2018年浙江高考数学复习：仿真卷3含答案

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2018年浙江省高考全真模拟数学试卷

2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=；展开式中的常数项为．13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选C．2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设f（x）=x|x|=，由二次函数的单调性可得函数f（x）为增函数，则若a＞b，则f（a）＞f（b），即a|a|＞b|b|，反之也成立，即“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的充要条件，故选：C．5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．【解答】解：∵数列，∴a2==﹣3，同理可得：a3=，a4=，a5=2，…．=a n，a1a2a3a4=1．∴a n+4∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2．故选：C．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设CG=a，P（x，0，z），则，即z=．又B（2，2，0），G（0，2，a），∴=（2﹣x，2，﹣），=（﹣x，2，a（1﹣）），∴=（x﹣2）x+4+=0，显然x≠0且x≠2，∴a2=，∵x∈（0，2），∴2x﹣x2∈（0，1]，∴当2x﹣x2=1时，a2取得最小值12，∴a的最小值为2．故选D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣2x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在R上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣2x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤1．∴实数a的范围是（﹣∞，1]，故选：D．9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ξ服从二项分布，∴E（ξ）=5×=，∴E（﹣ξ）=﹣E（ξ）=﹣．故选D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：；∵f（x）在R上存在极值；∴f′（x）=0有两个不同实数根；∴；即，；∴；∴；∴与夹角的取值范围为．故选B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为7+．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左右两边都是棱长为1的正方体截去一个角，则该几何体的体积为；表面积为=．故答案为：；．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=6；展开式中的常数项为15．【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=64，解得n=6，则其通项公式为C6r x，令6﹣3r=0，解得r=2，则展开式中的常数项为C62=15故答案为：6，1513．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为×=．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为×=，故答案为：；．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：由约束条件作可行域如图联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．由ax+y≤4得y≤﹣ax+4要使ax+y≤4恒成立，则平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，若a=0，则不等式等价为y≤4，此时满足条件，若﹣a＞0，即a＜0，平面区域满足条件，若﹣a＜0，即a＞0时，要使平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+1≤4，得0＜a≤．综上a≤∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．﹣a n≤2n，a n+4﹣a n≥5×2n，【解答】解：对任意的n∈N*，满足a n+2﹣a n+2≤2n+2，∴a n+4﹣a n+2+a n+2﹣a n≤2n+2+2n=5×2n，∴5×2n≤a n+4﹣a n=5×2n，∴a n+4∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+...+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+ (2)+=5×+=，故答案为：17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≥．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=2x+1，f[f（x）]=4x+3，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，当a＞0时，f（x）≥=1﹣，f[f（x）]≥f（1﹣）=a（1﹣）2+2（1﹣）+1=a﹣+1，解a﹣+1≥0得：a≤，或a≥，故a≥，当a＜0时，f（x）≤=1﹣，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，综上可得：a≥故答案为：a≥三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．【解答】解：由，…（2分）（1）周期为T=π，…（3分）因为，…（4分）所以，∴函数的单减区间为；…（6分）（2）因为，所以；…（7分）所以，a2+b2﹣ab=3，…（9分）又因为sinB=2sinA，所以b=2a，…（10分）解得：a=1，b=2，∴a，b的值1，2．…（12分）19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【解答】（I）证明：连接AE，∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE是公共边，∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB，∵CE⊥BD，∴AE⊥BD，又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=E，∴BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，∴BD⊥AC．（2）解：过E作EF⊥AD于F，连接CF，∵平面ABD⊥平面BCD，CE⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，∴CE⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴CE⊥AD，又AD⊥EF，∴AD⊥平面CEF，∴∠CFE为二面角C﹣AD﹣B的平面角，∵AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，AE⊥BD，CE⊥BD，∴BE=1，AE=CE=，DE=，∴AD==，EF==，CF==，∴cos∠CFE==．∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a=2时，，∴，∴，f'（1）=0；∴函教f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）由题知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），，令f（x）=0，解得x1=1，x2=a﹣1，①当a＞2时，所以a﹣1＞1，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上f（x）＞0；在区间（1，a﹣1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）．②当a=2时，f'（x）＞=0恒成立，故函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．③当1＜a＜2时，a﹣1＜1，在区间（0，a﹣1），和（1，+∞）上f'（x）＞0；在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）④当a=1时，f'（x）=x﹣1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）⑤当0＜a＜1时，a﹣1＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1），综上，①a＞2时函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）；②a=2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；③当0＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）；④当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x1，y1）¡¢，B（x2，y2）由得：y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．∴x1+x2=4m2+2n，x1•x2=n2，∴由•=﹣4可得：x1•x2+y1•y2=n2﹣4n=﹣4．解得：n=2．∴l：x=my+2，∴直线l恒过定点（2，0）．（Ⅱ）∵直线l与曲线C1相切，M（1，0），显然n≥3，∴=2，整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①由（Ⅰ）及①可得：•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1•y2=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2=n2﹣4m2﹣2n+1﹣4n=n2﹣4m2﹣6n+1=4﹣4n∴•≤﹣8，即的取值范围是（﹣∞，﹣8]．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；（2）a n=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]=n+na n﹣1；（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．。

2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(三)理

18 年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（三）
本试题卷共 2 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
★祝考试顺利★
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
A．x | 1 x 1
B．x | 1 x 2
C．x | 0 x 2
D．x | 0 x 1
2．设复数 z 1 2i （是虚数单位），则在复平面内，复数 z2 对应的点的坐标为（）
A． 3, 4
B． 5, 4
C． 3, 2
D． 3, 4
3． 2 x2x 16 的展开式中 x4 的系数为（）
的体积的最大值为 4 ，则球 O 的表面积为__________． 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列an 是等差数列， a1 t 2 t ， a2 4 ， a3 t2 t ．（1）求数列an 的通项公式；
（2）若数列an 为递增数列，数列bn 满足 log2bn an ，求数列 an 1 bn 的前项和 Sn ．
A．-160
B．320
C．480
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
D．640 ）
A． 5 2
B． 4 2
C． 4 4
D． 5 4
5．过双曲线
x2 9
y2 16
1的右支上一点
P
，分别向圆 C1 ： x
52
y2
4 和圆C2 ： x
52
y2
r2
（ r 0 ）作切线，切点分别为 M ， N ，若 PM 2 PN 2 的最小值为 58 ，则 r （）欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，

