2014中考复习备战策略_数学PPT第25讲_锐角三角函数
中考数学总复习 第四单元 三角形 第25课时 锐角三角函
∴cosA- 23=0 且 1-tanB=0, ∴cosA= 3,tanB=1,
sin ������
C.sin ������
sin ������
图 25-4 D.cos ������
cos ������
课前考点过关
8.[2018·日照] 如图 25-5,在边长为 1 的小正方形构成的 网格中,半径为 1 的☉O 的圆心 O 在格点上,则∠BED
������ 的正切值等于 ������ .
图 25-5
【答案】1
2
【解析】
如图,在 Rt△ABC 中,AB=2,BC=1, ∴tan∠BAC=������������������������ =12.∵∠BED=∠BAC, ∴tan∠BED=12.
课前考点过关
9.[2018·眉山] 如图 25-6,在边长为 1 的小正方形组成的 网格中,点 A,B,C,D 都在这些小正方形的顶点上,AB,CD 相交于点 O,则 tan∠AOD= 2 .
⑥1
⑨ ������
课前考点过关
考点三 锐角三角函数之间的关系
1.sin2A+cos2A=① 1
.
2.sinA=cos(90°-∠A),即一个锐角的正弦值等于它余角的② 余弦值 .
3.cosA=sin(90°-∠A),即一个锐角的余弦值等于它余角的③ 正弦值 .
4.tanA·tan(90°-∠A)=1,即一个锐角的正切值等于它余角的④正切值的倒数 .
C.300tanα 米
D. 300 米
tan ������
图 25-3
课前考点过关
7.[2018·丽水] 如图 25-4,两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为 ( B )
锐角三角函数复习课课件
90度角
总结词
正弦值和余弦值不存在，正切值为无穷大
详细描述
在90度角时，正弦函数值和余弦函数值都不存在，因为无法定义与x轴的角度；正切函数值为无穷大 ，因为在直角三角形中，对边长度可以无限小而保持与斜边的比值不变。
03
锐角三角函数的图像与性质
正弦函数图像
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其图像在直角坐标系中呈波 浪形。
用三角函数来处理角度和旋转。
05
常见题型解析与解题技巧
选择题
• 题型特点：选择题通常考察学生对锐角三角函数基础知识的理 解和应用，题目会给出一些具体的数值或图形，要求选择正确 的答案。
选择题
排除法
根据题目给出的选项，逐一排除明显 错误的答案，缩小选择范围。
代入法
对于涉及数值计算的题目，可以将选 项中的数值代入题目中，通过计算验 证答案的正确性。
在研究磁场和电场时，我们经常需要使用锐 角三角函数来描述场的方向和强度。
日常生活中的问题
建筑和设计
在建筑设计、工程规划和土木工程中，锐角 三角函数用于计算角度、高度和距离等参数 ，以确保结构的稳定性和安全性。
游戏和娱乐
在许多游戏和娱乐活动中，锐角三角函数也 起着重要作用。例如，在制作动画、设计游 戏关卡或创建虚拟现实环境时，我们需要使
总结词
正弦值为0，余弦值和正切值不存在
详细描述
在0度角时，正弦函数值为0，表示射线与x轴重合；余弦函数值不存在，因为无 法定义与x轴的角度；正切函数值也不存在，因为没有对边形成直角三角形。
30度角
总结词
正弦值为0.5，余弦值为0.866，正切值为1/3
详细描述
在30度角时，正弦函数值为0.5，表示对边长度为斜边长度的一半；余弦函数值 为0.866，表示邻边长度为斜边长度的一半的平方根；正切函数值为1/3，表示对 边长度与邻边长度的比值。
九年级数学中考复习专题—锐角三角函数与解直角三角形 课件 (共35张PPT)
考点2 解直角三角形
4．解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求__未__知__元_素___的过 程叫做解直角三角形．
5．直角三角形中的三边关系为___a_2＋__b_2_＝__c_2 __，三角关系为
sins__∠Ai__＝nA__A＋c__＝o__s∠ssc__iBio__nB＝ns__A＝AB__＝ac＝＝__∠，c__caco__Cso，s_，isB_nBs＝_＝边Bi＝_nacac_角B，c，＝_o_关sssc_iiAo系 _n＝ns_BBA＝_为bc＝＝_，c_cbcot_o，sa_sAnt_A＝＝Aa_＝n_bcbcA_，ab，＝_，_ttaba_ta，n_anA_nAt＝_＝Ba＝_nabab_B，ba，＝__ttba_aa_nn_BB＝_＝_ba_ba___.(Rt△ABC
技法点拨►在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视 角知识构造直角三角形，利用三角函数来解决问题．常见的 构造的基本图形有如下几种：
考点2 解直角三角形
对应练习2
3、（2018无锡）已知△ABC中，AC=10，BC= ，
∠A =30°，则△ABC的面积等于
15
。
3或10
3
考点 3 解直角三角形的应用
A．5 3米 B．10米 C．15米 D．10 3米
