北京市海淀区二模数学(文科)试题及答案
北京市海淀区2019届高三下学期期末练习(二模)数学(文)试题 Word版含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科） 2019.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。
(1)已知集合{}15A x x =≤≤，{}36B x x =≤≤，则AB = (A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6](2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为(A) 12- (B) 12 (C) -2 (D)2 (3)已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的右顶点和抛物线28y x =的焦点重合，则a 的值为 (A)1 (B)2(C)3 (D)4(4)若关于x 的方程1x a x+=在(0,)+∞上有解，则a 的取值范围是 (A)(0， +∞) (B)[1， +∞)(C)[2， +∞) (D)[3， +∞)(5)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的所有棱长构成的集合为(A){} (B){} (C){} (D){2,4,(6)把函数2x y =的图象向左平移t 个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为32x y =⋅，则t 的值为(A ) 3log 2 (B) 2log 3 (C)(D)(7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)记221x y +≤表示的平面区域为W ，点O 为原点，点P 为直线22y x =-上的一个动点．若区域W 上存在点Q ，使得OQ PQ =，则OP 的最大值为(A)1 (B) 第二部分（非选择题共1 10分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离 为( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =( 11)41,log 3,sin 28a b c π===，则这三个数中最大的是 ( 12)已知数列{}n a 满足11n n a a n n+=+，且515a =，则8a =_____． (13)在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则AF =(14)已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ ”． (I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ； (Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②2x y =；③s ()12y in x π=+，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． ( 15)（本小题满分13分）在ABC ∆中，7,8,3a b A π===．(Ⅰ)求sin B 的值；(Ⅱ)若ABC ∆是锐角三角形，求ABC ∆的面积．(16)（本小题满分13分）已知数列{}n a 为等比数列，且1=23nn n a a +-⋅． (I)求公比q 和3a 的值；(Ⅱ)若{}n a 的前n 项和为n S ，求证：13,,n n S a +-成等差数列．(17)（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 的中点。
北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习(二模)数学试题(解析版)
海淀区2023—2024学年第二学期期末练习高三数学2024.05本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1,2,{3}A B x a x =-=≤<∣.若A B ⊆，则a 的最大值为（）A.2 B.0C.1- D.-2【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系可得1a ≤-求解.【详解】由于A B ⊆，所以1a ≤-，故a 的最大值为1-，故选：C2.在52()x x-的展开式中，x 的系数为（）A.40B.10C.40-D.10-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52(x x-的通项1k T +，则()5115C 2k k k k T x x --+=-，化简得()5215C 2k kk k T x -+=⋅-⋅，令2k =，则x 的系数为()225C 240-=，即A 正确.故选：A3.函数()3,0,1,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩是（）A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当0x ≤时，0x ->，则1()(3()3xx f x f x --===，当0x >时，0x -<，则1()3()()3xx f x f x --===，所以函数()f x 是偶函数，由图可知函数()f x 有一个极大值点.故选：B.4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（）A.52B.72C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+=.故选：C.5.在ABC 中，34,5,cos 4AB AC C ===，则BC 的长为（）A.6或32B.6C.3+D.3【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BCBC+-+-===⋅,故22151806CB BC BC -+=⇒=或32，故选：A6.设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（）A.b a a b< B.2b a a b+>C.()sin a b a b -<- D.32a b>【答案】C 【解析】【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C.