2018年浙江省名校新高考研究联盟高考数学三模试卷

2018年浙江省名校新高考研究联盟高考数学三模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合P ={x|−5<x <5}，Q ={x||x −5|<3}，则P ∩Q = ( ) A.(2, 5) B.(−2, 5) C.(−5, 8) D.(−5, 2)2. 抛物线y =18x 2的焦点坐标为( ) A.(2, 0) B.(0, 2)C.(12, 0)D.(0, 12)3. 已知复数z =ai +21+i （ i 是虚数单位）．若z ⋅z =2，则实数a 的值为( ) A.2 B.0 C.1或2 D.0或24. 多项式(x 2+x)5的展开式中含x 7的项的系数为( ) A.1 B.5 C.10 D.205. 设a ，b 为实数，已知函数f(x)=acosx +bsinx ．则“b =0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知A ，B 为双曲线C 的左、右顶点，点M 在C 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120∘，则C 的离心率为( )A.√3+12B.√3C.√2+12D.√27. 设实数x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0,x −2y +3≥0,x ≥−1, 则z =|x|−y 的取值范围是( )A.[−32,3] B.[−1, 3]C.[−32,0]D.[−1, 0]8. 已知x ，y ∈R ，则(x +y)2+(x −2y )2的最小值为( ) A.2 B.3C.4D.19. 若x ∈(0,π2)，y ∈(0, π2)且sin2x =6tan(x −y)cos2x ，则x +y 的取值不可能是( ) A.π6B.π4C.2π3D.3π410. 在平面α内，已知AB ⊥BC ，过直线AB ，BC 分别作平面β，γ，使锐二面角α−AB −β为π3，锐二面角α−BC −γ为π3，则平面β与平面γ所成的锐二面角的余弦值为( )A.1 4B.√34C.12D.34二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．已知随机变量ξ的分布列为若a，b，c成等差数列，且E(ξ)=13，则b的值是________，D(ξ)的值是________．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a2，a5，a14成等比数列，{a n}的前n 项和为S n，b n=(−1)n S n．则a n=________，数列{b n}的前n项和T n=________．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若tanA=13，cosB=2√55，且最长边为1，则最短边长为________，△ABC的面积为________．现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有________种．已知|a→|=|b→|=1，向量c→满足|c→−(a→+b→)|=|a→−b→|，则|c→|的最大值为________．已知二次函数f(x)=x2+x−2，若函数g(x)=|f(x)|−f(x)−2mx−2m2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=sin(2ωx−π6)+2cos2ωx−1(ω>0)．(1)若ω=1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若函数f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为3π16，求函数f(x)在[0, π8]上的值域．已知△ABC中，AB=AC=√3，BC=2，以BC为轴将△ABC旋转60∘到△DBC，形成三棱锥D−ABC．(1)求证：BD⊥AC；(2)求直线BC与平面ACD所成角的余弦值．已知函数f(x)=alnx+√x>1)．(1)若f(x)在区间(1, +∞)上不单调，求实数a的取值范围；(2)当a=1时，证明：f(x)<x22−x+3．如图，以P(0, −1)为直角顶点的等腰直角△PMN内接于椭圆x2a2+y2=1(a>1)，设直线PM的斜率为k．(1)当k=−1时，求|MN|（用a表示）；(2)若这样的△PMN存在3个，求实数a的取值范围．已知数列{a n}满足0<a1<1，a n+1=a n−ln(1+a n)，n∈N∗．(1)证明：0<a n<1；证明：2a n+1<a n2；(3)若a1=12，记数列{a n}的前项和为S n，证明：S n<34．参考答案与试题解析2018年浙江省名校新高考研究联盟高考数学三模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求解绝对值的不等式化简B，再由交集运算得答案．【解答】解：∵P={x|−5<x<5}，Q={x||x−5|<3}={x|2<x<8}，∴P∩Q={x|−5<x<5}∩{x|2<x<8}=(2, 5)．故选A.2.【答案】B【考点】抛物线的求解抛物线的标准方程【解析】化简抛物线方程为标准方程，然后求解即可．【解答】解：抛物线y=18x2的标准方程为x2=8y，可得抛物线的焦点坐标(0, 2)．故选B.3.【答案】D【考点】共轭复数复数的模复数代数形式的混合运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z∗z=|z|2列式求解．【解答】解：∵z=ai+21+i =ai+2(1−i)(1+i)(1−i)=1+(a−1)i，又z⋅z=2，得|z|2=1+(a−1)2=2，解得a=0或a=2．故选D.4.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】写出二项展开式的通项，由x的指数为7求得r，则答案可求．【解答】解：二项式(x2+x)5的展开式的通项T r+1=C5r⋅(x2)5−r⋅x r=C5r⋅x10−r．由10−r=7，得r=3．∴二项式(x2+x)5的展开式中含x7的项的系数为C53=10．故选C.5.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断余弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性【解析】直接利用充分条件、必要条件的判定方法判断．【解答】解：由b=0，得f(x)=acosx+bsinx=acosx，函数为偶函数；由f(x)=acosx+bsinx为偶函数，可得f(−x)−f(x)=acosx−bsinx−acosx−bsinx=0恒成立，即−2bsinx=0恒成立，则b=0．∴ “b=0”是“f(x)为偶函数”的充要条件．故选C.6.【答案】D【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】根据△ABM是顶角为120∘的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，∠MBx=60∘，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：设双曲线的方程为：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，∵△ABM是顶角为120∘的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，∠MBx=60∘，∴点M的坐标为(2a, √3a)，又∵点M在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上，∴将M坐标代入双曲线方程可得4−3a2b2=1，整理上式得，a2=b2，而c2=a2+b2=2a2，∴e2=2，因此e=√2.故选D.7.【答案】A【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z= |x|−y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，即可得出z的取值范围．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件{2x−y≤0,x−2y+3≥0,x≥−1表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A(−1, −2)，B(0, 32)，O(0, 0)．设z=F(x, y)=|x|−y，将直线l:z=|x|−y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，当x≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，取得最值,∴z∈[0, 32]，当x<0时，直线是图形中的蓝色直线，经过A或B时取得最值，∴z∈[−32, 3]，综上所述，z∈[−32, 3]．故选A.8.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离两点间的距离公式【解析】把(x+y)2+(x−2y)2看成表示(x, x)与(−y, 2y)之间的距离的平方，相应的轨迹为直线y=x，和曲线y=−2x，求解出y=x的平行线且与曲线相切，即可求解．【解答】解：由题意，(x+y)2+(x−2y)2看成表示(x, x)与(−y, 2y)之间的距离的平方，相应的轨迹为直线y=x和曲线y=−2x，设与y=x平行的直线为y=x+b，联立{y=−2x,y=x+b,消去y，Δ=0，即b2−8=0，可得b=±2√2．那么两条直线之间的距离即为(x, x)与(−y, 2y)之间的距离，即d=√2|√1+1=2．那么(x+y)2+(x−2y)2的最小值为22=4．故选C.9.【答案】C【考点】两角和与差的正切公式基本不等式在最值问题中的应用【解析】设tan(x−y)=u，则tan2x=6tan(x−y)=6u，求得w=tan(x+y)=5u1+6u2，利用基本不等式可得|tan(x +y)|≤5√612<√3，结合x +y ∈(0, π)，可得x +y 的取值不可能为2π3．【解答】解：由sin2x =6tan(x −y)cos2x ，得tan2x =6tan(x −y)， ∵ x ∈(0,π2)，y ∈(0, π2)， ∴ 0<x +y <π．设tan(x −y)=u ，x −y ∈(−π2, π2)，则u 的值域是R ， ∵ tan2x =6tan(x −y)=6u ，∴ tan(x +y)=tan[2x −(x −y)]=tan2x−tan(x−y)1+tan2xtan(x−y) =6u−u 1+6u 2=5u1+6u 2，记为w =tan(x +y)=5u1+6u 2． ∵ |w|=5|u|1+6|u| =51|u|+6|u|≤2√6=5√612，当且仅当|u|=√66时，取等号． ∴ |tan(x +y)|≤5√612<√3，结合x +y ∈(0, π)，可得x +y 的取值不可能为2π3．故选C . 10.【答案】 A【考点】二面角的平面角及求法【解析】推导出平面β与平面γ所成的锐二面角θ的余弦值为：cosθ=cos π3×cos π3=14．【解答】解：∵ 在平面α内，AB ⊥BC ，过直线AB ，BC 分别作平面β，γ，使锐二面角α−AB −β为π3，锐二面角α−BC −γ为π3， ∴ 平面β与平面γ所成的锐二面角θ的余弦值为： cosθ=cos π3×cos π3=14．故选A .二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．【答案】13,59【考点】离散型随机变量的分布列及性质等差中项离散型随机变量的期望与方差【解析】利用等差数列以及随机变量ξ的期望，列出方程组即可求出b ，然后求解方差即可．【解答】解：由题意可得：{a +b +c =1,c −a =13,2b =a +c,解得b =13，c =12，a =16，所以D(ξ)=(−1−13)2×16+(0−13)2×13+(1−13)2×12=59．故答案为：13；59.【答案】83,2√3【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得几何体的体积以及最长的棱为PA ，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，几何体的体积为：13×2×2×2=83．在四棱锥P −ABCD 中，最长的棱为PA ，即PA =√22+22+22=2 √3. 故答案为：83；2√3.【答案】 2n −1,(−1)n ⋅n(n+1)2【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和等比数列的性质等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】根据{a n}是等差数列，a2，a5，a14成等比数列建立关系即可求解，{a n}的前n项和为S n和则a n，b n=(−1)n S n．可得通项b n．分组求解和即可求解{b n}的前n项和T n．当n为偶数时，T n=−S1+S2−S3+S4−⋯−S n−1+S n=−12+22−32+42−⋯−(n−1)2+n2=3+7+⋯+(2n−1)=n(n+1);2当n为大于1的奇数时，T n=−S1+S2−S3+S4−⋯+S n−1−S n=−12+22−32+42−⋯−(n−2)2+(n−1)2−n2=3+7+⋯+(2n−3)−n2=−n(n+1)，2.当n=1时，也符合上式.综上所述，T n=(−1)n n(n+1)2【解答】解：由题意，a1=1，{a n}是等差数列，a2，a5，a14成等比数列，可得：(1+d)(1+13d)=(1+4d)2，解得：d=2，那么a n=a1+(n−1)d=2n−1，S n=na1+n(n−1)×d=n2，2由b n=(−1)n S n=(−1)n⋅n2．当n为偶数时，T n=−S1+S2−S3+S4−⋯−S n−1+S n=−12+22−32+42−⋯−(n−1)2+n2=3+7+⋯+(2n−1)=n(n+1);2当n为大于1的奇数时，T n=−S1+S2−S3+S4−⋯+S n−1−S n=−12+22−32+42−⋯−(n−2)2+(n−1)2−n2=3+7+⋯+(2n−3)−n2=−n(n+1)，2.当n=1时，也符合上式.综上所述，T n=(−1)n n(n+1)2.故答案为：2n−1；(−1)n⋅n(n+1)2【答案】√5,【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】可得tan(B +A)=taanA+tanB1−tanA∗tanB =1，∴ tanC =−1即边BC 最小，边AB 最大，由正弦定理得BCsinA=AB sinC⇒AB =√55．可得△ABC 的面积为12AB ∗BCsinB =12×√55×1×√55=110．【解答】解：∵ cosB =2√55，∴ sinB =√55，tanB =12，∴ tan(B +A)=tanA+tanB1−tanA⋅tanB =1，∴ tanC =−1， ∴ A 最小，C 最大，即边BC 最小，边AB 最大，AB =1，又由tanA =13，易得sinA =√1010，tanC =−1，易得sinC =√22，∴ 由正弦定理得BC sinA =AB sinC⇒BC =√55．，△ABC 的面积为12AB ⋅BCsinB =12×1×√55×√55=110．故答案为：√55；110.【答案】 40【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，先排好7个空车位，注意空车位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3车插入6个空位中，注意甲必须在乙、丙两车之间，由倍分法分析可得答案．【解答】解：先排7个空车位，由于空车位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三车的顺序，将3辆车插入6个空位中，则共有1×A 63=120种情况，由于甲车在乙、丙两车之间，则有符合要求的坐法有13×120=40种. 故答案为：40.【答案】 2√2【考点】两向量的和或差的模的最值基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用向量的基本运算的几何意义，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：|c →|−|a →+b →|≤|c →−(a →+b →)|=|a →−b →|，即|c →|≤|a →+b →|+|a →−b →|，则|c →|2≤(|a →+b →|+|a →−b →|)2，≤(|a →+b →|2+|a →−b →|2+2|a →+b →||a →−b →|≤2|a →|2+2|b →|2+(|a →+b →|2+|a →−b →|2)=4|a →|2+4|b →|2=4+4=8，即|c →|≤√8=2√2．