4如图，已知在Rt△ABC中，∠ C＝90°，BC＝
1，AC=2，则tanA的值为（ B ）
A．2 B．
C、
D、
考点1 锐角三角函数的概念
【例 1】(1)(2018·贵阳)如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方
B 形的边长为 1，则 tan∠BAC 的值为( )
对应练习3
4、（2018济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相
九年级数学《锐角三角函数》课件
h
A
α
l
C
展示评讲
坡比（坡度）：坡面的竖直高度h与水平长 B
度l的比叫做坡面的~ 即：i h
l
i h:l
h
A
l
C
正切：如图，在Rt∆ABC中，我们把锐角A
的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即
B
tan
A
A的对边 A的邻边
BC AC
a b
ha
注意：tanA还可以写成tan∠A或A α tanα或tan∠BAC或tan∠1
锐角三角函数
引入新课
汽车爬坡能力是衡量汽车性 能的一个重要标志，很明显， 若汽车所爬坡面越陡，汽车 爬坡能力越强. 即：坡角越大，坡面就越陡.
B
h
A αl
C
学习目标
1、理解并掌握正切的定义，明确角 与线段的比的关系； 2、会利用正切的定义求任意一个锐 角的正切值； 3、利用坡度和坡比的概念解决实际 问题。
自学思考
1、水平长度一定时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度越大，坡面越陡，坡角越大
2、竖直高度一定时，坡角与什么因素有关呢？
水平长度越小，坡面越陡，坡角越大
3、水平长度与竖直高度都不同时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度与水平长度的比值越大，坡面越 陡，坡角越大
展示评讲 三角函数：在直角三角形中
B
lb
C
当堂检测
1、(25分)在∆ABC中，AC=5，BC=4，AB=3，则tanA= ，
tanB=
.
2、(25分)在∆ABC中，∠C=90度，AB=2BC，则
tanA= ，
tanB=
.
ห้องสมุดไป่ตู้
3、(25分)如3 图1所示为某拦水坝的横截面，迎水坡AB的
数学九年级培优第25讲 《锐角三角函数》
第二十八章锐角三角函数第25讲锐角三角函数知识导航1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法．2．特殊角的三角函数值．【板块一】求锐角三角函数值方法技巧1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义．2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值．3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解．题型一紧扣定义求三角函数值【例1】已知锐角α满足tanα＝12，求sinα的值．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝12BCAC=，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB，∴sinBCABα===【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解．【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值．【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴AE MDAM CD=，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM＝CMCE=．题型二等角转换求三角函数值【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值．αA BCCBEA M D【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴ODtan∠CDO＝OCOD＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换，用直径所对的圆周角去构造直角三角形．题型三构造直角求三角函数值【例4】如图，在Rt△BAD中，tan∠B＝53，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，求tan∠CAD 的值．【解析】要求tan∠CAD，必须将∠CAD放在直角三角形中，考虑∠BAD＝90°，故过点D作DE∥AB交AC于点E．则∠ADE＝90°，且有△CDE∽△CBA可利用，由tan∠B＝53ADAB=，设AD＝5x，AB＝3x，而13DE CDAB BC==，∴DE＝x，∴tan∠CAD＝155DE xAD x==．【点评】求一个角的三角函数值，必须将所求的角放在直角三角形中．