =4，∴BD =1．∴BC2=12+32=10．如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD=4，∴BD=9，∴BC2=92+32=90．故答案是：10或90．本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可．注意：需要分类讨论．13.如图所示，以直角三角形的一直角边和斜边为边长所作正方形A、C的面积分别为9和25，则以另一直角边为边长的正方形B的面积为________．【正确答案】16【详解】根据勾股定理得：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和，即C=A+B，因为A=9，C=25，所以则以另一直角边为边长的正方形B的面积为25﹣9=16．故答案为16．14.一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，则该大等腰三角形顶角的度数是________．【正确答案】108°或90°或36°或180 7【详解】因为题中没有指明这个等腰三角形是什么形状，故应该分四种情况进行分析，从而得到：（1）如图1，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，求∠BAC的度数．∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．（2）如图2，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD，求∠BAC的度数．∵AB=AC，AD=BD=CD，∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB∴∠BAC=2∠B∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠B=45°，∴∠BAC=90°．（3）如图3，△ABC中，AB=AC，BD=AD=BC，求∠BAC的度数．∵AB=AC，BD=AD=BC，∴∠B=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C∵∠BDC=2∠A，∴∠C=2∠A=∠B，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴5∠A=180°，∴∠A=36°．（4）如图4，△ABC中，AB=AC，BD=AD，CD=BC，求∠BAC的度数．假设∠A=x，AD=BD，∴∠DBA=x，∵AB=AC，∴∠DBC=1802x-﹣x，CD=BC，∴∠BDC=2x=∠DBC=1802x-﹣x，解得：x=1807．故答案为108°或90°或36°或1807．点睛：此题主要考查了等腰三角形的角的性质，解题时分情况：从顶角分和从底角分，进行求解，关键是分类，且利用好三角形的内角和定理和三角形的外角的性质.15.如图是y=kx+b的图象，则b=______，与x轴的交点坐标为_______，y的值随x的增大而_____．【正确答案】①.-2②.12③.增大【详解】试题解析：把（1，2），（0，﹣2）代入y=kx+b 得2{2k b b +==-，解得4{2k b ==-，所以函数的表达式为y=4x ﹣2，令y=0，得4x ﹣2=0，解得x=12，所以x 轴的交点坐标为（12，0）y 的值随x 的增大而增大．考点：函数的图象．16.若a ＜b ，c ＜0，则2a________2b ，a+c________b+c ，ac________b c （用没有等号填空）【正确答案】①.＜②.＜③.＞【详解】根据没有等式的性质，由a ＜b ，2＞0，c ＜0，可得2a ＜2b ，a+c ＜b+c ，a bc c，故答案为＜，＜，＞.17.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于点D ，则CD 的长为____．【正确答案】2.4cm【详解】如图，∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，∴BC=2253164-=，∵CD ⊥AB 于点D ，∴S △ABC=12AB·CD=12AC·BC=6，即；52CD=6，解得：CD=2.4（cm ）.故答案为2.4cm.点睛：本题的解题要点是：首先在Rt△ABC中，由勾股定理求得BC的长，再“直角三角形的面积既等于两直角边乘积的一半，也等于斜边和斜边上的高的乘积的一半”列出关于CD的方程，就可使问题得到解决.18.函数y=kx（k≠0）的图象过P（﹣3，3），则k=________，图象过________象限．【正确答案】①.-1②.二、四【详解】根据题意，首先把P点坐标代入y=kx可得3=-3k，计算出k=-1，然后由k＜0，再根据正比例函数的性质可得图象第二、四象限．故答案为﹣1；二、四．三.解答题（共6题；共36分）19.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．【正确答案】△ABE≌△ACE,△EBD≌△ECD,△ABD≌△ACD.以△ABE≌△ACE为例，证明见解析【详解】分析：由AB=AC，AD是角平分线，即可利用（SAS）证出△ABD≌△ACD，同理可得出△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD．本题解析：△ABE≌△ACE,△EBD≌△ECD,△ABD≌△ACD.以△ABE≌△ACE为例，证明如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中,AB AC BAE CAEAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ACE(SAS).点睛：本题考查了等三角形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟掌握全等三角形的判定定理．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据相等的边角关系利用全等三角形的判定定理证出结论是三角形全等是关键．20.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【正确答案】西北或东南【分析】根据路程＝速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．【详解】如图，根据题意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里）．∵242+182＝302，即PQ2+PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°．由“远航号”沿东向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．此题考查勾股定理逆定理的应用，主要是能够根据勾股定理的逆定理得到直角三角形．21.已知：如图，D、E是△ABC中BC边上的两点，AD=AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明．【正确答案】EC=BD，或AB=AC，或BE=CD，或∠B=∠C或∠BAD=∠CAE或∠BAE=∠CAD【详解】试题分析：本题已知了三角形的一组边相等，根据题目条件可求出∠ADE=∠AED，则增加EC=BD，或AB=AC，或BE=CD，或∠B=∠C或∠BAD=∠CAE或∠BAE=∠CAD等都可使△ABE≌△ACD．试题解析：本题答案没有，增加一个条件可以是：EC＝BD，或AB＝AC，或BE＝CD，或∠B＝∠C 或∠BAD＝∠CAE或∠BAE＝∠CAD等．证明过程如下：证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED∴∠ADB=∠AEC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴∠BAD=∠CAE∵∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（AAS）．考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定.22.如果关于x的没有等式|x﹣2|+|x+3|≥a对于x取任意数都成立，则a的取值范围是多少？并说明理由．【正确答案】a≤5【详解】试题分析：根据线段上的点到线两端点的距离的和最小，可得答案．试题分析：∵|x﹣2|+|x+3|≥5，∴关于x的没有等式|x﹣2|+|x+3|≥a对于x取任意数都成立，a≤5．23.能没有能找到这样的a值，使关于x的没有等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2．【正确答案】能找到这样的a值，使关于x的没有等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2【详解】试题分析：根据已知没有等式的解集得出1﹣a＜0，51aa--=2，求出方程的解即可．试题解析：∵关于x的没有等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2，∴1﹣a＜0，51aa--=2，解得：a=，经检验a=是方程51aa--=2的解，即能找到这样的a值，使关于x的没有等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2．点睛：本题考查了没有等式的性质，解一元方程，解一元没有等式的应用，解此题的关键是得出1-a＜0，51aa--=2，题目比较好，难度适中．