传热学第二章 稳态导热
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《传热学》第二章 稳态导热
断面周长： 断面面积：
进行负内热源处理后等截面直肋导热微分方程组如下：
（假定肋端绝热）
定义： 令：
—— 过余温度
使导热微分方程齐次化：
并解出其通解为：
代入边界条件求出c1和c2，并代入通解，得出特解：
等截面直肋的温度分布：
肋端过余温度：
肋片散热量：
当考虑肋端散热时，计算肋片散热量时可采用假想肋高
n层圆筒壁的单位管长热流量：
二、第三类边界条件
常物性时导热微分方程组如下：
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知） 与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
三、临界热绝缘直径
有绝缘层时的管道总热阻：
当dx增大时： 增 大 减 小
代入肋片效率定义，得到：
肋片效率计算式：
m和l对肋片效率的影响分析：
a. m一定时，l越大，Φ越大，但ηf越低
采用长肋可以提高散热量，但却使肋片散热有效性降低
b. l一定时，m越大，ηf越低
可采用变截面肋片设法降低m
根据肋片效率计算散热量的方法（查线图法）：
矩形及三角形直肋的肋片效率
环肋的肋片效率
h较小时
应用实例：细管，电线 电线的绝缘层外直径小于临界热绝缘直径时， 可起到散热作用
第四节 具有内热源的平壁导热
应用领域：混凝土墙壁凝固
研究对象：厚度为2δ的墙壁，内热源强度为qv， 两边为第三类边界，中间为绝热边界， 取墙壁的一半为研究对象建立导热微分方程 常物性时导热微分方程组如下：
积分两次，得：
《传热学》
第二章 稳态导热
导热微分方程：
稳态时满足：
第2章-导热理论基础以及稳态导热
第二章 导热基本定律及稳态导热1、重点内容：① 傅立叶定律及其应用；② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。
2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法3、了解内容：多维导热问题第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。
根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的：基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。
① 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 ② 能准确的预测研究系统中的温度分布导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。
首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。
最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。
§2—1 导热基本定律一 、温度场1、概念温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。
由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。
一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。
即：),,,(τz y x f t =其中z y x ,,为空间坐标，τ为时间坐标。
2、温度场分类1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式),,,(z y x f t =。
2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式),,,(τz y x f t =。
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。
3、等温面及等温线1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。
2）等温线（1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学第二章稳态热传导
n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
高等传热学_第二章_稳态导热
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
传热学第二章 稳态导热
c t
1 r
r
r
t r
1 r2
t
z
t z
Φ
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25
x r sin cos; y r sin sin; z r cos
c t
1 r2
r 2
c
a c
a 称为热扩散率，又叫导温系数。
(thermal diffusivity)
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21
