湖北省荆州中学2012届高三第一次质量检查(数学理)
荆州中学2012届高三第一次质量检查
荆州中学2012届高三第一次质量检查历史试卷一、选择题（50分，每小题2分）1、在《红楼梦》第九十回中，贾母说“自然先给宝玉娶了亲，然后给林丫头说人家。
再没有先是外人，后是自己的……”。
这反映出贾母（）A.具有男尊女卑的思想B.固守传统的家庭等级观念C.具有浓厚的宗法观念D.遵循长幼有序的婚姻礼俗2、秦《峄山刻石》云“追念乱世，分土建邦，以开争理。
功战日作，流血于野。
”秦始皇为使“兵不复起”所采取的重大举措是（）A. 制定严密的秦法B.推行郡县制C.实行皇帝制度D.实行分封制3、周王有甲乙丙丁四个儿子，其中甲年龄最长，由妃子所生。
乙也由妃子所生，聪慧过人。
丙是王后的大儿子，天资愚钝。
丁是王后的小儿子，深得周王宠爱。
从国家的长治久安出发，周王应立谁为太子（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4、秦始皇规定，只有皇帝一人才能称“朕”，皇帝的命令称“制”或“诏”，皇帝所用的玉印称“玺”，这些规定反映了皇帝制度的何种特点（）A. 君权神授B. 皇位世袭C. 皇帝独尊D. 皇权至上5、贾谊曾上书文帝，“欲天下之治，莫若众建诸侯以少其力；力少则易使以义，国小则亡邪心”，以下措施中体现了贾谊思想的是（）A. 实行“推恩令”B.以武力削减王国封地C. 继续推行分封制D.大力扶植同姓诸侯6、以下材料跟科举制相关的是（）A. “昔者，文王之治岐也，耕者九一，仕者世禄”B. “举秀才，不知书；举孝廉，父别居”C. “上品无寒门，下品无世族”D. “三十老明经，五十少进士”7、《明史》太祖本纪记载，“十三年春正月戊戌，左丞相胡惟庸谋反，及其党御史大夫陈宁、中丞涂节等伏诛。
”事后为加强君主专制，明太祖所采取的措施包括（）①罢中书省②废丞相③更定六部官秩④废行省，设三司A. ①②B. ①②④C. ①②③D. ①②③④8、为改变“诸王大臣签议既定，虽至尊无如之何”的局面，康熙所采取的措施是（）A. 设立内阁B. 设立南书房C. 设立军机处D. 取消议政王大臣会议9、以下各项为雅典不同时期的民主改革措施，其出现的先后顺序为（）①建立五百人议事会，各部落轮流执政②向公职人员发放工资③按财产多寡划公民为四个等级A.①③②B.①③②C.③①②D.③②①10、下列关于伯利克里统治时期雅典的社会政治情况描述正确的是（）①一切官职人员均由抽签选举产生②陪审法庭成为最高司法与监察机关③所有城邦居民都可参加公民大会④公民观赏戏剧可以获得“观剧津贴”A.①③④B. ②④C. ②③④D. ①②③④11、以下关于《十二铜表法》的叙述，不正确的是（）A. 其目的是维系罗马帝国的统治B. 内容广泛，条文明晰C.是古罗马第一部成文法D. 属于公民法范畴12、英国思想家培根指出：“雅典公民认为人一生下来不仅属于父母，而且属于国家，如国家处于被奴役的地位，他会感到蒙受的耻辱比死亡更可怕。
湖北省荆州中学高三数学第一次质检试题理
荆州中学高三年级第一次质检数学理科卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.已知集合，则( ) A ．B ．C ．D ．2.下列函数是奇函数的是（ ）．A. x x x f =)(B.x x f lg )(=C. x x x f -+=22)(D.1)(3-=x x f3．“1m >”是“函数2()log (1)xf x m x =+≥不存在零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若方程111()()042x x a -+-=有正数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <<B ．30a -<<C ．03a <<D ．10a -<<5．已知点A 为抛物线:C 24x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF Ð( )A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 6. 下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 7．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是( )A ．π4 B ．14 C ．π16 D ．1168．已知函数212()log 2(21)8,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦，若()f x 在[),a +∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(],2-∞B ．4(,2]3-C ．(],1-∞D ．4(,1]3-9. 已知函数()22lg 12(1)3y a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]-B. [2,1]--C. (2,1)-D. (,2)[1,)-∞-+∞10.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点1F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点P ，若线段1PF 的中点在y 轴上，则此双曲线的离心率为（ ）C.311.定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ==-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ） A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x=，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（22，－4） B ．2）C ．（2，＋4）D ．6)二、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.)13．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为14．若方程()1222log log 1x xm --=+有两个解，则实数m 的取值范围是 ．15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x = .16. 已知函数2()2(),(0)f x ax a b x b a =-++≠满足(0)(1)0f f ⋅>，设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．(本小题满分 12分)设命题p ：函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题q ：对任意[]1,1m ∈-，不等式253a a -- “p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18. (本小题满分 12分)已知函数2*()2,(,)f x ax x c a c N =++∈满足①(1)5f =；②6(2)11f <<.(1)求函数()f x 的解析表达式；（2）若对任意[]1,2x ∈，都有()20f x mx -≥恒成立，求实数m 的取值范围. 19．（本小题满分12分）已知22(log )21f x ax x a =-+-，a R ∈.（1）求()f x 的解析式；（2）解关于x 的方程()(1)4xf x a =-⋅20．(本小题满分 12分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()a ＞b ＞0的右焦点(1,)F 0，右顶点A ，且1AF =.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线4x =交于点Q ，问：是否存在一个定点(,0)M t ，使得0MP MQ =.若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由.21．(本小题满分 12分)已知函数()1ln f x mx x =--．（1）若()0f x ≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；（2）求证：对n N e ∀∈<均成立（其中e 为自然对数的底数，e ≈2.71828）．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC ．（1）求证：FB=FC ；（2）若FA=2，AD=6，求FB 的长．选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若点 P 是曲线C 上的动点，求 P 到直线l 的距离的最小值，并求出 P 点的坐标．选修4-5：不等式选讲24．已知()12,()1()f x x x g x x x a a a R =++-=+--+∈。
数学_2012年湖北省荆州市高三质量检查数学试卷Ⅰ(理科)(含答案)
2012年湖北省荆州市高三质量检查数学试卷Ⅰ（理科）一．选择题：本题共10小题，每小题5分共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的．1. 集合P ={x|x >−1}，Q ={y|y 2≤4, y ∈Z}，则P ∩Q =( ) A {0, 1, 2} B {x|−1<x ≤2} C Φ D {x|−2≤x <1}2. 在等比数列{a n }中，a 3=32，S 3=92，则首项a 1=( )A 32B −32C 6或−32D 6或323. 设a ，b ，c 分别是方程(12)x =log 2x ，2x =log 12x ，(12)x =log 12x 的实数根，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A a <b <cB b <c <aC c <b <aD b <a <c 4. 当0<x <π2时，函数f(x)=1+cos2x+8sin 2xsin2x的最小值为（ ）A 2B 2√3C 4D 4√35. 函数y ＝log a (2−ax)在[0, 1]上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A (0, 1) B (0, 2) C (1, 2) D (2, +∞)6. 已知等差数列{a n }的公差d <0，若a 4a 6=24，a 2+a 8=10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为( )A 50B 45C 40D 357.已知函数f(x)=Asin(ωx +ϕ)的导函数f′(x)在一个周期内的图象如右图，则下列函数f(x)的解析式中，满足条件的是（ ）A y =sin(2x +π6) B y =sin(2x +π3) C y =2sin(2x +π6) D y =2sin(2x +π3) 8. 已知f(x)为偶函数，当x ≥0时，f(x)=−(x −1)2+1，满足f[f(a)]=12的实数a 的个数为（ ）A 2B 4C 6D 89. △ABC 是单位圆O 的内接三角形，且满足3OA →+2OB →+4OC →=0→，则OC →⋅AB →=( ) A 316B 0C −34D −31610.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP̂的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d =f(l)的图象大致为（ ）A B C D二．填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上． 11. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8=14，则S 8S 16=________．12. 设x ，y 满足约束条件{y ≤x +1y ≥2x −1x ≥0,y ≥0，若目标函数z =abx +y(a >0, b >0)的最大值为35，则a +b 的最小值为________．13. 若∫(t12x +1x)dx =3+ln2，且t >1，则t 的值为________．14. 把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n =2011，则n =________．15. 请在下面两题中选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4−1：几何证明选讲如图，割线PBC 经过圆心O ，PB =OB =1，圆周上有一点D ，满足∠COD =60∘，连PD 交圆于点E ，则PE =________． 选修4−4：坐标系与参数方程已知直线l 经过点P(1, −1)，倾斜角的余弦值为−45，圆C 的极坐标方程为ρ=√2cos(θ+π4)，设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则弦长|AB|=________．三．解答题：本题共六小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知△ABC 的面积为9√3，且AC →⋅(AB →−CB →)=18，向量m →=(tanA +tanB,sin2C)和向量n →=(1,cosAcosB)是共线向量． （1）求角C ；（2）求△ABC 的边长c ．17. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 5=35，a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =a 2n−1，记该数列{b n }的前n 项和为T n ，当T n ≤n +30时，求n 的最大值．18. 某市物价局调查了某种治疗流感的常规药品在2011年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价格，调查发现该药品的批发价格按月份以每盒12元为中心价随一正弦曲线f(x)=A 1sin(ω1x +ϕ1)+b 1(A 1>0, ω1>0, |ϕ1|<π)上下波动，且3月份的批发价格最高，为每盒14元，7月份的批发价格最低，为每盒10元；该药品在药店的销售价格按月份以每盒14元为中心价随另一正弦曲线g(x)=A 2sin(ω2x +ϕ2)+b 2(A 2>0, ω2>0, |ϕ2|<π)上下波动，且5月份的销售价格最高，为每盒16元，9月份的销售价格最低，为每盒12元． （1）求该药品每盒的批发价格f(x)和销售价格g(x)关于月份x 的函数关系式；（2）假设某药店每月初都购进这种药品c 盒，且当月售完，那么该药店在2011年哪些月份是盈利的？说明理由．19. 已知函数f(x)=x 3−ax 2+10.(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程；(2)在区间[1, 2]内至少存在一个实数x ，使得f(x)<0成立，求实数a 的取值范围.20. 已知数列{a n }、{b n }，a n >0，a 1=6，点A n (a n ,√a n+1)在抛物线y 2=x +1上；点B n (n, b n )在直线y =2x +1上．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）若f(n)={a n b n n 为奇数n 为偶数，问是否存在k ∈N ∗，使f(k +15)=2f(k)成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （3）对任意正整数n ，不等式a n(1+1b 1)(1+1b 2)…(1+b n )−n−1√n−2+a ≤0成立，求正实数a 的取值范围．21. 已知函数f(x)＝lnx −ax −3(a ≠0)， (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若对于任意的a ∈[1, 2]，若函数g(x)=x 3+x 22[m −2f ′(x)]在区间(a, 3)上有最值，求实数m 的取值范围；(Ⅲ)求证：ln(122+1)+ln(132+1)+ln(142+1)+⋯+ln(1n 2+1)<1(n ≥2,n ∈N ∗)．2012年湖北省荆州市高三质量检查数学试卷Ⅰ（理科）答案1. A2. D3. B4. C5. C6. B7. A8. D 9. A 10. C 11. 14 12. 8 13. 2 14. 1028 15.3√77,7516. 解：（1）∵ m → // n →，∴ (tanA +tanB)cosAcosB =sin2C ，即sinAcosB +cosAsinB =sin2C ，∴ sin(A +B)=sin2C ， ∴ sinC =2sinCcosC ∵ sinC ≠0，∴ cosC =12，∵ C ∈(0, π) ∴ C =π3…（2）由AC →⋅(AB →−CB →)=18得：AC →⋅(AB →+BC →)=AC →2=18， ∴ b =3√2S △=12absinC =12a ⋅3√2⋅√32=9√3，∴ a =6√2，∴ c 2=a 2+b 2−2abcosC =54，∴ c =3√6… 17. 解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：{5a 1+12×5×4d =35(a 1+3d)2=a 1⋅(a 1+12d)解得：a 1=3，d =2， ∴ a n =2n +1…（2）∵ b n =a 2n−1=2⋅2n−1+1=2n +1， ∴ T n =(2+22+23+⋯+2n )+n =2⋅(1−2n )1−2+n ≤n +30∴ 2n ≤16，n ≤4，即n 的最大值为4． 18. 解：（1）由已知，b 1=12，A 1=14−102=2，又周期T 1=2(7−3)=8，则ω1=π4，从而f(x)=2sin(π4x +ϕ1)+12，因为f(3)=14，所以2sin(3π4+ϕ1)+12=14， 所以sin(3π4+ϕ1)=1又|ϕ1|<π，即取ϕ1=−π4，批发价格函数为f(x)=2sin(π4x −π4)+12…同理，销售价格函数为g(x)=2sin(π4x−3π4)+14…（2）设该药店第x月购进这种药品c盒所获利润为y元，则y=c[g(x)−f(x)]=2c(1−√2sinπ4x)．由y>0得1−√2sinπ4x>0，即sinπ4<√22，所以2kπ+3π4<π4x<2kπ+9π4(k∈Z)，即8k+3<x<8k+9，k∈Z，因为x≤12且x∈N∗，则x的值为4，5，6，7，8，12…19. 解：(1)当a=1时，f(x)=x3−x2+10，f′(x)=3x2−2x，f(2)=14. ∵ 曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线斜率k=f′(2)=8，∴ 曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−14=8(x−2)，即8x−y−2=0．(2)由题意，在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，则在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得a>x 3+10x2=x+10x2成立.设g(x)=x+10x2(1≤x≤2)，则g′(x)=1−20x3.∵ 1≤x≤2，∴ g′(x)<0，∴ g(x)在[1,2]上是减函数，∴ g(x)min=g(2)=92，∴ a>92，即实数a的取值范围是(92,+∞).20. 解：（1）∵ 点A n(a n,√a n+1)在抛物线y2=x+1上，∴ a n+1=a n+1，∵ a n>0，a1=6，∴ {a n}是首项a1=6，公差d=a n+1−a n=1的等差数列，∴ a n=n+5．∵ 点B n(n, b n)在直线y=2x+1上．∴ b n=2n+1…（2）f(n)={a n，n为奇数b n，n为偶数，当k为奇数时，k+15为偶数，∴ 2(k+15)+1=2(k+5)，显然不成立．当k为偶数时，k+15为奇数，则有k+20=2(2k+1)，解得k=6．…（3）由a n(1+1b 1)(1+1b 2)…(1+b n )n−1√n−2+a ≤0，得：a ≤√2n+3+1b 1)(1+1b 2)…(1+1b n)， 记g(n)=√2n+3+1b 1)(1+1b 2) (1)1b n)，则g(n+1)g(n)=√2n+3√2n+5+1b n+1)=√2n+3√2n+5⋅2n+42n+3=√(2n +4)2⋅>1∴ g(n +1)>g(n)，即g(n)递增． ∴ g(n)min =g(1)=√5⋅43=4√515， 即0<a ≤4√515．… 21. （1）由已知得f(x)的定义域为(0, +∞)，且f ′(x)=1x −a ， 当a >0时，f(x)的单调增区间为(0, 1a)，减区间为(1a,+∞)；当a <0时，f(x)的单调增区间为(0, +∞)，无减区间； （2）g(x)=x 3+x 22[m −2f ′(x)]=x 3+(m2+a)x 2−x ，∴ g ′(x)＝3x 2+(m +2a)x −1， ∵ g(x)在区间(a, 3)上有最值，∴ g(x)在区间(a, 3)上不总是单调函数， 又g ′(0)=−1∴ {g ′(a)<0g ′(3)>0由题意知：对任意a ∈[1, 2]，g ′(a)＝3a 2+(m +2a)⋅a −1＝5a 2+ma −1<0恒成立， ∴ m <1−5a 2a=1a −5a ，因为a ∈[1, 2]，所以m <−192，对任意，a ∈[1, 2]，g ′(3)＝3m +26+6a >0恒成立，∴ m >−323∴ −323<m <−192(Ⅲ)令a ＝1此时f(x)＝lnx −x −3，由(Ⅰ)知f(x)＝lnx −x −3在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减，∴ 当x ∈(0, +∞)时f(x)<f(1)，∴ lnx <x −1对一切x ∈(0, +∞)成立， ∴ ln(x +1)<x 对一切x ∈(0, +∞)成立， ∵ n ≥2，n ∈N ∗，则有ln(1n 2+1)<1n 2，∴ ln(122+1)+ln(132+1)+⋯+ln(1n 2+1)<122+132+⋯+1n 2<11×2+12×3+⋯+1(n−1)n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1−1n )=1−1n<1。
