江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习复数第1课时复数的有关概念教学案

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江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习复数第2

第2课时复数的代数形式及其运算1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R=+=+∈，则(1)21zz±＝；(2)21zz⋅＝；(3)21zz＝ (≠2z ).2．几个重要的结论：⑴ )|||(|2||||2221221221zzzzzz+=-++⑵ zz⋅＝＝ .⑶若z为虚数，则2||z＝()2z=≠填或3．运算律⑴ nm zz⋅＝ .⑵ nmz)(＝ .⑶ nzz)(21⋅＝),(Rnm∈.例1．计算：iiiii2121)1()1(20054040++-++--+解：提示：利用ii ii=±=±20052,2)1(原式＝0变式训练1：2=（A）1-（B）12+（C）12-+（D）1-212===-+故选C；例2. 若012=++zz，求2006200520032002zzzz+++解：提示：利用zzz==43,1原式＝2)1(432002-=+++zzzz变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲ ．解：2例3. 已知4,a a R >∈，问是否存在复数z ，使其满足ai z i z z +=+⋅32（a ∈R ），如果存在，求出z 的值，如果不存在，说明理由解：提示：设),(R y x yi x z ∈+=利用复数相等的概念有⎩⎨⎧==++ax y y x 23222 0034222>∆⇒=-++⇒a y y i a a z a 216224||2-±-+=⇒≤⇒ 变式训练3：若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 解：3例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+（i 为虚数单位）无解．证明：原方程化简为2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设yi x z += (x 、y∈R，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=-221(1)223(2)x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 将（2）代入（1），整理得281250.x x -+=160,()f x ∆=-<∴Q 方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解.变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围.解：由题意得 z 1＝151i i-++＝2＋3i, 于是12z z -=42a i -+,1z =13.<13，得a 2－8a ＋7<0，1<a<7.1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.。