题型四等比转化求三角函数值【例5】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求tan∠ACE的值．CDBACDEBAA BDEC【解析】过点E 作EH ⊥AC 于点H ，易证AH ＝HE ，∴tan ∠ACE ＝HE AH AECH CH EB==，设BE ＝x ，则BD ＝CD，∴BC ＝x ，AB ＝4x ，∴AE ＝AB －BE ＝3x ，∴tan ∠ACE ＝AEEB＝3．【例6】如图，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【解析】连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACP ＝90°，∴cos ∠APC ＝PCPA，又易证△PCD ∽△P AB ,∴63105PC CD PA AB ===，∴cos ∠APC ＝35． 【点评】在直角三角形中，锐角的三角函数值等于两边的比值，当这个比值无法直接求解时，可利用相似三角形对应线段成比例进行转化．题型五 利用特殊角求三角函数值【例7】利用45°角的正切，求tan 22．5°的值，方法如下：解：构造Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，如图，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，连接AD ，则∠D ＝12∠ABC ＝22．5°，设AC ＝a ，AB ＝BDa a ，∴CD ＝(1)a ，∴tan 22．5°＝tan ∠D＝AC CD =－1．A BE DHCAACA请你依照此法求tan 15°的值．【解析】构造如图所示的∠A ＝15°的直角三角形，∠C ＝90°，并过点B 作∠ABD ＝15°交AC 于点D ，则∠BDC ＝30°，设BC ＝x ，则BD ＝AD ＝2x ，CD，∴AC ＝(2x ，∴tan 15°＝BC AC＝2针对练习11．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A ＝．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B ＝ 125 ．3．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿 EF 和ED 折叠，使得点B ，C 两点折叠后重合于点G ，则tan ∠FEG ＝12．4．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF ，EF ∥MN ，则cos ∠E ＝12． A D CBABCDG F DCBA E5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝tan 2A的值．解：AB=7．延长CA 到点D ，使AD ＝AB ＝7，则CD ＝7＋tan2A＝tan ∠D＝7－ 6．如图，AC 为⊙O 的直径，△ABD 内接于⊙O ，BD 交AC 于点F ，过点B 的切线BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ，若CF ＝2，AF ＝8，求sin ∠E 的值．解：连接OB ，CD ，∵CF ＝2，AF ＝8，∴AC ＝10．∴OB ＝5．易证CD ⊥AD ，OB ⊥AD ，∴OB ∥CD ，∴△BOF ∽△DCF ．∴32OB OF CD CF ==．CD ＝103．sin ∠E ＝sin ∠CAD ＝CD AC ＝13． 7．将一副三角尺(Rt △ABC 与Rt △BDC )按如图所示摆放在一起，连接AD ，试求∠ADB 的正切值．解：过点A 作AM ⊥DB 交DB 的延长线于点M ，易证∠MBA ＝45°，∴设AM ＝BM ＝x，则AB x ．∴BC，BD ．∴tan ∠ADB ＝AMDM8．如图，在△ABC 中，BC ＝4，AC ＝6，AB ＝5，求tan12∠BAC ·tan 12∠CBA 的值．ABCDEAAEDCBABCDM解：过点C作CH⊥AB于点H，延长BA到点D，使AD＝AC，延长AB到点E，使BE＝BC，设AH＝x，则BH＝5－x，∴42－(5－x)2＝62－x2，∴x＝92．∴BH＝12，CH∴tan12∠BAC＝tan∠D＝CHDH＝2962+．tan12∠CBA＝tan∠E＝CHHE＝2142+，∴tan12∠BAC·tan12∠CBA＝13．方法技巧：深刻理解三角函数的定义，画出符合题意的示意图，充分运用数形结合的思想解题．▶题型一利用已知三角函数，求其他角的三角函数值【例1】同学们，在我们进入高中以后，将会学到三角函数公式：sin2α＝2sinα·cosα，则当锐角a的正切值为12时，sin2a＝．【解析】如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°，∠A＝α，由tanα＝BCAC＝12，设BC＝1，AC＝2，则AB．sinα＝BCAB，cosα＝ACAB，由公式sin2α＝2sinα·cosα＝2＝45．【点评】紧扣定义，运用公式解题．