培优讲义椭圆
新人教版高中数学培优讲义 学生版 椭圆 知识讲解 - 副本
椭圆的方程【学习目标】1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；2.掌握椭圆的定义和标准方程；3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.要点二、椭圆的标准方程标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系(如图)．设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF 1|+|MF 2|=2a ｝． (3)代数方程即：(4)化简方程 由22a c >可得222a cb -=，则得方程22221(0)x y a b a b+=>>关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)．这里c 2=a 2-b 2．椭圆的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；要点诠释：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b ac -=；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4. 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。
椭圆教案讲义含练习解析
椭圆教案讲义含练习解析知识要点分析：（一）椭圆的定义平面内与两个定点为F ，F 的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
特别地，当常数等于时，轨迹是线段 F F ，当常数小于时，无轨迹。
（二）椭圆的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。
中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程参数方程为参数）为参数）图形顶点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦点焦距离心率（离心率越大，椭圆越扁）1 2 2 1 FF2 1 FF1 2 2 1 FFx y) 0 ( __ b abyax) 0 ( __b abxay(sincosb ya x(sincosa yb x) , 0 ( ), , 0 () 0 , ( ), 0 , (2 12 1b B b Ba A a A) , 0 ( ), , 0 () 0 , ( ), 0 , (2 12 1a B a Bb A b A x y b 2 a 2) 0 , ( ), 0 , (2 1c F c F ) , 0 ( ), , 0 (2 1c Fc F ) 0 ( 2 | |2 1 c c F F2 2 2b a c ) 1 0 ( eace准线焦准距说明：方程中的两个参数a 与b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F ，F 的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a，b，c 都大于零，其中a 最大且 a =b +c 2、椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，F ，F 为焦点且∠F PF ＝，则△PF F 为焦点三角形，S＝b tan。
3、方程表示椭圆的充要条件是：ABC≠0，且A，B，C 同号，A≠B。
A＞B 时，焦点在y 轴上，A＜B 时，焦点在x轴上。
4、弦长公式：x ，x 分别为弦PQ 的横坐标，弦PQ 所在直线方程为y=kx+b，代入椭圆方程整理得Ax2 +Bx+C=0，则＝，若y ，y 分别为弦PQ 的纵坐标，则＝，5、直线与椭圆的位置关系：设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆（a﹥b﹥0），组成方程组，消去y（或x）利用判别式△的符号来确定。
第11讲 椭圆的定义和标准方程学生 高一升高二暑假培优讲义
第11讲椭圆的定义和标准方程[玩前必备]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a[玩转典例]题型一 椭圆的定义例1 （1）（2020·江西南昌十中高二月考）已知椭圆22110036x y +=上的一点P 到左焦点1F 的距离为6，点P 到右焦点2F 的距离为（ ） A ．4B ．6C ．7D ．14（2）下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．例2 （1）（2020·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））已知ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆221169x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．8B ．C ．16D ．24（2）（2020·福建高二期末（理））已知椭圆C:x 225+y 2m 2=1 (m >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在C 上，且ΔPF 1F 2的周长为16，则m 的值是 A.2 B.3C.2√3D.4[玩转跟踪]1．（2020·湄潭县求是高级中学高二月考（理））已知椭圆2211636x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3,则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．3B ．5C ．7D ．92．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知平面内动点P 满足|PA|+|PB|=4,且|AB|=4,则P 点的轨迹是( ) A.直线B.线段C.圆D.椭圆3．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ） A ．20B ．16C ．18D ．14题型二 焦点三角形问题例3 （1）（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知P 是椭圆221259x y +=上一点， 12,F F 为椭圆的两焦点，且01260F PF ∠=，则12F PF ∆面积为（ ）A ．B ．CD ．3（2）（2020·齐齐哈尔市第八中学高二月考（理））若椭圆C ：29x ＋22y ＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°[玩转跟踪]1.（2020·云南师大附中高三月考（文））设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______.题型三 椭圆的标准方程求法例4 （2020·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.(3)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(4)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2)． [玩转跟踪]1.（2020·肃宁县第一中学高二月考）求下列椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，离心率，且经过点； （2）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的倍，并且过点.题型四 椭圆的性质例5 （1）（2020·黑龙江牡丹江一中高二月考（文））椭圆22236x y +=的长轴长是（ ） ABC．D．（2）（2020·浙江高二期末）椭圆x 24+y 25=1的焦点坐标是（ ）A.(±1,0)B.(±3,0)C.(0,±1)D.(0,±3)（3）（2020·武威市第六中学高二月考（理））已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上.若焦距为则m 等于（ ） A ．4 B ．5C ．7D ．8[玩转跟踪]1．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知椭圆()2221025x y m m+=>的右焦点为()4,0F ,则m =( ) A ．2B ．3C ．4D ．92．（2020·江西南昌十中高二月考）方程222(2)2k x ky k k +-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(2,0)-C ．(2,1)(1,0)--- D ．(0,)+∞x 35e=,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭3()3,0P[玩转练习]一、单选题1．（2019·浙江省高二期末）椭圆的长轴长为（ ） A ．1B ．2C ．D ．42．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））方程表示椭圆的必要不充分条件是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A ．B ．C ．D ．4．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知是椭圆的两焦点,过点的直线交椭圆于点A 、B ,若,则( ) A ．11B ．10C ．9D ．165．（2020·安徽省高二期末（文））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且短轴的长为2，离心率等，则该椭圆的标准方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 2214x y +=22142x y m m+=+-()1,2m ∈-()4,2m ∈-()()4,11,2m ∈--⋃-()1,+m ∈-∞2221x my -=(0,m =232523-25-12,F F 221169x y +=2F 5AB =11AF BF +=221204x y +=221204y x +=2215y x +=2215x y +=6．（2020·北京高三月考）已知曲线C 的方程为，则“”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、多选题7．（2020·海南省高三零模）已知P 是椭圆上的动点，Q 是圆上的动点，则（ ） A ．CB ．C 的离心率为C ．圆D 在C 的内部D ．8．（2020·高密市第一中学高三月考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题221x y a b-=a b >22:16x C y +=22(51:1)D x y ++=6PQ F A m B n F A B 、、R 222a b c 、、a c m R -=+a c n R +=+2a m n =+b =9．（2020·定远县育才学校高二月考（文））焦点在，焦距为程为__________.10．（2019·浙江省高二期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______；当时，椭圆的焦点坐标为______. 四、解答题11．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理））椭圆的两个焦点的坐标分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），且椭圆经过点（，﹣） （1）求椭圆标准方程．（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．x 22121x y m m+=+-m 1m =-。
高中数学椭圆讲义
椭圆讲义学习目标：1.定义及标准方程2.几何性质．3.直线与椭圆 Ⅰ、温故知新： 1.椭圆定义。
平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和为常数（大于｜F 1F 2)的点的轨迹（或集合）叫作椭圆，这两个定点叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作焦距。
2.椭圆的标准方程．焦点在x 轴上的椭圆的标准方程22221x y ab+=(a>b>0)焦点坐标为（－c,0)（c, 0). 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程22221x y b a +=(a>b>0)焦点坐标为（0,-c)（0,c) . 其中a 2=b 2+c 2. 3.椭圆的性质：Ⅱ、设问导读题型一：根据条件求椭圆中的基本元素a 、b 、c 、e【例1】（1)已知椭圆16x 2+25y 2=400,求它的离心率．（2)椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，且c=6,e=23,求它的标准方程（3)椭圆5x 2-ky 2=5的一个焦点是（0, 2)求k 【解答】 （1)椭圆的标准方程为2212516x y +=,于是a 2=25,b 2=16,从而c 2=a 2-b 2=25-16=9,c=3,e=35c a =（2)由题意可设椭圆方程为22221x y ba+= (a> b> 0)∴c=6,e=23c a =∴a=9∴22245b a c =-=∴所求方程为：2214581xy += （3)椭圆方程化为2222251,,1,451xy a b c k k+=∴=-==- 【点评】在椭圆或双曲线中，a.b 、c.r 四个元素可“知二求二”，基本关系式是常用手段，要熟记，题型二，运用椭圆定义解题【例2】已知椭圆的一个焦点与短轴两端点连线夹角为90°,则椭圆的离心率为（ 【分析】本题考查椭圆a,b,c 之间关系和直角三角形勾股定理及离心率求法，【解答】椭圆的焦点与椭圆短轴端点之间距离为a,两短轴端点间距离为2b,椭圆的一焦点与短轴两端点连线夹角为90°,∴a 2=2b 2,又a 2=b 2+c 2=2b 2，∴b 2=c 2 即c,∴c e a =Ⅲ、自学检测： 1.若椭圆22149x y k +=+的离心率12e =则k 的值是2.如果椭圆的焦点坐标为F1(-3, 0),F,(3, 0)离心率为23,过点F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，那么ΔABF:的周长为 3.已知椭22221x y ba+=(a>b>0),F 1、F 2是它的左右焦点，AB 是过F1的弦，则ΔABF 2的周长是4.椭圆4x 2+ky 2=4的一个焦点是（0, 3)那么k=5.方程x 2+ky 2=2表示焦点在x 轴上的椭圆，实数k 的取值范围是6.已知M 是椭圆221259x y +=上一点，F1,F2是椭圆的焦点，且／F 1MF 2=90°,则ΔF 1MF 2的面积为 7.椭圆25x 2+9y 2=225的离心率等于 8.椭圆2219xy m+=的离心率为12,则m=9.椭圆的中心、两个焦点等分长轴，则椭圆的离心率等于10.椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线x+3y-6=0与两坐标轴交点，则椭圆的标准方程是Ⅳ、巩固训练：1.椭圆的两个焦点分别是两条准线间距离的三等分点，椭圆的离心率是2.方程221169x y k k+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，实数k 的取值范围 3.求过点（3,-2)且与22194xy +=有相同焦点的椭圆的方程．3.在ΔABC 中，B(-2, 0),C(2, 0)且其周长为10,求顶点A 的轨迹方程。