荆州中学2012届高三第三次质量检查
荆州中学2012届高三第三次质量检查数 学 试 卷 (理 科)年级：高三 科目：数学（理）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1.已知集合2{|30}A x R x x a =∈-+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．[2,)-+∞2. 已知向量a 与b 的夹角为23π，且||1,||2a b == ，若(3)a b a λ+⊥ ，则实数λ=（ ）A ．3B ．-3C ．32D ．32-3. 设0,0a b >>，则“221a b +≤”是“1a b ab +≤+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4. 在ABC ∆中，已知024,30AB BC A ==∠=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1BC ．2D．5. 设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（ ）A ．31y x =+B ．33y x =-C ．3y x =-D ．31y x =-+6. 已知4x π=是()sin cos f x a x b x =+一条对称轴，且最大值为()sin g x a x b =+ （ ）A ．最大值是4，最小值为0B ．最大值是2，最小值为2-C ．最大值可能是0D ．最小值不可能是4-7.在等差数列{}n a 中前n 项和为n S ，且201110072011,1S a =-=，则2012a 的值为 （ ）A ．1007B ．2012C ．1006D ．20118. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）AB ．12C ．32D1+ 9. 正方形的两个顶点是一双曲线的焦点，另两个顶点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为（）A BC 1D 110. 已知函数3()2x e f x ax -⎧-=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>（a 为常数且0a >），对于下列结论①函数()f x 的最小值为2-，②函数()f x 在R 上是单调函数，③若()0f x >在[1,)+∞上恒成立，则a 的取值范围为(2,)+∞，④当0x ≠时，()0xf x '>（这里()f x '是()f x 的导函数），其中正确的是 （ ）11111A ．①③④B ．①②③C ．①④D ．③④ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，第15题二选一，两题都做按第1题计分，共计25分。
湖北省荆州市高三质量检查数学（理）试题（III）含答案
荆州市高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理工农医类） 第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集U R =，集合{|13}A x x =<<，{|230}B x x =-≥，则()U A C B =（ ）A ．3(,)2-∞B ．(1,)+∞C ．3(1,)2D ．3[,3)22.若复数21(1)z m m i =-++是纯虚数，其中m 是实数，则2z=（ ） A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 3.下列命题正确的是（ ）A ．命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；C ．“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D ．命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”.4.已知随机变量(1,1)N ξ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）注：()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=.A ．6038B ．6587C ．7028D ．7539 5.已知数列{}n a 满足15255n n a a +=⋅，且2469a a a ++=，则()15793log a a a ++=（ ）A ．-3B ．3C ．13- D ．136.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．13 C ．12D ．1 7.偶函数()f x 和奇函数()g x 的图象如图所示，若关于x 的方程()()1f g x =，()()2g f x =的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10 8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．179.已知()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，若0170a a a ++⋅⋅⋅+=，则3a =（ ） A ．-5 B ．-20 C ．15 D ．3510.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．842+B ．124223+C ．64223+D ．1211.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3535+ C ．15+ D 15+ 12.已知函数()2ln xf x e x x =++与函数()22xg x e x ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],e -∞-B ．1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．(],1-∞- D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上. 13.平面向量(2,)a λ=，(3,1)b =-，若向量a 与b 共线，则a b ⋅= ．14.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为 ．15.已知x ，y 满足不等式组2030230y x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若不等式7ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．16.设数列{}n a 满足012a =，()210,1,22018n n n a a a n +=+=⋅⋅⋅，若使得11k k a a +<<，则正整数k = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知向量()2sin 2,2cos 2a x x =，()cos ,sin ()2b πθθθ=<，若()f x a b =⋅，且函数()f x 的图象关于直线6x π=对称.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2f A =，且5b =，23c =，求ABC ∆外接圆的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点.（Ⅰ）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1A PQ 与平面1B PQ 所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由. 19.手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示： ()0,2500[)2500,5000 [)5000,7500 [)7500,10000 [)10000,+∞步数 性别男 0 2 4 7 2 女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X 名，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型 消极型 总计 男 女 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.01 0k2.7063.8415.0246.63520.已知倾斜角为4的直线经过抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点F ，与抛物线Γ相交于A 、B 两点，且8AB =.（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点(12,8)P 的两条直线1l 、2l 分别交抛物线Γ于点C 、D 和E 、F ，线段CD 和EF 的中点分别为M 、N .如果直线1l 与2l 的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点. 21.已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若21,a e ⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦，求证：()12ax f x ax xe -≥-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心为22,4π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22以极点为原点，极轴方向为x 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为131x t ay t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数，a R ∈且0a ≠）.（Ⅰ）写出圆C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求AB 的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设不等式112x x +--<的解集为A . （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若m A ∀∈，不等式2210mx x m -+-<恒成立，求实数x 的取值范围.荆州市高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12：DC 二、填空题13. 203- 14.221248x y += 15. [4,3]- 16. 2018 三、解答题17.解：（Ⅰ）()2sin 2cos f x a b x θ=⋅=22sin 2)x x θθ+=+，∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，∴262k ππθπ⨯+=+，k Z ∈，∴6k πθπ=+，k Z ∈，又2πθ<，∴6πθ=.∴()2)6f x x π=+. ∵函数sin y x =的单调递减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，∴2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦. ∴()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （Ⅱ）∵()2)26f A A π=+=，∴sin(2)16A π+=.∵(0,)A π∈，∴132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴262A ππ+=，∴6A π=. 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2512252376π=+-⨯⨯=，∴7a =由正弦定理得72sin 2a R A==，∴7R =，∴7S π=.18.（Ⅰ）证明：法1：连接1AB 、1AC ，显然A 、Q 、1B 三点共线.∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ；在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥， 又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥， ∵1A C 、BC ⊂平面11ACC A ，∴1AC ⊥平面1A BC ， 而1//PQ AC ，∴PQ ⊥平面1A BC . 法2：（用向量法同等给分）.（Ⅱ）解：以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 连接1A P 、1B Q ，设(,,)Q x y z ，∵1BQ BA λ=，∴(,2,)(2,2,2)x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴(2,22,2)Q λλλ-. 当点Q 在线段1A B 上运动时，∴平面1A PQ 的法向量即为平面1A PB 的法向量，设平面1A PB 的法向量为1(,,)n x y z =，由11100n BP n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令2y =得1(1,2,1)n =，设平面1B PQ 的法向量为2(,,)n x y z =，由212100n PB n B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0(1)0y x z λλ=⎧⎨+-=⎩，令1z =得211(,0,1)(1,0,)n λλλλλ-==-，取2(1,0,)n λλ=-，∵1222cos ,6(1)n n λλ<>=-+230106221λλ==-+， ∴29920λλ-+=，∴13λ=或23λ=. 19.解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为62155=. X 可能取值分别为0，1，2，3，∴00332327(0)()()55125P X C ===，11232354(1)()()55125P X C ===， 22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()55125P X C ===，积极型 消极型 总计 男 9 6 15 女 4 11 15 总计131730X 的分布列为X 0123P27125 5412536125 8125则()01125125E X =⨯+⨯231251255+⨯+⨯=.（Ⅱ）完成22⨯列联表2k 的观测值2030(91164)15151317k ⨯-⨯=⨯⨯⨯7503.394 3.841221=≈<.据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 20.解：（Ⅰ）由题意可设直线AB 的方程为2py x =-，令11(,)A x y ，22(,)B x y . 联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=，∴123x x p +=， 根据抛物线的定义得，又124AB x x p p =++=，又8AB =，∴48p =，∴2p =. 则此抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）设直线1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，直线1l 的斜率为k ，则tan k α=. 由于直线1l 与2l 的倾斜角互余，则sin()2tan tan()2cos()2παπβαπα-=-=-cos 11sin sin tan cos ααααα===， 则直线2l 的斜率为1k.于是直线CD 的方程为8(12)y k x -=-，即(12)8y k x =-+，联立2(12)84y k x y x=-+⎧⎨=⎩得2432480ky y k -+-=，∴4C D y y k +=，则241624C D x x k k +=+-，∴2282(12,)M k k k+-，同理将k 换成1k得：2(1228,2)N k k k +-， ∴2212()112()8()MN k k k k k k k-=---114k k =+-. 则直线MN 的方程为212[(1228)]14y k x k k k k-=-+-+-，即1410k y x k ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，显然当10x =，0y =. 所以直线MN 经过定点(10,0). 21.解：（Ⅰ）11'()ax f x a x x-=-=， ∵0a ≤，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0a >时，由'()0f x >，得1x a >；由'()0f x <，得10x a<<； 综上：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（Ⅱ）令1()()2ax g x f x ax xe -=-+1ln ax xe ax x -=--，则111'()ax ax g x e axe a x --=+--11(1)ax ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由于1111ax ax xe ex x----=，设1()1ax r x xe-=-，1'()(1)ax r x ax e -=+， 由1'()010r x ax x a >⇒+>⇒<-，所以()r x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；由1'()010r x ax x a <⇒+<⇒>-，所以()r x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴max 211()(1)0r x r a ae ⎛⎫=-=-+≤ ⎪⎝⎭（因为21a e ≤-），从而110ax e x --≤.则()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴min 1()g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设(210,t e a ⎤=-∈⎦，221()ln 1(0)t g h t t t e a e ⎛⎫-==-+<≤ ⎪⎝⎭， 211'()0h t e t=-≤，()h t 在(20,e ⎤⎦上递减，∴2()()0h t h e ≥=； ∴()0g x ≥，故()12ax f x ax xe-≥-. 说明：判断11ax e x--的符号时，还可以用以下方法判断： 由110ax e x --=得到1ln x a x -=，设1ln ()x p x x -=，2ln 2'()x p x x -=， 当2x e >时，'()0p x >；当20x e <<时，'()0p x <.从而()p x 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增. ∴2min 21()()p x p e e ==-. 当21a e ≤-时，1ln x a x -≤，即110ax e x--≤. 22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令BOX θ∠=，4AOX π∠=， 在ABC ∆中，AC 为直径，42)4OB πρθ==-， ∵131x t a y t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为：310ax y a +--=. 法二：在直角坐标系中，圆C 的圆心为(2,2)，则方程为22(2)(2)8x y -+-=. 即22440x y x y +--=，∴24cos 4sin 0ρρθρθ--=， 即4cos 4sin 42)4πρθθθ=+=+.（Ⅱ）法一：直线过圆C 内一定点(3,1)P ，当CP AB ⊥时，AB 有最小值， ∴22228226AB R CP =-=-=.法二：点(2,2)C 到直线l 的距离211ad a -=+， ∴222AB R CP =-222(1)2282711a a a a -=-=+++当1a =时，AB 有最小值26.23.解：（Ⅰ）由已知，令2(1)()112(11)2(1)x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩， 由()2f x <得{|11}A x x =-<<.（Ⅱ）将不等式2210mx x m -+-<整理成2(1)210x m x --+<， 令2()(1)21g m x m x =--+，要使()0g m <，则22(1)(1)(1)210(1)(1)1210g x x g x x ⎧-=-⨯--+≤⎪⎨=-⨯-+≤⎪⎩， ∴2222020x x x x ⎧+-≥⎪⎨-≤⎪⎩，∴133102x x x ⎧≤-≥⎪⎨≤≤⎪⎩或312x -≤≤.。