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能
力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间
的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某 一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体 中很快扩散
第二章 稳态导热
§2-1 基本概念 §2-2 一维稳态导热
2019/9/11
1
分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究 方法，即针对物理现象建立物理模型，而后 从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的 形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解 的理论分析方法。
导热问题是传热学中最易于采用此方法处理 的传热方式。
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内 各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应 导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重 要物理量
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22
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物 体内部各处的温度差别越小。
a木材 1.5107 m2 s，a铝 9.45105 m2 s
a木材 a铝 1 600
19
微元体内热源的生成热为：
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
传热学第二章
△n
Δn0 Δn n
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向；
•温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义：
温度场 t f (x, y, z) 中点(x, y, z) 处的温度梯度：
gradt t i t j t k x y z
温度梯度垂直于等温面吗？
设等温面方程： t f (x, y, z) c 在点 (x, y, z)处,等温面的法线向量n n ( t , t , t ) x y z gradt 平行于 n
梯度方向垂直于等温面。
两个定义一致，解析定义便于计算
（4） 热流密度
热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量，用 q 表示，单位为 W / m2。
根据上面的条件可得：
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t z
)
qv
(cp t)
d 2t dx2
0
第一类边界条件：
x 0,t t1
x ,t t2
直接积分：
dt dx
c1
带入边界条件：
t c1x c2
c1
t2
t1
c2 t1
t
t2
t1
x
t1
dt t2 t1
dx
带入傅里叶定律得
t y
qz
t z
对于一维导热问题：
q dt
dx
3 导热系数
导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出
q t n
n
(1)物理意义：
表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下 的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由 专门实验测定出来的。
东南大学传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
第二章 导热基本定律 及稳态导热
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
《传热学》第2章-稳态导热
第一类边界条件： x 0 , t t w1 积分得:
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
传热学ch2稳态导热
反。
dΦ/dA为通过该点的热流密度，傅里叶定律 的热流密度表达式写为：
t q λ n
负号表示热流方向和温度梯度方向相反，即 指向温度降低的方向。 q是沿n方向传递的热流密度（严格地说热 流密度是矢量，所以q应是热流密度矢量在 n方向的分量）单位为W/m²。 t n 是物体沿n方向的温度变化率
2.1.2导热基本定律 1）傅里叶导热定律 定义式： dΦ λ dA t
n
λ——导热系数 A——传热面积，单位为m² t ——温度，单位为K
物理意义：
通过物体内某点微元面积dA，在单位时间里传 递的热量与该点处的温度梯度以及截面面积成正 比。导热基本定律说明的是通过物体中任一点导 热量的大小，热量传递的方向和温度传递的方向相