九年级椭圆拔高培优及解析
九年级椭圆拔高培优及解析概述本文档将对九年级椭圆拔高培优进行详细解析，帮助学生更好地理解和掌握椭圆相关的知识点。
1. 椭圆的定义和特点椭圆是指平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点组成的集合。
椭圆具有以下特点：- 椭圆的中心为两个焦点连线的中点。
- 长轴是通过两个焦点且与椭圆内所有点连线都垂直的线段。
- 短轴是通过中心且与椭圆内所有点连线都垂直的线段。
2. 椭圆的方程椭圆的一般方程为：\[\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\]其中，(h, k)为椭圆中心坐标，a为长轴的一半长度，b为短轴的一半长度。
3. 椭圆的焦点和准线椭圆上的焦点是椭圆中心到长轴上某一点的距离，可以通过以下公式计算：\[c = \sqrt{{a^2 - b^2}}\]其中，c为焦点到椭圆中心的距离。
椭圆上的准线是与椭圆的长轴平行且通过焦点的直线。
4. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的值，可以通过以下公式计算：\[e = \frac{c}{a}\]其中，e为离心率，c为焦点到椭圆中心的距离，a为长轴的一半长度。
5. 椭圆的拔高培优方法为了更好地掌握椭圆相关的知识点，以下是一些拔高培优的方法：- 认真研究椭圆的定义和特点，理解椭圆的构成和性质。
- 掌握椭圆的方程和坐标表示方法，能够根据给定条件确定椭圆的方程。
- 熟练计算椭圆的焦点、准线和离心率等相关参数。
- 多做椭圆相关的数学题，积累解题经验。
通过以上的拔高培优方法，相信同学们能够更好地理解和掌握九年级椭圆的知识。
总结本文档详细解析了九年级椭圆拔高培优及其解析，帮助学生更好地理解椭圆相关的知识点。
同学们在学习椭圆时，应该牢记椭圆的定义、方程和特点，并通过多做相关题目来提高自己的解题能力。
相信通过努力学习和练习，大家能够在椭圆的知识上取得更好的成绩。
椭圆专题讲义
椭圆专题讲义一、知识梳理1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2注意：点P(x00(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二：教材改编2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．123．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215＋y 210＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 210＋y 215＝1 D.x 220＋y 215＝1 4．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 题组三：易错自纠5．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)6．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 三、典型例题：椭圆及其性质题型一：椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆2．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．223．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( )A.72B.32C. 3 D ．4 4．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 思维升华：椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程命题点1：利用定义法求椭圆的标准方程典例 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 (2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 命题点2：利用待定系数法求椭圆方程典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)25,23( ，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．思维升华：(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．跟踪训练：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________． 题型三：椭圆的几何性质典例 (1)P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF →的取值范围是( ) A ．[0,15] B ．[5,15] C ．[5,21]D ．(5,21)(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点．P为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 思维升华：(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．跟踪训练 (1)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．四、反馈练习1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( )A.12B. 2 C ．2 D.224．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( )A.π6B.π4C.π3D.π25．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．156．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________．8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________．10．设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．。
2019版高考数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义：第8章 平面解析几何 第5讲椭圆
第5讲 椭圆板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．考点2 椭圆的标准方程和几何性质[必会结论]椭圆的常用性质(1)设椭圆＋＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，x 2a 2y 2b 2|OP |有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 为斜边，a 2＝b 2＋c 2.(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a .(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为.2b 2a (5)椭圆离心率e ＝.1－b 2a 2[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(4)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(5)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．[2017·浙江高考]椭圆＋＝1的离心率是( )x 29y 24A. B. C. D.133532359答案 B解析 ∵椭圆方程为＋＝1，x 29y 24∴a ＝3，c ＝＝＝.a 2－b 29－45∴e ＝＝.故选B.ca 533．[2018·广东模拟]已知椭圆＋＝1(m >0)的左焦点为x 225y 2m 2F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9答案 B解析 由4＝(m >0)⇒m ＝3，故选B.25－m 24．[课本改编]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于，则椭圆C 的方程是( )13A.＋＝1B.＋＝1x 24y 23x 24y 23C.＋＝1 D.＋＝1x 24y 22x 29y 28答案 D解析 依题意，设椭圆方程为＋＝1(a >b >0)，所以x 2a 2y 2b 2Error!解得a 2＝9，b 2＝8.故椭圆C 的方程为＋＝1.x 29y 285．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________.答案 14解析 椭圆x 2＋my 2＝1可化为x 2＋＝1，y 21m 因为其焦点在y 轴上，所以a 2＝，b 2＝1，1m 依题意知 ＝2，解得m ＝.1m 146．[2018·上海联考]若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆x 210－a y 2a －2的焦距为4，则实数a ＝________.答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4；②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.板块二 典例探究·考向突破考向 椭圆的定义及标准方程 例1 (1)[2018·杭州模拟]已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、x 2a 2y 2b 2右焦点为F 1，F 2，离心率为，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两33点．若△AF 1B 的周长为4，则C 的方程为( )3A.＋＝1 B.＋y 2＝1x 23y 22x 23C.＋＝1 D.＋＝1x 212y 28x 212y 24答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝4，则a ＝，又＝＝33ca c3，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为＋＝1，选A.33x 23y 22(2)设F 1，F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上x 225y 216一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案 4解析 连接PF 2，则OM 为△PF 1F 2的中位线，|OM |＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.触类旁通(1)在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a >|F 1F 2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．(2)待定系数法求椭圆方程，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．【变式训练1】 (1)[2018·厦门模拟]已知椭圆＋y 2＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的x 24最大值为( )A ．6B ．4C ．2D ．8答案 B解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn ≤2＝4(当且仅当m ＝n ＝2时，(m ＋n2)等号成立)．故选B.(2)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C 的方程是________．3答案 ＋＝1x 216y 212解析 设椭圆C 的方程为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2由题意知Error!解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 216y 212(3)[2017·豫北六校联考]设F 1，F 2分别是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于x 2a 2y 2b 2A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.