最新(江苏专用)届高考数学总复习+考前三个月+附加题高分练3+曲线与方程、抛物线+理优秀名师资料

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江苏高考数学复习函数与方程专题强化练习(附答案)

江苏高考数学复习函数与方程专题强化练习（附答案）2.已知f(x)为定义在(-，+)上的可导函数，且f(x)ef(0)，f(2019)e2019f(0)B.f(1)e2019f(0)C.f(1)ef(0)，f(2019)0，即F(x)在xR上为增函数，F(1)F(0)，F(2019)F(0)，即，f(1)ef(0)，f(2019)e2019f(0).[方法点拨] 1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内，如果f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增.如果f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减.2.利用导数研究函数的单调性的步骤.(1)找出函数f(x)的定义域;(2)求f(3)在定义域内解不等式f (x)0，f (x)0.3.求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f (x)0或f (x)0.4.若已知函数的单调性求参数的值或取值范围，只需转化为不等式f (x)0或f (x)0在单调区间内恒成立的问题求解，解题过程中要注意分类讨论;函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想.3.(2019新课标理，12)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当x0时，xf(x)-f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-，-1)(0,1)B.(-1,0)(1，+)C.(-，-1)(-1,0)D.(0,1)(1，+)[答案] A[解析] 考查导数的应用.记函数g(x)=，则g(x)=，因为当x0时，xf(x)-f(x)0，故当x0时，g(x)0，所以g(x)在(0，+)上单调递减;又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-，0)上单调递减，且g(-1)=g(1)=0.当00，则f(x)当x-1时，g(x)0，则f(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(-，-1)(0,1)，故选A.[方法点拨] 1.在研究函数的性质与图象，方程与不等式的解，不等式的证明等问题中，根据解题的需要可以构造新的函数g(x)，通过研究g(x)的性质(如单调性、极值等)来解决原问题是常用的方法.如在讨论f (x)的符号时，若f (x)的一部分为h(x)，f (x)的符号由h(x)所决定，则可转化为研究h(x)的极(最)值来解决，证明f(x)g(x)时，可构造函数h(x)=f(x)-g(x)，转化为h(x)的最小值问题等等.2.应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解.(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决.3.有关二次方程根的分布问题一般通过两类方法解决：一是根与系数的关系与判别式，二是结合函数值的符号(或大小)、对称轴、判别式用数形结合法处理.4.和函数与方程思想密切关联的知识点函数y=f(x)，当y0时转化为不等式f(x)0.数列是自变量为正整数的函数.直线与二次曲线位置关系问题常转化为二次方程根的分布问题.立体几何中有关计算问题，有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解.5.注意方程(或不等式)有解与恒成立的区别.6.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略：(1)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值g(x)在[c，d]上的最大值.(2)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值g(x)在[c，d]上的最小值.(3)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值g(x)在[c，d]上的最小值.(4)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值g(x)在[c，d]上的最大值.(5)x1[a，b]，当x2[c，d]时，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域与g(x)在[c，d]上的值域交集非空.(6)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.(7)x2[c，d]，x1[a，b]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.4.(文)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f (x)的图象如下图所示，则该函数的图象是() [答案] B[解析] 本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系.由导数的几何意义可得，y=f(x)在[-1,0]上每一点处的切线斜率逐渐变大，而在[0,1]上则逐渐变小，故选B.(理)(2019石家庄市质检)定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))为顶点的ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S(x)的大致图象为()[答案] D[解析] A、B为定点，|AB|为定值，ABC的面积S(x)随点C 到直线AB的距离d而变化，而d随x的变化情况为增大减小0增大减小，ABC的面积先增大再减小，当A、B、C三点共线时，构不成三角形;然后ABC的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.[方法点拨] 1.由导函数的图象研究函数的图象与性质，应注意导函数图象位于x轴上方的部分对应f(x)的增区间，下方部分对应f(x)的减区间，与x轴的交点对应函数可能的极值点，导函数的单调性决定函数f(x)增长的速度;2.由函数的图象确定导函数的图象时，应注意观察函数的单调区间、极值点，它们依次对应f(x)的正负值区间和零点，图象上开或下降的快慢决定导函数的单调性.5.已知常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f(x)，f(x)0的解集为{x|-23}，若f(x)的极小值等于-115，则a的值是()A.-B.C.2D.5[答案] C[解析] 依题意得f(x)=3ax2+2bx+c0的解集是[-2，3]，于是有3a0，-2+3=-，-23=，b=-，c=-18a，函数f(x)在x=3处取得极小值，于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115，-a=-81，a=2，故选C.二、解答题6.(文)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2，曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明：当k1时，曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.[分析] (1)由导数的几何意义可把斜率用a来表示，再由斜率公式可求出a的值;(2)把曲线与直线只有一个交点转化为函数只有一个零点作为本问的切入点，利用分类讨论的思想和利用导数判断函数的单调性来判断所设函数的单调性，从而得出此函数在每个区间的单调情况，进而求出零点个数，解决本问.[解析] (1)f(x)=3x3-6x+a，f(0)=a，由题设得-=-2，所以a=1.(2)由(1)知，f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由题设知1-k0.当x0时，g(x)=3x2-6x+1-k0，g(x)单调递增，g(-1)=k-10，g(0)=4，所以g(x)=0在(-，0]上有唯一实根.当x0时，令h(x)=x3-3x2+4，则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x). h(x)=3x2-6x=3x(x-2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+)上单调递增，所以g(x)h(2)=0，所以g(x)=0在(0，+)上没有实根.综上，g(x)在R上有唯一实根，即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.(理)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明：当x0时，x21，转化为证明x2lnx+lnk成立.构造函数h(x)=x-2lnx-lnk求解.[解析] (1)由f(x)=ex-ax，得f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1，得a=2.所以f(x)=ex-2x，f(x)=ex-2.令f(x)=0，得x=ln2.当xln2时，f(x)0，f(x)单调递增;所以当x=ln2时，f(x)有极小值.且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4，f(x)无极大值.(2)令g(x)=ex-x2，则g(x)=ex-2x.由(1)得，g(x)=f(x)f(ln2)=2-ln40，即g(x)0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)=10，所以当x0时，g(x)0，即x20时x20时，x21，要使不等式x2kx2成立，而要使exkx2成立，则只要xln(kx2)，只要x2lnx+lnk成立，令h(x)=x-2lnx-lnk，则h(x)=1-=，所以当x2时，h(x)0，h(x)在(2，+)内单调递增取x0=16k16，所以h(x)在(x0，+)内单调递增又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k易知klnk，kln2,5k0，所以h(x0)0.即存在x0=，当x(x0，+)时，恒有x20.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性;(2)证明：存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)=0在区间(1，+)内有唯一解.[解析] 本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，+)，g(x)=f(x)=2(x-1-lnx-a)，所以g(x)=2-=.当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递减，当x(1，+)时，g(x)0，g(x)单调递增.(2)由f(x)=2(x-1-lnx-a)=0，解得a=x-1-lnx，令(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx ，则(1)=10，(e)=2(2-e)0，于是，存在x0(1，e)，使得(x0)=0.令a0=x0-1-lnx0=u(x0)，其中u(x)=x-1-lnx(x1)，由u(x)=1-0知，函数u(x)在区间(1，+)上单调递增，故0=u(1)即a0(0,1).当a=a0时，有f(x0)=0，f(x0)=(x0)=0再由(1)知，f(x)在区间(1，+)上单调递增.当x(1，x0)时，f(x)0，从而f(x)当x(x0，+)时，f(x)0，从而f(x)又当x(0,1]时，f(x)=(x-a0)2-2xlnx0，故x(0，+)时，f(x)0.综上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)=0在区间(1，+)内有唯一解.(理)(2019江苏，19)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a，bR).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(-，-3)，求c的值. [解析] 考查利用导数求函数单调性、极值、函数零点. (1)先求函数导数，通过讨论导函数零点求解;(2)通过构造函数，利用导数与函数关系求解.(1)f(x)=3x2+2ax，令f(x)=0，解得x1=0，x2=-.当a=0时，因为f(x)=3x20，所以函数f(x)在(-，+)上单调递增;当a0时，x(0，+)时，f(x)0，x(-，0)时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，+)上单调递增，在上单调递减;当a0时，x(-，0)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(-，0)，上单调递增，在上单调递减. (2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)=b，f=a3+b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)f=ba3+b0，从而或.又b=c-a，所以当a0时，a3-a+c0，或当a0时，a3-a+c0.设g(a)=a3-a+c，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(-，-3)，则在(-，-3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立，从而g(-3)=c-10，且g=c-10，因此c=1.此时，f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a]，因函数有三个零点，则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根，所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30，且(-1)2-(a-1)+1-a0，解得a(-，-3)1，，+.综上c=1.[方法点拨] 用导数研究函数综合题的一般步骤：第一步，将所给问题转化为研究函数性质的问题.若已给出函数，直接进入下一步.第二步，确定函数的定义域.第三步，求导数f (x)，解方程f (x)=0，确定f(x)的极值点x=x0.第四步，判断f(x)在给定区间上的单调性和极值，若在x=x0左侧f (x)0，右侧f (x)0，则f(x0)为极大值，反之f(x0)为极小值，若在x=x0两侧f (x)不变号，则x=x0不是f(x)的极值点.第五步，求f(x)的最值，比较各极值点与区间端点f(a)，f(b)的大小，最大的一个为最大值、最小的一个为最小值. 第六步，得出问题的结论.8.济南市两会召开前，某政协委员针对自己提出的环保提案对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k0).现已知相距36km的A、B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a、b，它们连线上任意一点C 处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).(1)试将y表示为x的函数;(2)若a=1时，y在x=6处取得最小值，试求b的值.[解析] (1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处污染指数y=+(00，即f(x)0，故f(x)为增函数; 当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数;由f(x)在[3，+)上为减函数，知x2=3，解得a-，故a的取值范围为.[方法点拨] 1.利用导数研究函数最值的一般步骤(1)求定义域;(2)求导数f (3)求极值，先解方程f (x)=0，验证f (x)在根左右两侧值的符号确定单调性，若在x=x0左侧f (x)0，右侧f (x)0，则f(x0)为极大值，反之f(x0)为极小值，若在x=x0两侧f(x)的值不变号，则x=x0不是f(x)的极值点;(4)求最值，比较各极值点与区间[a，b]的端点值f(a)、f(b)的大小，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.已知f(x)在某区间上的极值或极值的存在情况，则转化为方程f (x)=0的根的大小或存在情况.函数与方程专题强化练习及答案的全部内容就是这些，更多精彩内容请考生关注查字典数学网。

江苏高三数学20套数学附加题

实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换) 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； (2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。

考点08 曲线方程与抛物线-2020年高考数学附加题专项训练 (江苏专用)(解析版)

考点8 曲线方程与抛物线--2020年高考数学附加题专项训练（江苏专用）一、知识点梳理1、了解曲线与方程的对应关系，了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单的曲线方程；理解求直线与曲线的交点坐标的方法，进一步体会数形结合的思想方法。

2、理解抛物线的标准方程、会求抛物线的标准方程；理解抛物线的简单性质，会利用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题。