2012届高三湖北省第一次八校联考数学(理)试卷
2012届高三第一次八校联考数学（理科）试题一、选择题1．设}20|N {≤∈=x x U ，x x A |N {∈=是偶数}，x x B |N {∈=是质数}，则=)(B A C U A ．φB ．{1}C ．{1, 9, 15}D ．{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}2．已知)2cos(tan x x +=π，则=x sinA ．215- B ．1- C ．0 D ．13．函数333)(-=xx f 的值域为 A ．)1,(--∞ B ．),0()0,1(+∞-C ．),1(+∞-D ．),0()1,(+∞--∞4．设}{n a 是等比数列，则“321a a a >>”是“数列}{n a 是递减数列”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数)24sin(2ππ-=x y 的部分图象如右图所示，则=⋅+)(A ．6B ．4C ．4-D ．6-6．⎰-230249dx x 可看作成A ．半径为3的圆的面积的二分之一B ．半径为23的圆的面积的二分之一 C ．半径为3的圆的面积的四分之一D ．半径为23的圆的面积的四分之一 7．设P 是椭圆192522=+y x 上一点，M 、N 分别是两圆1)4(22=++y x 与1)4(22=+-y x 上的点，则||||PN PM +的最小值，最大值分别为A ．3，7B ．4，8C ．8，12D ．10，128．已知命题1p ：函数0(>-=-m m m y x x 且)1≠m 在R 上为增函数，命题0:2≤ac p 是方程02=++c bx ax 有实根的充分不必要条件，则在命题211:p p q ∨，212:p p q ∧，)(:213p p q ⌝∧，)()(:214p p q ⌝∧⌝中真命题 的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．39．定义在R 上的函数)(x f 满足)5()(x f x f -=，且0)(')25(<-x f x ，已知21x x <，521<+x x ，则A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．0)()(21<+x f x fD ．0)()(21>+x f x f10．定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意的x , ∈y R ，都有2011)()()(-+=+y f x f y x f 。
2012年湖北省高考数学试卷(理科)附送答案
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i2．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q3．（5分）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π5．（5分）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．126．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．7．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．9．（5分）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=．13．（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；）位回文数有个．（Ⅱ）2n+1（n∈N+14．（5分）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD 的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为．16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．20．（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥90002610工期延误天数Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．（13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2012•湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知=﹣3±2i，由此能求出结果．【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，∴=﹣3±2i，故选A．2．（5分）（2012•湖北）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“∃x0∈C R Q，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x0∈C R Q，∈Q”的否定是∀x0∈C R Q，∉Q故选D3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．5．（5分）（2012•湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13则可得a+1=13∴a=12故选D6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n），故正确；+1），故不正确；②≠=f2（a n+1），故正确；③==f2（a n+1④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选A．9．（5分）（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个故选C10．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB 的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有9×10n个．+【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N）位+回文数的个数【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10=90个故答案为90（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法，）位回文数有9×10n个故2n+1（n∈N+故答案为9×10n14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn=，由此可得结论．（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为【解答】解：∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2∴c4﹣3a2c2+a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e＞1∴e=（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：，二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．【分析】由题意可得CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半．【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，故答案为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线（t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）故答案为：（2.5，2.5）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx ﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n ﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n ﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【解答】解：（1）设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）∴V A﹣BCD设f（x）=（x3﹣6x2+9x）x∈（0，3），∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E （，1，0），且=（﹣1，1，1）设N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）∵EN⊥BM，∴•=0即（﹣1，1，1）•（﹣，λ﹣1，0）=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N（0，，0）∴当DN=时，EN⊥BM设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由及=（﹣1，，0）得，取=（1，2，﹣1）设EN与平面BMN所成角为θ，则=（﹣，﹣，0）sinθ=|cos＜，＞|=||==∴θ=60°∴EN与平面BMN所成角的大小为60°20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数02610Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【分析】（I）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X ＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论【解答】（I）由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X ＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P （X＜300）=0.9﹣0.3=0.6由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）=．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x 轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m 丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵点A在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C的方程为∵m∈（0，1）∪（1，+∞），∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），（Ⅱ）如图2、3，∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴k QN=k QH，∴∴k PQ•k PH=∵PQ⊥PH，∴k PQ•k PH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r 为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．【分析】（I）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；（II）由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（III）（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．【解答】（I）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣x r﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r）①若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，∴①中令，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②（III）解：（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；③用数学归纳法证明（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，a k≥0，b1，b2，…，b k为正有理数，若b1+b2+…+b k=1，则a1b1a2b2…a k bk≤a1b1+a2b2+…a k b k．当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，a k+1≥0，b1，b2，…，b k+1为正有理数，若b1+b2+…+b k+1=1，＞0则1﹣b k+1于是a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1∵++…+=1∴…≤++…+=bk+1≤•（1∴a k+1﹣b k）+a k+1b k+1，+1∴a1b1a2b2…a k b ka k+1bk+1≤a1b1+a2b2+…a k b k+a k+1b k+1．∴当n=k+1时，③成立由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．。
荆州中学2012届高三第三次质量检查
荆州中学2012届高三第三次质量检查数 学 试 卷 (理 科)年级：高三 科目：数学（理）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1.已知集合2{|30}A x R x x a =∈-+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．[2,)-+∞2. 已知向量a 与b 的夹角为23π，且||1,||2a b == ，若(3)a b a λ+⊥ ，则实数λ=（ ）A ．3B ．-3C ．32D ．32-3. 设0,0a b >>，则“221a b +≤”是“1a b ab +≤+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4. 在ABC ∆中，已知024,30AB BC A ==∠=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1BC ．2D．5. 设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（ ）A ．31y x =+B ．33y x =-C ．3y x =-D ．31y x =-+6. 已知4x π=是()sin cos f x a x b x =+一条对称轴，且最大值为()sin g x a x b =+ （ ）A ．最大值是4，最小值为0B ．最大值是2，最小值为2-C ．最大值可能是0D ．最小值不可能是4-7.在等差数列{}n a 中前n 项和为n S ，且201110072011,1S a =-=，则2012a 的值为 （ ）A ．1007B ．2012C ．1006D ．20118. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）AB ．12C ．32D1+ 9. 正方形的两个顶点是一双曲线的焦点，另两个顶点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为（）A BC 1D 11111110. 已知函数3()2x e f x ax -⎧-=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>（a 为常数且0a >），对于下列结论①函数()f x 的最小值为2-，②函数()f x 在R 上是单调函数，③若()0f x >在[1,)+∞上恒成立，则a 的取值范围为(2,)+∞，④当0x ≠时，()0xf x '>（这里()f x '是()f x 的导函数），其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②③ C ．①④ D ．③④ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，第15题二选一，两题都做按第1题计分，共计25分。
湖北省荆州中学高三数学上学期第一次质检试卷 文(含解析)
