历年自主招生试题分类汇编—集合与逻辑

∴在 上有 。即 。
注记：也可用三角函数线的方法求解．
7.（2014年华约）已知 求证: .
【证明】原不等式等价于 .
当 ,上述不等式左边非正,不等式成立;
当 时,由 及贝努力不等式 ,
从而 ,即证.
1.（2014年卓越联盟） ,求 范围.
【解】由
所以由数轴标根法得 ,又因为 ,
所以 .
1、（2013年卓越联盟）设函数 ．若 、 ，且 ，则
解析取 ，便能得到 ＝1．
下面给出证明， ，
于是
．∴ ＝1．
（5）（2012年华约）若复数 的实部为0， 是复平面上对应 的点，则点 的轨迹是( )
(A)一条直线(B)一条线段(C)一个圆(D)一段圆弧
解：设 ，解得 ， ，因此 的轨迹是一条直线。
1、（2011年华约）设复数z满足|z|<1且 则|z| = ( )
A． B． C． D．
答案:（文科）D．
历年自主招生试题分类汇编——初等数论
7．（2013年北约）最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．
解析设满足条件的正整数为 个．考虑模3的同余类，共三类，记为 ， ， ．
则这 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故 ．
又因为 ，所以 .
（3）若 有极小值 ，且 ，由（1）知：
，且 ，解得 ，所以 ，
所以 .
①当 时， ，不等式显然成立；
②当 时，
；
，
上面两式相加得 ，
即 .
综上得 .
(15)（2011年卓越联盟）(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)；
(Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得 取得最小值；
(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为ma,b，证明：ma,b<ln2．
(3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;
【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为 ;
(2)易知 的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知, ,
, , ,
0
1
2
3
4
,即 的分布列为:
所以其数学期望为
(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为 ,无须繁杂计算)
(3)取出四个球同色,全为黑色的概率为 即求.
于是有 ， ．从而可知 在 上单调递增，又 ，所以 ， ，即 ， ．
⑵（本小问9分）
设 ， ，则 ．
令 ， ，则
， ．
所以 在 上单调递减，从而 ，
因此 在 上单调递减，于是 ，即 ， ．
结合⑴有 ，得 ．
（11）（2012年卓越联盟）已知函数 ，其中 是非零实数， 。
（Ⅰ）求 的单调区间
（Ⅱ）若 ，设 ， ， ， ，且 ， ， 。
当 时, ,即 ,于是 ,所以 ,
但另一方面 ,且为正整数,所以 矛盾,不合题意.
所以 ,此时 ,于是 ,即 ,
也所以 ,所以 ,又因为 ,所以 ;
于是 ,所以 ,即 ,又因为 ,所以 ,
经检验 符合题意,于是符合题意的正整数 有
=(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)
(1) ;
(2)若 则 显然,当 取最小;
若 则 当 取最小.
故
由(1)知
所以,
记
则令 ,得
即 时, 取最小值.
(3)将 代入 式右边,
等价于
由于 时, 所以下面只须证明 即可.
又 令 ,
则 ,注意到函数 是单调递增的,且
所以 .得证.
历年自主招生试题分类汇编——复数
6．（2013年北约）模长为１的复数 满足 ，求 ．
【证】(一法:数学归纳法)①当 时,左边 右边,不等式成立;
②假设 时,不等式 成立.
那么当 时,则 ,由于这 个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设 ,
从而 ,所以
其中推导上式时利用了 及 时的假设,故 时不等式也成立.
综上①②知,不等式对任意正整数 都成立.
(二法)左边展开得
由平均值不等式得
故
,即证.
(三法)由平均值不等式有
……①; ……②
①+②得 ,即 成立.
(四法)由 不等式得： ， ，两式相加得： ，故 ．
1．（2011年北约文） ，求证： ．
1【解析】不妨设 ，则 ，且当 时， ．于是 在 上单调增．∴ ．即有 ．
同理可证 ．
，当 时， ．于是 在 上单调增。
（13）（2012年华约）系统中每个元件正常工作的概率都是 ，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。
（1）某系统配置有 个元件， 为正整数，求该系统正常工作概率的表达式
（2）现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。
注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同.