▶题型二利用已知三角函数，求线段长【例2】如图，点D是△ABC的边AC上一点，BD＝8，sin∠CBD＝34，AE⊥BC于点E，若CD＝2AD，求AE的长．BACEDCBA HC BADBAO OFAB CDE【解析】过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝BD·sin∠CBD＝8×2＝6，由AE⊥B C．DF⊥BC，∴DF∥AE．∴△CDF∽△CAE．∴CDAC＝DFAE＝23．∴AE＝32DF＝9．【点评】因三角函数的本质是线段比，故与三角函数相关的计算常与相似三角形联系在一起．▶题型三利用已知三角函数，求线段比【例3】如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别为斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b(b＞a)，若tan∠DCE＝12，求ab的值．【解析】易证△BCD∽△BAC，∴BC2＝BD·BA，又BA，∴BD2，同理CD＝DE＝BE－BD222，又∵谈∠DCE＝DECD＝222b aab-＝12，∴a2＋ab－b2＝0，∴ab▶题型四利用已知三角函数，求面积【例4】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，tan∠CAD＝12，cos∠ACD，AC与BD交于点E，CDBE＝2ED，求四边形ABCD的面积．【解析】过点D作DF⊥ACC于点F，则AB∥DF．∴△ABE∽△FDE．∴ABDF＝AEEF＝BEED＝2，设EF＝2a，AE＝4a．∴AF＝6a，在Rt△AFD中．tan∠F AD＝FDAF＝12，∴DF＝3a，在Rt△CFD中，cos∠ACD ＝CFCD．∴CF＝1，DF＝3a＝3，∴a＝1，AC＝7，AB＝2DF＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△AC＝12AB·AC＋12AC·DF＝12×6×7＋12×7×3＝632．针对练习21．在△ABC中，∠A为锐角，BC＝12．tan A＝34．∠B＝30°，则AB2．如图，点E是正方形ABCD的边CB的延长线上的一点，且tan∠DEC＝34，则tan∠AED的值为EDCBAABCDEFE DCBA913．3．已知△ABC中，AB＝10，AC＝B＝30°，则△ABC4．如图，在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90”，tan∠ABD＝34，AB＝20，BC＝10，AD＝13，求CD的长．解：分别过点A，C作AH⊥BD于点H，CG⊥BD于点G，∵tan∠ABD＝AHBH＝34，∴设AH＝3x，BH＝4x，(3x)2＋(4x)2＝202，∴x＝4．∴AH＝12，BH＝16．∴HD＝5，BD＝21，易证∠BCG＝∠ABD，．．tan∠BCG＝GBGC＝34，又BC＝10，∴BG＝6，CG＝8，∴DG＝BD－BG＝15，∴CD＝＝17．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝34．边BC的重直平分线与AB的交点为点D．求ADDB的值．解：过点D作DF⊥BC于点F，连接CD，则BD＝CD，BF＝CF＝52，tan∠DBF＝DFBF＝34．∴DF ＝158，在Rt△BFD中，BD＝258，∴AD＝5－258＝158，∴ADDB＝35．6．如图，已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点E，∠ABC＝120°，cos∠ADC＝35，CD＝5，AB＝12，ACDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．EDCBAAB CDGHDCBAAB CDF CBA解：过点C作CF⊥AD于点F，过点A作AG⊥EB于点G，在Rt△ACDF中，cos∠ADC＝DF CD＝3 5．又CD＝5，DF＝3，CF＝4，∵S△CDE＝12ED·CF＝6，∴ED＝3，∴EF＝6，在Rt△BAG中，∠BAG＝30°，AB＝12，∴AG＝EFC∽△EAG，得EFEG＝CFAG，可求EG＝BE＝EG－BG＝9 6．∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CED＝126)×6＝75－E DCBA ABCDE FG。
锐角三角函数总复习ppt课件.pptx
基础自主导学
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的 是( )
A.sin
A=
3 2
C.cos
B=
3 2
答案:D
B.tan A=12 D.tan B= 3
2.在正方形网格中,△ABC的位置如图,则cos B的值为( )
A.
1 2
C.
3 2
答案:B
B.
2 2
D.
┃ 知识归类
解直角三角形
1.三边关系：a2＋b2＝c2
2.三角关系：∠A＝90°－∠B
a
3.边角关系：sinA＝cosB＝ c
；
；
b
，cosA＝sinB＝c ，tanA
sinA
sinB
＝ cosA ，tanB＝ cosB
.
