2019-2020年高中数学《1.2充分条件与必要条件》教案新人教A版选修2-1

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2019-2020年高中数学《1.2充分条件与必要条件》教案2 新人教A版选修2-1

2019-2020年高中数学《1．2充分条件与必要条件》教案2 新人教A版选修2-1（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件。

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教具准备：与教材内容相关的资料。

(部编版)2020学年高中数学第一章1.2充分条件与必要条件学案含解析新人教A版选修77

1.2 分条件与必要条件[提出问题]在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1：图中A 开关闭合时B 灯一定亮吗？提示：一定亮．问题2：B 灯亮时A 开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C 开关闭合． [导入新知] 充分条件与必要条件q[化解疑难]1．p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立，但是如果没有p ，q 也可能成立”．2．q 是p 的必要条件是指“要使p 成立必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”；但即使有q 成立，p 未必会成立.[提出问题]如图是一物理电路图．问题1：图中开关A 闭合，灯泡B 亮；反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合吗？提示：一定闭合．问题2：开关A 闭合作为命题的条件p ，灯泡B 亮作为命题的结论q ，你能判断p ，q 之间的推出关系吗？提示：p ⇔q . [导入新知]充要条件如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件． [化解疑难]p 是q 的充要条件时，q 也是p 的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p 和条件q 是等价的，如果p 和q 是两个命题，则这两个命题是等价命题．[例1] (1)在△ABC 中，p ：cos 2A ＝cos 2B ，q ：A ＝B ； (2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.[解] (1)在△ABC 中，A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，且A ＋B ＋C ＝π.若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；反之，若A ＝B ，则cos 2A ＝cos 2B .因此，p 是q 的充要条件．(2)由x ＞1可以推出x 2＞1；由x 2＞1，得x ＜－1，或x ＞1，不一定有x ＞1.因此，p 是q 的充分不必要条件． (3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2，或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1；当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件． [类题通法]充分、必要、充要条件的判断方法判断p 是q 的什么条件，其实质是判断“若p ，则q ”及其逆命题“若q ，则p ”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p 是q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p 是q 的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．[活学活用]指出下列各组命题中p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形； (2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y －2)＝0，而(x －1)(y －2)＝0(x －1)2＋(y －2)2＝0，∴p 是q 的充分不必要条件.[例2] ac ＜0. [解] (1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac ＞0，x 1x 2＝c a＜0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac ＜0.(2)充分性：由ac ＜0可推得Δ＝b 2－4ac ＞0及x 1x 2＝c a＜0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.[类题通法]充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[活学活用]已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.证明：(1)必要性：由1x ＜1y，得1x －1y ＜0，即y －x xy＜0，又由x ＞y ，得y －x ＜0，所以xy ＞0. (2)充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy ，即1x ＜1y. 综上所述，1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[例3] 已知p ：－2≤x m 的取值范围． [解] 因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，即{}x |－2≤x ≤10是{}x |1－m ≤x ≤1＋m 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{}m |m ≥9. [类题通法]应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．[活学活用]已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意知，Q ＝{x |1＜x ＜3}，Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5.故实数a 的取值范围是[－1,5]．1.诠释充分条件与必要条件的判断有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．其基本步骤是：[例1] (四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．[答案] A [活学活用]1．“sin α＝12”是“cos 2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由cos 2α＝12可得sin 2α＝14，即sin α＝±12，故sin α＝12是cos 2α＝12的充分不必要条件．2．等价转化法等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：[例2] 已知x ，y 为两个正整数，p ：x ≠2或y ≠3，q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的________条件．[解析] 綈p ：x ＝2且x ＝3，綈q ：x ＋y ＝5.可知綈p ⇒綈q ，而綈q ⇒/ 綈p .所以綈q 是綈p 的必要不充分条件，故p 是q 的必要不充分条件．[答案] 必要不充分[活学活用]2．“m ≠3”是“|m |≠3”的________条件．答案：必要不充分 3．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：[例3] 指出下列命题中p 是q 的什么条件． (1)p ：(x －1)(x ＋2)≤0，q ：x ＜2； (2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4. [解] (1)令A ＝{x |(x －1)(x ＋2)≤0}＝ {x |－2≤x ≤1}，集合B ＝{x |x ＜2}．显然，A B ，所以p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件． (2)令A ＝{x |x 2－2x －8＝0} ＝{x |x ＝－2或x ＝4}＝{－2,4}，B ＝{x |x ＝－2或x ＝4}＝{－2,4}．∵A ＝B ，∴p ⇔q ，即p 是q 的充要条件． [活学活用]3．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a ＜0 B ．a ＞0 C ．a ＜－1D ．a ＜1解析：选C ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＞0，1a＜0，解得a ＜0. 由于{a |a ＜－a |a ＜0}，故选C.[随堂即时演练]1．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 直线l 与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l ⊥α，因为有可能是直线l 在平面α内与一组平行直线垂直．若l ⊥α，则直线l 垂直于α内的所有直线．2．已知非零向量a ，b ，c ，则“a ·b ＝a ·c ”是“b ＝c ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵a ⊥b ，a ⊥c 时，a ·b ＝a ·c ，但b 与c 不一定相等， ∴a ·b ＝a ·c ⇒/ b ＝c ；反之，b ＝c ⇒a ·b ＝a ·c .3.已知M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的________条件．解析：∵由a ∈M ⇒/ a ∈N ，但a ∈N ⇒a ∈M ， ∴“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________. 解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－235．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，求实数a 的值．解：p ：x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3.q ：ax ＋1＝0，当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，x ＝－1a.由题意知p ⇒/ q ，q ⇒p ，故a ＝0舍去；当a ≠0时，应有－1a ＝2或－1a＝－3，解得a ＝－12或a ＝13.[课时达标检测]一、选择题1．“tan α＝1”是“α＝π4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵若tan α＝1，则α＝k π＋π4(k ∈Z)，α不一定等于π4；而若α＝π4，则tan α＝1，∴tan α＝1是α＝π4的必要不充分条件．2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( ) A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选A因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．3．(陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.4．(天津高考)设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A |x－2|<1⇔1<x<3.由于{x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集，所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分而不必要条件．5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )A．x≥0B．x2≥－xC．log2(x＋1)＞0 D．2x＜1解析：选B ∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件，选项C、D均不符合题意．对于选项B，∵由x2≥－x，得x(x＋1)≥0，∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．二、填空题6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B．又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1.答案：(－∞，1)8．下列命题：①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；②b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为______________．解析：①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件；②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，∴a ＝2.因此，“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0， ∴xy ＝1且x ＞0，y ＞0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立，反之不然．因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知，真命题是④. 答案：④ 三、解答题9．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件． (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 解：(1)∵|x |＝|y |⇒/ x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇒/ △ABC 是等腰三角形， △ABC 是等腰三角形⇒/ △ABC 是直角三角形， ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． (3)∵四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件． (4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立，说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件．※ 精品试卷 ※※ 推荐 ※ 下载 ※ 10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1. 证明：(1)充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．当n ＝1时，上式也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，即数列{a n }为等比数列．(2)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．∵p ≠0且p ≠1， ∴a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p p －p ＋q ，∴q ＝－1.即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。

