浅谈解简单线性规划问题的图解法

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线性规划图解法

第二节线性规划的图解法
图解法线性规划问题求解的几种可能结果由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1 下页返回
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点，算出最优值。
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线性规划问题求解的几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1

线性规划图解法浅析

第 24卷第 2期
河南财政税务高等专科学校学报
Vol. 24. No. 2
2010年 4月
Journal of Henan College of Finance & Taxa tion
Apr. 2010
线性规划图解法浅析
王兰林
(河南财政税务高等专科学校会计系 ,河南郑州 450002)
可行域内的所有整点依次验证 ,选出最优解。
二、线性规划图解法的应用
(一 )一般问题
设有一线性规划问题表达式 (包括目标函数、约束条
件 )如下
fm ax = 50X1 + 40X2
X1 + X2 ≤450
( 1)
2 X1 + X2 ≤800
( 2)
X1 + 3 X2 ≤900
( 3)
因此只要画出其中任意一条线 ,将它们平移到某个与凸集
相交的极限位置 ,所得的交点就是既满足约束条件 (在凸
集范围内 ) ,又使 f 值为最大最优解的点。如图 1中的点
B, X1 = 350, X2 = 100, f = 21 500。 (二 )整解问题例 :某人有一栋楼房 ,室内面积为 180m2 ,拟分割成两
X1 , X2 ≥0
( 4)
解 :在直角坐标系中画出不等式 ( 1) 、(2 ) 、(3) 、( 4)所
决定的 5条直线 ,如图 1所示 ,由 5条直线所围成的一个凸
多边形就是约束条件给定的区域 ,其中所有的点都满足约
束条件的要求。实际上 ,它表示一个由凸多边形内无数多
个点所组成的集合 ,称为凸集。用平行移动的方法可以从

线性规划(图解法)

D
max Z
可行域
（7.6，2），）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解（0，2），）
图解法
线性规划问题的求解方法一般有两种方法图解法单纯形法两个变量、两个变量、直角坐标三个变量、三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策变量的线性规划问题，变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效有效与无效(紧与松约束紧与松约束： (紧)约束。紧约束约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶最优解：总是在可行域的边界上，点表示。点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，个可行解。内的每一个点代表一个可行解。
20
无可行解(即无最优解无可行解即无最优解) 即无最优解
10
O
10

第二章3 线性规划问题的图解法

（关于图解法中解的讨论请参阅文献（1）、（2）关于图解法中解的讨论请参阅文献（中有关节线性规划问题的图解法
x2
3x1 +4x2 =9
o
x1
第三节线性规划问题的图解法
若考虑 x1 ，x2 ≥0 ，满足约束条件的（x1 ，x2）构成如下图所示的阴影部分（三角形面） x2
3x1 +4x2 =9
o
x1
（请大家想一想 3x1 +4x2 ≥9 在以 x1、x2 为坐标轴的直角坐标系中，可以用什么形状的图形表示）同理，可以画出 5x1 +2x2 ≤8 ， x1 ，x2 ≥0 所表示的平面区域
第三节线性规划问题的图解法
本节主要介绍图解法求解线性规划问题的基本过程及可行域、等值线、顶点等概念对于不超过三个变量的线性规划问题，对于不超过三个变量的线性规划问题，可以画成平面图或立体图用图解法求解，以画成平面图或立体图用图解法求解，它虽然没有多大是实用价值，但简单直观，没有多大是实用价值，但简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。解线性规划问题求解的基本原理。下面通过一道例题的求解来讲述图解法的基本过程。道例题的求解来讲述图解法的基本过程。
第三节线性规划问题的图解法
x2
5x1 +2x2=8 可行域顶点 3x1 +4x2 =9 法线方向该线段上点的函数值虽然更大，但已超出了可行域 O X1 此时目标函数值最大 Z =10x1+5x2
第三节线性规划问题的图解法
从图可以看出，内，从图可以看出，既在可行域内，又使目标函数值达到最大，此时等值线留在可行域的顶点上，到最大，此时等值线留在可行域的顶点上，这一点的坐标 3/2），正是直线为（ 1 ， 3/2 ）正是直线 3x 1 +4x 2 =9 和 5x 1 +2x 2 =8 的交， =1，是这个问题最优解。点，即 x 1=1 ， x 2 =3/2 是这个问题最优解。由于在下一章可以证明线性规划问题的最优解一定可以在可行域的顶点上找到，因此，点上找到，因此，只需要求出可行域顶点的坐标并计算每一顶点的目标函数值，就可以从中找出最优解。一顶点的目标函数值，就可以从中找出最优解。顶点 Z==10x 1 +5x 2 Z= =10x x1 x2 0 0 0 8/5 0 16 35/2（ max） 1 3/2 35/2 （ max ） 0 9/4 45/4

