同步练习g3.1020函数的综合应用(2)
高中数学3.2导数在实际问题中的应用同步精练北师大版选修2-2
高中数学 3.2 导数在实际问题中应用同步精练北师大版选修2-21.某生产厂家年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)函数关系式为y＝－1 3 x3＋81x－234，那么使该生产厂家获取最大年利润年产量为( )．A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件2．用长为18 m钢条围成一个长方体形状框架，要求长方体长与宽之比为2∶1，那么该长方体最大体积为( )．A．2 m3B．3 m3 C．4 m3D．5 m33．某公司生产某种产品，固定本钱为20 000元，每生产1单位产品，成品增加100元，总收益R与产量x关系式R(x)＝21400,0400,280 000, >400,x x xx⎧-≤≤⎪⎨⎪⎩那么总利润最大时，每年生产产品是( )．A．100单位B．150单位C．200单位D．300单位4．函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上最大值为154，那么a等于( )．A．32-B．12C．12-D．12或32-5．假设函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，那么k取值范围为( )．A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3＜k＜－1或1＜k＜3C．－2＜k＜2 D．不存在这样实数6．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，那么实数a取值范围是( )．A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)7．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上最大值为__________，最小值为__________．8．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上最大值为M，最小值为m，那么M－m＝__________.参考答案1.答案：B 解析：∵x＞0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，解得x＝9，∴x∈(0,9)时，y′＞0，x∈(9，＋∞)时，y′＜0，y先增后减，∴x＝9时函数取得最大值．2.答案：B 解析：设长方体宽为x m，那么长为2x m，高为h＝－3x) m.故长方体体积为V(x)＝2x2－3x)＝9x2－6x3，从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．当0＜x＜1时，V′(x)＞0，当1＜x＜32时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极值就是V(x)最大值．从而最大体积V m ax＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．3.答案：D 解析：总本钱C(x)＝20 000＋100x，∴总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝230020 000,0x400,260 000-100,>400xxx x⎧--≤≤⎪⎨⎪⎩当0≤x≤400时，令P′(x)＝0，得x＝300，当0＜x＜300时，P′(x)＞0，当300＜x＜400时，P′(x)＜0.∴当x＝300时，总利润最大为25 000元．当x＞400时，P′(x)＝－100＜0，∴P(x)＜P(400)＝20 000＜P(300)，∴当x＝300时，总利润最大．4.答案：B 解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1. 当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1＜a＜2时，f(x)在[a,2]上单调递减，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，解得a＝12-或a＝32-(舍)．5.答案：B 解析：∵y′＝3x2－12，由y′＞0得函数增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′＜0得函数减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，∴k－1＜－2＜k＋1或k－1＜2＜k＋1，得－3＜k＜－1或1＜k＜3.6.答案：B 解析：∵f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立．又∵在[1，＋∞)上(－3x2)m ax＝－3，∴a≥－3.7.答案：不存在解析：∵f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝32.当x＞32时，函数是增加，当－2≤x≤32时，函数是减少，∴在[－2，＋∞)上无最大值．又∵f(－2)＝57，，∴最小值为.8.答案：32 解析：f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＞0得x＞2或x＜－2，由f′(x)＜0得－2＜x＜2，∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2] 上单调递减，在[2,3]上单调递增．又∵f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8，∴M－m＝24－(－8)＝32.。
同步练习 函数(三)含答案
同步练习函数（三）学校： 姓名： 班级：一、选择题1.下列函数中与函数x y =相等的函数是（ ）A ．2)(x y =B ．2x y =C ．x y 2log 2=D ．x y 2log 2= 2.函数)1lg(2)(+-=x x x f 的定义域是 A 、(－1,2] B 、[－1,0)∪(0,2] C 、(－1,0)∪(0,2] D 、(0,2] 3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是（ ） A 、3y x = B 、1y x =+ C 、21y x =-+ D 、2x y =4.在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-．若不等式()()0x a x b -⊗->的解集是(2,3)，则a b +=( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．55.若72=x ，62=y ，则yx -4等于( )A. 3649B. 76C. 67 D. 49366.在同一坐标系中，函数xy e -=与函数ln y x =的图象可能是（ ）A B C D 7.三个数60.7，0.76，7log 6的大小关系为（ ）． A ．60.770.7log 66<<B ．60.770.76log 6<<C ．0.767log 660.7<<D ．60.77log 60.76<<8.函数()12log 2f x x =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题9.设函数⎩⎨⎧<+≥-=0,20,12)(x x x x f x ，若函数a x f y -=)(有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______．10.对于函数f （x ）=lnx 的定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f （x 1+x 2）=f （x 1）•f（x 2）； ②f （x 1•x 2）=f （x 1）+f （x 2）； ③＞0上述结论中正确结论的序号是 ． 三、解答题 11. (1) 已知13x x-+=.求22x x -+和1122x x -+的值. (2) 231lg162lg5log 3log 42++⋅12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >，()31xf x =+. （1）求()f x 的解析式.（2）若对任意的[]0,2t ∈，()()2230f m t f t t ++->恒成立，求m 的取值范围.同步练习函数（三）答案1. D2. C3. B4. C5. D6. C7. A ∵600.71<<，0.761>，70log 61<<，又6410.70.72<<，7711log 6log 72>>=．∴60.770.7log 66<<．8. B9. [0, 2) 【详解】函数()y f x a =-有两个不同的零点,即()f x a =有两个不同的交点,所以函数()y f x =与函数y=a 有两个交点,如图所示:所以a 的范围是[0, 2)10. ②③ 11. (1) 1122227; 5.x xx x--+=+= (2)412. （1）设0x <，则0x ->，所以()31xf x --=+.(2分)因为()f x 是奇函数，所以()()31xf x f x -=--=--.（4分）又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =. （5分）综上，()31,0,0,0,31,0.x x x f x x x -⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩（2）因为()f x 在[)0,+∞上是增函数，又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增.（7分）因为()f x 为奇函数，()()2230f m t f t t ++->，所以()()223f m t f t t +>-+，（8分）则对任意的[]0,2t ∈，223m t t t +>-+恒成立，（9分）即222m t t >-+对任意的[]0,2t ∈恒成立. （10分）当12t =时，222t t -+取最大值12，所以12m >. （11分） 故m 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （12分）。
g3.1019函数的综合应用(1)
g3.1019函数的综合应用（1）一、知识回顾：函数思想是高中数学的主线，函数知识贯穿高中代数始终，函数知识是高中数学最重要的内容。
函数综合问题主要表现在以下几个方面：1、 函数的概念、性质和方法的综合问题；2、 函数与其它代数知识，主要是方程、不等式、数列的综合问题；3、 函数与解析几何知识结合的问题在解决函数综合问题时，要进行等价转化、分类讨论、数形结合思想的综合运用二、基本训练：1、不等式)2(log log )1()32()1(->---x x x x 成立的一个充分不必要条件是 （ ）（A ）2>x （B ）4>x （C ）21<<x （D ）1>x2、定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 的增函数，偶函数)(x g 在区间[)+∞,0的图象与)(x f 的图象重合。
设0>>b a ，给出下列不等式，其中成立的是 （ ）（1）)()()()(b g a g a f b f -->-- （2）)()()()(b g a g a f b f --<--（3）)()()()(a g b g b f a f -->-- （4）)()()()(a g b g b f a f --<--（A ）)4)(1( （B ）)3)(2( （C ）)3)(1( （D ）)4)(2(3、函数a x x f +=2log )(3的对称轴为2=x ，则_________=a4、若存在常数0>p ，使得函数)(x f 满足R x px f p px f ∈=-,)()2(，则)(x f 的一个正周期为_________三、例题分析例1：（1）设)(x f 是定义域为R 的任一函数，2)()()(,2)()()(x f x f x G x f x f x F --=-+=。
①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②试将函数x y 2=表示为一个奇函数与一个偶函数的和 例2：定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,，有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++且0)0(≠f 。
g3.1020函数的综合应用(2)
g3.1020函数的综合应用（2）一、 复习目标：以近年高考对函数的考查为主，复习综合运用函数的知识、方法和思想解决问题.二、基本练习：1、(2005年高考·福建卷·理12))(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（错题！） （ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. （辽宁卷）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）3、(2005年高考·辽宁卷7)在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式 1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则 （ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-aD ．2123<<-a 4.（05江苏卷）若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈= .5. （05北京卷）对于函数f(x)定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：①f(x 1＋x 2)=f(x 1)·f(x 2)；② f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)③1212()()f x f x x x -->0； ④1212()()()22x x f x f x f ++<.当f(x)=lgx 时，上述结论中正确结论的序号是6．（05福建卷）把下面不完整的若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = .（注：填上你认为可以成为真三、例题分析：1、 (05广东卷)设函数)f+x=xf-f=-∞上满足在，+∞-f+x2()),7(7())2(fx)(x(,且在闭区间[0，7]上，只有.0f（Ⅰ）试判断函数)(xfy=的奇=f)3()1(=偶性；（Ⅱ）试求方程0xf在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并(=)证明你的结论.2. （05北京卷）设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）3、已知函数f x a x k()=+（a>0且a≠1）的图像过（-1，1）点，其反函数-1()的图像过（8，2）点.f x（1）求a、k的值；（2）若将y f x=-1()的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y g x=()的解析式；=()的图象，写出y g x（3）若函数F x g x f x ()()()=--21，求F x ()的最小值及取得最小值时的x 的值。
高一数学同步练习(必修1第三章函数的应用)(教师版)
高一数学同步练习必修一 第三章 函数的应用A 、基础知识： 一、函数的零点1、函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．2、几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．3、函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 4、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)零点的分布根的分布(m ＜n ＜p 为常数)图象满足条件 x 1＜x 2＜m⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0－b 2a ＜m f (m )＞0m ＜x 1＜x 2⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0－b 2a ＞m f (m )＞0x 1＜m ＜x 2f (m )＜0 m ＜x 1＜x 2＜n⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0m ＜－b 2a ＜n f (m )＞0f (n )＞0n ＜x 2＜p⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＞0f (n )＜0f (p )＞0只有一根在 (m ，n )之间⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0m ＜－b 2a ＜n 或f (m )·f (n ) ＜05（1）一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．（2）两个防范(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．（3）三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、二分法求方程的近似解1、二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.三、常见的函数模型及性质1、几类函数模型①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型：y ＝ab x ＋c (b ＞0，b ≠1)． ④对数函数型模型：y ＝m log a x ＋n (a ＞0，a ≠1)． ⑤幂函数型模型：y ＝ax n ＋b . 2、三种函数模型的性质3、（1）一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． （2）四个步骤①审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质； ②建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； ③解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； ④还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．