【详解】对于A ，取2,1a b ==-，则122b aa b=->=-，故A 错误，对于B ，1,1a b ==-，则2b aa b+=，故B 错误，对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=->-≤=，故sin y x x =-在()0,∞+单调递减，故sin 0x x -<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b ->，故()sin a b a b -<-，C 正确，对于D,3,4a b =-=-,则11322716a b =<=，故D 错误，故选：C7.在ABC 中，π,2C CA CB ∠===，点P 满足()1CP CA CB λλ=+- ，且4CP AB ⋅= ，则λ=（）A.14-B.14C.34-D.34【答案】B 【解析】【分析】用CB ，CA 表示AB ，根据0CA CB ⋅=，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.【详解】由题可知，0CA CB ⋅=，故CP AB ⋅()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦，故1684λ-+=，解得14λ=.故选：B.8.设{}n a 是公比为()1q q ≠-的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >.则“0q >”是“n S 存在最小值”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前n 项和公式判断即可【详解】若10a >且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以n S 单调递增，n S 存在最小值1S ，故充分条件成立.若10a >且12q =-时，11112211013212n nn a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，121132nn S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递减，故最大值为1n =时，11S a =，而123n S a <,当n 为偶数时，121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递增，故最小值为2n =，122aS =，所以n S 的最小值为112a ，即由10a >，n S 存在最小值得不到公比0q >,故必要性不成立.故10a >公比“0q >”是“n S 存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9.设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，若集合()(){}0,k k x x y f x x D ≤∈-+∀∈R∣只有1个元素，则称函数()f x 具有性质0x P .下列函数中具有性质1P 的是（）A.()1f x x =- B.()lg f x x=C.()3f x x = D.()πsin2f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据性质1P 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，要满足性质1P ，则()f x 的图象不能在过点()()1,1f 的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：()1f x x =-的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，过点()1,0的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：()lg f x x =的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,0的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：()3f x x =的图象，以及过点()1,1的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,1的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：()πsin2f x x =-的图象，以及过点()1,1-的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点()1,1-的直线1y =-，即0k =，满足题意，故D 正确.故选：D.10.设数列{}n a 的各项均为非零的整数，其前n 项和为n S .若()*,j i i j -∈N为正偶数，均有2ji aa ≥，且20S =，则10S 的最小值为（）A.0B.22C.26D.31【答案】B 【解析】【分析】因为2120S a a =+=，不妨设120,0a a ><，由题意求出3579,,,a a a a 的最小值，46810,,,a a a a 的最小值，10122S a =，令11a =时，10S 有最小值.【详解】因为2120S a a =+=，所以12,a a 互为相反数，不妨设120,0a a ><，为了10S 取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.由题意知：3a 满足312a a ≥，取3a 的最小值12a ；5a 满足51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为1110,42a a a >>，故取5a 的最小值14a ；7a 满足717317531224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，取7a 的最小值18a ；同理，取9a 的最小值116a ；所以135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=，4a 满足422a a ≥，取4a 的最小值22a ；6a 满足62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为20a <，所以2224a a >，取6a 的最小值12a ；8a 满足828418641224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，因为20a <，所以222482a a a >>，取8a 的最小值12a ；同理，取10a 的最小值12a ；所以24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=，所以101211131931922S a a a a a =+=-=，因为数列{}n a 的各项均为非零的整数，所以当11a =时，10S 有最小值22.