答案 5解析 由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3.∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4.则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.考向 椭圆的几何性质 例2 (1)[2017·全国卷Ⅲ]已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、x 2a 2y 2b 2右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A. B. C. D.63332313答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝＝a ，解得a ＝b ，2aba 2＋b 23∴＝，∴e ＝＝＝ba 13ca a 2－b 2a1－(ba )2＝.故选A.1－(13)263(2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．答案 35解析 由题意知，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b ，整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，解得e ＝或e ＝－1(舍去)．35触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．【变式训练2】 (1)[2016·全国卷Ⅰ]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的14离心率为( )A. B. C. D.13122334答案 B解析 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得＝×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以＝，即e 2＝bc b 2＋c 214c 2a 214，所以e ＝(e ＝－舍去)，故选B.141212(2)[2018·锦州模拟]设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点x 2a 2y 2b 2分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案 33解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝.所以e ＝＝＝.32c2a |F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|33考向 椭圆中的焦点三角形例3 [2018·漳浦县校级月考]椭圆＋y 2＝1上的一点P 与两焦x 24点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求·的最大值与最小值；PF 1→ PF 2→ (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan .θ2解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－，0)，F 2(，0)，33则·＝(－－x ，－y )·(－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝x 2－2.PF 1→ PF 2→3334∵x 2∈[0,4]，∴x 2－2∈[－2,1]．34∴·的最大值为1，最小值为－2.PF 1→ PF 2→ (2)证明：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝，2b 21＋cos θ即有△F 1PF 2的面积S ＝|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2＝b 2tan ＝tan .12sin θ1＋cos θθ2θ2触类旁通椭圆的焦点三角形：椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆＋＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，x 2a 2y 2b 2F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ；(3)S △PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，12S △PF 1F 2取最大值，为bc ；(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )；(5)当P 为短轴端点时，θ最大；(6)若焦点三角形的内切圆圆心为I ，延长PI 交F 1F 2于点Q ，则＝＝，所以＝＝＝(e 为离心率)．|PI ||IQ ||PF 1||F 1Q ||PF 2||F 2Q ||PI ||IQ ||PF 1|＋|PF 2||F 1Q |＋|F 2Q |2a 2c 1e 【变式训练3】 (1)如图所示椭圆中，P 为椭圆上一点，F 为其一个焦点，PF 为直径的圆与长轴为直径的圆的关系为________．答案 内切解析 设椭圆的方程为＋＝1(a >b >0)，F 、F ′分别是椭圆x 2a 2y 2b 2的左、右焦点，作出以线段PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆x 2＋y 2＝a 2，如图所示．设PF 中点为M ，连接PF ′，∴OM 是△PFF ′的中位线，可得|OM |＝|PF ′|，即两圆的圆12心距为|PF ′|12根据椭圆定义，可得|PF |＋|PF ′|＝2a ，∴圆心距|OM |＝|PF ′|＝(2a －|PF |)＝a －|PF |，121212即两圆的圆心距等于它们的半径之差，因此，以PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆x 2＋y 2＝a 2相内切．(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为x 2a 2y 2b 2椭圆C 上的一点，且⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则PF 1→ PF 2→ b ＝________.答案 3解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，⊥，PF 1→ PF 2→所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，所以2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1||PF 2|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝×2b 2＝b 2＝9.1212所以b ＝3.考向 直线与椭圆的综合问题命题角度1 弦的中点问题 例4 [2018·南昌模拟]已知椭圆：＋x 2＝1，过点P 的直y 29(12，12)线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋y －5＝0答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆＋x 2＝1上，y 29所以Error!两式相减得＋x －x ＝0，得y 21－y 29212＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P 平分，(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9(12，12)所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 29＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y 1－y 2x 1－x 2y －＝－9，即9x ＋y －5＝0.12(x －12)命题角度2 弦长问题 例5 [2018·陕西咸阳模拟]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝.x 2a 2y 2b 232(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△12PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝＝＝，∴a 2＝4b 2.c 2a 2a 2－b 2a 234又椭圆C ：＋＝1(a >b >0)过点P (2,1)，x 2a 2y 2b 2∴＋＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.4a 21b 2故所求椭圆方程为＋＝1.x 28y 22(2)设l 的方程为y ＝x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立12Error!整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2.∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.则|AB |＝× 1＋14(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.5(4－m 2)点P 到直线l 的距离d ＝＝.|m |1＋142|m |5∴S △PAB ＝d |AB |＝××＝≤12122|m |55(4－m 2)m 2(4－m 2)＝2.m 2＋4－m 22当且仅当m 2＝2，即m ＝±时取得最大值．2触类旁通直线与椭圆综合问题的处理方法解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．核心规律1.椭圆中的参数a ，b ，c 三者的关系为a 2－b 2＝c 2，这是椭圆中参数关系的核心．2.求离心率常用两种方法：(1)求得a ，c 的值，代入公式e ＝即可；ca (2)列出a ，b ，c 的方程或不等式，根据b 2＝a 2－c 2将b 消掉，转化为含有a 和c 的关系，最后转化为关于e 的方程或不等式．满分策略1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x 2和y 2的分母大小．2.关于离心率的范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的固有范围0<e <1.3.注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a >b >0)上点的坐标为x 2a 2y 2b 2P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 14——椭圆离心率范围的求解技巧[2018·衡中模拟]F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，x 2a 2y 2b 2若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．解题视点 将垂直问题转化为向量的数量积，再借助于椭圆本身的属性|x |≤a 破解．解析 解法一：设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则＋＝1.x 20a 2y 20b 2＝(－c －x 0，－y 0)，＝(c －x 0，－y 0)，PF 1→ PF 2→ 若∠F 1PF 2＝90°，则·＝x ＋y －c 2＝0.PF 1→ PF 2→ 2020∴x ＋b 2＝c 2，∴x ＝.20(1－x 20a 2)20a 2(c 2－b 2)c 2∵0≤x ≤a 2，∴0≤≤1.20c 2－b 2c 2∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴≤e <1.22解法二：如图，由题意，∠F 1PF 2≥90°，∠OPF 2≥45°，sin ∠OPF 2＝≥，c a 22∴≤e <1.22答案 ≤e <122答题启示 建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.跟踪训练已知过椭圆＋＝1(a >b >0)的焦点F 1，F 2的两条互相垂直的x 2a 2y 2b 2直线的交点在椭圆内部(不包括边界)，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.(0，22)C.D.(22，1)(12，22)答案 B解析 设椭圆＋＝1的短轴的一个端点为B ，中心为O ，椭x 2a 2y 2b 2圆上任意一点为M ，过焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线的交点为P ，则点P 在以O 为圆心，|F 1F 2|为直径的圆上，且该圆的半径r ＝|OP |＝|F 1F 2|＝c (其中c ＝)，则由椭圆的性质及题意可得12a 2－b 2r <b ，即c <b ，所以c 2<b 2＝a 2－c 2，所以2c 2<a 2，得c <a ，所以e ＝2<＝，故所求椭圆的离心率的取值范围是.c a 1222(0，22)板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2016·湖北八校联考]设F 1，F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，x 29y 25点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则的值为( )|PF 2||PF 1|A. B. C. D.5145134959答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，5则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝＝.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，b 2a 53∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝，∴＝×＝.故选B.133|PF 2||PF 1|533135132．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于，12则C 的方程是( )A.＋＝1B.＋＝1x 23y 24x 24y 23C.＋＝1 D.＋＝1x 24y 22x 24y 23答案 D解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝＝⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的方程是c a 12＋＝1.x 24y 233．“－3<m <5”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )x 25－m y 2m ＋3A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 要使方程＋＝1表示椭圆，只须满足x 25－m y 2m ＋3Error!解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.x 25－m y 2m ＋34．已知椭圆＋＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2a 2y 2b 2x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)答案 D解析 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆b 2＋c 2的左顶点为(－5,0)．故选D.5．[2018·黑龙江双鸭山模拟]过椭圆＋＝1(a >b >0)的两个焦x 2a 2y 2b 2点作垂直于x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.5＋145－123－123＋14答案 B解析 ∵过椭圆的两个焦点作垂直于x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，∴c ＝，即b 2a ac ＝a 2－c 2，∴e 2＋e －1＝0，∵0<e <1，∴e ＝，故选B.5－126．[2018·惠来月考]以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.＋＝1B.＋＝1x 220y 219x 29y 28C.＋＝1 D.＋＝1x 25y 24x 23y 22答案 C解析 解法一：由题意知，c ＝1，a 2－b 2＝1，故可设椭圆的方程为＋＝1，x 2b 2＋1y 2b 2离心率的平方为：①，1b 2＋1∵直线x －y ＋3＝0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ＝36(b 4＋2b 2＋1)－4(2b 2＋1)(8b 2＋9－b 4)≥0，∴b 4－3b 2－4≥0，∴b 2≥4，或b 2≤－1(舍去)，∴b 2的最小值为4，∴①的最大值为，此时，a 2＝b 2＋1＝5，15∴离心率最大的椭圆方程是：＋＝1.故选C.x 25y 24解法二：令直线x －y ＋3＝0与椭圆的一个交点为P ，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|，∵e ＝＝，∴当|PF 1|＋|PF 2|最小时e 最大，F 1，F 2在直线2c2a 22a x －y ＋3＝0的同侧，F 1关于x －y ＋3＝0的对称点F 1′(－3,2)，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1′|＋|PF 2|≥|F 1′F 2|＝2，即52a ≥2，a ≥，当a ＝时e 最大，此时b 2＝a 2－c 2＝4，所求椭555圆方程为＋＝1.故选C.x 25y 247．[2018·深圳检测]若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 将椭圆的方程化为标准形式得＋＝1，因为y 22k x 22x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以>2，解得0<k <1.2k 8．[2018·江西模拟]过点M (1,1)作斜率为－的直线与椭圆C ：12＋＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭x 2a 2y 2b 2圆C 的离心率等于________．答案 22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×y 1－y 2x 1－x 2122a 22b 2＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，得＝(－12)c a ，所以e ＝.22229．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的离心率为e ＝，其左、x 2a 2y 2b 232右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭3圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－.14(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：x ＋x 为定值，并求该定值．212解 (1)∵c ＝，e ＝，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，332则椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)证明：由于·＝－，则x 1x 2＝－4y 1y 2，x x ＝16y y .y 1x 1y 2x 214212212而＋y ＝1，＋y ＝1，则1－＝y ，1－＝y ，x 21421x 242x 21421x 242∴＝y y ，则(4－x )(4－x )＝16y y ，(1－x 214)(1－x 24)212212212(4－x )(4－x )＝x x ，展开得x ＋x ＝4为一定值．21221221210．[2018·山东模拟]已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦x 2a 2y 2b 2点和短轴的两个端点都在圆x 2＋y 2＝1上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为k 的直线过点M (2,0)，且与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探讨k 为何值时，OA ⊥OB .解 (1)依题意b ＝1，c ＝1，所以a 2＝2.所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 22(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．由Error!消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.8k 21＋2k 28k 2－21＋2k 2因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)，所以x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝0，即(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝0，所以－＋4k 2＝0，(1＋k 2)(8k 2－2)1＋2k 216k 41＋2k 2解得k 2＝，此时Δ>0，所以k ＝±.1555[B 级 知能提升]1．[2018·湖南郴州]设e 是椭圆＋＝1的离心率，且e ∈x 24y 2k ，则实数k 的取值范围是( )(12，1)A ．(0,3) B.(3，163)C ．(0,3)∪D ．(0,2)(163，＋∞)答案 C解析 当k >4时，c ＝，由条件知<<1，k －414k －4k 解得k >；163当0<k <4时，c ＝，4－k 由条件知<<1，解得0<k <3，故选C.144－k42．[2018·重庆模拟]已知F 1，F 2为椭圆C ：＋＝1的左、右x 29y 28焦点，点E 是椭圆C 上的动点，·的最大值、最小值分别为()EF 1→EF 2→A ．9,7B ．8,7C ．9,8D ．17,8答案 B解析 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，设E (x ，y )，则＝(－1－x ，－y )，＝(1－x ，－y )，EF 1→ EF 2→·＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－x 2＝x 2＋7(－3≤x ≤3)，所以当EF 1→ EF 2→ 8919x ＝0时，·有最小值7，当x ＝±3时，·有最大值8，EF 1→ EF 2→ EF 1→ EF 2→ 故选B.3.[2018·鼓楼期末]由半椭圆＋＝1(x ≥0)与半椭圆x 2a 2y 2b 2＋＝1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中x 2c 2y 2b 2a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0.由右椭圆＋＝1(x ≥0)的焦点F 0和左椭圆x 2a 2y 2b 2＋＝1(x ≤0)的焦点F 1，F 2确定的△F 0F 1F 2叫做果圆的焦点三角x 2c 2y 2b 2形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆＋＝1(x ≥0)x 2a 2y 2b 2的离心率的取值范围为()A.B.(13，1)(23，1)C.D.(33，1)(0，33)答案 C解析 连接F 0F 1、F 0F 2，根据“果圆”关于x 轴对称，可得△F 1F 0F 2是以F 1F 2为底边的等腰三角形，∵△F 0F 1F 2是锐角三角形，∴等腰△F 0F 1F 2的顶角为锐角，即∠F 1F 0F 2∈.(0，π2)由此可得|OF 0|>|OF 1|，∵|OF 0|、|OF 1|分别是椭圆＋＝1、＋＝1的半焦距，x 2a 2y 2b 2x 2c 2y 2b 2∴c >，平方得c 2>b 2－c 2，b 2－c 2又∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－2c 2，解得3c 2>a 2，两边都除以a 2，得3·2>1，解之得>.(c a )c a 33∵右椭圆＋＝1(x ≥0)的离心率e ＝∈(0,1)，x 2a 2y 2b 2c a ∴所求离心率e 的范围为.故选C.(33，1)4．[2017·北京高考]已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为.32(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解 (1)设椭圆C 的方程为＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2由题意得Error!解得c ＝，所以b 2＝a 2－c 2＝1，3所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )，由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝，nm ＋2故直线DE 的斜率k DE ＝－，m ＋2n 所以直线DE 的方程为y ＝－(x －m )，m ＋2n 直线BN 的方程为y ＝(x －2)．n2－m 联立Error!解得点E 的纵坐标y E ＝－.n (4－m 2)4－m 2＋n 2由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－n .45又S △BDE ＝|BD |·|y E |＝|BD |·|n |，1225S △BDN ＝|BD |·|n |，12所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.5．已知过点A (0,2)的直线l 与椭圆C ：＋y 2＝1交于P ，Q 两x 23点．(1)若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围；(2)若以PQ 为直径的圆经过点E (1,0)，求直线l 的方程．解 (1)依题意，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由Error!消去y 得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，令Δ＝(12k )2－36(3k 2＋1)>0，解得k >1或k <－1，所以k 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，则P (0,1)，Q (0，－1)或P (0，－1)，Q (0,1)，此时以PQ 为直径的圆过点E (1,0)，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，又E (1,0)，所以＝(x 1－1，y 1)，＝(x 2－1，y 2)．EP → EQ → 由(1)知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，12k 3k 2＋193k 2＋1所以·＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2EP → EQ → ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k －1)(x 1＋x 2)＋5＝＋(2k －1)＋59(k 2＋1)3k 2＋1(－12k3k 2＋1)＝.12k ＋143k 2＋1因为以PQ 为直径的圆过点E (1,0)，所以·＝0，即＝0，EP → EQ → 12k ＋143k 2＋1解得k ＝－，满足Δ>0，76故直线l 的方程为y ＝－x ＋2，76综上，所求直线l 的方程为x ＝0或y ＝－x ＋2.76。
椭圆讲义
椭圆一、椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是线段F 1F 2 ；②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．二、椭圆的标准方程：(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( a > b > 0)；(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b x a y ，其中( a > b > 0)。
例题：1、与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( )A 1858014520125201202522222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x2、求与椭圆224936x y +=3、椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ）A. 1-B. 1C.5D. 三、离心率：,01ce e a=＜＜（222a b c =+） 例题：1．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12B.32C.34D.642．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．323．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )A.12B.2C.D. 24．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A .x 24＋y 23＝1 B .x 216＋y 24＝1 C .x 216＋y 212＝1 D .x 216＋y 23＝1 四、课内练习： 1、距离问题：1、P 为22298x y +=上的动点，A （0,5），求PA |最值。
椭圆讲义
椭圆讲义椭圆知识点：1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(12FF >),这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.(常数用2a 表示，焦距用2c 表示)，椭圆的第一定义用公式可表示为122PF PF a +=注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a ca c e ==22。
椭圆培优经典讲义(教师版)
圆锥曲线与方程第一节 椭 圆考点一 椭圆的定义及应用１.（2009年北京卷,理12)椭圆22192x y +=的焦点为F 1、F ２，点Ｐ在椭圆上.若|P Ｆ１|=4,则|PF 2|= ,∠Ｆ1PF ２的大小为 .解析:由椭圆方程22192x y +=可知a 2=９,b 2=2,∴c 2=３． 由椭圆定义知|PF 1|+｜P Ｆ2|=6， 由｜PF 1｜＝4,得|PF ２|=2.在△ＰF 1Ｆ2中,由余弦定理的推论有 ｃo ｓ∠Ｆ1PF 2＝2221212122PF PF F F PF PF +-=错误!未定义书签。
224228242+-⨯⨯＝－12．∴∠F １PF 2=1２0°. 答案:2 120°2.(2０１2年四川卷,理1５)椭圆22143x y +=的左焦点为F,直线ｘ=m 与椭圆相交于点A 、B,当△F ＡＢ的周长最大时,△ＦAB 的面积是 ．解析:由椭圆定义可知,当直线ｘ＝m 过椭圆右焦点（1，0)时,△F ＡB 的周长最大. 由椭圆方程22143x y +=知a=2,c=1． 当ｘ=１时,由21143y +=，得y=±32.∴S △F ＡB =12×(2×32)×(1+１)=3. 答案：33.(2009年上海卷，理9)已知F 1、F 2是椭圆C: 22221x y a b+= (ａ＞b ＞0）的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥错误!未定义书签。
,若△PF 1F 2的面积为９,则b ＝ .解析：由题意可知, 1212PF PF =9,①2221212PF PF F F +==(２c ）２，②由椭圆定义可知,|ＰF 1|+｜PF 2|=2a ，③ 联立①②③解得a 2-c 2=9, 即b 2=9，∴b ＝3． 答案:３考点二 椭圆的方程及其简单性质应用 1.(２013年新课标全国卷Ⅰ,理10）已知椭圆E:22221x y a b += (a>ｂ>0）的右焦点为F(３，０),过点F 的直线交E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为（1,－1),则E 的方程为( ) (Ａ）2214536x y +=ﻩ(Ｂ)2213627x y += (Ｃ)2212718x y +=ﻩ（D ）221189x y +=解析：已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解． 设Ａ(ｘ１，y 1），B(ｘ2,y 2),ＡB 的中点D(１,-1)， 则k AB =12，x 1+x 2＝２,y 1+y ２＝-２,2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：()()12122x x x x a -+＋()()12122y y y y b -+=0，即1212y y x x --=－()()212212b x x a y y ++,即12=22b a , ∴a 2＝2b 2.又因c ＝3,所以ｂ２=9,a 2=18，椭圆方程为221189x y +=.故选D.答案:D2.(2011年新课标全国卷,理14)在平面直角坐标系x Ｏｙ中,椭圆C 的中心为原点，焦点F 1、F 2在ｘ轴上，离心率为错误!,过F 1的直线l 交C 于Ａ、B 两点,且△ABF 2的周长为1６,那么C 的方程为 . 解析:设椭圆标准方程为22221x y a b += （a ＞b>0), 由题意知｜ＢA ｜＋|B Ｆ2|+|AF 2｜=｜BF １|+|ＢＦ２|＋|A Ｆ1|+|AF 2|=４ａ＝１６, ∴ａ=4,由ｅ=错误!未定义书签。
椭圆讲义
椭圆的讲义学习重点：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解坐标法的基本思想.学习难点：椭圆的标准方程的推导与化简，坐标法的应用. 知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于_______（大于_______），这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的_________，两焦点的距离叫作椭圆的________.（思考：为什么1222a F F c >=？） 注：若22a c =，则动点P 的轨迹为___________________； 若22a c <，则动点P 的轨迹为___________________.例1：动点P 到两个定点1F （-4，0），2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ )A.椭圆B.线段12F FC.直线12F FD.不存在 变式：下列说法中正确的是（ ）A.坐标平面内，到两定点12(0,2),(0,2)F F -的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆B.坐标平面内，到两定点12(0,2),(0,2)F F -的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆C.坐标平面内，到两定点12(0,2),(0,2)F F -的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆D.坐标平面内，到两定点12(0,2),(0,2)F F -的距离相等的点的轨迹是椭圆 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：________________，其中222b a c -=，其焦点坐标为_________________；2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：__________________，其中222b a c -=，其焦点坐标为__________________；3、当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设为_____________. 注：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b a c -=； 思考：如何由椭圆标准方程判断焦点位置4、方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax =+22可化为122=+CBy C Ax ，即221x y C C A B+=，所以只有A 、B 、C 同号，且A B ≠时，方程表示椭圆。
椭圆讲义
椭圆（一）一、椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
★2．a,b,c 关系： 222c a b =- ①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （〒c ，0） ②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, 〒c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即ac 称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a ==-c 【e 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；】 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
椭圆讲义(学生版)资料
椭圆讲义1、平面内与两个定点F1，F 2的距离之和等于常数（大于为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在x轴上图形标准方程范围-a_x_a 且-b_y_b顶点---1 -a,0、二2 a,0已0,-b、三2 0,b轴长短轴的长=2b焦占八'、八、、F1 -c,0、F2 c,0焦距F1F2 =2c t 对称性关于x轴、y 离心率2准线方程3、设□是椭圆上任一点，点|M F j M F2Ie.d i d2四、常考类型类型一：椭圆的基本量F1 F2）的点的轨迹称为椭圆•这两个定点称焦点在y轴上2 2y x2 2=1 a b 0a b--■-i 0, 一a、_-；i ：；—b,0、长轴的长=2aF i 0, -c、c2= a2_ b2轴、原点对称---2 0,a二 2 b,0F2 0,c2+a y二cM到F i对应准线的距离为d i，点切到F2对应准线的距离为d2，则1 •指出椭圆9x2 4y2 =36的焦点坐标、准线方程和离心率2 2举一反三：【变式1】椭圆 — 1 1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3,贝U P 到另一个焦点的距离 25162 2【变式2】椭圆X=1的两个焦点分别为 1625的周长C ABF 1 = ___________ ■2 2—=1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（16 m 2.. 22【变式4】已知椭圆mx+3y — 6m=0的一个焦点为（0, 2）,求m 的值。
类型二：椭圆的标准方程2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 ）两个焦点的坐标分别是（一 4, 0）、（4, 0）,椭圆上一点P 到两焦点距离的和是 10; （2）两 个焦点的坐标是（0,举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为 0,4 ,0,-4，且椭圆经过点（5,0）。
2 2- —=1有相同的焦点，并且经过点942）,求此椭圆的方程。
R 、F 2，过F 2的直线交椭圆于 A 、B 两点」V .IABF 1 【变式3】已知椭圆的方程为 A . — 4W me 4 且 m ^ 0B.— 4v m < 4 且 m ^ 0C. m > 4 或 m <— 4 D . 0< m < 4【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 3，一2）、（ 0, 2）,并且椭圆经过点6 3 23.求经过点P (- 3, 0)、Q(0, 2)的椭圆的标准方程。
椭圆（讲义）