2015-2016学年湖北省荆州中学高三（上）第一次质检数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|y=}，则( )A．A∩B=∅B．A⊆BC．B⊆AD．A=B2．下列函数是奇函数的是( )A．f（x）=x|x|B．f（x）=lgxC．f（x）=2x+2﹣xD．f（x）=x3﹣13．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=( )A．﹣1+2iB．1+2iC．1﹣2iD．1+i4．下列说法正确的是( )A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”5．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是( )A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A．0B．﹣1C．﹣D．﹣7．函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为( )A．3B．2C．D．8．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a ﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanxD．f（x）=cos（x+1）9．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的( )A．倍B．10倍C．10倍D．ln倍10．已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF( )A．一定是直角B．一定是锐角C．一定是钝角D．上述三种情况都可能11．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=( )A．﹣2B．﹣1C．2D．112．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（2﹣4，4﹣6）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.）13．若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是，则f（x）的最大值为__________．14．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为__________，三棱锥D﹣BCE的体积为__________．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=__________．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是上的平均值函数， 0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设命题p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；命题q：∀m∈，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．19．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x∈时，图象是线段BC，其中C（40，50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（1）试求y=f（x）的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．20．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得．若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在A．0B．﹣1C．﹣D．﹣考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=7时n大于5退出循环，输出S的值为0．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1S=，n=3，n不大于5S=﹣，n=5，n不大于5S=0，n=7，n大于5退出循环，输出S的值为0，故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．7．函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为( )A．3B．2C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A（﹣1，﹣2），可得m+2n=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A（﹣1，﹣2），∵点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，∴﹣m﹣2n=﹣2，即m+2n=2．则+===．故选：C．点评：本题考查了指数函数的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanxD．f（x）=cos（x+1）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可．解答：解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．故选：D．点评：本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查．9．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的( )A．倍B．10倍C．10倍D．ln倍考点：对数函数图象与性质的综合应用；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题设中的定义，将音量值代入η=10lg，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数解答：解：由题意，令70=lg，解得，I1=I0×1070，令60=lg，解得，I2=I0×1060，所以=10故选：C．点评：本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键10．已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF( )A．一定是直角B．一定是锐角C．一定是钝角D．上述三种情况都可能考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求导数，确定过A的切线方程，可得B的坐标，求出=（x0，），=（﹣x0，1），可得•=0，即可得出结论．解答：解：由x2=4y可得y=x2，∴y′=x，设A（x0，），则过A的切线方程为y﹣=x0（x﹣x0），令y=0，可得x=x0，∴B（x0，0），∵F（0，1），∴=（x0，），=（﹣x0，1），∴•=0，∴∠ABF=90°，故选：A．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=( )A．﹣2B．﹣1C．2D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=•=x﹣alnx+1，x∈（0，+∞）再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．解答：解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），则•=f（x）=x﹣alnx+1，由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．f′（x）=1﹣=，a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；故选D．点评：本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（2﹣4，4﹣6）考点：函数奇偶性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，得到k的取值范围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+1=f（x﹣2）+2=…=f（x﹣n）+n=（x﹣n）2+n，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．x∈，由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2﹣4．x∈，由得：x2﹣（k+6）x+12=0，令△=0，得：k=4﹣6．∴k的取值范围为（2﹣4，4﹣6）故选：D．点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的对称性、周期性、奇偶性的综合应用，考查转化思想与作图能力，属于难题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.）13．若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是，则f（x）的最大值为．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：据偶函数中不含奇次项，偶函数的定义域关于原点对称，列出方程组，求出f（x）的解析式，即可求得求出二次函数的最大值．解答：解：∵f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，∴b=0，1﹣a=2a，解得b=0，a=，∴f（x）=x2+1，定义域为，∴当x=时，有最大值．故答案为：．点评：解决函数的奇偶性时，一定要注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．14．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D﹣BCE的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．解答：解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，∴AB⊥平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，又三棱锥E﹣ACB的体积为=，∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．故答案为：4；．点评：本题考查正视图的面积，考查考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=4．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．可得m+n=2a1，n﹣m=2a2，由于∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，化简整理即可得出．解答：解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，∴4c2=+﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为+，化为=4．故答案为：4．点评：本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．考点：函数与方程的综合运用；函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．解答：解：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1∉（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．⇒＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．点评：本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设命题p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；命题q：∀m∈，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：根据对数函数的定义域分析求解命题P为真命题时的条件；通过求，（m∈）的最大值，求出命题q为真命题时的条件，再根据复合命题真值表求解即可．解答：解：命题P：△=16﹣4a2＜0⇒a＞2或a＜﹣2，命题q：∵m∈，∴∈，∵对m∈，不等式恒成立，只须满足 a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1．故命题q为真命题时，a≥6或a≤﹣1，∵命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，根据复合命题真值表，命题P与q一真一假（1）若P真q假，则⇒2＜a＜6．（2）若P假q真，则⇒﹣2≤a≤﹣1，综合（1）（2）得实数a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1或2＜a＜6．点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查不等式的恒成立问题与对数函数的性质．18．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，从而得到不等式f（x）≤5的解集．（Ⅱ）由题意可得|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立，而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，故有|a﹣2|≥a，由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立．而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化数学思想，属于中档题．19．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x∈时，图象是线段BC，其中C（40，50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（1）试求y=f（x）的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当x∈（0，12]时，设f（x）=a（x﹣10）2+80，把点（12，78）代入能求出解析式；当x∈时，设y=kx+b，把点B（12，78）、C（40，50）代入能求出解析式．（2）由（1）的解析式，结合题设条件，列出不等式组，能求出老师就在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳解答：解：（1）当x∈（0，12]时，设f（x）=a（x﹣10）2+80…过点（12，78）代入得，则…当x∈时，设y=kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）得，即y=﹣x+90…则的函数关系式为…（2）由题意得，或…得4＜x≤12或12＜x＜28，4＜x＜28…则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．…点评：本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．20．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）由面面垂直的性质定理证明线面垂直，证得线线垂直，再证明面面垂直．（2）过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则∠NEF就是直线EF与平面CBE 所成的角，找到角再利用线面关系求得，或者利用直角坐标系求解．解答：（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．所以BM⊥平面CDE．又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（2）法一：过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则∠NEF就是直线EF与平面CBE所成的角…设AB=1，则，在Rt△EFN中，．故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．F（0，0，0），E（1，0，2），，C（﹣1，0，0），平面CBE的一个法向量为…则=故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…点评：本题主要考查了面面垂直的性质定理和线面教的求法，属于中档题型，高考常考．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得．若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的标准方程；（2）直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，求出P的坐标，求出向量的坐标，利用，即可得出结论．解答：解：（1）由c=1，a﹣c=1，∴a=2，∴，∴椭圆C的标准方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，即m2=3+4k2．∴，，即P．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵M（t，0）．又Q（4，4k+m），，，∴=（4﹣t）+=恒成立，故，即t=1．∴存在点M（1，0）适合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在∪（，]．点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题。
湖北省荆州中学高三年级第一次质检数学理科试卷
湖北省荆州中学高三年级第一次质检数学理科试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.已知集合，则( ) A ．B ．C ．D ．2.下列函数是奇函数的是（ ）．A. x x x f =)(B.x x f lg )(=C. x x x f -+=22)(D.1)(3-=x x f3．“1m >”是“函数2()log (1)xf x m x =+≥不存在零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若方程111()()042x x a -+-=有正数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <<B ．30a -<<C ．03a <<D ．10a -<<5．已知点A 为抛物线:C 24x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF Ð( )A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 6. 下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤”，则p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 7．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是( )A ．π4 B ．14 C ．π16 D ．1168．已知函数212()log 2(21)8,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦，若()f x 在[),a +∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(],2-∞B ．4(,2]3-C ．(],1-∞D ．4(,1]3- 9. 已知函数()22lg 12(1)3y a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]-B. [2,1]--C. (2,1)-D. (,2)[1,)-∞-+∞10.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点1F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点P ，若线段1PF 的中点在y 轴上，则此双曲线的离心率为（ ）C.311.定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ=+=-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ） A ．αβγ>> B ．βαγ>> C ．γαβ>> D ．βγα>>12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（2，－4）B ．2）C ．（＋2，＋4）D ．