故选：B【点睛】关键点点睛：10S 有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系2j i a a ≥分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得10S 的最小值.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()2(i)2i R x x +=∈，则x =__________.【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =.故答案为：1.12.已知双曲线22:14x C y -=，则C 的离心率为__________；以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）【答案】①.②.22(1x y ++=或（22(1x y +=）【解析】【分析】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.【详解】22:14x C y -==，又渐近线为12y x =，即20x y -=，故焦点)与()到20x y -=1=，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为22(1xy ++=或22(1x y -+=，故答案为：2；22(1xy ++=或（22(1x y +=）13.已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为__________.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a __________.【答案】①.π②.2-【解析】【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】当0a =时，()2cos 21cos 2x f x x +==,所以最小正周期为2ππ2T ==，()2222cos sin sin sin 1sin 124a a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，(]sin 0,1x ∈，且二次函数开口向下，要使得()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则需要1022a a-≥-，且当sin 1x =时取最小值，故112a -++=-，解得2a =-，故答案为：π，2-14.二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由()2*nn ∈N 个黑白方块构成的n n ⨯二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个n n ⨯二维码在1分钟内被破译的概率不高于1512，则n 的最小值为__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意可得21615260122n⨯≤，即可由不等式求解.【详解】由题意可知n n ⨯的二维码共有22n 个，由21615260122n⨯≤可得2216153126022602n n -⨯⨯≤⇒≤，故2231637n n -≥⇒≥，由于*n ∈N ，所以7n ≥，故答案为：715.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上的动点，DQ ⊥平面1,D PC Q 为垂足.给出下列四个结论：①1D Q CQ =；②线段DQ 的长随线段AP 的长增大而增大；③存在点P ，使得AQ BQ ⊥；④存在点P ，使得PQ //平面1D DA .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据给定条件，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1D PC 的法向量坐标，进而求出点Q 的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1AB =，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)AP t t =≤≤，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,,0)D C D P t ，1(0,1,1),(1,1,0)CD CP t =-=-，令平面1D PC 的法向量(,,)n x y z = ，则10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)n t =- ，由DQ ⊥平面1D PC 于Q ，得((1),,)DQ n t λλλλ==-，即((1),,)Q t λλλ-，((1),1,)CQ t λλλ=-- ，显然2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=，解得21(1)2t λ=-+，于是222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+，对于①，222222221||(1)(1)(1)(1)||D Q t t CQ λλλλλλ=-++--+-+，①正确；对于②，2221||(1)11(1)2(1)2DQ t t t =-++-+-+在[0,1]上单调递增，②正确；对于③，而(1,0,0),(1,1,0)A B ，((1)1,,),((1)1,1,)AQ t BQ t λλλλλλ=--=---，若2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=，显然22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<，即不存在[0,1]t ∈，使得0AQ BQ ⋅=，③错误；对于④，平面1D DA 的一个法向量(0,1,0)DC =，而((1)1,,)PQ t t λλλ=--- ，由0PQ DC t λ⋅=-=，得t λ=，即21(1)2t t =-+，整理得322310t t t -+-=，令32()231,[0,1]f t t t t t =-+-∈，显然函数()f t 在[0,1]上的图象连续不断，而(0)10,(1)10f f =-<=>，因此存在(0,1)t ∈，使得()0f t =，此时PQ ⊄平面1D DA ，因此存在点P ，使得//PQ 平面1D DA ，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=+>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.（1）求ω的值；（2）若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，2ω=；（2）π(,)3+∞.