故答案为：2√2.【答案】(1−2√73, −1)∪(2, 1+2√73) 【考点】由函数零点求参数的取值范围函数与方程的综合运用二次函数的性质一元二次方程的根的分布与系数的关系分段函数的应用【解析】化简g(x)解析式，根据一次函数与二次函数的根的分布情况列不等式得出m 的范围．【解答】解：令f(x)=x 2+x −2≥0，解得x ≥1或x ≤−2， ∴ g(x)={−2mx −2m 2,x ≤−2或x ≥1;−2x 2−(2+2m)x −2m 2+4,−2<x <1.若函数g(x)有三个不同的零点，则2mx +2m 2=0在(−∞, −2]∪[1, +∞)上有一解，且−2x 2−(2+2m)x −2m 2+4=0在(−2, 1)上有两解．由2mx +2m 2=0在(−∞, −2]∪[1, +∞)上有一解，得−m ≤−2或−m ≥1，即m ≥2或m ≤−1．由−2x 2−(2+2m)x −2m 2+4=0在(−2, 1)上有两解，得{(2+2m)2−8(2m 2−4)>0,−2<−1+m 2<1,−8+2(2+m)−2m 2+4<0,−2−(2+2m)−2m 2+4<0, 解得{1−2√73<m <1+2√73,−3<m <3,m <0或m >2,m <−1或m >0, ，即1−2√73<m <−1或2<m <1+2√73．综上，m 的范围是(1−2√73, −1)∪(2, 1+2√73)．故答案为：(1−2√73, −1)∪(2, 1+2√73).三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)f(x)=sin(2ωx−π6)+2cos2ωx−1=√32sin2ωx−12cos2ωx+cos2ωx=√32sin2ωx+12cos2ωx=sin(2ωx+π6)．当ω=1时，f(x)=sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，可得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z．∴函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ, π6+kπ]，k∈Z；(2)由函数f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为3π16，得T=3π8，即可知ω=83，则f(x)=sin(163x+π6)，由x∈[0, π8]得，163x+π6∈[π6,5π6]，则f(x)∈[12,1]．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的对称性正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】（1）由已知利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合复合函数的单调性求得函数f(x)的单调增区间；（2）由已知求得周期，进一步求得ω，再由x的范围求得相位的范围，则函数f(x)在[0, π8]上的值域可求．【解答】解：(1)f(x)=sin(2ωx−π6)+2cos2ωx−1=√32sin2ωx−12cos2ωx+cos2ωx=√32sin2ωx+12cos2ωx=sin(2ωx+π6)．当ω=1时，f(x)=sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，可得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z．∴ 函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ, π6+kπ]，k ∈Z ； (2)由函数f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为3π16，得T =3π8，即可知ω=83，则f(x)=sin(163x +π6)，由x ∈[0, π8]得，163x +π6∈[π6,5π6]，则f(x)∈[12,1]．【答案】(1)证明：取BC 中点E ，AE 中点H ，CE 中点F ，∵ AB =AC ，∴ AE ⊥BC ，由翻折知DE ⊥BC ，∴ 二面角A −BC −D ，即∠AED =60∘，且BC ⊥面ADE ， ∴ 面ADE ⊥面ABC ，∵ DE =AE ，∠AED =60∘，∴ △ADE 为正三角形，∴ DH ⊥AE ， ∴ 面ADE ∩面ABC =AE ，∴ DH ⊥面ABC ，∴ DH ⊥AC ，由HE =√22，FE =12，BE =1，由HE 2=FE ⋅BE ，可知FH ⊥BH ，从而AC ⊥BH ，又有DH ⊥AC ，∴ AC ⊥面DHB ，∴ AC ⊥BD ； (2)取AD 的中点M ，连接MB ，MC ，过B 点作MC 边上的高，垂足为N ， ∵ AB =BD =√3，又AC =CD =√3，且M 为AD 中点，∴ BM ⊥AD ，CM ⊥AD ，∵ BM 交CM 于点M ，∴ AD ⊥面BMC ， ∵ BN ⊥MC ，且BN ⊂面BMC ，∴ BN ⊥AD ，∴ BN ⊥面ACD ， ∴ 直线BC 与平面ACD 所成角即∠BCM ，由可知△ADE 为正三角形，可知AD =√2，由题意得BM =CM =√102，BN =2√155， ∴ cos∠BCN =√105．∴ 直线BC 与平面ACD 所成角的余弦值为√105．【考点】直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定空间中直线与直线之间的位置关系【解析】（1）取BC 中点E ，AE 中点H ，CE 中点FAE ⊥BC ，DE ⊥BC ，则BC ⊥面ADE ，面ADE ⊥面ABC ，进而DH ⊥AE ，DH ⊥面ABC ，DH ⊥AC ，FH ⊥BH ，从而AC ⊥BH ，DH ⊥AC ，AC ⊥面DHB ，∴ AC ⊥BD ，（8分）（2）取AD 的中点M ，连接MB ，MC ，过B 点作MC 边上的高，垂足为N ，推导出BM ⊥AD ，CM ⊥AD ，AD ⊥面BMC ，BN ⊥AD ，从而BN ⊥面ACD ，直线BC 与平面ACD 所成角即∠BCM ，由此能求出直线BC 与平面ACD 所成角的余弦值．【解答】(1)证明：取BC 中点E ，AE 中点H ，CE 中点F ，∵ AB =AC ，∴ AE ⊥BC ，由翻折知DE ⊥BC ，∴ 二面角A −BC −D ，即∠AED =60∘，且BC ⊥面ADE ， ∴ 面ADE ⊥面ABC ，∵ DE =AE ，∠AED =60∘，∴ △ADE 为正三角形，∴ DH ⊥AE ， ∴ 面ADE ∩面ABC =AE ，∴ DH ⊥面ABC ，∴ DH ⊥AC ，由HE =√22，FE =12，BE =1，由HE 2=FE ⋅BE ，可知FH ⊥BH ，从而AC ⊥BH ，又有DH ⊥AC ，∴ AC ⊥面DHB ，∴ AC ⊥BD ； (2)取AD 的中点M ，连接MB ，MC ，过B 点作MC 边上的高，垂足为N ， ∵ AB =BD =√3，又AC =CD =√3，且M 为AD 中点，∴ BM ⊥AD ，CM ⊥AD ，∵ BM 交CM 于点M ，∴ AD ⊥面BMC ， ∵ BN ⊥MC ，且BN ⊂面BMC ，∴ BN ⊥AD ，∴ BN ⊥面ACD ， ∴ 直线BC 与平面ACD 所成角即∠BCM ，由可知△ADE 为正三角形，可知AD =√2，由题意得BM =CM =√102，BN =2√155， ∴ cos∠BCN =√105．∴ 直线BC 与平面ACD 所成角的余弦值为√105．【答案】(1)解：∵ f(x)=alnx x >1), ∴ f′(x)=ax −x√x=√x−1x √x，要使f(x)在区间(1, +∞)上不单调，则f′(x)=0在(1, +∞)上有解，即a =x 在(1, +∞)上有解，所以a 的取值范围是(0, 1)；(2)证明：当a =1时，证明：f(x)<x 22−x +3．即证当a =1时，g(x)=lnx xx 22+x −3<0，g ′(x)=√x−1x √x(x −1)=√x−1)(1−x 2√x)x √x，∵ x >1，∴ √x −1>0，1−x 2−x √x <0，g′(x)<0，则g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=−12<0．故f(x)<x 22−x +3．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）f′(x)=ax x√x=√x−1x √x，要使f(x)在区间(1, +∞)不单调，则f′(x)=0在(1, +∞)上有解，由此能求出a 的取值范围． (2)原式等价于证明当a =1时，g(x)=lnx √x−x 22+x −3<0，由g ′(x)=√x−1x √x(x −1)=√x−1)(1−x 2√x)x √x，利用导数性质能证明g(x)<g(1)=−12<0，由此能证明f(x)<x 22−x +3．【解答】(1)解：∵ f(x)=alnx √x >1), ∴ f′(x)=ax −x √x=√x−1x √x，要使f(x)在区间(1, +∞)上不单调，则f′(x)=0在(1, +∞)上有解，即a =√x 在(1, +∞)上有解，所以a 的取值范围是(0, 1)；(2)证明：当a =1时，证明：f(x)<x 22−x +3．即证当a =1时，g(x)=lnx xx 22+x −3<0，g ′(x)=√x−1x x(x −1)=√x−1)(1−x 2√x)x x，∵ x >1，∴ √x −1>0，1−x 2−x √x <0，g′(x)<0，则g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=−12<0．故f(x)<x 22−x +3．【答案】解：(1)当k =−1时，PM 所在直线方程为y =−x −1，代入椭圆方程x 2a 2+y 2=1，整理得(1+a 2)x 2+2a 2x =0，解得x 1=0，x 2=−2a 21+a 2．则|MN|=2|x 2|=4a 21+a 2；(2)联立PM:y =kx −1与椭圆方程得(1+k 2a 2)x 2−2ka 2x =0，解得 x 1=0，x 2=2a 2k 1+a 2k 2．所以|PM|=√1+k 2|x 1−x 2|=−2a2k√1+k 21+a 2k 2，因为三角形PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在直线方程为y =−1k x −1，k <0，同理可得|PN|=2a 2√1+k2k 2+a2，令|PM|=|PN|，整理得k 3+a 2k 2+a 2k +1=0，即(k +1)[k 2+(a 2−1)k +1]=0，若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2+(a 2−1)k +1有两个不等于−1的负根．则{Δ=(a 2−1)2−4>0,1−a 2<0,1−(a 2−1)+1≠0,解得：a >√3．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】（1）求出MN 的坐标，即可求出答案，（2）联立PM:y =kx −1与椭圆方程得(1+k 2a 2)x 2−2ka 2x =0，求出|PM|，|PN|，根据|PM|=|PN|，可得(k +1)[k 2+(a 2−1)k +1]=0，若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2+(a 2−1)k +1有两个不等于−1的负根．即可求出a 的范围．【解答】解：(1)当k =−1时，PM 所在直线方程为y =−x −1，代入椭圆方程x 2a 2+y 2=1，整理得(1+a 2)x 2+2a 2x =0，解得x 1=0，x 2=−2a 21+a 2．则|MN|=2|x 2|=4a 21+a 2；(2)联立PM:y =kx −1与椭圆方程得(1+k 2a 2)x 2−2ka 2x =0，解得 x 1=0，x 2=2a 2k 1+a 2k 2．所以|PM|=√1+k 2|x 1−x 2|=−2a2k√1+k 21+a 2k 2，因为三角形PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在直线方程为y =−1k x −1，k <0，同理可得|PN|=2a 2√1+k2k 2+a 2，令|PM|=|PN|，整理得k 3+a 2k 2+a 2k +1=0，即(k +1)[k 2+(a 2−1)k +1]=0，若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2+(a 2−1)k +1有两个不等于−1的负根．则{Δ=(a 2−1)2−4>0,1−a 2<0,1−(a 2−1)+1≠0,解得：a >√3．【答案】(1)证明：易知ln(1+x)<x 在x ∈(0, 1)内恒成立(可利用求导来证明)，再用数学归纳法证明0<a n <1，①因为0<a 1<1，所以0<ln(1+a 1)<a 1，由a 2=a 1−ln(1+a 1)，知0<a 2<1； ②假设当n =k 时，0<a k <1 (k ∈N ∗)，则当n =k +1时，因为0<a k <1，所以0<ln(1+a k )<a k ，由a k+1=a k −ln(1+a k )，k ∈N ∗，得0<a k+1<1，综上由①②知0<a n <1对一切n ∈N ∗恒成立；(2)要证2a n+1<a n 2，即证a n 2+2ln(1+a n )−2a n >0，其中0<a n+1<a n <1，令f(x)=x 2+2ln(1+x)−2x(0<x <1)，则f′(x)=2x +21+x−2=2x 21+x >0，即f(x)在(0, 1)上递增，从而f(a n )>f(0)=0，即a n 2+2ln(1+a n )−2a n >0，得证； (3)由(1)(2)知，a n <12a n−12<12(12a n−22)2 <123(12a n−32)22=127a n−323<122n −1a 12n−1，∵ n ≥2，∴ 2n−1≥2 ，又∵ 0<a 1<1，∴ a 12n−1≤a 12=14，∴ a n <122n −1⋅14=122n +1，由2n−1≥n(n ≥2)可得a n <12，从而S n <12+(123+124+⋯+12n+1) =12+14(1−12n−1)<12+14=34．又n =1时，S 1也满足，所以S n <34．【考点】数列与不等式的综合数列的求和数列递推式用数学归纳法证明不等式数学归纳法利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先证明ln(1+x)<x 在x ∈(0, 1)内恒成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明：0<a n <1；（2）要证2a a+1<a n 2，即证a n 2+2ln(1+a n )−2a n >0，其中0<a n+1<a n <1，构造函数，利用导函数的符号判断函数的单调性，证明即可．（3）利用放缩法证明a n<12n+1，然后利用数列求和，证明求解即可．【解答】(1)证明：易知ln(1+x)<x在x∈(0, 1)内恒成立(可利用求导来证明)，再用数学归纳法证明0<a n<1，①因为0<a1<1，所以0<ln(1+a1)<a1，由a2=a1−ln(1+a1)，知0<a2<1；②假设当n=k时，0<a k<1 (k∈N∗)，则当n=k+1时，因为0<a k<1，所以0<ln(1+a k)<a k，由a k+1=a k−ln(1+a k)，k∈N∗，得0<a k+1<1，综上由①②知0<a n<1对一切n∈N∗恒成立；(2)要证2a n+1<a n2，即证a n2+2ln(1+a n)−2a n>0，其中0<a n+1<a n<1，令f(x)=x2+2ln(1+x)−2x(0<x<1)，则f′(x)=2x+21+x −2=2x21+x>0，即f(x)在(0, 1)上递增，从而f(a n)>f(0)=0，即a n2+2ln(1+a n)−2a n>0，得证；(3)由(1)(2)知，a n<12a n−12<12(12a n−22)2<123(12a n−32)22=127a n−323<122n−1a12n−1，∵n≥2，∴2n−1≥2，又∵0<a1<1，∴a12n−1≤a12=14，∴a n<122n−1⋅14=122n+1，由2n−1≥n(n≥2)可得a n<12n+1，从而S n<12+(123+124+⋯+12n+1)=12+14(1−12n−1)<12+14=34．又n=1时，S1也满足，所以S n<34．。