2-线性规划问题的图解法

第二节线性规划问题的图解法对一个线性规划问题，建立数学模型之后，面临着如何求解的问题。

这里先介绍含有两个未知变量的线性规划问题的图解法，它简单直观。

图解法的步骤：步骤1：确定可行域。

第1步：绘制约束等式直线，确定由约束等式直线决定的两个区域中哪个区域对应着由约束条件所定义的正确的不等式。

我们通过画出指向正确区域的箭头，来说明这个正确区域。

第2步：确定可行域。

步骤2：画出目标函数的等值线，标出目标值改进的方向。

步骤3：确定最优解。

用图示的方式朝着不断改进的目标函数值的方向，移动目标函数的等值线，直到等值线正好接触到可行域的边界。

等值线正好接触到可行城边界的接触点对应着线性优化模型的最优解。

例1－3，用图解法求解线性规划问题1212121212max 23221228..416412,0z x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥⎪⎩ 解：图1－3（1）画出线性规划问题的可行域，它是为以O(0,0)、A(0,3)、B(2,3)、C(4,2)、D(0,4)为顶点的凸5边形，如图1－3。

（2）画出一条目标函数的等值线12236x x +=，图1－3中红颜色的虚线。

（3）目标函数的等值线往上移动时，目标函数值增大（图1－3中红颜色的实线）。

由于问题的解要满足全部约束条件，因此目标函数的等值线要与可行域有交点。

当目标函数的等值线移动到122314x x +=时，它与可行域只有一个交点，再往上移动时，与可行域不再有交点。

这就是说最优解为：124,2x x ==，最优目标函数值为14。

例1-3中求解得到问题的最优解是唯一的，但对一般线性规划问题，求解结果还可能出现以下几种情况：（1）唯一最优解（2）多重最优解。

（3）无界解。

（4）无可行解。

这里我们不再举例，请大家自己阅读教材。

当线性规划问题的求解结果出现（3）、（4）两种情况时，一般说明线性规划问题建模有错误。

线性规划问题的图解法

第二十四页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线义性
规划问题的几何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—

线性规划问题的图解法

这种情况通常称为无“有限最优解” 或“最优解无界”。
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是某些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一
最优解或无穷多个最优解。
x1 2x2 ≤8 代表一个半平面
其边界: x1+2 x2 =8
x1+2 x2 =8 及x1，x2 ≥0
x2 B
Q4
3
2
x12x28
△ AOB
点A、B 连线AB △A0B
1
A x1
0 1 2345678
经济含义？
点A(8,0)：
全部的设备都用来生产Ⅰ产品而不生产Ⅱ 产品,那么Ⅰ产品的最大可能产量为8台,计算过程为： x1+2×08 x18
maxZ2x13x2
x1 2 x2 ≤ 8
4

4
x1 x2
≤ ≤
16 12
x 1 , x 2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x12x28
A
D
x1
0
1 2345 678
结果
有唯一最优解可行域是一个非空有界区域
讨论可行域有几种可能 ? 解有几种可能 ?
结果表明，该线性规划有无穷多个最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
无界解
maxZx1x2

x
2
1
x
1
x2

图解法解线性规划问题的几点注解

解决线性规划问题的一种常用方法是图解法。

图解法是通过绘制图形来可视化线性规划问题并寻找其解决方案的方法。

下面是图解法解决线性规划问题的几点注解：
1.确定目标函数和约束条件
线性规划问题的目标函数是要最大化或最小化的函数，而约束条件是限制变量的范围的限制。

2.绘制目标函数和约束条件的图形
可以通过绘制目标函数和约束条件的图形来更直观地了解问题。

目标函数的图形是一条直线，而约束条件的图形是一条不等式。

3.找出可行解
可行解是指满足约束条件的解。

通过绘制目标函数和约束条件的图形，可以找出可行解的范围。

4.找出最优解
最优解是指满足约束条件并达到目标函数最大值或最小值的解。

在可行解范围内，最优解通常是与目标函数图形相交的点。

5.检查解的可行性和最优性
在找到候选解后，应检查该解是否真的是可行解和最优解。

这可以通过求解原问题并对结果进行检验来完成。

继续回到你的问题，图解法是一种常用的解决线性规划问题的方法，它通过绘制图形可视化问题并寻找解决方案。

在使用图解法时，应该注意以下几点：确定目标函数和约束条件，绘制目标函数和约束条件的图形，找出可行解，找出最优解，并检查解的可行性和最优性。

第二章线性规划的图解法

➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题最一般的解的情况，但线性规划问题解的情况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项；其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式目标函数：