4.面积关系：sABC
1 2
ab
1 2
ch
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)， 就可以求出其余的3个未知元素．
[思路分析]设每层楼高为x m，由MC－CC′求出MC′的 长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中， 利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′， 由 C′B′－C′A′求出 AB 的长即可.
解：设每层楼高为 x m， 由题意，得 MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m). ∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1. 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°， ∴C′A′＝tDanC6′0°＝ 33(5x＋1).
1 2
，sin45°＝
2 2
，sin60°＝
3 2
经典：2014中考复习备战策略-数学PPT第25讲-锐角三角函数
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
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5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝12， D 是 AC 上一点，∠CBD＝∠A，则 sin∠ABD＝ (A)
3
10
3
3 10
A. 5
B. 5
C. 10
D. 10
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
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解析：如图，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，设 BC＝2x，
1．同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝ 1；
tan
α＝csions
α α.
2．互余两角的三角函数关系：若∠A＋∠B＝90°，
则 sin A＝cos B 或 sin B＝cos A.
3．锐角三角函数的增减性
当 α 为锐角时，0＜sin α＜1,0＜cos α＜1，且 sin α，
tan α 的值都随 α 的增大而增大；cos α 的值随 α 的增
大而减小.
考点知识梳理
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温馨提示 这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还 要注意它们的变形公式.
考点知识梳理
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考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
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考点一 锐角三角函数的定义 例 1(2013·湖州)如图，已知在 Rt△ACB 中，∠C＝ 90°，AB＝13，AC＝12，则 cos B 的值为_______．
考点训练
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温馨提示
1.锐角三角函数是在直角三角形中定义的. 2.sin A，cos A，tan A 表示的是一个整体，是指两 条线段的比，没有单位. 3.锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角 所处的直角三角形的大小无关. 4.当 A 为锐角时，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1， tan A＞0.
中考数学总复习课件：锐角三角函数及解直角三角形(共25张PPT)
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锐角三角函数复习课ppt课件
sina cosa tana
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
思考
锐角A的正弦值、余弦 值有无变化范围？
0< sinA<1
0<cosA最<新1 版整理ppt
角度 逐渐 增大
正 弦 值 余弦 也 值逐 增 渐减 大 正小切
值也 随之 增大
14
sin 2 cos2 1 tan sin
cos
1.3m
O
O
10m
方法总结：对于这
样的实际问题，先认真 分析题意，建立直角三
BC
B
角形的模型，将实际问
题转化为数学问题
A
A
最新版整理ppt
19
• 10分：元旦期间，学校的教学楼上AC挂着庆元旦 条幅BC，小明站在点F处，测得条幅顶端B的仰 角为300，再往条幅方向前进20m到达点E处，测 得B的仰角为600，求条幅BC的长。
AC=
√3,
AB=2,Tan
B 2
75° √3 =3
4，如果α和β都是锐角，且sinα= cosβ，
则α与β的关系 是（ B
）
A，相等 B，互余 C，互补 D，不确定。
5.已知在Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=
1 2
,则
cosB=( A )
A，
1 2
B，√22
C， √最2新3版整理Dp，pt √3
4
6. 计算
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°
3 2 3 32
4 3 2 32
(2) tan30°·tan60°＋ cos230°
九年级数学上册 25-2锐角三角函数（1）课件 华东师大版
话 ， 那 么 tanB*cotB=1,你 也 能 根 据 相 同 的
方法，利用锐角三角函数的定义得出结论
吧？
从 以 上 就 可 以 看 出 定 义 的 作 用 了 --
特殊角的三角函数值
以 30 的 角 为 例 ， 当 B 30 时 ，
设 斜 边 A B的 中 点 为 点 D ,连 接 C D ,
一个定理
直 角 三 角 形 中 ， 3 0 的 锐 角 所 对 的 直 角 边 是 斜 边 的 一 半