B 、考点解析：考点一 函数零点与零点个数的判断【例1】►(2010·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )．A ．3B ．2C ．7D ．0[审题视点] 函数零点的个数⇔f (x )＝0解的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数． 解析 法一 由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋ln x ＝0，解得x ＝－3，或x ＝e 2. 因此函数f (x )共有两个零点． 法二 函数f (x )的图象如图所示可观察函数f (x )共有两个零点．答案 B对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等． 【训练1】 函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析 法一 函数f (x )＝log 3x ＋x －3的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又f (2)＝log 32－1＜0，f (3)＝1＞0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －3有唯一的零点且零点在区间(2,3)内． 法二 方程log 3x ＋x －3＝0可化为log 3x ＝3－x ，在同一坐标系中作出y ＝log 3x 和y ＝3－x 的图象如图所示，可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内．答案 C考点二 有关二次函数的零点问题【例2】►是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由． [审题视点] 可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验． 解 ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝⎛⎭⎫a －892＋89＞0 ∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0. 所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，af (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a ＜－15或a ＞1.解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【训练2】1、方程03)2(2=+++x a x 的两根都大于1，则实数a 的取值范围是 A. 3226--≤<-a B. 322--≤a C. 3226--≤<-a 或322+-≥a D. 4-<a 错解：由韦达定理得3224322322132)2(012)2(21212--≤⇒⎩⎨⎧-<+-≥--≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅>+-=+≥-∆a a a a x x a x x a 或＋＝，选B 反例：若53,521==x x ，满足3202121=>+≥∆x x x x 且且但不能约束1121>>x x 且 正确解法：由题意3226606)1(43223220)1(1220--≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧->⇒>+=-<+-≥--≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>+-≥∆a a a f a a a f a 或，∴选A 2、关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时 (1)有两不同正根； (2)不同两根在(1,3)之间； (3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)内有且只有一解解 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2， Δ＝4a 2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a －2)(a ＋1)．(1)由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧Δ> 0，x 1＋x 2＝2a ＞0，x 1·x 2＝a ＋2＞0，解得a >2. (2)由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<a <3，f (1)>0，f (3)>0，解得2<a <115.(3)由已知条件f (2)<0，解得a >2. (4)由已知条件f (1)f (3)<0解得115<a <3.检验：当f (3)＝0，a ＝115时，方程的两解为x ＝75，x ＝3，当f (1)＝0，即a ＝3时，方程的两解为x ＝1，x ＝5，可知115≤a ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，1<a <3⇒aa ＝2时f (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2方程的解x 1＝x 2＝2∴a ＝2，综上有a ＝2或115≤a <3.考点三 函数零点性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0，其中e 表示自然对数的底数)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定t 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．分析：(1)可结合图象也可解方程求之．(2)利用图象求解． [审题视点] 画出函数图象，利用数形结合法求函数范围．解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点． 法二 作出g (x )＝x ＋e 2x 的图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e. 法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象 有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1＝－(x －e)2＋t －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为t －1＋e 2.故当t －1＋e 2>2e ，即t >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴t 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了，当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解．【训练3】 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点．(1)求实数a 的取值范围； (2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解 (1)若a ＝0，则f (x )＝－4与题意不符，∴a ≠0， ∴f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)＜0，∴1＜a ＜2. (2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817， ∴f (－1)＞0，f (1)＜0，f (0)＝2817＞0，∴零点在(0,1)上，又f ⎝⎛⎭⎫12＝0， ∴f (x )＝0的根为12. 考点四 一次函数、二次函数函数模型的应用【例4】►在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为：Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －20x 2，C (x )＝500x ＋4 000(x ∈N *)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．(1)求利润函数P (x )以及它的边际利润函数MP (x )； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差． [审题视点] 列出函数解析式，根据函数性质求最值．解 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *.P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000)＝－20x 2＋2 500x －4 000，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x －4 000)＝2 480－40x . (2)P (x )＝－20⎝⎛⎭⎫x －12522＋74 125， 当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120元；因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数， 所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440元．故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解．【训练4】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2t ＋200)⎝⎛⎭⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时， S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；②当31≤t ≤50，t ∈N 时， S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210.∵6 210＜6 400， ∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.考点五 指数函数模型的应用【例5】►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时， 治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？[审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长．解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1. 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a＝4得．a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ， 0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25，或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时．可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解．【训练5】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？9≈10≈≈0.079，lg 2≈≈≈0.003 9)解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3. x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x ＝120， x ＝log 120100＝log ≈16(年)．(4)由100×(1＋x %)20≤120，得(1＋x %)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x %)≤lg 1.2＝0.079，所以lg(1＋x %)≤,20)＝0.003 95， 所以1＋x %≤1.009，得x ≤0.9， 即年自然增长率应该控制在0.9%.考点六 函数y ＝x ＋ax 模型的应用【例6】►(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． [审题视点] 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件．解 (1)由已知条件C (0)＝8则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5 (0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2(6x ＋10)8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5即x ＝5时等号成立．所以当隔热层为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．求函数解析式同时要注意确定函数的定义域，对于y ＝x ＋ax(a >0)类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，否则要考虑使用函数的单调性．【训练6】 某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解 设温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800xm.∴蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝⎛⎭⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x (4<x <400)． ∵x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，∴y ≤808－2×80＝648(m)2.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40，此时800x＝20 m ，y 最大＝648(m 2)．∴当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为648 m 2.自我检测题一、选择题1．(2011·福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2，故选C.答案 C2．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点( )．A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个 答案 B 3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )．A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 答案 B 4．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为 ( )．A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34 解析 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1＞0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫14，12. 答案 C5．(人教A 版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )．A ．3～4万元B ．4～5万元C ．5～6万元D ．2～3万元 解析 设存入的本金为x ，则x ·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660. 答案 A6．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20xx 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20xx 2x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 C7．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )． A ．1 000米2 B ．2 000米2 C ．2 500米2D ．3 000米2解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x 米、y 米，如图，则4x ＋3y ＝200，又矩形场地的面积S ＝3xy ＝3x ·200－4x 3＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500，∴当x ＝25时，S max ＝2 500.答案 C8．(2011·湖北)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案 6 10 000 二、填空题1．(人教A 版教材习题改编)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,0)解析 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上递增．由已知条件f (0)f (1)<0，即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0.2. 已知y ＝x(x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x －1)(x ＋1)＋，则对于f(x)＝0的解叙述正确的序号为__________． ①有三个实根②当x>1时恰有一实根③当0<x<1时恰有一实根④当－1<x<0时恰有一实根⑤当x<－1时恰有一实根[答案] ①⑤[解析] f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确． 