【解析】【分析】（1）选条件①，由ππ1cos()332ω-=的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出ω；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小问1详解】依题意，π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+，选条件①，由(2π)3f =，得ππ2cos()1233ω-+=，即ππ1cos()332ω-=，于是πππ2π,N 333k k ω-=+∈或πππ2π,N 333k k ω*-=-+∈，显然ω的值不唯一，因此函数()f x 不唯一，不符合题意.选条件②，()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，因此()y f x =的最小正周期为函数2cos2y x =的最小正周期π，而0ω>，则2ππω=，所以2ω=.选条件③，()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+，则ππ(()463f f --=，即函数()f x 分别在ππ,63x x ==-时取得最大值､最小值，于是()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≤⨯--=，由()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，得()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≥⨯--=，因此πT =，而0ω>，所以2π2Tω==.【小问2详解】由（1）知π()2cos(213f x x =-+，由(0,)x m ∈，得πππ2(,2)333x m -∈--，由不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解，则有ππ233m ->，解得π3m >，所以m 的取值范围是π(,)3+∞.17.在三棱锥-P ABC 中，2,AB PB M ==为AP 的中点.（1）如图1，若N 为棱PC 上一点，且MN AP ⊥，求证：平面BMN ⊥平面PAC ；（2）如图2，若O 为CA 延长线上一点，且PO ⊥平面,2ABC AC ==，直线PB 与平面ABC 所成角为π6，求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据BM AP ⊥和,MN AP ⊥可证线面垂直，即可求证面面垂直，（2）根据线面角的几何法可得π6PBO ∠=，建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接,,BM MN BN.因为,AB PB M =为AP 的中点，所以BM AP ⊥.又,MN AP ⊥,,MN BM M MN BM ⋂=⊂平面BMN ,所以AP ⊥平面BMN .因为AP ⊂平面,PAC 所以平面BMN ⊥平面PAC .【小问2详解】因为PO ⊥平面,ABC OB ⊂平面,ABC OC ⊂平面ABC ，所以,,PO OB PO OC PBO ∠⊥⊥为直线PB 与平面ABC 所成的角.因为直线PB 与平面ABC 所成角为π6，所以π6PBO ∠=.因为2PB =，所以1,PO OB ==.2=，所以1OA =.又2AB =，故222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -.则())0,1,0,A B，()()0,3,0,0,0,1C P ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()0,3,1PC =-，()BC = ，510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,330.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则)3,1,3n = .设CM 与平面PBC 所成角为θ，则2sin cos ,132511344MC n MC n MC nθ⋅====⋅+⋅.所以直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为213.18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望EX ；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为123,,p p p .试比较123,,p p p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）34（2）分布列见解析；()2116E X =（3）231p p p >>【解析】【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可（2）由题意知X 的所有可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得【小问1详解】根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为603804=.【小问2详解】设事件:A 输入男性照片且识别正确.根据题中数据，()P A 可估计为9031204=.由题意知X 的所有可能取值为1,2,3.()()()31331111,2,3444164416P X P X P X ====⨯===⨯=.所以X 的分布列为X123P34316116所以()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】231p p p >>.19.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点()2,0M 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点,A C ，与直线16x =交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形ABCD 是菱形.求证：直线PD 过定点.【答案】（1）22186x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得22a c +=且12c a =，即可求解,,a b c 得解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得2286,3434t N t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而根据菱形的性质可得BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，即可求解220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.