如图所示，当B30 时，
AC1 AB 2
这个结论你 知道是如何 得出的吗？
随堂练习
1 .不 用 计 算 器 ， 你 能 求 出 下 列 几 个 小 题 吗 ？
1 2 s in 6 0 4 c o s 3 0 3 ta n 4 5 2 3 c o s 4 5 ta n 3 0 2 c o t 6 0
经常用到
分 析 ： 可 设 AC k,则 AB 3k,根 据 勾 股 定 理 可 知 道
B C 2 2 k , 所 以 ，c o s B B C 2 2 k 2 2
AB 3k
3
答案（4---5题）
4 .当 s i n A 3 时 ， 可 设 A 的 对 边 为 3 k , 斜 边 为 5 k , 则 容 5
5
34
34
cot A 5 3
转 念 一 想 ： 能 否 能 利 用 tan A 和 co t A的 互 为 倒 数 的 性 质 ， 求
出 cotA 呢 ？ 5.答 ： 这 个 三 角 形 为 直 角 三 角 形 。
sin 2A cos2 1
怎么样啊？你是不是很快的想 出了这个方法啊？
根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 可 知 道 ， 这 个 三 角 形 是 以 长 度 为1
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5 D. 3
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解析：如图，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则可得 OE PE 4 ＝3，PE＝m，在 Rt△POE 中，tan α＝ ＝ ，解 OE 3 4 得 m＝4，则 OP＝ PE ＋OE ＝5，故 sin α＝ . 5
2 2
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1 7．(2013· 邵阳)在△ABC 中，若|sin A－ |＋ 2 12 (cos B－ ) ＝0，则∠C 的度数是( D 2 A．30° B．45° C．60° ) D．90°
1 1 解析：由题意，得 sin A－ ＝0，cos B－ ＝0， 2 2 1 1 ∴sin A ＝ ， cos B ＝ . 解 得 ∠A ＝ 30° ， ∠B ＝ 2 2 60° .∴∠C ＝ 180° － ∠A － ∠B ＝ 180° － 30° － 60° ＝ 90° . 故选 D.
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解析：
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4． 如图， 在 Rt△ABO 中， 斜边 AB＝1.若 OC∥BA， ∠AOC＝36° ，则( C )
A．点 B 到 AO 的距离为 sin 54° B．点 B 到 AO 的距离为 tan 36° C．点 A 到 OC 的距离为 sin 36°sin 54° D．点 A 到 OC 的距离为 cos 36°sin 54°
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考点二
特殊角的三角函数值
例 2 (2013· 孝 感 ) 式 子 2cos 30°－ tan 45°－ 1－tan 60° 2的值是( A．2 3－2 C．2 3 ) B．0 D．2
3 【点拨】原式＝2× －1－( 3－1)＝ 3－1－ 3 2 ＋1＝0.故选 B. 【答案】 B
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8．已知△ABC 中，∠C＝90° ，∠A＝60° ，a＋B＝ 3＋ 3，则 a 等于( D A. C. 3 3＋1 ) B．2 3 D．3
a 解析：由题意，得 tan A＝ ＝ 3，又∵a＋b＝ b 3＋ 3，∴a＝3，b＝ 3.故选 D.
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温馨提示 1.锐角三角函数是在直角三角形中定义的. 2.sin A，cos A，tan A 表示的是一个整体，是指两 条线段的比，没有单位. 3.锐角三角函数的大小仅与角的大小有关， 与该角 所处的直角三角形的大小无关. 4.当 A 为锐角时，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1， tan A＞0.
0
2 2 2－4× －1＋1＋3＝3. 2
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一、选择题(每小题 4 分，共 48 分) 1．(2013· 宿迁)如图，将∠AOB 放置在 5×5 的正 方形网格中，则 tan∠AOB 的值是( B 2 A. 3 3 B. 2 2 13 C. 13 ) 3 13 D. 13
9．(2013· 昭通)如图，A，B，C 三点在正方形网格 线的交点处，若将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到 △AC′B′，则 tan B′的值为( B )
1 A. 2
1 B. 3
1 C. 4
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2 D. 4
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解析：∵BD∶CD＝3∶2，所以设 BD＝3x，CD＝ 2x(x ＞ 0) ．在 △ABC 中， ∠A ＝ 90° ， AD⊥BC ，易证 AD CD △ABD∽△CAD， ∴BD＝AD， ∴AD2＝BD· CD， 即 AD2 AD ＝3x· 2x， 解得 AD＝ 6x.在 Rt△ABD 中， tan B＝BD＝ 6x 6 ＝ .故选 D. 3x 3
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【点拨】∵在 Rt△ACB 中，∠C＝90° ，AB＝13， AC＝12，∴BC＝ BC 5 ＝AB＝ . 13 5 【答案】 13 AB2－AC2＝ 132－122＝5.∴cos B
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方法总结 根据锐角三角函数的定义， 代入边的长度求出三角 函数值，最好用数形结合的思想画出图形帮助分析求 解.