24.如图：有一个圆柱，底面圆的直径EF=16π，高FC=12cm，P为FC的中点，求蚂蚁从E点爬到P点的最短距离是多少？（画出平面图形）【正确答案】蚂蚁从E点爬到P点的最短距离为10cm【详解】分析：把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．解析：已知如图：∵圆柱底面直径AB=16πcm、母线BC=12cm，P为BC的中点，∴圆柱底面圆的半径是8πcm，BP=6cm，∴AB=12×2π×8π=8cm，在Rt△ABP中，22AB BP+，答：蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．四.综合题（共10分）25.李老师每天坚持晨跑.下图反映的是李老师某天6:20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象.其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离.（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式？（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米？【正确答案】（1）当0≤x≤10时，y=0.1x；当15≤x≤40时，y=3.2-0.08x；（2）李老师在这次晨跑过程中分别于5分、33.75分距离家500米．【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可求得；（2）求出OA 的解析式，然后根据OA 、BC 的解析式，利用y=0.5千米计算求出相应的x 的值，再加上6点20分即可．试题解析：(1)设OA 的解析式为y 1=kx ，则10k=2，解得k=15，所以，y=15x，设直线BC 解析式为y 2=k 1x+b，∵函数图象点(15，2)，(40，0)，∴11152{400k b k b +=+=，解得1225{165k b =-=.所以，直线BC 解析式为y=−225x+165；∴线段0⩽x ⩽10的函数解析式为y 1=15x(0⩽x ⩽10)，线段15⩽x ⩽40的函数解析式为y 2=−225x+165(15⩽x ⩽40)；(2)当y 1=0.5km 时，0.5=15x，x=2.5，当y 2=0.5km 时，0.5=−225x+165，x=154=33.75，∴李老师在这次晨跑过程中分别于6点22.5分和6点53.75分距离家500米．点睛：本题考查了函数的应用，主要利用待定系数法求函数的解析式，已知函数值求自变量，准确识图，注意与图形来回答问题，理解转折点的坐标的意义是解题的关键.2023-2024学年天津市武清区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）一、选一选（每小题2分，共20分）1.以下图标是轴对称图形的是()A.B.C.D.2.下列计算正确的是()A.2a+3b=5ab B.(-l)0=lC.（ab 3）2=ab 6D.（x+2）2=x 2+43.若分式2+1a 有意义，则a 的取值范围是（）A.a =0B.a =1C.a ≠﹣1D.a ≠04.人体中红细胞的直径约为0.0000077m ，将数0.0000077用科学记数法表示为（）A.7.7×-510 B.-70.7710⨯ C.-67.710⨯ D.-77.710⨯5.若点M(a ，-1)与点N(2，b)关于y 轴对称，则a+b 的值是()A.3B.-3C.1D.-16.把多项式a²－4a 分解因式，结果正确的是【】A.a (a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a －2)²－47.已知关于x 的分式方程1mx -=1的解是非负数，则m 的取值范围是（）A.m ≥1B.m ≤1C.m ≥-1且m ≠0D.m ≥-18.如图，△ABC ≌△ADE ，∠DAC ＝60°，∠BAE ＝100°，BC 、DE 相交于点F ，则∠DFB 的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°9.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=1200，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（）A.1.5cmB.2cmC.2.5cmD.3cm10.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF AC ∥交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ，给出下列四个结论：①DE =DF ；②DB =DC ；③AD ⊥BC ；④AC =3BF ，其中正确的结论共有（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（每小题2分，共16分）11.已知△ABC 的两条边长分别是2和5，第三边c 的取值范围是______.12.计算：2111aa a -=--__________________．13.若n 边形内角和为900°，则边数n =．14.若x 2+mx+9是关于x 的完全平方式，则m =_____．15.已知a+b=3，ab=-2.则a 2+b 2的值是________.16.在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1=_______度．17.如图，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将BMN △沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠B =___°．18.如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 于点E 、F ，若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为_______．三、解答题（第19题8分，第20题6分，共计14分）19.计算：(1)23332(2)4a b a b ÷；(2)22(1)(1)(2)x x x x +--+．20.先化简，再求值：211122a a a -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中，3．四、解答题（第21题8分，第22题6分，共计14分）21.把下列多项式因式分解(l)x 3=4xy 2；(2)（a-1）（a+3）+422.解方程：233x x =-．五、解答题23.已知：如图，△ABC.(1)分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；(2)写出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2各顶点的坐标；(3)直接写出△ABC 的面积，六、解答题24.如图，在△ABC中．AB=AC．∠BAC=900．E是AC边上的一点,延长BA至D,使AD=AE，连接DE,CD.(l)图中是否存在两个三角形全等？如果存在请写出哪两个三角形全等,并且证明；如果没有存在，请说明理由．(2)若∠CBE=300，求∠ADC的度数．七、应用题25.某学校准备组织部分学生到当地社会实践参加，陈老师从社会实践带回来了两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元．现在报名参加的人数增加到原来人数的2倍，可以享受优惠，此时只需交费用480元；信息二：享受优惠后，参加的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？八、解答题26.如图①，在等边三角形ABC中．D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC．连接AE.(l)求证：△DBC≌△EAC(2)试说明AE∥BC的理由．(3)如图②，当图①中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，猜想是否仍有AE∥BC?若成立请证明．2023-2024学年天津市武清区八年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）一、选一选（每小题2分，共20分）1.以下图标是轴对称图形的是()A. B. C. D.【正确答案】D【详解】A 没有是轴对称图形，故没有符合题意；B 没有是轴对称图形，故没有符合题意；C 没有是轴对称图形，故没有符合题意；D 是轴对称图形，故符合题意，故选D.2.下列计算正确的是()A.2a+3b=5abB.(-l)0=lC.（ab 3）2=ab 6D.（x+2）2=x 2+4【正确答案】B【详解】A.2a 与3b 没有是同类项，没有能合并，故错误；B.()0l -=1，故正确；C.()23ab =a 2b 6，故错误；D.()2x 2+2x 4=++4x ，故错误，故选B.3.若分式2+1a 有意义，则a 的取值范围是（）A.a =0B.a =1C.a ≠﹣1D.a ≠0【正确答案】C【分析】根据分式有意义的条件：分母没有等于0即可得出答案．【详解】解：∵a +1≠0，∴a ≠-1．故选C ．本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母没有等于0是解题的关键．4.人体中红细胞的直径约为0.0000077m ，将数0.0000077用科学记数法表示为（）A.7.7×-510 B.