3．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是 ．[答案] (－∞，－1)．解：函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f (2)＜0，可求实数a 的取值范围是(－∞，－1)．4．已知f (x )＝(x ＋1)·|x －1|，若关于x 的方程f (x )＝x ＋m 有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围 ．[答案]－1＜m ＜45． 解：由f (x )＝(x ＋1)｜x －1｜＝得函数y ＝f (x )的图象(如图)．按题意，直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝(x ＋1)|x －1|有三个不同的公共点，求直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距m 的取值范围．由 得x 2＋x ＋m －1＝0．Δ＝1－4(m －1)＝5－4m ，由Δ＝0，得m ＝45，易得实数m 的取值范围是－1＜m ＜45．5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．答案 4解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得ay ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.三、解答题x 2－1，x ≥11－x 2，x ＜1y ＝1－x 2，y ＝x ＋m(第4题)1．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解析：设客房日租金每间提高2x 元，则每天客房出租数为300－10x ，由x ＞0，且300－10x ＞0，得0＜x ＜30．设客房租金总收入y 元，y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20(x －10)2 ＋8 000(0＜x ＜30)，当x ＝10时，y max ＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.2．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg )与上市时间t (距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q 最低时的上市天数及最低种植成本．[解析] (1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t 均具有单调性不符，所以，在a ≠0的前提下，可选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述． 把表格提供的三对数据代入该解析式得到：150250500 62108110100 1215050500 2=++=++=++c b a c b a c b a 解得a ＝2001，b ＝－23，c ＝2425． 所以，西红柿种植成本Q 与上市时间t 的函数关系是Q ＝2001t 2－23t ＋2425．(2)当t ＝－2001223－⨯＝150天时，西红柿种植成本Q 最低为 Q ＝2001×1502－23×150＋2425＝100(元/100 kg )． 3．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm 2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留8 cm 空白，左、右各留5 cm 空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?解析：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，λx 2＝4 840，设纸张面积为S ，有S ＝(x ＋16)( λx ＋10)＝λx 2＋(16 λ＋10)x ＋160，将λ＝2840 4x 代入上式可得，S ＝10(x ＋x 48416 )＋5 000＝10(x －x88)2＋6 760， 所以，x ＝x 88，即x ＝88 cm 时，宽为λx ＝55 cm ，所用纸张面积最小．4．A 市和B 市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C 市10台机器，D 市8台机器．已知从A 市调运一台机器到C 市的运费为400元，到D 市的运费为800元；从B 市调运一台机器到C 市的运费为300元，到D 市的运费为500元．(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？[解析]设从B 市调运x (0≤x ≤6)台到C 市，则总运费y ＝300x ＋500(6－x )＋400(10－x )＋800［8－(6－x )］＝200x ＋8 600(0≤x ≤6)．(1)若200x ＋8 600≤9 000，则x ≤2．所以x ＝0，1，2，故共有三种调运方案．(2)由y ＝200x ＋8 600(0≤x ≤6)可知，当x ＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元．。
2020年高考数学一轮复习专题2.10函数的综合运用练习(含解析)
第十讲 函数的综合运用考向一新概念题【例1】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝14.又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116，∴1－316<x 1x 2x 3<0. 【举一反三】1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )A .]2,49(--B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D .),49(+∞-【答案】A【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－(2x ＋m )＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F (x )＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－94<m ≤－2，故选A考向二函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数f (f )满足f (f )=f (f −f )，当f ∈[−f2,0]时，f (f )=2f −cos f ，则函数f (f )在区间[−f ,f ]内的零点个数为。
高中数学函数的应用同步练习题(带答案)
高中数学函数的应用同步练习题（带答案）高中数学函数的应用同步练习题（带答案）人教必修一第三章函数的应用同步练习题（带答案）3．1 函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，x，f(x)的对应值如下表：x 0 1 2 3 4 5f(x) －6 －2 3 10 21 40则函数f(x)在区间()内有零点．()A．(－6，－2) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,5)2．(2019年浙江模拟)设x0为方程2x＋x＝8的解．若x0(n，n＋1)(nN*)，则n的值为()A．1 B．2 C．3 D．43．如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，那么实数m的取值范围是()A．(－2,6)B．[－2,6]C．(－2,6]D．(－，－2)(6，＋)4．设函数f(x)＝x3＋x＋b是定义在[－2,2]上的增函数，且f(－1)f(1)＜0，则方程f(x)＝0在[－2,2]内()3.1.2 用二分法求方程的近似解1．用二分法求如图K31所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()图K31A．x1 B．x2C．x3 D．x42．关于用“二分法”求方程的近似解，下列说法不正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在区间[a，b]内的所有零点找出来B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在区间[a，b]内的零点C．“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在区间[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解有可能得到y＝f(x)在区间[a，b]内的精确解3．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5]D．[－0.5,1]4．方程x3－2x2＋3x－6＝0在区间[－2,4]上的根必定属于区间()A．[－2,1] B.52，4C.1，74D.74，525．函数y＝x3与y＝12x－3的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)6．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)7．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984f (1.375)＝－0.260 f (1.437 5)＝0.162 f (1.406 25)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2 B．1.3C．1.4 D．1.59．已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1 (a1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋)上为增函数；(2)若a＝3，证明：方程f(x)＝0没有负数根；(3)若a＝3，求出方程的根(精确度0.01)．3.2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型1．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树的亩数y(单位：万亩)是时间x(单位：年)的一次函数，这个函数的图象是()2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是() A．y＝50 B．y＝1000xC．y＝0.42x－1 D．y＝11000ex3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10 m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为()A．13 m3 B．14 m3C．18 m3 D．26 m34．小李得到一组实验数据如下表：t 1.99 3.0 4.0 5.0 6.2 7V 1.5 4.05 7.5 12 18 23.9下列模型能最接近数据的是()A．V＝log t B．V＝log2tC．V＝3t－2 D．V＝t2－125．某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表：网络月租费本地话费长途话费甲：联通130网 12元每分钟0.36元每6秒钟0.06元乙：移动“神州行”卡无每分钟0.6元每6秒钟0.07元(注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费)若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间(单位：分钟)的范围在区间(60,70)内，则选择较为省钱的网络为()A．甲 B．乙C．甲、乙均一样 D．分情况确定6．从A地向B地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，3分钟后每多1分钟就加收1元．当时间t3时，电话费y(单位：元)与时间t(单位：分钟)之间的函数关系式是____________．7．已知函数y1＝2x和y2＝x2.当x(2,4]时，函数________的值增长较快；当x(4，＋)时，函数________的值增长较快．8．如图K31，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，△A PM的面积为函数的图象形状大致是()图K319．我们知道，燕子每年冬天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2O10，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．(1)计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位；(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？10．以下是某地区一种生物的数量y(单位：万只)与繁殖时间x(单位：年)的数据表：时间/年 1 2 3 4数量/万只 10 20 40 80根据表中的数据，请从y＝ax＋b，y＝alogbx，y＝abx中选择一种函数模型刻画出该地区生物的繁殖规律，并求出函数解析式．3.2.2 实际问题的函数模型1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成() A．511个 B．512个C．1023个 D．1024个2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费为f(m)＝1.06(0.50[m]＋1)，其中m0，[m]是大于或等于m的最小整数，如[4]＝4，[2.7]＝3，[3.8]＝4，则从甲地到乙地的通话时间为5.5分钟的话费为()A．3.71元 B．3.97元C．4.24元 D．4.77元3．某银行实行按复利计算利息的储蓄，若本金为2万元，利率为8%，则5年后可得利息()A．2(1＋0.8)5元B．(2＋0.08)5元C．2(1＋0.08)5－2元D．2(1＋0.08)4－2元4．一根弹簧的原长为12 cm，它能挂的重量不能超过15 kg 并且每挂重1 kg就伸长12 cm，则挂重后的弹簧长度y cm 与挂重x kg之间的函数关系式是()A．y＝12x＋12(0＜x15)B．y＝12x＋12(0x＜15)C．y＝12x＋12(015)D．y＝12x＋12(0＜x＜15)5．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%，专家预测经过x年，荒漠化土地面积可能增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致是()A B CD6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费32 m元，则该职工这个月实际用水为()A．13立方米 B．14 立方米C．18立方米 D．21立方米7．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值为__________．8．(2019年北京海淀统测)图K32(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K32(2)(3)所示．图K32给出下列说法：①图K32(2)的建议是：提高成本，并提高票价；②图K32(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图K32(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图K32(3)的建议是：提高票价，并降低成本．其中说法正确的序号是________．9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益(总成本＋利润)满足函数：R(x)＝400x－12x20400，80 000x400.其中x是仪器的月产量(单位：台)．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？10．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．第三章函数的应用3．1 函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点1．B2．B 解析：：∵x0为方程2x＋x＝8的解，2x0＋x0－8＝0.令f(x)＝2x＋x－8＝0，∵f(2)＝－2＜0，f(3)＝3＞0，x0(2,3)．再根据x0(n，n＋1) (nN*)，可得n＝2.3．D 解析：＝m2－4(m＋3)0，m6或m－2.4．C 解析：由题意，可知：函数f(x)在区间[－2,2]上是连续的、递增的，又f(－1)f(1)＜0，故函数f(x)在[－2,2]内有且只有一个零点，则方程f(x)＝0在[－2,2]内有唯一的实数根．5．C6．C 解析：设f(x)＝2x－x2，由f(0.6)＝1.516－0.360，f(1.0)＝2.0－1.00，故排除A；由f(1.4)＝2.639－1.960，f(1.8)＝3.482－3.240.故排除B；由f(1.8)＝3.482－3.240，f(2.2)＝4.595－4.840，故可确定方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)．故选C. 7．解：设函数f(x)＝x2＋2kx－1，∵关于x的方程x2＋2kx －1＝0的两根x1，x2满足－102，f－10，f00，f20，即－2k0，－10，4k＋30，－340.8．3或4 解析：x＝416－4n2＝24－n，因为x是整数，即24－n为整数，所以4－n为整数，且n4，又因为nN*，取n ＝1,2,3,4，验证可知n＝3或4符合题意；反之当n＝3或4时，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．9．2 解析：∵f(2)＝loga2＋2－b0，f(3)＝loga3＋3－b0，x0(2,3)，故n＝2.10．