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a 5 【点拨】∵sin A＝c ＝ ，∴可设 a＝5x(x＞0)，则 13 c＝13x.在 Rt△ABC 中，由勾股定理，可得 b＝12x， b 12x 12 ∴cos A＝ c＝ ＝ .故选 D. 13x 13 【答案】 D
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温馨提示 这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还 要注意它们的变形公式 .
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考点一 锐角三角函数的定义 例 1(2013· 湖州)如图，已知在 Rt△ACB 中，∠C＝ 90° ，AB＝13，AC＝12，则 cos B 的值为_______．
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3 7． 已知 α 是锐角， 且 sin(α＋15° )＝ .计算： 8－ 2 1 －1 4cos α－(π－3.14) ＋tan α＋( ) 的值． 3
0
3 解： ∵α 是锐角， sin(α＋15° )＝ ， ∴α＋15° ＝60° ， 2 1 －1 α＝45° .∴ 8－4cos 45° －(π－3.14) ＋tan 45° ＋( ) ＝ 3
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1 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，tan A＝ ， 2 D 是 AC 上一点，∠CBD＝∠A，则 sin∠ABD＝ ( A )
3 A. 5
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B.
10 5
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3 C. 10
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3 10 D. 10
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解析：如图，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，设 BC＝2x，
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解析：如图，过点 A 作 AC⊥OB 于点 C，在 Rt△AOC 中，由格点图可知 OC＝2，AC＝3，故 AC 3 tan∠AOB＝tan∠AOC＝ ＝ .故选 B. OC 2
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2．(2013· 温州)如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，AB ＝5，BC＝3，则 sin A 的值是( C )
2 2
1．同角三角函数之间的关系：sin α＋cos α＝ 1； sin α tan α＝ . cos α 2．互余两角的三角函数关系：若∠A＋∠B＝90° ， 则 sin A＝cos B 或 sin B＝cos A. 3．锐角三角函数的增减性 当 α 为锐角时， 0＜sin α＜1,0＜cos α＜1， 且 sin α， tan α 的值都随 α 的增大而增大；cos α 的值随 α 的增 大而减小.
第25讲
锐角三角函数
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考点一
锐角三角函数的定义
若在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠A，∠B，∠C 的 a 对边分别为 a，b，c，则 sin A＝ c a tan A＝ b . b ，cos A＝ c ，
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2
去)．故选 A.
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6 ． (2013· 鄂州 )如图， Rt△ABC 中，∠A ＝ 90° ， AD⊥BC 于点 D， 若 BD∶CD＝3∶2， 则 tan B＝( D )
3 A. 2
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2 B. 3
6 C. 2
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6 D. 3
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3 6．计算：sin 30° · cos 30° －tan 30° ＝ － 12 保留根号)．
(结果
1 3 3 3 解析：sin 30° · cos 30° －tan 30° ＝ × － ＝ 2 2 3 4 3 3 － ＝－ . 3 12
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1．如图，在 8×4 的矩形网格中，每个小正方形 的边长都是 1，若△ABC 的三个顶点都在图中相应的 格点上，则 tan∠ACB 的值为( A )
1 A. 3
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1 B. 2
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2 C. 2
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D．3
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解 析 ： 如 图 ， 在 网 格 中 构 造 含 有 ∠ACB 的 Rt△ACD， 在△ACD 中， AD＝2， DC＝6， ∴tan∠ACB AD 2 1 ＝ ＝ ＝ .故选 A. DC 6 3
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考点三 例 3
三角函数之间的关系
(2013· 连云港)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ， ) 2 C. 3 12 D. 13
5 若 sin A＝ ，则 cos A 的值是( 13 5 A. 12 8 B. 13
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