2019-2020年高中数学第一章《充分条件和必要条件》教案2 新人教A版选修1-1

2019-2020年高中数学第一章《充分条件和必要条件》教案2 新人教A版选修1-1[教学目标]：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；[教学重点、难点]：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断[教学过程]：一、复习回顾一般地，如果已知，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件⑴“”是“”的充分不必要条件．⑵若a、b都是实数，从①；②；③；④；⑤；⑥中选出使a、b都不为0的充分条件是①②⑤．二、例题分析条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性例1：已知p：；q：x、y不都是，p是q的什么条件？分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是，则”真的“若q则p”的逆否命题是“若，则x、y都是”假的故p是q的充分不必要条件注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．练习：已知p：或；q：或，则是的什么条件？方法一：显然是的的充分不必要条件方法二：要考虑是的什么条件，就是判断“若则”及“若则”的真假性“若则”等价于“若q则p”真的“若则”等价于“若p则q”假的故是的的充分不必要条件2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例2：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M 是Q的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性显然M是Q的充分不必要条件3．充要性的求解是一种等价的转化例3：求关于x的一元二次不等式于一切实数x都成立的充要条件分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于0000404aa a a a a≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么例4：证明：对于x、y R，是的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于x、y R，如果则，即故是的必要条件不充分性：对于x、y R，如果，如，，此时故是的不充分条件综上所述：对于x、y R，是的必要不充分条件．例5：p：；q：．若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由于是的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件于是有三、练习：1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．（充分不必要条件）3．已知，求证：的充要条件是：.2019-2020年高中数学第一章《充要条件》教案新人教A版选修2-1(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。

高中数学人教A版选修1-1教案-1.2 充分条件与必要条件_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标运用充分条件、必要条件和充要条件2. 教学重点/难点运用充分条件、必要条件和充要条件3. 教学用具4. 标签教学过程一、基础知识（一）充分条件、必要条件和充要条件1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。

2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。

3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。

（二）充要条件的判断1若成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。

2．若且BA，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。

3．若成立则A、B互为充要条件。

证明A是B的充要条件，分两步：（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。

二、范例选讲例1．（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC；（2）对于实数x、y，p：x+y≠8 q：x≠2或y≠6；（3）在△ABC中，p：SinA>SinB q：tanA>tanB；（4）已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0 q：(x-1)(y-2)=0解：（1）p是q的充要条件（2）p是q的充分不必要条件（3）p是q的既不充分又不必要条件（4）p是q的充分不必要条件练习1（变式1）设f(x)=x2-4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分条件是（ C ）A、x<0B、x<0或x>4C、│x-1│>1D、│x-2│>3例2．填空题(3)若A是B的充分条件，B是C的充要条件，D是C的必要条件，则A是D的条件.答案：(1)充分条件(2)充要、必要不充分(3)A＝> B <＝> C＝> D故填充分。

1.2.充分条件与必要条件-人教A版选修1-1教案

1.2 充分条件与必要条件-人教A版选修1-1教案一、教学目标1.理解充分条件和必要条件的定义及区别；2.掌握使用条件语句表达充分条件和必要条件；3.熟练使用条件语句证明充分条件和必要条件；4.培养学生严密的逻辑思维能力和数学语言表达能力。

二、教学内容1.充分条件和必要条件的定义；2.使用条件语句表达充分条件和必要条件；3.条件语句证明充分条件和必要条件。

三、教学过程1.导入（5分钟）1.引出知识点：充分条件和必要条件。

2.举例说明：如果一个人是男性，那么他可以去男厕所，在这个例子中，性别是去女厕所的必要条件，去男厕所的充分条件。

同学们可以自行想象其他充分条件和必要条件的例子。

2.讲解（15分钟）1.定义–充分条件：如果命题P成立，则命题Q也成立，我们就称P是Q成立的充分条件，或者说P蕴含着Q。

用符号表示为P → Q。

–必要条件：如果命题Q成立，则命题P也成立，我们就称Q是P成立的必要条件，或者说Q蕴含着P。

用符号表示为Q → P。

2.表达–充分条件的表达：如果P，则Q。

–必要条件的表达：只有Q，才能有P。

3.区别–充分条件是P与Q之间的关系，而必要条件是Q与P之间的关系。

–充分条件的成立不意味着必要条件的成立，反之亦然。

4.举例–如果两个数相等，则它们的和也相等，可以表示为：两个数相等是它们和相等的充分条件。

–只有两个数的和相等，它们才能相等，可以表示为：两个数相等是它们和相等的必要条件。

3.练习（30分钟）1.判断下列命题的充分条件和必要条件，并用条件语句表达出来。

–如果一个数字是偶数，那么它能被2整除。

–一个人想参加奥数比赛，就必须会做足20道以上的算术题。

2.大约用15分钟时间，让同学们自己尝试着完成练习。

3.借助黑板，进行讲解和讨论。

–第一题的充分条件是“一个数字是偶数”，必要条件是“它能被2整除”。

–第二题的充分条件是“会做足20道以上的算术题”，必要条件是“想参加奥数比赛”。

4.巩固（30分钟）1.进行小组讨论，选定一个命题，试着用条件语句表达出来。

《充分条件与必要条件》第一课时教学设计(人教新课标A版选修1-1)论文

《充分条件与必要条件》第一课时教学设计(人教新课标A版选修1-1)(莆田华侨中学福建莆田351115)一、教材分析充分条件、必要条件是学生在义务教育阶段的基础上学习常用的逻辑用语，在数学中有着广泛的应用。