二、例题精选例1、已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，点R (1,2)在抛物线C 上．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 设过点Q (1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B .若直线AR ，BR 分别交直线l ：y ＝2x ＋2于点M ，N ，求线段MN 的长度最小时直线AB 的方程．【解析】 (1) 将R (1,2)代入抛物线中，可得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(3分)(2) 设直线AB 的方程为x ＝m (y －1)＋1(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －m ＋1得y 2－4my ＋4(m －1)＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4(m －1)．(5分) 设直线AR 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2.例2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，直线l 过点F 且与抛物线相交于A ，B 两点(点A 在第一象限)．(1) 若直线l 的方程为y ＝43x －23，求直线OA 的斜率；(2) 已知点C 在直线x ＝－p 上，△ABC 是边长为2p ＋3的正三角形，求抛物线的方程．【解析】 (1) 由题意，焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0在直线l 上，所以43×p 2－23＝0，解得p ＝1.所以抛物线的方程为y 2＝2x.将y ＝43x －23与y 2＝2px 联立，消去x 得所以y ＝2或y ＝－12，因为点A 在第一象限，所以点A 的坐标为(2，2)，所以直线OA 的斜率为1.(3分)(2) 依题意，直线l 的斜率存在，且不为零．设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(－p ，y 3)，AB 的中点M(x 0，y 0)．将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2与y 2＝2px 联立，Δ＝4p 2＋4k 2p 2>0，x 1，2＝（k 2p ＋2p ）±Δ2k 2，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2pk 2＝2p ＋3，即2pk 2＝3.(5分)MC ＝（x 0＋p ）2＋（y 0－y 3）2＝1＋1k 2||x 0＋p .因为x 0＝x 1＋x 22＝k 2p ＋2p 2k 2＝12p ＋p k 2，所以MC ＝1＋1k 2⎝⎛⎭⎫32p ＋p k 2，将1k 2＝32p代入得，MC ＝1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32.(8分) 又因为△ABC 是边长为2p ＋3的正三角形，所以MC ＝32(2p ＋3)，所以1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32＝32(2p ＋3)，解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝23x.(10分)例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：y 2＝4x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E.(1) 求曲线E 的方程；(2) 若直线l 1与曲线E 相切于点Q(s ，t)，过Q 且垂直于l 1的直线为l 2，直线l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B.当线段AB 的长度最小时，求s 的值．【解析】(1) 因为抛物线C 的方程为y 2＝4x ，所以F 的坐标为(1，0)．设M(m ，n)，因为圆M 与x 轴、直线l 和PF 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为|n|，点P(n 2，2n)，则直线PF 的方程为y 2n ＝x －1n 2－1，即2nx －(n 2－1)y －2n ＝0，(2分) 所以圆心M 到直线PF 的距离d ＝|2mn －n （n 2－1）－2n|（2n ）2＋（n 2－1）2＝|n|，即|n ·（2m －n 2－1）|n 2＋1＝|n|. 又m ，n ≠0，所以|2m －n 2－1|＝n 2＋1，即n 2－m ＋1＝0，所以E 的方程为y 2＝x －1(y ≠0)．(4分)令f(t)＝2t 3＋52t ＋12t，t>0，则f′(t)＝6t 2＋52－12t 2＝12t 4＋5t 2－12t 2.。

江苏省普通高等学校高三数学招生考试模拟测试附加题(三)

D.（选修4-5：不等式选讲)
设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．
(1) 证明:f（x)≥2；
（2）若f(3)＜5，求实数a的取值范围．
【必做题】第22、23题，每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22。一位网民在网上光顾某网店,经过一番浏览后,对该店铺中的A,B,C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的概率为 ,购买C种商品的概率为 .假设该网民是否购买这三种商品相互独立．
（1）求证：∠EAC＝2∠DCE；
（2）若BD⊥AB,BC＝BE，AE＝2，求AB的长．
B。（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝ ,并且矩阵M对应的变换将点(－1,2）变换成(9，15)，求矩阵M.
C。(选修4—4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程是（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程是ρ＝2,求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标．
因为CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD.（2分)
所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD。
因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD.（5分)
(2）解：因为BD⊥AB,所以AC⊥CD,AC＝AB。（6分)
因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC,
所以AC＝EC.(7分）
由切割线定理得EC2＝AE·BE,即AB2＝AE·（AE－AB),
(2) 随机变量η的可能取值为0，1,2，3，
P(η＝0)＝ × × ＝ ,
又P（η＝2）＝P（A2)＝，P（η＝3）＝P（A3)＝，

最新考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：附加题高分练1Word版含答案

最新考前两个月数学高考理科（江苏专用）总复习训练题：附加题高分练1Word 版含答案1．矩阵与变换1．(2017·常州期末)已知矩阵A ＝，列向量X ＝，B ＝，若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X.解由A ＝，得到A －1＝.由AX ＝B ，得到X ＝A －1B ＝＝.也可由AX ＝B 得到＝，即解得所以X ＝.2．(2017·江苏淮阴中学调研)已知矩阵A ＝，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量α2＝.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝可得，＝6，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝，可得＝，即3c －2d ＝－2，解得即A ＝，A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 3．(2017·江苏建湖中学月考)曲线x2＋4xy ＋2y2＝1在二阶矩阵M ＝的作用下变换为曲线x2－2y2＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)求M 的逆矩阵M －1.解 (1)设P(x ，y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x2＋4xy ＋2y2＝1上与P 对应的点，则＝，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x′＋ay′，y ＝bx′＋y′，代入x2－2y2＝1得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1得(1－2b2)x ′2＋(2a －4b)x ′y ′＋(a2－2)y ′2＝1，及方程x2＋4xy ＋2y2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2b2＝1，2a －4b ＝4，a2－2＝2，解得a ＝2，b ＝0.(2)因为M ＝＝1≠0，故M －1＝＝.4．已知曲线C ：y2＝x ，在矩阵M ＝对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N ＝对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝＝，设P(x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C2上对应的点为P(x ，y)，则＝＝，即∴⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝y ，y′＝－12x.又点P(x ′，y ′)在曲线C ：y2＝x 上，∴2＝y ，即x2＝2y.。

2020版江苏高考考前三个月数学专题练习第四篇第32练

因为AC＝AD＝1，AB＝2，
所以A(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,1)，
因为 E 为线段 BD 的中点，所以 E0，1，12.
A→E＝0，1，12，B→C＝(1，－2,0)，
所以
cos〈A→E，B→C〉＝
→→ AE·BC →→
＝
|AE||BC|
－2 54×
＝－45. 5
点 P 在 l1 上，且满足OP·OQ＝0(O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程；
解设点P(x，y)，则Q(－2，y)，
所以O→P＝(x，y)，O→Q＝(－2，y).因为O→P·O→Q＝0，所以O→P·O→Q＝－2x＋y2＝0，即 y2＝2x. 所以曲线C的方程为y2＝2x.
Δ＝(k2－2)2－4×k2×k42＝4－4k2>0，所以 x1x2＝14且 0<x1<x2，所以 x1<12<x2，
所以直线 AN 的方程为 y＝x1y－1 12x－12，
与方程 y2＝2x 联立，得 y21x2－y21＋2x12－2x1＋12x＋14y21＝0，化简得 2x1x2－2x12＋12x＋12x1＝0，解得 x＝41x1或 x＝x1. 因为 x3＝41x1＝x2，所以DB⊥x轴，设△MBD的内切圆圆心为H，则点H在x轴上且HT⊥AB. 所以 S△MBD＝12·x2＋12|2y2|，且△MBD 的周长为 2 x2＋122＋y22＋2|y2|，所以 S△MBD＝122 x2＋122＋y22＋2|y2|·r＝12·x2＋12·|2y2|，
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0). (1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；解抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为p2，0，由点p2，0在直线 l：x－y－2＝0 上，得p2－0－2＝0，即 p＝4. 所以抛物线C的方程为y2＝8x.

考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——考前回扣3 Word版含答案

回扣3 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .3．三种三角函数的性质4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形asin A＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ. 5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．2sin45°cos15°－sin30°的值＝________. 答案32解析 2sin45°cos15°－sin30°＝2s in45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝32. 2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是________．答案 2解析由题意得tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°，即tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°＝1，所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2.3．(2017·江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 答案3解析 a ·b ＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－2＝ 3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．答案332解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为__________．答案 12解析由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x ＜0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a ＜0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.6．已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1,2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为________．答案 π解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2－2b 2＋3a·b ＝0，所以a·b ＝－52，从而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－1，所以〈a ，b 〉＝π.7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.8．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为__________．答案2918解析方法一在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →(λ>0)，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋19λDC →＝AB →·AD →＋AB →·19λDC→＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos60°＋2×1×19λ＋λ×1×1×cos60°＋λ×19λ×1×1×cos120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 方法二以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，试求f (x )的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解 (1)由题意知，f (x )＝－sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)因为sin B ＝32，cos B ＝12，所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2，所以sin A ＝321＝217，因为a ＜b ，所以cos A ＝277.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114，所以S ＝12ab sin C ＝332.。

高考数学总复习考前三个月附加题高分练3曲线与方程、抛物线理(2021学年)

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3．曲线与方程、抛物线1.(20１7·江苏南通天星湖中学质检)已知点A(１,2）在抛物线Ｆ:y２＝2px上．(1)若△ＡBC的三个顶点都在抛物线F上，记三边AＢ,ＢC,CA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3，求＼f(１，k１)－＼ｆ（1，k２）＋错误!的值;（2）若四边形ABＣD的四个顶点都在抛物线Ｆ上,记四边AB,BＣ，ＣＤ，DA所在直线的斜率分别为k1，ｋ2，ｋ3，ｋ4,求错误!－错误!+错误!-错误!的值.解 (1)由点Ａ(1，2）在抛物线Ｆ上，得p=２，∴抛物线F：y2=4x,设Ｂ错误!,C错误!,∴＼ｆ(1,k1)－＼f(1,k2）+错误!=错误!-错误!+错误!＝错误!-错误!+错误!=1．(2)另设D错误!，则错误!-错误!+错误!-错误!=错误!－错误!+错误!－错误!＝0.2.(2017·江苏赣榆中学月考)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点,点P(1，2）,A（x1，ｙ），B(x2，ｙ2）均在抛物线上.1(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(２）当PＡ与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1＋y2的值及直线AＢ的斜率.解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.∵点Ｐ(1,2）在抛物线上，∴２2＝2ｐ×1，得p＝2,故所求抛物线的方程是y2＝４x,准线方程是x=-1。

2020版江苏高考考前三个月数学专题练习第三篇第13练

考前三个月系列图书配套资源
第13练
空间点、线、面的位置关系[小题提Fra bibliotek练]第三篇
明晰考情 1.以填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，难度中档偏下. 2.判断空间的平行、垂直关系.
栏目索引
题组对点练易错易混练押题冲刺练
题组对点练
题组一空间线面位置关系的判断
又AC＝2，所以在△AOC中，AC2＝AO2＋CO2，所以AO⊥CO. 因为AO是等腰直角三角形ABD斜边上的中线，所以AO⊥BD.因为CO∩BD＝O，CO，BD⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD，
则其体积为13×12×2×2× 2＝232.
易错易混练
1.已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α； ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n； ③m∥n，m∥α⇒n∥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β. 其中正确命题的序号是___①__④___.
2.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE 上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起，连结 AC ， CF ， BE ， BF ， CE( 如图 2) ，在折起的过程中，下列说法正确的是 __①__②__③__.(填序号) ①AC∥平面BEF； ②B，C，E，F四点不可能共面； ③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD； ④平面BCE与平面BEF可能垂直.
易知CD⊥PA，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，故③正确；因为PA＝AD，所以AQ⊥PD.又易知CD⊥AQ，所以AQ⊥平面PCD，所以MN⊥平面 PCD，故②正确；过点P作AD的平行线l，则l为平面PAD与平面PBC的交线，且PA⊥l，PB⊥l，所以 ∠APB即为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角，易求得∠APB＝45°，故正确的命题是①②③.