【高三数学试题精选】2018届高考数学模拟试题(浙江省附答案和解释)

2018届高考数学模拟试题（浙江省附答案和解释）
5 c 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，，则（）
A． B． c． D．
【答案】B
【解析】
试题分析由题意得，，，∴ ，故选B
考点集合的运算
2已知复数，其中为虚数单位，则（）
A． B． c． D．2
【答案】c
【解析】
试题分析由题意得，，∴ ，故选c
考点复数的运算
3“直线与平面内的两条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（）
A．充分不必要条 B．必要不充分条 c．充分必要条 D．既不充分也不必要条
【答案】B
考点1线面垂直的判定；2充分必要条
4已知直线是曲线的切线，则实数（）
A． B． c． D．
【答案】c
考点导数的运用
5 函数的图象可能是（）
A B c D。

2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·乌鲁木齐质检]若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x << D ．{}|01x x <<【答案】D【解析】根据集合的交集的概念得到{} |01A B x x =<<，故答案为：D ． 2．[2018·海南期末]设复数12i z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（）班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,4【答案】A【解析】()2212i 12i 144i 34i z z =+⇒=+=-+=-+，所以复数2z 对应的点为()3,4-，故选A ．3．[2018·赣州期末]()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（） A ．-160 B ．320 C ．480 D ．640【答案】B【解析】()()6622121x x x +-+，展开通项()666166C 21C 2kk k kk k k T x x ---+==⨯⨯，所以2k =时，2462C 2480⨯⨯=；3k =时，336C 2160⨯=，所以4x 的系数为480160320-=，故选B ．4．[2018·晋城一模]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为1个圆柱和14个球的组合体，其表面积为C ． 5．[2018·滁州期末]过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】设1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，所以()22222124PM PN PF PF r -=---()()()22121212464PF PF PFPF r PF PF r =-++-=++-，显然其最小值为()26254r ⨯⨯+-58=，r =B ．6．[2018·天津期末]其图象的一条对称轴在()f x 的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()1,2D ．[)1,2【答案】C【解析】k ∈Z k ∈Z ，k ∈Z ，∴3162k k ω+<<+，k ∈Z ．又()f x 的最小正周期大于π，∴02ω<<． ∴ω的取值范围为()1,2．选C ．7．[2018·渭南质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（）A B C D 【答案】C【解析】函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=-()0,B ∈π，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦C ．8．[2018·荆州中学]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）（参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．48【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 60S == 不满足条件 3.10S ≥，12n =，6sin 303S =⨯=；不满足条件 3.10S ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯=⨯=；满足条件 3.10S ≥，退出循环，输出n 的值为24．故选C ． 9．[2018·昌平期末]设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】作图cos y x =，2y x =，y x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2cos x x <cos x x <A ．10．[2018·济南期末]欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）A B C ．19D 【答案】B【解析】如图所示，1S =正，23924S π⎛⎫=π= ⎪⎝⎭圆B ．11．[2018·闽侯六中]已知()cos23,cos67AB =，()2cos68,2cos22BC =，则ABC △的面积为（）A ．2BC ．1D 【答案】D【解析】根据题意,()cos23,cos67AB =,则()cos23,sin23BA =-︒︒,有|AB |=1，由于,()2cos68,2cos22BC =︒︒()=2cos68,sin 68，则|BC |=2，则()2cos 23cos 68sin 23sin 682cos 452BA BC ⋅=-⋅+⋅=-⨯=-，可得：cos 2BA BC B BA BC⋅∠==-，则135B ∠=，则11sin 122222ABC S BA BC B =∠=⨯⨯⨯=△，故选：D ． 12．[2018·晋城一模]已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数x 均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（） A ．(),e -∞ B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】()'g x =()g x ∴在R 上是增函数，又()1e y f x =+-是奇函数，()1e f ∴=，()11g ∴=，原不等式为()()1g x g >，∴解集为()1,+∞，故选D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年高考数学浙江卷含答案

数学试卷第1页（共14页）数学试卷第2页（共14页）绝密★启用前浙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+.若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =.若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=….台体的体积公式：121()3V S S h =，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：24S R =π，其中R 表示球的半径.球的体积公式：34π3V R =，其中R 表示球的半径.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,5{}4,U =，3{}1,A =，则=U A ð（）A .∅B .{1,3}C .{2,4,5}D .1,2,3{,4,5}2.双曲线221 3=x y -的焦点坐标是（）A.(，B .(2,0)-，(2,0)C.(0,，D .(0,2)-，(0,2)3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A .2B .4C .6D .84.复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是（）A .1i +B .1i-C .1i -+D .1i--5.函数||sin22x x y =的图象可能是（）ABCD6.已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n a ⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共14页）数学试卷第4页（共14页）C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ012P12p-122p则当p 在(0,1)）内增大时，（）A .D ξ（）减小B .D ξ（）增大C .D ξ（）先减小后增大D .D ξ（）先增大后减小8.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（）A .123θθθ≤≤B .321θθθ≤≤C .132θθθ≤≤D .231θθθ≤≤9.已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是（）A1-B 1+C .2D .210.已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >，则（）A .13a a <，24a a <B .13a a >，24a a <C .13a a <，24a a >D .13a a >，24a a >非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2018年浙江高考数学二轮复习练习仿真卷3 Word版含答案

年浙江高考仿真卷(三)(对应学生用书第页)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共分，考试时间分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．定义集合＝{()＝}，＝{＝(＋)}，则∩∁＝( )．[]．(，＋∞)．[) ．[)[由－≥得≥，即＝[，＋∞)，由于>，所以＋>，所以(＋)>，即＝(，＋∞)，所以∩∁＝[]，故选.]．△的三个内角，，的对边分别是，，，则“＋<”是“△为钝角三角形”的( ) ．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件[＋<⇒为钝角⇒△为钝角三角形；若△为钝角三角形，则当为钝角时，有＋<，不能推出＋<，故选.]．已知复数的实部与虚部互为相反数，那么实数等于( )．．－．－[＝＝＝－，由题设可得＋＝，解得＝－，故选.]．在棱长为的正方体中，下列命题不正确的是( )图．平面∥平面，且两平面间的距离为．点在线段上运动，则四面体的体积不变．与条棱都相切的球的体积为π．是正方体的内切球的球面上任意一点，是△外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是[平面与平面都垂直于，且将三等分，故正确；由于∥平面，所以动点到平面的距离是定值，所以四面体的体积不变，故正确；与条棱都相切的球即为以正方体的中心为球心，为半径的球，所以体积为π，故正确；对于选项，设内切球的球心为，则≥－＝－，当且仅当，，三点共线时取“＝”，而－>－，故错误．]．设函数()＝(\\( ，∈[，π]，，π，π]，))若函数()＝()－在[π]内恰有个不同的零点，则实数的取值范围是( )．[]．()．()．(] [函数()＝()－在[π]内有个不同的零点，即曲线＝()与直线＝在[π]上有个不同的交点，画出图象如图所示，结合图象可得出<<.]．已知，是双曲线－＝(>，>)的左，右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，过点向轴作垂线，垂足为，若＝，则双曲线的离心率为( )[由题意可得点的坐标为(，)，又在双曲线上，故有－＝，即＝，所以＝，即－－＝，所以－－＝，解得＝(负值舍去)．]．已知＋＝，β＝(α＋β)，则(α＋β)＝( )．－．－．－[由＋＝得(α)－(α))＝，所以α＝.①由β＝(α＋β)得[(α＋β)－α]＝[(α＋β)＋α]，展开并整理得，(α＋β) α＝－(α＋β) α，所以(α＋β)＝－α，②由①②得(α＋β)＝－.]．已知()＝－－，设有个不同的数(＝，…，)满足≤<<…<≤，则满足()－()＋()－()＋…＋(－)－()≤的的最小值是( )。

浙江普通高中2018-2019学年度高三数学学考模拟卷与参考答案

浙江省普通高中数学学考模拟试卷（二） 2018-10 班级：姓名：考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。

2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。

4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。

选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{3,2,1,0}P =---，{|22}Q x x =∈-<<N ，那么集合P Q U 中元素的个数是A ．2B ．3C ．4D ．52．已知向量a )1,1(-=，b =)2,3(-，则g a b =A ．5B ．5-C ．2-D ．23．若π),2π(∈α，54)sin(π=-α，则=αcos A ．53 B ．53- C ．54- D ．51 4．=-2)1001lg( A ．4-B ．4C ．10D ．10- 5．下列函数中，最小正周期为2π的是 A ．x y sin 2018= B ．x y 2018sin = C ．x y 2cos -= D ．)4π4sin(+=x y6．函数x x x f x 242)(-+=的定义域为 A ．]2,2[- B ．]2,0()0,2[Y - C ．),2[]2,(+∞--∞Y D ．)2,0()0,2(Y -7．直线x y =与直线02=+-y x 的距离为A ．2B ．23C ．2D ．22 8．设4log 9a =，13log 2b =，41()2c -=，则a 、b 、c 的大小关系为A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，1cos sin 2A B ==，3b =，ABC △的面积为A ．4B ．332C ．2D ．3 10．实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧<>+>+-2002x y x y x ，则整点),(y x 的个数为A ．2B ．3C ．4D ．511．函数2||2()ex x f x -=的图象大致是 A ． B ．C ． D ．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为A ．83B ．8C ．163D ．1613．已知动直线l 过点)2,2(-A ，若圆04:22=-+y y x C 上的点到直线l 的距离最大．则直线l 在y 轴上的截距是A ．2B ．21- C ．3- D ．314．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n n a a +=，则20S =A ．1024B ．1086C ．2048D ．306915．已知ABC Rt ∆的斜边AB 的长为4，设P 是以C 为圆心1为半径的圆上的任意一点，则⋅的取值范围是（） A. ]25,23[- B. ]25,25[- C. ]5,3[- D. ]321,321[+- 16．已知0>x 、0>y ，且211x y +=，若m m y x 822+>+恒成立，则实数m 的取值范围为A ．)91(，-B ．)1,9(-C ．]1,9[-D ．),9()1(+∞--∞Y17．已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°，平面β截该球面得圆N ，若该球的表面积为64π，圆M 的面积为4π，则圆N 的半径为A ．2B ．4CD 18．已知1F 、2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MF x ⊥轴，且14MN NF =-u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率为A ．13B ．12CD 非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．数列}{n a 是各项为正且单调递增的等比数列，前n 项和为n S ，335a 是2a 与4a 的等差中项，4845=S ，则公比=q ；=3a ．20．设函数|||1|)(m x x x f ---=．若2=m ，不等式1)(≥x f 的解集为．21．已知双曲线2214y x -=，过右焦点2F 作倾斜角为4π的直线l 与双曲线的右支交于M 、N两点，线段MN 的中点为P ，若||OP =P 点的纵坐标为．22．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PC AB ⊥，若三棱锥P ABC -外接球的半径是3，ABC ABP ACP S S S S =++△△△，则S 的最大值是．三、解答题（本大题共3小题，共31分.写出必要的解答步骤）23．（本小题满分10分）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．2cos sin 0A A A -=，求角A 的大小；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若向量m )sin ,1(C =与向量n )sin ,2(B =共线，且3=a ，求ABC △的周长．24．（本小题满分10分）已知点C 的坐标为()1 0，，A ，B 是抛物线2y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ．（Ⅰ）求抛物线的焦点坐标、准线方程；（Ⅱ）求证：点 A C B ，，共线；（Ⅲ）若()AQ QB λλ=∈R u u u r u u u r ，当0OQ AB ⋅=u u u r u u u r 时，求动点Q 的轨迹方程．25．（本小题满分11分）已知函数()f x 对12,x x ∀∈R 且12x x <有1221()()0f x f x x x ->-恒成立，函数(2017)f x -的图象关于点(2017,0)成中心对称图形．（1）判断函数()f x 在R 上的单调性、奇偶性，并说明理由；（2）解不等式2(1)02x f x +<-；（3）已知函数()f x 是ln y x =，1y x x =+，4y x =-中的某一个，令()22x x a g x =+，求函数()(())F x g f x =在(,2]-∞上的最小值．参考答案：25、（2）由（1）知函数()f x是R上的奇函数，所以(0)0f=，所以不等式2(1)02xfx+<-等价于2(1)(0)2xf fx+<-，又因为()f x是R上的减函数，所以2102xx+>-，整理得(2)(2)(1)0x x x-+->，解得21x-<<或2x>，所以不等式2(1)02xfx+<-的解集为(2,1)(2,)-+∞U．（6分）。