这一节内容主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语表达数学内容的准确性、简洁性，更好地进行交流。

学习本小节的意义在于：①正确理解充分条件、必要条件的意义，对于这些概念的运用和掌握有赖于后续的学习，教学中不要急于求成，而应该在后续的教学中经常借助于这些概念去表达、阐述和分析；②讨论命题的条件与结论之间的逻辑关系，结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；③会利用命题的等价性判断充分不必要条件、必要不充分条件；④充分条件、必要条件的应用，培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识；⑤在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系；若a b，则a是b的充分条件或b是a的必要条件；若a b，则a是b充分不必要条件。

本小节共2课时，这是第一课时，主要任务是正确理解充分条件、必要条件的意义和简单应用。

1．教学重点：构建充分条件、必要条件的数学意义及其简单应用。

2．教学难点：必要条件概念的理解和掌握，命题的充分不必要条件、必要不充分条件的判断。

3．教学关键：①借助于原命题与逆否命题的等价性，帮助理解必要条件。

若原命题是“”，则它的逆否命题是“”，这就是说，要使p成立，就必须使q成立，从而意味着q成立对于p成立是必要的。

②分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件；若命题的条件和结论分别为p和q，若p=>q 且q≠>p，则p是q的充分不必要条件，若q=>p且p≠>q则p是q的必要不充分条件二．教学目标1．知识目标：理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练讨论命题的条件与结论之间的逻辑关系，会转化成推理关系及集合的包含关系，能对充分条件、必要条件进行简单的应用。

2019-2020年高中数学第一章《充分条件与必要条件》教案新人教A版选修2-1

2019-2020年高中数学第一章《充分条件与必要条件》教案新人教A版选修2-1（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件。

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．２．给出定义命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p q．定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件．上面的命题(1)为真命题，即x ＞ a2 + b2 x ＞ 2ab，所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．3．例题分析：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．解略．例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．解略．４、巩固巩固：P12 练习第1、2、3、4题５．教学反思：充分、必要的定义．在“若p，则q”中，若p q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．６．作业 P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；③ p是q的充要条件；④ p是q的既不充分也不必要条件．2019-2020年高中数学第一章《充分条件和必要条件》教案1 新人教A版选修1-1【教学目标】1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．【教学过程】一、复习回顾1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．2．四种命题及相互关系：3．请判断下列命题的真假：（1）若,则; （2）若,则;（3）若,则; （4）若,则二、讲授新课1.推断符号“”的含义：一般地,如果“若,则”为真, 即如果成立，那么一定成立,记作:“”;如果“若,则”为假, 即如果成立，那么不一定成立,记作:“”.用推断符号“和”写出下列命题：⑴若，则；⑵若，则；一般地，如果，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件．如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？由上述定义知“”表示有必有，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解．但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？q 是p 的必要条件说明没有就没有,是成立的必不可少的条件,但有未必一定有.充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p 则q ”为真（即）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q 则非p ”为真（即）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分必要条件（充要条件），即且；（2）充分不必要条件，即且；（3）必要不充分条件，即且；（4）既不充分又不必要条件，即且．3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。

人教A版高中数学选修第一章充分条件和必要条件教案新(1)

4.2.1 直线与圆的位置关系
一、教学目标 1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2、过程与方法
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心
)2
,2(E
D --
到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．三、教学设想。

高中数学 1.2《充分条件与必要条件》教案新人教A版选修2-1

充分条件与必要条件教学要求：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出以下命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：〔1〕假设0ab =，那么0a =；〔2〕假设0a >时，那么函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.二、讲授新课：1. 认识“⇒〞与“〞：①在上面两个命题中，命题〔1〕为假命题，命题〔2〕为真命题. 也就是说，命题〔1〕中由 “0ab =〞不能得到“0a =〞，即0ab =0a =；而命题〔2〕中由“0a >〞可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加〞，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.②练习：教材P12 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①假设p q ⇒，那么p 是q 的充分条件〔sufficient condition 〕，q 是p 的必要条件〔necessary condition 〕.上述命题〔2〕中“0a >〞是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加〞的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加〞那么是“0a >〞的必要条件.②例1：以下“假设p ，那么q 〞形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？〔1〕假设1x >，那么33x -<-；〔2〕假设1x =，那么2320x x -+=；〔3〕假设()3x f x =-，那么()f x 为减函数；〔4〕假设x 为无理数，那么2x 为无理数.〔5〕假设12//l l ，那么12k k =.〔学生自练→个别回答→教师点评〕③练习：P12页第2题④例2：以下“假设p ，那么q 〞形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？〔1〕假设0a =，那么0ab =；〔2〕假设两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；〔3〕假设a b >，那么ac bc >；〔4〕假设x y =，那么22x y =.〔学生自练→个别回答→教师点评〕⑤练习：P12页第3题⑥例3：判断以下命题的真假：〔1〕“x 是6的倍数〞是“x 是2的倍数〞的充分条件；〔2〕“5x <〞是“3x <〞的必要条件. 〔学生自练→个别回答→学生点评〕3. 小结：充分条件与必要条件的理解.三、巩固练习：作业：教材P14页第1、2题充要条件教学要求：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念.教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出以下各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？〔1〕:p a Q ∈，:q a R ∈；〔2〕:p a R ∈，:q a Q ∈；〔3〕:p 内错角相等，:q 两直线平行；〔4〕:p 两直线平行，:q 内错角相等.二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件〔sufficient and necessary condition 〕.②上述命题中〔3〕〔4〕命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：以下命题中，哪些p 是q 的充要条件？〔1〕:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；〔2〕:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数；〔3〕:p 0,0x y <<，:q 0xy >；〔4〕:p a b >，:q a c b c +>+.〔学生自练→个别回答→教师点评〕②练习教材P14 练习第1、2题③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与O 相切的充要条件.〔教师引导→学生板书→教师点评〕3. 小结：充要条件概念的理解.三、巩固练习：1. 从“⇒〞、“〞与“⇔〞中选出适当的符号填空：〔1〕1x >-1x >；〔2〕a b >11a b<；〔3〕2220a ab b -+=a b =；〔4〕A ⊆∅A =∅.2. 判断以下命题的真假：〔1〕“a b >〞是“22a b >〞的充分条件；〔2〕“a b >〞是“22a b >〞的必要条件；〔3〕“a b >〞是“22ac bc >〞的充要条件；〔4〕“5a +是无理数〞是“a 是无理数〞的充分不必要条件；〔5〕“1x =〞是“2230x x --=〞的充分条件.3. 作业：教材P14页习题第3、4题。

