2019-2020学年山东省烟台市高一下学期期末考试数学试题(解析版)

山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足(1) i z i-=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案】B『解析】()()()1111 (1) ,111222i ii ii z i z ii i i+-+-=∴====-+--+，则z在复平面内对应的点位于第二象限故选：B2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面向上”，设事件B=“第二枚硬币正面向上”，则（）A. 事件A与B互为对立事件B. 件A与B为互斥事件C. 事件A与事件B相等D. 事件A与B相互独立『答案】D『解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面向上”，设事件B=“第二枚硬币正面向上”，事件A发生与否与事件B无关，事件B发生与否与事件A无关，∴事件A与事件B相互独立．故选：D．3. 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（）A. 22.5%B. 27.5%C. 32.5%D. 375%.『答案】B『解析】由题意，设直播所占的百分比为x ， 根据统计图可得：393025%x =，解得32.5%x =， 因此采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为1325%25%15%=27.5%.---.故选：B.4. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆222则C =（ ） A.2π B.3π C.4π D.6π 『答案】D『解析】由题意可得2221sin2ab C ==，cos C C =，可得3tan C ， 由于(0,π)C ∈， 可得π6C =． 故选：D ．5. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A. 3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC『答案】A『解析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.6. 某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目.已知该市高中2017级全体学生中， 81%选考物理或历史，39%选考物理，51%选考历史，则该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总败的比例为（ ） A. 9% B. 19%C. 59%D. 69%『答案】A 『解析】；由题可得：81%A B C ++=； 51%A B +=； 39%B C +=；51%39%81%9%∴+-=；故选：A ．7. 已知三条不重合的直线m ，n ，l ，三个不重合的平面α，β，γ，则（ ） A. 若//m n ，n ⊂α，则//m αB. 若l α⊥，m β⊂，l m ⊥，则//αβC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ⋂＝，则l γ⊥D. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ 『答案】C『解析】对于A 中，若//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，所以A 项不正确； 对于B 中，若l α⊥，m β⊂，l m ⊥，则//αβ或α与β相交，所以B 项不正确； 对于C 中，设,a b αγβγ==，在平面γ内任取一点P ，作,PA a PB a ⊥⊥，垂足分别为,A B ，由面面垂直的性质定理，可得,PA l PB l ⊥⊥， 又因为PAPB P =，可得l γ⊥，所以C 项正确；对于D 中，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，只有,m n 相交时，才有//αβ，所以D 项不正确. 故选：C.8. 人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B ，隐性基因记作b ：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB ，bB 或Bb ”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的.分别用D ，d 表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D ，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BdDd ，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（ ） A.116B.316C.716D.916『答案】B『解析】控制不同性状的基因遗传时互不干扰．有一对夫妻， 两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd ， 不考虑基因突变，基本事件总数4216n ==，他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为： ()bbDD ，()bbDd ，(,)bb dD ，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为316P =． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9. 下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A. 若复数z R ∈，则z ∈RB. 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈RC. 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈RD. 若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z = 『答案】AC『解析】A 选项，设复数(,)z a bi a b =+∈R ，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z ∈R ，所以0b =，因此z a =∈R ，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b =+∈R ，则()22222z a bi a b abi =+=-+， 因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z ∉R ；故B 错； C 选项，设复数(,)z a bi a b =+∈R ，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b-===-++++， 因为1R z∈，所以220ba b =+，即0b =，所以z a =∈R ；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b =+∈R ，2(,)z c di c d =+∈R ， 则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z ∈R ，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误. 