中考最值专题--将军饮马

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中考数学复习《几何最值—将军饮马》考点典型PPT课件

（1）
B'
B'
B
Q
B'
B
（2）
【解析】解：
（1）如图，过点 B 作 BB’垂直于河岸，且使 BB’长度等于这条河宽，连接 AB’
交河的一岸于点 C，过点 C 作 CD 垂直于河岸，与另一岸交点为 D，则 CD 即为架桥最合适的
位置．
A
C
D
B'
B
（2）如图，过点 A 作 AA’垂直于距点 A 较近的河岸，且使 AA’长等于该河宽，同样，过点
中考数学复习《几何最值—将军饮马》考点
典型PPT课件
考点
1.两定（异侧）
，一动
2.两定（同侧）
，一动
3.一定，两动
4.两动，两动
知识提炼：
折线问题→→→（利用轴对称的性质）→→→两点间线段最短问题
1.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，动点 P 满足 S△PAB＝
B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为
故 CM＋MN 的最小值为 4.
2
2
=4
本课结束
B 作 BB’垂直于距点 B 较近的河岸，且使 BB’长等于河宽，连接 A’B’分别交两条河相邻
的河岸于点 N， P，过点 N 作 NM 垂直于该河河岸，与另一岸交点为 M，过 P 作 PQ 垂直于

中考数学动点问题之将军饮马问题

中考数学“将军饮马”类题型大全

一．求线段和最值

1（一）两定一动型

例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．

分析：

这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．

解答：

作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt⊥A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．

变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则⊥BPG周长的最小值为_________．

分析：

考虑到BG为定值是1，则⊥BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．

解答：

连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即⊥BPG周长最短为3.

（二）一定两动型

2020中考数学复习最值问题将军饮马问题 51张

考虑PQ是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ最小值即可，分别作点 P、Q关于OA、OB对称，化折线段 PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ'，当 P'、M、N、Q'共线时，四边形 PMNQ的周长最小。
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小
最值问题之“将军饮马”
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
01、什么是“将军饮马” ？
【问题描述】如图，将军在图中点 A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军
营，问：将军怎么走能使得路程最短？
01、什么是“将军饮马” ？
? 【问题解决】
? 作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
当A'、P、B三点共线的时候， PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）
01、什么是“将军饮马” ？
? 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段。
过点C作AB垂线，利用勾股定理求得

中考重难点易错专题最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精讲)

最值模型之将军饮马(11个常考模型)

模型背景

【模型来历】

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；

【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直

【核心思想】共线与垂线段最短。

模型精讲

一.两动一定型(2种模型)：两定点到直线上一动点的距离和最小。

1如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.

【证明】图1-2。

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，

在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。

1.1如图1-3，如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小。

作法：图1-4

1.作A关于直线CD对称点A'。

2.连A'B。

3.交点P就是要求点。连线长A'B就是PA+PB最小值。

【证明】：图1-5

在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，

在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP

2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题-解题技巧总结精选全文

求点P的坐标.
图T3-13
解:(1)∵B(10,8),∴A(10,0),
100 + 10 + = 0,
将 O(0,0),A(10,0),E(6,8)分别代入 y=ax +bx+c,得 = 0,
36 + 6 + = 8,
2
1
=- ,
解得 =
3
10
3
,
= 0,
1
10
3
3
∴抛物线的解析式为 y=- x2+ x.
4.如图T3-5,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任
意一点,则PK+QK的最小值为
.
图T3-5
[答案] 3
[解析]如图,作点 P 关于 BD 的对称点 P',则 PK+QK=P'K+QK.当 P',K,Q 三点共线,
且 P'Q⊥CD 时,PK+QK 取得最小值.过点 A 作 AE⊥CD 于点 E.∵在菱形 ABCD
D',D″,连接D'D″交AC,BC于点E,F.此时△DEF的周长等于
D'D″长.无论点D的位置如何变化,点C对线段D'D″的张角
不变 , 即 ∠ D'CD″=2 ∠ ACB, 因此为使 D'D″ 最小 , 只需

2024徐州中考数学一轮复习之中考考点研究微专题利用“将军饮马”解决线段最值问题(课件)