进而根据点斜式求解直线PD 方程，即可求解.【小问1详解】由题意可设椭圆E 的方程为22222221(0),x y a b c a b a b+=>>=-.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以22a c +=且12c a =，所以a c ==.所以26b =.所以椭圆E 的方程为22186x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，令16x =，得14y t =，即1416,P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由223424,2x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得()223412120t y ty ++-=.设()()1122,,,A x y C x y ，则1212221212,3434t y y y y t t +=-=-++.设AC 的中点为()33,N x y ，则12326234y y ty t +==-+.所以3328234x ty t =+=+.因为四边形ABCD 为菱形，所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥.所以直线BD 的斜率为t -.所以直线BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭.令0x =得222862343434t t t y t t t =-=+++.所以220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.设点D 的坐标为()44,x y ，则4343222162142,2343434t t x x y y t t t ===-=-+++，即221614,3434t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭.所以直线PD 的方程为()221414143416161634tt t y x t t ++-=--+，即()746y x t =-.所以直线PD 过定点()4,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20.已知函数()()ln 0)f x x a a =-+>.（1）若1a =，①求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；②求证：函数()f x 恰有一个零点；（2）若()ln 2f x a a ≤+对(),3x a a ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①2y =；②证明见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，（2）求导后构造函数()()(),,3g x x a x a a =-∈，利用导数判断单调性，可得()f x 的最大值为()()()000ln 2f x x a x a =-+-，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()ln 1f x x =-+.①()11f x x =--'.所以()()22,20f f =='.所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为2y =.②由①知()()(]()1ln 11,3,1f x x x f x x =-=-'+∈，且()20f '=.当()1,2x ∈时，因为111x >>-()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，因为111x <<-，所以()0f x '<.所以()f x 在区间()1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减.因为()()()322,3ln20,1e 330f f f -==>+=-+<-+<.所以函数()f x 恰有一个零点.【小问2详解】由()()ln f x x a =-+得()f x -='.设()()(),,3g x x a x a a =-∈，则()10g x '=-<.所以()g x 是(),3a a 上的减函数.因为()()0,320g a g a a =>=-<，所以存在唯一()()()000,3,0x a a g x x a ∈=-=.所以()f x '与()f x 的情况如下：x()0,a x 0x ()0,3x a ()f x '+-()f x极大所以()f x 在区间(),3a a 上的最大值是()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-.当1a ≥时，因为()20g a a =-≤，所以02x a ≤.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+.所以()()0ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.当01a <<时，因为()20g a a =>，所以02x a >.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.设正整数2n ≥，*,i i a d ∈N ，(){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= ，这里1,2,,i n = .若*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，且()1i j A A i j n ⋂=∅≤<≤，则称12,,,n A A A 具有性质P .（1）当3n =时，若123,,A A A 具有性质P ，且11a =，22a =，33a =，令123m d d d =，写出m 的所有可能值；（2）若12,,,n A A A 具有性质P ：①求证：()1,2,,i i a d i n ≤= ；②求1nii ia d =∑的值.【答案】（1）27或32（2）①证明见解析②12n +【解析】【分析】（1）对题目中所给的12,,,n A A A ，我们先通过分析集合中的元素，证明()1,2,,i i a d i n ≤= ，111ni i d ==∑，以及112ni i i a n d =+=∑，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.【小问1详解】对集合S ，记其元素个数为S .先证明2个引理.