(四川版)201704中考数学专题复习(10)切线的判定与性质的综合应用课件

【对应训练】 2．(导学号 14952228)(2016· 达州)如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接 AC，BC，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D，过点 A 作 半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E，连接 BD 并延长交 AE 于点 F. (1)求证：AE· BC＝AD· AB； 3 (2)若半圆 O 的直径为 10，sin∠BAC＝ ，求 AF 的长． 5
PE PC 解：(1)∵PE ＝PA· PC，∴ ＝ ，∵∠ APE＝∠EPC，∴△PAE ∽△ PA PE
2
PEC (2)如图 1，连接 BE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠OBE＝∠PCE，∴∠OEB ＝∠PCE，∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE，∴∠PEA＝∠OEB， ∵AB 为直径，∴∠AEB＝90°，∴∠OEB＋∠OEA＝90°，∴∠PEA ＋∠OEA＝90°，∴∠OEP＝90°，∵点 E 在⊙O 上，∴PE 是⊙O 的 切线
四川专用
专题十 切线的判定与性质的综合应用
数学
圆与相似三角形
【例 1】(导学号 14952225)(2016· 柳州)如图，AB 为△ABC 外接圆⊙O 的直径， 点 P 是线段 CA 延长线上一点， 点 E 在圆上且满足 PE2＝PA· PC， 连接 CE，AE，OE，OE 交 CA 于点 D. (1)求证：△PAE∽△PEC； (2)求证：PE 为⊙O 的切线； 1 (3)若∠B＝30°，AP＝ AC，求证：DO＝DP. 2
解：(1)∵AB 为半圆 O 的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴∠CAB＋ ∠AOE＝90°，∠ADE＝∠C＝90°，∵AE 是切线，∴OA⊥AE，∴∠E ＋∠AOE ＝ 90 ° ， ∴∠ E ＝∠CAB ， ∴△ EAD ∽△ ABC ， ∴ AE ∶ AB ＝ AD∶BC，∴AE·BC＝AD· AB (2)作 DM⊥AB 于点 M，∵半圆 O 的直 3 径为 10，sin∠BAC＝ ，∴BC＝AB· sin∠BAC＝6，∴AC＝ AB2－BC2＝ 5 1 8，∵OE⊥AC，∴AD＝ AC＝4，∵∠BAC＝∠DAM，∴sin∠BAC＝sin 2 ∠MAD＝ DM 12 ， ∴DM＝ ， AM＝ AD2－DM2＝ AD 5 42－（ 12 2 16 ）＝ ， BM 5 5
分析：(1)利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；(2)连接 BE，转化出∠OEB＝∠PCE，又由相似得出∠PEA＝∠PCE，从而用直
径所对的圆周角是直角，转化出∠OEP＝90°即可；(3)构造全等三角形
，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出 OD＝PE，得出△ODM≌△PDE即可．
解： (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠ABE＝90°， ∵∠EAB＝∠BDE， ∠BDE＝∠CBE， ∴∠CBE＋∠ABE＝90°， 即∠ABC ＝90°，∴AB⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线 (2)∵BD 平分∠ABE，∴∠1 (3)连接 OD，如图， ＝∠2，而∠2＝∠AED，∴∠D＝∠1，∵∠FDE＝∠EDB，∴△DFE ∽△DEB，∴DE∶DF＝DB∶DE，∴DE2＝DF· DB ∵OD＝OB，∴∠2＝∠ODB，而∠1＝∠2，∴∠ODB＝∠1，∴OD∥BE， PD PO PD 2 ∴△POD∽△PBE，∴ ＝ ，∵PA＝AO，∴PA＝AO＝BO，∴ ＝ ， PE PB PE 3 ∵DE＝2，∴ PD 2 ＝ ，∴PD＝4 PD＋2 3
解：(1)连接 OC，∵EC 切⊙O 于点 C，∴OC⊥DE，∴∠1＋∠3＝90°， 又∵OP⊥OA，∴∠2＋∠4＝90°，∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠ 4，又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴DP＝DC，即△PCD 为等腰三角形(2) 如图 2，连接 OC，BC，∵DE 与⊙O 相切于点 C，BF∥DE，∴OC⊥BF， ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ∴CF＝BC，又∵CG⊥AB，∴CB＝BG，∴CF＝BG，∴∠FBC＝∠BCG， 3 ∴CQ＝BQ＝5，∵BF∥DE，∴∠ABF＝∠E，∵sinE＝ ，∴sin∠ABF＝ 5 3 ，∴QH＝3，BH＝4，设⊙O 的半径为 r，∴在△OCH 中，r2＝82＋(r－ 5 4)2，解得 r＝10，又∵∠AFB＝90°，sin∠ABF＝ AF 3 ＝ ，∴AF＝12 AB 5
【对应训练】 1． (导学号 ︵ 14952226)(2016· 黔南州)如图， AB 是⊙O 的直径， 点 D 是AE
上一点，且∠BDE＝∠CBE，BD 与 AE 交于点 F. (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若 BD 平分∠ABE，求证：DE2＝DF· DB； (3)在(2)的条件下，延长 ED，BA 交于点 P，若 PA＝AO，DE＝2，求 PD 的长．
1 (3)如图 2，过点 O 作 OM⊥AC 于 M，∴AM＝ AC，∵BC⊥AC，∴OM 2 ∥BC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOM＝30°，∴OM＝ 3AM＝ 3 AC，∵ 2
1 AP＝ AC，∴OM＝ 3AP，∵PC＝AC＋AP＝2AP＋AP＝3AP，∴PE2＝ 2 PA· PC＝PA· 3PA，∴PE＝ 3PA，∴OM＝PE，∵∠PED＝∠OMD＝90°， ∠ODM＝∠PDE，∴△ODM≌△PDE，∴DO＝DP
是 AB 延长线上一点，EC 切⊙O 于点 C，OP⊥AO 交 AC 于点 P，交 EC
分析：(1)连接 OC， 由切线性质和垂直性质得∠1＋∠3＝90°， ∠ 2 ＋ ∠4 ＝90°， 继而可得∠3＝∠5 得证； (2)连接 OC， BC， 先根据切线性质和平行 线性质及垂直性质证∠BCG＝∠QBC 得 QC＝QB＝5， 而 sinE＝sin∠ABF 3 ＝ ， 可知 QH＝3， BH＝4， 设圆的半径为 r， 在 Rt 在△OCH 中根据勾股定 5 理可得 r 的值， 在 Rt△ABF 中根据三角函数可得答案．
圆与三角函数
【例 2】(导学号 的延长线于点 D. (1)求证：△PCD 是等腰三角形； (2)CG⊥AB 于点 H，交⊙O 于点 G，过点 B 作 BF∥EC，交⊙O 于点 F， 3 交 CG 于点 Q，连接 AF，如图 2，若 sinE＝ ，CQ＝5，求 AF 的值． 5 14952227)(2016· 雅安)如图 1，AB 是⊙O 的直径，E