4,6)-二、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.)13．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为 14．若方程()1222log log 1x xm --=+有两个解，则实数m 的取值范围是 ．15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x = .16. 已知函数2()2(),(0)f x ax a b x b a =-++≠满足(0)(1)0f f ⋅>，设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．(本小题满分 12分)设命题p ：函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题q ：对任意[]1,1m ∈-，不等式253a a --≥“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18. (本小题满分 12分)已知函数2*()2,(,)f x ax x c a c N =++∈满足①(1)5f =；②6(2)11f <<.(1)求函数()f x 的解析表达式；（2）若对任意[]1,2x ∈，都有()20f x mx -≥恒成立，求实数m 的取值范围. 19．（本小题满分12分）已知22(log )21f x ax x a =-+-，a R ∈.（1）求()f x 的解析式；（2）解关于x 的方程()(1)4x f x a =-⋅20．(本小题满分 12分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()a ＞b ＞0的右焦点(1,)F 0，右顶点A ，且1AF =.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线4x =交于点Q ，问：是否存在一个定点(,0)M t ，使得0MP MQ =.若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由.21．(本小题满分 12分)已知函数()1ln f x mx x =--．（1）若()0f x ≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；（2）求证：对n N e ∀∈<均成立（其中e 为自然对数的底数，e ≈2.71828）．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC ．（1）求证：FB=FC ；（2）若FA=2，AD=6，求FB 的长．选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知直线的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若点 P 是曲线C 上的动点，求 P 到直线的距离的最小值，并求出 P 点的坐标．选修4-5：不等式选讲24．已知()12,()1()f x x x g x x x a a a R =++-=+--+∈。
湖北省荆州市高三质量检测一数学理
{ { ｆ（０）＝１ ｃ＝１
由题意得
即
３分
ｆ′（０）＝０ ｂ＝０
（２）由（１）得 ｆ′（ｘ）＝ｘ２－ａｘ＝ｘ（ｘ－ａ）（ａ＞０）
当 ｘ∈（－∞，０）时，ｆ′（ｘ）＞０
当 ｘ∈（０，ａ）时，ｆ′（ｘ）＜０
当 ｘ∈（ａ，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０ ６分
所以函数 ｆ（ｘ）的单调增区间为（－∞，０）与（ａ，＋∞），单调减区间为（０，ａ） ８分 （３）ｇ′（ｘ）＝ｘ２ －ａｘ＋２， 依题意，存在 ｘ∈（－２，－１），使不等式 ｇ′（ｘ）＝ｘ２－ａｘ＋２＜０成立 １０分
当 ｘ∈（－２，－１）时，ａ＜ｘ＋２ｘ≤ －２槡２ １１分
所以 ２Ｂ＝Ａ＋Ｃ 又 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π 所以 Ｂ＝π３ ２分
数学试题答案（理）第１页（共４页）
由正弦定理得ｓｉａｎＡ＝ｓｉｎｂＢ ∴ｓｉｎＡ＝１２ ∵ａ＜ｂ，∴Ａ＝π６ ４分 ∴Ｃ＝π２ ∴ｃ＝２ ６分 （２）由已知 ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ（π－Ｂ－Ａ） ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ（２３π－Ａ）
＝ｓｉｎＡ＋槡２３ｃｏｓＡ＋１２ｓｉｎＡ
＝槡３ｓｉｎ（Ａ＋π６）≤槡３ １１分
当且仅当 Ａ＝π３时取等号
此时△ＡＢＣ为等边三角形 １２分 １８．解：（１）ｆ′（ｘ）＝ｘ２－ａｘ＋ｂ １分
是单调函数；②ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上的值域为［２ｍ，２ｎ］，则称区间［ｍ，ｎ］为 ｙ＝ｆ（ｘ）的“倍值区
间”，以下函数：
①ｆ（ｘ）＝ｘ２（ｘ≥０）；②ｆ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ∈Ｒ）；③ｆ（ｘ）＝ｘ２４＋ｘ１（ｘ≥０）；④ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ａｘ－１８）（ａ＞
０，ａ≠１），其中存在“倍值区间”的是
Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④
已知数列｛ａｎ｝满足 ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋１（ｎ∈Ｎ ）．
湖北省荆州中学高三数学第一次质量检测 理
科目：数学（理科） 时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出正确选项填在相应位置）1．已知集合{|2},{|lg(1)},xS y y T x y x S T ====-则=（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．方程log 3x ＋x －3＝0的实数解所在的区间是（ ）A ．(0，1)B ． (1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．集合{,},{1,0,1}A a b B ==-，从A 到B 的映射f 满足()()0f a f b +=，那么这样的映射f 的个数有（ ） A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个4．设函数f(x)是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f(1)＞1且23(2)1a f a -=+，则（ ） A ．23a < B ．213a a <≠-且 C ．213a a ><-或 D ．213a -<<5．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y 关于x 的函数关系与下列最接近的函数(其中a 、b 、c 为待定系数)是( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．by a x =+6．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，且点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则12m n+的最小值等于（ ） A ．16 B ．12 C ．9 D ．87．设曲线*()ny x n N =∈与x 轴及直线x=1围成的封闭图形的面积为n a ，设1122012,n n n b a a b b +=+++则b =（ ）A ．5031007 B ．20112012C ．20122013D ．201320148．已知定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，若124x x +<，且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +与0的大小关系是（ ）A ．12()()0f x f x +>B ．12()()0f x f x +=C ．12()()0f x f x +<D ．12()()0f x f x +≤9．已知函数13()ln 144f x x x x=-+-，g(x)＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f(x 1)≥g(x 2)，则实数b 的取值范围是( )A ．17(2,]8 B ．[1，＋∞） C ．17[,)8+∞ D ．[2，＋∞） 10．已知f (x )是定义在R 上的函数，f (1)＝10，且对于任意x ∈R 都有f (x ＋20)≥f (x )＋20，f (x ＋1)≤f (x )＋1，若g (x )＝f (x )＋1－x ，则g (10)＝（ ）A ．20B ．10C ．1D ．0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，15题与16题为选做题，任选其中一题作答，若都做，按第一个给分，共25分）11．设集合22{5,log (36)}A a a =-+，集合{1,,},B a b =若{2},A B = 则集合A B 的真子集的个数是 . 12．先作与函数1ln3y x=-的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到图象C 1．又y ＝f(x)的图象C 2与C 1关于y ＝x 对称，则y ＝f(x)的解析式是 ． 13．设函数()||(,)f x x x bx c b c =++∈R ，给出如下四个命题：①若c =0，则()f x 为奇函数；②若b =0,则函数()f x 在R 上是增函数；③函数()y f x =的图象关于点()0,c 成中心对称图形；④关于x 的方程()0f x =最多有两个实根.其中正确的命题 .14．已知定义域为R 的函数ab x f x x +-=+122)(是奇函数, 则a+b= .若函数()(21)()g x f x f k x =++-有两个零点，则k 的取值范围是 .15．(坐标系与参数方程)在极坐标系中，定点A (2，π)，动点B 在直线2sin()4πρθ+=上运动，则线段AB 的最短长度为 ．16．(几何证明选讲)如图，在半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 17. (本题满分12分)(1)求函数1log log a a y x x=-(a >0,且a ≠1)的定义域;(2)已知函数log (2)x a y a a =-+(a >0,且a ≠1)的值域是R ，求a 的取值范围.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2．（1）若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；（2）当AD 的长等于多少时？二面角B 1－DC －C 1的大小为60°． 19．（本小题满分12分）三个城市襄阳、荆州、武汉分别位于A ，B ，C 三点处（如右图），且202AB AC ==km ，40BC =km.今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B 、C 等距离的O 点处，并修建道路,,OA OB OC .记修建的道路的总长度为y km.（Ⅰ）设OB x =(km)，将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短.20．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分14分) 已知f (x )＝ln x －ax 2－bx ．（1）若a ＝－1，函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （2）当a ＝1，b ＝－1时，证明函数f (x )只有一个零点；（3）f (x )的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)( x 1＜x 2)两点，AB 中点为C (x 0，0)，求证：f ′(x 0)＜0． 22．（本小题满分13分） 已知：函数3211()62f x x x x =-++，x R ∈. （Ⅰ）求证：函数()f x 的图象关于点4(1,)3A 中心对称，并求(2007)(2006)(0)(1)(2009)f f f f f -+-+++++的值.（Ⅱ）设()()g x f x '=，1()n n a g a +=，n N +∈，且112a <<，求证：（ⅰ）请用数学归纳法证明：当2n ≥时，312n a <<；（ⅱ）12|||2n a a a +++-<荆州中学2010级高三第一次质量检测数学卷参考答案（理科）一、选择题（50分） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C BDBDACCB二、填空题（25分）11. 15 12. xe y = 13. ①②③14. 3 ]21,1(-- 15.223 16.553三、解答题（75分） 17.解(1) 1log log a a x x -≥0. 令log a t x =,则1t t-≥0,解得1-≤t <0,或t ≥1,即1-≤log a x <0,或log a x ≥1. ∴当01a <<时,函数的定义域是(0,]a ∪1(1,]a;当1a >时,函数的定义域是1[,1)a∪[,)a +∞.………………………………（6分） (2)令()2xf x a a =-+(x ∈R ),则()f x 的值域包含(0,)+∞. 又()f x 的值域为(2,)a -+∞,所以2a -≤0,∴a ≥2. ……………………………（12分） 18.解：（1）如图所示，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)，D (1，0，1)， 即111(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=．由11(1,0,1)(0,2,0)0000CD C B ⋅=⋅=++=，得CD ⊥C 1B 1． 由1(1,0,1)(1,0,1)1010CD DC ⋅=⋅-=-++=，得CD ⊥DC 1．又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D ，平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ．……6分 （2）设AD ＝a ，则D 点坐标为(1，0，a )，1(1,0,),(0,2,2)CD a CB ==．设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由1002200CB x az y z CD ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩m m ．令z ＝－1，得m ＝(a ，1，－1)．又平面C 1DC 的法向量为n ＝(0，1，0)，则由21cos 6022a ⋅=⇒=+m n m n， 即2a =，故2AD =． …………12分19．解：（Ⅰ）设OB x =(km)，延长AO 交于BC 于点D .由题意可知1202BD DC BC ===，OB OC =， 2220OA AD OD AC DC OD OD =-=--=-，在Rt ODB ∆中，222220OD OB DB x =-=-，所以2222020y OA OB OC x x =++=+--. 又易知20202x ≤≤，故y 用x 表示的函数为2222020(20202)y x x x =+--≤≤……………………………………（6分）（Ⅱ）由(Ⅰ)中建立的函数关系2222020(20202)y x x x =+--≤≤，来确定符合要求的货运中转站的位置.因为2222020y x x =+--，所以22220y x '=--，令0y '=得403x =，4033x =-（舍去）当403[20,)x ∈时，0y '<；当403(,202]x ∈时，0y '>，所以函数y 在403x =时，取得极小值，这个极小值就是函数y 在[20,202]上的最小值.……（11分）因此，当货运中转站建在三角形区内且到B 、C 两点的距离均为403km 时，修建的道路的总长度最短.…………………………………………………………………………（12分）20.解（1）b ＝c ＝1，a =，所求椭圆的方程为2212x y +=．…………4分 （2）假设在线段OF 上存在点M (m ，0)(0＜m ＜1)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由2222(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0． ∴22121222422,1212k k x x x x k k -+==++． ………………6分11222121(,),(,),(,)MP x m y MP x m y PQ x x y y =-=-=--，其中x 2－x 1≠0．以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形()()0MP MQ PQ MP MQ PQ ⇔+⊥⇔+⋅=12122121(2,)(,)0x x m y y x x y y ⇔+-+--=122112211212222222222(2)()()()0(2)()044(2)(2)012122(24)0(0)12x x m x x y y y y x x m k y y k k m k k kk k k m m k k ⇔+--++-=⇔+-++=⇔-+-=++⇔-+=⇔=≠+∴102m <<． …………12分21．解：（1）依题意：f (x )＝ln x ＋x 2－bx ．∵f (x )在(0，＋∞)上递增，∴1()20f x x b x'=+-≥对x ∈(0，＋∞)恒成立， 即12b x x ≤+对x ∈(0，＋∞)恒成立，只需min 1(2)b x x≤+． …………2分∵x ＞0，∴12x x+≥2x =时取“＝”，∴b ≤b的取值范围为(,-∞． ………………4分 （2）当a ＝1，b ＝－1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)，∴2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x---+'=-+=-=-．∵x ＞0，∴当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0．∴函数f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………6分∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，其值为f (1)＝ln1－12＋1＝0；当x ≠1时，f (x )＜f (1)，即f (x )＜0，∴函数f (x )只有一个零点．…………8分（3）由已知得221111111222222111()ln 0ln ()ln 0ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--==+⎪⎪⇒⎨⎨=--==+⎪⎪⎩⎩， 两式相减，得11212122ln()()()x a x x x x b x x x =+-+- 112122ln()[()]x x x a x x b x ⇒=-++．…………10分 由1()2f x ax b x'=--及2x 0＝x 1＋x 2，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=+-=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+ 令1222,()ln (01)1x t t t t t x t ϕ-==-<<+． ∵22(1)()0(1)t t t t ϕ-'=-<+，∴φ(t )在(0，1)上递减，∴φ(t )＞φ(1)＝0． ∵x 1＜x 2，∴f ′(x 0)＜0． …………14分22．解：（Ⅰ）设11(1,)P x y -是函数()f x 的图象上的任一点，则11(1)y f x =-， 又11(1,)P x y -关于4(1,)3A 的对称点是118(1,)3Q x y +-， （1分）而11(1)(1)f x f x ++-32321111111111(1)(1)(1)[(1)(1)(1)]6262x x x x x x =-++++++--+-+-3322111111[(1)(1)][(1)(1)]262x x x x =-++-+++-+2211181233x x =--+++=，即11188(1)(1)33f x f x y +=--=-， （3分）点118(1,)3Q x y +-也在函数()f x 的图象上，故()f x 的图象关于点4(1,)3中心对称.（4分）由于118(1)(1)3f x f x ++-=，1x ∈R .(2007)(2009)(2006)(2008)f f f f ∴-+=-+= (8)(0)(2)3f f =+=，又4(1)3f =.(2007)(2006)S f f =-+-+……(0)(1)f f +++……(2009)f +，824017535623S ∴=⨯=⨯，5356S ∴=.故(2007)(2006)(2009)5356f f f -+-++=.（6分）（Ⅱ）21()12g x x x =-++. （ⅰ）下面用数学归纳法证明：1︒ 当2n =时，2221111131(1)222a a a a =-++=--+112a << 2312a ∴<<.2︒ 假设(2)n k k =≥时，312k a <<则2113()(1)22k k k a g a a +==--+，又()g x 在[1,)+∞上单调递减，1331(2)()(1)22k g g a g +∴-<<<=，这说明1n k =+时，命题也成立.由1︒ 2︒可知*31(N ,2)2n a n n <<∈≥. （10分）（ⅱ）2111||1||222n n n n n a a a a a +=-++=⋅-，由于312n a <<，|21n a ∴-<，11||2n n a a +∴<，于是11||2n n a a -<< (22211111)|(2,N*)2222n n n a n n ---<<⋅=≥∈.（12分）所以，121211|||2122n a a a +-++-<+++ (1)1112()222n n --+=-<. （13分）。