引理1：若12,,,n A A A 具有性质P ，则()1,2,,i i a d i n ≤= .引理1的证明：假设结论()1,2,,i i a d i n ≤= 不成立.不妨设11a d >，则正整数111a d A -∉，但*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，故11a d -一定属于某个()2i A i n ≤≤，不妨设为2A .则由112a d A -∈知存在正整数k ，使得()11221a d a k d -=+-.这意味着对正整数1112c a d d d =-+，有()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈，()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈，但12A A =∅ ，矛盾.所以假设不成立，从而一定有()1,2,,i i a d i n ≤= ，从而引理1获证.引理2：若12,,,n A A A 具有性质P ，则111ni i d ==∑，且112ni i ia n d =+=∑.证明：取集合{}121,2,...,...n T d d d =.注意到关于正整数k 的不等式()1201...i i n a k d d d d <+-≤等价于12...11i i n i i ia a d d dk d d d -<≤-+，而由引理1有i i a d ≤，即011iia d ≤-<.结合12...n i d d d d 是正整数，知对于正整数k ，12...11i i n i i i a a d d d k d d d -<≤-+当且仅当12...n i iT d d dk d d ≤=，这意味着数列()()11,2,...k i i x a k d k =+-=恰有iT d 项落入集合T ，即i iT T A d ⋂=.而12,,,n A A A 两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个()1i A i n ≤≤，故12...n T A T A T A T ⋂+⋂++⋂=.所以1212......n nT T T T A T A T A T d d d +++=⋂+⋂++⋂=，从而12111...1nd d d +++=，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由{}121,2,...,...n T d d d =知T 中全体元素的和为()1212 (12)n n d d d d d d +，即()12T T +.另一方面，i T A ⋂的全部iT d 个元素可以排成一个首项为i a ，公差为i d 的等差数列.所以i T A ⋂的所有元素之和为11122i i i i i i i iTT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.最后，再将这n 个集合()1,2,...,i T A i n ⋂=的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为112ni i i i T Ta T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.这就得到()11122ni i i i T T T Ta T d d =⎛⎫+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，所以有()221111111222222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T TTn TTn T a a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.即1122ni i iT T na d =+-=+∑，从而112ni i i a n d =+=∑，这就证明了引理2的第二个结论.综上，引理2获证.回到原题.将123,,d d d 从小到大排列为123r r r ≤≤，则123123m d d d r r r ==，由引理2的第一个结论，有1231231111111r r r d d d ++=++=.若13r ≥，则1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤，所以每个不等号都取等，从而1233r r r ===，故12327m r r r ==；情况1：若11r =，则23111110r r r +=-=，矛盾；情况2：若12r =，则231111112r r r +=-=，所以232221111122r r r r r =+≤+=，得24r ≤.此时如果22r =，则3211102r r =-=，矛盾；如果24r =，则32111124r r =-=，从而34r =，故12332m r r r ==；如果23r =，由于12r =，设()()123123,,,,i i i r r r d d d =，{}{}123,,1,2,3i i i =，则12i d =，23i d =.故对于正整数对()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩，有2112231i i k k a a -=--，从而12121223i i i i a k a k A A +=+∈⋂，这与12i i A A ⋂=∅矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当()()123,,3,3,3d d d =时，27m =；当()()123,,4,2,4d d d =时，32m =.所以123m d d d =的所有可能取值是27和32.【小问2详解】①由引理1的结论，即知()1,2,,i i a d i n ≤= ；②由引理2的第二个结论，即知112nii ia n d=+=∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.。
2019海淀高三二模数学(文科)试卷及答案_201905071828241
