第五章 图(五)

0 0
0 0 0 2 2 V3V6
0 0
0 0 0 1 1
0 0
0 0 0 0 1 V7
0 0
0 0 0 0 0 V8 V8
V5
V3
V6
V7
6.8 关键路径计算
课本例题6.19，图中结点内大写字母A-H表示活动，字母右下角带括号 的数字表示完成此活动所需的时间。分析图中活动时间可知，完成路 径A、C、F、H上的各活动需要11个时间单位，这几个活动中任意一个 的延迟都会延长整个工期，实际上这是一条“关键路径”。但活动B可
完成；或
图中还有未输出的顶点, 但已跳出处理循环。说明图
中还剩下一些顶点, 它们都有直接前驱。这时网络中
必存在有向环。
拓扑排序



拓扑序：如果图中从V到W有一条有向路径， 则V一定排在W之前。满足此条件的顶点序列 称为一个拓扑序 获得一个拓扑序的过程就是拓扑排序 AOV如果有合理的拓扑序，则必定是有向无环 图（Directed Acyclic Graph, DAG）
V V必须在V开始 之前结束
可以用一个队列来实现这个特定存储，开始时将所有入度为0的 顶点插入队列，当队列不为空时，取出一个顶点V并输出，然后将与 V相邻的顶点入度减1.当产生新的入度为0的顶点时，将其插入队列。 重复这一过程直到队列为空时算法终止。所要寻找的拓扑排序即为
各顶点从队列取出的序列。
V1
ai 表示活动
vj
表示活动ai到此结束
顶点 编号 持续时间C<i,j> 机动时间D<i,j>
最早完成时间 Earliest
最晚完成时间 Latest
A(3)
C(4)
F(3)
开始
D(2) G(2) H(1)
完成
B(2) K(4) E(1)
第八讲 图（下）
浙江大学 陈 越
6.7 拓扑排序
• 在现实生活中，某些事物可以用“有向无环图”（DAG)表述。也叫 流程图。比如计划流程图、施工过程流程图、生产流程流程图、程 序流程图，图中每个顶点可以代表一个具体的工序，每条有向边则 反映两个工序的前后次序。
例：计算机专业排课
课程号 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 课程名称 程序设计基础 离散数学 数据结构 微积分（一） 微积分（二） 线性代数 算法分析与设计 逻辑与计算机设计基础 计算机组成 操作系统 编译原理 数据库 计算理论 计算机网络 数值分析 预修课程 无 无 C1, C2 无 C4 C5 C3 无 C8 C7, C9 C7, C9 C7 C2 C10 C6
了有向环，则意味着某项活动应以自己作为先决条件。因
此，对给定的AOV网络，必须先判断它是否存在有向环。
检测有向环的方法——构造AOV的拓扑序列。
2.拓扑排序 构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运算就叫做拓扑排 序。 如果通过拓扑排序能将AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑 有序的序列中, 则该网络中必定不会出现有向环。 例如, 对学生选课工程图进行拓扑排序, 得到的拓扑有序序 列为 C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C8 , C9 , C7 或 C1 , C8 , C9 , C2 , C5 , C3 , C4 , C7 , C6
3
2
7
C/4 7
0
1 3
5
4
7
6
10 8
9 8
11
10
5
5
6
最多能耽误时间为0（即不允许有时间耽误）的活动都是“关键活动”， 由关键活动构成的从头至尾的路径就是“关键路径”。本例中A、C、F、 H是关键活动。
关键路径问题

AOE (Activity On Edge) 网络

一般用于安排项目的工序
即在这条路径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路 径就叫做关键路径(Critical Path)。
为了便于分析关键路径，将活动为顶点的AOV图转换为活动为边 的AOE图，有向边表示任务或活动，边上的权表示该活动持续的时间。 在AOE图中顶点表示事件，每个事件对应一个活动及与之相关的其他 活动完成。
顶点 V1 顶点入度变化（1：初始→8：结束） 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0
V2 V3
V4 V5 V6 V7 V8 入队列 出队列
1 3
0 1 1 2 2 V1V4 V1
0 2
0 1 1 2 2 V2 V4
0 2
0 0 1 2 2 V5 V2
0 1
0 0 1 2 2
如果一个活动是在几个活动完成后才能开始，则需要增加虚构的
边和结点，来表示活动之间的这种依赖关系。
与AOV网相对应的是AOE(Activity On Edge) ，是边表示活动的 有向无环图，如图所示。图中顶点表示事件(Event)，每个事件表示在 其前的所有活动已经完成，其后的活动可以开始；弧表示活动，弧上 的权值表示相应活动所需的时间或费用。
V8
V3 V2 V7
V5
V4
V6
V1
V4 顶点1、4入队
V8
V3 V2 V7
V5 V4 V6
V4 V1
V2
顶点1出队，顶点2入队
V8
V3 V2 V7
V5 V6
V2 V1 V4
V5
顶点4出队，顶点5入队
V8
V3 V7
V5 V6
V5 V1 V4 V2
顶点2出队
V8
V3 V7
V6
V3 V1 V4 V2
<v,w>∈E
3
2
7
C/4 7
0
1 3
3
4
5
6
10 5
9 8
11
10
2
5
3
还可求解每一事件i在不影响整个工程完成情况下所允许最晚完成时间
Latest[i]。计算是从结束事件开始，设结束顶点为事件n，按事件拓扑 的相反次序逐个顶点结算，直到工程的初始顶点为止。 Latest[n]=Earliest[n] Latest[v]=min(Latest[w]-Cv,w)
以延迟3个时间单位，并不会影响整个整个工程的完成进度，相对于关
键路径，包含活动Bห้องสมุดไป่ตู้路径是非关键路径。
从源点到各个顶点, 以至从源点到汇点的有向路径可能不止一条。这 些路径的长度也可能不同。 完成不同路径的活动所需的时间虽然不 同, 但只有各条路径上所有活动都完成了, 整个工程才算完成。
因此, 完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度,
4 2 6‘ 1 3 5 9 7' F/3
7 10 10'
6 8 8'
用以下方法简化：对出度为1的顶点，如果其出边的权值为0，则可删
除该顶点及其出边,该顶点的入边直接指向后面的顶点。
C/4 2 4 1 3 5 7
6 9 8
H/1 10
在各顶点的上方标出各事件最早完成的时间，在结束事件上方标出的
11个时间单位是整个工程的最早完成时间。 若Earliest[i]表示结点i的最早完成时间，Cv,w表示<v,w>边的权值，则 有：Earliest[1]=0 Earliest[w]=max(Earliest[v]+Cv,w)
C1 C3 C2 C13 C8 C9 C11 C4 C5 C6 C15 C7 C12
C10
C14
AOV (Activity On Vertex)
网络
算法
课程号 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 课程名称 程序设计基础 离散数学 数据结构 微积分（一） 微积分（二） 线性代数 算法分析与设计 逻辑与计算机设计基础 计算机组成 操作系统 编译原理 数据库 计算理论 计算机网络 数值分析 预修课程 无 无 C1, C2 无 C4 C5 C3 无 C8 C7, C9 C7, C9 C7 C2 C10 C6
C1 C3 C2 C13 C10 C11 C4 C1 C3 C7 C2 C13 C6 C10 C15 C5 C8 C9 C6 C4 C5 C15 C14 C7 C12
C8
C9
C11 C12 C14
1.AOV网络 (Activity On Vertices)
可以用有向图表示一个工程。在这种有向图中，用顶点表 示活动，用有向边<Vi, Vj>表示活动Vi 必须先于活动Vj 进 行。这种有向图叫做顶点表示活动的AOV网络 (Activity On Vertices)。 注：在AOV网络中不能出现有向回路, 即有向环。如果出现
<v,w>∈E
3
2
7
C/4 7
0
1 3
5
4
7
6
10 8
9 8
11
10
5
5
6
各顶点的最早和最晚完成时间求出后，就可确定在不影响工程进度的
前提下，每一活动最多能耽误的时间长短。这个时间是否为0决定了该 活动是否处于关键路径上。求<v,w>边上的允许耽误的最大时间 Delayv,w采用的计算公式为: Delayv,w=Latest[w]-Earliest[v]-Cv,w
C1 C2
C8 C3 C5
C9 C4
C7 C6
3.进行拓扑排序的方法 ① 输入AOV网络。令 n 为顶点个数。 ② 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之; ③ 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边;
④ 重复以上 ②、③步, 直到
全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序