假定前提：热扰动的传递速度无限大。 不适用范围（非傅里叶导热）： 1）温度效应，导热物体的温度接近0K时； 2）时间效应，当过程的作用时间极短，与材料 本身固有的时间尺寸（松弛时间）相接近时； 3）尺度效应，当过程发生的空间尺寸极小，与 微观粒子的平均自由行程相接近时。
已知条件：无内热源、λ为定值、稳态 导热微分方程： t 0
c. 温度与热导率的关系 物体热导率随温度的变化关系比较复杂,如 图所示，但一般在某个不大的温度范围内， 可以认为二者之间成线性关系，一般写成 0 (1 bt) 其中b称为温度系数。
温度对物质的热导率具有较大的影响，同 一物体温度变化，热导率一般也发生变化。 因此，在谈论某种物体的热导率时，一般 应指明物体此时所处的温度，如果没有指 明，一般物体温度为常温。
一维稳态温度场假设肋片受到流体冷却肋基温度为t高温肋片温度沿肋高h下降由于肋片一般在长度方向肋宽方向较长所以温度在该方向不变在肋片厚度方向由于肋片很薄且大所以该方向温度也不变所以温度只在肋高方向变化是一维稳态温度场如图221则1宏观整个肋片上从肋基到肋端取为控制体则能量平衡为
dΦ/dA为通过该点的热流密度，傅里叶定律 的热流密度表达式写为：
t q λ n
负号表示热流方向和温度梯度方向相反，即 指向温度降低的方向。 q是沿n方向传递的热流密度（严格地说热 流密度是矢量，所以q应是热流密度矢量在 n方向的分量）单位为W/m²。 t n 是物体沿n方向的温度变化率
2.1.2导热基本定律 1）傅里叶导热定律 定义式： dΦ λ dA t
n
λ——导热系数 A——传热面积，单位为m² t ——温度，单位为K
物理意义：
通过物体内某点微元面积dA，在单位时间里传 递的热量与该点处的温度梯度以及截面面积成正 比。导热基本定律说明的是通过物体中任一点导 热量的大小，热量传递的方向和温度传递的方向相
假定前提：热扰动的传递速度无限大。 不适用范围（非傅里叶导热）： 1）温度效应，导热物体的温度接近0K时； 2）时间效应，当过程的作用时间极短，与材料 本身固有的时间尺寸（松弛时间）相接近时； 3）尺度效应，当过程发生的空间尺寸极小，与 微观粒子的平均自由行程相接近时。
已知条件：无内热源、λ为定值、稳态 导热微分方程： t 0
c. 温度与热导率的关系 物体热导率随温度的变化关系比较复杂,如 图所示，但一般在某个不大的温度范围内， 可以认为二者之间成线性关系，一般写成 0 (1 bt) 其中b称为温度系数。
温度对物质的热导率具有较大的影响，同 一物体温度变化，热导率一般也发生变化。 因此，在谈论某种物体的热导率时，一般 应指明物体此时所处的温度，如果没有指 明，一般物体温度为常温。
一维稳态温度场假设肋片受到流体冷却肋基温度为t高温肋片温度沿肋高h下降由于肋片一般在长度方向肋宽方向较长所以温度在该方向不变在肋片厚度方向由于肋片很薄且大所以该方向温度也不变所以温度只在肋高方向变化是一维稳态温度场如图221则1宏观整个肋片上从肋基到肋端取为控制体则能量平衡为
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
1、导入微元体的净热量
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
高等传热学Chap2
ρcp
∂t ∂t ∂t ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t + u + v + w = λ + λ + λ + Φ + Φv ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂τ
d dt λ + Φv = 0 dx dx
§2-1 一维稳态导热
自变量变换关系： 自变量变换关系：
ξ=lnr 和 η=1/r
定义无因次温度： 定义无因次温度：
Θ=(t−t2)/(t1−t2)
定义无因次坐标： 定义无因次坐标： X=x/L=(ξ−ξ1)/(ξ2−ξ1) =(η−η1)/(η2−η1) 三种情况下温度分布统一表达式： 三种情况下温度分布统一表达式：
对于Φv=常数的情形，导热方程变为
Φv 1 d dt r = − r dr dr λ
连续积分两次得温度分布的通解 通解为： 通解
t=−
Φv 2 r + c1 ln r + c2 4λ
r = r0 , −λ dt = h tw − t f dr r = r0
对于半径为r0的长圆柱，第三类边界条件可写为
§2-1 一维稳态导热
圆柱表面温度 表面温度为： tw=tf+Φvr0/2h 表面温度 中心温度为： 中心温度 tc=tf+Φvr0/2h+Φvr02/4λ
r t − tw Θ= =1− tc − t w r 0
2
因此有无因次温度：
即温度呈抛物线分布 抛物线分布。 抛物线分布 对于内、外半径分别为r1和r2的圆筒壁，当为第一类边界条 件时，即r=r1时t=tw1，r=r2时t=tw2，温度分布 温度分布为 温度分布
∂t ∂t ∂t ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t + u + v + w = λ + λ + λ + Φ + Φv ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂τ
d dt λ + Φv = 0 dx dx
§2-1 一维稳态导热
自变量变换关系： 自变量变换关系：
ξ=lnr 和 η=1/r
定义无因次温度： 定义无因次温度：
Θ=(t−t2)/(t1−t2)
定义无因次坐标： 定义无因次坐标： X=x/L=(ξ−ξ1)/(ξ2−ξ1) =(η−η1)/(η2−η1) 三种情况下温度分布统一表达式： 三种情况下温度分布统一表达式：
对于Φv=常数的情形，导热方程变为
Φv 1 d dt r = − r dr dr λ
连续积分两次得温度分布的通解 通解为： 通解
t=−
Φv 2 r + c1 ln r + c2 4λ
r = r0 , −λ dt = h tw − t f dr r = r0
对于半径为r0的长圆柱，第三类边界条件可写为
§2-1 一维稳态导热
圆柱表面温度 表面温度为： tw=tf+Φvr0/2h 表面温度 中心温度为： 中心温度 tc=tf+Φvr0/2h+Φvr02/4λ
r t − tw Θ= =1− tc − t w r 0
2
因此有无因次温度：
即温度呈抛物线分布 抛物线分布。 抛物线分布 对于内、外半径分别为r1和r2的圆筒壁，当为第一类边界条 件时，即r=r1时t=tw1，r=r2时t=tw2，温度分布 温度分布为 温度分布
第二章--稳态导热
dxdx对于一维稳态导热问题因为热流密度是常数可由傅里叶定律分离变量并按相应的边界条件积分得到整理该方法仅适用于一维稳态导热问题
传热学
第 二 章 稳态导热
第一节 通过平壁的导热
1. 第一类边界条件下单层平壁的导热
h 10
假设；大平壁λ= 常数，表面积A，厚度δ，
无内热源，平壁两侧维持均匀恒定
恒定温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
确定（1）圆筒壁的温度分布； （2）通过径向的热流量。
λ
tw1
选取坐标系为圆柱坐标。 t f (r)
r1
dr r
r2
tw2 ф r
导热数学描述（导热微分方程+边界条件）
d (r dt ) 0 dr dr
B.C r r1 t tw1 r r2 t tw2
）
2
各过程的热流量分别为：
ql |rr1 h12r1(t f 1 tw1)
ql
tw1 tw2 1 ln r2
2 r1
ql rr2=h2 2 r2 tw2 t f 2
稳态导热过程中：
ql |rr1 ql |rr 2 ql
联立求解，整理得：
ql
tf1 tf2 1 1 ln d2
✓ 导热热阻（Conductive resistance）
q tw1 tw2
tw1 tw2
0
✓
总热阻：
R
A
K /W
tw1
x dx
Φ
tw2 ф
δx
Rλ
t w2
λ随温度发生变化时， 0 (1 bt)
导热微分方程为： d ( dt ) 0
传热学
第 二 章 稳态导热
第一节 通过平壁的导热
1. 第一类边界条件下单层平壁的导热
h 10
假设；大平壁λ= 常数，表面积A，厚度δ，
无内热源，平壁两侧维持均匀恒定
恒定温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
确定（1）圆筒壁的温度分布； （2）通过径向的热流量。
λ
tw1
选取坐标系为圆柱坐标。 t f (r)
r1
dr r
r2
tw2 ф r
导热数学描述（导热微分方程+边界条件）
d (r dt ) 0 dr dr
B.C r r1 t tw1 r r2 t tw2
）
2
各过程的热流量分别为：
ql |rr1 h12r1(t f 1 tw1)
ql
tw1 tw2 1 ln r2
2 r1
ql rr2=h2 2 r2 tw2 t f 2
稳态导热过程中：
ql |rr1 ql |rr 2 ql
联立求解，整理得：
ql
tf1 tf2 1 1 ln d2
✓ 导热热阻（Conductive resistance）
q tw1 tw2
tw1 tw2
0
✓
总热阻：
R
A
K /W
tw1
x dx
Φ
tw2 ф
δx
Rλ
t w2
λ随温度发生变化时， 0 (1 bt)
导热微分方程为： d ( dt ) 0
《传热学》第2章_稳态热传导
qt1t235 W3 /m 2
2021/5/23
第2章 稳态热传导
例2-2 一锅炉炉壁有三层材料组成，最里面的是耐火粘土砖，厚115mm，
中间层是硅藻土砖，厚125mm；最外面是石棉板，厚70mm，已知墙
壁内外表面的温度为495 ℃和60 ℃，试求每平方米炉强的热损失及分界
面上的温度。
假设：1. 一维问题；2. 稳态导热；3. 无接触热阻(界面紧密接触)
1,2，,导3 热系数
面温度t1，t4。
，1,两2,外3表
假设各层之间接触良好，可以近似地认
t2
t3 t4
为接合面上各处的温度相等
x 0
❖
第一类边界条件：
x
n i1
i
t t1 t tn1
t1
t2
t3
t4
❖
热阻：
2021/5/23
r1
1 1
....r.n.nn
三层平壁的稳态导热
关键点：界面热流密度、传热量处处相同
0时( n t)wf2()
3. 规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的 温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为
( n t)wh(twtf )
2021/5/23
第2章 稳态热传导
4. 如果导热物体表面与温度为Te的外界环境只发生辐射传热，称为
辐射边界条件。可表示为
T nTw 4Te4
更多的热量；2. 分母是单位体积的物体温度升高1℃所需要的