解：令f(x)＝2x3－x2－4x＋2，∵f(－3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0，f(－2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0，f(－1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，f(0)＝0－0－0＋2＝2＞0，f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0，f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0，根据f(－2)f(－1)＜0，f(0)f(1)＜0，f(1)f(2)＜0，可知f(x)的零点分别在区间(－2，－1)，(0,1)，(1,2)内．∵方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，原方程的最小根在区间(－2，－1)内．3．1.2 用二分法求方程的近似解1．C 2.A3．D 解析：因为第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能是[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D 在其中．故选D.4．D 解析：令f(x)＝x3－2x2＋3x－6，分别计算f(－2)，f(1)，f52，f74的值，得f(－2)＝－28＜0，f(1)＝－4＜0，f52＝4.625＞0，f74－1.515 6＜0.故选D.5．B 解析：x0即为f(x)＝x3－12x－3的零点，又∵f(1)＝－30，f(2)＝60，f(x)在(1,2)有零点．6．证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－10，f(2)＝40，又∵f(x)是增函数，函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点．则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0[1,2]，f(1)＝－10，f(2)＝40，取x1＝1.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，x0(1,1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)0.1280，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)．取x3＝1.125，，f(1.125)－0.4440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)．取x4＝1.187 5，，f(1.187 5)－0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 50.1，1.187 5可作为这个方程的实数解．7．2个解析：画出y＝2－x与y＝3－x2的图象，有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为2个．8．C 解析：f(1.406 25)＝－0.0540，f(1.437 5)＝0.1620且都接近0，由二分法，知其近似根为1.4.9．(1)证明：f(x)＝ax＋x－2x＋1＝ax＋1－3x＋1(a1)．设－1x2，则f(x1)－f(x2)＝＋1－3x1＋1－＝－－31x1＋1－1x2＋1.∵－1x2且a1，－ 0，1x1＋1－1x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋10.f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．f(x)在(－1，＋)上为增函数．(2)证明：当a＝3时，3x＋x－2x＋1＝0，∵f(0)0，f(1)＝520，区间(0, 1)上必有一根，由函数单调性，可知：3x＋x－2x＋1＝0至多有一根，故方程恰有一根在区间(0, 1)上．即f(x)＝0没有负数根．(3)解：由二分法f120，f140，f380，f5160，f9320，f17640，f351280，而35128－932＝－1128，而11280.01，x＝35128可作为该方程的一个根．3．2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型1．A 2.D3．A 解析：设实际用水量为a m3，则有10x＋2x(a－10)＝16x，解得a＝13.4．D 解析：注意到自变量每次增加约为1，V的增加越来越快，结合数据验证，D符合．5．A6．y＝t－0.6(t3) 7.y2＝x2 y1＝2x8．A 解析：当01时，y＝12x1＝12x；当1＜x2时，y＝1－12(x－1)－14(2－x)－14＝－14x＋34；当2＜x2.5时，y ＝1252－x1＝54－12x.故选A.9．解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入已知函数关系式可得0＝5log2O10，解得O＝10个单位．(2)将耗氧量O＝80代入已知函数关系式，得v＝5log28010＝5log223＝15 m/s.10．解：对于y＝ax＋b，则a＋b＝10，2a＋b＝20，a＝10，b＝0.y＝10x.而当x＝3时，y＝30；当x＝4时，y＝40.对于y＝alogbx，alogb1＝10，alogb2＝20，此方程组无解．对于y＝abx，ab＝10，ab2＝20，a＝5，b＝2.y＝52x.而当x＝3时，y＝40；当x＝4时，y＝80.故选择函数y＝52x刻画该地区生物的繁殖规律比较好.3.2.2 实际问题的函数模型1．B 2.C 3.C 4.C5．A 解析：设原来该地区荒漠化土地面积为a，则经过x 年后，面积为a(1＋10.4%)x，那么经过x年后增长到原来的y倍，故有y＝a1＋10.4%xa＝1.104x.因此图象大致应为指数函数的图象．故选A.6．D7．20 8.②③9．解：(1)设月产量为x台，则总成本C(x)＝20 000＋100x，从而f(x)＝R(x)－C(x)＝－12x2＋300x－20 0000400，60 000－100xx400.(2)当0400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000.当x＝300时，f(x)max＝25 000.当x400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，f(x)60 000－100400＝20 000.综上所述，当x＝300时，f(x)max＝25 000.10．解：(1)由题意，当020时，v(x)＝60；当20200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在区间(20,200]是减函数，由已知，得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2019.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60， 020，13200－x，20200.(2)依题意并由(1)，可得f(x)＝60x， 020，13x200－x，20200.当020时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为6020＝1200；当20200时，f(x)＝13x200－x＝－13x－1002＋10 0003，所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值为10 0003.综上所述，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值为10 00033333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．。
2014高三数学一轮总复习同步练习1019函数的综合应用(1)
同步练习g3.1019函数的综合应用（1）1、函数的图象，可由的图象A、横坐标不变，纵坐标变为倍而得B、纵坐标不变，横坐标变为4倍而得C、向上平移2个单位而得D、向下平移2个单位而得2、若满足时，恒有，则可能是（A）（B）（C）（D）3、设，对任意的实数，都有成立，在函数值中，最小的一个不可能是（A）（B）（C）（D）4、若函数，则（A）（B）（C）（D）5、对于函数和，其定义域均为，若对于任意的，总有，则称可被置换，那么下列给出的函数能置换的是（A）（B）（C）（D）6、已知函数满足对任意实数，有，且，写出一满足这些条件的函数7、函数过点，则的反函数必过点_ .8、函数的值域为，则的取值范围为_______ .9、函数(x∈[0, ])的反函数的解析式是；反函数的定义域是.6、.7、.8、.9、；10、已知函数是函数的反函数，函数的图象与函数的图象关于直线成轴对称图形。
记（1）求函数的解析式及定义域（2）试问在函数的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与轴垂直。
若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.11、设的最大值，最小值。
试求的表达式.12、函数的定义域为R，且对任意，有，且当时，. （1）证明：是奇函数；（2）证明：是R上的减函数；（3）求在区间上的最大、最小值同步练习g3.1019函数的综合应用（1）1—5、CCBCA 6、 7、(-1,3) 8、a≥09、；[0,5]10、（1），定义域（－1,1）（2）不存在11、12（3）最大值6，最小值－6。
最新浙教版九年级数学上学期《二次函数的应用》同步练习题及解析.docx
1.4 二次函数的应用(二)1．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分(如图所示)．若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是(C)A.3 mB.3.5 mC.4 mD.4.5 m(第1题)2．某商家销售某种商品，当单价为10元时，每天能卖出200个．现在采用提高售价的方法来增加利润，已知商品单价每上涨1元，每天的销售量就少10个，则每天的销售金额最大为(B)A. 2500元B. 2250元C. 2160元D. 2000元3．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当售价为25元时，平均每天能售出8件，而当售价每降低2元，平均每天能多售出4件．当每件的定价为__22__元时，该服装店平均每天的销售利润最大．(第4题)4．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)关于水平距离x(m)的函数表达式为y＝－112(x－4)2＋3(如图所示)，由此可知铅球推出的距离是__10__m.(第5题)5．甲船和乙船分别从A港和C港同时出发，各沿图中箭头所指的方向航行(如图所示)．现已知甲、乙两船的速度分别是16海里/时和12海里/时，且A，C两港之间的距离为10海里．问：经过多长时间，甲船和乙船之间的距离最短？最短距离为多少？(注：题中的“距离”都是指直线距离，图中AC⊥CB.)【解】设经过t(h)，甲船和乙船分别到达A′，B′处，则A′B′＝A′C2＋B′C2＝（10－16t）2＋（12t）2＝400t2－320t＋100＝400（t－0.4）2＋36(t＞0)．当t＝0.4时，400(t－0.4)2＋36有最小值36，∴当t ＝0.4时，A ′B ′＝36＝6(海里)．即经过0.4 h ，两船之间的距离最短，为6海里．6．向上抛掷一个小球，小球在运行过程中，离地面的距离为y(m)，运行时间为x(s)，y 与x 之间存在的关系为y ＝－12x 2＋3x ＋2.问：小球能达到的最大高度是多少？【解】 ∵a ＝－12<0，∴y 有最大值．当x ＝－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3时，y 最大＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2－324×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝132，即小球能达到的最大高度是132m.7．已知直角三角形的两直角边之和为2，则斜边长的最小值为__2__．【解】 设一条直角边长为x ，则另一条直角边长为2－x. 由勾股定理得，斜边长＝x 2＋（2－x ）2＝2（x －1）2＋2，∴斜边长的最小值为2.8．某电商销售一款夏季时装，进价为40元/件，售价为110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a＞0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量就增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为0＜a<6．【解】设未来30天每天获得的利润为y元，则y＝(20＋4t)(110－40－t－a)．化简，得y＝－4t2＋(260－4a)t＋1400－20a.∵此抛物线开口向下，∴对称轴应为直线x＝－260－4a2×（－4）>29.5，解得a<6.又∵a>0，∴a的取值范围应为0<a<6.9．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的函数表达式为h＝at2＋19.6t.已知足球被踢出后经过4 s落地，则足球距地面的最大高度是19.6m.【解】由题意，得t＝4时，h＝0，∴0＝16a＋19.6×4，解得a＝－4.9.∴h＝－4.9t2＋19.6t.∴足球距地面的最大高度是－19.624×（－4.9）＝19.6(m)．10．如图，排球运动员站在O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足函数表达式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.(第10题)(1)当h＝2.6时，求y关于x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)．(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请计算说明．(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．【解】(1)当h＝2.6时，设y＝a(x－6)2＋2.6.∵抛物线过点(0，2)，∴36a＋2.6＝2，解得a＝－160.∴y＝－160(x－6)2＋2.6.(2)当x＝9时，y＝－160×9＋2.6＝2.45>2.43，∴球能越过球网．当x＝18时，y＝－160×122＋2.6＝0.2>0，∴球会出界．(3)设y ＝a(x －6)2＋h.当抛物线过点(0，2)，(9，2.43)时，得⎩⎪⎨⎪⎧36a ＋h ＝2，9a ＋h ＝2.43，解得h ＝19375.∵要越过球网，∴h>19375.当抛物线过点(0，2)，(18，0)时，得⎩⎪⎨⎪⎧36a ＋h ＝2，144a ＋h ＝0，解得h ＝83.∵要不出边界，∴h ≥83.综上所述，h ≥83.11．某商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的售价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数表达式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋30（1≤t ≤24，t 为整数），－12t ＋48（25≤t ≤48，t 为整数），且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表： 时间t(天)136102040…日销售量y(kg) 118 114 108 100 80 40 …(1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求第30天的日销售量是多少？(2)问：哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1 kg 水果就捐赠n 元利润(n ＜9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．【解】 (1)设y ＝kt ＋b.把t ＝1，y ＝118；t ＝3，y ＝114代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝118，3k ＋b ＝114，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120.∴y ＝－2t ＋120.当t ＝30时，y ＝－2×30＋120＝60. ∴第30天的日销售量是60 kg. (2)设第x 天的销售利润为w 元． 当1≤t ≤24时，由题意，得w ＝(－2t ＋120)⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋30－20＝－12(t －10)2＋1250，∴当t ＝10时，w 最大，为1250. 当25≤t ≤48时，w ＝(－2t ＋120)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t ＋48－20＝t 2－116t ＋3360.∵对称轴为直线x ＝58，a ＝1＞0， ∴在对称轴左侧w 随t 的增大而减小， ∴当t ＝25时，w 最大，为1085.综上所述，第10天利润最大，最大利润为1250元． (3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m 元．由题意，得m ＝(－2t ＋120)⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋30－20－(－2t ＋120)n ＝－12t 2＋(10＋2n)t ＋1200－120n.∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，∴－10＋2n2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≥24，∴n ≥7.又∵n ＜9，∴n 的取值范围为7≤n ＜9.。
同步练习g3.1020函数的综合应用(2)
