人教版必修一 牛顿定律应用专题 8 巧用正交分解法解决共点力平衡问题(学案含答案)

二、重难点提示
受力分析和相互垂直方向的选定。

多个共点力作用下物体的平衡问题，常采用正交分解法解决。

可将各力分别分解到x 轴上和y 轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，即
0x
F
=∑、0y F =∑求解。

值得
注意的是，对x 、y 的方向进行选择时，要尽可能使落在x 、y 轴上的力多，且被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。

正交分解
解决的办法是采用正交分解法，将三个不同方向的力分解到两个互相垂直的方向上，再利用平衡条件求解。

例题1 在机械设计中经常用到下面的力学原理，如图所示，只要使连杆AB 与滑块m 所在平面间的夹角θ大于某个值，那么，无论连杆AB 对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB 对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称之为“自锁”
现象。

为使滑块能“自锁”，θ应满足什么条件？（设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ）
思路分析：滑块m 的受力分析如图所示，将力F 分别在水平和竖直两个方向分解，则：
在竖直方向上sin N F mg F θ=+ 在水平方向上cos f N F F F θμ=≤ 由以上两式得
cos sin F mg F θμμθ≤+
因为力F 可以很大，所以上式可以写成cos sin F F θμθ≤ 故θ应满足的条件为cot arc θμ≥ 答案：cot arc θμ≥
例题2 所受重力G 1＝8 N 的砝码悬挂在绳PA 和PB 的结点上。

PA 偏离竖直方向37°角，PB 在水平方向，且连在所受重力为G 2＝100 N 的木块上，木块静止于倾角为θ＝37°的斜面上，如图所示。

试求：木块与斜面间的摩擦力大小和木块所受斜面的弹力大小。

思路分析：对P 点进行受力分析，如图甲所示：
由水平方向和竖直方向列方程得： F ＝F 1sin 37° G 1＝F 1cos 37° 联立解得F ＝G 1tan 37°＝8×4
3
N ＝6N 对G 2进行受力分析如图乙所示：
平行斜面方向上，F cos θ＋G 2sin θ＝F f 解得摩擦力F f ＝6×0.8 N ＋100×0.6 N ＝64.8 N 垂直斜面方向上，F sin θ＋F N ＝G 2cos θ 解得弹力F N ＝100×0.8 N －6×0.6 N ＝76.4 N 答案：64.8 N 76.4 N
技巧点拨：有的同学可能会认为，APB 是同一根绳子，拉力应该处处相等。

对于这种题目中没有明确给出“活结”还是“死结”的情况，只要我们稍微加以判断，就能得出结论。

例如，我们假设这里的P 点是“活结”，那么PB 段绳子的拉力沿水平方向的分力要等于PA 段绳子的拉力，即F PA ＝F PB cos 37°，前面已经假设F PA ＝F PB ，所以，假设是错误的，这里其实是一个“死结”。

【综合拓展】共点力平衡中的临界与极值问题的处理方法
1. 临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。

常见的临界状态有：
（1）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为0）；
（2）绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；
（3）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。

研究的基本思维方法：假设推理法。

2. 极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题，一般用图解法或解析法进行分析。

【满分训练】如图所示，两个完全相同的球，重力大小均为G ，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为α，求当F 至少为多大时，两球将会发生滑动。

思路分析：两球发生滑动的临界状态是摩擦力达到最大静摩擦力的状态，即绳上拉力的水平分量等于小球受到的最大静摩擦力时。

解：对结点O 受力分析如图甲所示，由平衡条件得：
122cos
2
F F F α
==
对任一球（如右球）受力分析如图乙所示，球发生滑动的临界条件是：F 2sin 2
α
＝μF N ，又2cos
2
N F F G α
+=
联立解得：2tan
2
G
F μα
μ=
+
答案：
2tan
2
G
μα
μ+
技巧点拨：共点力平衡问题中的解题技巧
（1）物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。

（2）解平衡问题建立坐标系时，应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少，物体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法。