热量。a越大，表示物体内部温度扯平的能力越大。
2. 等号左边一项为非稳态项，也就是热力学能增量
3. 等号右边三项为通过界面的导热而使微元体增加的能量
4. 公式最后一项为源项
2021/5/23
第2章 稳态热传导
例2-2 一锅炉炉壁有三层材料组成，最里面的是耐火粘土砖，厚115mm，
中间层是硅藻土砖，厚125mm；最外面是石棉板，厚70mm，已知墙
壁内外表面的温度为495 ℃和60 ℃，试求每平方米炉强的热损失及分界
面上的温度。
假设：1. 一维问题；2. 稳态导热；3. 无接触热阻(界面紧密接触)
1,2，,导3 热系数
面温度t1，t4。
，1,两2,外3表
假设各层之间接触良好，可以近似地认
t2
t3 t4
为接合面上各处的温度相等
x 0
❖
第一类边界条件：
x
n i1
i
t t1 t tn1
t1
t2
t3
t4
❖
热阻：
2021/5/23
r1
1 1
....r.n.nn
三层平壁的稳态导热
关键点：界面热流密度、传热量处处相同
0时( n t)wf2()
3. 规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的 温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为
( n t)wh(twtf )
2021/5/23
第2章 稳态热传导
4. 如果导热物体表面与温度为Te的外界环境只发生辐射传热，称为
辐射边界条件。可表示为
T nTw 4Te4
更多的热量；2. 分母是单位体积的物体温度升高1℃所需要的
热量。a越大，表示物体内部温度扯平的能力越大。
2. 等号左边一项为非稳态项，也就是热力学能增量
3. 等号右边三项为通过界面的导热而使微元体增加的能量
4. 公式最后一项为源项
工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念
对于微元体，按照能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热 平衡关系： 导人微元体的总热流量十微元体内热源的生成热 ＝导出微元体的总热流量十微元体热力学能(即内能)的增量 (a) 式(a)中其他两项的表达式为 ∂t dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ d τ 微元体热力学能的增量＝ dU = c ρ 微元体内热源的生成热＝
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ρC p = λ ( 2 + 2 + 2 ) + qv ∂τ ∂x ∂y ∂z
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
d2t dx2 = 0
dt = c1 dx t = c1x + c 2
c 2 = t1 c1 = t 2 − t1
δ
∴t =
t 2 − t1
δ
x + t1
（2）根据傅里叶定律，得到：
q = −λ dt t 2 − t 1 t1 − t 2 = −λ = δ dx δ
λ
分析：（和电路分析类比 分析：（和电路分析类比） ：（和电路分析类比）
可类比：
t1 − t 2 q= Rλ
(I = ∆V V1 − V2 = ) R R
导热热阻
δ Rλ = λ
热流密度
q
温差 t1 − t 2
t1 − t 2 q= Rλ
（二）多层平壁： 如左图所示三层平壁，各层厚度分别为
δ1δ2δ3 ，导热系数为λ1λ2λ3，两侧 壁面的温度为t1和t4,求其温度场。 求解步骤： （1）画出串联热阻图
用傅理叶定律求解 在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则 根据傅里叶定律，边界条件r=r1,t=t1;r=r2,t=t2。 我们得:
传热学-2 导热基本定律和稳态导热
(3) a 表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力，所以a反应导热过程动态特 性，是研究不稳态导热重要物理量。
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
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①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
2020/6/14
5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
线），或者就终止与物体的边界上
2020/6/14
26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条 件，包括四项：几何、物理、初始、边界
2020/6/14
2020/6/14
3
②分类 a)随时间划分 稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。
t 0
tf(x,y,z)
非稳态温度场：温度分布随时间改变。
t 0
b)随空间划分 三维稳态温度场： 一维稳态温度场
tf(x,y,z,)
tf(x,y,z) t f (x)
2020/6/14
4
2 等温面与等温线