2018年杭州市高级中学高考仿真测试数学试题卷(word含答案)参考答案

yz2018高考仿真测试参考答案1-5：CDABD 6-10：CDABB 11.5,2- 12.5,1-13.625144,914.31,3215.13+ 16.1 17.0 18. 解析：（Ⅰ）1()sin(2)26f x x π=-+，则函数()f x 的最小正周期为π，最大值为32；（7分）（Ⅱ）[0,],x π∈则132[,]666x πππ+∈，所以1222366x x πππ+++=，因此，所有根的和为43π.（7分）19. 解析：(1)连结AC ，交BD于O ，连EO ，则//EO PA ，PA ⊄面BDE ，EO ⊂面BDE 所以，//PA 面BDE .(6分)（Ⅱ）法1 取AB 的中点F ，连,PF FC ，作PH CF ⊥则由AC CB =，得,AB PF AB FC ⊥⊥，则AB ⊥面PFC ，,AB PH PH ⊥⊥面ABC ，在PAB ∆中，PA PB ==PF =PH =由P BDC C PBD V V --=，得点C 到面PBD ，则到面PBD ，在PBC ∆中，得到221=EB ，设直线BE 与面PBD 所成的角的sin θ=（9分）法 2 由1PA PC PD ⎧=⎪=⎨⎪=⎩得3(,2P -，5(,)4126E --，则5(,4126BE =-- ，求得面PBD 的一个法向量，设直线BE与面PBD 所成的角的正弦值.为θ，sin θ=20. 解:（Ⅰ）xx x x ee e e xf +--=-+=1221)(/,∴0)(/<x f ,∴)(x f 单调递减区间是()+∞∞-,，无单调递增区间.（6分）（Ⅱ）xxe x e x F +-+=2)1ln()(,∴xx xx x ee e e e x F +-=++--=1212)(2/， ∴当)2ln ,(-∞∈x 时，0)(/<x F ，)(x F 单调递减，当),2(ln +∞∈x 时，0)(/>x F ，)(x F 单调递增，∴22221ln22ln 2)21ln()2(ln )(min >++=+-+===F x F M . （9分）21. 解答：（Ⅰ）已知点(21)P ，在椭圆C 上，所以得出8m = 过点(21)P ，的椭圆的切线方程为：142x y+=即：240x y +-= （5分）另解：椭圆方程22182x y +=与直线:l 1=+by ax 联立可得： ()22248480b x ax b +-+-=，此方程有且只有一解2x =，所以11,42a b ==,从而的直线l 的方程为：240x y +-=（Ⅱ）由椭圆:C 2212x y m +=与直线:l 1=+by ax 方程联立可得： 022)2(2222=-+-+m b m amx x m a b由=0D 可得：2212b a m-=，由有20a ³可知，2102b ＃原点O 到直线:l 1=+by ax的距离d ， 122AF BF d +=线段12F F 在直线:l 1=+by ax上的投影长1AB F F ==所以四边形12F ABF的面积为22bS a b ?+把2212b a m-=代入可得：()12mS m b b?-+令()()12(02f x m x x x =-+<?，由函数的单调性可知：（ⅰ）当4m ³时，12F ABF 的面积S 的最大值为m（ⅱ）当24m <<时，12F ABF 的面积S的最大值为（10分）22.解析：（Ⅰ）（1） nn n n a a a a 11-=-+ ∴01>-+n n a a ，∴n n a a >+1 ∴()()nn n n n n n a a a a a a a 11212121-+=--=-+ ∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=+=--+25,21212111n n n n n a a a a a∴()()1111251121--⎪⎭⎫⎝⎛-≤-<⋅-n n n a a a∴1)25(1211+≤<+--n n n a （5分）（2） ()()nn n n a a a a 11211-+=-+∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+=-+1211131112111n n n n nn a a a a a a ∴12111131++-=-+n n n a a a ∴11111211211---=+--=++n n n n n a a a a b ∴1111111111--=---=++n n n a a a S 由(1)知1)25(121+≤<++nn n a ∴1)21(1<<-n nS （5分）（Ⅱ） nn n n a a a a 11-=-+，显然0>a ， ①若11>=a a ，则01>-+n n a a ，∴n n a a >+1，∴0>n a ； ②若11==a a ，则{}n a 为常数列，∴0>n a ； ③若11<=a a ，则01<-+n n a a ，∴1<<a a n ，又nn n a a a 12111+=--+，若00>n a ，则2120>+n a ，则2111>--+n n a a ， ∴002)1(1n n n n a a -⋅->-， ∴02)1(100<⋅--<-n n n n a a ，∴00112n n n a ->-，即011log 20n a n n -+>时，0<n a ，不合题意综上可知：1≥a （5分）。