学高中数学常用逻辑用语充分条件与必要条件教学用书教案新人教A版选修

１．２充分条件与必要条件学习目标核心素养１．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．（重点、难点）２．会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．（重点）３．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．（难点）１．通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．２．借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养．１．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件（２）以下五种表述形式：１p⇒q；２p是q的充分条件；３q的充分条件是p；４q是p的必要条件；５p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？[提示] （１）相同，都是p⇒q．（２）等价．２．充要条件（１）一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．（２）若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．（３）若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．（４）若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．（５）从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件思考２：（１）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？（２）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示] （１）正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．（２）１p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．２p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．１．“x＞0”是“错误!＞0”成立的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．既不充分也不必要条件Ｄ．充要条件A[当x＞0时，错误!＞0成立；但当错误!＞0时，得x２＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x ＞0．]２．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（）Ａ．“ac>bc”是“a>b”的必要条件Ｂ．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件Ｃ．“ac<bc”是“a<b”的充分条件Ｄ．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件B[若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]３．“|x—２|≤３”是“—１≤x≤５”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件C[由|x—２|≤３得—１≤x≤５，故选Ｃ．]４．下列各题中，p是q的充要条件的是________（填序号）．１p：b＝0，q：函数f（x）＝ax２＋bx＋c是偶函数；２p：x>0，y>0，q：xy>0；３p：a>b，q：a＋c>b＋c．１３[在１３中，p⇔q，所以１３中p是q的充要条件，在２中，q p，所以２中p不是q的充要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．（１）在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；（２）对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠２或y≠6；（３）p：（a—２）（a—３）＝0，q：a＝３；（４）p：a＜b，q：错误!＜１．思路探究：判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件．[解] （１）在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．（２）因为x＝２且y＝6⇒x＋y＝8，即q⇒p，但p q，所以p是q的充分不必要条件．（３）由（a—２）（a—３）＝0可以推出a＝２或a＝３，不一定有a＝３；由a＝３可以得出（a—２）（a—３）＝0．因此，p是q的必要不充分条件．（４）由于a＜b，当b＜0时，错误!＞１；当b＞0时，错误!＜１，故若a＜b，不一定有错误!＜１；当a＞0，b＞0，错误!＜１时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，错误!＜１时，可以推出a＞b．因此p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法（１）定义法（２）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．（３）逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若p⇒q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若p⇒q，且q p，则p是q的必要不充分条件；若p⇔q，则p与q互为充要条件；若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．错误!１．（１）设x∈R，则“错误!＜错误!”是“x３＜１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件A[由错误!＜错误!得—错误!＜x—错误!＜错误!，解得0＜x＜１．由x３＜１得x＜１．当0＜x＜１时能得到x＜１一定成立；当x＜１时，0＜x＜１不一定成立．所以“错误!＜错误!”是“x３＜１”的充分而不必要条件．]（２）设函数f（x）＝cos x＋b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件C[∵f（x）＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f（—x）＝f（x），即cos（—x）＋b sin（—x）＝cos x＋b sin x，∴２b sin x＝0．由x的任意性，得b＝0．故f（x）为偶函数⇒b＝0．必要性成立．反过来，若b＝0，则f（x）＝cos x是偶函数．充分性成立．∴“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．故选Ｃ．]充要条件的探求与证明２Ａ．0<x<４Ｂ．0<x<２Ｃ．x>0 Ｄ．x<４（２）求证：一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．思路探究：（１）先解不等式x２—４x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x２—４x<0的解集的子集．（２）充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的（⇔），也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．（１）B[由x２—４x<0得0<x<４，则充分不必要条件是集合{x|0<x<４}的子集，故选Ｂ．]（２）证明：充分性（由ac<0推证方程有一正根和一负根），∵ac<0，∴一元二次方程ax２＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b２—４ac>0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x１，x２，则x１x２＝错误!<0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性（由方程有一正根和一负根推证ac<0），∵一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x１，x２，∴由根与系数的关系得x１x２＝错误!<0，即ac<0，此时Δ＝b２—４ac>0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax２＋bc＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．１．探求充要条件一般有两种方法：（１）探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论（设为B），再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．（２）将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．２．充要条件的证明（１）证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．（２）证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．错误!２．（１）不等式x（x—２）<0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．x∈（0,２）Ｂ．x∈[—１，＋∞）Ｃ．x∈（0,１）Ｄ．x∈（１,３）B[由x（x—２）<0得0<x<２，因为（0,２）[—１，＋∞），所以“x∈[—１，＋∞）”是“不等式x（x—２）<0成立”的一个必要不充分条件．]（２）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）Ａ．α内有无数条直线与β平行Ｂ．α内有两条相交直线与β平行Ｃ．α，β平行于同一条直线Ｄ．α，β垂直于同一平面[答案] B充分条件、必要条件、充要条件的应用[１．记集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？[提示] 若p是q的充分不必要条件，则A B，若p是q的必要不充分条件，则B A．２．记集合M＝{x|p（x）}，N＝{x|q（x）}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N 呢？[提示] 若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q 的充要条件．【例３】已知p：x２—8x—２0≤0，q：x２—２x＋１—m２≤0（m>0），且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．思路探究：→ 错误!{m|m≥9}（或[9，＋∞））[由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，由x２—２x＋１—m２≤0（m>0），得１—m≤x≤１＋m（m>0）．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q p．即{x|—２≤x≤１0}是{x|１—m≤x≤１＋m，m>0}的真子集，所以错误!或错误!解得m≥9．所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]１．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．[解] 由x２—8x—２0≤0得—２≤x≤１0，由x２—２x＋１—m２≤0（m>0）得１—m≤x≤１＋m （m>0），因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq．则{x|１—m≤x≤１＋m，m>0}{x|—２≤x≤１0}，所以错误!，解得0<m≤３．即m的取值范围是（0,３]．２．若本例题改为：已知P＝{x|a—４<x<a＋４}，Q＝{x|１<x<３}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P．所以错误!解得—１≤a≤５，即a的取值范围是[—１,５]．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围１化简p、q两命题；２根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；３利用集合间的关系建立不等式；４求解参数范围.１．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．２．充要条件的证明与探求（１）充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：１p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；２p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．（２）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．１．“|x|＝|y|”是“x＝y”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件B[若x＝１，y＝—１，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选Ｂ．]２．“x＝５”是“x２—４x—５＝0”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件A[由x２—４x—５＝0得x＝５或x＝—１，则当x＝５时，x２—４x—５＝0成立，但x２—４x—５＝0时，x＝５不一定成立，故选Ａ．]３．下列条件中，是x２<４的必要不充分条件是（）Ａ．—２≤x≤２Ｂ．—２<x<0Ｃ．0<x≤２Ｄ．１<x<３A[由x２<４得—２<x<２，必要不充分条件的x的范围真包含{x|—２<x<２}，故选Ａ．]４．若“x＜m”是“（x—１）（x—２）＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．（—∞，１] [由（x—１）（x—２）＞0可得x＞２或x＜１，由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞２或x＜１}，∴m≤１．]。