2020/6/14
2
§2-1 基本概念
1 温度场(Temperature Field) ①定义
某一瞬间，空间(或物体内)所有各点温度分布 的总称。 温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表 示。 温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标
系中，温度场可表示为： tf(x,y,z,)
t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标
c
(thermal diffusivity)
2020/6/14
21
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能
力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间
的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某 一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体 中很快扩散
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内 各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应 导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重 要物理量
第一章中给出了稳态条件下的付里叶定律，这
里可推广为更一般情况。
n
qgr
at dtn
x
t1
dt dn t t+dt
热流密度在x, y, z 方向
t2
0
x
的投影的大小分别为：
δ
qx x t; qy y t; qz z t
2020/6/14
9
5 导热系数
①定义 傅利叶定律给出了导热系数的定义 :
c t 1 r r r r t r 1 2 t z z t Φ
2020/6/14
25
x r s i n c o s ;y r s i n s i n ;z r c o s
ct
1 r2
r2
r
rtr2s1insint
r2s1in2t Φ
第二章 稳态导热
§2-1 基本概念 §2-2 一维稳态导热
2020/6/14
1
分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究 方法，即针对物理现象建立物理模型，而后 从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的 形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解 的理论分析方法。
导热问题是传热学中最易于采用此方法处理 的传热方式。
t4
2020/6/14
37
qt11t12 t22t23 t33t34
由和分比关系
t1
t2
t3 q
t4
q11＋t12t24＋33
总 推热广到阻n为层：壁r 的r1情r况2:r3q1 1t1t1 2 2 r 1t n 1 3 3 t2 r2
t3 r3
t4
n i
i 1 i
2020/6/14
38
t1
2020/6/14
7
系统中某一点所在的等温面与相邻等温面 之间的温差与其法线间的距离之比的极限 为该点的温度梯度，记为gradt。
gr a Ld i tm t tn ti tj tk n 0 n n x y z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向
2020/6/14
8
4 付里叶定律(Fourier’s Law)
x
dΦydydΦyy(yt)dxdyydz dΦzdzdΦzz( zt)dxdydz
单位时间内能增量 dUc t dxdydz
2020/6/14
19
微元体内热源的生成热为：
dQΦdxdydz
源项
最后得到：
c t x( x t) y( y t) z( z t)
单位时间内微元体的内能
o x0, t
x, t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dxc1 tc1xc2
2020/6/14
35
带入边界条件：
c1
t2
t1
线性分布
c2 t1
t t1
代入Fourier定律
t
t2 t1
xt1
dt t2 t1
dx
t2
o x
qt2 t1 t
t
(A)
R A
导热热阻
2020/6/14
q/gradt W/（m·℃ ）
单位温度梯度下物体内所产生的热流密度 。 它表示物体导热本领的大小 。
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11
根据一维稳态平壁导热模型，可
以采用平板法测量物质的导热系
数。对于图所示的大平板的一维 t1
稳态导热，流过平板的热流量与
t2
平板两侧温度和平板厚度之间的 关系为：
x
ΦAt1 t2
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31
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
导热问题求解方法：分析解法，试验解法， 数值解法.