线性规划问题的图解法

20 40
.
即B点坐标为20 ，40，代入目标函数可得最优值Smax 50 20 30 40 2 200 .
线性规划问题的图解法
例2
解
1. 求可行域（如图7 - 2所示）
（1）建立直角坐标系Ox1x2 . （2）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右下半平面内；（3）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右上半平面内. 由约束条件可知，无界区域ABCD是其可行域 .
3 截距最大的点即为最优解，其对应的S值就是最优值 .因此，我们可以把过原点且斜率 5的直
3 线作为参照直线，然后在可行域里进行平移，直到找到最优解 .
显然，斜率为 5的直线在可行域里平移时过B点的纵截距最大，求B点的坐标，联立 3
方程
x2 x2
Hale Waihona Puke 80 2x1 40，解得
x1 x2
图7-2
线性规划问题的图解法
2. 求最优解把目标函数 S x1 2x2 中的S看作参数，当S 0时，目标函数S x1 2x2是一条过原点的直线，在坐标系内画出这样的直线（用虚线表示），然后再将该直线向可行域内平移 . 在平移
时，7-2中B点是满足该约束条件的S最小值，其坐标为2 ，0，于是得到该线性规划问题的最
于是从约束条件知，由l1 ，l2 ，l3以及x1轴围成的区域 ABCD是该线性规划问题的可行域，如图7-1所示 .
图7-1
线性规划问题的图解法
2.求最优解可行域的点满足约束条件，但并非使得目标函数 max S 50x1 30x2 取得最大值的解，且该目标函数对应的图象也是一条直线，其斜率为 5，可行域里能使该直线与y轴的纵

对图解法解线性规划问题的认识

对图解法解线性规划问题的认识[摘要]利用线性规划的图解法，可以解决一些实际生活中简单的最优解问题，以提高解决实际问题的能力。

本文从图解法解线性规划问题出发，对一些问题的结论给出深入浅出的证明，提出了对图解法解线性规划问题的基本理论和基本解法，并给出了如何运用这些理论指导解决线性规划问题的实例。

[关键词]图解法理论实例图解法就是利用坐标图去解线性规划问题的方法。

该方法简单直观，有助于我们从几何图形上了解线性规划问题的一些基本概念、理论及解的原理，并使我们能得心应手地解决线性规划的问题。

本文就图解法的基本理论和基本解题的方法谈谈自已的肤浅认识。

一、有关图解法解线性规划问题的基本理论1.判定可行域的方法。

以x轴为横轴，y轴为纵轴建立直角坐标系，方程ax+by+c=0在平面直角坐标系中，表示一条直线，那未满足线性约束条件ax+by+c≥0或ax+by+c≤0的解（x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

可行域在平面直角坐标系中表示了一个平面区域。

判定可行域有如下方法：①直接判定法对于ax+by+c≥0或ax+by+c≤0所表示的区域的情况有如下结论，详见表1与表2。

必须注意不等式中的符号“≤”、“≥”或“”，它们的唯一的区别就是前者表示的区域包括边界，后者表示的区域不包括边界。

②点判定法二元一次不等式ax+by+c≥0或ax+by+c≤0表示在直角坐标系中直线ax+by+c=0某一侧的平面区域的所有点（x，y）。

那么，任取区域中一点，若该点的坐标满足约束条件ax+by+c≥0或ax+by+c≤0，则该约束条件表示的区域就是以直线ax+by+c=0分隔且包含该点的一侧半平面，否则就表示另一侧半平面。

为了方便，一般来说都是取原点来判定ax+by+c≥0或ax+by+c≤0所表示在直线ax+by+c=0某一侧的平面区域的。

当C=0时，因原点已在直线ax+by+c=0上，故不能通过原点来判定。

例1：根据表1、表2我们可以直接判定：约束条件2x+y-6≤0表示直线2x+y-6=0下方区域；约束条件x-3y-2≤0表示直线x-3y-2=0上方区域；约束条件2x-3≥0表示直线2x-3=0右方区域；约束条件-3x-2≥0表示直线-3x-2=0左方区域。