高三数学复数的概念(第一课时)大纲选修

城东蜊市阳光实验学校第四章数系的扩大－复数课时安排1课时沉着说课本节一开始就简明地介绍了数的概念的开展过程，对已经学过的数集因消费和科学开展的需要而逐步扩大的过程进展概括；然后说明数集的每一次扩大，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以施行的矛盾，使得某些代数方程在新的数集中可以有解.复数，最初还是由于解方程的需要而产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步开展.将已经学过的数集进展概括并用表列出.复数的概念是在引入虚数单位i，并同时规定了它的两条性质之后自然地得出的.扩大到复数集后，方程x2=-1,x2-x+1=0等才有解.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立，可以引导学生讨论为什么不规定除法、减法呢？由学生自己探究讨论.把a+bi(a、b∈R)叫做复数,这是复数的代数形式，既与以后的几何表示、向量表示相对应,也说明任何一个复数均可以由一个有序实数对〔a,b〕唯一确定，是复数能由复平面内的点来表示的理论根底.虚数、纯虚数、实部与虚部等概念是复数的最根本的概念.除了书中的一些实例外，教学中还要多举一些例子让学生判别，以加深学生理解.这里主要是分类，让学生总结实数集、虚数集、纯虚数集都是复数的真子集.让学生讨论以下两个问题：①复数相等的充要条件是什么？②两个复数只能说相等或者者不相等，不能比较大小的原因是什么？培养学生的探究精神.第一课时课题§复数的概念教学目的一、教学知识点1.理解引进复数的必要性，理解并掌握虚数的单位i.2.理解并掌握虚数单位与实数进展四那么运算的规律.3.理解并掌握复数的有关概念〔复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部〕.4.理解并掌握复数相等的有关概念.二、才能训练要求1.能利用复数的有关概念对复数进展分类〔实数、纯虚数、虚数〕，并求出有关参数的取值范围.2.会用复数相等的定义求有关参数〔未知数〕的值.3.使学生学会用定义和有关数学思想解题.三、德育浸透目的1.培养学生分类讨论思想、等价转化思想等数学思想和方法.2.培养学生的矛盾转化、分与合、实与虚等唯物辩证观点，让学生学会对事物归纳与认识，深化认识事物的两个方面的重要性.3.培养学生正确的人生观、价值观，使之深化认识到人在事物开展变化中所应表达的价值和作用.加强学生的爱国主义教育，使他们领悟、掌握科学文化知识，为国富民强而奋.教学重点复数的概念、虚数单位i、复数的分类〔实数、虚数、纯虚数〕和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.教学难点虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中应用的理论的教学方法.复数的概念假设单纯地讲解或者者介绍定显得较为枯燥无味，学生不易承受.教学时，我们采用讲解或者者体验已学过的数集的扩大的历史，让学生体会到数集的扩大是消费理论的需要，也是数学学科自身开展的需要；介绍数的概念的开展过程，使学生对数的形成、开展的历史和规律、各种数集之间的关系有着比较明晰、完好的认识,从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类.教具准备实物投影仪或者者多媒体课件〔含幻灯片、幻灯机〕. 幻灯片两张.幻灯片：(记作§4.１Ａ)对已经学过的数集进展概括时，要注意以下几点：〔1〕有理数就是一切形如nm的数，其中m∈Z,n∈N*,所以有理数集实际上就是分数集. (2)｛有理数｝=｛分数｝=｛循环小数｝｛小数｝=R.(3)自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 之间有如下的关系：N ZQR.幻灯片：(记作§4.１Ｂ)两个不全为实数的复数只能说相等或者者不相等，不能比较大小.(1)根据两个复数相等的定义知，在a=c,b=d 两式中，只要有一个不成立，那么a+bi≠c+di. (2)假设两个复数都是实数，那么可以比较大小,否那么，不能比较大小.(3)“不能比较大小〞确实切含义是指：不管怎样定义两个复数之间的一个关系“＜〞，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：①对于任意实数a 、b 来说，a ＜b,a=b,b ＜a 这三种情况有且只有一种成立；②假设a ＜b,b ＜c,那么a ＜c; ③假设a ＜b,那么a+c ＜b+c; ④假设a ＜b,c ＞0,那么ac ＜bc. 教学过程 Ⅰ.课题导入［师］从小学开始，我们就天天与各种数打交道，因此对数的概念和运算并不陌生，如今我们来回忆学过了哪些数集呢？［生］⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫无理数分数负整数自然数零正整数整数有理数实数［师］由自然数经过假设干年的开展，最后扩大到实数，那么还能继续扩大吗？今天我们就来学习新的数即复数〔板书课题〕.Ⅱ.讲授新课(一)概念形成［放投影或者者多媒体］〔由学生阅读〕数的概念是从理论中产生和开展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有〞的数0.自然数的全体构成自然数集N. 随着消费和科学的开展，数的概念也得到了开展.为理解决测量、分配中遇到的将某些量进展等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数，这样就把数集扩大到了有理数集Q ，显然N Q.假设把自然数集〔含正整数和0〕与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，那么有Z Q 、NZ.假设把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集.有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为理解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数〔包括整数、有限小数〕，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集.(学生阅读完毕，教师放出幻灯片§4.