故选：AC.10. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ） A. 平均数为3 B. 标准差为85C. 众数为2和3D. 第85百分位数为4.5『答案】AC『解析】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为1(5543332221)310x =+++++++++=，所以A 项正确； 由方差的公式，可得2222213[(53)(53)(43)(13)]102s =-+-+-++-=，所以标准差为2s =，所以B 项不正确； 根据众数的概念，可得数据的众数为2和3，所以C 项正确；根据百分位数的概念，可得第85百分位数：从大到小排序的第8和第9个数据的平均数值，即为2222+=，所以D 项不正确. 故选：AC.11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则（ ）A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线1B C 与11A C 所成角为45︒C. 三棱锥11P A DC -的体积为定值D. 平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C『答案】ACD 『解析】1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11A C ∴⊥平面11BB D ，则111AC BD ⊥，同理11DC BD ⊥，1111AC DC C ⋂=，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确； 11//A B CD ，11A B CD =，∴四边形11DA B C 为平行四边形，则11//B C A D ，则11DAC ∠为异面直线1B C 与11A C 所成角，为60︒，故B 错误；11//B C A D ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ．可得P 到平面11AC D 的距离为定值，即三棱锥11P A DC -的体积为定值，故C 正确； 11//AC 平面ABCD ，11A C ⊂平面11AC D ，设平面11AC D 与底面ABCD 的交线为l ，由直线与平面平行的性质，可得平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C ，故D 正确．故选：ACD ．12. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ） A. 事件A 发生的概率为12B. 事件AB 发生的概率为1120 C. 事件A B 发生的概率为25D. 从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15『答案】BC『解析】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含114520C C =个基本事件；“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：()1,5，()1,6，()2,5，()2,6，()3,3，()3,5，()3,6，()4,2，()4,3，()4,5，()4,6，共11个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：()2,5，()2,6，()3,3，()3,5，()3,6，()4,3，()4,5，()4,6，共8个基本事件；即事件B 是事件A 的子事件；因此事件A 发生的概率为1120，故A 错； 事件AB 包含的基本事件个数为11个，所以事件A B 发生的概率为1120；故B 正确； 事件A B 包含基本事件个数为8个，所以事件A B 发生的概率为82205=，故C 正确； 从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：()2,1，()2,2，()2,3，()2,5，()2,6共5个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15，即D 错误. 故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若向量(1,1)a =，(1,2)b =，且()a b b λ-⊥，则实数λ的值为________ 『答案】35『解析】向量(1,1)a =，(1,2)b =，且()a b b λ-⊥，2()(12)50a b b a b b λλλ∴-=-=+-=，则实数35λ=，故答案为：35． 14. 某工厂有A ，B ，C 三个车间，A 车间有600人，B 车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中B 车间10人，则样本中C 车间的人数为________ 『答案】8『解析】因为B 车间有500人，样本中B 车间10人，所以抽样比为10150050=， 因此A 车间抽取的人数为16001250⨯=， 所以样本中C 车间的人数为3010128--=. 故答案为：8.15. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.6，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：在R 软件的控制平台，输入“sample （0：999，50，replace ＝F ）”，按回车键，得到0~999范围内的50个不重复的整数随机数，指定0，1，2，3，4，5表示命中，6，7，8，9表示未命中，再以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________的『答案】0.46『解析】按回车键，得到0~999范围内的50个不重复的整数随机数， 其中表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有23个，分别为：560，61，271，128，182，262，830，655，285，27，473，635，390，653，702，258，329，170，46，921，357，581，280，∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为230.4650P ==． 故答案为：0.46．16. 已知三棱锥P ABC -内接于半径为5的球，90ACB ∠=︒，7AC =，15BC ，则三棱锥P ABC -体积的最大值为________『答案】3『解析】如图，在三角形ABC 中，由90ACB ∠=︒，7AC =，15BC ，得8AB =，要使三棱锥P ABC -的体积最大，则平面PAB ⊥平面ABC ，且P 在底面ABC 上的射影为AB 中点O ，连接PO 并延长，交三棱锥P ABC -的外接球于D ，则PD 为球的直径， 设PO h =，则(10)4416h h -=⨯=，解得2h =（舍)或8h =．∴三棱锥的体积的最大值为117832⨯⨯=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知点(),2A m ，()1,1B ，()2,4C . （1）若||CA CB +最小，求实数m 的值：（2）若CA 与CB 夹角的余弦值为，求实数m 的值. 解：（1）由题意，(2,2)CA m =--，(1,3)CB =-- 于是(3,5)CA CB m +=--，所以||(5CA CB m +=≥， 所以||CA CB +的最小值为5， 此时3m =；（2）由cos ,||||(CA CB CA CB CA CB ⋅<>==⋅=， 化简得28480m m +-=，解得4m =或12=-m .18. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3c A a C a +=. （1）求ab的值：（2）若1a =，c =ABC 外接圆的面积. 解：（1）因为cos cos 3c A a C a +=，由余弦定理得222222322b c a a b c c a a bc ab+-+-+=，即3b a =，所以13a b =；（2）因为1a =，c 3b =所以2221962cos 22133a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以sin C ==，由正弦定理得2sin c R C ===，所以22271010S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，25.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.解：（1）设1A =“甲在第一轮比赛中胜出”，2A =“甲在第二轮比赛中胜出”，1B =“乙在第一轮比赛中胜出”，2B =“乙在第二轮比赛中胜出”，则12A A =“甲赢得比赛”，()()()1212322535P A A P A P A ==⨯=. 12B B =“乙赢得比赛”，()()()12123234510P B B P B P B ==⨯=. 因为23510>，所以派甲参赛获胜的概率更大. （2）由（1）知，设C =“甲赢得比赛”，D“乙贏得比赛”， 则()1223()1155P C P A A =-=-=； ()1237()111010P D P B B =-=-=. 于是C D =“两人中至少有一人赢得比赛”3729()1()1()()151050P CD P CD P C P D =-=-=-⨯=. 20. 在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别为棱AB ，CP ，AC 的中点.（1）求证//PA 平面DEF ；（2）若面PAC ⊥底而ABC ，BC AC ⊥，ACP △为等边三角形，求二面角E FD B --的大小.解：（1）证明：因为E ，F 分别为CP ，CA 的中点，所以EF 为CAP 的中位线， 所以//EF PA ，而EF ⊂平面DEF ，PA ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ；（2）因为面PAC ⊥面ABC ，面PAC 面ABC AC =，BC ⊂面ABC ，BC AC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，而//DF BC ，所以DF ⊥平面PAC ，所以FE FD ⊥，FC FD ⊥，所以CFE ∠是二面角E FD B -- 的平面角．又ACP △ 为等边三角形，所以60PAC ∠=︒，又//EF PA ，所以60EFC PAC ∠=∠=︒．所以，二面角E FD B --的大小为60︒．21. 为了解某市家庭用电辑情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位： k W h ⋅），并将得到数据按如下方式分为9组：[0,40)，[40,80)，…，[320,360]，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在[160,200)的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示）（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0,40)和[320,360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.解：（1）由直方图可得，样本落在[0,40)，[40,80)，[80,120)，[120,160)的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在[200,240)，[240,280)，[280,320)，[320,360]的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01.因此，样本落在[160,200)的频率为1(0.020.150.270.230.090.060.040.01)0.13-+++++++=样本中用电量在[160,200)的用户数为2000.1326⨯=.（2）因为0.020.150.270.230.67+++=，0.020.150.270.230.130.8++++=， 为了使75%的居民缴费在第一档，只需75%对应的用电量位于[160,200)内， 于是0.750.67160401850.80.67-+⨯≈-， 又0.020.150.270.230.130.090.060.95++++++=，所以95%对应的用电量为280.所以第二档的范围可确定为(185,280].（3）由题可知，样本中用电量在[0,40)的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在[320,360]的用户有2户，设编号分别为a ，b ，则从6户中任取2户的样本空间为：()()()()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,,1,,2,3,2,4,2,,2,,3,4,3,,3,,4,,4,,,a b a b a b a b a b Ω=，共有15个样本点.设事件A =“走访对象来自不同分组”，则{(1,),(1,),(2,),(2,),(3,),(3,),(4,),(4,)}A a b a b a b a b =，所以()8n A =，从而()8()()15n A P A n ==Ω. 22. 如图，四边形ABCD 是圆柱1OO 的轴截面，点P 为底面圆周上异于A ，B 的点.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若圆柱的侧面积为2π，体积为π，点Q 为线段DP 上靠近点D 的三等分点，是否存在一点P 使得直线AQ 与平面BDP 所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点P 的位置；若不存在，说明理由.解：（1）证明：因为AB 是圆O 的直径，点P 是圆周上一点，所以90APB ∠=︒，即PB PA ⊥，又在圆柱1OO 中，母线AD ⊥底面O ，PB ⊂底面O ， 所以AD PB ⊥，又PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以PB ⊥平面PAD ，（2）设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则222rl r l ππππ=⎧⎨=⎩，解得11r l =⎧⎨=⎩， 在PAD △中，过A 作AM DP ⊥交DP 于点M .由（1）知PB ⊥平面PAD ，因为AM ⊂平面PAD ，所以PB AM ⊥，又DP PB P =，所以AM ⊥平面BDP .若M 与Q 不重合，AQM ∠即为直线AQ 与平面BDP 所成的角. 若M 与Q 重合，直线AQ 与平面BDP 所成的角为90︒，设AOP θ∠=，由对称性，不妨设(0,)θπ∈，则在AOP 中，2sin 2AP θ=，在Rt ADP中，2sinAM θ=221AQ AD AP⎫=+=⎪.于是3sin sin AM AQM AQ θ∠==1=≤=当且仅当2214sin 2sin 2θθ=，即sin 22θ=，2πθ=时，等号成立. 此时，AM AQ =，直线AQ 与平面BDP 所成的角为90︒，正弦值为1， 点P 为两个半圆弧AB 的中点.。