-70.7710⨯ C.-67.710⨯ D.-77.710⨯【正确答案】C【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000077=7.7×10﹣6，故答案选C.5.若点M(a ，-1)与点N(2，b)关于y 轴对称，则a+b 的值是()A.3B.-3C.1D.-1【正确答案】B【详解】∵点M(a ，-1)与点N(2，b)关于y 轴对称，∴a=-2，b=-1，∴a+b=-3，故选B.本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特定：点P （a ，b ）关于x 轴的对称的点的坐标为P 1（a ，-b ）；点P （a ，b ）关于y 轴的对称的点的坐标为P 2（-a ，b ）．6.把多项式a²－4a 分解因式，结果正确的是【】A.a (a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a －2)²－4【正确答案】A【详解】直接提取公因式a 即可：a 2－4a=a （a －4）．故选A7.已知关于x 的分式方程1m x -=1的解是非负数，则m 的取值范围是（）A.m ≥1B.m ≤1C.m ≥-1且m ≠0D.m ≥-1【正确答案】C【详解】分式方程去分母得：m =x -1，解得x =m +1，由方程的解为非负数，得到m +1≥0，且m +1≠1，解得：m ≥-1且m ≠0，故选C ．8.如图，△ABC ≌△ADE ，∠DAC ＝60°，∠BAE ＝100°，BC 、DE 相交于点F ，则∠DFB 的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°【正确答案】B 【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B=∠D ，∠BAC=∠DAE ，所以∠BAD=∠CAE ，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和都等于180°，所以∠DFB=∠BAD．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，又∠BAD=∠BAC-∠CAD，∠CAE=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∵∠DAC=60°，∠BAE=100°，∴∠BAD=12（∠BAE-∠DAC）=12（100°-60°）=20°，在△ABG和△FDG中，∵∠B=∠D，∠AGB=∠FGD，∴∠DFB=∠BAD=20°．故选B．本题主要利用全等三角形对应角相等的性质，准确识图也是考查点之一．9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=1200，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB 于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A.1.5cmB.2cmC.2.5cmD.3cm【正确答案】B【详解】连接AM、AN，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，∴∠B=∠C=30°，∵EM垂直平分AB，NF垂直平分AC，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，∴∠AMN=∠B+∠MAB=60°，∠ANM=∠C+∠NAC=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=MN=NC，∴BM=MN=CN，∵BM+MN+CN=BC=6cm，∴MN=2cm，故选B.10.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF AC ∥交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ，给出下列四个结论：①DE =DF ；②DB =DC ；③AD ⊥BC ；④AC =3BF ，其中正确的结论共有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【正确答案】A【详解】解：∵BF AC ∥，∴∠C =∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC =∠CBF ，∴∠C =∠ABC ，∴AB =AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD =CD ，AD ⊥BC ，故②，③正确，在△CDE 与△DBF 中，C CBFCD BD EDC BDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CDE ≌△DBF ，∴DE =DF ，CE =BF ，故①正确；∵AE =2BF ，∴AC =3BF ，故④正确．故选A ．二、填空题（每小题2分，共16分）11.已知△ABC 的两条边长分别是2和5，第三边c 的取值范围是______.【正确答案】37c <<【详解】5-2=3，5+2=7，∴第三边c 的取值范围是37c <<，故答案为37c <<.12.计算：2111a a a -=--__________________．【正确答案】211a -.【详解】试题分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．试题解析：原式=1(1)(1)(1)(1)a a a a a a +-+-+-=1(1)(1)a a +-=211a -考点：分式的加减法．13.若n 边形内角和为900°，则边数n =．【正确答案】7【分析】利用多边形内角和公式建立方程求解．【详解】解：根据题意得：180°（n ﹣2）=900°，解得：n =7．故7．本题考查多边形内角和公式，解题的关键是熟记公式．14.若x 2+mx+9是关于x 的完全平方式，则m =_____．【正确答案】±6【详解】∵x 2+mx+9是一个完全平方式，∴x 2+mx+9=（x±3）2，而（x±3）2═x 2±6x+9，∴m=±6，故±6．15.已知a+b=3，ab=-2.则a 2+b 2的值是________.【正确答案】13【详解】∵a+b=3，ab=-2，∴a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=32-2×（-2）=9+4=13，故答案为13．16.在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1=_______度．【正确答案】42【详解】正六边形的内角是：（6-2）×180°÷6=120°，正五边形的内角是：（5-2）×180°÷5=108°，正方形的内角是90°，则∠1=360°-120°-108°-90°=42°，故答案为42.本题主要考查了正多边形的内角，n 边形的内角和是（n-2）•180°，正n 边形的一个内角为：2180n n-︒ （）.17.如图，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将BMN △沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠B =___°．【正确答案】95【详解】∵MF //AD ，FN //DC ，∴∠BMF =∠A =100°，∠BNF =∠C =70°.∵△BMN 沿MN 翻折得△FMN ，∴∠BMN =12∠BMF =12×100°=50°，∠BNM =12∠BNF =12×70°=35°.在△BMN 中，∠B =180°－（∠BMN ＋∠BNM ）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°.故9518.如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 于点E 、F ，若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为_______．【正确答案】8【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连接AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM ＝MB ，则BM ＋DM ＝AM ＋DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB ＋DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．【详解】解：连接AD 交EF 与点M ′，连接AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12BC •AD ＝12×4×AD ＝12，解得AD ＝6，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM ＝BM ．∴BM ＋MD ＝MD ＋AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB ＋MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB ＋AD ＝2＋6＝8,故8．本题考查的是轴对称−最短路线问题，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．