１Ａ)［师］数集因消费和科学开展的需要而逐步扩大，数集的每一次扩大，对数学学科本身来说，解决了在原有数集中某种运算不是永远可以施行的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩大到实数集R以后，像x2=-1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并规定：〔板书及以下两条〕(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进展四那么运算，进展四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立.［师］有哪些运算律呢？［生］乘法交换律和加法交换律.［师］在这种规定下，i可以与实数b相乘，结果是什么？［生］i·b=b·i，满足交换律.［师］在这种规定下，i可以与实数a相加，结果是什么？［生］i+a=a+i，满足交换律.［师］假设i与实数b相乘，再与实数a相加，结果是什么呢？［生］i·b+a=a+bi.［师］引进了新的虚数单位i后，数的范围又扩大了，出现了形如a+bi(a、b∈R)的数，它在前面所学的数集中没有，这样人们把它们叫做复数.全体复数所成的集合叫做什么？［生］全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示.(板书) ［师］在这种规定下，i 与-1的关系如何呢？［生］i 就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根. ［师］方程x2=-1的另一个根呢？［生］-i.［师］复数通常用字母z 表示，即z=a+bi(a 、b∈R).把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式.(板书)对于复数a+bi(a 、b∈R),满足什么条件时，它是实数？［生］当且仅当b=0时，复数a+bi(a 、b∈R)它是实数 a. ［师］假设b≠0时，这样复数是什么样的数呢？［生］当b≠0时，复数z=a+bi 叫做虚数.［师］在虚数的情况下，假设a=0时，它又是什么数呢？［生］当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数.［师］a 、b 满足什么条件时，z=a+bi(a 、b∈R)是0？［生］当且仅当a=b=0时，z 就是实数0.［师］这样复数z=a+bi(a 、b∈R)就可以分成哪几种情况呢？［生］⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠∈≠=≠⎪⎩⎪⎨⎧==∈+=非纯虚数的虚数纯虚数是虚数负实数＜实数正实数＞是实数、复数0a R)b 0,(b bi 0a z o b 0a 00a 0a a z 0b R)b bi(a a z［师］这里的实数a 、b 分别叫做复数z=a+bi(a 、b∈R)的实部与虚部〔板书〕.请你们说出复数2+3i,i 213+-,i 31-,i 53--的实部和虚部，有没有纯虚数？［生］它们都是虚数，它们的实部分别是2,-3,0,3-;虚部分别是3,21,31-,-5;i 31-是纯虚数. ［师］-2i+4的实部和虚部是什么？［生］实部是-2，虚部是4.［众生］(齐声说)错！实部是4,虚部是-2. ［师］实数集和复数集之间的关系如何呢？［生］实数集R 是复数集C 的真子集，即RC.［师］数集扩大后，常用的数集之间有什么关系？［生］N Z Q RC.［师］有没有两个复数相等呢？如何定义？［生］假设两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说：假设a 、b 、c 、d∈R,那么a+bi=c+di ⇔a=c,b=d.［师］复数z=a+bi(a 、b∈R)为零的充要条件是什么？［生］复数a+bi=0(a 、b∈R)的充要条件是a=0且b=0.［师］复数相等的定义是在复数集中解方程的重要根据.一般地，两个复数只能说相等或者者不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题“任何两个复数都不能比较大小〞,对吗？［生］不对.假设两个复数都是实数，就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.［师］“不能比较大小〞确实切含义是指：不管怎样定义两个复数之间的一个关系“＜〞，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质.〔打出幻灯片§B〕(由学生阅读) (二)课本例题［例1］实数m 取什么数值时，复数z=m+1+(m-1)i 是〔1〕实数？〔2〕虚数？〔3〕纯虚数？分析:因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数，由复数z=a+bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值. 解：〔1〕当m-1=0，即m=1时，复数z 是实数；〔2〕当m-1≠0，即m≠1时，复数z 是虚数；〔3〕当m+1=0,且m-1≠0时，即m=-1时，复数z 是纯虚数. ［例2］(2x-1)+i=y-(3-y)i ，其中x 、y∈R, 求x 与y. 分析:运用复数相等的定义求解.解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(112y y x 所以25=x ,y=4.(三)精选例题［例1］复数z=log2(x2-3x-3)+log2(x-3),当x 为何实数时，〔1〕z∈R;(2)z 为虚数；〔3〕z 为纯虚数.解:〔1〕因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零，所以有⎩⎨⎧=---②①＞.0)3(log 0,3322x x x由②得x=4,经历证满足①. 所以当x=4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零，所以有⎩⎨⎧≠---.0)3(log 0,3322x x x ＞解得⎪⎩⎪⎨⎧≠-+4322132213x x x x 且＞＜或＞,即2213+＜x ＜4或者者x ＞4.所以当2213+＜x ＜4或者者x ＞4时，z 为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数，那么其实部为零且虚部不为0，所以有⎩⎨⎧≠-=--.0)3(log ,0)33(log 222x x x 解得⎩⎨⎧≠=-=,43,4x x x x 且＞或无解.所以复数z 不可能是纯虚数.［例2］设复数z=2logax+(loga2x-1)i(a ＞0,a≠1),问当x 为何实数时，z 是〔1〕实数；〔2〕虚数；〔3〕纯虚数.