浅谈解简单线性规划问题的图解法

摘要：线性规划是运筹学中应用最广泛的方法之一，也是运筹学的最基本的方法之一。它是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最小或获得的收益最大。最近十多年来，线性规划无论是在深度还是在广度方面又都取得了重大进展。简单线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划。本文主要介绍简单线性规划问题求解的几种可能情况
后，电容器之路电流超前电压，使得总电流与电压的夹
（２）相位条件：反馈电压与输入电压同相。放大电路的相移Ａ与反馈网络的相移Ｆ之和为２ｎＴｒ，即：Ａ＋Ｆ＝２ｎＴｒ。通常可以利用电容移相作用构成ＲＣ移相振荡器。也可以利
即：ＡＦ＝１。
Ｑ＝Ｓｓｉｎｅ。Ａ＝ｃｏｓ￣称为功率因数。如果功率因数Ａ越小，电路的有功功率就越小，无功功率就越大，电路中能量互换的规模也越大。为了提高能量的利用率，必须提高公率因数。提高功率因数Ａ就是要缩小阻抗角，在电动机等感性负载电路中电流滞后电压，当感性负载电路并联电容器以
线性规划问题研究的是在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题。简单线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划。本文主要介绍简单线性规划问题求解的几种可能情况及解简单线性规划问题的基本方法即图解法的基本思想和算法步骤，并通过例子对解简单线性规划问题的图解法作一些探讨。简单线性规划问题求解的几种可能情况：（１）无可行解（可行域是空集）；（２）无界（可行域不空集，但目标函数在可行域上无界）；（３）最优解（可行域不空

线性规划的图解法与单纯形解法

21
【解】将数学模型化为标准形式：
maxZ x1 2x2 x3
2 x1 3 x 2 2 x3 x 4 15 1 x1 x 2 5 x3 x5 20 3 x j 0, j 1,2, ,5
不难看出x4、x5可作为初始基变量，单纯法计算结果如表 1.５所示。

单纯形算法必须解决三个方面的问题： 1. 如何确定初始的基可行解？ 2. 如何进行解的最优性判别？ 3. 如何寻找改进的基可行解？
11
确定初始的基可行解

标准型的线性规划问题
max z CX n Pj x j b j 1 X 0
系数矩阵中存在一个单位阵
1 0 0 0 0 1 0 0 ( P , P2 , Pm ) 1 0 0 0 1
σj
0
0
-1
-1
16
x2
40
最优解X=(18，4，0，0)T，最优值Z=70
2x1 x2 40
m ax Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 x 3 40 x1 3 x 2 x 4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
cj cB c1 c2

XB x1 x2

c1 x1 1 0

c2 x2 0 1

… … … … … …
cm xm 0 0

cm+1 xm+1 a1,m+1 a2,m+1

… cm+k … xm+k
… cn … xn
b b1 b2

θi θ1 θ2

第二节线性规划的图解法线性规划的图解法---解的几何表示

75
5
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？用图解法求解。
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2 ≤ 65 2x1+x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 (A) (B) (C) (D, E)
11
[例2.7]在例2.2的线性规划模型中, 如果约束条件（A）、（C）变为：
3 x1 + 2 x2 ≥ 65 3 x2 ≥ 75 (A’） (C’）
并且去掉（D、E）的非负限制。那么，可行域成为一个上无界的区域。这时，没有有限最优解，如下图所示：
12
无有限解的情况
13
[例2.8]在例2.2的线性规划模型中，如果增加约束条件（F）为： x1 + x2 ≥ 40 （F）那么，可行域成为空的区域。这时，没有可行解，显然线性规划问题无解。如下图所示：
1
图解法求解线性规划问题的步骤如下： (1)分别取决策变量x1 ,x2 为坐标向量建立直角坐标系。
2
（2）对每个约束（包括非负约束）条件，先取其等式在坐标系中作出直线，通过判断确定不等式所决定的半平面。
各约束半平面交出来的区域(存在或不存在），若存在，其中的点表示的解称为此线性规划的可行解。这些符合约束限制的点集合，称为可行集或可行域。否则该线性规划问题无可行解。
14
无可行解的情况
15
可行域和解有哪些情况？
16
线性规划的可行域和最优解的几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解；