2012年湖北高考数学理科试卷(带详解)
2012湖北高考理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程2+6+13=0x x 的一个根是 （ ） A ．3+2i - B ．3+2i C ．22i -+ D ．2+2i 【测量目标】复数的一元二次方程求根.【考查方式】给出一元二次方程，由求根公式求出它的根. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】根据复数求根公式：26613432i 2x -±-⨯==-±，所以方程的一个根为32i -+，答案为A.2．命题“300x x ∃∈∈RQ Q ，”的否定是 （ ）A ．300x x ∃∉∈RQ Q ，B ．300x x ∃∈∉RQ Q ，C ．300x x ∀∉∈R Q Q ，D ．300x x ∀∈∉R Q Q ，【测量目标】常用逻辑用语，含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出了存在性命题，根据逻辑用语写出命题的否定. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定因此选D.3．已知二次函数=()y f x 的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 （ ）第4题图A ．2π5B.43 C ．32D ．π2【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】给出了二次函数的图象，求出函数解析式，由定积分的几何意义可求得面积. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据图像可得：2()+1y f x x ==-，再由定积分的几何意义，可求得面积为1221114=(+1)()133S x dx x x --=-+=-⎰.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π第4题图 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出了几何体的的三视图，确定其为圆柱，根据体积公式求出体积. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 5．设a ∈Z ，且013a <，若201251a +能被13整除，则a = （ ）A ．0B ．1C ．11D ．12 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据其展开式的系数求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由于51=52-1，2012020121201120111201220122012(521)C 52C 52C 521-=-+-+…又由于13|52,所以只需13|1+a ，0a ＜13,所以a =12选D.6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且222++=10a b c ，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z ++=++ （ ）A ．14B ．13C ．12D ．34【测量目标】不等式的基本性质.【考查方式】给出含未知量的3个方程，根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由于2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++++等号成立当且仅当a b ct x y z===，则a tx b ty c tz ===，，， 2222()10t x y z ++=（步骤1） 所以由题知12t =,又a b c a b cx y z x y z++===++（步骤2）,所以12a b c t x y z ++==++，答案选C.（步骤3）7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x =④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④【测量目标】等比数列性质及函数计算.【考查方式】给出了保等比数列的定义，判断所给4个函数是否为保等比数列. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】等比数列性质，221n n n a a a ++=， ①222222211()()()()n n n n n n f a f a a a a f a ++++=== （步骤1）2212221()()2222()n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=②（步骤2）2221()()()n n n f a f a f a ++===③（步骤3）2221()()=ln ln ()n n n n n f a f a a a f a +++≠④选C.（步骤4）8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π第8题【测量目标】几何概型及平面图形面积公式. 【考查方式】给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积，算出他们的比值即为概率. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】令1OA =，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， （步骤1）221111π2π122228S -⎛⎫=-⨯⨯=⎪⎝⎭.在扇形OAD 中12S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ，21211π2π(1)284216S S -=--=，12π24S S -+=，扇形OAB 面积1π4S =， 选A.（步骤2）第8题图9．函数2()cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】三角函数的周期性以及函数零点的判断.【考查方式】给出复合函数，根据函数周期性确定其在区间类的零点个数. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()0f x =，则0x =或2cos 0x =，2ππ+,2x k k =∈Z 又[]0,4x ∈， 0,1,2,3,4k =所以共有6个解.选C.10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π=3.14159...判断，下列近似公式中最精确的一个是 （ ） A ．3169d V ≈B ．32d V ≈C ．3300157d V ≈D ．32111d V ≈【测量目标】球的体积公式以及估算.【考查方式】根据球的体积估算圆周率. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由34π32d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得36πV d =，设选项中常数为a b ，则6π=b a （步骤1）；A中代人得69π 3.37516⨯==，B 中代入得6π32==，C 中代入得π61573.14300⨯==，D 中代人得611π= 3.142857,21⨯=由于D 中值最接近π的真实值，故选D.（步骤2） 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C = ．【测量目标】余弦定理，解三角形.【考查方式】给出三角形的各边关系，利用余弦定理求出角C . 【难易程度】容易 【参考答案】120【试题解析】由()(+)a b c a b c ab +--=，得222a b c ab +-=-根据余弦定理2221cos ,222a b c ab C ab ab +-==-=-故120C ∠=.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .第12题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，通过输入、赋值、输出语句，得出满足条件的s . 【难易程度】容易 【参考答案】9【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当n =1时，得s =1，a =3.（步骤1） 第二圈循环: 当n =2时，得s =4，a =5 （步骤2）第三圈循环：当n =3时，得s =9，a =7 （步骤3） 此时n =3，不再循环，所以解s =9 . （步骤4）13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有 个；（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有 个． 【测量目标】排列、组合及其应用.【考查方式】根据回文数的定义求出4位回文数以及21()n n ++∈N 回文数的个数. 【难易程度】较难【参考答案】（I ）90；（II ）910n⨯【试题解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有91090⨯=种，答案：90. （Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n +1位回文数和2n +2位回文数的个数相同，所以可以算出2n +2位回文数的个数.2n +2位回文数只用看前n +1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为910n⨯.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个,按此规律推导22102n n s s =-,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因21210n n s s +=,则答案为910n⨯.14．如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=＞的两顶点为12A A ，虚轴两端点为12B B ，两焦点为12F F ，. 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则第14题图（Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S = . 【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率，以及一般平面几何图形的面积计算. 【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率，根据面积公式求出面积比.【难易程度】较难 【参考答案】（I ）512e +=，（II ）12252S S += 【试题解析】（Ⅰ）由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，因此点O 到直线22F B 的距离为a ，又由于虚轴两端点为12B B ，，因此2OB 的长为b ，那么在22F OB △中，由三角形的面积公式知，2222111222bc a B F a b c ==+（步骤1），又由双曲线中存在关系222c a b =+联立可得出222(1)e e -=，根据(1,)e ∈+∞解出512e +=.（步骤2） （II ）菱形1122F B F B 的面积12S bc =，设矩形ABCD ，2BC m =，2BA n = ∴m c n b =（步骤3），∵222m n a +=，∴2222,ac ab m n b c b c==++(步骤4) ∴面积222244a bc S mn b c ==+，∴221222S b c S a+=（步骤5） ∵222b c a =-∴12252S S +=（步骤6）. （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D 在O 的弦AB 上移动，4AB =，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为 .第15题图 【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线与圆的位置关系，判断点D 的位置从而求出线段最大值. 【难易程度】容易 【参考答案】2【试题解析】（由于OD CD ⊥,因此CD =线段OC 长为定值，即需求解线段OD 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时D 为AB 的中点，点C 与点B 重合，因此122CD AB == 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数） 相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程，将它们化为一般方程并求出交点. 【难易程度】中等 【参考答案】55(,)22【试题解析】π4θ=在直角坐标系下的一般方程为()y x x =∈R ，将参数方程21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222(1)(11)(2)y t x x =-=--=-表示一条抛物线（步 骤1），联立上面两个方程消去y 有2540x x -+=，设A B ，两点及其中点P 的横坐标分别为0A B x x x 、、（步骤2），则有韦达定理0522A B x x x +==,又由于点P 点在直线y x =上，因此AB 的中点P 55(,)22.（步骤3）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(cos sin sin )x x x ωωω=-，a ，(cos sin )x x x ωωω=--b ，设函数()()f x x λ=+∈R a b 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π,04⎛⎫⎪⎝⎭，求函数()f x 在区间3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.【考查方式】求出函数解析式，根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.【难易程度】容易 【试题解析】（I ）因为22()sin cos cos f x x x x ωωωλ=-+cos22.x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+（步骤1）.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ+()62k k ω-=∈Z ，即1().23k k ω=+∈Z 又1(,1)2k ω∈∈Z ，，所以k =1，故56ω=，所以()f x 的最小正周期为6π5.（步骤2）（II ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，（步骤3）即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=即λ=故5π()2sin()36f x x =--（步骤4）由3π0,5x 有π5π5π,6366x -- 所以15πsin()1236x --，得5π12sin()222,36x ----故函数()fx 在3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为12⎡-⎣.（步骤5） 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和. 【测量目标】等差数列的通项，前n 项和.【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项，由前三项成等比关系求出新数列的前n 和. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+. 有题意得1111333()2a d a a d a d +=-⎧⎨++⎩（）=8解得123a d =⎧⎨=-⎩或143a d =-⎧⎨=⎩（步骤1）所以由等差数列通项公式可得23(1)35,n a n n =--=-+或43(1)37.n a n n =-+-=- 故35,n a n =-+或37.n a n =-（步骤2）（II ）当35n a n =-+时，231,,a a a 分别为1,4,2--,不成等比数列. 当37n a n =-时，231,,a a a 分别为1,2,4,--成等比数列，满足条件. 故37,1,237.37,3n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-⎩（步骤3）记数列{}n a 的前n 项和为n S .当n =1时，114;S a ==当n =2时，2125;S a a =+= 当n3，234...5(337)(347)...(37)n n S S a a a n =++++=+⨯-+⨯-++- =[]2(2)2(37)311510.222n n n n -+-+=-+当2n =时，223112210522S =⨯-⨯+=综上，24131110,122n n S n n n =⎧⎪⎨-+⎪⎩，＞.（步骤4）19．（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=（如图2所示）．（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．图1 图2第19题图【测量目标】三棱锥的体积公式，均值不等式求最值，利用导数求函数的最值，空间直角坐标系的建立，平行与垂直关系的综合应用.【考查方式】给出了空间几何体的边、角等，通过均值不等式或者导数求出体积的最大值，利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设BD =x (03)x ＜＜，则3CD x =-. 由,45AD BC ACB ⊥∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD =CD =3x -.