解:〔1〕当loga2x-1=0,即x=a 或者者a1时，z 为实数. 〔2〕当⎩⎨⎧≠-001log 2＞x x a 即x≠a,a x 1≠,∴x＞0且x≠a 且ax1≠时，z 是虚数. 〔3〕当⎪⎩⎪⎨⎧≠-=,01log ,0log 2xa xa 即x=1时，z 为纯虚数. ［例3］判断以下式子的对错：(1)当z∈C,那么z2≥0;(2)假设z1、z2∈C,且z1-z2＞0，那么z1＞z2; (3)假设a ＞b,那么a+i ＞b+i.解:(1)z2≥0,当且仅当z∈R 时成立，如设z=i,那么z2=i2=-1＜0,故〔1〕是错误的. (2)反例：设z1=2+i,z2=-1+i,满足z1-z2=3＞0,因此z1、z2不能比较大小，故〔2〕也是错误的. (3)∵a＞b,故a 、b∈R.∴a+i 与b+i 都是虚数，不能比较大小.故〔3〕错.解题回忆：理解复数与实数的一个重要区别：两个复数假设不全是实数，就不能比较大小，因此不等式的性质在复数集中不适用.［例4］〔1〕设复数z=ab+(a2+b2)i(a 、b∈R),a、b 分别满足什么条件时，z 是实数、虚数、纯虚数？〔2〕bi 是什么数？解:〔1〕当a 、b 同时为0时，z 为实数；当a 、b 不全为0时，z 是虚数；当a 、b 有且仅有一个为0或者者者说a 、b 有且仅有一个不为0时，z 为纯虚数.(2)当b=0或者者b 为纯虚数时，bi 是实数；当b 为不是0的实数时，bi 是纯虚数；当b 为非纯虚数时，bi 是非纯虚数.解题回忆：在判断所给一个复数类型时，首先一定要弄清题目中的参数有无要求，然后再将复数中的实部与虚部分清. Ⅲ.课堂练习(一)课本Ｐ149练习1、2. (二)补充练习1.设集合C=｛复数｝,A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，假设全集S=C ，那么以下结论正确的选项是〔〕A.A∪B=CB.CSA=BC.A∩(CSB)=D.B∪(CSB)=C答案：D2.假设复数z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+i 3sinθ,z1=z2,那么θ等于()A.kπ(k∈Z)B.2kπ+3π(k∈Z) C.2kπ±3π(k∈Z)D.2kπ+6π(k∈Z)解析:∵z1=z2,∴其充要条件为⎩⎨⎧==.sin 3cos ,cos 2sin θθθθ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.33tan ,21sin θθ ∴θ=2kπ+6π,k∈Z.应选D. 答案：D3.集合M=｛1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i ｝,集合P=｛-1，3｝.M∩P=｛3｝,那么实数m 的值是〔〕A.-1B.-1或者者4C.6D.6或者者-1解析：由题设知3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=--.065,31322m m m m ∴m=-1.应选A.答案：A4.满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的实数对(x,y)表示的点的个数是_________.解析：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--.0166,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==.31,13y x x 或 ∴点对有(3,31)、(-1,31),一一共有2个. 答案：25.设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),假设z 是纯虚数，求m 的值.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--o m m m )3(log ,0)33(log 222∴⎪⎩⎪⎨⎧-≠-=--.03,13,1332＞m m m m∴⎩⎨⎧≠=--.32,0432＜且m m m m∴m=-1.6.假设方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试务实数m 的值.解：方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.∴⎩⎨⎧=+=++02,022m x mx x∴2m x -=,022422=+-m m . ∴m2=8.∴m=±22. 7.m∈R,复数1)2(-+=m m m z +(m2+2m-3)i,当m 为何值时，(1)z∈R;(2)z 是虚数；〔3〕z 是纯虚数；(4)z=21+4i. 解：〔1〕m 需满足⎩⎨⎧≠-=++.01,0322m m m 解之得m=-3.(2)m 需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0，解之得m≠1且m≠-3.(3)m 需满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m解之得m=0或者者m=-2.(4)m 需满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.432,211)2(2m m m m m解之得m∈∅.8.(2021年五校联考)k∈R,方程x2+(k+3i)x+4+k=0一定有实根的充要条件是()A.|k|≥4B.k≥2+25或者者k≤2-25C.k=±32D.k=-4解析:设x=t 是方程的实根,∴t2+kt+Δ+k+3t·i=0.由复数相等的定义知⎩⎨⎧==+++.03,042t k kt t∴k=-4.应选D.答案:DⅣ.课时小结这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件等等.根本思想是：利用复数的概念，联络以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完好的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.Ⅴ.课后作业课本Ｐ150习题4.１1、2、3、4.板书设计§复数的有关概念一、虚数单位i:i2=-1.两条规定：(1)i2=-1;(2)i与实数满足加、乘运算的有关运算律.二、复数定义：1.形如a+bi(a、b∈R)叫做复数.2.分类3.复数相等的充要条件(a、b、c、d∈R)z1=a+bi,z2=c+di,z1=z2z=a+bi=0 a=b=0.例题分析课本例题例1例2精选例题例1例2数系扩大预习提纲12……。