人教A版高中数学选修一1-2-1 《充分条件与必要条件》教案

§1.2.1 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能（1）理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。

（2）初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。

（3）在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

2、过程与方法通过对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点（1）对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和判断.（2）利用定义法、从集合角度、等价命题解决充要条件问题.教学难点理解充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.教学方法小组合作学习，由微课引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出问题的解决办法. 教学过程一、微课《水滴石穿》引入新课教师板书课题--1.2 充分条件与必要条件二、新授课1、新的数学符号：“⇒”读作:推出； “⇒/”读作：推不出.2、教师总结板书定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.也可以简单说成：⎧⎨⎩前者是后者的充分条件；如果前者能推出后者后者是前者的必要条件. 3、教师板书定义：如果q ⇒p ，那么我们就说，p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件.4、教师板书定义：若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．下面我们对定义加以运用，看下面的例题.221.(1).1,430.(2).(),().(3).,.p q p q x x x f x x f x R x x =-+==例下列“若、则”的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若则若则在上是增函数若为无理数则为无理数学生思考分析：因为(1) (2)中p ⇒q ，(3)中p ⇒/q ，所以p 是q 的充分条件.教师点评例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)若x 2=y 2，则x=y.(2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等.(3)若ac 2>bc 2，则a>b.学生思考分析：命题(1) (2)中q ⇒p ，命题(3)中q ⇒/p ，所以命题(1)(2)中的p 是q 的必要条件. 教师点评加法总结：如何判断p 是q 的充分条件,p 是q 的必要条件？教师板书：1、可以判断命题的真假；2、看p q ⇒是否成立；看q p ⇒是否成立.例3下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若0ab =，则a=0.学生思考分析：命题（1）（2）中p ⇒q 且q ⇒/p ，所以命题（1）（2）中的q 是p 的充分不必要条件. 教师提问：命题（3）中p ⇒q ，q ⇒p 吗？那么p 是q 的什么条件呢？我们给出新的定义.5、教师板书定义：若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充分条件．思考：条件p ：三角形的三条边相等，结论q ：三角形的三个角相等，p ⇒q ，q ⇒p 成立吗？因此，p q 是的什么条件？6、教师板书定义：如果p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ．这时，p 既是q 成立的充分条件，又是q 的必要条件，我们称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件．另外，如果p ⇒/q 且q ⇒/p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件练习1：下列各组语句中，p 是q 的什么条件？（1）p ：a ＞0，b ＞0，q ：a ＋b ＞0；充分不必要条件（2）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形；必要不充分条件（3）p ：|x|＜1，q ：－1＜x ＜1；充要条件（4） p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2. 既不充分也不必要条件学生小组研究完成，再由学生回答。