（步骤1）由折起前AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11(3).22BCD S BD CD x x ==-△于是1111(3)(3)2(3)333212A BCD BCD V AD S x x x x x x -==--=-△（-）312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当23,x x =-即当x =1时，等号成立，故当x =1，即BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2） 解法2：同解法1，得321111=(3)(3)(69).3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=--=-+△（步骤1） 令321()(69),6f x x x x =-+由1()(1)(3)02f x x x '=--=，03,x ＜＜解得x =1. 当(0,1)x ∈时，()0;f x '＞当(1,3)x ∈时，()0f x '＜. 所以当x =1，()f x 取1得最大值.故当BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2）(II)解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由（I ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1,2BD AD CD ===. 于是可得1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A ME 且(1,1,1).BM =-（步骤3）设1(0,,0),=2N EN λλ则（-,-1,0）.因为EN BM ⊥等价于0EN BM =,即111022λλ+-=（-,-1,0）(-1,1,1)=，故11,(0,,0)22N λ=（步骤4）所以当DN =12（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥. 设平面BMN 的一个法向量为n (,,),x y z =由BNBM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，及1(1,,0),2BN =-得2y x z x=⎧⎨=-⎩可取(1,2,1)=-n .（步骤5）3cos 2EN <>=，n即EN 与平面BMN 所成角的大小60.（步骤6）第19题图a解法2：由（I ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1, 2.BD AD CD ===（步骤3）如图b ,取CD 的中点F ，连接,MF BF ,EF ,则MFAD .由（I ）知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .（步骤4）如图c ，延长FE 至P 点使得FP =DB ，连接BP ,DP ，则四边形DBPF 为正方形， 所以.DP BF ⊥取DF 得中点N ，连接EN ，又E 为FP 的中点，则ENDP ，所以.EN BF ⊥因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂面BCD ，所以MF EN ⊥. 又=MFBF F ，因为MF ∈面BMF ，所以EN ⊥BM..因为EN BM ⊥当且仅当,EN BF ⊥而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的. 即当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)，EN BM ⊥. 连接MN ，ME ，由计算得NB =NM =EB =EM =52， 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形，（步骤5） 如图d .BM EGN ⊥平面在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H , 则EH ⊥平面BMN .故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角. 在△EGN 中，易得EG =GN =NE =22，所以△EGN 是正三角形， 故=60EGN ∠，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60.（步骤6）图b图c 图d 第19题图 20．（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表： 降水量X 300X ＜300700X ＜＜700900X ＜＜ 900X工期延误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【测量目标】概率的加法公式与方差，条件概率.【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系，根据概率的加法公式以及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,(300700)(700)(300)=0.70.30.4P X P X P X P X ==--=＜＜＜＜＜ (700900)=(900)700=0.90.70.2P X P X P X --=＜＜（＜） (900)1(900)=10.90.1.P XP X =--=＜（步骤1）所以Y 的分布列为：2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8.D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=故工期延误天数Y 的均值为3，方差9.8.（步骤2） （II ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7P X P X =-=＜，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X =-=-=＜＜＜.由条件概率，得(300900)0.66(6300)(900300)(300)0.77P X P Y X P X X P X ====＜＜.故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.（步骤3） 21．（本小题满分13分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足(01),DM m DA m m =≠＞，且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题.【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）如图1，设00(,),(,),M x y A x y 则由(01),DM m DA m m =≠＞，且 可得00,,x x y m y ==所以001,.x x y y m==① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y += ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2221(0)y x m m m+=≠＞，且1，（步骤1）因为(0,1)(1,),m ∈+∞所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(；（步骤2） 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,.（步骤3）（II ）解法1：如图2、30k ∀＞，设1122(,),(,),P x kx H x y 则111(,),(0,),Q x kx N kx -- 直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40.m k x k x x k x m +++-=依题意可知此方程的两根为12,,x x -于是由韦达定理可得21122244k x x x m k -+=-+，即21222.4m x x m k =+（步骤4） 因为点H 在直线QN 上，所以212122222.4km x y kx kx m k-==+ 于是112121(2,2),(,)PQ x kx PH x x y kx =--=--=2211222242(,)44k x km x m k m k -++. 而PQ PH ⊥等价于PQ PH =2221224(2)0,4m k x m k-=+即220m -=，又m ＞0，得m =，故存在m =，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k ＞，都有PQ PH ⊥.（步骤5）第21题图1解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设1122(,),(,),P x y H x y 则111(,),(0,)Q x y N y --因为P ,H 两点在椭圆C 上，所以222211222222m x y m m x y m ⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得 222221212()()0.m x x y y -+-=（步骤3）依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ,H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+.（步骤4）又Q ,N ,H 三点共线，所以QN QH K K =，即1121122.y y y x x x +=+ 于是由④式可得211212121121212()()1.2()()2PQ PHy y y y y y y m K K x x x x x x x --+===---+（步骤5） 而PQ PH ⊥等价于PQPH K K =1-,即22m -=1-，又m ＞0，得m =2. 故存在m =2，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥. （步骤6）图2 图3 （0＜m ＜1） （m ＞1） 第21题图22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+-＞，其中r 为有理数，且01r ＜＜. 求()f x 的 最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设12120,0,,a a b b ，为正有理数. 若121b b +=，则12121122;b b a a a b a b +（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值、解不等式问题，数学归纳法.【考查方式】给出函数解析式，求其导数从而求出函数的最值.给出了参数的范围，利用问题（I ）的结论以及导数解决不等式的证明.在利用（II ）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）11()(1),r r f x r rx r x --'=-=-令()0f x '=，解得x =1. 当0＜x ＜1时，()0f x '＜，所以f (x )在（0，1）内是减函数； 当x ＞1时，()f x '＞0，所以f (x )在（0，1）内是增函数. 故函数()f x 在x =1处取得最小值(1)0.f =（步骤1） （II ）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f =，即(1)rx rx r +-若12,a a 中有一个不为0，则12121122bba a ab a b ++成立（步骤2）； 若12,a a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令112,,ax r b a ==可得1111122(1),b a a b b a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭即12121121(1)bba a ab a b +-，亦即12121122b b a a a b a b +.（步骤3）综上，对12120,0,,a a b b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b +.②（步骤3）(III) （II ）中命题的推广形式为：设12,,,n a a a …为非负实数，12,,,n b b b …为正有理数. 若121,k b b b +++=…则12121122+kb bbk k k a a a a b a b a b ++…….（步骤4）③用数学归纳法证明如下: （1）当1n =时，11,b =有11,a a ③成立.（步骤5）（2）假设当n k =时③成立，即若12,,,k a a a …，非负实数，12,,,k b b b …，为正有理数.且121,k b b b +++= (12121122)b b b k k k a a a a b a b a b ++…….当1n k =+时，已知12,,,k a a a …，1k a +非负实数，12,,,k b b b …，1k b +为正有理数 且1211,k k b b b b +++++=…此时101k b +＜＜，即110k b +-＞，（步骤6）于是 111212121121(...)kk kk b b b b b b b b k k k k a a a aa a a a++++= (1211)1+1+11111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aa a a +++----+= (12)111...1111k k k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++--- (1122)121211111111k k k k k k k k b a b a b a b b b a a a b b b b +++++++++=----…… 从而112121k k bbbb k k a a a a ++ (1)111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫++ ⎪-⎝⎭…（步骤7）又因1+1(1)=1k k b b +-+，由②得 11111221122111111k k b b k k k kk k k k a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++⎛⎫++++ ⎪--⎝⎭……+（1-）1+1k k a b ++=1122k k a b a b a b ++…++11k k a b ++，从而112121k k bbbbk k a a a a ++…112211k k k k a b a b a b a b +++++…+.（步骤7）故当1n k =+时，③成立. 由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立. 说明：（III ）中如果推广形式中指出③式对2n 成立，则后续证明不需要讨论1n =的情况（步骤8）。
【独家】湖北省荆州中学2012届高三第一次质量检查(物理)
荆州中学2009级高三第一次质量检查物理试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共110分；答题时间为100分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。
全部选对的得5分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分）1．下列说法正确的是( )A．参考系必须是固定不动的物体B．参考系可以是变速运动的物体C．地球很大，又因有自转，研究地球公转时，地球不可视为质点D．研究跳水运动员转体动作时，运动员可视为质点2．对于质点的运动，下列说法中正确的是( )A．质点运动的加速度为零，速度可能很大B．质点速度变化率越大，则加速度越大C．质点某时刻的加速度不为零，则该时刻的速度也不为零D．质点运动的加速度越大，它的速度变化越大3．一汽车在路面情况相同的公路上沿直线行驶，下面关于车速、惯性、质量和滑行位移的讨论，正确的是()A．车速越大，它的惯性越大B．质量越大，它的惯性越大C．车速越大，刹车后滑行的位移越短D．车速越大，刹车后滑行的位移越长，所以惯性越大4.如右图所示是某质点做直线运动的v－t图象，由图可知这个质点的运动情况是()A．前5 s做的是匀速运动B．5 s～15 s内做匀加速运动，加速度为1 m/s2C．15 s～20 s内做匀减速运动，加速度为0.8m/s2D．质点15 s末离出发点最远，20秒末回到出发点5．如图所示,木块A与B用一轻弹簧相连,竖直放在木块C上,三者静置于地面上,它们的质量之比是1∶2∶3.设所有接触面都光滑,在沿水平方向抽出木块C的瞬间,木块A和B的加速度分别是( ).A．a A=0 B．a A=g326．如图所示，轻质光滑滑轮两侧用细绳连着两个物体A与B，物体B放在水平地面上，A、B均静止．已知A和B的质量分别为m A、m B，绳与水平方向的夹角为θ，则()A．物体B受到的摩擦力可能为0B．物体B受到的摩擦力为m A g cosθC．物体B对地面的压力可能为0D．物体B对地面的压力为m B g－m A g sinθ7.如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5……所示小球运动过程中每次曝光的位置，连续两次曝光的时间间隔均为T ，每块砖的厚度为d .根据图中的信息，下列判断正确的是( )A ．位置“1”是小球释放的初始位置B ．小球做匀加速直线运动C ．小球下落的加速度为4d T2D ．小球在位置“3”的速度为7d2T8．测速仪安装有超声波发射和接收装置，如图所示，B 为测速仪，A 为汽车，两者相距335 m ，某时刻B 发出超声波，同时A 由静止开始做匀加速直线运动．当B 接收到反射回来的超声波信号时，A 、B 相距355 m ，已知声速为340 m/s ，则汽车的加速度大小为( )A ．20 m/s 2B ．10 m/s 2C ．5 m/s 2D ．无法确定9．如右图所示，小车上有一直立木板，木板上方有一槽，槽内固定一定滑轮，跨过定滑轮的轻绳一端系一重球，另一端系在轻质弹簧测力计上，弹簧测力计固定在小车上，开始时小车处于静止状态，轻绳竖直且重球恰好紧挨直立木板，假设重球和小车始终保持相对静止，则下列说法正确的是( )A ．若小车匀加速向右运动，弹簧测力计读数及小车对地面压力均不变B ．若小车匀加速向左运动，弹簧测力计读数及小车对地面压力均变大C ．若小车匀加速向右运动，弹簧测力计读数变大，小车对地面压力不变D ．若小车匀加速向左运动，弹簧测力计读数变大，小车对地面压力不变 10. 如图所示为杂技“顶竿”表演，一人站在地上，肩上扛一质量为M的竖直竹竿，当竿上一质量为m 的人以加速度a 加速下滑时，竿对“底人”的压力大小为( )A ．(M ＋m )gB ．(M ＋m )g －maC ．(M ＋m )g ＋maD ．(M －m )g第Ⅱ卷（解答题，共60分）二、实验题（共13分）11.（4分）某同学用游标为20分度的卡尺测量一薄金属圆板的直径D ，用螺旋测微器测量其厚度d ，示数如图所示。
荆州中学2012届高三第三次质量检查