江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习集合第1

集合（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.第1课时集合的概念1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称．集合中的每一个对象叫做这个集合的．2．集合中的元素属性具有：(1) 确定性； (2) ； (3) ．3．集合的表示法常用的有、和韦恩图法三种，有限集常用，无限集常用，图示法常用于表示集合之间的相互关系．二、元素与集合的关系4．元素与集合是属于和的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作，若a 不是集合B 的元素，记作．但是要注意元素与集合是相对而言的．三、集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号表示．6．子集：若集合A 中都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作．7．相等：若集合A 中都是集合B 的元素，同时集合B 中都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作．8．真子集：如果就说集合A 是集合B 的真子集，记作．9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有个，真子集有个，非空真子集有个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的，∅是任何非空集合的，解题时不可忽视∅．例1. 已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集. 解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为2,4,5，即{}2,4,5A =.∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.解：由{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭可知a ≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：01a b b a a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ①或 01a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩ ②由①得1,1a b =-⎧⎨=⎩符合题意；②无解.所以b-a=2. 例2. 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值. 解：此时只可能2235a a +-=，易得2a =或4-。

高中数学_复数的概念与运算教学设计学情分析教材分析课后反思

复数的概念与运算教学设计[考纲要求]1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.掌握复数的代数表示法及其几何意义.3.能熟练进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义一：知识点回顾1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若_____，则a ＋b i 为实数，若_____，则a ＋b i 为虚数，若____________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________ (a ，b ，c ，d ∈R)．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔_______________ (a ，b ，c ，d ∈R)．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝_______2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 对应复平面内的点_________也对应平面向量____________．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝_______________.z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝____________________. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图441所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝_________，Z 1Z 2→＝_________.二：典型考题考向一：复数的有关概念例1. (1)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |＝( )A:1 B:-1 C 45+35i D.45－35i (2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.[变式训练1] (1)(2017·合肥二次质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝i 2＋i的虚部为( ) A ．－15 B ．－25 C.15 D.25(2)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.32D ．2 规律方法:1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．考向2.复数代数形式的四则运算例2 (1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－IB ．－2＋iC ．2－ID ．2＋i(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________． [变式训练2] (1)已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋I B ．1－I C ．－1＋I D ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. [规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．考向3：复数的几何意义例3： (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞):D ．(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋ID ．－4－i[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝0的复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．三：查缺补漏1．如果复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．z 的共轭复数为1＋I B. z 的实部为1 C ．|z |＝2 D. z 的虚部为－12．若复数z 满足(1＋i)z ＝2＋i ，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限四：学情自测1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )2.(教材改编)如图442，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2016·四川高考)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A ．0B ．2C ．2iD ．2＋2i4．(2016·北京高考)复数1＋2i 2－i＝( ) A ．i B ．1＋i C ．－i D ．1－i5．复数i(1＋i)的实部为________．学情分析绝大多数学生能正确理解复数的概念，能比较熟练地应用。

高考数学一轮复习 11.3复数课件

|1i| 2 2
2.如果复数 m2 是 i 纯虚数,那么实数m等于 ( )
1 mi
A.-1 B.0 C.0或1 D.0或-1
答案 D
m=2 i
1 mi
=(m2 1,令i)m(m122+mmi)=0,m得2 m m=10或m(12-1m. 3)i
经检验满足题意.故选D.
3.已知复数z= 1 ,则 z·i在复平面内对应的点位于 ( )
(3)复数的加减法的几何意义
a.复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量 Ouu、Zur1 不OuuZ共uur2 线,则复数z1+z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ表示的向量 O=uuZur +OuuZu所r1 对OuuZu应ur2 的复数. b.复数减法的几何意义若复数z1,z2对应的向量分别为 Ouu,Zur1 ,则OuuZu复ur2 数z1-z2是向量所对Zuu应2uZur1的复数.
1 i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B z= 1, i= z +1 i , z·i=- 1 +1 i.
2 22
22
实部为- 1 ,虚部为1
2
2
,对应点为
1 2
,
12,在第二象限,故选B.
4.i是虚数单位,则 2i3=
.
1 i
答案 -1-i
解析
2i3 2i (2i)(1 i)
则x+y=2a,xy=a2+b2,
代入(x+y)2-3xyi=4-6i,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
根据复数相等得
4a2 3(a2
4, b

高中数学复数第一题教案

高中数学复数第一题教案
主题：复数
目标：学生能够理解复数的定义、性质和运算规则，掌握复数的加减乘除等基本操作。

前导问题：请问大家知道什么是复数吗？
导入：引导学生通过实例认识复数，并说明其存在的必要性和重要性。

教学步骤：
第一步：复数的引入
通过实例引导学生了解复数的定义，解释实数空间不足以描述所有数的情况，需要引入复
数的概念。

第二步：复数的表示
讲解复数的一般形式a+bi、共轭复数、实部虚部、模与幅角等概念，并进行相关例题讲解。

第三步：复数的加减
通过实例演示复数的加减法规则，注意实部与虚部的相加减。

第四步：复数的乘法
讲解复数的乘法运算规则，包括复数的乘法法则、复数乘以实数和复数的乘法特点。

第五步：复数的除法
介绍复数的除法运算规则，讲解实数的除法与复数的除法的不同之处。

第六步：综合练习
布置一些综合习题，让学生巩固所学的知识，检验对复数的掌握程度。

小结：总结本节课的重点内容，强调复数的定义、性质和运算规则，引导学生将知识点串
联起来。

作业：布置相关的复数练习题，对学生加深对复数的理解和运用能力。

扩展：鼓励学生探索复数的其他性质和运算规律，拓展学生的数学思维和能力。

教学反思：及时总结本节课的教学效果，反馈学生的学习情况，指导下一节课的教学方向
和重点。

2024届高考数学第一轮专项复习——复数的概念与运算教学PPT课件

（＋i)(−i）
；＝
＝
＝
2
＋i
（＋i)(−i）
−
1
1 2
1 2
＋ 2
i（ c ＋ d i≠0），即＝
＝
.
2
2
2
2

＋
＋
｜2｜
2
2 2
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（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 z 1， z 2， z 3∈C，有 z 1＋ z 2
（ m ∈R，i是虚数单位）.
（1）若 z 为纯虚数，求实数 m 的值.
− − = ，
解：（1）若 z 为纯虚数，则
解得 m ＝－1.所以实
− ≠ ，
数 m 的值为－1.
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（2）当 m ＝2时，复数（1＋i）是关于 x 的方程2 x 2＋ px ＋ q ＝0的一
4. 复数是纯虚数的充要条件：① z ＝ a ＋ b i是纯虚数⇔ a ＝0且 b ≠0
（ a ， b ∈R）；② z ＝ a ＋ b i是纯虚数⇔ z ＋＝0（ z ≠0）；③ z ＝ a
＋ b i是纯虚数⇔ z 2＜0.
5. 实系数一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两个复数根互为共轭
= ，
− ＋ = ，
以
解得
= .
− = ，
返回目录
总结提炼
与复数概念有关的问题主要考查以下几点
（1）复数的实部与虚部；（2）复数的分类；（3）复数的共轭
复数.
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[对点训练]
若 z 1， z 2为复数，则“ z 1－ z 2是纯虚数”是“ z 1， z 2互为共轭复数”的

主题复习课复数教案

主题复习课复数教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解复数的定义及表示方法；（2）掌握复数的四则运算规则；（3）能够运用复数解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固已学的复数知识；（2）培养学生运用复数解决实际问题的能力；（3）提高学生的逻辑思维和运算能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对复数知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神；（3）使学生感受到数学在生活中的应用。

二、教学内容1. 复数的定义及表示方法；2. 复数的四则运算规则；3. 复数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：复数的定义、表示方法、四则运算规则及应用。

2. 教学难点：复数的四则运算规则及在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生掌握复数知识；2. 通过例题和练习题，让学生在实际问题中运用复数知识；3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。

五、教学过程1. 复习导入：回顾复数的定义及表示方法，引导学生回顾已学的复数知识；2. 知识讲解：讲解复数的四则运算规则，并通过例题进行演示；3. 练习巩固：让学生进行复数四则运算的练习，巩固所学知识；4. 实际应用：布置一些实际问题，让学生运用复数知识进行解决；5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己在学习过程中的收获和不足。

六、教学评估1. 课堂练习：及时检查学生对复数知识的理解和运用情况；2. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识；3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，了解团队合作情况；4. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断调整教学方法。

七、教学资源1. 教材：选用合适的教材，为学生提供系统、全面的复数知识；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识；4. 实际问题：收集一些与生活相关的实际问题，激发学生兴趣。

八、教学进度安排1. 第1-2课时：复习复数的定义及表示方法；2. 第3-4课时：讲解复数的四则运算规则；3. 第5-6课时：练习复数四则运算，巩固知识；4. 第7-8课时：运用复数解决实际问题；5. 第9-10课时：总结与反思，检查学习效果。

高一数学苏教版课件：复数的概念

12.1 复数的概念
学习目标
1.了解数系的扩充过程； 2.了解复数的代数表示法； 3.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．
情景创设
情景1. 下列方程在什么样的数系范围内有解? 在什么样的数系范围内无解? 结论：要使 x2= -1 有解, 考虑把数系再扩充
负整数自然数无理数分数
整数加入?数实数
自然数集整数集
实数集
得到新?数集
2x=4 有解
有解
有解
有解
x+1=0 无解有解
有解
有解
2x=1 无解
无解
有解
有解
x2=2 无解
无解
x2=-1 无解
无解
有解无解
有解
要使这个方程也有解，怎么办？
情景创设
情景1. 下列方程在什么样的数系范围内有解? 在什么样的数系范围内无解?
结论：要使 x2= -1 有解, 考虑把数系再扩充. 思考：怎样扩充？
(1)要引入新的符号表示新数 (2)要引入四则运算
负整数自然数无理数分数
整数加入?数实数
自然数集整数集
实数集
得到新?数集
2x=4 有解
有解
有解
有解
x+1=0 无解有解引入-
有解
有解
2x=1 无解
无解
有解
有解
x2=2 无解
无解
x2=-1 无解
无解
有解无解
有解
要使这个方程也有解，怎么办？
数学建构
为了使 x2= -1 这样的方程有解, 我们把数系扩充,
（1）引入一个数 i, 规定 i2 = -1.
（2）同时将实数的运算法则引入