(教师用书)高中数学 1.2 充分条件与必要条件教案新人教A版选修1-1

1.2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件1．2.2 充要条件(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．●重点、难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．(教师用书独具)●教学建议基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理；(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果；(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质；(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神．●教学流程创设问题情境，通过对上节知识的回顾，引出问题：真假命题中条件与结论有何关系？⇒引导学生通过对比、分析，引出充分条件、必要条件、充要条件的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解四种条件的判断方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握判断p是q的什么条件的方法，加深对概念的理解.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握充分、必要条件的应用，进一步巩固概念.⇒分析充要条件的特点，完成例3及其变式训练，从而解决充要条件的证明问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第7页)给出下列命题．(1)若x＞a2＋b2，则x＞2ab.(2)若ab＝0，则a＝0.(3)若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数．1．你能判断这三个命题的真假吗？【提示】(1)真命题(2)假命题(3)真命题2．命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？【提示】命题(1)中只要满足条件x＞a2＋b2，必有结论x＞2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0.1．命题(3)中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？【提示】只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．2．若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q 是p的什么条件？【提示】因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．【问题导思】对于命题“若p，则q”，如果p⇒q，但q p，那么p是q的什么条件？如果q ⇒p，但p q呢？如果p q，q p呢？【提示】充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件.(对应学生用书第8页)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④【思路探究】(1)当Δ＝0，Δ＞0，Δ＜0时，一元二次方程的根的情况是怎样的？(2)如何判断充分条件，必要条件和充要条件？【自主解答】①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.【答案】 D充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p与结论q之间的因果关系，在具体判断时，常用如下方法：(1)定义法：①若p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但p q，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法：如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若，且，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价法：当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可以利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．(2012·山东高考)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当f(x)＝a x为R上的减函数时，0＜a＜1,2－a＞0，此时g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数成立；当g(x)＝(2－a)x3为增函数时，2－a＞0即a＜2，但1＜a＜2时，f(x)＝a x为R上的减函数不成立，故选A.【答案】 A若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值是多少？【思路探究】(1)本例中谁是条件，谁是结论？(2)“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件的含义是什么？【自主解答】∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1.又∵“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件．∴x＜a⇒x2＞1但x2＞1x＜a.如图示：∴a≤－1，∴a的最大值为－1.1．若条件是结论的充分条件，即由条件推出结论来；若条件是结论的必要条件，即由结论推出条件来，由此建立起逻辑关系解决问题．2．本类题目常与集合知识联系，解题时要把满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合建立起包含关系，并借助数轴的直观性来处理，但要特别注意端点值的取舍．本例中的“x＜a”改为“x＞a”，其他条件不变，则a的最小值为多少？【解】∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1，∵“x2＞1”是“x＞a”的必要不充分条件，∴x＞a⇒x2＞1，但x2＞1x＞a.如图示：∴a ≥1， ∴a 的最小值为1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)．求证：{a n }为等比数列的充要条件是q ＝－1.【思路探究】分清条件p 与结论q →证充分性p ⇒q →证必要性q ⇒p →结论p ⇔q 【自主解答】充分性：当q ＝－1时，S n ＝p n－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时，也成立， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝p n －1(p －1)．又∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，∴数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p .又∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ，∴p p －p ＋q＝p ，∴q ＝－1.综上可知，{a n }是等比数列的充要条件是q ＝－1.1．在本题中，充分性是指：由q ＝－1推出{a n }为等比数列，必要性是指由{a n }为等比数列推出q ＝－1.2．有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1＞0对于一切实数x 都成立的充要条件是0＜a ＜4.【证明】 ①必要性：若ax 2－ax ＋1＞0对于一切实数x 都成立，由二次函数性质有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0，∴0＜a ＜4.②充分性：∵0＜a ＜4， ∴0＜a 4＜1，即0＜1－a4＜1， ∴ax 2－ax ＋1＝a (x －12)2＋1－a 4＞0，∴若0＜a ＜4，则ax 2－ax ＋1＞0对于一切实数x 都成立．由①②知，命题得证.(对应学生用书第9页)忽略隐含条件致误已知关于x 的方程x 2－mx ＋2m －3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．【错解】由方程x 2－mx ＋2m －3＝0的根都大于1，可设方程的两根分别为x 1，x 2，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，2m －3＞1，解得m ＞2，即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m ＞2.【错因分析】忽略了条件Δ≥0，将两实根大于1的充要条件误认为是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1.【防范措施】一元二次方程根的情况和充要条件合到一起的题目常常有隐含条件(二次项系数不为0)考虑，方程的根的情况又必须考虑根的判别式Δ，解题时一定要注意．【正解】设方程x 2－mx ＋2m －3＝0的两根分别为x 1、x 2. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＞1，x 2＞1⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1－＋x 2－＞0，x 1－x 2－＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＞2，x 1x 2－x 1＋x 2＋1＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －，m ＞2，2m －3－m ＋1＞0⇔m ≥6.即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m ≥6.1．对充分条件、必要条件、充要条件的判断最常用的方法是定义法，这种方法判断直观、简捷、出错率低．2．利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．3．证明充要条件问题要分别证明充分性和必要性两个方面．即若证p 是q 的充要条件需证p ⇒q 和q ⇒p 两个方面，同时注意条件的充分性和必要性不要混淆.(对应学生用书第9页)1．(2013·成都高二检测)“x ＝3”是“x 2＝9”的( ) A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】当x ＝3时，x 2＝9；但x 2＝9，有x ＝±3.∴“x ＝3”是“x 2＝9”的充分不必要条件．【答案】 A2．“x ＞－2”是 “x ＞3”的必要条件中，条件是_____，结论是________．【答案】 x ＞－2 x ＞33．“x ＝1”是“方程x 2－3x ＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)．【解析】 x ＝1是方程x 2－3x ＋2＝0的根，但方程x 2－3x ＋2＝0的根是x ＝1或x ＝2. 【答案】充分4．判断下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：tan x ＝1，q ：x ＝2k π＋π4(k ∈Z )；(2)(2011·湖南高考改编)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}．p ：a ＝1，q ：N ⊆M .【解】 (1)当x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，tan x ＝tan π4＝1，∴q ⇒p .但tan x ＝1，有x ＝k π＋π4(k ∈Z )，pq .因此p 是q 的必要不充分条件． (2)当a ＝1时，N ＝{1}，N ⊆M .但N ⊆M 时，有a 2＝1或a 2＝2，不一定有a ＝1. 因此p ⇒q ，qp ，所以p 是q 的充分不必要条件．一、选择题1．(2012·浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．【答案】 A2．已知命题“若p ，则q ”，假设其逆命题为真，则p 是q 的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】原命题的逆命题：“若q ，则p ”，它是真命题，即q ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．【答案】 B3．(2013·郑州高二检测)函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件的( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1【解析】由f (x )＝x 2＋mx ＋1＝(x ＋m2)2＋1－m 24，∴f (x )的图象的对称轴为x ＝－m 2，由题意：－m2＝1， ∴m ＝－2. 【答案】 A4．设集合M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵M ⊇N ，∴a ∈N ⇒a ∈M ，而a ∈M ⇒/a ∈N . 故“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件．【答案】 B 5．有下述说法：①a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充要条件；②a ＞b ＞0是1a ＜1b的充要条件；③a ＞b ＞0是a 3＞b3的充要条件．其中正确的说法有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【解析】 a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2，a 2＞b 2⇒|a |＞|b |⇒/a ＞b ＞0，故①错． a ＞b ＞0⇒1a ＜1b ，但1a ＜1b ⇒/a ＞b ＞0，故②错．a ＞b ＞0⇒a 3＞b 3，但a 3＞b 3⇒/a ＞b ＞0，故③错．【答案】 A 二、填空题6．条件p ：1－x ＜0，条件q ：x ＞a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【解析】 p ：x ＞1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但q ⇒/p ，即p 对应集合是q 对应集合的子集，故a ＜1.【答案】 (－∞，1)7．如图1－1－1所示的四个电路图，条件A ：“开关S 1闭合”，条件B ：“灯泡L 亮”，则A 是B 的充要条件的图为________．图1－1－1【答案】乙 8．下列命题：①“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充要条件；②b 2－4ac ＜0是不等式ax 2＋bx ＋c ＜0解集为R 的充要条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．【解析】 ①x ＞2且y ＞3时，x ＋y ＞5成立，反之不一定，如x ＝0，y ＝6，所以“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a ＜0且b 2－4ac ＜0.故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，两直线平行，a 1＝21，∴a ＝2，因此，“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件； ④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，∴xy ＝1且x ＞0，y ＞0. 所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立，反之不然．因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要而不充分条件．综上可知，真命题是④. 【答案】 ④ 三、解答题9．下列各题中，p 是q 的什么条件？(从充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选择一个)(1)p ：|a |≥2，a ∈R ，q ：方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根； (2)p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＋b ＝0； (3)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1.【解】 (1)当|a |≥2，如a ＝3时，方程可化为x 2＋3x ＋6＝0，无实根；而方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根，则必有Δ＝a 2－4(a ＋3)≥0，即a ≤－2或a ≥6，从而可以推出|a |≥2.综上可知，q ⇒p ，p ⇒/q .所以p 是q 的必要不充分条件．(2)由a 2＋b 2＝0，可得a ＝0且b ＝0，故a ＋b ＝0，而由a ＋b ＝0，可得a ＝－b ，当a ＝1，b ＝－1时，推出a 2＋b 2＝0，从以p 是q 的充分不必要条件． (3)由x －1＝x －1可得x ＝1或x ＝2，故p 是q 的充要条件．10．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两异号实根的充要条件是ac ＜0. 【证明】 ①必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac ＞0，x 1x 2＝c a＜0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac ＜0.②充分性：由ac ＜0可推得Δ＝b 2－4ac ＞0及x 1x 2＝c a＜0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．11．(2013·徐州高二检测)已知p ：－2≤1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】由－2≤1－x －13≤2，得－2≤x ≤10.∴p ：－2≤x ≤10.又x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)， ∴q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．故有⎩⎪⎨⎪⎧－2≥1－m 10＜1＋m 或⎩⎪⎨⎪⎧－2＞1－m10≤1＋m ，解之得m ≥9.因此实数m 的取值范围是[9，＋∞).(教师用书独具)对于非零实数x ，y 有x ＞y ，试探求1x ＜1y的充要条件，并加以证明．【解】由1x ＜1y 知，x －yxy＞0，又x ＞y ，则x －y ＞0，因此xy ＞0，即x ＞y ，且1x ＜1yxy ＞0.反过来，因为x ＞y ，所以y －x ＜0. 因为xy ＞0，所以1xy＞0.所以y －x xy ＜0，即1x ＜1y. 综上，x ＞y 时，1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.探求一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件．【解】 (1)∵f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－kx ＋b ＝－(kx ＋b )， ∴b ＝0，因此b ＝0是f (x )为奇函数的必要条件．(2)如果b ＝0，那么f (x )＝kx (k ≠0)，此时f (x )＝kx (k ≠0)为奇函数．结合(1)、(2)知f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.。