三、解答题（第19题8分，第20题6分，共计14分）19.计算：(1)23332(2)4a b a b ÷；(2)22(1)(1)(2)x x x x +--+．【正确答案】2x x 2-++【详解】试题分析：（1）先计算幂的乘方，然后再进行单项式除法计算即可；（2）先分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，然后再去括号合并同类项即可.试题解析：（1）()3233363322a b 4a b 8a b 4a b ÷=÷=23a b ；（2）原式()3232x x x 2x x 2=+-+--3232x x x 2x x 2=+--++2x x 2=-++.20.先化简，再求值：211122a a a -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中，3．【正确答案】化简结果为，值为．【分析】先把括号里的式子通分相减，然后把除数的分子分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，约成最简分式或整式；求值时把a 值代入化简的式子算出结果．【详解】原式=212a a +-+×2(1)(1)a a a ++-=1(1)(1)a a a ++-=11a -；当a=3时，11a -=131-=12．考点：分式的混合计算及求值．四、解答题（第21题8分，第22题6分，共计14分）21.把下列多项式因式分解(l)x 3=4xy 2；(2)（a-1）（a+3）+4【正确答案】(1)()() x x 2y x 2y +-;(2)()2a 1+【详解】试题分析：（1）先提取公因式，然后再利用平方差公式进行分解即可；（2）先进行乘法运算，合并同类项后利用完全平方公式进行分解即可.试题解析：（1）()3222x 4xy x x 4y-=-()()x x 2y x 2y =+-；（2）()()2a 1a 34a 2a 34-++=+-+2a 2a 1=++()2a 1=+.22.解方程：233x x=-．【正确答案】9x =．【分析】观察可得最简公分母是(3)x x -，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程两边同乘以(3)x x -，得23(3)x x =-解得9x =检验：将9x =代入(3)x x -知，(3)0x x -≠所以9x =是原方程的根．本题考查解分式方程，注意分式方程的结果要检验．五、解答题23.已知：如图，△ABC.(1)分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；(2)写出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2各顶点的坐标；(3)直接写出△ABC 的面积，【正确答案】（1）见解析；（2）A 1（0，2），B 1（2，4），C 1（4，1），A 2（0，﹣2），B 2（﹣2，﹣4），C 2（﹣4，﹣1）．（3）5。
辽宁省沈阳市沈北新区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题
辽宁省沈阳市沈北新区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，下列坐标所对应的点位于第三象限的是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（-1，-3）2．函数y=(k2-1)x+3是一次函数，则k的取值范围是()A．k≠1B．k≠-1C．k≠±1D．k为任意实数3．如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（√3，﹣1）D．（﹣√3，1）4．直角三角形两直角边分别为5cm和12cm,则其斜边的高为()A．6cm B．8cm C．8013cm D．6013cm5．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它的面积为（）A．10B．12C．20D．243的平方根是（）6．√64A．±8B．±4C．±2D．±√27．对于函数y＝﹣x+3，下列结论正确的是（）A．它的图象与两坐标轴围成等腰直角三角形B．它的图象经过第一、二、三象限C．它的图象必经过点（﹣1，3）D．y的值随x值的增大而增大8．若一个正数的两个平方根分别是2m－4与3m－1，则m的值是（）A．1B．－1C．－3D．－3或19．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图,已知一次函数y=ax+b的图象为直线，则关于x的方程ax+b=1的解为()A．x=6B．x=5C．x=4D．x=3二、填空题11．在函数y=(m−2)x+(m2−4)中，当m=时，y是x的正比例函数．12．等边三角形的边长为6 cm，则它的高为．13．在平面直角坐标系内，已知点P(1−2a，a−2)在第三象限的角平分线上，则点P的坐标为．14．一次函数y=−13x+1的图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，坐标原点为O，则△AOB的面积为．15．如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为．16．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．三、解答题17．计算：（1）(√27−√12+√45)×√13；（2）(√6−√5)×(√6+√5)；（3）√48÷√3−√1；2×√12+√24（4）√27−|−2√3|−√3×(2−π)0+(−1)2022．18．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形(顶点为网格线的交点)．（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．19．6－12×2×3－12×2×4－12×2×4－12×1×4＝17.20．求下列各式中x的值：（1）16x2−32=0；（2）−8(x−3)3=27．21．（1）设√7的小数部分为b，求b(4+b)的值；（2）已知x=√2−1，y=√2+1，求x2+y2的值．22．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，△A=60°，△ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．23．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)24．如图，直线y=−x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为(8，0)，P(x，y)是直线y=−x+10在第一象限内一个动点．（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；（2）当△OPA的面积为24时，求点P的坐标．25．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm.（1）求证：CD△AB；（2）求该三角形的腰的长度.26．小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米，小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米），y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图所示．（1）图中a=，b=；（2）小明上山的速度米/分；小明下山的速度米/分；爸爸上山的速度米/分．（3）小明的爸爸下山所用的时间．27．如图，直线y=−34x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，OM⊥AB于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点.（1）求线段OM的长；（2）当△BOP的面积是6时，求点P的坐标；（3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则，说明理由.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A.(−1，2)横纵坐标符号分别为负，正，则位于第二象限，排除，B.（1，2）横纵坐标符号分别为正，正，则位于第一象限，排除，C.(2，−1)横纵坐标符号分别为正，负，则位于第四象限，排除，D.(−1，−3)横纵坐标符号分别为负，负，则位于第三象限，符合，故答案为：D.【分析】根据第三象限的点坐标的特征可得答案。
知识点191 根据实际问题列一次函数关系式(解答题)
一、解答题1、已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）求自变量x的取值范围．考点：根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：（1）底边长=周长﹣2×腰长；（2）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边来进行解答．解答：解：（1）依题意有：y=12﹣2x，故y与x的函数关系式为：y=12﹣2x；（2）依题意有：，即，解得：3＜x＜6．故自变量x的取值范围为3＜x＜6．点评：本题的难点在于根据三角形三边关系定理得到自变量的取值范围．考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：应用题。
分析：当摄氏温度每次增加10℃，华氏温度每次就增加18℉，由此判断是一次函数关系式，设一次函数解析式，用“两点法”求解．解答：解：根据表格可知，y与x是一次函数关系，设y=kx+b，把x=0，y=32和x=10，y=50代入函数关系式得：，解得：．所以：y=1.8x+32．点评：本题关键是根据表格确定函数关系式，再代值求函数关系式．3、某汽车加油站储油45000升，每天给汽车加油1500升，那么储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是什么？并指出自变量的取值范围．考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：应用题。
分析：直接根据题意可求得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：储油量=45000﹣1500×加油天数．自变量根据1500x≤45000和天数是非负整数列不等式组即可求解．解答：解：根据题意得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：y=45000﹣1500x，∵1500x≤45000，x≥0，∴0≤x≤30，即y=45000﹣1500x（0≤x≤30）．点评：读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．自变量取值范围要结合实际意义列不等式求解．4、某商人进货时，进价已按原价a扣去了25%．他打算对此货订一新价销售，以便按新价让利20%销售后，还可获得售价的25%的利润．试写出此商人经销这种货物时按新价让利总额与货物售出件数之间的函数关系式．考点：根据实际问题列一次函数关系式。
浅谈等腰三角形的边角问题
浅谈等腰三角形的边角问题作者：李业功来源：《科教导刊·电子版》2013年第27期摘要本文主要探索等腰三角形“边角计算问题”，“等腰三角形的各边的取值范围”和“五线合一”问题，结合例题计算说明问题，目的是教师和学生明确解题的方法，在实际问题中成分应用。
关键词取值范围五线合一中图分类号：G633.6 文献标识码：A等腰三角形的边、角问题是初中数学教材中的重点内容，在运用其性质解决关于等腰三角形中的边角问题时由于题目繁多，学生总觉得困难，尤其是学生在遇到等腰三角形“边角计算问题”，“等腰三角形的各边的取值范围”和等腰三角形“三线合一”问题时经常会出现这样和那样的问题，作为教师觉得头痛，同时再加上等腰三角形的底边垂直平分线和对称轴之后，这样就出现了“五线合一”，学生更觉得糊涂分不清了。
1有关等腰三角形的边角计算的讨论问题1.1等腰三角形的边的问题（1）已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为9 cm，则它的周长为多少？（2）已知等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4 cm，则它的周长为多少？分析时要分类考虑，是否构成三角形，若构成在求周长，否则就没有。
第（1）题：5、5、9或5、9、9都能构成等腰三角形，所以周长为19 cm或23 cm；第（2）题：4、4、9构不成三角形，而4、9、9能够成等腰三角形，此周长为22 cm。
（3）等腰三角形的一个角为400，它的另外两个角为多少？（4）等腰三角形的一个角为1000，它的另外两个角为多少？分析时也要分类考虑：第3题：当400为顶角时，另外两个角分别为700，700；当400为底角时，另外两个角为400，1000。
第4题：当1000为顶角时，另外两个角分别为400，400；当1000为底角时，就构不成三角形。
1.2如何确定“等腰三角形的各边的取值范围”的问题1.2.1已知等腰三角形的周长，如何确定腰长和底边长的取值范围为了学生便于理解和掌握，笔者在教学中，做一个等腰三角形的教具：用两条相等的木条AB、AC做等腰三角形的两腰，用一条橡皮筋BC做等腰三角形的底边，做成一个等腰△ABC。
苏科版八年级上册第6章一次函数知识点与典型例题及练习
一次函数知识要点与典型例题一、函数函数定义的：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数. 如果当x=a 时y=b ，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例：1.在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______.2.在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________.函数概念注意（一）、注意理解“在一个变化过程中，有两个变量”自变量 因变量 例、在函数关系式中，自变量为________，常量为________，当x=3时，函数值y 为________．（二）、注意理解“x的每一个确定的值”自变量x 的取值不能使对应关系无意义，如y =11-x ，x 的取值不能为1；（三）、注意理解“x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应” 例： y = ±x， y______ x 的函数 （填 “是”或“不是”） （四）、注意正确判断“谁是谁的函数”通常，函数因变量写在等号左边。
例、下列等式中，y 是x 的函数的是（ ）A 、B 、C 、D 、（五）、注意正确确定“自变量的取值范围” 1、自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义 （1）整式型：其自变量的取值范围是全体实数.例、函数y=3x+1，y=x 2+x －4中自变量x 的取值范围是______. （2）分式型：其自变量的取值范围是使得分母不为零的实数.例、函数y=12-x 中变量x 的取值范围是______.（3）二次根式型：其自变量的取值范围是使得被开方式为非负数的实数.例、函数y=1-x 中自变量x 的取值范围是______.（4）复合型：即自变量同时含有上述两种或三种情况时，自变量的取值范围是它们的公共解.例、函数y=32--x x 中自变量x 的取值范围是______.函数的三要素：自变量的取值范围、函数的取值范围和两个变量的对应关系【例题】：1.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.函数y =x 的取值范围是___________.3.已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2325≤<-y B.2523<<y C.2523<≤y D.2523≤<y2、自变量的取值必须使实际问题有意义例、1、一个正方形的边长为3cm ，它的各边长减少xcm 后，所得新正方形的周长为ycm.则y 与x 的关系式为______, 自变量x 的取值范围是______ 0 < x < 3.2、.如果一个等腰三角形的周长为30，则底边长y 与腰长x 之间成一函数关系，y 与x 的关系式为______，自变量x 的取值范围是_________函数的图像一般分为三步：①列表；②描点；③连线.函数的表示方法函数有三种表示方法：（1）列表法；（2）图象法；(3)表达式法（也称关系式或解析式）.二、一次函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y = kx + b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）.特别地，当b = 0时，关系式变为y = kx ，称y 是x 的正比例函数. 〖注意〗：（1）一次函数y = kx + b （k ≠0）特征：① k ≠0 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数（2）正比例函数y = kx （k ≠0）特征：①k ≠0 ② x 次数是1 ③常数项b = 0.（3）正比例函数是一次函数的特殊形式.【例题】：1.若函数()2322my m x -=-+是一次函数，则m=_______。
江苏省盐城市建湖县汇文实验 汇文校区2021~2022学年八年级上学期 数学校本练习 周末作业8
建湖县汇文实验初中汇文校区2021～2022学年度第一学期八年级数学校本练习 周末作业8 建议完成时间：80分钟班级________ 姓名_____________一、选择题：1.把π≈3.141 592 6…按四舍五入法精确到0.0001的近似值为 ( )A ．3.1415B ．3.1416C ．3.142D ．3.1417 2. 在101001.0-, 5, , ， , 0中，无理数的个数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3.一次函数y =-3x +2的图像不经过．．．( ) A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4. 已知等腰三角形的周长为15 cm ，一边长为7 cm ，则该等腰三角形的底边长为( )A. 5 cmB. 3cm 或5 cmC.3 cmD. 1 cm 或7 cm5.直线y ＝kx ＋3经过点A （2，1），则不等式kx ＋3≥0的解集是 ( )A ．x ≤3B ．x ≥3C ．x ≥－3D ．x ≤06.直线y ＝ax ＋b 过点A （0，2）和点B （－3，0），则方程ax ＋b ＝0的解是 ( )A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x ＝－1D ．x ＝－37.将一次函数y ＝x 的图像向上平移2个单位后，若y ＞0，则x 的取值范围是 ( )A ．