同步练习 g3.1020函数的综合应用（2）1、(2005年高考·上海卷·理16)设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c 2、已知)(x f y =是偶函数，当0>x 时，xx x f 4)(+=，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)( 恒成立，则n m -的最小值是A ．31B ．32C ．1D ．34 3、设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f A ．0 B ．23 C ．25 D ．23-4、（04年全国卷三.理11）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1141)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（A ）]10,0[]2,( --∞ (B) ]1,0[]2,( --∞ （C ）]10,1[]2,( --∞ （D ）]10,1[)0,2[ -5、（04年湖南卷.理6）设函数⎩⎨⎧≤++〉=,0,.0,2)(2x c bx x x x f 若f(--4)=f(0),f(--2)=--2,则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6、（04年上海卷.文理5）设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-. 若当[0,5]x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的 解是 .7、(05北京卷)对于函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅；③;0)()(2121>--x x x f x f④.2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当x x f lg )(=时，上述结论中正确结论的序号是 .8、(2005年高考·天津卷·理16)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________.9、(05全国卷Ⅰ)若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则6、 .7、 .8、 .9、 .10、 已知函数12)(+=x xx f 与函数)(x g y =的图象关于直线2=x 对称，（1）求)(x g 的表达式。
2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步练习第04讲二次函数的实际应用与综合(原卷版)
第04讲 二次函数的实际应用知识点01 待定系数法求二次函数解析式1. 二次函数的三种形式：一般式： 。
顶点式： 。
两点式： 。
2. 待定系数法求函数解析式的步骤：（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式。
特别说明：若已知条件为任意三点则设一般式。
若已知条件为顶点坐标或对称轴则设顶点式。
若已知条件为与x轴的交点坐标则设两点式。
（2）找点：找函数图像上的点。
（3）带入：把点带入函数解析式得到方程。
（4）求解方程。
（5）反带入：把求出的字母的值带入解析式。
题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。
②根据方程的根的情况求值【即学即练1】1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式．（1）已知抛物线的顶点是（﹣1，﹣2），且过点（1，10）；（2）已知抛物线过三点：（0，﹣2），（1，0），（2，3）．【即学即练2】2．求经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式．1.二次函数与图形面积问题：【即学即练1】3．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，则下列所列方程正确的是（）A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝（5﹣x）（3﹣x）C．y＝3x+5x D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2【即学即练2】4．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH 与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．2.二次函数中的商品销售问题：【即学即练1】5．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【即学即练2】6．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（）A．35元B．36元C．37元D．36或37元【即学即练3】7．开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？3.二次函数在建筑中的实际应用：【即学即练1】8．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）第8题第9题A．y＝﹣2x2B．y＝2x2C．y＝﹣x2D．y＝x2【即学即练2】9．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m【即学即练3】10．如图，某城区公园有直径为7m的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装置，喷出水呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m．（1）求抛物线解析式，并求水流落地点距离O点的距离；（2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则如何调节水管OA的高度？4.二次函数与动点问题：【即学即练1】11．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（）A．8B．6C．4D．2【即学即练2】12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6mm，BC＝12mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s 的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．A．0.5B．1.5C．3D．4【即学即练3】12．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（）A．B．C．D．题型01 二次函数的实际应用【典例1】某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B 种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【典例2】过山车（图1）是一项富有刺激性的娱乐工具，那种风驰电掣，有惊无险的快感令不少人着迷，同时也成为了很多青少年进游乐场的首选项目之一、过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以近似看作是抛物线的一部分，过山车在这段路线上运行时，某个位置距离地面的竖直高度y（单位；m）与该段路线最初位置的水平距离x（单位：m，以下简称“水平距离”）之间的函数图象如图2所示，顶点坐标为（3，10），根据图象解答下列问题：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这段路线中，当车尾的水平距离为5米时，求此时车尾距离地面的高度；（3）已知过山车最中间部分到达该段路线最高点时，车尾的水平距离为2米，求此时车头距离地面的高度．【典例3】植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围一间矩形花圃，小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．（1）按图甲的方案，设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．①求y与x之间的函数关系式；②求矩形ABCD的面积y（m2）的最大值．（2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大为是多少？请说明理由．【典例4】如图是一个宣传广告牌，其上部是抛物线的一部分AED，下部是一个矩形支架ABCD，矩形支架的长BC为4m，高AB为1.5m．该广告牌的最大高度为3.5m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线所在的直线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）直接写出抛物线的解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）现需要在广告牌上张贴一幅矩形MNPQ宣传画，边MN在广告牌矩形支架的边AD上，顶点Q在抛物线AED上；①宣传画按如图（2）方式张贴，顶点P也在抛物线AED上．若宣传画刚好是一个正方形，求宣传画的周长；②宣传画按如图（3）方式张贴，顶点P在y轴上，点M到点A的距离不小于0.5m，求宣传画周长l的取值范围．【典例5】某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x（1≤x≤48）天的售价与日销售量的相关信息如表：时间x（天）1≤x＜3030≤x≤48售价x+3060日销售量（kg）﹣2x+120已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠n元利润（n＜9）给“希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．【典例6】某公司投入研发费用120万元（120万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为8元/件．经试销发现年销售量y（万件）与售价x（元/件）有如表对应关系．x（元/件）135y（万件）393735（1）直接写出y关于x的函数关系式：y＝﹣x+40．（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过150%，当第一年的产品的售价x为多少时，年利润W 最大，其最大值是多少？（3）为了提高利润，第二年该公司将第一年的最大利润再次投入研发（此费用计入第二年成本），使产品的生产成本降为5元/件，但规定第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，在年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系不变的情况下，若公司要求第二年的利润不低于166万元，求该公司第二年售价x（元/件）应满足的条件．【典例7】“五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从五月一日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（1≤x≤31，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：第x天5101520日销售量y（件）50607080（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？（3）销售20天后，由于某种原因，该商品的进价从第21天开始每件下降4元，其他条件保持不变，求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3430元的共有多少天？1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是（1，3），当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是（ ） A ．y ＝﹣2（x +1）2+3 B ．y ＝2（x +1）2+3C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+3D ．y ＝2（x ﹣1）2+32．已知抛物线y ＝x 2+（3m ﹣1）x ﹣3m （m ＞0）的最低点的纵坐标为﹣4，则抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝x 2﹣6x +5B ．y ＝x 2+2x ﹣3C ．y ＝x 2+5x ﹣6D ．y ＝x 2+4x ﹣53．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ） A ．y ＝﹣（x ﹣2）2﹣1 B ．y ＝﹣（x ﹣2）2﹣1 C ．y ＝（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝（x ﹣2）2﹣14．小英在用“描点法”探究二次函数性质时，画出了以下表格，不幸的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小英只记得遗忘的三个数中（如M ，R ，A 所示），有两个数相同．根据以上信息，小英探究的二次函数解析式可能是（ ）x … ﹣1 0 1 2 3 … y…MR﹣4 ﹣3A …A ．y ＝x 2﹣3x ﹣2B ．2941412-+=x x yC ．y ＝2x 2﹣5x ﹣1D ．5．如图1，质量为m 的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为10cm ）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v （cm /s ）和弹簧被压缩的长度Δl （cm ）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）A ．小球从刚接触弹簧就开始减速B ．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cmC ．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大D ．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm6．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克．为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（ ）A．20B．60C．70D．807．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图所示，水平地面为x轴，单位：m），则下列说法不正确的是（）A．出球点A离点O的距离是1 mB．羽毛球横向飞出的最远距离是3 mC．羽毛球最高达到mD．当羽毛球横向飞出m时，可到达最高点8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°AB＝12cm，AD＝36cm，BC＝40cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以1cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，下列结论错误的是（）A．当t＝9时，PQ∥DCB．当t＝10时，PQ⊥BCC．当t＝9或11.5时，PQ＝CDD．当t＝12时，四边形ABQP的最大面积为384cm29．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．已知二次函数y＝x2+bx+c．当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的取值范围是．11．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是米．12．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）（1）求二次函数解析式；（2）画出该二次函数图象；（3）当0≤x≤3时，直接写出y的取值范围．14．兰兰家新建了一个蔬菜大棚，大棚的样式如图1，大棚入口的外形呈抛物线形状，宽度是8m，最高点距地面2m．现要在大棚的入口正中间加3根木条做一个简易的长方形门框，如图2．（1）若门框的高不低于1.5m，且长方形门框的宽AB的长度不小于2m，则长方形门框的宽度AB应该在什么范围内？（2）在（1）的条件下，为了节省木料，求3根木条长度和的最小值．15．如图，一种手持烟花弹的飞行路径是抛物线y＝a（x﹣20）2+k（a≠0）上的一部分．点燃后在距地面2米时开始喷射，在达到最大高度18米时绽放．若是哑弹（在空中没有绽放的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落．在烟花弹的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面矩形ABCD与抛物线在同一平面上）．（1）求抛物线的解析式（不必写出x的取值范围）；（2）小明站在窗前的点E处，正好能观赏到烟花绽放的美景，若AE＝11.5米，求烟花绽放点到E点的距离（结果保留根号）；（3）若是哑弹，请通过计算说明是否会落在居民楼的外墙AD上？若会，求将烟花弹沿x轴负半轴至少移动多少米才能避免（结果保留根号）．。
数学必修Ⅰ人教新课标B版3-4函数的应用(Ⅱ)同步练习
A.①②④B.④②③
C.①②③D.④①②
【解析】离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象④；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象①；最后加速向学校，其距离与时间的关系为二次函数，故应选图象②.故选D.
【答案】D
2.下面对函数f(x)＝log x、g(x)＝ x与h(x)＝x 在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是()
A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
【答案】B
2.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()
A.y＝0.2xB.y＝ (x2＋2x)
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
【解析】用排除法，当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D项；当x＝3时，否定A项.
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
【答案】Dx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
【解析】当x变大时，y＝x2比y＝lnx增长要快.