模型演变问题:两定点A、B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小. 解题思路:将两定点同侧转化为异侧问题,同“基础模型”即可解决.
模型应用
1.如图,四边形ABCD是菱形,点M是对角线AC上的动点,若∠ABC=120°,
AC=3 3 ,则MB+MD的最小值是 3 .
第1题图
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,P 是直线MN上一动点, 点H为BC的中点,若AB=13,△ABC的周长是36.则
PB+PH的最小值为 12 .
第2题图
3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E、F分别是边BC、CD上的动点, 且BE=CF,连接BF、DE,则BF+DE的最小值为 4 5 .
第3题图
模型迁移 4.如图,直线y=x+1与抛物线y=x2 -4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动
点,当△PAB的周长最小时,求△PAB的面积
第8题图
解：如解图，连接PA，则PA＝PB，当x＝0时，y＝x2－2x－8＝－8，则C(0，－8)，当y＝0时，x2－2x－8＝0，解得x1＝－2，x2＝4，则A(－2，0)，B(4，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴|PB－PC|＝|PA－PC|≤AC(当点A、C、P共线时取等号)，延长AC交直线x＝1于点P′，设直线AC的解析式为y＝mx＋n，把A(－2，0)，C(0，－8)代入

2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案

【模型解析】

2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马

班级姓名

总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。

特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；

方法：作定点关于动点所在直线的对称点。

【例题分析】

例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(

，0)，点

P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为．

例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N．

(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；

(2)求△AMN 的周长最小值．

例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动．

(1)求四边形BMNE 周长最小值；

(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．

例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．

例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为．

将军饮马等8类常见最值问题(原卷版)

将军饮马等8类常见最值问题

题型一两定一动型（线段和差最值问题）题型二双动点最值问题（两次对称）

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）题型四垂线段最短

题型五相对运动平移型将军饮马题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马题型七化斜为直，斜大于直题型八构造二次函数模型求最值

一、单动点问题

【问题1】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小

问题解决：连接AB ，与l 交点即为P ，两点之间线段最短PA ＋PB 最小值为AB

【问题2】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小

A l

问题解决：作B 关于l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，则PA ＋PB ＝PA ＋PB '，当A ，P ，B '共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA ＋PB 最小值为AB '

【问题3】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大问题解决：连接AB ，当A ，B ，P 共线时取最大

原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB 'P 中，|PA －PB '|≤AB '

【问题4】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大

二、双动点问题（作两次对称）

【问题5】在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使△PMN 周长最小

问题解决：分别作点P 关于两直线的对称点P ’和P ''，PM ＝P 'M ，PN ＝P ''N ，

2024成都中考数学二轮复习专题：几何最值之将军饮马问题

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．

【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

题型一：两定一动模型

模型作法结论

当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．连接AB交直线l于点P，点P

即为所求作的点．

PA＋PB的最小值为AB

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线

l上找一点P，使得PA＋PB最小．作点B关于直线l的对称点B'，

连接AB'交直线l于点P，点P

即为所求作的点．

PA＋PB的最小值为AB'

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA PB

-最大．连接AB并延长交直线l于点

P，点P即为所求作的点．

PA PB

-的最大值为AB

当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P

，使得

PA PB -最大．

作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点

P ，点P 即为所求作的点．

PA PB -的最大值为AB '

当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．

连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．

PA PB -的最小值为0

中考重难点易错专题最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精练)(学生版)

最值模型之将军饮马(11个常考模型)

1如图，正方形ABCD的边长为1，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．

2如图，在平面直角坐标系中，点A(0，a)在y轴正半轴上，点B(b，0)在x轴正半轴上，AB⊥AD且AB=AD，|a-4|+(b-3)2=0．

(1)求线段AB的长；

(2)若点P为y轴上的一个动点，则当PB+PD最小时，点P的坐标为．

3如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是()

A.42

B.25+2

C.213

D.210

4如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则当DF+CF之和取最小值时，△DCF的周长为()

A.35+3

B.43+3

C.52+3

D.213+3

5如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN．若AB=2，BD=4，则PM+PN的最小值为()

A.7

B.2

C.2+2

D.1+3

6如图，直线y=x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P 为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为()

A.(-4，0)

B.(-3，0)

C.(-2，0)

D.(-1，0)

7如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC=x，PE+PB =y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点Q的坐标可能为()

中考数学专题复习《线段最值(将军饮马模型)》课件

1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分
2.对应线段相等 3.对应角相等
A
A'
B B'
C
C'
A C
步骤： ①垂：过关键点作对称轴的垂线；
B ②延：延长垂线段一倍并截取；
③连：顺次连接各关键点
课前练习1：如图，请你作出点A关于直线l的对称点A’。
课前练习2：如图，OC平分∠AOB，P是OB上的任意一点，请你作出点P关于OC的对称点P’。
跟踪训练
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为____2 _3___．
AA
EE
F
F
BB
D
CC
2.连接BF,线段EF＋BF的最小值为_2_3_____．
A
E FF
BB
D
CC
3.如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为 ___________。
O
Q P A‘
M
解： (1)做点A关于OM的对称点A'；做点B关于ON
B‘
的对称点B' (2)连接A'、B'，交草地于点P，交小河于点Q 此时AP、PQ、QB的和为最短距离 N