高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做中档大题规范练3Word版含解析

中档大题规范练 3 数列1． (2016 ·标全国甲课 )S n为等差数列 { a n } 的前 n 项和，且 a1＝ 1， S7＝28.记 b n＝ [lg a n]，此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数，如 [0.9] ＝ 0， [lg 99] ＝ 1.(1)求 b1， b11， b101；(2)求数列 { b n} 的前 1000 项和．解(1) 设 { a n na n＝n.} 的公差为 d，据已知有7＋ 21d＝28，解得 d＝ 1.因此 { a } 的通项公式为b1＝ [lg 1] ＝ 0，b11＝ [lg 11] ＝ 1， b101＝ [lg 101] ＝ 2.0， 1≤n<10，1， 10≤ n<100 ，(2)由于 b n＝2， 100≤ n<1000，3， n＝ 1000，因此数列 { b n} 的前 1000 项和为 1× 90＋ 2× 900＋ 3× 1＝ 1893.2．在数列 { a n} 中， a1＝ 1， a4＝ 7，a n＋2－ 2a n＋1＋ a n＝ 0(n∈N* )．(1)求数列 a n的通项公式；1*(2) 若 b n＝(n∈N )，求数列 { b n} 的前 n 项和 S n .解(1) ∵ a n＋2－ 2a n＋1＋ a n＝ 0(n∈N* )，∴a n＋2－ a n＋1＝ a n＋1－ a n( n∈N* )，即数列 { a n} 为等差数列，a4－ a17－ 1∵a1＝1，a4＝7，∴ 公差d＝3＝3＝2，∴a n＝ 1＋ 2(n－ 1)＝ 2n－ 1.(2)∵ a n＝ 2n－ 1，∴b n＝1＝1n 3＋ a n n 3＋ 2n－ 11111－1＝·＝·()，2n n＋12n n＋ 1∴S n＝11111－1·(1－＋－＋＋n) 2223n＋ 11 1 ＝ 2·(1－n ＋ 1 )．3．已知数列 { a n } 是递加的等比数列，知足a 1 ＝4，且 5是 a 2，a 4 的等差中项，数列 { b n } 满a 3 4足 b n ＋ 1＝ b n ＋ 1，其前 n 项和为 S n ，且 S 2＋ S 6＝ a 4. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式；nn ，若不等式 nlog 2n ＋4) －λb＋n 7≥ 3n 对全部 n ∈N *恒建立，求(2) 数列 { a } 的前 n 项和为 T (T实数 λ的取值范围．解(1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则 q>1 ， a n ＝ 4qn －1，5∵ 4a 3 是 a 2， a 4 的等差中项，∴ 2× 54a 3＝ a 2＋ a 4，即 2q 2－ 5q ＋ 2＝ 0.∵ q >1， ∴ q ＝ 2， ∴ a n ＝ 4·2n －1＝ 2n ＋ 1.依题意，数列 { b n } 为等差数列，公差 d ＝ 1，又 S 2＋ S 6＝ a 4＝ 32，∴(2b 1＋1)＋ 6b 1＋6× 5 2 ＝ 32，∴b 1＝ 2， ∴ b n ＝ n ＋ 1.(2) ∵ a n ＝ 2n ＋1，∴ T n ＝ 4 2n － 1＝ 2n ＋2－4.2－ 1不等式 nlog 2(T n ＋ 4)－ λb＋n 7≥ 3n 化为 n 2－ n ＋ 7≥ λ(n ＋ 1)， ∵ n ∈ N * ， n 2－ n ＋7 *恒建立．∴λ≤ 对全部 n ∈ N n ＋ 1 n 2－ n ＋ 7 n ＋ 1 2－ 3 n ＋ 1 ＋ 9而＝ n ＋ 1n ＋ 1 ＝( n ＋ 1)＋ 9－ 3≥ 2n ＋ 1 × 9－ 3＝ 3，n ＋ 1n ＋ 1当且仅当 n ＋ 1＝9，即 n ＝2 时等号建立，n ＋1∴λ≤ 3.4．在各项均为正数的等比数列{ a n } 中， a 1＝ 2，且 a 3,3a 2， a 4 成等差数列．(1) 求等比数列 { a n } 的通项公式；1(2) 若数列 { b n } 知足 b n ＝ (n ＋ 2)log 2a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .解(1) 由已知 6a 2＝ a 3＋ a 4，则 6a 2＝ a 2q ＋ a 2q 2，即 q 2＋ q － 6＝0，又 q>0，因此 q ＝ 2， a n ＝ 2n .(2) b n ＝ (n ＋ 2)log 22n ＝ n(n ＋ 2)，1 1 1 1则b n ＝ 2(n － n ＋ 2)，T n ＝1＋1＋＋ 1b 1 b 2b n＝ 1(1－ 1)＋ 1(1－ 1)＋＋1( 1 － 1)＋ 23 2 2 42 n － 1 n ＋ 11 1 2(n －1) n ＋ 2＝ 1(1＋1－ 1 － 1)22n ＋ 1 n ＋ 232n ＋ 3＝ 4－2 n 2＋ 3n ＋ 2.5．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a 6＋a 8＝－ 10， S 10＝－ 35.(1) 求数列 { a n } 的通项公式；a n(2) 求数列 { 2n －1} 的前 n 项和 T n .a 1＋ 6d ＝－ 5，解(1) 由题设可得2a 1＋ 9d ＝－ 7，a 1＝ 1，解得d ＝－ 1，因此 a n ＝ 1－ (n － 1)＝ 2－ n.a n11(2)由于 n －1＝n － 2－n ·n －1，22211 11 1T n 2 12n － 2(1 2×3×2n · )2222n － 111S n 2 1 22n －2111n ′ 1 2×3×2S22n ·n － 12T n S n S n ′11S n 2 1 22n － 212 1n112 4(11 2n )4 2n －221 1 1S n ′ 1 2×3×2n ·2 22n －11 1 2× 111S n ′2 3× 3n ·n2222 211 1111 n ′ 123n ·n2S2 2 22n －12112n 111n ·nn ·n122 2n －121 2n ′4111Sn2 n ·n2 －2－T n S n S n ′n.2n －1。

高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题3函数与导数第15练Word版含解析

第 15 练存在与恒建立问题[题型剖析 ·高考展望 ]“存在”与“恒建立”两个表示范围的词语在题目中出现是最近几年高考的一大热门，其实质是“特称”与“全称”量词的一个延长，弄清其含义，适合进行转变来加以解决．此类题目主要出此刻函数与导数联合的解答题中，难度高，需要有较强的剖析能力和运算能力，训练时应注意破题方法的研究．体验高考1． (2015 ·标全国课 Ⅰ 改编 )设函数 f(x)＝ e x (2x －1) －ax ＋ a ，此中 a<1 ，若存在独一的整数 x 0，使得 f(x 0)<0 ，则 a 的取值范围是 ________．3答案， 1分析设 g(x)＝ e x0，使适合 x ＝ x 0 时， g(x)的图象(2x － 1)， y ＝ax － a ，由题知存在独一的整数x在直线 y ＝ ax － a 的下方．因为 g ′ (x) ＝e x (2x ＋ 1)，1所以当 x<－ 2时， g ′ (x)<0， g(x)单一递减；1当 x>－2时， g ′( x)>0 ，g(x)单一递加．1所以当 x ＝－12时， [g( x)] min ＝－ 2e 2，当 x ＝0 时， g(0)＝－ 1， g(1)＝ e>0，直线 y ＝ a(x － 1)恒过 (1,0)且斜率为 a ，故－ a>g(0) ＝－ 1，且 g(－ 1)＝－ 3e －1≥ －a － a ，解得 2e 3≤ a<1.2． (2015 课·标全国 Ⅱ )设函数 f(x)＝e mx ＋ x 2－mx.(1)证明： f(x)在 (－∞， 0)上单一递减，在 (0，＋∞ )上单一递加；(2)若对于随意 x 1， x 2∈ [ － 1,1] ，都有 |f(x 1)－ f(x 2)|≤ e － 1，求 m 的取值范围．(1)证明 f ′ (x)＝ m(e mx － 1)＋ 2x.若 m ≥ 0，则当 x ∈ (－ ∞， 0)时， e mx － 1≤0， f ′ (x)＜0；当 x∈ (0，＋∞ )时， e mx－ 1≥ 0， f′ (x)＞ 0.若 m＜ 0，则当 x∈ (－∞， 0)时， e mx－ 1＞0， f′ (x)＜0；当 x∈ (0，＋∞ )时， e mx－ 1＜ 0， f′ (x)＞ 0.所以 f(x)在 (－∞， 0)上单一递减，在 (0，＋∞ )上单一递加．(2)解由 (1)知，对随意的 m，f(x)在 [－ 1,0]上单一递减，在[0,1] 上单一递加，故f(x)在 x＝ 0 处取得最小值．所以对于任意 x1， x2∈ [ － 1,1] ， |f(x12) － f( x )|≤ e － 1的充要条件是f 1 － f 0 ≤ e－ 1，f－ 1 － f 0 ≤ e－1，e m－ m≤ e－ 1，即①e－m＋ m≤ e－ 1.设函数 g(t)＝ e t－t －e＋ 1，则 g′ ( t)＝ e t－1.当 t＜ 0 时， g′ (t) ＜0；当 t＞ 0 时， g′ (t)＞ 0.故 g(t)在 (－∞， 0)上单一递减，在 (0，＋∞) 上单一递加．又 g(1)＝ 0，g(－ 1)＝ e－1＋ 2－e＜ 0，故当 t∈ [－ 1,1]时， g(t)≤ 0.当 m∈ [ － 1,1] 时， g(m)≤ 0，g(－m)≤ 0，即①式建立；当 m＞ 1 时，由 g(t) 的单一性， g(m)＞ 0，即 e m－m＞ e－ 1；当 m＜－ 1 时， g(－ m)＞ 0，即 e－m＋m＞e－ 1.综上， m 的取值范围是 [ － 1,1] ．3． (2016 ·苏江 )已知函数f(x)＝ a x＋b x(a＞ 0，b＞ 0， a≠ 1， b≠ 1)．1(1)设 a＝ 2，b＝2.①求方程f( x)＝ 2 的根；②若对随意x∈R，不等式 f(2x)≥ mf(x)－6 恒建立，务实数m 的最大值；(2)若 0＜ a＜1， b＞ 1，函数 g(x)＝ f(x) －2 有且只有 1 个零点，求ab 的值．x1x x1解 (1) ①由已知可得2＋2＝2，即 2＋2x＝2.∴(2x)2－ 2·2x＋ 1＝ 0，解得 2x＝1，∴ x＝0.② f(x) ＝2x＋12x＝ 2x ＋ 2－x，令 t ＝ 2x ＋ 2－x，则 t ≥ 2.又 f(2x)＝ 22x＋2－2x＝t 2－ 2，故 f(2x)≥ mf(x)－ 6 可化为 t 2－ 2≥mt － 6，4即 m ≤ t ＋ t ，4≥ 24又 t ≥ 2，t ＋ t t ·t ＝ 4. (当且仅当 t ＝2 时等号建立 )．4∴ m ≤ t ＋ t min ＝4.即 m 的最大值为 4.(2)∵ 0＜ a ＜1， b ＞ 1，∴ lna ＜ 0， lnb ＞0. ∵ g(x)＝ f( x)－ 2＝ a x ＋b x － 2，∴ g ′ (x)＝ a x lna ＋ b x lnb 为单一递加函数，且值域为R ，∴ g ′ (x)必定存在零点，∴ g(x)为先减后增且有独一极值点．由题意， g(x)有且仅有 1 个零点，则 g(x)的极值必定为 0，而 g(0)＝ a 0＋ b 0－2＝ 0，故极值点为 0.∴ g ′ (0)＝ 0，即 lna ＋ lnb ＝ 0.∴ ab ＝ 1.高考必会题型题型一恒建立问题例 1(2015·福建改编 )已知函数 f( x)＝ ln(1 ＋ x)， g(x)＝ kx(k ∈ R )．(1)证明：当 x ＞ 0 时， f(x)＜ x ；(2)证明：当 k ＜ 1 时，存在 x 0＞ 0，使得对随意的 x ∈ (0， x 0)，恒有 f(x)＞ g(x)．证明 (1) 令 F(x)＝ f(x)－ x ＝ ln(1＋ x)－ x ， x ∈(0 ，＋ ∞ )，则有 F ′ (x)＝ 1－1＝－ x.1＋ x x ＋ 1 当 x ∈ (0，＋ ∞ )时， F ′ (x)＜ 0，所以 F(x) 在(0，＋ ∞ )上单一递减，故当 x ＞ 0 时， F(x)＜ F(0) ＝ 0，即当 x ＞ 0 时， f(x)＜ x.(2)令 G(x)＝ f(x) －g(x)＝ ln(1 ＋ x)－ kx ，x ∈ (0，＋ ∞ )，则有 G ′ (x)＝ 1 － k ＝－kx＋ 1－k .x ＋ 1x ＋ 1当 k ≤0 时， G ′ (x)＞ 0，故 G(x) 在(0 ，＋ ∞ )上单一递加， G(x)＞ G(0) ＝ 0，故随意正实数 x 0 均知足题意．1－ k 1当 0＜k ＜ 1 时，令 G ′( x)＝ 0，得 x ＝ k＝ k － 1＞0. 取 x 0＝ 1－1，对随意 x ∈ (0， x 0k)，有 G ′ (x)＞ 0，进而 G(x)在 (0， x 0)上单一递加，所以 G(x)＞ G(0) ＝ 0，即 f(x)＞g(x)．综上，当 k ＜ 1 时，总存在 x 0＞ 0，使得对随意 x ∈(0， x 0)，恒有 f(x) ＞g( x)．评论恒建立问题一般与不等式相关，解决此类问题需要结构函数，利用函数单一性求函数最值，进而说明函数值恒大于或恒小于某一确立的值．变式训练 1 设 f(x)＝ e x － a(x ＋ 1) ．(1)若 ? x ∈ R ， f(x) ≥0 恒建立，求正实数 a 的取值范围；a(2)设 g(x)＝ f(x)＋ e x ，且 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)( x 1≠ x 2)是曲线 y ＝g(x) 上随意两点，若对随意的a ≤－ 1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m ，求 m 的取值范围．解 (1) 因为 f(x)＝ e x － a( x ＋ 1)，所以 f ′ (x)＝ e x － a.由题意，知 a ＞0，故由 f ′ (x)＝ e x － a ＝ 0，解得 x ＝ lna.故当 x ∈ (－ ∞ ， lna)时， f ′ (x)＜ 0，函数 f(x)单一递减；当 x∈ (lna，＋∞ )时， f′ (x)＞ 0，函数 f(x)单一递加．所以函数 f( x)的最小值为 f(lna)＝ e lna－ a(ln a＋1) ＝－ alna.由题意，若 ? x∈R， f(x)≥ 0 恒建立，即 f(x)＝e x－ a(x＋ 1)≥ 0 恒建立，故有－ alna≥ 0，又 a＞0，所以 lna≤0，解得 0＜ a≤ 1.所以正实数 a 的取值范围为 (0,1] ．1，x2 是随意的两个实数，且x1＜ x2，(2)设 xg x2－g x1.则直线 AB 的斜率为 k＝x2－x1由已知 k＞ m，即g x2－ g x1＞ m.2 －x1x因为 x2－x1＞ 0，所以 g(x2)－ g(x1)＞ m(x2－ x1)，即 g(x2)－ mx2＞g( x1)－ mx1.因为 x1＜x2，所以函数h(x)＝ g(x)－ mx 在R上为增函数，故有 h′ (x) ＝g′ (x)－ m≥0 恒建立，所以m≤ g′ (x)．x a而 g′( x)＝ e － a－e x，又 a≤－ 1＜ 0，x－ a－ a≥ 2x－ a－ ax x＝2 － a－ a.而 2 － a－ a＝2 － a＋ ( － a)2＝( － a＋ 1)2－1≥ 3，所以 m 的取值范围为 (－∞， 3]．题型二存在性问题例 2(2015·浙江 )设函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b(a，b∈R )．2(1)当 b ＝a4 ＋ 1 时，求函数 f (x)在 [ － 1,1] 上的最小值 g( a)的表达式；(2)已知函数 f(x)在 [－ 1,1]上存在零点， 0≤ b － 2a ≤ 1，求 b 的取值范围．解 (1) 当 b ＝ a 2a24 ＋ 1 时， f(x) ＝ x ＋ 2 ＋ 1，a2当 a ≤－ 2 时， g(a)＝ f(1)＝ a4 ＋ a ＋ 2.a当－ 2＜ a ≤ 2 时， g(a)＝ f － 2 ＝ 1.a 2当 a ＞2 时， g(a)＝ f(－ 1)＝ 4 － a ＋ 2.a 24 ＋ a ＋ 2， a ≤ － 2，综上， g(a)＝ 1，－ 2＜ a ≤ 2，2a4 － a ＋ 2， a ＞ 2.(2)设 s ， t 为方程 f(x)＝ 0 的解，且－ 1≤t ≤1，s ＋ t ＝－ a ，则st ＝ b ，－ 2t 1－ 2t因为 0≤ b － 2a ≤ 1，所以 ≤ s ≤ (－ 1≤ t ≤ 1)．t ＋ 2 t ＋ 2 当 0≤t ≤1 时，－ 2t 2 t － 2t 2.t ＋2 ≤ st ≤ t ＋ 222因为－ 2≤ － 2t ≤0 和－ 1≤ t － 2t≤9－4 5，3 t ＋ 23 t ＋ 2所以－2≤ b ≤ 9－4 5.3t － 2t 2 － 2t 2当－ 1≤ t ＜0 时， ≤ st ≤ ，t ＋ 2 t ＋ 222因为－ 2≤－ 2tt － 2t＜ 0，所以－ 3≤ b ＜0.t ＋ 2 ＜0 和－ 3≤t ＋ 2故 b 的取值范围是 [ － 3,9－4 5 ]．评论 “存在 ” 是特称量词，即 “ 有的 ” 意思，证明这种问题的思路是想法找到一个 “ x 0” 使问题建立刻可，必需时需要对问题进行转变．若证 “ 存在且独一 ”则需说明除 “x 0” 外其他不可以使命题建立，或利用函数单一性证明此类问题．变式训练 2(2015·北京 )已知函数 f(x)＝ ln 1＋ x1－ x.(1) 求曲线 y ＝f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线方程； (2) 求证：当 x ∈ (0,1)时， f(x)＞ 2 x ＋x 3；3x 3(3)设实数 k 使得 f(x)＞ k x ＋ 3 对 x ∈ (0,1) 恒建立，求k 的最大值．(1)解因为 f(x)＝ ln(1 ＋x) －ln(1 － x)，所以f ′ (x)＝1 1＋x＋ 1 ， f ′ (0)＝ 2.1－ x又因为f(0)＝ 0，所以曲线y ＝ f( x)在点 (0， f(0)) 处的切线方程为y ＝ 2x.x 3(2)证明令 g(x)＝ f(x) －2 x ＋ 3 ，4则 g ′( x)＝ f ′ (x)－ 2(1＋ x 2)＝ 2x 2.1－ x因为 g ′ (x)>0(0< x<1) ，所以 g(x)在区间 (0,1)上单一递加．所以 g( x)>g(0)＝ 0，x ∈ (0,1)，x 3即当 x ∈ (0,1)时， f( x)>2 x ＋ 3 .3 x(3)解由 (2)知，当 k ≤ 2 时， f(x)>k x ＋ 3 对 x ∈ (0,1)恒建立．x 3当 k>2 时，令 h(x)＝ f(x) －k x ＋ 3 ，2kx 4－ k － 2则 h ′( x)＝ f ′ (x)－ k(1＋ x )＝2.1－ x所以当 0<x<4k － 24k － 2 时， h ′ (x)<0 ，所以 h( x)在区间0，上单一递减．kk4 k － 2故当 0<x<k 时， h(x)<h(0)＝ 0，x3即 f(x)< k x＋ 3.x3所以当k>2 时， f(x)>k x＋ 3并不是对x∈ (0,1)恒建立．综上可知，k 的最大值为 2.高考题型精练1．已知函数1f(x)＝ x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋ 5≥0恒建立，则实数m 的取值范3围是 ________．答案179，＋∞分析 f′ (x)＝ x2－ 4x，由 f ′(x)＞ 0，得 x＞ 4 或 x＜ 0.∴f(x) 在(0,4) 上递减，在 (4，＋∞ )上递加，∴当 x∈ [0，＋∞ )时， f(x)min＝ f(4) ．∴要使 f(x)＋ 5≥0恒建立，只要 f(4)＋ 5≥ 0恒建立刻可，代入解得m≥17 9 .2．已知存在实数a，使得对于 x 的不等式x－ 4－ x≥ a 恒建立，则 a 的最大值为 ______．答案－2分析由x－4－ x≥ a，可得 0≤ x≤ 4，由 f(x)＝ x－ 4－ x，此中 y＝ x在 [0,4] 上单一递加，y＝－4－ x在 [0,4] 上单一递加，可得f(x)在 [0,4] 上单一递加，可得f(x)获得最小值f(0) ＝－ 2，可得 a≤ － 2，即 a 的最大值为－ 2.x x 3．函数 f(x)的定义域是R， f(0) ＝ 2，对随意 x∈R， f(x)＋ f′( x)＞ 1，则不等式 e ·f(x)＞ e ＋1的解集为 ________．分析结构函数g(x)＝ e x·f(x)－ e x，因为 g′ (x) ＝e x·f(x)＋ e x·f′ (x)－ e x＝e x[f(x)＋ f′(x)]－e x＞ e x－ e x＝ 0，所以 g( x)＝ e x·f(x)－ e x为R上的增函数．又因为 g(0) ＝e0·f(0) － e0＝ 1，所以原不等式转变成g(x)＞ g(0) ，解得 x＞ 0.4．当 x∈ [－ 2,1] 时，不等式 ax3－ x2＋ 4x＋ 3≥ 0 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ________．答案 [－6，－ 2]分析当 x＝ 0 时， ax3－ x2＋ 4x＋ 3≥0 变成 3≥ 0，恒建立，即 a∈R .当 x∈ (0,1] 时， ax 3≥x2x2－ 4x－ 3x3恒建立，－ 4x－ 3，a≥x2－4x－ 3∴a≥x3max.x2－ 4x－3设φ(x)＝x3，2x－ 4 x3－ x2－ 4x－ 3 3x2φ′ (x)＝x6＝－x2－ 8x－ 9x－9 x＋ 1>0 ，4＝－4x x∴ φ(x)在 (0,1] 上单一递加，φ(x)max＝φ(1) ＝－ 6，∴a≥－ 6.x2－ 4x－ 3当 x∈ [ －2,0)时， a≤x3恒建立，∴ a≤x2－4x－ 3x3min.x2－4x－ 3，φ′ (x) ＝－x－ 9 x＋ 1.仍设φ(x) ＝34x x当 x∈ [ －2，－ 1)时，φ′ (x)<0 ，当 x∈ (－1,0)时，φ′ (x)>0.∴当 x＝－ 1 时，φ(x)有极小值，即为最小值．1＋4－3而φ(x)min＝φ(－ 1)＝＝－2，∴ a≤ － 2.－1综上知－ 6≤ a≤－ 2.1 5．在平面直角坐标系xOy 中，点 A(1,0)，B(4,0) ．若直线 x－ y＋ m＝ 0 上存在点P 使得 PA＝2PB ，则实数 m 的取值范围是 ________．答案 [－2 2，2 2]122分析设 P(x ， x ＋ m)， ∵ PA ＝ PB ， ∴4PA ＝ PB ，∴ 4(x － 1)2＋ 4(x ＋ m)2 ＝(x －4)2＋ (x ＋m)2，化为 (x ＋ m)2＝ 4－ x 2， ∴ 4－ x 2≥ 0，解得 x ∈ [－ 2,2] ，∴ m ＝－ x ± 4－ x 2，令 x ＝2cos θ， θ∈[0 ，π]，∴ m ＝－ 2cos θ±2sin θ，ππ即 m ＝ 2 2sin (θ－ 4)或 m ＝－ 2 2sin (θ＋ 4)，∴ 实数 m 的取值范围是 [－ 2 2， 2 2 ]．6．已知二次函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋c 的导函数为 f ′(x)，f ′ (x)>0 ，对于随意实数 x ，有 f(x)≥ 0，则 f 1的最小值为 ________．f ′ 0答案 2分析 ∵f ′(x)＝ 2ax ＋ b ， ∴ f ′ (0)＝ b>0.22＝ b － 4ac ≤ 0b由题意知 a>0， ∴ ac ≥ 4 ， ∴ c>0 ，∴ f 1a ＋b ＋ cb ＋ 2 ac2b＝ 2，＝ ≥≥f ′ 0 bbb当且仅当 a ＝ c 时 “ ＝ ”建立．7．已知函数 f(x)＝ ax 3－ 3x 2＋ 1，若 f(x)存在独一的零点 x 0，且 x 0>0，则 a 的取值范围是 ________．答案 (－∞，－ 2)分析 a ＝ 0 时，不切合题意；a ≠ 0 时， f ′ (x) ＝3ax 2－ 6x ，2令 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝ 0 或 x ＝a .若 a>0，则由图象知 f(x)有负数零点，不切合题意．则 a<0，由图象 f(0) ＝ 1>0 知，2此时必有 0<f a <1，84即 0<a × a 3－ 3× a 2＋ 1<1，化简得 a 2>4，又 a<0，所以 a<－ 2.8．若在区间 [0,1] 上存在实数 x 使 2x (3x ＋ a)<1 建立，则 a 的取值范围是 ________．答案 (－∞， 1)分析 2x (3x ＋ a)<1 可化为 a<2－x － 3x ，x建立，等价于x x － 3x 在 [0,1]则在区间 [0,1] 上存在实数 x 使 2 (3x ＋ a)<1 a<(2 －－ 3x)max ，而 2－上单一递减，∴ 2－x－ 3x 的最大值为 20－ 0＝ 1，∴ a<1，故 a 的取值范围是 (－ ∞ ， 1)．9．已知函数 f( x)＝ x －1， g(x) ＝ x 2－ 2ax ＋ 4，若对于随意 x 1∈ [0,1] ，存在 x 2∈ [1,2] ，使 x ＋ 1f(x 1 )≥ g(x 2)，则实数 a 的取值范围是 __________ ．答案9，＋∞4分析因为 f ′ (x)＝ 1＋1 >0 ，所以函数 f(x) 在[0,1] 上单一递加，所以x ∈ [0,1] 时， f(x)min ＝x ＋12f(0) ＝－ 1.依据题意可知，存在22x ∈ [1,2] ，使得 g(x) ＝x － 2ax ＋ 4≤－ 1，即 x － 2ax ＋ 5≤ 0，即x5h( x)＝ x 5a ≥h(x)在 x ∈ [1,2] 能建立，只要使 a ≥ h(x)min ，又a ≥ 2＋ 2x 能建立．令 2＋2x ，则要使 x 5 9 9 函数 h( x)＝ 2＋2x 在 [1,2] 上单一递减，所以h(x)min ＝ h(2) ＝ 4，故只要 a ≥ 4.10．已知 f( x)＝ xlnx ， g(x)＝－ x 2＋ax － 3.(1)对全部 x ∈(0，＋∞ )， 2f(x)≥ g(x) 恒建立，务实数 a 的取值范围；12建立． (1) 解 ? x ∈ (0，＋ ∞ )，有 2xln x ≥ －x2(2)证明：对全部 x ∈(0 ，＋∞ )，都有 lnx> x －e ex＋ ax －3，3则 a ≤2ln x ＋ x ＋ x .3设 h(x)＝ 2ln x ＋ x ＋ x (x>0) ，则 h′( x)＝x＋ 3 x－ 1，x2①当 x∈ (0,1)时， h′ (x)<0 ，h(x)单一递减，②当 x∈ (1，＋∞ )时， h′ (x)>0 ， h(x)单一递加，所以 h( x)min＝ h(1) ＝ 4.因为对全部x∈ (0，＋∞ )， 2f(x) ≥g(x)恒建立，所以 a≤ h(x)min＝ 4，即 a 的取值范围为 (－∞， 4]．(2)证明问题等价于证明x 2xlnx>e x－e( x∈ (0，＋∞ ))恒建立．f(x) ＝ xlnx(x∈ (0，＋∞)) 的最小值是－1 e ，1当且仅当x＝e时取到．x 2设 m(x) ＝e x－e(x∈ (0，＋∞ )) ，则 m′ (x)＝x，易知 m(x)max＝ m(1) ＝－1，ee1－x12进而对全部x∈ (0，＋∞ )，都有 ln x>e x－ex建立．11． (2016 ·标全国丙课 )设函数 f(x)＝ lnx－ x＋1.(1)议论 f(x) 的单一性；x－ 1(2)证明：当x∈ (1，＋∞ )时， 1< ln x <x；(3)设 c>1 ，证明：当x∈ (0,1)时， 1＋ (c－ 1)x>c x.(1)解由题设， f(x)的定义域为 (0，＋∞ )，1f′ (x) ＝x－ 1，令 f′ (x)＝ 0 解得 x＝ 1.当 0<x<1 时， f′ (x)>0 ， f(x) 单一递加；当 x>1 时， f′ (x)<0 ， f(x)单一递减．(2)证明由 (1)知 f(x)在 x＝ 1 处获得最大值，最大值为f(1) ＝ 0.所以当 x≠ 1 时， ln x<x－ 1.1 1故当 x∈ (1，＋∞ )时， ln x<x－ 1， ln x<x－ 1，x－ 1即 1< lnx <x.(3)证明由题设 c>1，设 g(x) ＝1＋ (c－ 1)x－ c x，则 g′( x)＝ c－1－ c x lnc.c－ 1lnln c令 g′( x)＝ 0，解得 x0＝ln c.当 x<x0时， g′ (x)>0， g(x)单一递加；当 x>x0时， g′ (x)<0， g(x)单一递减．c－1由 (2) 知 1< lnc <c，故 0<x0<1.又 g(0)＝ g(1)＝ 0，故当 0<x<1 时， g(x)>0.所以当 x∈ (0,1) 时， 1＋(c－1)x>c x.。

【高考复习】届江苏高考复习曲线与方程专题练习(带答案)

【高考复习】届江苏高考复习曲线与方程专题练习（带答案）建立平面直角坐标系,用坐标来刻画点的位置,为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，以下是届江苏高考复习曲线与方程专题练习，请考生认真练习。

一、填空题1.(徐州调研)若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=________.[解析] 由消y得k2x2-4(k+2)x+4=0，由题意得=[-4(k+2)]2-4k24=64(1+k)0解得k-1，且x1+x2==4解得k=-1或k=2，故k=2.[答案] 22.点P是圆(x-4)2+(y-1)2=4上的动点，O是坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程是________.[解析] 设P(x0，y0)，Q(x，y)，则x=，y=，x0=2x，y0=2y，(x0，y0)是圆上的动点，(x0-4)2+(y0-1)2=4.(2x-4)2+(2y-1)2=4.即(x-2)2+2=1.[答案] (x-2)2+2=13.(宿迁质检)设抛物线的顶点在原点，其焦点F在x轴上，抛物线上的点P(2，k)与点F的距离为3，则抛物线方程为________.[解析] xP=20，设抛物线方程为y2=2px，则|PF|=2+=3，=1，p=2.[答案] y2=4x4.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是________.[解析] 设P(x，y)，则|x|+|y|=2.它的图形是一个以2为边长的正方形，故S=(2)2=8.[答案] 85.已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.则求动圆圆心的轨迹C的方程为________.[解析] 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|=|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点.|O1M|=，又|O1A|=，= ，化简得y2=8x(x0).当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x，动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.[答案] y2=8x图836.(盐城调研)如图83所示，已知C为圆(x+)2+y2=4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且=0，=2.当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹方程为________.[解析] 圆(x+)2+y2=4的圆心为C(-，0)，半径r=2，=0，=2，MQAP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|=|QP|，||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2，又|AC|=22，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(-，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c=，a=1，得b2=1，因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.[答案] x2-y2=17.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，经过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.则点M的轨迹方程为________.[解析] 设M(x，y)，A，B，显然x1x2，由x2=4y，得y=x2，y=x，于是过A、B两点的切线方程分别为y-=(x-x1)，即y=x- ，y-=(x-x2)，即y=x- ，由解得，设直线l的方程为y=kx+1，由，得x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4 ，代入得，即M(2k，-1)，故点M的轨迹方程是y=-1.[答案] y=-18.(江苏泰州中学期末)若椭圆C1：+=1(a10)和C2：+=1(a20)是焦点相同且a1a2的两个椭圆，有以下几个命题：C1，C2一定没有公共点;a-a=b-b;a1-a2a2，所以b1b2，C1，C2一定没有公共点;因为a1a2，b1b2，所以不一定成立;由a-b=a-b得a-a=b-b;由a-a=b-b得(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2)，因为a1+a2b1+b2，所以a1-a2b0)所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的标准方程;(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上的点(与O 不重合).若|MO|=2|OA|，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程;若M是l与椭圆C2的交点，求AMB面积的最小值.[解] (1)由题意得又a0，解得a2=8，b2=1，因此所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设M(x，y)，A(m，n)，则由题设知||=2||，=0，即解得因为点A(m，n)在椭圆C2上，所以+n2=1.即+x2=1，亦即+=1，所以点M的轨迹方程为+=1.设M(x，y)，则A(y，-x)(R，0)，因为点A在椭圆C2上，所以2(y2+8x2)=8，即y2+8x2=，()又x2+8y2=8，()(?)+()得x2+y2=，所以SAMB=OMOA=||(x2+y2)=.当且仅当=1时，(SAMB)min=.届江苏高考复习曲线与方程专题练习及答案的所有内容就是这些，更多精彩内容请持续关注数学网。

江苏高考复习曲线与方程专题练习(带答案)

江苏高考复习曲线与方程专题练习（带答案）方程是指含有未知数的等式，以下是江苏2021届高考温习曲线与方程专题练习，请考生仔细练习。

一、填空题1.(2021苏州模拟)如图85，F1、F2区分是椭圆C：+=1(a0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，那么椭圆C的离心率为________.[解析] 由题意得OQ=b=PF1，那么PF2=2a-PF1=2a-2b，QF2=a-b，所以(a-b)2+b2=c2，解得2a=3b，那么4a2=9b2=9a2-9c2，得e=.[答案]2.(2021南师附中调研)抛物线y2=4x，点A(5,0).点O为坐标原点，倾斜角为的直线l与线段OA相交但不过O，A两点，且交抛物线于M，N两点，那么AMN的面积的最大值为________.[解析] 设直线l的方程为y=x+b(-5c，直线PR的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.圆(x-1)2+y2=1内切于PRN，那么圆心(1,0)到直线PR的距离为1.=1，留意到x02，上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0，同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0.b，c为方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根.b+c=，bc=，(b-c)2=.又y=2x0，b-c=，S△PRN=(b-c)x0==(x0-2)++48，当且仅当x0=4时取等号，PRN面积的最小值为8.专题打破五高考解析几何效果的求解战略(见先生用书第187页)类型1 曲线方程与性质直线方程、圆方程、圆锥曲线的规范方程在课标高考中占有十分重要的位置，由条件求曲线方程或曲线方程研讨曲线性质是高考命题的重点和热点，求曲线方程最常用的方法是定义法与待定系数法，椭圆与双曲线的离心率是高考对圆锥曲线考察的又一重点，触及a，b，c三者之间的关系，另外抛物线的准线，双曲线的渐近线，圆的切线也是命题的热点. 【典例1】 (2021南京质检)椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x2=4y的焦点.(1)求椭圆方程;(2)假定直线y=x-1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程.[思绪点拨] (1)由椭圆与抛物线的性质，求椭圆方程中待定参数a，b，从而确定椭圆的规范方程.(2)联立方程求出圆心和半径.[规范解答] (1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上.设椭圆的方程为+=1(a0) ，由于抛物线x2=4y的焦点为(0,1)，所以b=1.由离心率e==，a2=b2+c2=1+c2，从而得a=，椭圆的规范方程为+y2=1.(2)由解得所以点A(2,1).由于抛物线的准线方程为y=-1，所以圆的半径r=1-(-1)=2，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.【反思启迪】 1.待定系数法求曲线方程，关键是方程的联立求解，结合条件，求待定参数，表达了方程思想的运用.2.直线与圆相切，可转化为圆心到直线的距离等于半径，表达了转化的思想.【变式训练1】 (2021重庆高考)如图51，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|=4.图51(1)求该椭圆的规范方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其他点均在圆Q外.求PPQ 的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的规范方程. [解] (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上，那么+=1，从而e2+=1.由e=，得b2==8，从而a2==16.故该椭圆的规范方程为+=1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0).又设M(x，y)是椭圆上恣意一点，那么|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8=(x-2x0)2-x+8(x[-4,4]).设P(x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式中当x=x1时取最小值.又由于x1(-4,4)，所以上式当x=2x0时取最小值，从而x1=2x0，且|QP|2=8-x. 由对称性知P(x1，-y1)，故|PP|=|2y1|，所以S=|2y1||x1-x0|=2|x0|当x0=时，PPQ的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径|QP|==，因此，这样的圆有两个，其规范方程区分为(x+)2+y2=6，(x-)2+y2=6.类型2 解析几何中的存在性探求效果近年高考命题经常设计探求能否存在性的效果，考察先生的发散思想和创新才干，求解这类效果要注重数形的转化，擅长从特殊发现规律，并能正确推理与计算.【典例2】椭圆C1：+=1(a0)的离心率为e，且b，e，为等比数列，曲线y=8-x2恰恰过椭圆的焦点.(1)求椭圆C1的方程;(2)设双曲线C2：-=1的顶点和焦点区分是椭圆C1的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B区分是C1和C2上的点，问能否存在A，B满足=.请说明理由.假定存在，央求出直线AB的方程.[思绪点拨] (1)转化，构建方程，求出a，b，c即可求出方程.(2)先求出C2的方程，假定结论成立，可得O，A，B三点共线，得直线AB的方程为y=kx，与C1，C2的方程联立求出交点的横坐标.应用共线失掉k的方程，看能否求出k的值，即可判别假定能否成立.[规范解答] (1)由y=8-x2=0，得x=2，所以椭圆的焦点坐标为(2，0)即c=2.又b，e，为等比数列，所以2=b.又a2=b2+c2，解得a=2，b=2，故椭圆C1的方程为+=1.(2)假定存在A，B满足=，那么可知O，A，B三点共线且A，B必不在y轴上.设A，B的坐标区分为(x1，y1)，(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx.由(1)可知C2的方程为-=1.由得(1+3k2)x2=12，即x=，由得(1-2k2)x2=8，即x=，由=，得x=x，即=，解得k2=，即k=.所以存在A，B满足=，此时直线AB的方程为y=x.【反思启迪】 1.探求性效果通常采用一定顺推法，将不确定性效果阴暗化.其步骤为假定满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，假定方程组有实数解，且满足题意，那么元素(点、直线、曲线或参数)存在;否那么，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.2.反证法与验证法也是求解探求性效果常用的方法.【变式训练2】 (2021镇江模拟)如图52，椭圆E：+=1(a0)的离心率为，过左焦点F(-，0)且斜率为k的直线交椭圆E 于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点.图52(1)求椭圆E的方程;(2)求证：点M在直线l上;(3)能否存在实数k，使得BDM的面积是ACM面积的3倍?假定存在，求出k的值;假定不存在，说明理由.[解] (1)由题意可知e==，c=，于是a=2，b=1.所以椭圆E的规范方程为+y2=1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立直线AB的方程与椭圆方程，得即(4k2+1)x2+8k2x+12k2-4=0，所以x1+x2=，x0==，y0=k(x0+)=，于是M.由于+4k=0，所以M在直线l上.(3)当k=时，满足条件.由(2)知点A到直线CD的距离与点B 到直线CD的距离相等，假定BDM的面积是ACM面积的3倍，那么|DM|=3|CM|，由于|OD|=|OC|，于是M为OC的中点.设点C的坐标为(x3，y3)，那么y0=.由解得y3=，于是=，解得k2=(舍负)，所以k=.类型3 解析几何中的定点、定值效果江苏2021届高考温习曲线与方程专题练习及答案的一切内容就是这些，更多精彩内容请继续关注查字典数学网。

高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题3函数与导数第10练Word版含解析

第 10 练重应用——函数的实质应用[题型剖析·高考展望 ]函数的实质应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在填空题、解答题中都会出现，多以实质生活、常有的自然现象为背景，较新奇、灵巧，解决此类问题时，应从实质问题中剖析波及的数学知识，进而抽象出基本函数模型，而后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决．体验高考1． (2015 ·川四)某食品的保鲜时间y(单位：小时 )与储蓄温度 x(单位：℃ )知足函数关系 y＝ e kx＋ bk，b 为常数 )．若该食品在 0℃的保鲜时间是 192 小时，在(e＝ 2.718为自然对数的底数，22℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 ________小时．答案 24e b＝ 192，分析由题意得e22k＋b＝48，∴e22k＝19248＝14，∴e11k＝12，∴x＝ 33 时， y＝e33k＋b＝(e11k)3·e b1 3＝2× 192＝ 24.2．(2015 ·海上 )如图， A，B，C 三地有直道相通，AB ＝5 千米， AC＝ 3 千米， BC＝ 4 千米．现甲、乙两警察同时从 A 地出发匀速前去 B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米 )．甲的路线是AB，速度为 5 千米 /小时，乙的路线是ACB，速度为 8 千米 /小时．乙抵达B 地后原地等候．设t＝ t1时乙抵达 C 地．(1)求 t1与 f( t1)的值；(2)已知警察的对讲机的有效通话距离是 3 千米，当t1≤ t≤ 1 时，求 f(t)的表达式，并判断f(t)在 [t1,1]上的最大值能否超出3？说明原因．3解 (1)t1＝ .815222记乙到 C 时甲所在地为D，则 AD ＝8千米．在△ACD 中， CD＝ AC＋AD－ 2AC·AD cosA，因此 f(t 1)＝ CD ＝38 41(千米 )．3A 到B 总用时7(2)甲抵达 B 用时 1 小时；乙抵达C 用时 8小时，从 8小时．当 t 1＝ 3 ≤ t ≤ 78 8时，f(t)＝22－ 2 7－8t4 7－ 8t ＋ 5－ 5t5－ 5t ·5＝25t 2－ 42t ＋ 18；当78≤ t ≤ 1 时， f(t)＝ 5－ 5t ，25t 2－42t ＋18， 3≤t ≤7，因此 f(t)＝8875－ 5t ， 8＜ t ≤ 1.因为 f(t)在 3 7 上的最大值是 f 3 3 418， 8 8 ＝ 8 ，7 7 5f(t)在 8，1 上的最大值是 f 8 ＝ 8，因此 f(t)在3， 1 上的最大值是341，不超出 3.883．(2015 江·苏 )某山区外头有两条互相垂直的直线型公路，为进一步改良山区的交通现状，计划修筑一条连接两条公路和山区界限的直线型公路，记两条互相垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为 C ，计划修筑的公路为 l .以下图， M ， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l 1， l 2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l 1，l 2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米．以 l 2，l 1 所在的直线分别为 x ，y 轴，成立平面直角坐标系xOy ，假定曲线 C 切合函数 y ＝ 2 a (此中 a ，bx ＋ b为常数 )模型．(1)求 a ， b 的值；(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数分析式 f(t)，并写出其定义域；②当 t 为什么值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度．解 (1) 由题意知，点 M ，N 的坐标分别为 (5,40)，(20,2.5) ．a＝ 40，y ＝a，得25＋ b将其分别代入 ax 2＋ b＝ 2.5，400＋ ba ＝ 1000，解得b ＝ 0.1000(2)① 由 (1)知， y ＝ x 2(5≤ x ≤ 20) ，则点 P 的坐标为1000.t ，2t设在点 P 处的切线 l 分别交 x ， y 轴于 A ， B 两点，2000y ′ ＝－ x 3 ，则 l 的方程为10002000y － t 2 ＝－ t 3 (x － t)，3t 3000 由此得 A 2 ， 0 ， B 0， t 2 .故 f(t)＝ 3t 23000 2 2 ＋t 2＝32＋ 4× 1062 tt 4， t ∈ [5,20] ．② 设 g( t)＝ t 2 ＋ 4× 10616× 1064 ，则 g ′ (t)＝ 2t －5.tt令 g ′( t)＝ 0，解得 t ＝ 10 2.当 t ∈ (5,10 2)时， g ′( t)＜ 0， g(t)是减函数；当 t ∈ (10 2， 20)时， g ′ (t)＞0， g(t)是增函数．进而当 t ＝10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，因此 g( t)min ＝ 300，此时 f(t)min ＝ 15 3.答当 t＝ 10 2时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3千米．高考必会题型题型一基本函数模型的应用例 1 某地上年度电价为 0.8 元，年用电量为 1 亿千瓦时．今年度计划将电价调至 0.55 元～ 0.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则今年度新增用电量 y(亿千瓦时 ) 与 (x－0.4)( 元) 成反比．又当 x＝0.65 时， y＝ 0.8.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3 元，则电价调至多少时，今年度电力部门的利润将比上年度增添 20%？ [利润＝用电量×(实质电价－成本价)]解 (1) ∵ y 与 (x－ 0.4)成反比，∴设 y＝k(k≠ 0)．x－ 0.4把 x＝0.65， y＝0.8 代入上式，得 0.8＝k， k＝ 0.2.0.65－0.4∴y＝0.2＝1，x－0.4 5x－2即 y 与 x 之间的函数关系式为y＝1. 5x－21(2)依据题意，得(1＋) ·(x－ 0.3)5x－ 2＝ 1× (0.8－ 0.3)× (1＋ 20%)．整理，得x2－ 1.1x＋0.3＝ 0，解得 x1＝ 0.5， x2＝ 0.6.经查验 x1＝ 0.5， x2＝ 0.6 都是所列方程的根．∵ x 的取值范围是0.55～ 0.75，故 x＝0.5 不切合题意，应舍去．∴ x＝0.6.∴当电价调至0.6 元时，今年度电力部门的利润将比上年度增添20%.评论解决实质应用问题的重点在于读题，读题一定仔细、耐心，从中剖析出数学“元素” ，确立该问题波及的数学模型，一般程序以下：读题建模求解?反应文字语言?? 数学应用 .数学语言查验作答变式训练 1(1)(2015 ·北京改编 )某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况 .加油时间加油量加油时的累计里程(升 ) (千米 )2015年5月1日 12 350002015年 5月 15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的行程．在这段时间内，该车每100 千米均匀耗油量为 ______升．(2)2015 年“五一”时期某商人购进一批家电，每台进价已按原价 a 扣去 20%，他希望对货物定一新价，以便每台按新价让利 25%销售后，仍可获取售价 20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数 x 与按新价让利总数 y 之间的函数关系式是 ______________．答案 (1)8(2) y ＝ ax(x ∈ N * )3分析 (1) 由表知，汽车行驶行程为35600－ 35000＝600 千米，耗油量为 48 升， ∴ 每 100 千米耗油量为 8 升．(2)设每台新价为 b ，则售价 b(1－25%) ，让利 b × 25%，因为原价为 a ，则进价为 a(1－ 20%)，4依据题意，得每件家电利润为 b × (1－ 25%)× 20%＝ b × (1－ 25%) － a(1－ 20%)，化简得 b ＝3a.4 a *)，∴ y ＝ b × 25%·x ＝ a × 25%× x ＝ x(x ∈ N33a*即 y ＝ 3x( x ∈N )．题型二分段函数模型的应用例 2 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万部还需另投入 16 万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并所有销售完，每万部的销售收入为400－ 6x ， 0<x ≤ 40，R(x)万美元，且 R(x)＝ 7400－40000 ， x>40.x x 2(1)写出年利润 W(万美元 )对于年产量 x(万部 )的函数分析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获取的利润最大？并求出最大利润．解 (1) 当 0<x ≤40 时， W ＝xR(x)－(16x ＋ 40)＝－ 6x 2＋384x － 40；当 x>40 时， W ＝ xR(x)－ (16x ＋ 40)40000＝－－ 16x ＋ 7360.－ 6x 2＋ 384x － 40， 0<x ≤ 40，因此 W ＝40000－－ 16x ＋7360 ， x>40.(2)① 当 0<x ≤40 时， W ＝－ 6(x － 32)2＋ 6104 ，因此 W max ＝ W(32) ＝6104；40000② 当 x>40 时， W ＝－－ 16x ＋ 7360，因为 40000 ＋ 16x ≥ 240000 ×16x ＝ 1600，x x当且仅当40000＝ 16x ，即 x ＝ 50∈ (40，＋ ∞ )时，取等号，x因此此时 W 有最大值 5760.因为 6104＞ 5760，因此当 x ＝ 32 时， W 获得最大值 6104 万元．评论函数有关应用题的常有种类及解题重点(1)常有种类：与函数有关的应用题，常常波及物价、行程、产值、环保等实质问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．(2)解题重点：解答这种问题的重点是切实地成立有关函数分析式，而后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．变式训练2 某市出租车收费标准以下：起步价为8 元，起步里程为3km( 不超出3km 按起步价付费 )；超出 3km 但不超出 8km 时，超出部分按每千米 2.15 元收费；超出 8km 时，超出部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附带费1 元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了 ________km. 答案 9分析设出租车行驶 xkm 时，付费 y 元，9，0<x≤ 3，则 y＝ 8＋2.15 x－ 3 ＋ 1， 3<x≤ 8，8＋2.15× 5＋2.85 x－ 8 ＋ 1， x>8，9， 0＜ x≤ 3，＝ 2.15x＋2.55， 3＜x≤8，2.85x－3.05， x＞ 8，由 y＝22.6，解得 x＝ 9.高考题型精练1．(2016 ·苏省高考四模江)现用一半径为 10 2cm，面积为 10022π cm的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器( 假定连接部分及铁皮厚度忽视不计，且无消耗) ，则该容器的容积为________cm3.答案 1000 π3分析设圆锥形容器的底面半径是r ，高为 h，由题意得，1× 2πr× 102＝ 1002π，解得 r ＝ 10(cm)，2则 h＝ 10 2 2－102＝10(cm) ，12121000 π3因此圆锥形容器的体积V＝3πr h＝3π× 10× 10＝3(cm)．2．假如在此后若干年内，我国公民经济生产总值都控制在均匀每年增添9%的水平，那么达到公民经济生产总值比1995 年翻两番的年份起码是_______ 年． (lg2 ＝ 0.3010， lg3 ＝ 0.4771，lg109 ＝ 2.0374， lg0.09 ＝－ 2.9543)答案 2012分析设 1995 年生产总值为a，经过 x 年翻两番，则a·(1＋ 9%)x2lg2≈ 17.＝4a.∴ x＝lg1.093． (2016 南·通市模拟 )用长度为24 的资料围成一个矩形场所，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．答案 3x，则长为24－ 4xS＝24－4x分析以下图，设矩形场所的宽为，其面积为2·x＝ 12x－ 2x2＝－2 2(x2－ 6x＋ 9)＋ 18＝－ 2(x－ 3)2＋ 18.当 x＝3 时， S 有最大值18.因此隔墙的长度应为 3.4．某汽车销售公司在A， B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万元)为y1＝ 4.1x－0.1x2，在 B 地的销售利润 (单位：万元 )为 y2＝ 2x，此中 x为销售量 ( 单位：辆 )，若该公司在两地共销售16 辆该种品牌的汽车，则能获取的最大利润是________万元．答案 43分析设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车 (16－ x)辆，因此可得利润y＝ 4.1x－ 0.1x2＋ 2(16 － x)＝－ 0.1x2＋ 2.1x＋ 32212212＝－ 0.1(x－2 )＋ 0.1×4＋ 32.因为 x∈ [0,16] 且 x∈N，因此当 x＝ 10 或 11 时，总利润获得最大值43 万元．5．正方形铁片的边长为π8cm，以它的一个极点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的4扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm3.答案 7π分析由题意知，弧长为π× 8＝ 2π，即围成圆锥形容器的底面周长为2π，因此圆锥底面半径为4r＝ 1，可得圆锥高h＝ 3 7，因此容积V＝13πr2× h＝13π×12× 37＝7π(cm3 )．6．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是______cm2.答案 60040－ x y分析设直角边为 40cm 和 60cm 上的矩形边长分别为 xcm、ycm，则40＝60，解得 y＝ 60－33322x.矩形的面积 S＝ xy＝ x 60－2x ＝－2(x－ 20)＋ 600，当 x＝20 时矩形的面积最大，此时 S＝600.7．某公司购置一批机器投入生产，据市场剖析每台机器生产的产品可获取的总利润y(单位：万元 ) 与机器运行时间x(单位：年 )的关系为y＝－ x2＋ 18x－ 25(x∈N* )，则当每台机器运行________年时，年均匀利润最大，最大值是________万元．答案 58y25y分析由题意知每台机器运行x 年的年均匀利润为x＝ 18－ x＋x，而 x＞0，故x≤ 18－ 2 25＝8，当且仅当 x＝5 时，年均匀利润最大，最大值为8 万元．8．一个人喝了少许酒后，血液中的酒精含量快速上涨到0.3mg/mL ，在停止饮酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，某地依据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超出0.09 mg/mL. 那么一个喝了少许酒后的驾驶员，起码经过 ________小时才能开车． (精准到1小时)答案 5分析设起码经过 x 小时才能开车，由题意得0.3(1－25%) x≤ 0.09，∴ 0.75x≤ 0.3， x≥ log0.75 0.3＝lg0.3≈ 4.2，lg0.75∴起码经过 5 个小时才能开车．9．商家往常依照“乐观系数准则”确立商品销售价钱，即依据商品的最低销售限价a，最高销售限价b( b>a)以及实数x(0<x<1)确立实质销售价钱c＝ a＋ x(b－a) ．这里， x 被称为乐观系数．经验表示，最正确乐观系数 x 恰巧使得 (c－ a)是 (b－ c)和 (b－ a)的等比中项．据此可得，最正确乐观系数 x 的值等于 ________．答案5－12c－ a2分析依题意得x＝，( c－a)＝(b－c)(b－a)，∵b－ c＝ (b－ a)－ (c－ a)，∴(c－ a)2＝ (b－ a)2－ (b－ a)(c－ a)，又 b－a≠ 0，两边同除以 (b－ a)2，得 x2＋ x－1＝ 0，－1± 5解得 x＝2.∵ 0<x<1，∴ x＝5－1 2.10．某公司生产的商品 A 每件售价为 5 元时，年销售10 万件．(1)据市场检查，若价钱每提升 1 元，销量相应减少 1 万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价钱最多提升多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术改革，将技术改革后生产的商品售价提升到每件x 元，公司拟投入1(x2＋ x)万元作为技改花费，投入x万元作为宣传费24用．试问：技术改革后生产的该商品销售量m 起码应达到多少万件时，才可能使技术改革后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解 (1) 设商品的销售价钱提升 a 元，则 (10－ a)(5＋ a)≥ 50，即 0≤a≤ 5，因此商品的价钱最多能够提升 5 元．(2)由题意知改革后的销售收入为mx 万元，若改革后的销售收入等于原销售收入与总投入总和，只要要知足12x1350≥ 2150343mx＝ (x＋x) ＋＋ 50(x＞ 5)，即 m＝x＋＋xx·＋＝，当且仅24242x44当 x＝10 时等号成立．43故销售量起码应达到 4万件时，才能使改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．11．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(以下图 ) ，该扇环面是由以点O 为圆心的两个齐心圆弧和延伸后经过点O 的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30 米，此中大圆弧所在圆的半径为 10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度 )．(1)求θ对于 x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边沿(实线部分 )进行装修时，直线部分的装修花费为 4 元 /米，弧线部分的装饰花费为 9 元 /米．设花坛的面积与装修总花费的比为y，求 y 对于 x 的函数关系式，并求出x 为什么值时， y 获得最大值？解 (1) 设扇环的圆心角为θ，则 30＝θ(10＋ x)＋ 2(10－x)，因此θ＝10＋ 2x(0＜ x＜10)．10＋ x1222(2)花坛的面积为2θ(10－ x ) ＝ (5＋ x)(10－ x)＝－ x＋ 5x＋ 50(0＜ x＜10)，装修总花费为 9θ(10＋ x) ＋ 8(10 － x) ＝ 170 ＋ 10x ，因此花坛的面积与装修总花费的比－ x 2＋ 5x ＋ 50y ＝＝－170＋ 10xx 2－ 5x － 50 39 1 324 3，令 t ＝ 17＋x ，则 y ＝ 10－10 t ＋ t ≤10，当且仅当 t ＝ 18 时取等号，此时 x ＝ 1，10 17＋x12 θ＝ 11.综上，当 x ＝ 1 时，花坛的面积与装修总花费的比最大．12．在扶贫活动中，为了赶快脱贫( 无债务 ) 致富，公司甲将经营状况优秀的某种花费品专卖店以 5.8 万元的优惠价钱转让给了另有5 万元无息贷款没有归还的小型公司乙，并商定从该店经营的利润中，第一保证公司乙的全体员工每个月最低生活费的开销 3600 元后，逐渐归还转让费 (不计息 )．在甲供给的资猜中： ①这种花费品的进价为每件14 元；②该店月销量 Q(百件 )与销售价钱 P(元 )的关系以下图；③每个月需各样开销2000 元．(1)当商品的价钱为每件多少元时，月利润扣除员工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)公司乙只依赖该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L ，则由题设得 L ＝Q(P － 14)× 100－ 3600－ 2000， ①－ 2P ＋ 50 14≤ P ≤ 20 ，由销量图易得 Q ＝3－2P ＋ 40 20<P ≤ 26 ，代入 ①式得－ 2P ＋ 50 P － 14 × 100－5600 14≤ P ≤ 20 ，L ＝3－ 2P ＋ 40 P － 14 × 100－ 5600 20<P ≤ 26－ 200P 2＋ 7800P － 75600 14≤ P ≤ 20 ，＝－ 150P 2＋ 6100P － 61600 20＜ P ≤26 .(1)当 14≤ P ≤ 20 时， L max ＝ 450 元，此时 P ＝ 19.5 元；当 20<P≤ 26 时， L max＝1250元，此时 P＝61元．33故当 P＝ 19.5 元时，月利润余额最大，为450 元．(2)设可在 n 年后脱贫，依题意有12n×450－ 50000－ 58000≥ 0，解得 n≥ 20，即最早可望在20 年后脱贫．。

2021版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题3 函数与导数第7练

第7练抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型．主要以填空题的形式考查，难度为中档偏上．二轮复习中，应当重点训练函数性质的综合应用力量，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他学问的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题力量．体验高考1．(2021·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 解析由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.2．(2021·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b 等于________．答案 12解析由题意，得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 当52－b ≥1，即b ≤32时，522b -＝4，解得b ＝12. 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．所以b ＝12.3．(2022·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,0]上单调递减，所以f (x )的最大值为f (－1)＝2.若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2.(2) f (x )的两个函数在无限制条件时的图象如图．由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－1.4．(2021·陕西改编)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))等于________．答案 12解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 5．(2022·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 答案－2解析由于f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)．而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )．所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＝124＝2，故f ⎝⎛⎭⎫－52＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2.高考必会题型题型一函数单调性、奇偶性的应用1．常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上单调递增．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上单调递减．2．若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性依据内函数和外函数同增异减的法则推断．3．定义域不关于原点对称的函数肯定是非奇非偶函数．4．奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数．例1 (1)假如函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________．答案 (1)[－14，0] (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a .由于f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综合上述得，－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是[32，2)．点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系亲密，争辩问题时可转化到只争辩部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其留意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．变式训练1 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得 [1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a ＞0，故0＜a ≤1.题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论：1.若对于定义域内的任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 2．若对于任意x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数，且它的周期为T .例2 (1)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－x ，则f (2 015)＋f (2 016)＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＝________. 答案 (1)1 (2)336解析 (1)由f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，知f (x )的周期为4， ∴f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝1， f (2 016)＝f (4)＝f (0)＝0. ∴f (2 015)＋f (2 016)＝1＋0＝1.(2)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的一个周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]×336＝336.点评利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．变式训练2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∀x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在[－2,2]上有5个零点；③点(2 014,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 014是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴．则正确命题的序号是________．答案 ①②③解析在f (x －1)＝f (x ＋1)中令x ＝0，得f (－1)＝f (1)，又f (－1)＝－f (1)，∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)，得f (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图．由图知②③也正确，④不正确．所以正确命题的序号为①②③. 题型三分段函数例3 (1)(2022·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． (2)(2022·青岛模拟)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．答案 (1)－25 (2)(－∞，－2]∪(－1，－34)解析 (1)由已知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)＞1，即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x ＜－1或x ＞32.f (x )的图象如图所示，由图象可知c 的范围是(－∞，－2]∪(－1，－34)．点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)在求分段函数f (x )的解析式时，肯定要首先推断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．变式训练3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．答案 (－1，2－1)解析画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0的图象如图．由图象可知，若f (1－x 2)＞f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，1－x 2＞2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－1－2＜x ＜－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．高考题型精练1．设函数f (x )为偶函数，对于任意的x ＞0，都有f (2＋x )＝－2f (2－x )，已知f (－1)＝4，那么f (－3)等于______．答案－8解析 ∵f (x )为偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝4，f (－3)＝f (3)，当x ＝1时，f (2＋1)＝－2·f (2－1)， ∴f (3)＝－2×4＝－8， ∴f (－3)＝－8.2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是________．答案 (－1,0)∪(0,1)解析由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析如图，画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4的图象，若使函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则a ＋1≤2或a ≥4，解得实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)． 4．(2021·课标全国Ⅱ改编)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，f ′(x )＝11＋x ＋2x(1＋x 2)2＞0，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1.5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.6．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，112211(log )(log )44c f =⋅，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 b >a >c解析由于函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称．所以函数y ＝xf (x )为奇函数．由于当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，所以函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．由于1<20.2<2,0<ln 2<1，121log 24＝，从而0<ln 2<20.2<121log 4，所以b >a >c .7．(2022·四川改编)某公司为激励创新，方案逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开头超过200万元的年份是________．(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30) 答案 2021解析设第x 年的研发资金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x ＝200， ∴1.12x ＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12＝(lg 2＋lg 10)－(lg 1.3＋lg 10)lg 1.12≈0.3＋1－0.11－10.05＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2021年超过200万元． 8．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质： ①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴； ②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)，f (2 016)，f (2 017)从大到小的挨次为____________________．答案 f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015) 解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4. 所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)，又直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴，所以f (2 016)＝f (0)＝f (2)．由当1≤x 1＜x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0，可知当1≤x 1＜x 2≤3时，函数单调递减，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，故f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0其中[x ]表示不超过x 的最大整数．若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)的图象与函数y＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，13解析依据[x ]表示的意义可知，当0≤x <1时，f (x )＝x ，当1≤x <2时，f (x )＝x －1，当2≤x <3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x <k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z 且k ＞0.当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图．直线y ＝k (x ＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎡⎭⎫14，13.10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．其中正确命题的序号为________．答案 ①②④解析 1＋2x ＋1－2x 2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，明显这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确．11．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]， ∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3) ＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016) ＝f (2 016)＝f (0)＝0.12．已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2＞0恒成立，所以g (x )＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，即x ＋ax －2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立，所以a ＞3x －x 2对x ∈[2，＋∞)恒成立．令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a ＞2.。

2021考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题(40份打包

2021考前三个月高考数学理科（江苏专用）总复习训练题（40份打包附加题高分练1．矩阵与变换1.（20222年常州年底）已知矩阵A=？21?x4，列向量x=？？，b＝如果AX=B，直接写入？32?? Y7.a－1，并求出x.212－1－1解由a＝?32?，得到a＝?－32?.2－141－1由ax＝b，得到x＝ab＝?－32??7?＝?2?.2x＋y＝4，21??x??4??也可由ax＝b得到32y＝7，即?3x＋2y＝7x＝1，如何解决？y＝2，一所以x＝?2?.2．(20212江苏淮阴中学调研)已知矩阵a＝?33?cd，若矩阵a属于特征值6的一个特征向十三量为α1＝?1?，属于特征值1的一个特征向量α2＝?－2?.求矩阵a，并写出a的逆矩阵．十三解由矩阵a属于特征值6的一个特征向量α1＝??可得，??1??c3.1.1.d??1?＝6?1?，即c＋d＝6；三万三千三百三十三由矩阵a属于特征值1的一个特征向量α2＝?－2?，可得?cd??－2?＝?－2?，即3c －2d＝c＝2，-2.解决方案？d＝4.?21－??3233??即a＝24，a的逆矩阵是?11?－32?1a223．(20212江苏建湖中学月考)曲线x＋4xy＋2y＝1在二阶矩阵m＝?b1?的作用下变换为曲线X－2Y=1（1）求实数a和B的值；（2）求M的逆矩阵解(1)设p(x，y)为曲线x－2y＝1上任意一点，p′(x′，y′)为曲线x＋4xy＋2y＝1 x＝x′＋ay′，1a？？x′？？十、上对应于P的点，然后=，即？?b1??y′??yy＝bx′＋y′，二2二2二2二2－12二2二2代入x-2y=1得到（x′+y′）-2（BX′+y′）=1得到（1-2b）x′+（2a-4b）x′y′+（A-2）y′=1，21－2b＝1？？22及方程x＋4xy＋2y＝1，从而?2a－4b＝4，A2-2=2，a=2，B=0（2），因为M=？12?01＝1.≠0，2那么M-1呢－2?1?1－211＝?＝?01?.01111?10?24.已知曲线C:y=x，矩阵M=？？在相应变换的作用下，得到曲线C1，C1在矩阵n中=2?0－2?11.0对应的变换作用下得到曲线c2，求曲线c2的方程．1.10?? 0－2＝??， 0 0－2?? 10?假设a=nm，那么a=？1设P（x'，y'）是曲线C上的任意点，在两个变换下，曲线C2上的对应点是P（x，y），x0－2??x′??－2y′?则??＝＝??，?y??10??y′??x′?X=-2Y'，即？y＝x′，?x′＝y？？∴?1y′＝-x。