2018年高三最新高考仿真试题(三)试卷及答案精品

试卷类型：A2018年高考数学仿真试题(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式(1+x )(1-|x |)＞0的解集是A.{x |-1＜x ＜1｝B.{x |x ＜1｝C.{x |x ＜-1或x ＞1＝D.{x |x ＜1且x ≠-1＝2.对一切实数x ，不等式x 2+a |x |+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 A.（-∞，-2） B.［-2，+∞) C.［-2，2］ D.［0，+∞)3.设O 为矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为旋转轴，旋转这个矩形所得体积为V ，其中以OA 为母线的圆锥体积为4V，则以OB 为母线的圆锥的体积等于A.12V B. 9VC. 15VD. 4V4.设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞，0）上递增，则f (a +1)与f (b +2)的大小关系是A.f (a +1)=f (b +2)B.f (a +1)＞f (b +2)C.f (a +1)＜f (b +2)D.不确定5.复数z 1、z 2在复平面上对应点分别是A 、B ，O 为坐标原点，若z 1=2(cos60°+i sin 60°)z 2，|z 2|=2，则△AOB 的面积为A.43B.23C.3D.26.如果二项式（xx 23-）n的展开式中第8项是含3x 的项，则自然数n 的值为 A.27 B.28 C.29 D.30 7.A 、B 、C 、D 、E ，5个人站成一排，A 与B 不相邻且A 不在两端的概率为 A.103B.53 C.101D.以上全不对8.把函数y =cos x -3sin x 的图象向左平移m 个单位（m ＞0）所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A.6π B.3π C.32π D.65π 9.已知抛物线C 1：y =2x 2与抛物线C 2关于直线y =-x 对称，则C 2的准线方程是 A.x =-81 B.x =21 C.x =81 D.x =-21 10.6人一个小组，其甲为组长，乙为副组长，从6人中任选4人排成一排，若当正、副组长都入选时，组长必须排在副组长的左边（可以不相邻），则所有不同排法种数是A.288B.276C.252D.7211.如图△ABD ≌△CBD ，则△ABD 为等腰三角形，∠BAD =∠BCD =90°，且面ABD ⊥面BCD ，则下列4个结论中，正确结论的序号是①AC ⊥BD ②△ACD 是等边三角形 ③AB 与面BCD 成60°角 ④AB 与CD 成60°角A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④12.台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.在△ABC 中，3cos(B +C )+cos(2π+A )的取值范围是 . 14.函数f (x )= 13+-x ax (x ≠-1)，若它的反函数是f -1(x )= xx -+13,则a = .15.S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 5=2，a n -4=30(n ≥5,n ∈N )，S n =336,则n 的值是 .16.给出四个命题：①两条异面直线m 、n ，若m ∥平面α，则n ∥平面α ②若平面α∥平面β，直线m ⊂α，则m ∥β ③平面α⊥平面β，α∩β=m ，若直线m ⊥直线n ，n ⊂β，则n ⊥α ④直线n ⊂平面α，直线m ⊂平面β，若n ∥β，m ∥α，则α∥β，其中正确的命题是 .三、解答题（本大题共6小题，共74 17.（本小题满分12分）解关于x 的方程：log a (x 2-x -2)=log a (x -a2)+1(a ＞0且a ≠1). 18.（本小题满分12分）已知等差数列{a n }中，a 2=8，S 10=185. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ;（Ⅱ）若从数列{a n }中依次取出第2，4，8， (2)，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，试求{b n }的前n 项和A n .19.（本小题满分12分）在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠B =90°，D 为AC 中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，二面角A —BD —C 大小记为θ.（Ⅰ）求证：面AEF ⊥面BCD ；（Ⅱ）θ为何值时，AB ⊥CD . 20.（本小题满分12分）某公司取消福利分房和公费医疗，实行年薪制工资结构改革，该公司从2000年起每人的工资由三个项目并按下表规定实施如果公司现有5名职工，计划从明年起每年新招5（Ⅰ）若今年（2000年）算第一年，试把第n 年该公司付给职工工资总额y (万元)表示成年限n 的函数；（Ⅱ）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工资总额的20%？ 21.（本小题满分12分）设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=23x -4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y =2x +1与双曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |；（Ⅲ）对于直线y =kx +1,是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A 、B 关于直线y =ax (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞b ＞c )的图象上有两点A （m ，f (m 1)）、B (m 2，f (m 2))，满足f (1)=0且a 2+(f (m 1)+f (m 2))·a +f (m 1)·f (m 2)=0.（Ⅰ）求证：b ≥0；（Ⅱ）求证：f (x )的图象被x 轴所截得的线段长的取值范围是［2，3)；（Ⅲ）问能否得出f (m 1+3)、f (m 2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论.2018年高考数学仿真试题(三)答案一、1.D 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C9.C 10.A 11.B 12.B二、13.［-2,3］ 14. 1 15. 21 16.②③ 三、17.解：原方程可化为log a (x 2-x -2)=log a (ax -2)2分 ⎩⎨⎧-=---⇔22022ax x x ax 4分由②得x =a +1或x =0,当x =0时，原方程无意义，舍去.8分当x =a +1由①得1022 a a a a ⇒⎩⎨⎧-+10分 ∴a ＞1时，原方程的解为x =a +112分18.解：(Ⅰ)设{a n }首项为a 1,公差为d ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1852)92(10811d a d a ,解得⎩⎨⎧==351d a∴a n =5+3(n -1),即a n =3n +26分（Ⅱ）设b 1=a 2,b 2=a 4,b 3=a 8, 则b n =a 2n =3×2n +2∴A n =(3×2+2)+(3×22+2)+…+(3×2n +2) =3×(2+22+…+2n )+2n=3×12)12(2--n +2n=6×2n -6+2n12分① ②19.（Ⅰ）证明：在Rt △ABC 中，∠C =30°，D 为AC 的中点，则△ABD 是等边三角形又E 是BD 的中点，∵BD ⊥AE ，BD ⊥EF ，折起后，AE ∩EF =E ，∴BD ⊥面AEF ∵BD ⊂面BCD ，∴面AEF ⊥面BCD 6分（Ⅱ）解：过A 作AP ⊥面BCD 于P ，则P 在FE 的延长线上，设BP 与CD 相交于Q ，令AB =1，则△ABD 是边长为1的等边三角形，若AB ⊥CD ，则BQ ⊥CD 6331==⇒AE PE ,又AE =23∴折后有cos AEP =31=AE PE 由于∠AEF =θ就是二面角A —BD —C 的平面角， ∴当θ＝π-arccos31时，AB ⊥CD12分20.解：（Ⅰ）第n 年共有5n 个职工，那么基础工资总额为5n (1+101)n（万元）医疗费总额为5n ×0.16万元，房屋补贴为5×0.18+5×0.18×2+5×0.18×3+…+5×0.18×n =0.1×n (n +1)（万元）2分∴y =5n (1+101)n+0.1×n (n +1)+0.8n =n ［5(1+101)n+0.1(n +1)+0.8］（万元）6分（Ⅱ）5(1+101)n×20%-［0.1(n +1)+0.8］=(1+101)n -101(n +9)=101［10(1+101)n -(n +9)］ ∵10(1+101)n =10(1+C n 1C n 1101+C n 21001+…)＞10(1+10n)＞10+n ＞n +9故房屋补贴和医疗费总和不会超过基础工资总额的20% 12分21.解：（Ⅰ）由抛物线y 2=23x -4,即y 2=23 (x -32),可知抛物线顶点为（32,0）,准线方程为x =63.在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x =63,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2-y 2=14分（Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y ∴|AB |=2108分（Ⅲ）假设存在实数k ,使A 、B 关于直线y =ax 对称，设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a (x 1+x 2)=k (x 1+x 2)+2 ⑤ 由④知：x 1+x 2=232kk-代入⑤ 整理得ak =3与①矛盾，故不存在实数k ，使A 、B 关于直线y =ax 对称. 12分 22.（Ⅰ）证明：因f (m 1),f (m 2)满足a 2+［f (m 1)+f (m 2)］a +f (m 1)f (m 2)=0 即［a +f (m 1)］［a +f (m 2)］=0 ∴f (m 1)=-a 或f (m 2)=-a ,∴m 1或m 2是f (x )=-a 的一个实根， ∴Δ≥0即b 2≥4a (a +c ). ∵f (1)=0,∴a +b +c =0 且a ＞b ＞c ,∴a ＞0,c ＜0, ∴3a -c ＞0,∴b ≥0 5分 (Ⅱ)证明：设f (x )=ax 2+bx +c =0两根为x 1,x 2,则一个根为1，另一根为ac, 又∵a ＞0,c ＜0， ∴ac＜0, ∵a ＞b ＞c 且b =-a -c ≥0, ∴a ＞-a -c ＞c ,∴-2＜ac≤-1 2≤|x 1-x 2|＜310分（Ⅲ）解：设f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)=a (x -1)(x -ac ) 由已知f (m 1)=-a 或f (m 2)=-a 不妨设f (m 1)=-a 则a (m 1-1)(m 1-ac)=-a ＜0, ∴ac＜m 1＜1 ∴m 1+3＞ac+3＞1②③∴f(m1+3)＞f(1)＞0∴f(m1+3)＞0 12分同理当f(m2)=-a时，有f(m2+3)＞0,∴f(m2+3)或f(m1+3)中至少有一个为正数14分。

数学-浙江省2018届高考仿真测试试题

浙江省2018届高考仿真测试数学试题如果事件A , B 互斥, 那么棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那 V =31Sh 么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高次的概率P n (k )=C k n p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR 2 )2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,V =34πR 3h 表示棱台的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}03P x |x =∈≤≤N ，{}01|2>-=x x Q ，则=⋂Q P （）A.[]3,1B.(]3,1C.{}3,2D.{}3,2,1 2.已知函数x x f =)(的定义域为()2,1，则函数)(2x f 的定义域是（）A.()2,1B.()4,1C.RD.()()2,11,2⋃--3.已知p ：直线m x y +=2与圆122=+y x 至少有一个公共点，q ：5≤m ，则p 是q的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知实数y x ,满足y x ln ln >，则下列关系式中恒成立的是（）A.y x 11<B.yx 22> C.y x sin sin > D.yx ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 5.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若bc c b a -+=222，且C B cos 3sin =，则下列结论中正确的是（）A.π6A =B.a c 2=C.π2C = D. ABC ∆是等边三角形6.若()55443322105)1()1()1()1()1(12++++++++++=+x a x a x a x a x a a x ，则=4a （）A.32-B.32C.80-D.80 7.若正数y x ,满足0122=-+xy x ，则y x +2的最小值是（）A.22 B.2 C.23D.3 8.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥-030620y x y x y x ，则xy 的最大值是（）A.29 B.25108 C.4 D.2572 9.已知函数)(x f 满足：)1()1(x f x f +=-，且当1≤x 时，a x x f +=2)(()a ∈R ,若存在实数[]1,0∈t ，使得关于x 的方程t x f =)(有且仅有四个不等实根，则实数a 的取值范围是（）A.()1,2-B.()1,∞-C.()2,-∞-D.(]1,∞-10.在斜边长为5的等腰直角三角形ABC 中，点D 在斜边AC (不含端点)上运动，将CBD ∆沿BD 翻折到BD C 1∆位置，且使得三棱锥ABD C -1体积最大，则AD 长为（）A.2B.25C.3D.4 二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分；单空题每小题4分. 11. 若复数z 满足(1i)3i z +=-，则z 的虚部是 ▲ ，z 等于 ▲ .12.已知等差数列{}n a 中，731=+a a ，设其前n 项和为n S ，且64S S =,则其公差=d▲ ，其前n 项和为n S 取得最大值时=n ▲ .13.一个盒子中有大小形状完全相同的m 个红球和6个黄球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为X ，若3=EX ，则=m ▲ ，==)2(X P ▲ .14.已知某几何体的三视图的外围都是边长为1cm 的正方形，如图所示，则该几何体的表面积是 ▲ 2cm ，体积是 ▲ 3cm .15. 已知双曲线12222=-by a x 的两个焦点为21,F F ,以2F 为圆心过原点的圆与双曲线在第一象限交于点P ,若2PF 的中垂线过原点，则离心率为 ▲ .16.记{}⎩⎨⎧>≤=ba b ba ab a ,min ，已知向量,,21==，且1=⋅b a ，若μλ+=（0,≥μλ，且12=+μλ），则当{}⋅⋅,min = ▲ . 17.若关于x 的不等式0)2)((2≥+-b x a x 在()b a ,上恒成立，则b a +2的最小值为▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）已知函数()sin (sin )（）f x x x x x =∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若[0,π],x ∈求()=1f x 的所有根的和.19.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为边长为2的菱形，60ADC ∠=，PC CD ⊥，E 为PC 的中点，1PC =，PA =（Ⅰ）求证：//PA 面BDE ；（Ⅱ）求直线BE 与面PBD 所成的角的正弦值.20.（本题满分15分）A已知函数()ln(1e )2x f x x =+-，()e xg x =. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）)()()(x g x f x F +=,记min )(x F M =，求证：2>M .21.（本题满分15分）已知椭圆:C 2212x y m +=2)m m >（为常数且与直线:l 1=+by ax 有且只有一个公共点P ，a,b ∈R .（Ⅰ）当点P 的坐标为()2,1时，求直线l 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的两焦点12,F F 作直线l 的垂线，垂足分别为B ,A ，求四边形12F ABF 面积的最大值（用m 表示）.22.(本题满分15分)已知无穷数列}{n a 满足：1112n n na a,a a .a +==- （Ⅰ）若2a ,=（1）求证：1)25(1211+≤<+--n n n a ；（2）数列}{n b 的前n 项和为n S 且121121+--=+n n n a a b ，求证：1)21(1<<-n nS ；（Ⅱ）若对任意的0*n n ,a ∈>都有N ，写出a 的取值范围并说明理由.【参考答案】一、选择题1-5：CDABD 6-10：CDABB 二、填空题11.5,2- 12.5,1- 13.625144,9 14.31,3215.13+ 16.117.0 三、解答题18. 解：（Ⅰ）1π()sin(2)26f x x =-+，则函数()f x 的最小正周期为π，最大值为32. （Ⅱ）[0,π],x ∈则ππ13π2[,]666x +∈，所以12ππ223π66x x +++=，因此，所有根的和为4π3.19. 解：(1)连结AC ，交BD 于O ，连EO ，则//EO PA ，PA ⊄面BDE ，EO ⊂面BDE ，所以//PA 面BDE .（Ⅱ）法1：取AB 的中点F ，连,PF FC ，作PH CF ⊥则由AC CB =，得,AB PF AB FC ⊥⊥，则AB ⊥面PFC ，,AB PH PH ⊥⊥面ABC ，在PAB ∆中，PA PB ==PF =，于是3PH =，由P BDC C PBD V V --=，得点C 到面PBD则E 到面PBD在PBC ∆中，得到221=EB ，设直线BE 与面PBD 所成的角的正弦值为θ，sin θ=.法2由1PA PC PD ⎧=⎪=⎨⎪=⎩得3(,2P -，5(,4E -，则5(,4126BE =--，求得面PBD的一个法向量，设直线BE 与面PBD 所成的角的正弦值.为θ，sin 105θ=20. 解:（Ⅰ）e 2e ()21e 1ex x /x xf x --=-=++,∴0)(/<x f , ∴)(x f 单调递减区间是()+∞∞-,，无单调递增区间.（Ⅱ）()ln(1e )2e xxF x x =+-+,∴22e e 2()e 1e 1ex x /xx xF x ---=+=++， ∴当)2ln ,(-∞∈x 时，0)(/<x F ，)(x F 单调递减，当),2(ln +∞∈x 时，0)(/>x F ，)(x F 单调递增，∴22221ln22ln 2)21ln()2(ln )(min >++=+-+===F x F M . 21. 解：（Ⅰ）已知点(21)P ，在椭圆C 上，所以得出8m =，yz过点(21)P ，的椭圆的切线方程为：142x y+=即：240x y +-=，另解：椭圆方程22182x y +=与直线:l 1=+by ax 联立可得： ()22248480b xax b +-+-=，此方程有且只有一解2x =，所以11,42a b ==,从而的直线l 的方程为：240x y +-=. （Ⅱ）由椭圆:C 2212x y m +=与直线:l 1=+by ax 方程联立可得： 022)2(2222=-+-+m b m amx x m a b ，由=0D 可得：2212b a m-=，由有20a ³可知，2102b ＃，原点O 到直线:l 1=+by ax的距离d ，122AF BF d +=，线段12F F 在直线:l 1=+by ax上的投影长1AB F F ==，所以四边形12F ABF的面积为22bS a b?+，把2212b a m-=代入可得：()12mS m b b?-+，令()()12(02f x m x x x =-+<?，由函数的单调性可知：（ⅰ）当4m ³时，12F ABF 的面积S 的最大值为m ，（ⅱ）当24m <<时，12F ABF 的面积S的最大值为22.解：（Ⅰ）（1） nn n n a a a a 11-=-+ ∴01>-+n n a a ，∴n n a a >+1， ∴()()nn n n n n n a a a a a a a 11212121-+=--=-+，∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=+=--+25,21212111n n n n n a a a a a ，∴()()1111251121--⎪⎭⎫⎝⎛-≤-<⋅-n n n a a a ，∴1)25(1211+≤<+--n n n a ，（2） ()()nn n n a a a a 11211-+=-+，∴()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=-+=-+1211131112111n n n n n n a a a a a a ， ∴12111131++-=-+n n n a a a ，∴11111211211---=+--=++n n n n n a a a a b ， ∴1111111111--=---=++n n n a a a S ，由(1)知1)25(121+≤<++n n n a ，∴1)21(1<<-n nS .（Ⅱ） nn n n a a a a 11-=-+，显然0>a ， ①若11>=a a ，则01>-+n n a a ，∴n n a a >+1，∴0>n a ； ②若11==a a ，则{}n a 为常数列，∴0>n a ； ③若11<=a a ，则01<-+n n a a ，∴1<<a a n ，又nn n a a a 12111+=--+，若00>n a ，则2120>+n a ，则2111>--+n n a a ，∴002)1(1n n n n a a -⋅->-， ∴02)1(100<⋅--<-n n n n a a ，∴00112n n n a ->-，即011log 20n a n n -+>时，0<n a ，不合题意，综上可知：1≥a .。