x ＞4B ．x ＞－4C ．x ＞2D ．x ＞－28.在平面直角坐标系中，将点P （﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P ′的坐标是 ( )A.（2,4）B.(1,5)C.（1，-3）D.（-5,5）9．如图，直线y ＝－x ＋c 与直线y ＝ax ＋b 的交点坐标为（3，－1），关于x 的不等式－x ＋c ≥ax ＋b 的解集为 ( )A ．x ≥－1B ．x ≤－1C ．x ≥3D ．x ≤3二、填空题：10.若A （－1，y 1），B （3，y 2）是一次函数y ＝2x ＋n 图像上的两个点，则y 1 y 2．（填“＞”“＜”或“＝”）11.已知一次函数y ＝kx ＋k －3的图像经过点（2，3），则k 的值为_______________.12.已知二元一次方程组⎩⎨⎧x －y ＝－52x ＋2y ＝－2的解为⎩⎨⎧x ＝－4y ＝1，则在同一平面直角坐标系中，直线 l 1：y ＝x ＋5与直线l 2：y ＝－x －1的交点坐标为_______________.13.若一次函数y ＝2x －4上有一点的坐标是（3，2）.则方程2x －y ＝4必有一个解为 .9cm14cm 第17题图 yxy ＝－x ＋cy ＝ax ＋(3，－1) O 第9题图 722π-3814.若直线y＝x＋6与x轴和y轴围成一个直角三角形，则这个直角三角形的面积为______.15.关于函数y＝－x＋1，下列结论：①图像必定经过点（－1，1）；②y随x的增大而减小；③当x＞1时，y＜0；④图像经过第二、三、四象限，正确的是（填序号）．16.将一次函数y=2x+3的图像向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后的函数表达式为___________；17. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________18. 对任意实数k,直线y＝kx+2k+1,恒过一定点，该定点的坐标是；三、解答题：19.已知函数y＝－2x＋4与函数y＝3x－1．（1）在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图像；（2）这两个函数图像的交点坐标为；（3）根据图像直接写出x在什么范围内取值时，函数y＝－2x＋4的图像在函数y＝3x－1的图像的上方？20.已知：y＋2与3x成正比例，且当x＝1时，y的值为4．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）点（－1，a）、点（2，b）是函数图像上的两点，试比较a、b的大小，请说明理由．21.直线l1经过点(2,3)和(-1,-3),直线l2经过原点,且与直线l1交于P (-2,a).(1)求a的值； (2)问(-2,a)可看作是怎样的二元一次方程组的解?(3)若直线l1与x轴交于A,求△APO的面积.22.如图，过点A（2，0）的两条直线l1、l2分别交y轴于点B、C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝13．（1）求点B的坐标；（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的函数表达式．23.以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明BD=CE；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请说明理由．24．如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.（1）当t＝3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.25.气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止. 结合风速与时间的图像，回答下列问题：（1）在y轴（）内填入相应的数值；（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？（3）求出当x≥25时，风速y（千米/时）与时间x（小时）之间的函数关系式.（4）若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间？26.如图①，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，假设列车匀速行驶．如图②表示列车离乙地路程y （千米）与列车从甲出发后行驶时间x（小时）之间的函数关系图像．（1）甲、丙两地间的路程为____________千米；（2）直接写出点A的坐标，并说出图像中点A的实际意义；（3）求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（4）当行驶时间x在什么范围时，高速列车离乙地的路程不超过100千米．。
知识点191_根据实际问题列一次函数关系式(解答题)
1、已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）求自变量x的取值围．考点：根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：（1）底边长=周长﹣2×腰长；（2）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边来进行解答．解答：解：（1）依题意有：y=12﹣2x，故y与x的函数关系式为：y=12﹣2x；（2）依题意有：，即，解得：3＜x＜6．故自变量x的取值围为3＜x＜6．点评：本题的难点在于根据三角形三边关系定理得到自变量的取值围．考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：应用题。
分析：当摄氏温度每次增加10℃，华氏温度每次就增加18℉，由此判断是一次函数关系式，设一次函数解析式，用“两点法”求解．解答：解：根据表格可知，y与x是一次函数关系，设y=kx+b，把x=0，y=32和x=10，y=50代入函数关系式得：，解得：．所以：y=1.8x+32．点评：本题关键是根据表格确定函数关系式，再代值求函数关系式．3、某汽车加油站储油45000升，每天给汽车加油1500升，那么储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是什么？并指出自变量的取值围．考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：应用题。
分析：直接根据题意可求得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：储油量=45000﹣1500×加油天数．自变量根据1500x≤45000和天数是非负整数列不等式组即可求解．解答：解：根据题意得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：y=45000﹣1500x，∵1500x≤45000，x≥0，∴0≤x≤30，即y=45000﹣1500x（0≤x≤30）．点评：读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．自变量取值围要结合实际意义列不等式求解．4、某商人进货时，进价已按原价a扣去了25%．他打算对此货订一新价销售，以便按新价让利20%销售后，还可获得售价的25%的利润．试写出此商人经销这种货物时按新价让利总额与货物售出件数之间的函数关系式．考点：根据实际问题列一次函数关系式。
等腰三角形性质用
B E 3 A
D 4 C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． 1 1 ∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4． 2 2 在△ABD和△ACE中， ∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
108
36 72 72
72 72 108 36 36 36
36
36
36 72
36
72
B
C B
CB
C
做一做:
1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是（ （A）14 （B）15 （C）16 （D）14或16 D ）
2、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________ 12、6或9、9
B
E
A
D
C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三 角形的全等．
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比 较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其 他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启 示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段 相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
线段:
角: AB=AC,BD=CD,AD=AD ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC.
B
D
C
（1）等腰三角形的底边长为3，腰长为5， 那么它的周长是______ 13 分类讨论思想 （2）等腰三角形的一边长为3，一边长为5， 11或13 那么它的周长是______ （3）等腰三角形的一边长为2，周长为8， 3 那么它的腰长为______
函数问题的灵魂-定义域问题-学会解题之高三数学多题一解(解析版)
函数问题的灵魂——定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．方法一 直接法万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板第一步 找出使函数()f x 所含每个部分有意义的条件，主要考 虑以下几种情形：（1） 分式中分母不为0； （2） 偶次方根中被开方数非负； （3） 0x 的底数不为零；（4） 对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； （5） 正切函数tan y x =的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．第二步 列出不等式（组）；第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数()f x 的定义域．【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =-- ） A ．[]1,2 B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)1,2【答案】C【分析】根据二次根式的性质以及分数分母不为0求出函数的定义域即可.【详解】解：由题意得：1020x x ->⎧⎨-≥⎩ 解得12x x >⎧⎨≤⎩，即()f x 的定义域为(]1,2.故选：C.【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()261xf x x x x =-++-的定义域为（ ）A ．(][)23∞∞--⋃+，，B ．[)(]3112-⋃，，C ．[)(]2113-⋃，，D ．()()2113-⋃，，【答案】C【分析】由具体函数的定义域列出方程式即可得出答案.【详解】由26010x x x ⎧-++≥⎨-≠⎩，解得：23x -≤≤且1x ≠.故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可 【详解】由题意，得2sin102x π-≥，1sin22x π≥，所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈， 解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B【变式演练2】5．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22ln 2y x x a x =+++的定义域为[)1,+∞，则=a （ ） A ．-3 B ．3C ．1D ．-1【答案】A【分析】根据题意可知1x =为方程220x x a ++=的一个根，从而可求出a 的值【详解】由22020x x a x ⎧++≥⎨+>⎩，得2202x x a x ⎧++≥⎨>-⎩，由题意可知上式的解集为[)1,+∞，所以1x =为方程220x x a ++=的一个根，所以120a ++=，得3a =-， 故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,4【答案】D【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解.【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤； 当0a <时，无法满足定义域为R ． 综上所述：04a ≤≤，D 正确． 故选：D【变式演练3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【答案】[1，+∞）【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x =++的定义域为R ， 即为ax 2+2x +1≥0恒成立， 若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立； 当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0， 解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立． 综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．方法二 抽象复合法 万能模板 内 容使用场景涉及到抽象函数求定义域解题模板 利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域．(2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域： 只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∈函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∈112x -≤≤，1122x ≤+≤∈函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ ∈24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为[24，]． 故选：D【变式演练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31g x x =-的定义域为（ ） A ．1,43⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所()f x (,)a b [()]f g x ()a g x b <<[()]f g x [()]f g x (,)a b ()f x a x b <<()g x ()f x以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.【变式演练5】11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21log xf x x-=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M N B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x -+=+，则{}10M x x =-<<， ()2122log 2xf x x -=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．方法三 实际问题的定义域万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 求函数的自变量的取值范围； 第二步 考虑自变量的实际限制条件；第三步 取前后两者的交集，即得函数的定义域．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数，则函数的定义域为( ) A ．()10,20 B ．()0,10C ．()5,10D ．[)5,10【答案】A【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【详解】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围. 【变式演练7】（2021·全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为.①21305h t t =-求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数. 【答案】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ，描述见解析. 【解析】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ≤≤， 对于数集{|026}t t ≤≤中的任一个数t ，在数集{|0845}h h ≤≤中都有唯一确定的数21305h t t =-与之对应. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.【高考再现】1．【2017山东理】设函数的定义域A ，函数的定义域为B ，则A B ⋂=（A ）（1，2） （B ） （C ）（-2，1） （D ）[-2，1)【答案】D【考点】 1．集合的运算2．函数的定义域3．简单不等式的解法．【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理． 2．【2016·全国卷①】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D【解析】 y ＝10lg x ＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意． 3．【2014山东．理3】 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A ．)21,0(B ．),2(+∞C ．),2()21,0(+∞D ．),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C ． 【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域．解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解．本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性． 4．【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】由解得或，故选D ． 【考点定位】函数的定义域与二次不等式．【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解．本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零．5．【2015高考湖北，文6】函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选．【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．6.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞． 【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．22(x)log (x 2x 3)f [3,1](3,1)(,3][1,)-∞-+∞(,3)(1,)-∞-+∞0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 3-<x 1>x 256()4||lg 3x x f x x x -+=--(2,3)(2,4](2,3)(3,4](1,3)(3,6]-C ()y f x =()f x 2564||0,03x x x x -+-≥>-22,2,3x x x -≤≤>≠()f x (2,3)(3,4]C7．【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += ．【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数，所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数，所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以32a b +=-．【考点定位】指数函数的性质．【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用． 8．【2019年高考江苏】函数276y x x =+-的定义域是 ▲ ． 【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域．由已知得2760x x +-≥，即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-．【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．【反馈练习】1．（2021·天津高三期末）函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】要使函数有意义，只需21020x x x -≠⎧⎨->⎩，解得102x x ≠⎧⎨<<⎩，即函数定义域为{|01x x <<或12}x <<.故选D.2．【云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练】设函数21y x =-A ，函数12x y -=的值域为B ，则A B =( )()()221log 21f x x x x =+--()1,2()(),02,-∞+∞()(),11,2-∞()()0,11,2A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-【答案】A【解析】函数定义域满足：210x ->，即11x -<<，所以{}11A x x =-<<， 函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以()0,1A B =，故选：A. 【名师点睛】本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[]1,3，则函数()()21ln f x h x x-=的定义域是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】C【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答. 【详解】函数()y f x =的定义域是[1，3]， ∈1213x ≤-≤，解得12x ≤≤． 又0x >，且1x ≠，∈(]1,2x ∈． 故函数()h x 的定义域是(]1,2． 故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，则函数()211f x x --的定义域为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．()()0,11,2 D ．()(),11,1-∞--【答案】C【分析】先求出()f x 的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域. 【详解】因为函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，故1211x -<-<， 所以()f x 的定义域为()1,1-， 故函数()211f x x --中的x 需满足：211110x x -<-<⎧⎨-≠⎩， 故02,1x x <<≠，故函数()211f x x --的定义域为()()0,11,2.故选：C5．（2021·广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.6．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为B ，函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．130,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1313,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由复合函数的定义域求得集合B ，记2()1g x x x =-+，问题转化为求()g x 在x B ∈时的最小值，从而得参数范围．【详解】∈()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∈114x ≤≤，12134x -≤-≤，则12,4B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．令()21g x x x =-+，x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，即a 大于()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．∈213()24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∈()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为113416g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∈实数a 的取值范围是13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．7．（2019·河北张家口中学月考）若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞ 【答案】A【解析】∵函数f （x ）的定义域为R ，∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ， ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；40cm ()y cm ()x cm ()10,20()0,10()5,10[)5,10②m ≠0时，则2080m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解得0＜m <8． 综上得，实数m 的取值范围是[0,8)，故选A ．【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．8．（2022·全国·高三专题练习）函数()1ln 34y x x=-+的定义域是________ 【答案】()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【分析】根据题意可知3400x x ->⎧⎨≠⎩，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知3400x x ->⎧⎨≠⎩，所以()3,00,4x ∞⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭. 所以函数的定义域为()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭. 故答案为：()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭. 9．（2022·全国·高三专题练习）函数()()02112y x x x =++-的定义域是________． 【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果．【详解】函数()()02lg 2112x y x x x -=+++-的解析式有意义， 由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<，故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-．故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-10．（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）函数()1f x x=-的定义域为___________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数、分式及根式的性质列不等式组求定义域. 【详解】由解析式知：010x x >⎧⎨->⎩可得01x <<， 所以函数定义域为(0,1).故答案为：(0,1)11．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lg 1tan π14y x x =+-___________. 【答案】11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】使对数的真数大于零，二次根式的被开方数大于等于零列出不等式组，结合正切函数的性质求解.【详解】由题意得：21tan π0πππ,2140x x k k x +>⎧⎪⎪≠+∈⎨⎪-≥⎪⎩Z ，解得1142x -<<. 故答案为：11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭. 12．（2023·全国·高三专题练习）函数()()21lg 2f x x x +-的定义域是_______．【答案】1[,2)2- 【分析】依据题意列出不等式组，解之即可得到函数的定义域【详解】由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤< 则函数()()21lg 2f x x x =++-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2- 13．（2023·全国·高三专题练习）函数()()22log 29142f x x x =-+-的定义域为___________. 【答案】()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，根据真数列出不等式，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【详解】由题意可知()22log 291420x x -+->，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此229144x x -+>，求解可得2x <或52x >． 故答案为：()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 14．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lgcos 25f x x x =-的定义域为______．【答案】335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【分析】由题意可得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得22,2255k x k k Z x ππππ⎧-+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩，分别令k =-1、0、1，综合即可得答案.【详解】由题意得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得22,2255k x k k Z x ππππ⎧-+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩， 令k =-1，解得35,2x π⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 令k =0，解得,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 令k =1，解得3,52x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 综上，定义域为335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 故答案为：335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 15．（2021·全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域.【答案】定义城为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，值域为23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【解析】如图，连接AD ，过,B C 分别作AD 的垂线，垂足为,E F ，因为AB BC CD a ++=，所以20BC EF a x ==->，即02a x <<， 因为120ABC ︒∠=，所以60A ︒∠=，所以2x AE DF ==， 3BE x =，13()2(2)222x x x y BC AD BE a x ⎤=+⋅=-++=⎥⎣⎦)222333333)323a a x x x ax x ⎫-=-=-⎪⎝⎭， 故当3a x =时，y 23，故它的定义城为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，值域为23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. AB BC CD a ++=120ABC ︒∠=【点睛】本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真解析题意，建立函数的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题.16．（2023·全国·高三专题练习）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处．20AB =km ，10BC =km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A 、B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．(1)设BAO θ∠=（弧度），将y 表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置． 【答案】(1)2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤ (2)位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 的距离是1033km 【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA OB OP 、、的表达式，进而得到管道总长度y 的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程2010sin 1010103cos θθ-+=+，求得π6θ=，再去确定污水处理厂的位置. (1)矩形ABCD 中，20AB =km ，10BC =km ，DP PC =，DC PO ⊥，BAO ABO θ∠=∠=，则()10km,1010tan km cos OA OB OP θθ===-， 201010tan cos y OA OB OP θθ∴=++=+-，则2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤ (2)令2010sin 1010103cos θθ-+=+ π10sin 103cos 20,20sin 20,3θθθ⎛⎫∴+=∴+= ⎪⎝⎭则πsin 1,3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π04θ≤≤，即ππ7π3312θ≤+≤，则ππ32θ+=，则π6θ= 此时π101010tan103(km)63OP =-=- 所以确定污水处理厂的位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 的距离是1033 km 17．（2022·浙江·高三专题练习）如图，点D 是曲线()22104y x y +=≥上的动点(点D 在y 轴左侧)，以点D 为顶点作等腰梯形ABCD ，使点C 在此曲线上，点,A B 为曲线与x 轴的交点.(1)若直线l 过原点，且斜率为-2，与曲线交于点D ，求此时等腰梯形ABCD 的面积；(2)若设2CD x =，等腰梯形ABCD 的面积为()S x ，写出函数()S x 的解析式，并求出函数的定义域. 【答案】(1)12+；(2)()()2211S x x x =+-，定义域为()0,1【分析】（1）联立方程得到2,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，再计算面积得到答案.（2）计算得到()2,21D x x --，根据面积公式得到解析式，再计算定义域得到答案. (1)直线l 方程为：2y x =-，22214y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，222x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去）， 故2,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2AB =，()1222122S =+⨯=+(2)2CD x =，()2,21D x x --，故()()()22122212112S x x x x x =+⨯-=+-， ()22104y x y +=≥，2CD x =，故01x <<，故定义域为()0,1.。
八年级上册数学思维训练培训(培优)试题：等腰三角形
八年级上册数学思维训练培训（培优）试题：等腰三角形【思维入门】例如图，BD是等腰AABC底边AC 上的高线，DE〃BC角AB于点E,求证：ΔBED是等腰三角形。
例1—1：如图，ZABC的平分线BF与AABC中ZACB相邻的外角的平分线CF相交于点F,过点F作DF〃BC, 交AB 于点D,交AC于点E, （1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。
（2） BD, CE, DE之间存在着什么关系？请证明。
【思维拓展】例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30。
，则等腰三角形的顶角为例3：如图，在AABC 中，AB=AC, ZBAD=20°,且AD=AE,则ZCDE=例4：如图，在ZkABC 中，AB=AC, AD=DE, ZBAD=20% ZEDC=IO0,则ZDAE 的度数为 ______________________________________________________________________________________________【思维升华】例5：老师布宜了一道思考题: 如图1,点M, N分别在正三角形ABC的BC, AC边上，⅛ BM=CN, AM. BN交于点Q,求证：ZBQM = 60%（1）请你完成这道思考题;（2）做完（I）后，同学们在老师的启发下进行了反思.提岀了许多问题，如:①若将题中“BM=CK'与2BQM = 60尸的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别分别移动到BG AC的延长线，是否仍能得到ZBQM=60。
？③若将题中的条件“点卜1, N 分别在正三角形ABC的BGAC边上'改为“点MN分别在正方形ABCD的BGCD边上，，是否仍能得到ZBQM =60°?请你作出判断，在下列横线上填写“是"或“否① __________出证明。
_____ U对②，③的判断，选择一个给【思维探究活动】例：小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一泄可以分成两个等腰三角形吗？于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成 几何图形，如图1，∆ABC 中，设ZA= α , ZB=0, ZC=/。