椭圆（讲义）椭圆（讲义）知识点睛⼀、曲线与⽅程1．曲线C 上的点与⼆元⽅程()0f x y =，的对应关系：（1）曲线上点的坐标都是这个⽅程的解；（2）以这个⽅程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个⽅程叫做曲线的⽅程；这条曲线叫做⽅程的曲线． 2．求曲线的⽅程的⼀般步骤：（1）建⽴适当的坐标系，⽤有序实数对(x ，y )表⽰曲线上任意⼀点M 的坐标；（2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =；（3）⽤坐标表⽰条件p (M )，列出⽅程()0f x y =，；（4）化⽅程()0f x y =，为最简形式；（5）说明以化简后的⽅程的解为坐标的点都在曲线上．⼆、椭圆及其标准⽅程我们把平⾯内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（⼤于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．如图，设( )M x y ，是椭圆上任意⼀点，椭圆的焦距为2(0)c c >，那么焦点1F ，2F 的坐标分别为( 0)c -，，( 0)c ，．⼜设M 与1F ，2F 的距离的和等于2(0)a a >．由椭圆的定义，椭圆就是集合12{|||||2}P M MF MFa =+=．因为12|| ||MF MF ==所以2a =．为化简这个⽅程，将左边的⼀个根式移到右边，得2a =将这个⽅程两边平⽅，得22222()44()x c y a x c y ++=--+，整理得2a cx -=上式两边再平⽅，得4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，整理得22222222()()a c x a y a a c -+=-，两边同除以222()a a c -，得222221x y a a c+=-．①由椭圆的定义可知，22220a c a c a c >>->，即，所以．由图可知，1212|||| |||| ||PF PF a OF OF c PO =====，，令||b PO ==那么①式就是22221(0)x y a b a b+=>>．椭圆的标准⽅程：22221(0)x y a b a b+=>>．三、椭圆的⼏何性质精讲精练1. 已知点P 是直线230x y -+=上的⼀个动点，定点(12)M -，，Q 是线段PM 延长线上的⼀点，且||||PM MQ =，则点Q 的轨迹⽅程是（） A ．210x y ++= B ．250x y --= C ．210x y --=D ．250x y -+=2. 已知⼀条直线l 和它上⽅的⼀个点F ，点F 到l 的距离是2．⼀条曲线也在l 的上⽅，它上⾯每⼀点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建⽴适当的坐标系，求这条曲线的⽅程．3. 过原点的直线与圆22650x y x +-+=相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹⽅程．4. 写出适合下列条件的椭圆的标准⽅程：（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上；（2）4a =，c =，焦点在y 轴上；（3）10a b +=，c =．5. 如图，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，纵坐标等于短半轴长的23，则椭圆的离⼼率为__________．6. 设e 是椭圆2214x y k +=的离⼼率，且1(1)2e ∈，，则实数k 的取值范围是（） A ．(03)，B ．16(3)3，C ．16(03)()3+∞，，D ．(02)，7. 设1F ，2F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上⼀点，M 是1F P 的中点，O 为坐标原点，||3OM =，则点P 到椭圆左焦点的距离为（） A ．4 B ．6 C ．3D ．78. 已知椭圆的⽅程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为 1F ，2F ，且12||8F F =，过点1F 的直线AB 交椭圆于A ，B 两点，则△2ABF 的周长为（） A ．10B ．20C．D．9. 已知点P 是椭圆221259x y +=上的⼀点，M ，N 分别是两圆： 22(4)1x y ++=和22(4)1x y -+=上的点，则||||PM PN +的最⼩值、最⼤值分别为（） A ．9，12 B ．8，11C ．8，12D ．10，1210. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内⼀个定点，P 是圆上任意⼀点．线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点 Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？11.点M与定点(20)F，的距离和它到定直线x = 8的距离之⽐是1:2，求点M的轨迹⽅程，并说明轨迹是什么图形．12.如图，从椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上⼀点P向x轴作垂线，垂⾜恰为左焦点1F．⼜点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，1||F A=13.如图，已知椭圆221+=，直线l：45400x y-+=．椭圆上是否存在⼀点，它到直线l的距离最⼩？最⼩距离是多少？14.如图，椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点(30)F，，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(11)-，，求E的⽅程．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】知识点睛三、对称轴：x 轴、y 轴；对称中⼼：原点；2a(01)，22a b -精讲精练1．D2．21(0)8y x x =≠3．2230x x y -+=4．（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=或2213616y x +=5．36．C 7．A 8．D9．C 10．点Q的轨迹是以O，A为焦点，以r为长轴长的椭圆．11．点M的轨迹⽅程是221 1612x y+=，轨迹是以(2，0)、(-2，0)为焦点，以8为长轴长的椭圆．12．221 105x y+=1314．22+=。
秋季19-高三数学培优版-椭圆-学生版
椭圆一、知识梳理 1、椭圆的定义平面内与两定点12,F F 的距离的和等于定长()1222a F F c >的点的轨迹，即点集{}1212|2,2M P PF PF a a F F =+=>，其中两定点12,F F 叫焦点，定点间的距离12F F 叫焦距。
122a F F >⇔椭圆122a F F =⇔线段21F F ， 数形结合 122a F F <⇔无轨迹2、椭圆的方程 （1）标准方程①焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （0a b >>）； 焦点()()12,0,,0F c F c -。
其中22b a c -=（一个Rt ∆）②焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （0a b >>）；焦点()()120,,0,F c F c -。
其中22b a c -=（2）椭圆的参数方程 [)cos ,0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩（3）2222b y b x a =-（上半椭圆）3、几何性质4、焦点三角形周长、角度、面积问题，本质上为解三角形问题，需用到正弦定理、余弦定理、面积公式，注意使用椭圆定义转化.①设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大． 5、线段和、差的最值问题 注意用椭圆的定义转化 6、点与椭圆的位置关系已知点00(,)P x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>（1F ，2F 为椭圆的焦点），则试一试2、设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA于点P ，求动点P 的轨迹方程知识点2：椭圆的参数方程 [)cos ,0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩椭圆上任意点，通常设为(),x y ，用22221x y a b +=化简，或设为()[)cos ,sin ,0,2a b θθθπ∈例2、已知点P 在椭圆上，求到直线的最短距离.试一试2212516+=x y P :70-+=l x y（1）若1221,PF F PF F αβ∠=∠=，求证： 2cos2cosβαβα-+=ac ； （2）,求证12F PF ∆的面积为2tan2b θ．知识点4、最值问题几何法：通过定义转化为两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）例5、椭圆22143x y +=的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当△的周长最大时，△的面积是_________． ★★★12F PF θ∠=F x m =A B FAB FAB知识点5、直线与椭圆的位置关系：相交、相离与相切例6、若直线1y kx =+与()0,4m m >≠恒有交点，则实数m 的取值范围是_____例7：若给定椭圆()22:10,0C ax by a b +=>>和点()00,N x y ，则称直线00:1l ax x by y +=为椭圆C 的“伴随直线”（1）若()00,N x y 在椭圆C 上，判断椭圆C 与它的“伴随直线”的位置关系（相离、相交还是相切）（2）命题“若点()00,N x y 在椭圆C 的外部，则直线l 与椭圆C 相交”，写出这个命题的逆命题，判断此命题的真假，说明理由；（3）若点()00,Nx y 在椭圆C 的内部，过N 点任意做一条直线，交椭圆C 于A B 、，交l 于M 点（异于A B 、），设12,MA AN MB BN λλ==，问12λλ+是否为定值？说明理由1422=+my x相交：（1）椭圆的弦长中，长轴最长，短轴最短；（2）椭圆的焦点弦中，长轴最长，垂直于长轴的弦最短；（3）椭圆的焦半径中，a c+最长，a c-最短；例10、（2017春10）设椭圆2212xy+=的左右焦点分别为12F F、，点P在椭圆上，则使得12F F P ∆是等腰三角形的点P 的个数是______例11、设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点. 当的模最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围．★★★直线与圆锥曲线相交问题常规方法是设而不求+韦达定理，常见的题型为：数量积（角度问题），弦长问题、面积问题例12、设、分别是椭圆的左、右焦点.设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.)0,(m M 1121622=+y x P MP P m 1F 2F 1422=+y x )2,0(M l A B AOB O l k小结：①点Q 在以AB 为直径的圆O 内2ABOQ ⇔<AQB ⇔∠为钝角0QA QB ⇔⋅< ②点Q 在以AB 为直径的圆O 上AQB ⇔∠为直角0QA QB ⇔⋅= ⑤点Q 在以AB 为直径的圆O 外AQB ⇔∠为锐角0QA QB ⇔⋅>例13、已知椭圆22:132x y C +=，直线l 与椭圆交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同的点，以,OP OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNP 面积为6时，求平行四边形OQNP 的对角线之积ON PQ ⋅的最大值；知识点6、由圆到椭圆——几个重要的定值例14、（这三个结论较常见，可不讲）椭圆中的“垂经定理”2、椭圆的“直径所对角”22 AB OCb k Ka⋅=-1 AB OCk k⋅=-3、椭圆的切线性质例15、椭圆内接三角形的最大面积22 AB OCb k Ka⋅=-1AB OCk k⋅=-22 AC BCb k Ka⋅=-1AC BCk k⋅=-例16、椭圆内接四边形面积的最大值max 334ABC S S ab ∆==2max 334ABC S S r ∆==知识点7、综合题例17（浙江2016高考理19题（共20题））如图，设椭圆()222:11x C y a a+=>22AC BD b k k a ⋅=-max 2S ab =1AC BD k k ⋅=-2max 2S r =（1）求直线1y kx =+被椭圆截得的弦长（用,k a 表示）； （2）若任意以点()0,1A为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆a 的取值范围1、“”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的 ( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件35m -<<2、已知ABC ∆的顶点()()4,0,4,0B C -，周长为18，求顶点A 的轨迹方程3、设、分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;4、已知椭圆2214x y +=的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上任意一点，当12PF F ∆的内切圆的面积最大时，求12PF F ∆的内心的坐标。
椭圆讲义
椭 圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离 等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 用符号语言表示为：21||||2MF MFa += 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ．.(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ．注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
3．椭圆的性质y xMF 1O F 2A 1A 2B 2B 1（1）第一定义——把椭圆从圆中分离椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2个新的定点——焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆, 其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.① 设点：设点M （y x ,）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 F 1（-c ,0）、F 2（c ,0）② 列式：依据椭圆的定义式∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a 列方程，并将其坐标化为()()a y c x y c x 22222=+-+++。