2018年11月浙江省普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题03(考试版)

数学试题第1页（共4页）数学试题第2页（共4页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前|2018年11月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题03考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。

2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。

选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合M ={x ∈Z |–1≤x ≤1}，N ={x |x 2=x }，则M ∪N = A ．{–1} B ．{–1，1}C ．{0，1}D ．{–1，0，1}2．函数f （x ）=24x-+ln （2x +1）的定义域为 A ．[–12，2] B ．[–12，2） C ．（–12，2] D ．（–12，2） 3．如果ac <0，bc <0，那么直线ax +by +c =0不经过 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．双曲线2222x y a b-=1（a >0，b >0）的离心率为3，则其渐近线方程为A ．y =±2xB ．y =±3xC ．y =±2x D ．y =±3x 5．若x log 34=1，则4x+4–x =A ．1B ．2C ．83D ．1036．已知036020x y x y x y -≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z =22x +y 的最小值是A ．1B ．16C ．8D ．47．将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为 A ．4πB ．2πC ．22πD ．2π8．已知3sin(30)α︒+=，则cos （60°–α）的值为 A ．12B ．12-C ．3D ．–3 9．已知数列112，314，518，7116，…则其前n 项和S n 为 A ．n 2+1–12n B ．n 2+2–12nC ．n 2+1–112n -D ．n 2+2–112n - 10．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为A ．x 2+（y +3）2=1B ．x 2+（y –3）2=1C ．（x –3）2+y 2=1D ．（x +3）2+y 2=111．如图，在平行六面体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则向量BM =A ．–12a +12b +cB ．1122++a b cC ．–11–22a b +cD ．11–22a b +c12．不等式|x –1|+|x –2|≥3的解集是A ．（–∞，1]∪[2，+∞）B ．[1，2]C ．（–∞，0]∪[3，+∞）D ．[0，3]13．已知函数f （x +1）为偶函数，且f （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （–1）=0，则f （x –1）>0的解集为A ．（–∞，0）∪（4，+∞）B ．（–∞，–1）∪（3，+∞）C ．（–∞，–1）∪（4，+∞）D ．（–∞，0）∪（1，+∞）14．设a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a <b 成立的充分不必要条件是A ．a <b +1B ．a <b –1C ．a 2<b 2D ．a 3<b 315．已知某几何体的三视图如图所示，图中每个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为数学试题第3页（共4页）数学试题第4页（共4页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………A．2 B．8 3C．103D．316．已知椭圆22xa+22yb=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为A．212-B．21-C．22D．1217．已知函数f（x）=–x2+4x+a在区间[–3，3]上存在2个零点，求实数a的取值范围A．（–4，21）B．[–4，21]C．（–4，–3] D．[–4，–3]18．如图，在正三棱柱ABC–A1B1C1中，AB=1，若二面角C–AB–C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为A．34B．12C．3D．1非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，则φ=____________；ω=____________．20．设向量a=（1，4），b=（–1，x），c=a+3b，若a∥c，则实数x的值是____________．21．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2=b2+c2–2bc sin A，则内角A的大小是____________．22．函数8()21f x x mx=+--，若当x∈（1，+∞）时f（x）≥0恒成立，则m的取值范围是____________．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）已知{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{2nna}的前n项和．24．（本小题满分10分）已知O为坐标原点，抛物线y2=–x与直线y=k（x+1）相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB10k的值．25．（本小题满分11分）已知函数f（x）=x|x–a|，（1）若函数y=f（x）+x在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若对于任意x∈[1，2]，函数f（x）的图象恒在直线y=1的下方，求实数a的取值范围；（3）设a≥2，求函数f（x）在区间[2，4]上的值域．。

2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试数学模拟卷参考答案

y12 2
1
y12

2

x12 2
，代入上式得 kPA kPB
1 2
（2）当直线 PQ 的斜率存在时，设其方程 y kx b ， Q(x2, y2 )
y kx b
由 x2
4

y2 2
1
(1 2k 2 )x2
4kbx 2b2
4
0
则
x1
于 A、B 的两点，且 PBQ 90 ．
（1）求 kPA kPB 的值；（2）求 BPQ 面积的最大值．
解析：（1）由题意知 A(2, 0), B(2, 0) ，设 P(x1, y1)
则 kPA
kPB

y1 x1 2
y1 x1 2

y12 x12 4
又因为点 P 在椭圆上，所以 x12 4
故 f (x)max max f (0), f (1) 1
又因为 f (x) 1 1 x 1 x 2 1 (x 1)2 7 7
48 8
88
由于等号不能同时取到，所以 f (x) 7 8
7
综上可知：

f
(x) 1
8
21．如图，已知椭圆 E : x2 y2 1 的左、右顶点分别为 A、B ，若 P、Q 为椭圆 E 上不同 42
所以 1 1 1 x 1 (1 1 x) 0
1 x 2
1 x
2
故 g'(x) 0
所以 g(x) 在区间[0,1] 单调递增，故 g(x) g(0) 0
所以 f (x) 1 1 x 1 x 2 48
（2）设 h(x) f '(x) 1 1 x 3 2 1 x 2 4