2海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （ 文 科） ............. 2019.05一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）B （2）D （3）B （4）C （5）C（6）B（7）A（8）D二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（ 9 ）1, （10） 0, 1（11）b （12） 24（13） （14） y = x +1 （答案不唯一），① ②三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 a = 7 ， b = 8 ， A = π，3 所以由正弦定理sin B = sin Ab a得sin B = b sin A = 8 ⨯ 3 =4 3a （Ⅱ）方法 1：7 2 7 因为 a = 7 ， b = 8 ，所以 B > A = π，所以C < π - π - π = π，3即C 一定为锐角, 所以 B 为△ABC 中的最大角所以△ABC 为锐角三角形当且仅当 B 为锐角 因为sin B = 4 3 ，所以cos B = 13 3 37 7因为sin C = sin(A + B )所以 S= sin A cos B + cos A sin B= 5 3 14= 1 ab sin C = 1 ⨯ 7 ⨯8⨯ 5 3 = 10△ABC方法 2：2 2 14由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A233 n n3 得 49 = 64 + c 2 - 2 ⨯ 8 ⨯ c ⨯ 12即c 2 - 8c +15 = 0解得c = 5 或c = 3c = 3= a 2 + c 2 - b 2 <△ABC当时，cos Bc = 5 2ac=a 2+ c 2 - b 2 > 0 ，与 为锐角三角形矛盾，舍去当 时，cos B 2ac0 ，所以 B 为锐角， 因为b > a > c ，所以 B 为最大角，所以△ABC 为锐角三角形所以 S = 1 bc s in A = 1 ⨯ 8⨯ 5⨯ 3= 10 ． △ABC2 2 2所以△ABC 的面积为10（16）（共 13 分）解：（Ⅰ）方法 1：⎧a 2 - a 1 = 6由题设得⎨a - a = 18 ⎩ 3 2因为{a n } 为等比数列，⎧a 2 - a 1 = 6 所以 ⎨a q - a q = 18 ⎩ 2 1所以 q = 3又因为 a 2 - a 1 = a 1q - a 1 = 6所以 a 1 = 3所以 a = 3n经检验，此时 a n +1- a n= 3n +1 - 3n = 2 ⋅ 3n 成立，且{a } 为等比数列所 以 a = 33= 27方法 2：因为 a n - a n -1 = 2 ⋅ 3n -1(n ≥ 2)a n -1 - a n -2 = 2 ⋅ 3n -2a n -2 - a n -3 = 2 ⋅ 3n -331 1 1 n3a - a = 2 ⋅ 3232a - a = 2 ⋅ 3121把上面 n - 1 个等式叠加，得到a n - a 1 = 2 ⋅ (3 + 32 + ... + 3n -1 ) = 3n - 3所以 a n = a 1 - 3 + 3n(n ≥ 2)而 a = a - 3 + 31也符合上式11所以 a n = a 1 - 3 + 3n (n ∈ N *)因为数列{a n } 是等比数列，设公比为qa a - 3 + 3n +1 所以对于∀n ∈N *，有 n +1 = 1= q 恒成立 a a - 3 + 3nn1所以 a - 3 + 3n +1 - q (a - 3 + 3n) = 0即3n (3 - q ) + (a - 3)(1- q ) = 0 所以 q = 3 ， (a 1 - 3)(1 - q ) = 0 而显然 q = 1不成立，所以 a 1 = 3所以 a = 3n所以 a = 33= 27方法 3：⎧⎪a - a = 2 ⋅ 3n -1由题设得： ⎨ n n -1 ，其中 n ≥ 2 ⎪a - a = 2 ⋅ 3n ⎩ n +1 n因为{a n } 为等比数列， 所以a n +1 = q 对于∀n ∈N *恒成立a n⎧⎪a - a = 2 ⋅ 3n -1所以 ⎨ n n -1 ⎪a q - a q = 2 ⋅ 3n ⎩ n n -1n +1 n +1 n n +1 n n +2 n +1 n n 1n 所以 q = 3又因为 a 2 - a 1 = a 1q - a 1 = 6所以 a 1 = 3所 以 a = a q 2 = 2731方法 4：因为{a n } 为等比数列，所以，对于∀n ∈N * ，有 a 2 = a n a n + 2 恒成立由a - a = 2 ⋅ 3n ，得 a = a + 2 ⋅ 3n， a = a + 2 ⋅ 3n +1 = a + 8⋅ 3n所以(a + 2 ⋅ 3n )2= a (a + 8⋅ 3n )nnn所以 a = 3n所以 q = 3 ， a 3 = 27（Ⅱ）因为 a = a q n -1= 3n所以 a = a q n = 3n +1n +113(1 - 3n ) 3n +1 - 3S n =1 - 3 =2 3n +1 - 33n +1 + 3因为 S n - (-3) =+ 3 = 2 2 n +13n +1 - 3 3n +1 + 3a n +1 - S n = 3 - 2 = 2所以 S n - (-3) = a n +1 - S n 所以-3, S n , a n +1 成等差数列ECAD D 1EAD D 1EEC（17）（共 14 分）解：（Ⅰ）方法 1：在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B 作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为CE ⊥ AD ，所以 BF又因为 BC ， BC = CE = 1， AD =3所以四边形 BCEF 为正方形， 且 AF = FE = ED =1 ， F 为 AE 中点在图 2 中，连结GF 因为点G 是 AD 1 的中点， 所以GF又因为 BF EC ， GF GF ，BF ⊂ 平面 BFG ， 所以平面BFG 平面CED 1 ，D 1E , EC ⊂ 平面 D 1EC ，又因为 BG ⊂ 面GFB 方法 2：，所以 BG 平面 D 1EC 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B 作 AE 的垂线，垂足为 F 因为CE ⊥ AD ，所以 BF 又因为 BC ， BC = CE = 1， AD =3 所以四边形 BCEF 为正方形， F 为 AE 中点在图 2 中，连结GF 因为点G 是 AD 1 的中点， 所以GF又 D 1E ⊂ 平面 D 1EC ， GF ⊄ 平面 D 1EC 所以GF 平面 D 1EC又因为BF EC ， EC ⊂ 平面 D 1EC ， BF ⊄ 平面 D 1EC所以 BF 平面 D 1EC 又因为GF所以平面 BFG 平面 D 1EC又因为 BG ⊂ 面GFB 方法 3：，所以 BG 平面 D 1EC 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B 作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为CE ⊥ AD ，所以 BF BF = F ECBF = FAD CM 1 12 3 2 6又因为 BC ， BC = CE = 1， AD =3所以四边形 BCEF 为正方形， AF = FE = ED =1 ，得 AE = 2所以 BC AE ，BC = 1AE 2在图 2 中设点 M 为线段 D 1E 的中点，连结 MG , MC ， 因为点G 是 AD 1 的中点， 所以GMAE ，GM = 1 AE 2所以GM BC ， G M =BC ，所以四边形 MGBC 为平行四边形所以BG 又因为CM ⊂ 平面 D 1EC ， BG ⊄ 平面 D 1EC所以 BG 平面 D 1EC（Ⅱ） 因为平面 D 1EC ⊥ 平面 ABCE ，平面 D 1EC 平面 ABCE = EC ,D 1E ⊥ EC , D 1E ⊂ 平面 D 1EC ，所以 D 1E ⊥ 平面 ABCE 又因为 AB ⊂ 平面 ABCE 所以 D 1E ⊥ AB又 AB = 2, BE = 2, AE = 2 ，满足 AE 2 = AB 2 + BE 2，所以 BE ⊥ AB 又 BE D 1E = E所以 AB ⊥ 平面 D 1EB （Ⅲ） CE ⊥ D 1E ,CE ⊥ AE ， AE D 1E = E所以CE ⊥ 面D 1 AE线段CE 为三棱锥C - D 1 AE 底面 D 1 AE 的高V1 1 1 1 1所以 D -GEC = 2 V C -D AE = ⋅ ⋅ ⋅1⋅ 2 ⋅1 =18. （共 13 分）解：（Ⅰ）设事件 A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65 单”依题意， 连锁店的人均日快递业务量不少于 65 单的频率分别为：0.2，0.15，0.05因为0.2 + 0.15 + 0.05 = 0.4所以 P (A ) 估计为0.4 .（Ⅱ）设事件 B 为“从四名骑手中随机选取 2 人，至少有 1 名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取 2 名骑手，有 6 种情况，即{ 甲， 乙} ， { 甲， 丙} ， { 甲， 丁} ， { 乙， 丙} ， { 乙，丁} ， { 丙，丁} 其中至少有 1 名骑手选择方案（1 ）的情况为 {甲，乙} ，{甲，丙},，{甲，丁}， {乙，丙}，{乙，丁}所以 P (B ) = 56（Ⅲ）方法 1：快餐店人均日快递量的平均数是：30 ⨯ 0.05 + 40 ⨯ 0.05 + 50 ⨯ 0.2 + 60 ⨯ 0.3 + 70 ⨯ 0.2 + 80 ⨯ 0.15 + 90 ⨯ 0.05 = 62 因此，方案（1）日工资约为50 + 62 ⨯ 3 = 236方案 2 日工资约为100 +(62 - 44)⨯5 =190 <236故骑手应选择方案（1）方法 2：设骑手每日完成快递业务量为 n 件方案（1）的日工资 y 1 = 50 + 3n (n ∈N *) ，⎧⎪100, n ≤ 44, n ∈ N *方案（2）的日工资 y 2 = ⎨ *⎪⎩100 + 5(n - 44), n > 44, n ∈ N当 n < 17 时， y 1 < y 2依题意，可以知道 n ≥ 25 ，所以这种情况不予考虑当 n ≥ 25 时令50 + 3n >100 + 5(n - 44) 则 n < 85即若骑手每日完成快递业务量在85 件以下，则方案（1）日工资大于方案（2） 日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85 件的频率是0.05 ，较低，故建议骑手应选择方案（1）方法 3：设骑手每日完成快递业务量为 n 单，方案（1）的日工资 y 1 = 50 + 3n (n ∈N *) ，⎧⎪100, n ≤ 44, n ∈ N *方案（2）的日工资 y 2 = ⎨ *⎪⎩100 + 5(n - 44), n > 44, n ∈ N所以方案（1）日工资约为140 ⨯ 0.05 +170 ⨯ 0.05 + 200 ⨯ 0.2 + 230 ⨯ 0.3 + 260 ⨯ 0.2 + 290 ⨯ 0.15 + 320⨯ 0.05 = 236方案（2）日工资约为100 ⨯ 0.05 +100 ⨯ 0.05 +130⨯ 0.2 + 180⨯ 0.3 + 230⨯ 0.2 + 280⨯ 0.15 + 330⨯ 0.05= 194.5因为236 > 194.5 ，所以建议骑手选择方案（1）.19.（共 14 分）解：（Ⅰ）因为 f (x ) = e x (ax 2 + x +1) ，所以 f '(x ) = e x (x + 2)(ax +1) 所以 f '(-2) = 0 ， 所以切线的倾斜角为0 （Ⅱ）因为 f '(x ) = e x (x + 2)(ax +1)当a = 0 时，令 f '(x ) = 0 ，得 x 1 = -2当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：当a ≠ 0 时，令 f '(x ) = 0 ，得 x = -2, x = - 11 2 a当 a < 0 时，当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：由上表函数 f (x ) 的极大值 f (- - 1= e a> e 0 = 1，满足题意a当 a = 1 时， f '(x ) = 1 e x (x + 2)2≥ 0 ，2 2所以函数 f (x ) 单调递增，没有极大值，舍去当 a > 1时，当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：f (-2) = e (4a -1) > 1 e 2 + 1解得 a >4当0 < a < 1时，当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：由上表函数 f (x ) 的极大值 f (- 1 - = e a<1 ，不合题意ae 2 +1综上， a 的取值范围是(-∞,0) ( , +∞)46 2 y 0 0 20. （共 13 分）解= 所以b = 椭圆方程为 x y 2 + = 1 4 2 焦点坐标分别为 F 1(- （Ⅱ）(i)方法 1：2,0), F 2 ( 2,0),设 P (x 0 , y 0 ) ，则 x 02 4+ y 022= 1 依题意 x 0 ≠ ±2, y 0 ≠ 0 ， A (-2,0), 所以 M ( x 0- 2 , y 0 ) 2 2所以直线 PA 的斜率 k Ap = y 0 x 0 + 2因为 PA ⊥ MQ ，所以 k PA ⋅ k MQ = -1所以直线 MQ 的斜率 k MQ =- x 0 + 2y 0所以直线 MQ 的方程为 y - y 0 = - x 0 + 2 (x - x 0 - 2)2 y 0 2令 x = 0 ，得到 y Q = y 0 + (x 0 + 2)(x 0 - 2) 2 2 y 0x 2 2因为 + = 14 2 所以 y =- y 0 ， 所以Q (0, - y 0 )Q 2 2 所以 H 是 M ,Q 的中点，所以点 M ,Q 关于点 H 对称方法 2：设 P (x 0 , y 0 ) ，直线 AP 的方程为 y = k (x + 2)⎧ x 2 + y 2 = ