中考最值专题--将军饮马

【例1】【两点间距离】

如图，一个底面圆周长为24cm ，高为5cm 的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A 到点B 的最短路线长为_______

【练习1】

如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺， 有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则葛藤的最短长度是＿＿＿尺．

【例2】【两定一动】

如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝1

3S 矩形ABCD ，则PA ＋PB 的最小值为_______

模型总结：

【练习2】

（1）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC

上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为_________

方法提炼

（2）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，

点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为.

【例3】【两定两动】

已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．M、N分别是直线a,b上的动点，且MN⊥a，当满足AM+MN+NB的长度和最短时，AM+NB=

模型总结：

已知直线

3

:

3

l y x

=，CD是该直线上的一条动线段，且CD=2，点A()

23,1

+，连接AC、AD，

则△ACD周长的最小值为___________

【例4】【一定两动】

如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是

模型总结：

如图所示，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．分别在BC、线段AB和AC上选取

点P、E、F，则PE＋EF＋FP的最小值为____________．

【例5】【一定两动】

如图，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是

线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值为____________．

模型总结：

【练习5】

已知△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，则BM+MN的最小值最小为_______

实战演练

1．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？

做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，

连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，

再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．

（1）观察发现

再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．

作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，

故BP+AP的最小值为．

（2）实践运用

如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，

点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．

（3）拓展迁移

如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．

①求这条抛物线所对应的函数关系式；

②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标

与△ACM周长最小值．（结果保留根号）

③在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点N，使得NC NB

最大，求此最大值和对应点N的坐标

2．（1）知识再现

如图（1）：若点A，B在直线l同侧，A，B到l的距离分别是3和2，AB=4．现在直线l上找一点P，

使AP+BP的值最小，做法如下：作点A关于直线L的对称点A′，连接BA′，与直线l的交点就是所求的点P，

线段BA′的长度即为AP+BP的最小值．请你求出这个最小值．

（2）实践应用

①如图（2），⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，

则PA+PC的最小值是；

②如图（3），Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），

点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为．

③如图（4），菱形ABCD中AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，

则PK+QK的最小值为．

④如图（5），在R△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=，将△ABC沿直线AD翻折，

使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．

（3）拓展延伸

如图（6），在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

3.如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，

点C坐标为（0，﹣2）．

（1）求a值及A，B两点坐标；

（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；

（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？

若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．