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32
§2-2 一维稳态导热
稳态导热
t 0
直角坐标系: ( t)( t)( t) 0
x x y y z z
1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板 两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳 为一维稳态导热问题。
一般把导热系数仅仅视为温度 的函数，而且在一定温度范围 还可以用一种线性关系来描述。
0(1bT)
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14
记住常用物质的值:
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5 导热微分方程（Heat Diffusion Equation） ①一般形式
付里叶定律： qgradt
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要 任务。 建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随 空间坐标和时间变化的内在联系。
Φ q
At1t2 t1t2
q,,, t(t1t2)只要任意知道三个就可以
求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数
实验。
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②导热系数的影响因素
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密 切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
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在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物 体内部各处的温度差别越小。
a 木 材 1 .5 1 0 7 m 2s ， a 铝 9 .4 5 1 0 5 m 2s
a木材 a铝1600
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c t x( x t) y( y t) z( z t)
36
②通过多层平壁的导热
t1
多层平壁：由几层不同材料组成
例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 q 水泥沙浆层、红砖（青砖）主体 层等组成
t2 t3 t4
假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合
面上各处的温度相等
r1
1 1
t1 q
t1t2 q
r2
2 2
t2
t3 q
r3
3 3
t3t4 q
t1
r1
q
t2 r2 t3 r3
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（Boundary conditions）边界条件常见有三类
(a)第一类边界条件:给定系
统边界上的温度值，它可以
是时间和空间的函数，也可
以为给定不变的常数值
0
一般形式： tw = f(x, y,z,τ)
t=f(y,z,τ)
x1
x
稳态导热： tw = const；非稳态导热：tw = f ()
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从平板的结构可分为单层壁，多层壁和复合壁 等类型 。
a.单层壁导热 b.多层壁导热
c. 复合壁导热
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34
①通过单层平壁的导热
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t x( x t)Φ dd2x2t 0
30
(c) 第三类边界条件:该条 件是第一类和第二类边界 条件的线性组合，常为给 定系统边界面与流体间的 换热系数和流体的温度， 这两个量可以是时间和空 0 间的函数，也可以为给定 不变的常数值
xt h（tt)
x1
x
(nt)wh(twtf )
其中n指向物体外法线方向， 不论物体被加热还是被冷却，
该式均适用
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(b)第二类边界条件:该条 件是给定系统边界上的 温度梯度，即相当于给 定边界上的热流密度， 它可以是时间和空间的 0 函数，也可以为给定不 变的常数值
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
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5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
线），或者就终止与物体的边界上
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26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条 件，包括四项：几何、物理、初始、边界
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3
②分类 a)随时间划分 稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。
t 0
tf(x,y,z)
非稳态温度场：温度分布随时间改变。
t 0
b)随空间划分 三维稳态温度场： 一维稳态温度场
tf(x,y,z,)
tf(x,y,z) t f (x)
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4
2 等温面与等温线
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2
§2-1 基本概念
1 温度场(Temperature Field) ①定义
某一瞬间，空间(或物体内)所有各点温度分布 的总称。 温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表 示。 温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标
系中，温度场可表示为： tf(x,y,z,)
t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标
c
(thermal diffusivity)
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热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能
力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间
的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某 一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体 中很快扩散
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内 各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应 导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重 要物理量
第一章中给出了稳态条件下的付里叶定律，这
里可推广为更一般情况。
n
qgr
at dtn
x
t1
dt dn t t+dt
热流密度在x, y, z 方向
t2
0
x
的投影的大小分别为：
δ
qx x t; qy y t; qz z t
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9
5 导热系数
①定义 傅利叶定律给出了导热系数的定义 :
c t 1 r r r r t r 1 2 t z z t Φ
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x r s i n c o s ;y r s i n s i n ;z r c o s