学业分层测评(二十四)函数的应用(Ⅱ)
(建议用时：45分钟)
2020新教材人教B版高中数学必修第二册同步练习(7)函数的应用(二)
同步学典(7)函数的应用(二)是()A. f(x)递减速度越来越慢B. f(x)递减速度越来越快C. f(x)递减速度越来越慢D. f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快 ,g(x)递减速度越来越慢 ,g(x)递减速度越来越慢 ,g(x)递减速度越来越快 ,h(x)递减速度不变,h (x)递增速度越来越快 ,h(x)递增速度不变 ,h(x)递减速度越来越快2、 当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是 ()100A.y=100xB.y^lOg oo XC.y = X3、 有一组实验数据如下表所示 ：x12345y 1.5 5.9 13.4 24.1 37F 列所给函数模型较适合的是 ()A. y =log a x(a 1) C. y =ax 2 亠b(a - 0)B. y =ax b(a 1) D. y =log a x - b(a 1)4、 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为C(x^i^ 2x 20 (万元).一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企2业一个月生产该商品数量应为 ()A.18万件B.20万件C.16万件D.8万件5、 某地每年销售木材约 2 105m 3，销售价格为2.4 103元/ m 3，为了减少木材消耗，决定 按销售收人的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少2.5t 104m 3 .为了既减少木材消耗又保证税金收人每年不少于 9 106元，则实 数t 的取值范围是()A. {t|1Et^3}B.{t|3 乞t 乞 5}C.{t|2^t 乞 4}D. {t|4I 乞 6} 6、由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准 (GB/T19522-2010)》于 丨年月日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或 者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表 .经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图”见图，车辆驾车人员血液酒精含量阀值喝瓶啤酒的1下面对函数f (x) Tog ! X, g(x)2D.y=1O(J2情况且图表示的函数模型f(x)二40Sin (3X )T 3,0±x 2,则该人喝一瓶啤酒后至少经过多90 e -0.5x 14, x _ 2长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15：、2.71, In30：、3.40)( )7、 按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息 8%，零存每月利息2%，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币 ()A.2(1 8%35万元B. 2(1 - 8%) (1 - 2%) 万兀C. 2(1 ■ 8%) 3 2 2% 5 万元D. 2(1 - 8%) 3 - 2(1 - 8%) 3 (1 - 2%) 6 万元8、 如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比 2005年翻两番的年份大约是(Ig2 =0.3010,lg3 =0.4771, Ig109 =2.0374 , Ig0.09 工 T.0458 ) ()9、某地一企创电商在最近两年的“双^一”当天的销售额连续增加 ，其中2016年的增长率为耳2017年的增长率为b ,则该电商这两年的“双^一”当天销售额的平均增长率为( ) A . ab驾驶行为类型阀值(mg /100mL)饮酒后驾车 >20x80醉酒后驾车>80A.B.C. D.A. 2025 年B.2021 年C. 2020 年D.2018 年]« 11 14 16B.C (a+1)(b +1)—12 D. (a—1)厂1)-1210、某动物数量y （只）与时间x （年）的关系为y 二alog 2 x 1设这种动物第一年有100 只，则第7年它们有（ ）A.300 只B.400 只C.500 只D.600 只X11、 已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份X 满足关系y = a ・（0.5）+b ,现已知该厂今年1月2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为 __________ 。
专题02 二次函数的实际应用(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册同步学与练(人教版)
专题第02讲二次函数的实际应用（30题）1．（2022秋•泰兴市期末）一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．（1）求y与x的函数关系式．（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x≥8），试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．【分析】（1）根据“若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克”，可列出y与x的函数关系式；（2）用x的代数式表示出W，在由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）由题意可得，y＝60﹣×2＝﹣4x+108；（2）由题意可得，W＝y（x﹣8）＝（﹣4x+108）（x﹣8）＝﹣4x2+140x﹣864＝﹣4（x ﹣）2+361，∵﹣4＜0，∴当时，利润W达到最大，最大值为361，答：当x为时，利润达到最大．2．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/件…363432…（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；（2）依据利润＝单件利润×销售量列出方程，解答即可；（3）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，解得：x1＝18，x2＝22又∵10≤x≤19，∴x＝18，答：销售单价应为18元．（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，＝198．∴当x＝19时，w有最大值，W最大答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．3．（2023•海淀区校级开学）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB ＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：（1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为，下垂电缆的抛物线表达式为．（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得：DE和OE的长，根据第四象限的点D的象限特征可得点D的坐标，根据抛物线的三点A，O，C三点的坐标设下垂电缆的抛物线表达式为y＝ax（x+40），代入C（20，12）即可求解；（2）先利用待定系数法求得斜坡BD解析式，可得电缆与坡面的铅直高度GH＝x2+x+19＝（x+10）2+18，易知当x＝﹣10时，GH有最小值为18，GH最小＝18＞13.5，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：OA＝40米，AE＝60米，AB＝CD＝27米，AB﹣DE＝12米，AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴DE＝27﹣12＝15米，OE＝60﹣40＝20米，∴D（20，﹣15），∵CE＝CD﹣DE＝27﹣15＝12米，∴C（20，12），∵A（﹣40，0），O（0，0），∴设下垂电缆的抛物线表达式为：y＝ax（x+40），∴20a（20+40）＝12，∴a＝，∴y＝x（x+40）＝x2+x；故答案为：（20，﹣15），y＝x2+x；（2）这种电缆的架设符合安全要求，理由如下：由（1）可知：y＝x2+x，B（﹣40，﹣27），D（20，﹣15），设斜坡BD解析式为y＝kx+b，代入B（﹣40，﹣27），D（20，﹣15），可得：，解得：，∴斜坡BD解析式为y＝x﹣19，则电缆与坡面的铅直高度GH＝x2+x﹣（x﹣19）＝x2+x+19＝（x+10）2+18，∵＞0，＝18＞13.5，∴当x＝﹣10时，GH有最小值为18，GH最小∴这种电缆的架设符合安全要求；4．（2023春•江岸区校级月考）如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？【分析】（1）根据当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，设设水流形成的抛物线为y ＝a（x﹣8）2+5，代入点（0，1.8）求出二次函数的解析式，即可求解；（2）①先求出斜坡的高度y2的解析式，列出y1﹣y2，把函数解析式化为顶点式，即可求解；②设喷射架向后平移了m米，设出平移后的函数解析式，代入点N的坐标即可求解．【解答】解：（1）由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，则可设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，将点（0，1.8）代入可得a＝，∴抛物线为，（2）①由题可知M点坐标为（10，2），设直线OA的解析式为y＝kx，把点M的坐标（10，2）代入得10k＝2，解得k＝，则直线OM为，∴，∴y1﹣y2的最大值为．②设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为，将点N（10，3.75）代入得：，解得m＝3或m＝﹣7（舍去），∴喷射架应向后移动3米．5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题；（2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标；（3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+1.6，又∵抛物线过点（0，1.2），∴1.2＝4a+1.6，∴a＝﹣0.1，∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，当y＝0时，﹣0.1（x﹣2）2+1.6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴喷出水的最大射程OC为6m；（2）解：∵对称轴为直线x＝2，∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴点B的坐标为（2，0）；（3）解：∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴0.5＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，解得，∵x＞0，∴，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.2＞0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则，∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，∴d的最小值为2，综上所述，d的取值范围是．6．（2022秋•华容区期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．【分析】（1）售价为x元/千克（x≥6且为正整数），则提价（x﹣6）元，故销售量为[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，根据题意，列方程计算即可．（2）根据日销售额＝日售价×日销售量，计算即可．（3）由题意得：440≤﹣2x2+52x+a≤450，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，从而计算可得a值．【解答】解（1）售价为x元/千克（x≥6且为正整数），则提价（x﹣6）元，故销售量为[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，根据题意，得52﹣2x＝24，解得x＝14，故该日产品的单价为14元/千克．（2）设售价为x元/千克（x≥6且为正整数），销售额为w元，则提价（x﹣6）元，故销售量为[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，∴w＝x（52﹣2x）＝﹣2x2+52x，∴w＝﹣2（x﹣13）2+338，∵6≤x≤18，且对称轴右侧，y随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且13﹣6＝7，18﹣13＝5，∴x＝13时，w取得最大值，且最大值为338元，∴x＝6时，w取得最小值，且最小值为240元，w＝﹣2x2+52x，w的最大338元，w的最小240元．（3）由题意得：440≤﹣2x2+52x+a≤450，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，∴x＝13时，w＝338元∴x＝11或15时，w＝330元，∴x＝12或14时，w＝336元，且：440≤﹣2x2+52x+a≤450，∴110≤a≤112，∵a是正整数，∴a的值为110或111或112．7．（2023春•蔡甸区月考）如图，抛物线AB，AC是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线AB由抛物线AC 向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝米，DG＝2米，OA＝h米，抛物线AC表达式为y＝a（x﹣2）2+h+，h＝，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上．（1）求抛物线AC表达式．（2）求点B的坐标．（3）要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记OD长为d米，直接写出d的取值范围．【分析】（1）分别把h、点A坐标代入AC解析式即可解答；（2）由题意易得抛物线AB是由抛物线AC向左平移4米得到的，则有抛物线AB表达式为：，然后把y＝0代入求解即可；（3）由（2）可得，又因为DG＝2，即可解答．【解答】解：（1）把代入，得：y＝a（x﹣2）2+2，∵OA＝h，∴把代入y＝a（x﹣2）2+2，解得，∴抛物线AC表达式：，当y＝0时，即，解得：，∴，0），∴抛物线AC表达式：；（2）∵，∴E、F的纵坐标为，∴，解得：x1＝0，x2＝4，∵点A的纵坐标是，∴抛物线AB是由抛物线AC向左平移4米得到的，∴抛物线AB表达式为：，把y＝0代入，得：，解得，（舍去），∴，（3）由（2）可得点B坐标为，0），∴，由（1）得把代入，得x1＝4，x2＝0（舍去），∴OG＝4，OD＝OG﹣DG＝2，∵OB≤d≤OD，∴．8．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y 轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）【分析】（1）易得第一次落地时抛物线的顶点，可设所求的函数解析式为顶点式，把（0，1）代入即可求得所求的函数解析式；（2）易得第二次落地时的抛物线的二次项的系数与第一次落地时抛物线的二次项系数相同，顶点的纵坐标为第一个函数顶点纵坐标的一半，用顶点式设出所求的函数解析式，把C坐标代入后求得第二次落地时的抛物线解析式，让函数值等于0可得D的横坐标，减去OB的距离即为跑的距离．【解答】解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+4．由已知：当x＝0时y＝1．