历年自主招生试题分类汇编——导数
7.（2014年华约）已知 求证: .
【证明】原不等式等价于 .
当 ,上述不等式左边非正,不等式成立;
当 时,由 及贝努力不等式 ,
从而 ,即证.
7.（2013年华约）已知
求证:(1)当 , ;
(2)数列 满足 ,求证:数列 单调递减且 .
历年自主招生试题分类汇编——不等式
5.（2014年北约）已知 且 都是负数,求 的最值.
【解】由 可知, ,
所以 ,即 ,
令 ,则易知函数 在 上递减,所以其在 上递减,
于是 有最小值 ,无最大值.
解答二： 得 ，而函数 在 上单调递减，在 单调递增，故 ，即 ，当且仅当 时取等号．
10.（2014年北约）已知 ,且 ,求证: .
证明： ；
（Ⅲ）若 有极小值 ，且 ，证明 。
解答：（1） ，
当 时， 在 和 上分别Байду номын сангаас调递减；
当 时， 在 和 上分别单调递增；
在 和 上分别单调递减.
（2）由 知 .
由 ， ， 知 中至多有一个为负数.
①当 均大于零时， ，
由 在 上单调递增，
得 ，
所以 ；
②当 中有一个为负数时，不妨假设 ，
则由 ，得 ，所以 .
历年自主招生试题分类汇编——概率统计
2.（2014年华约）乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率是 ,甲赢得比赛的概率是 ,求 为多少时, 取得最大值.
【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为 ;
若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为 ;
若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为 ,因此
当 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意，
所以满足要求的正整数最多有4个．
题6（2012年北约）在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，问最多能取多少个数？
解：将1，2，…，2012分成（1，2，3），（4，5，6，）…，（2008,2009,2010）,（2011,2012）这671组，如果所取数 ，则由抽屉原理必然有两个数属于同一组，不妨设为 ，则 或 。当 时，此时 整除 ，不合要求。当 时，此时， 与 同奇偶，所以 为偶数，从而 也能整除 ，也不合要求。∴ ，考察1,4,7，…，2011这671个数中的任两数 ，则 ，而 ，
（A）1（B） （C） （D）
9.（2014年卓越联盟）设 在 上可导,且对任意的 有
(1)证明: ;
(2)若 ,则 .
【解】(1)由题知 单调递增,利用拉格朗日中值定理可知:存在 ,
使得 ,于是
(2)若存在 ,则在 上 ,于是有
取 ,则 .但是由于 ,所以 ,矛盾.
同理在 时也可得矛盾.
结论成立.
2、（2013年卓越联盟）设函数 在 上存在导数 ，对任意的 有 ，且在 上 ．若 ，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
答案:B．
（2013年卓越联盟理）设 ，
⑴证明 ；
⑵若 ，证明： ．
答案:⑴（本小问6分）
设 ， ，则 ．
令 ， ，则 ．
当 时，由于 ，所以 ，因此 在 上单调递增．
因此， 无实数解
综上所述，对任意正整数n,当ｎ为偶数时 无解，当ｎ为奇数 有唯一解 。
再证 ，事实上，由 的严格单调性，只需验证 ，注意到
－ ＝ ，由上述归纳法证明过程中， ，所以
，
因此 ，综上所述，原命题得证。
证明二：记 我们对Ｎ使用数学归纳法证明加强命题，方程 在Ｎ为偶数的时候实数上恒大于零，在Ｎ为奇数的时候，在实数上严格单调递增并且可以取遍所有实数。
,
所以 , ;
设 , ,则 ,
即 ,
所以 ,
又因为 ,所以 ,故 ,
所以令 时,即 ,得 ;
又因为 ,所以取 ,
易知当 时, 时, ,
所以当 时, 有唯一极大值,也是最大值.
4.（2013年华约）7个红球,8个黑球,从中任取4个球.
(1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;
(2)求所取出球中黑球个数 的分布列及期望 ;
故只需证明 ,考虑函数 ,因为当 时 ,
所以 ,故 在 上递增,又 ,
所以 ,即 ,由归纳法知, 对任意正整数 成立.
注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.
(14)（2012年华约）记函数 证明：当 是偶数时，方程 没有实根；当 是奇数时，方程 有唯一的实根 ，且 。
证明一：
解答：显然 ,注意到
，
所以
=
因此，当p≥ 时，{ }递增，当P≥ 时，{ }递减。
14、（2011年华约）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率.
（I）求p1，p2，p3，p4；
(II)探究数列{pn}的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.
∴ 不整除 ，从而可知，最多能取671个数，满足要求。
评析：本题考查整除问题，而解答主要用到竞赛数学中的抽屉原则和剩余类，整除等简单的数论知识，体现出自主招生试题要求考生有一定的竞赛数学知识，并掌握数学竞赛的一些常用方法和技巧。
6.（2013年华约）已知 是互不相等的正整数, ,求 .
【解】本题等价于求使 为整数的正整数 ,由于 是互不相等的正整数,因此 ,不失一般性不妨设 ,则 ,于是 ,结合 为正整数,故 ,
用数学归纳法证明 有唯一解 且严格单调递增， 无实数解，显然n=1时，此时 有唯一解 ，且严格单调递增，而 无实数解，现在假设 有唯一解 且严格单调递增， 无实数解，于是注意到 时，对任意的0≤k≤n有x+2k+1≤0,
于是
，所以
又因为 所以由 严格递增知 有唯一根0 ，
对于 有 ，所以（—∞， ）上，递减，在（ ，+∞）上，递增，所以
解（I）显数 ， ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故 .
（II）共分三种情况：1）如果第 次出现反面，那么前 次不出现连续三次正面和前 次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 ；2）如果第 次出现正面，第 次出现反面，那么前 次不出现连续三次正面和前 次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 ；3）如果第 次出现正面，第 次出现正面，第 次出现反面.那么前 次不出现连续三次正面和前 次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是 .
（1）当N=1,2的时候，直接验证，结论显然成立。
（2）当N=K-1的时候结论成立，那么，N=K的时候：
K是偶数的时候， ，那么由归纳假设，我们知道存在一个 的根，使得在 的时候 ，在 的时候， >０，所以可以看出 在实数上的最小值应该在 处取到， ，也就是说 在实数上每个取值都大于零，因此结论成立。
3、（2011年华约）曲线 ，过点 的直线l与曲线相切，且 不是切点，则直线l的斜率为( )
解答：设切点为 ，则切线斜率为 ，切线方程为 ，将点 入代得：
，整理得 ，
，所以这条切线的斜率为 .
7．（2010年华约）设 ．过点 且平行于 轴的直线与曲线 的交点为 ，曲线 过点 的切线交 轴于点 ，则 的面积的最小值是（B）
【解】(1)当 时, ,所以 在 上递减,所以 .
(2)由 得 ,结合 ,及对任意 ,利用数学归纳法易得 对任意正整数 成立,由(1)知 ,即 ,
即 ,因为 ,所以 ,即 ,所以数列 递减,
下面证明 ,用数学归纳法证,设 ,则 ,
由(1)知当 时, ,即 ,故 在 递增,由归纳假设
得 ,要证明 只需证明 ,即 ,
解答：由 得 ，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍去）， 。
1．（2010年华约）设复数 ，其中 为实数，若 的实部为2，则 的虚部为（A）
（A） （B） （C） （D）
(4)（2011年卓越联盟）i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则 的最大值为(C)
(A) -1(B)2- (C) +1(D)2+
Ｋ是奇数时， ， ，那么由归纳假设，我们知道 恒成立，也就是说 严格单调递增，而 是一个奇数次最高项系数大于零的一个多项式，因此，可以知道当X趋近于—∞的时候， 也趋于—∞，当X趋于+∞的时候， 也趋于+∞，而 连续，因此我们证明了 在实数上严格单调递增并且可以取遍所有的实数（这点如果不用极限的符号书写法也可以将 分段说明，但写起来比较麻烦）