椭圆培优经典讲义(教师版)
圆锥曲线与方程第一节椭圆考点一……椭圆的定义及应用2 21. （2009年北京卷，理12）椭圆- 上1的焦点为 戶、F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,贝U92|PF 2|= ______ , / F 1PF 2的大小为 ________ .2 2解析:由椭圆方程 - L 1可知a 1 2=9,b 2=2,922.c =7,c= 7 ,a=3.由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6, 由 |PF 1|=4,得|PF 2|=2.在△ PF 1F 2中，由余弦定理的推论有2 2 2cos / F 1PF 2= PF 1—PF 2_F 1F 2_2|PF1||PF2|=422228S A FAE =1 X (2 X 3 4) X (1+1)=3.2 2答案：32 23. (2009年上海卷,理9)已知F i 、F 2是椭圆C:手 ％ 1 (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上a b解析:由题意可知,1器 2 =9,①2 4 2=12 *•••/ RPF 2=120° . 答案:2120°2 22. （2012年四川卷，理15）椭圆- 土 1的左焦点为F,直线x=m 与椭圆相交于点 A B,当厶43FAB 的周长最大时，△ FAB 的面积是________ .解析：由椭圆定义可知，当直线x=m 过椭圆右焦点（1,0）时，△ FAB 的周长最大.2 2由椭圆方程—仝1知a=2,c=1.43当X=1时，由1 — 1 ,433 - 2土= y得一点,且PF 1PF 2 ,若厶PF 1F 2的面积为 9,则 b=________ULJL T 2 PF LUU U 2PFUULLT 2 2 F 1F 2 =(2c),②由椭圆定义可知,|PF i |+|PF 2|=2a,③ 联立①②③解得a 5-c 2=9,2即 b =9, ••• b=3. 答案：3 考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(20132 2年新课标全国卷I ,理10)已知椭圆E:4 1 (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( )2(A)- 45 2 2 2yx y1 (B)136 36 27 2 (C)-27 2 221 (D) x_ y_ 1 1818 9解析：已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率 ，可以用两点式求解设 A(x i ,y i ),B(x 2,y 2),AB 的中点 D(1,-1), 则 k AB =],2X 1+X 2=2,y 计y 2=-2,答案:D2. (2011年新课标全国卷，理14)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点R 、F 2 在x 轴上，离心率为—,过F 1的直线I 交C 于A 、B 两点，且厶ABF 的周长为16,那么C 的方2程为 ________ .2 2解析：设椭圆标准方程为 二 占1 (a>b>0),a b由题意知 |BA|+|BF 2|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|+|AF 1|+|AF 2|=4a=16, • a=4,由 e=- = 2得 c=2 - 2 , a 2.222 f• b =a -c =8,2 2•••椭圆标准方程为 -1.5y 2=- bX 1 X 2~2X 2 a 讨1y 2• a 2=2b 2.又因 c=3,所以 b 2=9,a 2=18,2X 1 2y 1 b 22X 2 a2y 2 b 21,1,两式相减得：X1 X2 2X1 X2+a=0,椭圆方程为 2 X182眷1 .故选D.16 82 2答案：L仝i16 82 23. (2011年江西卷，理14)若椭圆$ 占1的焦点在x轴上，过点1,丄作圆x2+y2=1的切线，a b 2切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_______ .解析:设点D 1,1 ,2由平面几何知识易知,AB丄OD,…k AB=-2.设AB方程为y=-2x+m.又过点1,1作圆x2+y2=1的切线中有一条是 x=1,2不妨设B(1,0).把x=1,y=0代入 AB方程，可得 m=2.由题意可知,b=2,c=1,••• a2=5.2 2 •椭圆方程为 '工1.5 42 2答案：竺乂 15 4考点三…椭圆离心率的求法 ....2 21. (2012年新课标全国卷，理4)设F1,F2是椭圆E:笃爲1 (a>b>0)的左、右焦点,P为直a b线x=3a上一点，△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) 2(A) 1(B) - (C) - (D)-2 3 4 5解析:如图所示,设直线x=-a与x轴的交点为Q,2由题意可知，/ F2F1P=Z F1PF2=30°,|PF2|=|F 1F2|=2c,•••/ PRQ=60° , / F2PQ=301•••|F2Q|=1|PF2|.2即3 a-c= 1• 2c,2 2•••e=£=3答案:C2 22. (2013年福建卷,理14)椭圆r :寿 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F I,F2,焦距为2c.a b若直线y= 3 (x+c)与椭圆r的一个交点满足/ MFF2=2/ MFF I,则该椭圆的离心率等于________ .解析：直线y= 3 (x+c)过点F I(-C,O)且倾斜角为60° ,所以/ MFF2=60° , / MFF I=30° ,所以/ F I MF=90° ,所以 RM! F2M,在 Rt △ F1MF 中,|MF1|=c,|MF 2|= 3 c,所以 e=c=?£= 2c = 2c =3-1.a 2a |MFj |MF2| c J3c答案：.3-12 23. (2013年辽宁卷，理15)已知椭圆C:乡爲1 (a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的a b直线相交于 A,B两点，连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,COS/ ABF=4 ,则椭圆C的离心率5e=解析：如图所示,由|AB|=10,|AF|=6,COS/ ABF=4 ,得 BF=8,则 AF丄 BF,半焦距 c=FO=」AB=5.设椭圆右焦点为F2,由对称性知 AR=BF=8,a=7,所以e=-c=-5 . a 7答案:|考点四….直线与椭圆的位置关系1. (2014高考新课标全国卷n是C上一点且MF与x轴垂直，直线MF与C的另一个交点为 N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率；⑵若直线 MN在 y轴上的截距为 2,且|MN|=5|F 1NI，求a,b.5,理20)设R,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左，右焦点,M解:⑴根据c=及题设知M'c^ ,,2b 2=3ac.将b=a-c 2代入2b=3ac,解得洋汁 2.(舍去)•故C的离心率为.⑵由题意,原点0为F1F2的中点，MF2〃 y轴,所以直线MF与y轴的交点D(0,2)是线段MF的中点，故=4,即口2b =4a.①由|MN|=5|F i N|得 |DF i|=2|F i N|.设N(x i,y i),由题意知y i<0,则J 二UI对=£即代入C的方程，得寻*=1.②将①及c=、--代入②得解得a=7,b 2=4a=28,故 a=7,b=^：-|.2. (2014高考新课标全国卷I ,理20)已知点A(0,-2),椭圆E：W +「=1(a>b>0)的离心率为-,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为一,O为坐标原点 (1)求E的方程；⑵设过点A的动直线I与E相交于P,Q两点，当厶OPQ的面积最大时，求I的方程.解:(1)设F(c,O),又D ,所以 a=2,b 2=a 2-c 2=1.故E 的方程为宁+y 2=1.4⑵ 当I 丄x 轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).将y=kx-2代入二+y 2=1得22(1+4k )x -16kx+12=0.从而 |PQ|="；广I |x i -x 2|=S A OPC T -d • |PQ| =因为t+f > 4,当且仅当t=2,即k= 土「时等号成立，且满足△ >0.所以，当厶OPQ 勺面积最大时,l 的方程为y=—x-2 或 y=-—x-2.3. (2013年新课标全国卷H ,理20)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 焦点的直线x+y- 3=0交M 于A,B 两点,P 为AB 的中点，且OP 的斜率为丄.2(1)求M 的方程；⑵C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CDL AB,求四边形ACBD 面积的最大值2 2 2 2解：(1)设A(x1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则 込1 ,电 与 1 ,皿~" =-1,a ba bx 2 x 12由此可得I X 2 X 1=-追Xi*a y 2 y 1x 2 x1当厶=16(4k 2-3)>0,即 k 2A 时,X 1,2 =又点O 到直线PQ 的距离d=,所以△ OPQ 勺面积设J+fcH -3=t ，则 t>O,S dt 斗△ OPQ ^=—2 2M:笃占 1 (a>b>0)右 a b设 C(X 3,y 3),D(x 4,y 4).y x n,由 x2y 2得 3X 2+4nx+2n 2-6=0.-乞163十口 2n v '2 9 n 2于是X 3,4=.3因为直线CD 的斜率为1,所以 |CD|=盪 |x 4-x 3|= 4J9 n 2.3由已知,四边形ACBD 勺面积 S=! |CD| • |AB|= 8 69 n 2.2 9当n=0时,S 取得最大值，最大值为 ^63所以四边形ACBD 面积的最大值为出.34. (2014高考浙江卷，理21)如图，设椭圆C: +「=1(a>b>0),动直线I 与椭圆C 只有一个公共 点P,且点P 在第一象限(1)已知直线I 的斜率为k,用a,b,k 表示点P 的坐标;⑵若过原点O 的直线I 1与I 垂直，证明：点P 到直线11的距离的最大值为a-b.因为 x i +X 2=2x o ,y i +y 2=2y o , X 0= 1 ,X o 2所以 a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(3,0),故a 2-b 2=3. 因此 a 2=6,b 2=3.2所以M 的方程为L62y_~3x y0,⑵由x 2 y 2解得£亍1,4/33或 _3 Tx 0, y 3.因此|AB|=甘.由题意可设直线 CD 的方程为y=x+n解:(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0), r y = kx in,由弓十gr消去y得2222 2 2222(b +a k )x +2 a kmx+am-a b =0.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为卡—，丿.⑵ 由于直线11过原点0且与I 垂直，故直线11的方程为x+ky=0,所以点P 到直线I i 的距离 |严一」「 d=Jl+fc 6当且仅当k 2=时等号成立二所以，点P 到直线I i 的距离的最大值为 a-b.2 25. (2012年福建卷，理19)如图，椭圆E:笃yT 1 (a>b>0)的左焦点为R,右焦点为F 2,离心a b率e=-.过F 1的直线交椭圆于 A 、B 两点，且厶ABF 的周长为8.26 设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点 P,且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点 M,使得以PQ 为直径的圆恒过点 M 若存在，求出点M 的坐标；若不 存在,说明理由. 解：(1)由椭圆定义知， |AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a, △ F 2AB 的周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2| =4a.由于I 与C 只有一个公共点 ,故厶=0,即b 1 2-m 2+a 2k 2=0,解得点P 的坐标为，『知孤丁2 2卜亠因为 a k + > 2ab,it"••• 4a=8,a=2, 又 e=2=1,a 2c=1, • b =3.2 2•椭圆E 的方程是、乙1.43y kx m,⑵由x 2 y 2消去y,143整理得(3+4k 2)x 2+8mkx+4n 2-12=0. •••动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点2 2 2• △ =(8km) -4(3+4k )(4m -12)=0,m 工 0, 整理得m=4k 2+3.①y o =k • 兰 +m=2 ,m m• P 4k 3.・ P -- , .m mx 4 由 ’ 得 Q(4,4k+m).y kx m假设在坐标平面内存在定点 M,使得以PQ 为直径的圆恒过点 由椭圆的对称性可知，点M —定在x 轴上， 设 M(X 1,0),rULLr 4k 3 UULU则 MP = — X1,— , MQ =(4-x 1,4k+m).m m•/ MP! MQ,即M P • MQ =0对满足①式的所有m,k 均成立, 即 4kx 1 (4-x 1)+ — • (4k+m)=0对满足①式的所有mmm整理得(4x 1-4) -+ x ! -4x 1+3=0.② m 由于②对满足①的 m,k 恒成立，故存在定点M(1,o),使得以PQ 为直径的圆恒过点(1) 求椭圆E 的方程；此时X o =8mk 2 3 4k 24k m4X 1 4 0, x ； 4x , 3o,解得 x1=1.P(x o ,y o ),M,M.。