ct
1 r2
r2
r
rtr2s1insint
r2s1in2t Φ
第二章 稳态导热
§2-1 基本概念 §2-2 一维稳态导热
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1
分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究 方法，即针对物理现象建立物理模型，而后 从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的 形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解 的理论分析方法。
导热问题是传热学中最易于采用此方法处理 的传热方式。
t4
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37
qt11t12 t22t23 t33t34
由和分比关系
t1
t2
t3 q
t4
q11＋t12t24＋33
总 推热广到阻n为层：壁r 的r1情r况2:r3q1 1t1t1 2 2 r 1t n 1 3 3 t2 r2
t3 r3
t4
n i
i 1 i
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t1
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7
系统中某一点所在的等温面与相邻等温面 之间的温差与其法线间的距离之比的极限 为该点的温度梯度，记为gradt。
gr a Ld i tm t tn ti tj tk n 0 n n x y z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向
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8
4 付里叶定律(Fourier’s Law)
x
dΦydydΦyy(yt)dxdyydz dΦzdzdΦzz( zt)dxdydz
单位时间内能增量 dUc t dxdydz
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微元体内热源的生成热为：
dQΦdxdydz
源项
最后得到：
c t x( x t) y( y t) z( z t)
单位时间内微元体的内能
o x0, t
x, t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dxc1 tc1xc2
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35
带入边界条件：
c1
t2
t1
线性分布
c2 t1
t t1
代入Fourier定律
t
t2 t1
xt1
dt t2 t1
dx
t2
o x
qt2 t1 t
t
(A)
R A
导热热阻
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q/gradt W/（m·℃ ）
单位温度梯度下物体内所产生的热流密度 。 它表示物体导热本领的大小 。
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11
根据一维稳态平壁导热模型，可
以采用平板法测量物质的导热系
数。对于图所示的大平板的一维 t1
稳态导热，流过平板的热流量与
t2
平板两侧温度和平板厚度之间的 关系为：
x
ΦAt1 t2
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31
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
导热问题求解方法：分析解法，试验解法， 数值解法.
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§2-2 一维稳态导热
稳态导热
t 0
直角坐标系: ( t)( t)( t) 0
x x y y z z
1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板 两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳 为一维稳态导热问题。
一般把导热系数仅仅视为温度 的函数，而且在一定温度范围 还可以用一种线性关系来描述。
0(1bT)
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14
记住常用物质的值:
2020/6/14
15
5 导热微分方程（Heat Diffusion Equation） ①一般形式
付里叶定律： qgradt
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要 任务。 建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随 空间坐标和时间变化的内在联系。
Φ q
At1t2 t1t2
q,,, t(t1t2)只要任意知道三个就可以
求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数
实验。
2020/6/14
12
②导热系数的影响因素
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密 切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
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22
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物 体内部各处的温度差别越小。
a 木 材 1 .5 1 0 7 m 2s ， a 铝 9 .4 5 1 0 5 m 2s
a木材 a铝1600
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c t x( x t) y( y t) z( z t)
36
②通过多层平壁的导热
t1
多层平壁：由几层不同材料组成
例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 q 水泥沙浆层、红砖（青砖）主体 层等组成
t2 t3 t4
假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合
面上各处的温度相等
r1
1 1
t1 q
t1t2 q
r2
2 2
t2
t3 q
r3
3 3
t3t4 q
t1
r1
q
t2 r2 t3 r3
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（Boundary conditions）边界条件常见有三类
(a)第一类边界条件:给定系
统边界上的温度值，它可以
是时间和空间的函数，也可
以为给定不变的常数值
0
一般形式： tw = f(x, y,z,τ)
t=f(y,z,τ)
x1
x
稳态导热： tw = const；非稳态导热：tw = f ()
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从平板的结构可分为单层壁，多层壁和复合壁 等类型 。
a.单层壁导热 b.多层壁导热
c. 复合壁导热
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34
①通过单层平壁的导热
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t x( x t)Φ dd2x2t 0
30
(c) 第三类边界条件:该条 件是第一类和第二类边界 条件的线性组合，常为给 定系统边界面与流体间的 换热系数和流体的温度， 这两个量可以是时间和空 0 间的函数，也可以为给定 不变的常数值
xt h（tt)
x1
x
(nt)wh(twtf )
其中n指向物体外法线方向， 不论物体被加热还是被冷却，
该式均适用
2020/6/14
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(b)第二类边界条件:该条 件是给定系统边界上的 温度梯度，即相当于给 定边界上的热流密度， 它可以是时间和空间的 0 函数，也可以为给定不 变的常数值