即1＝36a+4，∴a＝﹣．∴表达式为y＝﹣（x﹣6）2+4；（2）由题意得：0＝﹣（x﹣6）2+4解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去），∴点C坐标为（13，0）．设第二次落地的抛物线为y＝﹣（x﹣k）2+2．将C点坐标代入得：0＝﹣（13﹣k）2+2．解得：k1＝13﹣2＜13（舍去），k2＝13+2≈18．∴y＝﹣（x﹣18）2+2．0＝﹣（x﹣18）2+2．x1＝18﹣2（舍去），x2＝18+2≈23，∴BD＝23﹣6＝17（米）．答：运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17米．9．（2023•淮安一模）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝每件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合x的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）设y＝kx+b，将（40，300）、（55，150）代入，得：，解得：，则y＝﹣10x+700；（2）设每天获取的利润为W，则W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，又∵﹣10x+700≥240，∴x≤46，∵x＜50时，W随x的增大而增大，∴当x＝46时，W取得最大值，最大值为﹣10×16+4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．10．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①设三月的成本为m万元，当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，由题意得：450＝30（35﹣m），即可求解；②由题意得：w＝y（x﹣6）＝（﹣2x+100）（x﹣6）＝﹣2x2+112x﹣600（25≤x≤30），即可求解．【解答】解：（1）在表格取点（30，40）、（32，36），设一次函数的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+100；（2）①设三月的成本为m万元，当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，由题意得：450＝30（35﹣m），解得：m＝20，即三月份每件产品的成本是20万元；②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6，由题意得：w＝y（x﹣6）＝（﹣2x+100）（x﹣6）＝﹣2x2+112x﹣600（25≤x≤30），则抛物线的对称轴为x＝28，则x＝25时，w取得最小值，此时，w＝950，即四月份最少利润是950万元．11．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求得m＝90时，y2与x之间的函数表达式，再根据利润＝销售量×（售价﹣成本）列出函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（3）用含m的式子表示出y2与x之间的函数表达式，再根据利润＝销售量×（售价﹣成本）列出函数关系式，然后结合60＜m≤70及二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝k1x+b1，将（0，60），（120，40）代入得：，解得：，∴线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝﹣x+60；（2）若m＝90，设y2与x之间的函数表达式为y2＝k2x+90，根据题意得：50＝120k2+90，解得：k2＝﹣，∴y2＝﹣x+90（0＜x≤120），设产品产量为xkg时，获得的利润为w元，根据题意得：w＝（y2﹣y1）x＝[﹣x+90﹣（﹣x+60）]x＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣90）2+1350（0＜x≤120）；∴当x＝90时，w有最大值，最大值为1350元．∴若m＝90，该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润是1350元；（3）设y＝k2x+m，由题意得：120k2+m＝50，解得：k2＝，∴y＝x+m，设产品产量为xkg时，获得的利润为w'元，∴w'＝x[（x+m）﹣（﹣x+60）]＝x2+（m﹣60）x，∵60＜m≤70，∴a＝＞0，b＝m﹣60＞0，∴﹣＜0，即抛物线对称轴在y轴左侧，对称轴为直线x＝＜0，∴当0＜x≤120时，w'随x的增大而增大，∴当x＝120时，w'的值最大，w'max＝1200元．∴60＜m＜70时，该产品产量为120kg时，获得的利润最大，最大利润为1200元．12．（2023•梁溪区模拟）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．（1）求平均单株产量y（千克）与每平方米种植的株数x（x为整数，且2≤x＜10）之间的函数关系式；（2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.8千克，即可得得出函数解析式；（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.8千克，∴y＝8.4﹣0.8（x﹣2）＝﹣0.8x+10，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣0.8x+10，（2≤x≤10，且x为整数）；（2）设每平方米番茄产量为W千克，根据题意得：W＝x（﹣0.8x+10）＝﹣0.8x2+10x＝﹣0.8（x﹣）2+，∵﹣0.8＜0，x为整数，∴当x＝6时，W取最大值，最大值为，∴10×＝312（千克），答：每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克．13．（2023春•仓山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（1）任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数关系式；（2）任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，分别得到E（﹣10，1），F（10，1），A（0，5），再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）根据每棵苗木高1.76m，且苗木顶部不触碰大棚得到y＞1.76，即可求出种植点的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）如下图所示，根据题意得OB＝10，OA＝5，E（﹣10，1），F（10，1），A（0，5），设二次函数的解析式为y＝kx2+b，解方程组得b＝5，，（2）当y＞1.76时，得，∴x2＜81，∴﹣9＜x＜9；14．（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；（2）令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，解方程即可求解；（3）根据题意有：，解得：28≤x≤35，将W＝﹣10x2+500x﹣4000化为顶点式为：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，即可知当x＞25时，函数值随着x的增大而减小，问题随之得解．【解答】解：（1）根据题意，有：W＝y×（x﹣10）＝（﹣10x+400）×（x﹣10），化简，得：W＝﹣10x2+500x﹣4000，根据，解得：x＞10，即函数关系为：W＝﹣10x2+500x﹣4000，x＞10；（2）令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，解得：x＝15，或者x＝35，当x＝15时，销量：y＝﹣10x+400＝250（件）；当x＝35时，销量：y＝﹣10x+400＝50（件）；销量越高，越有利于减少库存，即为了减少库存，将销售单价应定为15元；（3）根据题意有：，解得：28≤x≤35，将W＝﹣10x2+500x﹣4000化为顶点式为：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，∵﹣10＜0，∴当x＞25时，函数值随着x的增大而减小，∵28≤x≤35，∴当x＝28时，函数值最大，最大为：W＝﹣10（28﹣25）2+2250＝2160．答：此时W的最大值为2160元．15．（2022秋•蜀山区校级期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品甲每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙．（1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式；（2）设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式；（注：商品的销售额＝销售单价×销售量）（3）设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的150%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（注：销售总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的总成本）【分析】（1）利用待定系数法可求出一次函数的解析式；（2）利用商品的销售额＝销售单价×销售量，即可求出S（元）与x的函数关系式；（3）利用销售总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的总成本求出两种商品销售总利润．．．．．为W与销售单价x之间的关系式，根据已知求出x的取值范围，再将关系式化为配方式，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将图象中（30，40）、（40，20）代入得：，解得：，∴销售量y与销售单价x之间的函数表达式为：y＝﹣2x+100，故答案为：y＝﹣2x+100；（2）∵超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙，且商品乙每天供货总量只有80千克，∴商品甲的销量：0≤y≤80，即0≤﹣2x+100≤80，∴10≤x≤50，2+100x（10≤x≤50）；则两种商品的每天销售总额．．．．：S＝xy＝x（﹣2x+100）＝﹣2x（3）两件商品的成本为：20+4＝24元，∵商品甲的售价不低于成本，不超过成本的150%，20×150%＝30，∴20≤x≤30，W＝（﹣2x2+100x）﹣（﹣2x+100）×（20+4），即W＝﹣2x2+148x﹣2400＝﹣2（x﹣37）2+338（20≤x≤30），∵﹣2＜0，∴x＜37时，W随x的增大而增大，∴x＝30时，W的最大值＝﹣2×49+338＝240，答：当销售单价定为30元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是240元．16．（2023春•莲池区校级期中）为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过5900元购买足球和篮球共36个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球单价170元，篮球单价160元．（1）学校至多可购买多少个足球？（2）受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按（1）问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了，最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了155元，求a的值．【分析】（1）设学校购买x个足球，则购买（36﹣x）个篮球，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过5900元，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据购买足球节省的钱数﹣购买篮球多花的钱数＝节余钱数，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设学校购买x个足球，则购买（36﹣x）个篮球，根据题意得：170x+160（36﹣x）≤5900，解得：x≤14．答：学校至多可购买14个足球．（2）根据题意得：，解得：a＝25．答：a的值为25．17．（2023春•宜都市期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有一次函数关系：y＝ax+b．当x＝5时，y＝40；当x＝30时，y＝140．B 城生产产品的每件成本为7万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B 两城总运费之和的最小值为150万元，求m的值．【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，据此建立方程求解即可；（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，将n的数值代入即可求得．【解答】解：（1）由题意得：，解得；（2）设A城生产产品x件，则B城生产产品（100﹣x）件，由题意得，4x+20+7（100﹣x）＝660，解得x＝20，∴100﹣x＝80，答：A生产产品20件，B生产产品80件；（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，由题意得：，解得：10≤n≤20，∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），整理得：P＝（m﹣2）n+130，当0≤m＜2时，则m﹣2＜0，∴P随n增大而减小，∴当n＝20，P最小，最小值为20（m﹣2）+130，又∵A，B两城总运费之和的最小值为150万元，∴20（m﹣2）+130＝150，∴m＝3（舍去）；当m＝2时，P＝130＜150，不符合题意；当m＞2时，则m﹣2＞0，∴P随n增大而增大，∴当n＝10，P最小，最小值为10（m﹣2）+130，又∵A，B两城总运费之和的最小值为150万元，∴10（m﹣2）+130＝150，∴m＝4；综上所述，m＝4．18．（2023•海淀区校级四模）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为y＝a （x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：水平距离x/m00.51 1.52 2.53竖直高度y/m 2.25 2.81253 2.8125 2.25 1.31250根据表格中的数据，解答下列问题：①水管的长度是m；②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．则比较d1与d2的大小关系是：d1d2（填“＞”或“＝”或“＜”）【分析】（1）①根据当x＝0时，y＝2.25即可求解；②根据待定系数法求解即可；（2）先求出调试①的抛物线解析式，然后令y＝0可求出求出d1，d2，然后比较大小即可．【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝2.25，∴水管的长度是2.25m；故答案为：2.25；②把x＝0，y＝2.25；x＝1，y＝3；x＝3，y＝0，分别代入y＝a（x﹣h）2+k，得：，解得：，∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3；（2）①∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3向上平移1个单位，∴平移后的解析式为y＝﹣0.75（x﹣1）2+3+1，即y＝﹣0.75（x﹣1）2+4，。
数学高考函数的应用提升同步检测(含解析)