椭圆辅导讲义
椭圆定义的应用例：（1）已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =交于点A 、B ，求ABM ∆的周长。
（2）已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB = ；1、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，AB 是经过焦点1F 的弦且8AB =，若椭圆长轴长是10，求21F A F B +的值；２、已知Ａ、Ｂ是两个定点，4AB =，若点Ｐ的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆，则PA PB +的值可能为（ ）Ａ ２ Ｂ ３ Ｃ ４ Ｄ ５３、椭圆221259x y +=的两个焦点为1F 、2F ，Ｐ为椭圆上一点，若01290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积。
４、设Ｐ是椭圆221499x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，，若12PF =，则2PF = 5、椭圆221259x y +=上一点Ｍ到焦点1F 的距离为２，Ｎ是1MF 中点，则ON =（ ） Ａ ２ Ｂ 6 Ｃ ４ Ｄ 326、在椭圆2219y x +=上有一点P ，1F 、2F 分别是椭圆的上下焦点，若122PF PF =，则2PF = ；7、若方程22125x y k k+=--表示椭圆，则的取值范围为 ； 椭圆标准方程例：已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e =，短轴长为，求椭圆的标准方程。
1、 已知椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程；2、（2011课标全国）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴F 1的直线交于C ,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。
3、（2011陕西）椭圆C: ()222210x y a b a b+=>>过点（0，4），离心率为35，求C 的方程； 4、（2013高考陕西）已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍， 求动点M 的轨迹C 的方程5、 椭圆2214x y m +=的焦距等于2，则m 的值为（ ） Ａ5或３ Ｂ 8 Ｃ 5 Ｄ 16椭圆的离心率问题例：（1）已知已知1F 、2F ，是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足12||2||PF PF =，01230PF F ∠=，求椭圆的离心率。
椭圆讲义最新
椭圆讲义知识网络：1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质1．已知两定点A(－1,0)，B(1,0)，点M满足MA＋MB＝2，则点M的轨迹是____________．2．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．4．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1＝________，PF2＝________.5．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________.例1、 (1)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 是周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12解析 ：根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.训练1、已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝1例2、一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解 如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r .则由圆相切的性质知，CO 1＝1＋r ，CO 2＝9－r ， ∴CO 1＋CO 2＝10，而O 1O 2＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.变式迁移1 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．变式迁移1 解 将圆的方程化为标准形式为：(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B (－2,0)，r ＝6.设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，动圆与已知圆的切点为C .则BC －MC ＝BM ，而BC ＝6， ∴BM ＋CM ＝6.又CM ＝AM ， ∴BM ＋AM ＝6>AB ＝4.∴点M 的轨迹是以点B (－2,0)、A (2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆． a ＝3，c ＝2，b ＝ 5. ∴所求轨迹方程为x 29＋y 25＝1.例3、 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9a2＝1，∴a ＝3，又2a ＝3²2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3²2b ， ∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．变式迁移2 解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程， 则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 例4、 已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )． 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m ：的取值范围；解析：曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2，⇨(3分)解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫72，5.⇨ 例5、 6．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：选C 根据题意直线PF 2的倾斜角是π3，所以32a －c ＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|＝12³2c ，解得e ＝34.变式练习：(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55. 答案：55例6、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解析： (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF 1＋PF 2＝2a ，得到a 、c 的关系．(2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧定义式的平方余弦定理面积公式⇔⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 22＝a2，4c 2＝PF 21＋PF 22－2PF 1²PF 2²cos θ，S △＝12PF 1²PF 2²sin θ.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn .∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．变式迁移3 解 (1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－ba ，OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设F 1Q ＝r 1，F 2Q ＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， ∴r 1＋r 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．最值问题例7、设F 1，F 2分别是椭圆221x y +=的左右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF 的最大值和最小值．解:易知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )，则12PF PF ＝(－3－x ,－y )·(3－x ,－y )＝x 2＋y 2－3＝x 2＋1－x 24－3＝14(3x 2－8)．因为[]2,2-∈x ，故当x =0, 即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF有最小值－2；当x =±2，即点P 为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.变式练习.点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
培优讲义 椭圆
1. 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ,右焦点为F ,
右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若
126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.
2. 椭圆122
22=+b
y a x (0>>b a )的左焦点为F,直线m x =与椭圆相交于A,B 两点,若
FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积为ab ,则椭圆的离心率为________.
3. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22
2
21(0)x y a b a b
+=>>的 四个顶点，F 为其右焦点，直线
12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为__________.
4. 已知1F 、2F 分别是椭圆1
482
2=+y x 的左、右焦点, 点P
是椭圆上的任
意一点, 则121
||
PF PF PF -的取值范围是__________.
5. 设椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为12,F F ,上顶点为A ,过点A 与
2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ,且2221=+F F F .则椭圆C 的离心率为
___________.
6. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点A 是椭圆22
1259
x y +=上的一个动点,点P 在线段OA 的
延长线上,且72OA OP ⋅=
,则点P 横坐标的最大值为______.
7. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率e =
、B
是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不
同于A 、B 的一点,直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β,则cos()cos()αβαβ-+=___________.
8.P 为椭圆错误！未找到引用源。
，M ，N 分别是圆错误！未找到引用源。
上的点，则错误！未找到引用源。
.
9.已知椭圆E ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 .
10.椭圆Γ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)
与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．
11. 椭圆C ：x 2
4＋y
2
3＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围
是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1
12. 如图1－2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在
第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6
2
13. 设点)29,0(P ，动点B A ,在椭圆19
182
2=+y x 上且满足λ=，试求λ的取值范围.
14. 如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且
2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点
Q R 、，且||||PQ PR <，求
||
||
PR PQ 的取值范围.
答案：1.错误！未找到引用源。
；2.错误！未找到引用源。
；3.错误！未找到引用源。
；
4.
[0,2]；5. 21=e ； 6.15 ；7.错误！未找到引用源。
8. [7,13]；9. x 218＋y 29＝1；10. 3－1；11.B ；12.D ；。