高中数学教案：复数的有关概念

高中数学教案：复数的有关概念一、教学目标1.了解复数的定义、表示方法及分类。

2.掌握复数的运算规律及几何意义。

3.培养学生运用复数解决实际问题的能力。

二、教学重点1.复数的定义、表示方法及分类。

2.复数的运算规律及几何意义。

三、教学难点1.复数的几何意义。

2.复数运算中的共轭复数概念。

四、教学过程一节课，共两个课时第一课时一、导入1.复习实数的相关知识，如实数的分类、运算规律等。

2.提问：实数能否表示平面上的点？如何表示？二、新课内容1.复数的定义（1）讲解复数的定义：形如a+bi（a、b为实数，i为虚数单位）的数称为复数。

（2）分析复数的组成部分：实部a，虚部b。

（3）讲解复数的分类：实数（b=0）、虚数（a=0，b≠0）、纯虚数（a=0，b≠0）。

2.复数的表示方法（1）代数表示法：a+bi。

（2）几何表示法：以实部a为横坐标，虚部b为纵坐标的点在复平面上的位置。

3.复数的运算规律（1）加法：a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i。

（2）减法：a+bi-c-di=(a-c)+(b-d)i。

（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i。

4.复数的几何意义（1）复平面的概念：以实轴为横坐标，虚轴为纵坐标的坐标系。

（2）复数的几何表示：复数a+bi在复平面上的对应点为(a,b)。

（3）复数的模：|a+bi|=√(a^2+b^2)。

（4）复数的共轭：a+bi的共轭复数为a-bi。

三、课堂练习2.计算下列复数的和、差、积、商：(2+3i)+(4-2i)，(2+3i)-(4-2i)，(2+3i)(4-2i)，(2+3i)/(4-2i)。

3.求复数z=3+4i的模和共轭复数。

本节课我们学习了复数的定义、表示方法、运算规律及几何意义，为后续学习复数的相关知识打下了基础。

复数的有关概念高中数学教案

复数的有关概念高中数学教案一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的表示方法。

2. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

3. 引导学生掌握复数的运算规则，提高学生的数学运算能力。

二、教学内容1. 复数的概念：引入复数的概念，解释实数和虚数的概念。

2. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。

3. 复数的运算规则：讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。

4. 复数的几何意义：介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。

5. 复数的应用：举例说明复数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：复数的概念、表示方法、运算规则和几何意义。

2. 难点：复数的运算规则和几何意义。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解复数的有关概念和运算规则。

2. 利用图形和实例，直观地展示复数的几何意义。

3. 引导学生运用复数解决实际问题，提高学生的应用能力。

4. 组织课堂讨论，让学生提问、交流和分享。

五、教学准备1. 教案、教材、多媒体教学设备。

2. 复数的相关图形和实例。

3. 练习题和课后作业。

六、教学过程1. 导入：通过复习实数的概念，引导学生自然过渡到复数的概念。

2. 新课导入：讲解复数的概念，解释实数和虚数的概念。

3. 案例分析：分析一些实际的例子，让学生更好地理解复数的概念。

4. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。

5. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数表示的练习题。

七、复数的运算规则1. 讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。

2. 利用具体例子，让学生理解和掌握复数的运算规则。

3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数运算的练习题。

八、复数的几何意义1. 介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。

2. 利用图形，直观地展示复数的几何意义。

3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数几何意义的练习题。

九、复数的应用1. 举例说明复数在实际问题中的应用，如信号处理、控制系统等。

高中数学复数讲解教案

高中数学复数讲解教案一、导入：复数的引入（5分钟）1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2. 复数的表示形式：直角坐标形式、极坐标形式及指数形式。

3. 复数的基本运算：加法、减法、乘法、除法的规则。

二、概念理解（10分钟）1. 实部和虚部的概念：实部为复数的实数部分，虚部为复数的虚数部分。

2. 复数的相等概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，则两个复数相等。

3. 复数的共轭概念：如果一个复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi。

三、复数运算（15分钟）1. 复数的加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 复数的减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 复数的除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i四、练习与应用（20分钟）1. 练习：根据给定的复数，进行加减乘除运算。

2. 应用：解决实际问题，如电路中的复数阻抗计算、空间向量的表示等。

五、实例分析（10分钟）1. 根据实际问题，通过复数形式进行分析和解决。

2. 引导学生发现复数在实际应用中的重要性和实用性。

六、总结与反思（5分钟）1. 复习复数的基本概念和运算规则。

2. 总结本节课的重点内容，并思考如何更好地运用复数解决实际问题。

七、作业布置（5分钟）1. 布置练习题，巩固本节课的知识点。

2. 要求学生独立完成一道实际应用题，并写出解题思路和过程。

注：以上教案可根据具体课堂情况和学生的理解水平进行调整和修改。