数学高考函数的应用提升同步检测（含解析）一、选择题1.(2021·咸阳模拟)抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%,那么至少要抽(参考数据:lg2=0.3010,lg 3=0.4771)()(A)15次 (B)14次 (C)9次 (D)8次2.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出时间t(分钟)与打出费s(元)的函数关系如图,当打出 150分钟时,这两种方式费相差()(A)10元(B)20元(C)30元(D)元3.某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优秀效果的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对先生高考效果的上下对任课教员停止奖励的.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教员所在班级先生的该任课教员所教学科的平均效果与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=现有甲、乙两位数学任课教员,甲所教的先生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的先生高考数学平均分超出省平均分21分,那么乙所得奖励比甲所得奖励多()(A)600元 (B)900元 (C)1600元 (D)1700元4.某厂有许多外形为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影局部)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为()(A)x=15,y=12 (B)x=12,y=15(C)x=14,y=10 (D)x=10,y=145.(2021·西安模拟)某地农民支出由工资性支出和其他支出两局部组成.2021年某地域农民人均支出为6300元(其中工资性支出为3600元,其他支出为2700元),估量该地域自2020年起的5年内,农民的工资性支出将以6%的年增长率增长;其他支出每年添加320元.依据以上数据,2021年该地域农民人均支出介于(A)8400元～8800元 (B)8800元～9200元(C)9200元～9600元 (D)9600元～10000元6.(才干应战题)如图,A,B,C,D是某煤矿的四个采煤点,m是公路,图中所标线段为路途,ABQP,BCRQ,CDSR近似于正方形.A,B,C,D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比.现要从P,Q,R,S中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,那么地点应选在()(A)P点 (B)Q点 (C)R点 (D)S点二、填空题7.(2021·武汉模拟)里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记载的地震曲线的最大振幅,A0是相应的规范地震的振幅.假定在一次地震中,测震仪记载的最大振幅是1000,此时规范地震的振幅为0.001,那么此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.8.(2021·合肥模拟)某驾驶员喝了m升酒后,血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)=«酒后驾车与醉酒驾车的规范及相应的处分»规则:驾驶员血液中酒精含量不得超越0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过小时后才干开车(缺乏1小时局部算1小时,准确到1小时).9.(才干应战题)在某条件下的汽车测试中,驾驶员在一次加满油后的延续行驶进程中从汽车仪表盘失掉如下信息: 时间油耗升千米可继续行驶距离千米 10:00 9.5 300 11:00 9.6 220 注:油耗=,可继续行驶距离=;平均油耗=.从以上信息可以推断在10:00-11:00这一小时内(填上一切正确判别的序号).①行驶了80千米;②行驶缺乏80千米;③平均油耗超越9.6升/100千米;④平均油耗恰为9.6升/100千米;⑤平均车速超越80千米/小时.三、解答题10.某城市现有人口总数为100万人,假设年自然增长率为1.2%,试解答以下效果:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式.(2)计算10年以后该城市人口总数(准确到0.1万人).(3)计算大约多少年以后,该城市人口将到达120万人(准确到1年).(4)假设20年后该城市人口总数不超越120万人,年自然增长率应该控制在多少?(参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127,lg1.2≈0.079,lg2≈0.3010, lg1.012≈0.005,lg1.009≈0.0039)11.(2021·商洛模拟)某创业投资公司拟投资开发某种新动力产品,估量能取得10万元～1000万元的投资收益.现预备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的添加而添加,且奖金不超越9万元,同时奖金不超越投资收益的20%.(1)树立奖励方案的函数模型f(x),试用数学言语表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.(2)现有两个奖励方案的函数模型:①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-3.试剖析这两个函数模型能否契合公司要求.12.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将运营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价钱转让给了尚有5万元无息存款没有归还的小型企业乙,并商定从该店运营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐渐归还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价钱P(元)的关系如下图;③每月需各种开支合计2021元.(1)当商品的价钱为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额.(2)企业乙只依托该店,最早可望在几年后脱贫?。
人教B版高中数学必修一同步练习3.13.2函数的应用
第三章《基本初等函数》3.2函数的应用3.2.1 对数及其运算1．函数y＝3x＋1(－1≤x＜0)的反函数是()。
A．y＝1＋log3x(x＞0) B．y＝－1＋log3x(x＞0)C．y＝1＋log3x(1≤x＜3) D．y＝－1＋log3x(1≤x＜3)2．已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图象是()。
3．已知函数f(x)的图象过点(0,1)，则f(4－x)的反函数的图象过点()。
A．(1,4)B．(4,1)C．(3,0)D．(0,3)4．设函数f(x)＝log a(x＋b)(a＞0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b＝()。
A．6 B．5C．4 D．35．下列关于反函数的说法中，正确的为________。
①二次函数一定有反函数；②反比例函数一定有反函数；③若函数y＝f(x)与其反函数y ＝f－1(x)有公共点P，则点P一定在直线y＝x上；④单调函数在其单调区间上一定有反函数．6．若函数f(x)的反函数f－1 (x)＝x2(x＞0)，则f(4)＝________。
7．已知函数10()110xxf x=+，试求它的反函数以及反函数的定义域、值域。
8．已知f(x)＝x2，1()52g x x=+，设F(x)＝f[g－1(x)]－g－1[f(x)]，试求F(x)的最小值。
．9.已知函数f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)的值域．3.2.1 对数及其运算参考答案1. 答案：D解析：y ＝3x ＋1⇒x ＝log 3y －1，其反函数解析式为y ＝log 3x －1. －1≤x ＜0⇒0≤x ＋1＜1⇒1≤3x ＋1＜3，其反函数定义域为[1,3)． 2. 答案：C解析：f －1(x )＝log 3x ＋1. 3. 答案：A解析：f (4－x )的图象过点(4,1)，故f (4－x )的反函数图象过点(1,4)．4. 答案：C解析：f (x )图象过点(2,1)，(8,2)，∴f (8)＝log a (8＋b )＝2，f (2)＝log a (2＋b )＝1，∴282a b a b ⎧=+⎨=+⎩解得31a b =⎧⎨=⎩ ∴a ＋b ＝4.5. 答案：②④6. 答案：2解析：设f (4)＝b ，则f －1(b )＝4，即b 2＝4(b ＞0)， ∴b ＝2.7. 解：由1＋10x ≠0，可得x ∈R . 又101()1110110x x x f x ==-++， ∴0＜f (x )＜1.∴函数f (x )的定义域为R ，值域为(0,1)． 由10()110xx f x =+，得y ＋y ·10x ＝10x ， ∴lg 1y x y=-. ∴lg 1y x y=-. 故f (x )的反函数为lg1x y x =-，定义域为(0,1)，值域为R . 8. 解：∵1()52g x x =+， ∴g －1(x )＝2x －10.又∵f (x )＝x 2，∴F (x )＝f [g －1(x )]－g －1[f (x )] ＝(2x －10)2－(2x 2－10)＝4x 2－40x ＋100－2x 2＋10＝2x 2－40x ＋110＝2(x 2－20x ＋55)＝2(x －10)2－90≥－90.∴F (x )的最小值为－90.9解：(1)∵f (x )＝3x ，且f －1(18)＝a ＋2， ∴f (a ＋2)＝3a ＋2＝18. ∴3a ＝2.∵g (x )＝3ax －4x ＝(3a )x －4x ，∴g (x )＝2x －4x (0≤x ≤1)．(2)令t ＝2x (0≤x ≤1)，∴t ∈[1,2]． 则2211()()24g x y t t t ==-+=--+ ∴当t ＝1，即x ＝0时，g (x )m ax ＝0；当t ＝2，即x ＝1时，g (x )mi n ＝－2.故g (x )的值域为[－2,0].3.2.2 对数函数1．已知对数函数y ＝log a x 的图象，若a 43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次是( )。
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同步练习 g3.1020函数的综合应用（2）
1、(2005年高考·上海卷·理16)设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1
,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是
A ．0<b 且0>c
B ．0>b 且0<c
C ．0<b 且0=c
D ．0≥b 且0=c
2、已知)(x f y =是偶函数，当0>x 时，x
x x f 4)(+=，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)( 恒成立，则n m -的最小值是
A ．31
B ．32
C ．1
D ．3
4 3、设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2
1)1(f x f x f f +=+=则=)5(f A ．0 B ．23 C ．25 D ．2
3- 4、（04年全国卷三.理11）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1
141 )1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为
（A ）]10,0[]2,( --∞ (B) ]1,0[]2,( --∞
（C ）]10,1[]2,( --∞ （D ）]10,1[)0,2[ -
5、（04年湖南卷.理6）设函数⎩
⎨⎧≤++〉=,0,.0,2)(2x c bx x x x f 若f(--4)=f(0),f(--2)=--2,则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
6、（04年上海卷.文理5）设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-. 若当[0,5]x ∈时,
()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的
解是 .
7、(05北京卷)对于函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论：
①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅； ③;0)()(2
121>--x x x f x f ④.2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当x x f lg )(=时，上述结论中正确结论的序号是 .
8、(2005年高考·天津卷·理16)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线2
1=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________.
9、(05全国卷Ⅰ)若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则
6、 .
7、 .
8、 .
9、 .
10、 已知函数1
2)(+=x x x f 与函数)(x g y =的图象关于直线2=x 对称，（1）求)(x g 的表达式。
（2）若)
(1)2(x x Φ=+Φ，当)0,2(-∈x 时，)()(x g x =Φ，求)2005(Φ的值。
11、（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷II ·理17)
设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使的取值范围.
12、函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，
（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.
（2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值.
作业：
1—5、CCCCC 6、(2,0)(2,5)- 7、②③ 8、0 9、155 10（1）28()5x g x x -=-；（2）3(2005)5
Φ= 11解：由于2x y =
是增函数，()f x ≥3|1||1|2x x +--≥
① （1） 当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立。
（2） 当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即314
x ≤< （3） 当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解
综上x 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 12．解:（1）①若1,012±==-a a 即，
1）当a =1时，6)(=x f ，定义域为R ，适合；
2）当a =－1时，66)(+=x x f ，定义域不为R ，不合； ②若6)1(3)1()(,01222+-+-=≠-x a x a x g a 为二次函数，
)(x f 定义域为R ，R x x g ∈≥∴对0)(恒成立，
11150)511)(1(110)1(24)1(901222<≤-⇒⎩
⎨⎧≤+-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-∴a a a a a a a ； 综合①、②得a 的取值范围]1,11
5[- （2）命题等价于不等式06)1(3)1(22≥+-+-x a x a 的解集为[－2，1]， 显然012≠-a
20112-=<-∴x a 且、12=x 是方程06)1(3)1(22=+-+-x a x a 的两根，
⎪⎩⎪⎨⎧==+->-<⇒⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-=-=⋅-=--=+>-<∴40231121611)1(31122221221a a a a a a x x a a x x a a 或或，解得a 的值为a =2.。