荆州中学2012届高三第三次质量检查数 学 试 卷 (理 科)年级：高三 科目：数学（理）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1.已知集合2{|30}A x R x x a =∈-+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．[2,)-+∞2. 已知向量a 与b 的夹角为23π，且||1,||2a b == ，若(3)a b a λ+⊥ ，则实数λ=（ ）A ．3B ．-3C ．32D ．32-3. 设0,0a b >>，则“221a b +≤”是“1a b ab +≤+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4. 在ABC ∆中，已知024,30AB BC A ==∠=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1BC ．2D．5. 设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（ ）A ．31y x =+B ．33y x =-C ．3y x =-D ．31y x =-+6. 已知4x π=是()sin cos f x a x b x =+一条对称轴，且最大值为，则函数()sin g x a x b=+（ ）A ．最大值是4，最小值为0B ．最大值是2，最小值为2-C ．最大值可能是0D ．最小值不可能是4-7.在等差数列{}n a 中前n 项和为n S ，且201110072011,1S a =-=，则2012a 的值为 （ ）A ．1007B ．2012C ．1006D ．20118. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A．2 B ．12C ．32D1+ 9. 正方形的两个顶点是一双曲线的焦点， 11111另两个顶点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为（ ）ABC1D110. 已知函数3()2x e f x ax -⎧-=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>（a 为常数且0a >），对于下列结论①函数()f x 的最小值为2-，②函数()f x 在R 上是单调函数，③若()0f x >在[1,)+∞上恒成立，则a 的取值范围为(2,)+∞，④当0x ≠时，()0xf x '>（这里()f x '是()f x 的导函数），其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①④D ．③④二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，第15题二选一，两题都做按第1题计分，共计25分。
湖北省荆州中学高三数学第一次质量检测试题 理(含解析
湖北省荆州中学2014届高三数学第一次质量检测试题 理（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A. 2a b ab +≥B.112a b ab+> C. 2b a a b +≥ D. 222a b ab +>2.若随机变量(1,4)x N :，(0)P x m ≤=，则(02)P x <<=（ ）A . 12m - B.12m - C. 122m- D. 1m -3.直线415315 x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t为参数）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长为（）A .710B.145C.75D.574.若当方程22220x y kx y k++++=所表示的圆取得最大面积时，则直线(1)2y k x=-+的倾斜角α=（）．A .34πB.4πC.32πD.54π考点：1.圆的方程；2.斜率和倾斜角的关系.5.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x (cm) 160 165 170 175 180 体重y (kg)6366707274根据上表可得回归直线方程^^0.56y x a =+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为 ( )A ．70.09kgB ．70.12kgC ．70.55kgD ．71.05kg6.在区间[,]ππ-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数22()2f x x ax b π=+-+ 有零点的概率为 （ ） A .78 B. 34 C. 12 D. 14【答案】B 【解析】试题分析：由题意知本题是一个几何概型，∵,a b 使得函数22()2f x x ax b π=+-+有零点，∴0∆≥ ∴22a b π+≥，试验发生时包含的所有事件是{(,)|}a b a ππΩ=-≤≤∴22(2)4S ππ==，而满足条件的事件是22{(,)|}a b a b π+≥，∴22243S πππ=-=， 由几何概型公式得到34P =，故选B ． 考点：1.函数零点问题；2.几何概型.7.设,,a b c 都是正数，bc ca abM a b c=++，N a b c =++，则,M N 的大小关系是 ( )． A ．M N ≥ B ．M N < C ．M N = D ．M N ≤8.设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =C. 3(ln 2)2(ln3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln3)f 的大小不确定考点：求导判断函数的单调性.9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有 （ ）A . 240种 B. 300种 C. 360种 D. 420种10.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且2AB =，1AD =，2DC x =（(0,1)x ∈）．以,A B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以,C D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为 （ ）A . [2,)+∞ B. 5,)+∞ C. 331[,)2+∞ D. 51,)+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由已知易求得 1141e x =+-，2141e x =++ ， 121e e ⨯= ，但12122e e e e +≥中，不能取“=”，∴12141141141141x e e x x x +-+≥=+-+++-，令141t x =+ 则 1214()2e e t t+=+， 51)t ∈，∴12(5,)e e +∈+∞， 故选 B .考点：1.基本不等式；2.双曲线的离心率.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.如图，ABC ∆的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ，BAC ∠的平分线与BC 相交于点D ，若8EB =，2EC =，则ED =______．12.甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：品种 第1年 第2年 第3年 第4年 甲 9.8 9.9 10.2 10.1 乙9.7101010.3其中产量比较稳定的水稻品种是 . 【答案】甲 【解析】13.把一枚硬币任意抛掷三次，事件A = “至少一次出现反面”，事件B = “恰有一次出现正面”求(|)P B A = .14.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212|()()|||f x f x k x x -≤- 成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数()1)f x x x =≥满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为 .【答案】12【解析】试题分析：由已知中利普希茨条件的定义，若函数(),(1)f x x x =≥满足利普希茨条件，所以存在常数k ，使得对定义域[1,)+∞内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212|()()|||f x f x k x x -≤-成立，不妨设12x x >，则121212x x k x x -≥=+.而12102x x <<+，所以k 的最小值为12.故选C.考点：1. 利普希茨条件；2.利用函数的单调性求值域；恒成立问题.15.已知函数()f x 及其导数'()f x ，若存在0x ，使得'00()()f x f x =，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”下列函数中，有“巧值点”的是 .(填上正确的序号)①2()f x x =，②()xf x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =，⑤1()f x x x=+三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分12分）已知函数()-|x-2|f x m =，m R ∈，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-． (1)求m 的值； (2)若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求 23z a b c =++ 的最小值. 【答案】（1）1m =；（2）9.17.（本题满分12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000,1500)，（单位：元）．（Ⅰ）估计居民月收入在[1500,2000)的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500,2000)的居民数X的分布列和数学期望．故随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027X 的数学期望为30.30.9⨯=． ………12分考点：1.频率分步直方图；2.中位数；3.分布列；4.数学期望；5.二项分布.18.（本小题满分12分）已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y θθ=⎧⎨=⎩（t 为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()224πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t ，使得直线l 与曲线C 有两个不同的公共点,A B ，且10OA OB •=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.分②当1t ≠±时，曲线C 为中心在原点的椭圆. ……………………6分 （Ⅱ）直线l 的普通方程为：40x y -+=. ……………………8分19.（本题满分12分）设函数()ln f x a x =，21()2g x x =． （1）记'()g x 为()g x 的导函数，若不等式'()2()(3)()f x g x a x g x +<+-在[1,]x e ∈上有解，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，对任意的120x x >>，不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立．求m （m Z ∈，1m ≤）的值．由[1,]x e ∈知ln 0x x ->，因而212ln x x a x x-≥-，设212ln x xy x x -=-，20.（本题满分13分）已知椭圆：22221x y a b+=（0a b >>）上任意一点到两焦点距离之和为23离心率为33，左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是右准线上任意一点，过2F 作直 线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）点P 的纵坐标为3，过P 作动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点H ，满足MP MH PN HN =，试证明点H 恒在一定直线上．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为23a x c==， 设011(3,),(,)P y Q x y ，21.（本题满分14分）设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ (1x >-)．（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）试通过研究函数ln(1)()x g x x+=（0x >）的单调性证明：当0n m >>时，(1)(1)m n n m +<+；（Ⅲ）证明：当2013n >,且123,,,,n x x x x L 均为正实数, 1231n x x x x ++++=L 时，11222231*********()()11112014n n n x x x x x x x x ++++>++++L ．2222312123()(1)1111n n x x x x n x x x x +++++++++L 22222312123123(1111)1111n n nx x x x x x x x x x x x ≥+++++++++L2123()1n x x x x =++++=L ，。
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荆州中学2009级高三第一次质量检查数 学 试 卷（理科卷）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．若()log ()f x x 121=2+1，则()f x 的定义域为（ ）A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞2．下列函数中值域为正实数的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1-x C ．y ＝1()12x -D ．y ＝1－2x3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 24．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]x 2＋1，x ∈0，1]，则如图中函数的图象错误的是( )5．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p %为( )A ．10%B ．12%C ．25%D ．40%6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)7．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-<，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )＜bf (a )B ．bf (a ) ＜af (b)C ．af (a )＜bf (b )D ．bf (b ) ＜a f (a )8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x9．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 210．设a ，b ，c 为实数， )1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若cardS,cardT 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是（ ） （A ）cardS=1, cardT=0 （B ）cardS=1, cardT=1 （C ）cardS=2, cardT=2 （D cardS=2, cardT=3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卷相应位置上． 11．已知定义在[0，＋∞)上的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，则不等式f (x )·g (x )>0的解集是____________．12．由x=0,x=5,y=︱x -3︱与y=0围成封闭图形的面积为____________．13．已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．14．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .15．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是________． 三、解答题：本大题共6小题，共计74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．设A=｛x ︱x 2+4x=0｝，B=｛x ︱x 2+2（a+1）x+ a 2-1=0｝，若A ∩B=B ，求a 的取值集合。
17．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。
（精确到1万元）。
18. 已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()11,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值19. 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个根，求实数k 的取值范围20. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．21.已知函数32222()(1)5 2.()1f x x k k x x g x k x kx =--++-=++，其中.k R ∈（1）设函数()()()p x f x g x =+，若()p x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围.（2）设函数()()()g x q x f x ⎧=⎨⎩0x x ≥<是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212.()x x x ≠使得12()()q x q x ''=成立，若存在，求k 的值，若不存在，请说明理由.数学参考答案选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ABCDCDABCD填空题11.1(0,)(1,2)(2,)2+∞12.13213. 4 14. ④ 15. 4解答题16.1a ≤-或1a =17.（1）A 利润的函数为.4x y =B 利润的函数为5.4y x =（2）设S 为投资10万元的总利润，其中x 万元投入B 产品则151510(10)44444S x x x x =-+=-++2156565()421616x =--+≤A B ∴、两产品分别投资154与254万元时，可获得最大利润为65416≈万元。
18.联立方程组2222()2y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2281020x px p -+=22221212529||81()43()4484p p q AB x x x x p ==++-=-⋅=4.p ∴= 抛物线方程为28.y x =（2）由（1）知A B 、两点坐标为(1,22),(4,42)-设C 点坐标为2(,22)t t ，由O C O A O B λ=+21422(2242)t t λλ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得0λ=与2λ= 19.（1）31()4 4.3f x x x =-+ （2）由2()40f x x '=-=得 2.x =±28(2)3f f =-=极大值，4(2)3f f ==极小值－，则实数k 的取值范围为428(,)33-20.（1）2213x y -= （2）联立方程组22132x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得 22(13)6270k x kx ---= (1)由（1）有两个不相等的负根得32133k <<（3）AB 的垂直平分线方程为222132()1313k y x kkk==----从而得24213m k=- 223m ∴<-21.（1）32()(1)(5)1p x x k x k x =+-++-2()32(1)(5).p x x k x k '=+-++依题意应有10 3.3k -<< 解得8 1.k -<<（2）当0x >时，22() 1.q x k x kx =++ 2()2.q x k x k '∴=+当0x <时，322()(1)52q x x k k x x =--++- 22()32(1) 5.q x x k k x '∴=--++当0k ≠时，2103k k -+>()q x '∴在(,0)-∞是减函数，且() 5.q x '> ()q x '在(0,)+∞是增函数，且().q x k '>要满足题意应有 5.k =经检验符合题意。
∴存在5k =满足题意。