2019-2020年高中数学《充分条件与必要条件》教案1新人教A版选修2-1

2019-2020年高中数学《充分条件与必要条件》教案1新人教A版选修2-1教学要求：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若，则；（2）若时，则函数的值随的值的增加而增加.二、讲授新课：1. 认识“”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“”不能得到“”，即；而命题（2）中由“”可以得到“函数的值随的值的增加而增加”，即函数的值随的值的增加而增加.②练习：教材P12 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①若，则是的充分条件（sufficient condition），是的必要条件（necessary condition）. 上述命题（2）中“”是“函数的值随的值的增加而增加”的充分条件，而“函数的值随的值的增加而增加”则是“”的必要条件.②例1：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则为减函数；（4）若为无理数，则为无理数.（5）若，则.（学生自练个别回答教师点评）③练习：P12页第2题④例2：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？（1）若，则；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若，则；（4）若，则.（学生自练个别回答教师点评）⑤练习：P12页第3题⑥例3：判断下列命题的真假：（1）“是6的倍数”是“是2的倍数”的充分条件；（2）“”是“”的必要条件.（学生自练个别回答学生点评）3. 小结：充分条件与必要条件的理解.三、巩固练习：作业：教材P14页第1、2题2019-2020年高中数学《充分条件与必要条件》教案2 新人教A版选修2-1（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件（三）教学过程1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab,（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．２．给出定义命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p q．定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件．上面的命题(1)为真命题，即x ＞ a2 + b2 x ＞ 2ab，所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．3．例题分析：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．解略．例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(3)若a ＞b,则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．解略．４．练习巩固：P12 练习第1、2、3、4题５．课堂总结充分、必要的定义．在“若p，则q”中，若p q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．６．作业P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；③ p是q的充要条件；④ p是q的既不充分也不必要条件．1.2.2充要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．(三)教学过程1.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．易知：p q，故p是q的充分条件；又q p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件２.类比归纳一般地,如果既有p q ，又有q p 就记作p ⇔ q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.3.例题分析例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，p q ，且q p，即p ⇔ q，故p 是q的充要条件；命题（２）中，p q ,但q p，故p 不是q的充要条件；命题（４）中，p q ，但q p，故p 不是q的充要条件；命题（５）中，p q ，且q p，故p 不是q的充要条件；４．类比定义一般地，若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；②若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；③若p q，且q p，则p是q的充要条件；④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．５．练习巩固：P14 练习第 1、2题说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q 的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．６．例题分析例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p q）和必要性（q p）即可．证明过程略．例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？７．课堂总结：充要条件的判定方法如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题。

1-2《充分条件与必要条件》(新人教A版选修2-1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

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作业：
• P.15 A组第4题 B组第2题
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命题“若p则q”
已知A＝{x | x满足条件p}，B＝{x | x满足条件q} 1) A B,则p是q充分条件，q是p必要条件.
2) A B,则p是q充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
3) A B,则p是q的充要条件.
那么甲是乙的（ A ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也必要条件
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例5、设、、为平面，m、n、l为直线，则m 的
一个充分条件是（ D ）.
A. ， l, m l B. m, ,
C. , , m
D.n , n , m
普通以下几个情况适宜使用反证法
（1）结论本身是以否定形式出现一类命题；（2）相关结论是以“至多”，或“最少” 形式出现一类命题；（3）关于唯一性、存在性命题；（4）结论反面比原结论更详细、更轻易研究命题（正难则反）.
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原命题若p则q
互逆互否
互
为逆
否
为逆
否命题互
否
若p则 q 互逆
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例2、以“充分无须要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”与”既不充分也无须要条件“中选出适当一个填空.
1)" x 0, y 0"是" xy 0"的（充分无须要条件） 2）"a N "是"a Z "的（充分无须要条件） 3）" x2 1 0"是" x 1 0"的（必要不充分条件） 4）"同旁内角互补"是"两直线平行"的（充要条件） 5)" x 5"是" x 3"的（必要不充分条件） 6)"a b"是"a c b c"的（充要条件） 7）已知ABC不是直角三角形，" A<B "是

2019-2020学年高二数学《充要条件》教案-新人教A版

2019-2020学年高二数学《充要条件》教案新人教A 版教学目标：1.进一步理解充分条件与必要条件的概念，明确充要条件的含义.2.初步掌握充要条件的判定、探求与证明，培养逻辑推理能力与转化能力. 教学重点：充要条件的概念教学难点：充要条件的探求与证明教学过程：一. 问题提出1.充分条件与必要条件的含义分别是什么？如果“p q ⇒”，则称p 是q 的充分条件，且q 是p 的必要条件.2.对于两个语句，p 可能是q 的充分条件，p 也可能是q 的必要条件，除此以外，p 与q 之间的逻辑关系还有哪些可能？二. 知识探究探究（一）：充要条件的含义思考1：已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2和3的倍数，那么p 是q 的什么条件？你还能举出类似的实例吗？p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件.思考2：一般地，如果p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，用推断符号怎样表述？若p q ⇔，则p 是q 的充要条件.思考3：如果p 是q 的充要条件，那么q 是p 的什么条件？若p q ⇔，则p 与q 互为充要条件.思考4：如果p 是q 的充要条件，q 是r 的充要条件，那么p 是r 的什么条件？ p 是r 的充要条件思考2：上述问题表明了p 与q 之间存在四种不同的逻辑关系，结合推断符号如何阐述这四种关系？若p q ⇒，且q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇐，且p q ⇒/，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.思考3：如何从原命题和逆命题的真假性理解上述四种关系？原命题为真逆命题为假；原命题为假逆命题为真；原命题、逆命题都为真；原命题、逆命题都为假.思考4：设集合A ＝{x|x 满足条件p}，B ＝{x|x 满足条件q}，如何用集合观点理解上述四种关系？三. 理论迁移例1 下列各题中，那些p 是q 的充要条件．（1）p ：b ＝0，q ：函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数；（2）p ：x ＞0,y ＞0，q ：xy ＞0；（3）p ：a ＞b ，q ：a ＋c ＞b ＋c ；（4）p ：两直线平行；q ：两直线的斜率相等.例2 已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d.求证：d ＝r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件.例3 求证|a|＋|b|＝|a ＋b|的充要条件是ab≥0.例4 设a 为常数，求函数f(x)＝cos2x ＋asin2x 的图象关于直线8x π=-对称的充要条件.四. 小结:1.p 是q 的充分条件包括两种可能，即p 是q 的充分不必要条件或p 是q 的充要条件；同样，p 是q 的必要条件也包括两种可能，即p 是q 的必要不充分条件或p 是q 的充要条件.2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q 的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.五. 作业： P12练习：1，2. P13习题1.2B 组：2.。

人教A版高中数学选修1-1 第一章1.2.1《充分条件与必要条件》教案

答案:（1）A (2) C
(3)B
(4)D
练习 4 探讨下列生活中名言名句的充要关系。
（1）水滴石穿
（2）有志者事竟成
（3）骄兵必败
（4）名师出高徒
（5）不到长城非好汉
或
P
Q
设计理由：充要条件这个数学概念与人们日常生活中的推理判断密切相关，从数学的角度重新审视
生活中的名言名句，体现了数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶这一特点。
“若 p 则 q”为真，是指由 p 经过推理可以得出 q，也就是说，如果 p 成立，那么 q 一定成立，
记作 p ⇒ q，或者 q ⇐ p；“若 p 则 q”为假，是指由 p 推不出 q，记作 p q. 简单地说，“若 p 则 q”为真，记作 p ⇒ q （或 q ⇐ p ）； “若 p 则 q”为假，记作 p q（或 q ⇐ p ）.
符号“ ⇒ ”“ ⇒ ”叫做推断符号.
练习 1：课本 P38 练习:1 用符号“⇒ ”与“⇒ ”填空
(1)x = 0 xy = 0
(2)xy = 0 x = 0
(3)两个角相等
两个角是对顶角（4）两个角是对顶角
两个角相等
答案：⑴ ⇒ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ⇒ ⒉充分条件、必要条件的概念
如果已知 p ⇒ q，那么我们就说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件.
A
AC
A
C
图1
图2
图3
【例 2】指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）（1） p：(x-2)(x-3)=0； q：x-2=0
（2） p：同位角相等； q：两直线平行（3） p： 0<x<3 ； q： |x-1|<2 （4） p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形