1.2线性规划问题的图解法及几何意义

2
①
可行域
1
Z增大方向
-1
0
1
②
2
3 x1
图解法（总结三个特点）
从图解法可以看出一般情况下：从图解法可以看出一般情况下：（1）具有两个变量的线性规划问题的可行域是凸多边形。具有两个变量的线性规划问题的可行域是凸多边形。凸多边形顶点得到（2）若线性规划存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到。若线性规划存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到。（3）若在两个顶点上同时得到最优解，则在这两点的连线上的任若在两个顶点上同时得到最优解，意一点都是最优解；意一点都是最优解；虽然图解法只能求解包含两个变量的问题，作为算法，虽然图解法只能求解包含两个变量的问题，作为算法，没有太大价值，但是上述结论却非常有意义。它将搜索最优解的范围太大价值，但是上述结论却非常有意义。从可行域的无穷多个点缩小到有限几个顶点。从可行域的无穷多个点缩小到有限几个顶点。这就开启了人们的思路。思路。而后面我们要介绍的求解多维线性规划的单纯形法就是在此结论的基础上推广得到的。此结论的基础上推广得到的。
无可行域的情况将会出现，这时不存在可行解，时，无可行域的情况将会出现，这时不存在可行解，即该线性规划问题无解。该线性规划问题无解。
无有限最优解（可行域无界，目标值不收敛）无有限最优解（可行域无界，目标值不收敛）：
线性规划问题的可行域无界，线性规划问题的可行域无界，是指最大化问题中的目标函数值可以无限增大，函数值可以无限增大，或最小化问题中的目标函数值可以无限减少。以无限减少。
1.2 线性规划问题的图解法及几何意义
如何求解线性规划模型是本章讨论的中心问题。如何求解线性规划模型是本章讨论的中心问题。首先介绍只有两个决策变量的线性规划的图解法，只有两个决策变量的线性规划的图解法，该方法能够对线性规划的解法从几何直观上给我们以启迪。划的解法从几何直观上给我们以启迪。对于两个决策变量的每一组取值，对于两个决策变量的每一组取值，都可以看作平面直角坐标系中一个点的坐标，因此，系中一个点的坐标，因此，我们可以把满足约束条件的点在平面直角坐标系中表示出来。面直角坐标系中表示出来。

线性规划图解法(NO3)

2x1 =16
最优值
C
2x2 =10 Maxz=37
Z=30 B Z=37
Z=15
0
4
8A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
3
一、线性规划问题的图解法
3、LP问题图解法的步骤：
（1）画出直角坐标系；（2）依次做每条约束直线，标出可行域的方向，并找出它们共同的可行域；
（3）任取一目标函数值作一条目标函数线（称等值线） ,根据目标函数（最大或最小）类型，平移该直线即将离开可行域处，则与目标函数线接触的最终点即表示最优解。
例：用图解法求解如下线性规划问题
最优解为
max Z 4x1 3x2
s.t.
32xx11
3 2
x x
2 2
24 26
x1,
x
2
0
B(0,13) Q3(0,8)
3x1+2x2=26 Q2(6,4)
x1=6,x2=4 最优值为 maxz=36
2x1+3x2=24
Q1(26/3,0) A(12,0)
一、线性规划问题的图解法
4、线性规划解的特性
• 由线性不等式组成的可行域是凸多边形(凸多边形是凸集)
凸集定义：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合
a
b
c
d
• 可行域有有限个顶点。 • 目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在其区域的内部。
5
一、线性规划问题的图解法
5、线性规划解的可能性
x1 x2 5 s.t.3x1 4x2 24
x1, x2 0
4
2
O
2
4
6
8 x1

线性规划图解法

适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解（0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)

运筹学线性规划图解法

§2.2 线性规划问题解的概念
设线性规划的标准形式： max z=Σcjxj (1) s.t.Σaijxj=bi i=1,2,…,m (2) xj≥0 j=1,2,…,n (3) 可行域：由约束条件(2)、(3)所围成的区域；可行解：满足(2)、(3)条件的解X=(x1，x2，…，xn)T为可行解；基：设A是约束条件方程组的m×n维系数矩阵,其秩为m，B是A中 m×m阶非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。设
B=
a11 a21 … am1
a12 … a1m a22 … a2m … … am2 …amm
=(p1,p2, …,pm)
基向量、非基向量、基变量、非基变量：称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量；与基向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经常写成XN。基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T；令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0，由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。基可行解：所有决策变量满足非负条件(xj ≥0)的基解, 称作基可行解。可行基：基可行解所对应的基底称为可行基。
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1

图解法求解简单线性规划问题

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1
y x=1
C
在该平面区域上
问题 1：ｘ有无最大(小)值？问题２：ｙ有无最大(小)值？问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
B
o
A
第2页/共10页
x-4y=-3
3x+5y=25
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
y x=1
x-4y≤-3 3x+5y≤25，
可行域：所有可行解组成的集合。最优解：使目标函数达到最大值
y
或最小值的可行解。
C
设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
x-4y≤-3
满足下列条件 3x+5y≤25 ，
B
x≥1
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
求ｚ的最大值和最小值。第5页－3
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件 3x+5y≤25
x≥1
C
B
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
第3页/共10页
x-4y≤-3
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 3x+5y≤25 ，
求ｚ的最大值和最小值。
x≥1
问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形?
ｙ＝-2ｘ+ z
问题 2: z几何意义是__斜__率__为__-2_的__直__线__在__y_轴__上__的__截__距___。
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。