2018年浙江高考数学仿真试卷(三)有答案

2018年浙江高考仿真卷(三)(对应学生用书第171页)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．定义集合A ＝{x |f (x )＝2x－1}，B ＝{y |y ＝log 2(2x＋2)}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．(1，＋∞)B ．[0,1]C ．[0,1)D ．[0,2)B [由2x－1≥0得x ≥0，即A ＝[0，＋∞)，由于2x>0，所以2x＋2>2，所以log 2(2x＋2)>1，即B ＝(1，＋∞)，所以A ∩∁R B ＝[0,1]，故选B.]2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [a 2＋b 2<c 2⇒C 为钝角⇒△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，则当A 为钝角时，有b 2＋c 2<a 2，不能推出a 2＋b 2<c 2，故选A.]3．已知复数2－b i1＋2i 的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于( )A ．2 B.23 C ．－2 D ．－23D [2－b i 1＋2i＝－b－5＝2－4i －b i －2b 5＝2－2b 5－4＋b 5i ，由题设可得2－2b 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋b 5＝0，解得b ＝－23，故选D.]4．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )图1A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面间的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的体积不变 C ．与12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22D [平面ACB 1与平面A 1C 1D 都垂直于BD 1，且将BD 1三等分，故A 正确；由于AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以动点P 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是定值，所以四面体P A 1B 1C 1的体积不变，故B 正确；与12条棱都相切的球即为以正方体的中心为球心，22为半径的球，所以体积为23π，故C 正确；对于选项D ，设内切球的球心为O ，则|MN |≥||OM |－|ON ||＝32－12，当且仅当O ，M ，N 三点共线时取“＝”，而32－12>32－22，故D 错误．]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[1,2] C ．(0,1] D ．(1,2)A [函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内有4个不同的零点，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝m 在[0,2π]上有4个不同的交点，画出图象如图所示，结合图象可得出0<m <1.]6．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若|PH |＝a ，则双曲线的离心率为( )A.52B.32C.5＋12D.6＋12C [由题意可得点P 的坐标为(b ，a )，又P 在双曲线上，故有b 2a 2－a 2b 2＝1，即b 2a 2＝c 2b2，所以b 2＝ac ，即c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)．]7．已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝( )A.43B ．－43C ．－23D ．－3B [由3tan α2＋tan 2α2＝1得tanα21－tan2α2＝13，所以tan α＝23.①由sin β＝3sin(2α＋β)得sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，展开并整理得，2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝－2tan α，② 由①②得tan(α＋β)＝－43.]8．已知f (x )＝2x 2－4x －1，设有n 个不同的数x i (i ＝1,2，…，n )满足0≤x 1<x 2<…<x n ≤3，则满足|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|≤M 的M 的最小值是( )A ．10B ．8C ．6D ．2A [由二次函数的性质易得f (x )＝2x 2－4x －1在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，且f (0)＝－1，f (1)＝－3，f (3)＝5，则当x 1＝0，x n ＝3，且存在x i ＝1时，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n－1)－f (x n )|取得最大值，最大值为|f (x 1)－f (x i )|＋|f (x i )－f (x n )|＝|－1－(－3)|＋|－3－5|＝10，所以M 的最小值为10，故选A.]9．已知a ，b 为实常数，{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)均相交，所成弦的中点为M i (x i ，y i )，则下列说法错误的是( ) A ．数列{x i }可能是等比数列 B ．数列{y i }是常数列 C ．数列{x i }可能是等差数列 D ．数列{x i ＋y i }可能是等比数列C [设等比数列{c i }的公比为q .当a ＝0，b ≠0时，直线by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 最多有一个交点，不符合题意；当a ≠0，b ＝0时，直线ax ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c i a，±－2pc i a ，则x i ＝－c i a ，y i ＝0，x i ＋y i ＝－c ia，此时数列{x i }为公比为q 的等比数列，数列{y i }为常数列，数列{x i ＋y i }为公比为q 的等比数列；当a ≠0，b ≠0时，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的方程联立，结合韦达定理易得x i ＝pb 2a 2－c i a ，y i ＝－pba，此时数列{y i }为常数列．综上所述，A ，B ，D 正确，故选C.] 10．如图2，棱长为4的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°，则顶点C 1到平面α的距离的最大值是( )图2A ．2(2＋2)B ．2(3＋2)C ．2(3＋1)D ．2(2＋1)B [由于AC 1＝43(定长)，因此要求C 1到平面α距离的最大值，只需求出AC 1与平面α所成角的最大值．设AC 1与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ＝22，因为平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°，所以AC 1在与平面α所成的角为θ＋30°的平面β内，且AC 1与平面α，β的交线垂直时，AC 1与平面α所成的角最大，最大值为θ＋30°，所以点C 1到平面α的距离的最大值d ＝AC 1sin(θ＋30°)＝2(3＋2)．]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上) 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 6展开式中的常数项为________．154[设展开式的第(r ＋1)项为常数项，即T r ＋1＝ C r6(x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x 6－3r 2为常数项，则6－3r ＝0，解得r ＝2，所以常数项为T 3＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝154.]12．已知空间几何体的三视图如图3所示，则该几何体的表面积是________，体积是________．图38π103π [由三视图可得该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱和两个半径为1的半球组成的，且球截面与圆柱的上，下底面完全重合，所以该几何体的表面积为2π·1·2＋4π·12＝8π，体积为43π·13＋π·12·2＝103π.]13．若直线x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________． π233 [由题设可知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即a ＝32＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得a ＝33，所以f (x )＝sin 2x ＋33cos 2x ，则易知最小正周期T ＝π，f (x )max ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝233.]14．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2次红球的概率为________；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数X 的期望为________． 920 32 [不放回地从6个球中取3个，概率为C 23C 13C 36＝920.由题意得有放回的取球3次，取到红球的分布列服从二项分布，且取球一次取到红球的概率为12，所以取到红球次数的期望为3×12＝32.]15．已知整数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≥4，x －2y ＋8>0，则2x ＋y 的最大值是________，x 2＋y 2的最小值是________．24 8 [画出可行域如图中阴影部分所示，易得当x ＝8，y ＝8时，2x ＋y 取得最大值，最大值是24.x2＋y 2的最小值即为可行域中的点到原点最小距离的平方，即原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，所以x 2＋y 2的最小值是8.]16．已知向量a ，b 满足|a |＝2，向量b 与a －b 的夹角为2π3，则a ·b 的取值范围是________．2－433≤a ·b ≤2＋433 [如图，半径为233的圆C 中，|OA |＝2，∠OBA ＝π3，设OA →＝值为233＋1，a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b, b 在OA →上投影的最小值为－⎝⎛⎭⎪⎫233－1，最大∴2－433≤a ·b ≤2＋433.]17．已知函数f (x )＝x 2－x －4x x －1(x <0)，g (x )＝x 2＋bx －2(x >0)，b ∈R .若f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为________．－5＋42<b <1 [f (x )＝x 2－x －4x x －1(x <0)的图象关于y 轴对称的图象对应的函数的解析式为h (x )＝x 2＋x －4xx ＋1(x >0)，所以f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，当且仅当方程x 2＋x －4x x ＋1＝x 2＋bx －2有两个不同的正根，即(1－b )x 2－(b ＋1)x ＋2＝0有两个不同的正根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－b ＋2－－b ，1－b >0，1＋b >0，解得－5＋42<b <1.]三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)如图4，四边形ABCD ，∠DAB ＝60°，CD ⊥AD ，CB ⊥AB .图4(1)若2|CB |＝|CD |＝2，求△ABC 的面积；(2)若|CB |＋|CD |＝3，求|AC |的最小值． [解] (1)由题意得A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠DCB ＝120°，2分BD 2＝BC 2＋CD 2－2CD ·CB cos 120°＝7，即BD ＝7， ∴AC ＝BD sin 60°＝2213，故AB ＝AC 2－BC 2＝533，S △ABC ＝12AB ·BC ＝536.7分(2)设|BC |＝x >0，|CD |＝y >0，则x ＋y ＝3，BD 2＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－14(x ＋y )2＝274⇒BD ≥332， ∴AC ＝BD sin 60°＝23BD ≥3，12分当BC ＝CD ＝32时取到．所以|AC |的最小值为3.14分19．(本小题满分15分)如图5，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，M 分别为CC 1和A 1B 的中点，A 1D ⊥CC 1，侧面ABB 1A 1为菱形且∠BAA 1＝60°，AA 1＝A 1D ＝2，BC ＝1.图5(1)证明：直线MD ∥平面ABC ；(2)求二面角B AC A 1的余弦值．[解] 连接A 1C ，∵A 1D ⊥CC 1，且D 为CC 1的中点，AA 1＝A 1D ＝2， ∴A 1C ＝A 1C 1＝5＝AC ，又BC ＝1，AB ＝BA 1＝2， ∴CB ⊥BA ，CB ⊥BA 1，又BA ∩BA 1＝B ，∴CB ⊥平面ABB 1A 1，取AA 1的中点F ，则BF ⊥AA 1，即BC ，BF ，BB 1两两互相垂直，以B 为原点，BB 1，BF ，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，∴B 1(2,0,0)，C (0,0,1)，A (－1，3，0)，A 1(1，3，0)，C 1(2,0,1)，D (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0.(1)证明：设平面ABC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BA →＝－x ＋3y ＝0，m ·BC →＝z ＝0，取m ＝(3，1,0)， ∵MD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1，m ·MD →＝32－32＋0＝0，∴m ⊥MD →，又MD ⊄平面ABC ，∴直线MD ∥平面ABC . 9分(2)设平面ACA 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，AC →＝(1，－3，1)，AA 1→＝(2,0,0)，n ·AC →＝x 1－3y 1＋z 1＝0，n ·AA 1→＝2x 1＝0，取n ＝(0,1，3)，又由(1)知平面ABC 的法向量为m ＝(3，1,0)，设二面角B AC A 1的平面角为θ， ∵二面角B AC A 1的平面角为锐角，∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |＝12×2＝14，∴二面角B AC A 1的余弦值为14.15分20．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝ln 2x －ax 2. (1)若f (x )在(0，＋∞)上的最大值为12，求实数a 的值；(2)若a ＝3，关于x 的方程12f (x )＝－12x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.⎝⎛⎭⎪⎫提示：x＝1x[解] (1)f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值．当a >0时，由f ′(x )>0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增；由f ′(x )<0得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递减． ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12a ＝ln212a －12＝12，解得a ＝2e －2. 7分(2)由12f (x )＝－12x ＋b 知ln 2x －3x 2＋x －2b ＝0，令φ(x )＝ln 2x －3x 2＋x －2b ，则φ′(x )＝1x －6x ＋1＝－6x 2＋x ＋1x＝x ＋－2x ＋x. 9分当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12时，φ′(x )>0，于是φ(x )在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12上单调递增；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，φ′(x )≤0，于是φ(x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减．方程12f (x )＝－12x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恰有两个不同的实根， 11分则⎩⎪⎨⎪⎧φ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 12＋116－2b ≤0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14－2b >0，φ＝ln 2－2－2b ≤0，解得－12ln 2＋132≤b <－18.15分21．(本小题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2＋y2＝34相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NA →·NB →为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由． [解] (1)∵e ＝12⇒a 2＝4c 2，又焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2＋y 2＝34相切，根据三角形面积公式得bc ＝32·b 2＋c 2⇒b 2c 2＝34(b 2＋c 2)， 4分即(a 2－c 2)c 2＝34a 2⇒(a 2－c 2)＝3，故c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.6分(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝k x －⇒(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，8分则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k ＋3.若存在定点N (m,0)满足条件，则有NA →·NB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋m 2－m (x 1＋x 2)＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(m ＋k 2)(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2＝＋k2k 2－4k 2＋3－m ＋k 2k 24k 2＋3＋k 2＋m 2＝m 2－8m －k 2＋3m 2－124k 2＋3，10分如果要上式为定值，则必须有4m 2－8m －53m 2－12＝43⇒m ＝118， 12分验证当直线l 斜率不存在时，也符合．故存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫118，0满足NA →·NB →＝－13564. 15分22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＝12，都有a n ＋1＝13a 3n ＋23a n ，n ∈N *.(1)求证：12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1≤a n ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，n ∈N *；(2)求证：当n ∈N *时，1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n ≥a 2a 1＋a 3a 2＋a 4a 3＋…＋a n ＋1a n ＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n .[证明] (1)∵a n ＋1a n ＝13a 4n ＋23a 2n ≥0，∴a n ＋1与a n 同号．∵a 1>0，∴a n >0.2分∵a n ＋1－1＝13a 3n ＋23a n －1＝13(a n －1)(a 2n ＋a n ＋3)，又a 2n ＋a n ＋3>0，∴a n ＋1－1与a n －1同号． ∵a 1－1<0，∴a n <1，4分∴a n ＋1－a n ＝13a n (a 2n －1)≤0，则0<a n ＋1≤a n ≤a 1＝12，∴a n ＋1a n ＝13a 2n ＋23∈⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34. 6分当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1， 7分且a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1>12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， 8分又12·⎝ ⎛⎭⎪⎫230≤a 1≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫340， ∴12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1≤a n ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，n ∈N *.9分(2)∵1－a n ＋11－a n －a n ＋1a n ＝a n －a n ＋1a n －a n ＝13(1＋a n )，又a n ＋1＋1＝13(a 3n ＋2a n ＋3)＝13(a n ＋1)(a 2n －a n ＋3)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝13(a 2n －a n ＋3)≥ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12＋3＝1112.11分当n ≥2时，a n ＋1＝(a 1＋1)·a 2＋1a 1＋1·a 3＋1a 2＋1·…·a n ＋1a n －1＋1≥32·⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1，又a 1＋1＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫11121－1，∴13(a n ＋1)≥12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1，12分∴⎝⎛⎭⎪⎫1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n －⎝ ⎛a 2a 1＋a 3a 2＋a 4a 3⎭⎪⎫＋…＋a n ＋1a n ＝13[(a 1＋1)＋(a 2＋1)＋…＋(a n ＋1)]≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1112＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1 ＝12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n1－1112＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n ，∴1－a21－a1＋1－a31－a2＋1－a41－a3＋…＋1－a n＋11－a n≥a2a1＋a3a2＋a4a3＋…＋a n＋1a n＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫1112n.15分- 11 -。

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