平面几何与立体几何中的相似比
几何学中的平面几何与立体几何
几何学是数学中的一个重要分支，探讨了空间中的图形、形状和关系。
而几何学又可分为平面几何和立体几何两个大类。
本文将以“几何学中的平面几何与立体几何”为题，探讨这两个分支的基本概念和重要性。
首先，平面几何是几何学中的一个重要分支，研究平面内的图形和关系。
在平面几何中，我们研究的对象是二维图形，如点、线、角、三角形、四边形和圆等。
平面几何主要探讨这些图形的性质和相互之间的关系。
例如，在平面几何中，我们可以证明的定理有：相等对应边相等、对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等的长方形是正方形；等边三角形的内角均为60度等。
这些定理在我们的日常生活中有着广泛的应用，例如工程测量、建筑设计等。
与平面几何相对应的是立体几何。
立体几何是几何学中研究空间图形和关系的一个分支。
在立体几何中，我们研究的对象是三维图形，如立方体、圆柱体、圆锥和球等。
立体几何主要探讨这些图形的性质和相互之间的关系。
例如，在立体几何中，我们可以证明的定理有：正方体的对角线等于边长的根号2；球的体积等于4/3πr^3等。
这些定理在物理学中的体积计算、建筑设计中的结构强度等方面有着广泛的应用价值。
值得注意的是，平面几何和立体几何并不是完全独立的。
实际上，平面几何是立体几何的一个特例。
在立体几何中，我们可以进行平面截割，将立体图形转化为平面图形进行研究。
例如，我们可以通过斜视图来观察和计算正方体的表面积，将其转化为一个平面几何问题。
这样的转化在研究和解决立体几何问题时是非常有用的。
总结起来，几何学中的平面几何和立体几何是相互联系的。
平面几何主要研究平面内的图形和关系，立体几何则研究空间内的图形和关系。
两者都有着广泛的应用价值，不仅在数学领域中，也在日常生活、工程测量、建筑设计等方面中发挥着重要作用。
因此，掌握和理解平面几何和立体几何的基本概念和定理是我们在学习和应用几何学时必不可少的一部分。
苏教版教材阅读材料功能的探究——由课例《平面几何与立体几何的类比》引发的思考
的基本元素等方面是相同 或相似的， 因此， 在两者之间进 行类 比是研究ｆ 电 ｆ ｆ 生 质的一种非常有效的方法 （ ３ ） 类 比在科学研究中的作用 、 意义和重要性． 由于类 比推理 所 得 结论 的 真实 性并 不 可 靠 ， 因
此它 不 能作 为严 格 的数学 推理方 法． 尽 管如 此 ， 我们 丝毫 不能 由此忽 视 类 比 的作 用 ． 为什 么 呢 ？ 因为 它 是 提出新 问题 和获得 新发 现取 之不竭 的源 泉．
阅读 材料是 为 了拓 展 学 生 的知 识 ， 增 强 学 生 对 数学 知识探 究 的兴趣． 通过 该 阅读材 料 ， 可使 学生 体会类
平 面 图形 —
—
平面 图形或立 体 图形
（ ２ ） 类 比构造 命题 例 １ （ Ｉ ） 在 平 面几何 中 ， 若两 个角 的边 对应 平 行 或垂 直 ， 则 这两个角相等或互补． 那 么 推 广 到 空
《 数学之友＞
２ ０ １ ３年第 ２ Ｏ期
苏教版教材阅读材料功能的探究
由课 例 《 平 面几何 与 立体 几何 的类 比》 引发 的 思考
陶 晶
（ 南京市江宁高级中学 ， ２ １ １ １ ０ ０ ）
苏教版高中数学教材 的许多章节后都有阅读材 料， 这是 以往 教材 中所没 有 的 ， 这 些 阅读材 料 内容充
（ ３ ） 类 比拓展 结论
例 ２ 对勾股定理的拓展引申． 勾 股定理 ： 在 直角 边 长为 口 ， ｂ ， 斜 边 长 为 ｃ的直
角 三角 形 中 ， 有ｃ ＝ 口 ＋ ｂ ．
类 比 Ｉ： 长、 宽、 高分别为 口 ， ｂ ， ｃ ， 对角线长 为 Ｚ
・
２ ９・
从平面走向空间——类比思想在立体几何中的应用案例及思考
点 到两 腰 的距离 和 为定 值．
学 生 ： 腰 三 角 形 两 条边 相 等 ． 正 等 而
如 图１ 已知在 ＡＡ Ｃ（ 定 的 ） ， ， Ｂ 给 中
ＡＢ ＡＣＤ － ，是Ｂ 边上 任 意一 点 ．ＥＪＡ 于 Ｃ Ｄ ＿ Ｃ
教师 ： 好 ！刚才 我们 证 明 的是 一 个 很
它们都称为“ 单形 ”三 角 形 是 二 维 单 形 ， ，
三 棱锥 是 三 维单 形．
教 师 ：为 什 么平 面 中 的等 腰 三 角 形
＠ 案例片断
例 １ 证 明 等 腰 三 棱 锥 ， 合 理性 又 在 其
哪里？
图１
明是将问题转化成平面几何问题 ， 没有借 助于类比， 过程略 ）
教师 ： 么第 二个 问 题呢 ？ 那
有 边 界 元 素 （ 些边 界 元 素 全 相 等 ） 这 的距
离 和 为定 值． 教 师 ：我们 把 这 两 个 对 象 的 共性 理 解 得 非 常清楚 的时候 ， 比的结论 的可靠 类
闭 图形．三 棱锥 是 由４ 平 面 围成 的封 闭 个
合 ， 中包 括 了 “ 体 几 何 中 的 推 理 与 证 其 立
明” 题．下 面是 笔 者在 这 个 专 题 的第 一 专 节 课 一 类 比思 想 在 立 体 几 何 中 应 用 的 案例 片 断 以及教 后 的思 考．
体 ．在 空 间 中三 个 平 面不 能 围成 封 闭体 ．
又为Ａ｛ｃＧＰ Ｄ 棱锥 是 最 简单 的 多面 体． 因ｓ ４曰 ． Ｅ △ ・，Ｉ ＋ ｆ ） ． ２
Ｄ Ｇ为 定 值
要 形式 ．我 校 高 二 年 级 根 据 学 生 的 实 际
情 况 ．教学 时对 这 一 章 的 内容 进 行 了 整
高中数学中的立体几何与平面几何
高中数学中的立体几何与平面几何在高中数学学科中，立体几何和平面几何是非常重要的两个分支。
立体几何研究的是空间中的图形及其性质，而平面几何则研究的是二维平面上的图形及其性质。
这两个分支互相关联，为我们理解和应用几何学知识提供了基础。
本文将深入探讨高中数学中的立体几何与平面几何，介绍其基本概念、性质和应用。
一、立体几何的基本概念与性质立体几何是研究空间中的图形的学科，它包括对多面体、球体、圆柱体、圆锥体等的研究。
这些图形都具有一些特定的性质和运算规律，我们将重点介绍其中的一些。
1. 多面体的特征与分类多面体是由多个平面多边形构成的立体图形。
根据多面体的特征和性质，我们可以将其进行分类。
常见的多面体包括正多面体、柱面镶嵌和柔皮镶嵌等。
正多面体具有等边等角的特点，如正四面体、正六面体和正八面体等。
柱面镶嵌是由两个相似的多边形拼接而成的，如圆柱体和圆锥体。
柔皮镶嵌则是由多个三角形拼接而成的，如平面镶嵌和曲面镶嵌。
2. 球与圆柱体的性质与应用球是由一个平面围绕其上的一个轴旋转形成的立体图形，具有一些独特的性质。
比如，球的表面积和体积的计算公式，以及球内切与外切原理等。
圆柱体则由一个矩形沿其中的一条边曲面而成，也具有一些独特的性质。
圆柱体的体积计算公式、侧表面积与全表面积的计算方法等是我们学习的重点。
3. 空间几何体的投影和截面在研究立体几何时，我们可以通过不同方法来观察立体几何体的特征。
其中，投影和截面是两种常用的观察方法。
投影是指将一个物体沿一条或多条射线的方向，将其投射到一个平面上形成的图形。
截面则是指通过一个平面切割立体图形所形成的图形。
通过研究和应用投影和截面的原理，我们可以深入理解立体几何体的特征和性质。
二、平面几何的基本概念与性质平面几何是研究平面图形的学科，它包括对点、线、面、角等的研究。
平面几何是我们学习几何学的基础，也是其他数学学科的重要组成部分。
1. 直线、射线与线段直线是由无穷多个点沿同一方向延伸而成的，它是平面几何中最基本的图形。
初三数学教材立体几何体的相交与相切关系
初三数学教材立体几何体的相交与相切关系立体几何是初中数学中的重要内容之一，它研究的就是空间中的各种几何体。
在现实生活中，我们经常会遇到多个几何体相互交叠或者触碰的情况，这就需要我们了解立体几何体的相交与相切关系。
本文将介绍立体几何体的相交和相切关系，帮助初三学生更好地理解和应用这一知识。
一、平面与立体几何体的相交关系平面与立体几何体的相交关系是我们理解立体几何的基础。
平面可以与立体几何体相交于一条或多条线段，也可以相交于一点或多点。
下面我们分别来看一下平面与棱柱、棱锥和棱台的相交关系。
1. 平面与棱柱的相交关系：棱柱是由一条多边形的边和一条平行于该多边形的直线段组成的立体。
当平面与棱柱相交，它可以与棱柱的底面相交于一条或多条线段，也可以相交于棱柱的侧面。
如果平面与棱柱的底面相交于一条线段，并且和棱柱的侧面相交于一点或多点，那么这个交点就是棱柱的顶点。
2. 平面与棱锥的相交关系：棱锥是由一个多边形的边和一个位于该多边形上、与该多边形的五条边都不平行的直线段组成的立体。
平面与棱锥的相交关系可以分为两种情况：一种是与底面相交，另一种是与侧面相交。
如果平面与棱锥的底面相交于一条或多条线段，并且和棱锥的侧面相交于一点或多点，那么这个交点就是棱锥的顶点。
3. 平面与棱台的相交关系：棱台是由一个多边形的边和一个平行于该多边形的位于比该多边形高的平面上的多边形的边组成的立体。
当平面与棱台相交，如果它与棱台的下底面相交于一条或多条线段，并且和棱台的侧面相交于一点或多点，那么这个交点就是棱台的顶点。
通过上述介绍，我们了解了平面与棱柱、棱锥和棱台的相交关系。
在实际问题中，我们经常需要应用这些知识来解决与几何体相交的相关问题，比如计算面积、体积等。
二、立体几何体的相切关系除了相交关系，立体几何体还存在相切关系。
在数学中，相切是指两个几何体在某一点或某一曲线上有且仅有一点相同。
下面我们来介绍一下立体几何体的相切关系。
1. 球与球的相切关系：当两个球体之间存在相切关系时，它们相切于一个点。
平面几何与立体几何的类比探究
面积公 式 ：：竹ｒ 球的体积公式 ： ＝ ３ 。 中 ｒ ｓ ２； Ｖ ４ 霄一 其 表示半径 ， 而 ｒ 的指数 １２以及 系数 与维数之间存在着一种对应 。因为平面是 ， 二维的 ， 空间是三维的。而且这里 圆的面积对半径的导数正好是 圆的周长 ， 球的体积的导数也是球 的表面积。
４类比推 理论证 。 ． 另外有些探究拓展 的题型还可考虑类 比猜 想， 如求证 ： 四面体 内任一点 到四个 面的距离之和为定值。 正 第 一步 ， 比构造 一个辅助平 面几何 问题“ 类 求证 ： 正三角形 内任一点到三边距离之和为定值” ； 第二步 ，通过分割方法 ，利 用面积的关 系解决平 面几何 问
☆ 求 鸣 静 ☆数学大 世界
想 ， 由此寻求 问题 的解决途径 并 或结论。 正如波利亚所说 ：对平 “ 面几何和立体几何作类 比， 是提 出新 问题 和获得 新发现取 之不 竭 的源泉” 。下 面谈一谈 自己运用类 比思想对平 面几何与立体几
何进行探究 的教学过程 ： 提出问题 。 引导思考 ： 平面几何与立体几何的 关系 １由平面几何与立体几何的相似性引发的思考 ， ． 是否可 以类
面的距 离之和为定值 （ 一侧面上的高） 。 ⑤ 圆的 周长公 式 ： ＝ 叮ｒ； Ｃ ２ ｒ 球的表 面积公式 ：＝ 霄ｒ 圆 的 Ｓ４ ２ ；
直 线
？ 强
线段 长 面积
强积 。 牺殴｜
。
｜
２类比构造命题。①直线平行 的传递性 ： ． 平行于同一条直线 的两直线平行。在平面和空间 中都成立 。②等角定理 ： 如果一个
空间 ：
蠢 的。但是 ， 忽视这 种似真 的猜想更为愚蠢。让我们欣赏一段名 人名言 ：我珍惜类 比胜于任何 别的东西 ， “ 它是 我最 信赖的老师 ， 它能揭示 自然界的秘 密， 在几何中它应该是最不容忽视的。”
教案立体几何体的相似与全等
教案立体几何体的相似与全等教案：立体几何体的相似与全等一、引言立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是三维空间中的物体及其性质。
相似与全等是立体几何中常用的概念，本教案将介绍立体几何体的相似与全等的定义、判定条件以及相关的性质。
通过学习本教案，学生将能够更好地理解立体几何体的特性，为进一步学习相关内容打下坚实的基础。
二、相似与全等的定义1. 相似：当两个立体几何体形状相同，但尺寸不同，称它们为相似体。
相似的两个立体几何体具有相似的形状和相似的比例关系。
2. 全等：当两个立体几何体既形状相同又尺寸相同，称它们为全等体。
全等体的每个对应部分都完全一致。
三、判定相似和全等的条件1. 相似的判定条件：与平面几何中的相似性质类似，立体几何体相似的判定条件有以下几点：（1）对应角相等：两个立体几何体的对应角度相等。
（2）对应边成比例：两个立体几何体的对应边长度成比例。
（3）对应面成比例：两个立体几何体的对应面积成比例。
满足以上三个条件的立体几何体即可判定为相似体。
2. 全等的判定条件：（1）对应边长度相等：两个立体几何体的对应边长度完全相等。
（2）对应面积相等：两个立体几何体的对应面积完全相等。
（3）对应体积相等：两个立体几何体的对应体积完全相等。
如果两个立体几何体满足以上三个条件，则可以判定为全等体。
四、相似与全等的性质1. 相似体的性质：（1）相似三角形的边长比等于尺寸比。
（2）相似体的体积比等于尺寸比的立方。
（3）相似体的表面积比相等于尺寸比的平方。
2. 全等体的性质：（1）全等体的对应部分相等，可以一一对应。
（2）全等体的各个面之间的角度相等。
（3）全等体的体积相等。
五、案例分析案例1：判断以下两个长方体是否相似或全等。
长方体A：长为7cm、宽为4cm、高为3cm；长方体B：长为21cm、宽为12cm、高为9cm。
解析：观察A和B两个长方体的尺寸关系，可以发现，它们的对应长度成等比例关系（7:21=1:3, 4:12=1:3, 3:9=1:3），符合相似体的判定条件。
相似三角形的平面几何与立体几何
相似三角形的平面几何与立体几何相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在平面几何和立体几何中，相似三角形具有重要的应用和性质。
本文将从两个方面探讨相似三角形的平面几何和立体几何应用。
一、相似三角形的平面几何应用1. 比例关系：相似三角形的边长之比相等。
利用这一性质，我们可以通过已知条件求解未知边长。
例如，在两个相似三角形中，已知一个三角形的边长与另一个三角形的对应边长之比，可以根据比例关系求解未知边长。
2. 共线性：相似三角形的对应顶点所在的线段是共线的。
这一性质可以用于证明两条线段的平行性。
例如，如果两个三角形的对应边平行，则可以利用相似三角形的共线性证明两条线段的平行性。
3. 高度和面积的比：相似三角形的高度之比等于边长之比。
利用这一性质，我们可以根据已知条件推导出两个相似三角形的面积之比。
例如，如果两个三角形的边长比已知，可以通过高度和面积的比例关系求解出它们的面积比。
二、相似三角形的立体几何应用1. 体积比：相似三角形的体积比等于边长之比的立方。
这一性质可以用于计算两个相似立体的体积比。
例如，如果两个立体的边长比已知，可以通过体积比的关系求解出它们的体积比。
2. 表面积比：相似三角形的面积比等于边长之比的平方。
利用这一性质，我们可以计算两个相似立体的表面积比。
例如，如果两个立体的边长比已知，可以通过表面积比的关系求解出它们的表面积比。
3. 几何体的放缩：通过相似三角形的放缩，我们可以构造出具有相似形状但大小不同的几何体。
例如，通过放缩一个相似三角形，可以得到一个相似但尺寸不同的三角形。
综上所述，相似三角形在平面几何和立体几何中具有重要的应用和性质。
通过比例关系、共线性、高度和面积的比、体积比和表面积比等，我们可以解决各类与相似三角形相关的问题。
同时，相似三角形的放缩也可以用于构造具有相似形状但大小不同的几何体。
相似三角形的平面几何和立体几何应用为我们理解和应用几何学提供了有力的工具。
例析三维几何与二维几何性质的相似性
例析三维几何与二维几何性质的相似性陈 序 钿在学习立体（三维）几何时，我们都会发现立体几何的定理和平面（二维）几何中的定理有着明显的相似性。
例如，在立体几何里，过平面外一点，有且仅有一平面跟它平行。
而在平面几何里有相似的定理：过直线外一点，有且仅有一直线跟它平行。
虽然立体几何的定理性质比平面几何相应的定理性质复杂得多，但它们许多都基于相应的平面定理性质。
这就启发我们，能从一些二维几何的定理性质推出在三维几何中相似的命题，在许多场合可以把三维几何的定理性质看成是二维几何定理性质的拓广。
在解决三维几何问题时，可以转化到我们比较熟悉的二维（甚至一维）几何来寻找解决问题的方法。
一在研究三维几何和二维几何性质的相似性时，我们可以把三维几何的一些几何体看成是二维几何一些几何体的推广。
比如，空间中的四面体与平面中三角形相对应；空间中的平行六面体与平面中平行四边形相对应；空间中的球与平面中圆相对应；这些几何体性质有许多相似的地方。
下面通过这三组几何体来研究三维几何和二维几何性质的相似性，由二维几何的性质推出三维空间的一些相应的性质。
[一] 在二维几何中，我们知道三角形有这样的性质：三角形的任意两边之和大于第三边。
那么，在三维几何中其对应的几何体——四面体是否有类似的性质呢？我们来考虑一下四面体S-ABC 。
首先定义：从一点S 顺次引出不共面的若干条射线SA 、SB 、SC 、…、SK 、SL ，以及相邻两条射线所成角如LSA KSL BSC ASB ∠∠⋯∠∠、、、、的内部所成的图形叫做多面角，记作S-ABC …KL 。
相邻两射线组成的角LSA KSL BSC ASB ∠∠⋯∠∠、、、、叫做多面角的面角。
（图1）那么，对于四面体S-ABC ，在三面角S-ABC 中，假设ASC ∠是三个面角中最大的一个，我们有这样的性质：ASC BSC ASB ∠>∠+∠。
下面我们来证明这个性质。
图1 图2如图2，在ASC ∠的内部作射线SD ，使ASB ASD ∠=∠，并取SD=SB ，再过D 作直线与ASC ∠两边交于A 、C ，则SAD ∆ ≌SAB ∆，AD=AB 。
高中数学中的立体几何与平面几何应用
高中数学中的立体几何与平面几何应用数学是一门具有广泛应用领域的学科，其在解决实际问题中的作用不可忽视。
在高中数学学习中，立体几何和平面几何是两个重要的分支，它们在现实生活中有着丰富的应用。
本文将从实际问题出发，探讨高中数学中立体几何与平面几何的应用。
一、立体几何的应用立体几何研究的是三维空间中的图形和物体，旨在通过几何方法解决与空间有关的问题。
立体几何在日常生活中的应用非常广泛，以下将从建筑、制造业和工程领域三个方面进行探讨。
建筑领域是立体几何应用的一个重要领域。
建筑设计师通常需要考虑房屋的布局、墙壁的角度、屋顶的形状等。
例如，当设计一个建筑物的屋顶时，设计师需要根据空间要求和美学需求确定屋顶的形状。
在这个过程中，立体几何的知识可以帮助设计师计算不同形状屋顶的面积、体积和角度，以确保设计的合理性和可行性。
制造业也是立体几何应用的一个典型领域。
在制造业中，产品的设计和加工过程需要依赖立体几何知识。
例如，汽车设计师需要计算汽车的体积、曲率和表面积，以便确定汽车的整体形状和空间布局。
另外，制造业中的3D打印技术也需要依赖立体几何的原理进行模型建模和打印。
工程领域也是立体几何应用的重要领域之一。
一些工程问题，如建筑工程中的土方计算、水利工程中的水流计算，以及交通规划中的道路设计等，都需要立体几何的知识。
例如，在道路设计中，交通规划师需要根据道路的曲线半径和坡度计算出最佳设计方案，以确保道路的安全性和通行效率。
二、平面几何的应用平面几何是研究平面上图形和物体的一种几何学方法。
它也在实际生活中发挥着重要的作用，尤其是在测量、设计和建模等领域。
在测量领域，平面几何是非常重要的。
例如，在地理测量中，人们需要通过测量距离和角度来确定地球上任意两点之间的距离。
这个过程需要运用平面几何的知识，包括三角函数等。
另外，在工程测量中，测量员经常需要使用平面几何的原理，测量建筑物的高度、长度和角度等。
在设计领域，平面几何也发挥着重要的作用。
平面与立体几何关系
平面与立体几何关系几何学是一门研究图形、形状、大小和相对位置的学科，包括平面几何和立体几何两个方面。
平面几何研究二维图形，而立体几何则研究三维物体。
本文将探讨平面与立体几何之间的关系。
一、平面与立体几何的基本概念1. 平面几何平面几何是研究平面内图形的性质和关系的学科。
它着眼于二维空间中的图形，如点、线、角、多边形等，并通过几何公理和定理来推导出各种性质和结论。
在平面几何中，平面是一个不具备厚度的无限大的表面。
2. 立体几何立体几何是研究三维空间中物体的性质和关系的学科。
它研究的对象是具有长度、宽度和高度的物体，如立方体、球体、圆锥体等。
在立体几何中，物体被认为是由一系列的平面组成的。
二、平面与立体几何的关系平面与立体几何密切相关，它们之间存在着多种关系。
1. 投影关系在平面几何中，当一个立体物体在平面上投影时，我们可以得到一个平面图形，这个图形反映了立体物体在平面上的投影关系。
例如，一个立方体在平面上投影就是一个正方形。
通过投影关系，我们可以研究立体物体的形状和特性。
2. 切割关系平面与立体几何之间还存在着切割关系。
当一个平面与一个立体物体相交时，会形成一个截面，这个截面是一个平面图形。
通过研究这个截面，我们可以得到有关立体物体的一些性质和关系。
3. 相似关系平面与立体几何之间还存在着相似关系。
当一个平面通过一个立体物体时，它们之间的形状和比例可能保持不变。
例如，一个平面通过一个球体，截得的截面仍然是一个圆。
这种相似关系使我们能够推导出立体几何的一些性质。
4. 平行关系平面与立体几何中的平行关系是另一个重要的关系。
当两个平面平行时，它们永远不会相交。
通过平行关系，我们可以研究和解决许多与平面和立体相关的问题，如平行线、平行四边形等。
三、应用案例平面与立体几何的关系在很多领域都有广泛的应用。
以下是几个应用案例：1. 建筑设计在建筑设计中，平面与立体几何的关系被广泛运用。
建筑师可以通过平面图纸来展示建筑的布局和结构，然后将其转化为立体建筑物。
高中数学的归纳平面几何与立体几何的基本概念总结
高中数学的归纳平面几何与立体几何的基本概念总结在高中数学中，归纳是一种重要的思维方式，它被广泛应用于平面几何和立体几何的学习中。
通过归纳，我们可以总结出许多基本概念和规律，从而更好地理解和应用几何知识。
本文将对高中数学中平面几何和立体几何的基本概念进行总结，并介绍它们的应用。
一、平面几何的基本概念1.1 点、线、面在平面几何中，点是最基本的概念，它没有大小和方向，只有位置。
线是由无数个点连接而成的，它是一维的，有长度但没有宽度。
面是由无数个线连接而成的，它是二维的，有面积。
在平面几何中，我们通过点、线和面建立起了一套完整的坐标系统。
1.2 角度角度是平面几何中的重要概念，它是由两条射线共同确定的。
常见的角度有直角（90度）、钝角（大于90度）和锐角（小于90度）。
角度的大小可以通过角度的度数来衡量，也可以通过弧度来表示。
在平面几何中，角度有着丰富的性质和应用，例如与圆相关的弧度、扇形等。
1.3 图形的性质在平面几何中，各种图形都有自己的性质和特点。
例如，三角形的内角和为180度，圆的周长和面积的计算公式等等。
这些性质是通过归纳和推理得出的，在解题中起到了重要的作用。
掌握图形的性质可以帮助我们更好地理解和运用平面几何的知识。
二、立体几何的基本概念2.1 空间和立体图形立体几何是研究三维空间中的图形和物体的学科。
与平面几何相比，立体几何更加复杂，需要我们在三维空间中进行观察和推理。
在立体几何中，我们常常遇到的图形有立方体、球体、棱柱、棱锥等，它们具有不同的性质和特点。
2.2 空间的投影在立体几何中，由于我们无法直接观察到三维空间中的图形，因此需要进行空间的投影，将三维的图形投影到二维平面上。
常见的投影方式有平行投影和中心投影。
通过投影，我们可以更好地理解和分析立体几何中的问题。
2.3 空间的计算在立体几何中，我们需要计算图形的体积、表面积等指标。
对于常见的图形，有一些计算公式可以帮助我们进行计算，例如长方体的体积公式、球体的表面积公式等。
高中数学中常用的类比推理
高中数学中常用的类比推理《新课程标准数学科高考考试大纲》在选修1-2中，明确要求“能利用归纳和类比等进行简单的推理”。
类比是一种思维形式，是根据两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在另一属性上相同或相似的一种推理方法。
类比是人们对客观事物思维的能动反映，它为科学假设和猜想提供思维模式，因此，类比成为人们发现真理的动力。
物理学家开普勒说过：“我珍爱类比胜于一切，它是我可信赖的主人，它了解自然的所有秘密……”类比推理的形式如下：对象A具有属性a，b，c，d；对象B具有属性a，b，c；所以对象B具有属性d.这里的A，B可以是不同领域的两种事物，只要有某种类似。
由此可知，类比是逻辑推理方法中最富于创造性的一种方法，因为类比法不必像归纳法那样局限于同类事物，更不像演绎法那样受到一般原理的制约。
下面就高中数学类比推理的几种类型举例说明。
一、函数与方程型例1.（2001年上海高考题）已知两个圆x2+y2=1①与x2+（y-3）2=1②，则由①减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即得一个更一般的命题，而已知命题是所推广命题的一个特例，推广的命题为。
解：由对称性知，两圆半径相等，而圆心位置不同时才有对称轴方程，所以可填：已知两圆（x-a）2+（y-b）2=R2和（x-c）2+（y-d）2=R2（a≠c或b≠d），则此两方程相减可得这两个圆的对称轴方程。
二、等差数列与等比数列型请看下表：■等差数列和等比数列的内容有明显的类似性，它们的对应命题之间存在着有趣的对应规律：等差数列各公式中的加、减、乘、除，正好分别对应着等比数列中的乘、除、乘方、开方。
例 2.（选修1-2）在等差数列{an}中，若a10=0，则有：a1+a2+…+an=a1+a2+…a19-n（n解：在等差数列{an}中，由a10=0得，a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0所以，a1+a2+…+a19=19a10=0即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1又a1=-a19，a2=-a18，…，a19-n=-an+1a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n相应地，在等比数列{bn}中，由b9=1得，b1・b17=b2・b16=…=bn・b18-n=bn+1・b17-n=b29=1所以，b1・b2…b17=b917=1类比等差数列有b1・b2…bn=■・b16…bn+1=■・■…■=b1・b2…b17-n例3.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}：bn=（a1+a2+…+a2n+1）/（2n+1）也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{an}是等比数列，则数列{bn}：bn= 也是等比数列。
2.1.1(第2课时) 类比推理
理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推
理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．①③⑤
答案 D
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
2．下面几种推理是类比推理的是( ) A．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，可以推测一切金 属都能导电 B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团 员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员 D．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和 是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
思考题1 已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a， bn－am
an＝b(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n＝ n－m .现已知等比数列 {bn}(bn>0，n∈N*)，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，类比 上述结论，求bm＋n.
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【解析】 在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋ a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0.
所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0， 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1. 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1， ∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n.
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2.1.1 合 情 推 理 第二课时 类 比 推 理
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平面几何与立体几何它们之间的联系和区别
平面几何与立体几何它们之间的联系和区别平面几何与立体几何：联系与区别引言：几何学作为数学的重要分支，研究的是空间中的形状和大小关系。
在几何学中，平面几何和立体几何是两个基本的概念。
本文将探讨平面几何与立体几何之间的联系和区别，并展示它们在解决实际问题中的应用。
一、平面几何1.1 平面几何的定义平面几何研究平面内的图形和性质。
所谓平面，是指无限延伸且不弯曲的二维空间。
在平面几何中，图形有点、线和面的概念，通过几何定律和公理研究它们之间的关系。
1.2 平面几何的基本元素与性质- 点：平面中的最基本的单位，没有长度、宽度和厚度。
- 线：由无数个点相连而成，仅有长度没有宽度。
- 面：由线相互连接而成，具有长度和宽度。
平面几何中的性质有平行性、垂直性、对称性等。
二、立体几何2.1 立体几何的定义立体几何研究空间内的立体图形和性质。
所谓立体，是指有长度、宽度和高度的三维空间。
在立体几何中，图形一般由面、边和顶点构成，通过几何定律和公理研究它们之间的关系。
2.2 立体几何的基本元素与性质- 面：立体的外部由面所构成，有长度和宽度。
- 边：面的相交边界线段，连接两个相邻面。
- 顶点：三个或三个以上的面相交的点。
立体几何中的性质有体积、表面积、角度等。
三、平面几何与立体几何的联系3.1 共同研究对象平面几何和立体几何都是研究几何学的基本分支，它们都研究空间中的图形和性质，只是分别在二维和三维空间进行。
3.2 共同的基本元素平面几何和立体几何都有共同的基本元素，如点、线、面。
这些基本元素在两个几何分支中都起着重要的作用，通过它们之间的关系来推导和证明几何定律和公理。
3.3 共享一些几何定律在某些情况下，平面几何和立体几何之间的定律是相通的，如平行性、垂直性、相似性等。
一些几何定律不仅适用于平面图形，也同样适用于立体图形。
四、平面几何与立体几何的区别4.1 维度不同平面几何是在二维空间中进行研究，图形只有长度和宽度两个维度。
小学数学中的平面几何与立体几何关系
小学数学中的平面几何与立体几何关系数学是一门普遍存在于我们生活中的学科，它不仅是我们认识世界的一把钥匙，也是我们解决问题的一个重要工具。
在小学的数学教学中，平面几何和立体几何是两个重要的分支，它们之间存在着密切的联系和互相补充的关系。
平面几何关注的是地理形状、尺寸和位置，通过研究平面图形的性质和相互关系，帮助我们理解和应用几何学的基本规律。
立体几何则进一步研究空间中的物体，例如三维图形、体积和表面积等。
平面几何和立体几何不仅可以独立地教授，还可以相互结合，为小学生提供一个更全面的数学学习体验。
首先，平面几何与立体几何之间存在着紧密的联系。
在平面几何中，我们学习了许多基本的图形，如点、线、角、三角形和多边形等。
这些图形都是立体几何中更复杂的立体图形的基本构成要素。
例如，一个三角形是由三条线段和三个角组成的，而一个立体图形则由许多个平面图形组成，例如四面体和立方体等。
通过学习平面几何，我们可以更好地理解立体几何中的形状和结构。
其次，平面几何和立体几何可以相互补充。
在平面几何中，我们学习了很多计算周长、面积和体积的方法。
这些方法可以直接应用到立体几何中，帮助我们计算立体图形的体积和表面积。
例如，在计算一个长方体的体积时，我们可以将其看作是一个由六个矩形构成的立方体，并通过计算矩形的面积和高度来得到最终的结果。
因此，平面几何和立体几何相辅相成，帮助我们更全面地理解和应用几何学。
另外，平面几何和立体几何都是培养学生逻辑思维和空间想象力的重要工具。
在学习平面几何和立体几何的过程中，学生需要观察、分析和推理。
他们需要运用逻辑思维来解决问题，并将平面图形或立体图形与实际生活中的物体进行联系。
通过练习，学生的空间想象力和几何直观能力可以得到有效的提升。
这对于他们在数学及其他学科中的学习都具有积极的影响。
在小学数学教学中，平面几何与立体几何的关系至关重要。
它们不仅帮助学生理解几何学的基本概念和定理，还培养了他们的逻辑思维和空间想象力。
类比的方法解题
类比的方法解题本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March如何用类比的方法解题一、类比意义与含义演绎推理——一般到特殊推理归纳推理——特殊到一般推理类比推理——特殊到特殊推理所谓类比是根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象。
类比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由下列框图表示：类比是一种数学思想方法，将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。
数学家乔治·皮利亚相关名言：——“类比是一个伟大的引路人”.—— “在你找到第一个蘑菇时,千万不要停下来,往前再走,继续观察,就会发现立体几何与平面几何的类比—— “对平面几何和立体几何作类比，是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉”。
——“如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的。
但是，忽视这种似真的猜想更为愚蠢。
”名人名言（Kepler ）：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的 。
”二、平面几何与立体几何类比1、如何进行类比为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：（但要注意的是这些类比关系又不是唯一的）2、类比构造命题（1）平面上定理——直线平行的传递性：平行于同一条直线的两直线平行。
在空间中成立。
（2）平面上定理——等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。
在空间中成立。
（3）平面图形的研究需要建立平面直角坐标系；立体图形是建立在三维空间即空间直角坐标系上研究的。
（4）平面上有公共端点的两条射线形成的图形叫平面角；空间里一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。
而二面角的度数计算需转化为平面角来完成。
（5）平面上定理——平面中，不在同一条直线上的三点可确定一个圆，这是圆的确定性定理；在空间中，不在同一个平面上的四点可确定一个球，这是球的确定性定理。
高考数学中的立体几何与平面几何的异同
高考数学中的立体几何与平面几何的异同高考数学中，几何是一个不可避免的考点。
而几何又可以分为立体几何和平面几何两部分。
虽然这两部分内容有交叉，但是它们各具特色，有着非常明显的异同。
本文将从三个方面来分析高考数学中立体几何与平面几何的异同：内容难度、知识体系、应用场景。
一、内容难度高考数学中，立体几何相较于平面几何更为困难。
立体几何内容繁杂，理论知识相对于平面几何更为深奥，需要学生掌握三维图形的基本概念，如视角、正二十面体、正六面体等等。
另外，立体几何所涉及的运算和理论也更加复杂。
比如，立体图形的表面积和体积计算、旋转体的概念和分析等都是难点。
而相对于立体几何，平面几何相对简单一些。
平面几何理论基础浅显，知识点相对温和。
在高考数学中，平面几何是切实可行的，但也需要学生细心求证，考究出题者的考点设置。
二、知识体系立体几何、平面几何都是几何学的重要分支，可以说分别在一定程度上体现出几何知识的立体性和平面性。
立体几何主要是研究三维立体图形之间的关系，涉及到的知识点包括三视图、投影、截面、相似，是对数学中立体的完整描述。
而平面几何则主要涉及到平面内的图形，是对数学中平面的完整描述。
这两部分内容它们之间的关系密切，都涉及到许多相似和共性。
比如，平面内的角度运算便是立体几何中求两平面夹角的基础。
三、应用场景在日常生活中，平面几何及其运用较多。
比如地图上的尺度投影、画画设计、多媒体展示等都需要依赖于平面几何及其知识体系。
而立体几何在机械制图、建筑结构设计、工程求解等领域则占有重要的地位。
它的应用场景广泛，具备非常实际的意义。
结尾高考数学中立体几何与平面几何的异同，对于同学们来说是一道全新的未探明的课题。
本文从难度、知识体系和应用三方面来归纳总结其差异。
我们希望借此方式，能够提高同学们对几何这一重要学科的认知度和掌握度。
了解小学数学中的平面几何与立体几何
了解小学数学中的平面几何与立体几何在小学数学教学中，平面几何与立体几何是重要的内容，对培养学生的几何思维和空间想象能力有着重要的作用。
本文将介绍小学数学中的平面几何与立体几何的基本概念及应用。
一、平面几何平面几何是研究平面上图形的形状、大小、位置关系以及相关性质的数学分支。
了解平面几何能够帮助学生理解直线、折线、多边形等基本图形的特征和性质。
1.直线和射线直线是没有弯曲的、无限延伸的图形，可以用两个端点确定。
射线是有一个端点和一个延伸方向的无限延伸的图形。
2.线段和角线段是直线上两个不同的点之间的部分，具有长度。
角是由两条射线共享一个端点所组成的图形。
3.折线和多边形折线是由多个线段按一定的顺序依次拼接而成的图形。
而多边形是由折线的起点和终点相连形成的封闭图形。
4.平行线和垂直线平行线是永远不会相交的直线，而垂直线则是与另一条直线相交时，交点与该直线上的点成直角。
5.三角形和四边形三角形是由三条线段组成的多边形，有三个内角和三条边。
四边形是由四条线段组成的多边形，有四个内角和四条边。
二、立体几何立体几何是研究空间中图形的形状、大小、位置关系及相关性质的数学分支。
了解立体几何能够帮助学生理解正方体、长方体、球体等基本立体图形的特征和性质。
1.正方体和长方体正方体是由6个相等的正方形面所组成的立体图形，每个面都是正方形，并且相邻的面是共享一个边的。
长方体是由6个矩形面所组成的立体图形，矩形的对边相等且平行。
2.棱、面和顶点棱是立体图形的边界上的直线段，面是立体图形的边界，顶点是立体图形的角的共同端点。
3.球体和圆柱体球体是由无数个相等半径的点所组成的立体图形，任意两点之间的距离都是该半径。
圆柱体是由两个平行的圆面和若干个侧面所组成的立体图形。
4.体积和表面积体积是指立体图形所包含的三维空间的大小，常用单位为立方厘米（cm³）或者立方米（m³）。
表面积是指立体图形各个面的总和。
三、应用实例1.校园寻宝在校园里安排一次寻宝活动，学生们根据所学的平面几何知识，设计出具有一定形状的寻宝图，让其他同学通过解题找到宝藏的位置。
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平面几何与立体几何中的相似比高二何洁小组组长：何洁组员：沈剑、金玉香、徐蔚蓝 指导老师：杨岳明1、课题的决定当我们步入几何学的殿堂，相似比一直是一种重要的解题方略，在高中阶段，我们又学习了立体几何。
在学习中，我们发现相似比的应用在平面几合和立体几何中有一定的关系。
于是，我们对此进行了探讨。
2、小组的计划由小组组成立以来，我们组的学员都非常的认真，细致。
决心创造一篇成功的研究论文。
以下是我们的分工： 1）何洁担任打字工作 2）沈剑担任课题的编排工作 3）金玉香担任课题的寻找 4）徐蔚蓝担任课题的解释，提要。
第一周：完成选择课题。
第二周：初步确定课题。
第五周：编排。
第七周：出稿。
研究内容：[例1]、如图，已知：DE//BC, AD=15,AB=40,AC=28求：AE分析：看到这一个题目,我们就想到了三角形中平行线成比例的问题. 此外我们还可以引申到相似三角形的相似比。
解：∵ DE//BC ∴CEAEBD AD ∵DB=AB AD,AB=40,AD=15，∴DB=25；又 ∵ CE=AC 一AE ，AC=28∴CE=28一CE ，∴AEAE -=282515； ∴AE=10.5。
解题要点：解决这一类题目的要领,最主要的还是掌握被平行线拦断的关系,不要把不同的线段混杂。
[例2]、如图，已知DE//BC,AF 是BC 边上的高,求证：S △ADE ：S △ABC =AE 2：AC 2 分析：解决这一类问题,我们首先会想到S=21ah 这个公式,运用上题中的平行线关系,掌握线段的比例。
证明：∵DE//BC ∴ACAEBC DE = ∵AF 是BC 边上的高,DE//BC ， ∴AH 是DE 边上高 ∵△ADE ∽△ABC ∴ACAEAF AH = 又∵ABCADES S ∆∆=AF BC AH DE ∙∙2121∴ABC ADE S S ∆∆=22AC AE 解题要点：证明三角形面积比等于边长比的平方把握ACAEBC DE AF AH == ,再代入公式便易得结果。
初识几何学我们就学了平面几何中的相似比如例1中的“线段成比例”和例2中的“面积成比例”等应用，到了高中我们从平面跳到了空间，虽然变了很多，但万变不离其中。
[例3]、已知直线l//平面α，点B, C, D ∈l, 且 A ∉α, 直线AB, AC, AD, 分别交平面α于点E,F,G 。
若BD=a, AC=b, CF=c, 求：EG 长分析：随着我们对接受信息能力的不断加强,为此,我们已不再仅限于平面,在空间上解决问题也是一门技术.。
解：∵直线l//平面α，点B, C, D ∈l, A ∉α∴l ⊂平面ABCD 。
平面ABCD ∩α直线=直线EFG ∴直线BCD//直线EFG , △AEG ∽△ABD(Ⅰ) 当平面α在点A 和直线l 之间（如图所示） B C D l即AC>CF 时 ∵AC AF BD EF = ∴AC BDAF EG ⋅= E F G ∵BD=a, AC=b, AF=b 一cα ∴EG=bc b a )(-A(Ⅱ) 当直线l 在点A 和平面α之间（如图）即AC<AF ∵ACAFBD EG = ∴EG=bc b a AC AF BD )(+=∙(Ⅲ) 当点A 在直线l 和平面α之间（如图）即CF>AF 时∵BD EG =ACAF∴EG=AC AF BD ∙=()bb c a -解题要点：例3的解法运用了分类讨论,把图形位置的不确定的问题化归为确定的问题,粗看,似乎无法着手解答,为此,分成”a 在点A 和L 之间””L 在点A 和a 之间””点A 在L 和a 之间”三类,再逐类求解.并运用上相似比的性质.问题既迎刃而解。
[例4]、已知：棱锥P 一ABCDE 中，平面α//平面AC, 且截得多边形A 1B 1C 1D 1E 1，PH ⊥平面AC ，PH ∩平面AC=H ，PH ∩平面α=H 1，（如图所示）求证： ABCDEE D C B A S S 11111=221PH PH =221PA PA分析：随着我们对接受信息能力的不断加强,为此,我们已不再仅限于平面,在空间上解决问题也是一门技术证明：∵截面α//平面AC ∴A 1B 1//AB ， B 1C 1//BC ， E 1A 1//EA∴∠A 1B 1C 1=∠ABC ，∠B 1C 1D 1=∠BCD ， ∠E 1A 1B 1=∠EAB ∴△P 1A 1B 1∽△PAB ∴PH PH 1=PA PA 1=ABB A 11 PH PH 1=BC C B 11∴BC C B 11=AB B A 11=EA A E 11 ∴截面A 1B 1C 1D 1E 1F 1∽底面ABCDEF B∴ABCDEE D C B A S S 11111=221PH PH =221PA PA =2211AB B A解题要点：相似比不仅在平面几何中能运用自如,在空间上也能随机应变,那么在立体几何分析中是否也能适用呢?那就让我们来探讨一下。
[例5]、斜平行六面体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中E 、F 、G 分别为相邻三棱B 1A 1、B 1B 、B 1C 1、中点，求三棱锥B 1一EFG 和斜平行六面体的体积比。
分析：本题要求三棱锥与六面体的体积比,而求体积比一般就运用高的比,此题中高之比很容易求.再运用体积公式,此题便迎刃而解。
解：设F 到上底面距离为h 1，B 到上底面距离为h 2 A 1 D 1∵ABCD 一A 1B 1C 1D 1是平行六面体，F 是BB 1∴2121=h h ∵11111111cos cos 2111111B A B C B B E B G B S S D C B A EGB ∠⨯⨯∠⨯⨯⨯=∆=81∵V B1一EFG =31S △EGB1×h 1V ABCD 一A1B1C1D1=S A1B1C1D1×h 2∴48128311111111=⨯⨯⨯⨯=--D C B A ABCD EFG B V V 。
解题要点：本题主要在于体积比与线段比。
[例6]、如图，在三棱台ABC 一A 1B 1C 1中，A 1A ⊥底面ABC ，A 1A=A 1B=B 1C 1=a ，B 1B ⊥BC ，且B 1B 与底面ABC 成45︒角，求此棱台的体积。
分析：提起体积比很容易会想到棱锥和棱台,其中暗含着无穷奥秘.特别是棱台中的内容,特容易混浊。
解：将三棱台还原成三棱锥P 一ABC 过B 1作B 1D ⊥AB 交AB 于D ，则B 1D//A 1A∵BD 1⊥平面ABC P ∴∠B 1BD = 45︒是B 1B 与底面所成的角 C 1∴∠PBA = 45︒ B 1 A 1 ∴∠PB 1A 1 = 45︒ C ∴PA 1 = A 1B 1 = B 1C 1=a又∵∠PB 1C 1 = ∠B 1BC = 90︒ B D A ∴A 1B 1⊥B 1C 1 ∴V P 一A1B1C1 =31PA 1 S △A1B1C1=31a ×21×a ×a=61a 3 ∵18111=--C B A P ABC P V V∵V P 一ABC = 8 ×V P 一A1B1C1 = 8×61a 3 =34 a 3 ∴V 台 = V P 一ABC 一V P 一A1B1C1 = 35a 3一61a 3 =67a 3解题要点：从例6中可以看出,棱台中的定理与棱锥相仿,要学会棱台必得从棱锥学起。
从以上的例题中，我们不难发现“线段成比例”在立体几何中，我们也能运用自如。
例4中所求的面积比是利用“面积比等于相似比的平方”把比较难解决的问题简化了。
在例5例6中，求体积、相似比无疑也是一个得力助手。
参考资料：《高中数学能力训练与提高》 上海教育出版社 《数学》高中二年级第一学期 华东师大出版社 《中学数理化公式定理大全》 广西师范大学出版社研究体会：经历了一个学期的讨论，研究。
我们的研究性课程已经初步的完成。
当我们的研究成果已经要完成的时，我们决定对于我们的研究成果进行进一步的小结。
我们所选择的是题目的是在平面几何与立体几何中的相似比的关系，在进行研究论文的过程中，我们小组的同学都发扬了不屈不挠的精神，尤其当我们遇到问题时，更是体现了我们小组的同学团结的精神。
————何洁在分配任务的时候，同学们都表现出非常积极的样子。
所以，总体来说，我们小组的配合是非常成功的，各位同学都表现得非常良好。
在数学解题方面中，运用相似比是非常重要得。
不管在立体几何或平面几何中，相似比总是解题基础。
此外，作为数学的解题方法还有许多种，比如说建立数学模型运用参量等，都是我们的解题重要思路。
————沈剑经过一学期的学习和研究，我们得到了很多，我们提起相似比很容易想起体积比，那么立体几何中的棱锥和棱柱都可以用相似比解决。
总而言之，这次数学研究型课程让我收益非浅，它使我认识数学也是一门高深的艺术，通过这次活动，使我们掌握了一些新的解题思路。
————金玉香在这次研究探讨中，我们不仅学到了更多的知识，而且也拓宽了我们的思路，首先，我们现分配了一下工作，我们先从最简单开始，从初中的平面几何拓展到了高中的立体几何。
对它的定义进行了分析。
在这次活动中，我们发扬了不怕苦不怕累的精神，刚开始我们都不太擅长于这种类型的探讨，但是后来我们渐渐的融入了这种研究中。
————徐蔚蓝数学是一门高深的学科，在这数学的海洋中，我们要抓住它的要点，理解它的基本的解题思路，在这本研究课题中，我们着重研究了有关相似比的问题。
此外，还有许多问题，如通过平行线的平移建立数学模型的方法等等，我们还需要进一步的讨论，如果在课题中有不足的地方，还请读者指出。
2003．5．7。