最值问题之将军饮马-2023年中考数学重难点专题(学生版)

最值问题之将军饮马

一、模型精讲

最小？

基础模型：如图，在直线上找一点P使得PA+PB

模型解析：作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+

模型变式：

1.两定一动之点点

周长最小．

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN

2.两定两动之点点

的周长最小。

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ

3.一定两动之点线

2在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN

最小。

此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P '，将折线段PM +MN 转化为P 'M +MN ，即过点P '作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值(点到直线的连线中，垂线段最短)

二、针对训练

一、单选题1如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为(

)

A.4

B.42

C.25

D.5

2如图所示，

在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB

的度数是()

A.118°

B.125°

C.136°

D.124°

3如图，

Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD

的最小值为() A.154 B.245 C.5 D.203

4如图所示，

已知A (1，y 1)，B (2，y 2)为反比例函数y =2x

图象上的两点，动点P (x ，0)在x 轴正半轴上运动，当线段

中考数学常见几何模型最值模型-将军饮马

专题09 最值模型---将军饮马

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）

【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；

（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。上图中A’是A 关于直线m 的对称点。

例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、

Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．

【答案】2

【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，在直角三角形BEC 中，勾股定理即可求解． m

A B P m A

B m A B P

【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，

中考重难点易错专题最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精练)(解析版)

最值模型之将军饮马(11个常考模型)

1如图，正方形ABCD的边长为1，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是　22　．

试题分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D'，再过D'作D'P'⊥AD，由角平分线的性质可得出D'是D关于AE的对称点，进而可知D'P'即为DQ+PQ的最小值．

答案详解：解：作D关于AE的对称点D'，再过D'作D'P'⊥AD于P'，

∵DD'⊥AE，

∴∠AFD=∠AFD'，

∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，

∴△DAF≌△D'AF(ASA)，

∴D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=1，

∴D'P'即为DQ+PQ的最小值，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAD'=45°，

∴AP'=P'D'，

在Rt△Rt△AP'D'中，P'D'2+AP'2=AD'2，

∵AP'=P'D'，2P'D'2=AD'2=1，

∴P'D'=2

2，即DQ+PQ的最小值为

2 2．

所以答案是：

2 2．

2如图，在平面直角坐标系中，点A(0，a)在y轴正半轴上，点B(b，0)在x轴正半轴上，AB⊥AD且AB=AD，|a-4|+(b-3)2=0．

(1)求线段AB的长；

(2)若点P为y轴上的一个动点，则当PB+PD最小时，点P的坐标为(0，3)．

试题分析：(1)根据题意求出a=4，b=3，可求OA、OB的长，再由勾股定理求AB即可；

(2)过D 点作DE ⊥y 轴交于E ，证明△ADE ≌△BAO (AAS )，可求D 点坐标；作B 点关于y 轴的对称点F ，连接DF 交于y 轴于点P ，连接BP ，当P 、D 、F 三点共线时，PB +PD 有最小值，用待定系数法求值直线FD 的解析式，再求P 点坐标即可．

中考专题系列之最值——将军饮马

一、什么是将军饮马？

【问题引入】

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

A B

将军

军营

河

【问题简化】

如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？

【问题分析】

这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．

【问题解决】

作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB

当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

【思路概述】

作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．

二、将军饮马模型系列

【一定两动之点点】

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

B B

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．

最值问题之将军饮马-2023年中考数学重难点专题(解析版)

最值问题之将军饮马

一、模型精讲

最小？

基础模型：如图，在直线上找一点P使得PA+PB

模型解析：作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+

模型变式：

1.两定一动之点点

周长最小．

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN

2.两定两动之点点

的周长最小。

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ

3.一定两动之点线

2在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN

最小。

二、针对训练

一、单选题1如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为(

)

A.4

B.42

C.25

D.5

【答案】D

【详解】∵四边形ABCD 是正方形，

∴点B 与D 关于直线AC 对称，

∴DN =BN ，

连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，

∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，

∴AC 是线段BD 的垂直平分线，

又∵CD =4，DM =1

∴CM =CD -DM =4-1=3，

在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5

故DN +MN 的最小值是5．

故选：D ．

2如图所示，

在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为边AB 上一动点，当AP +

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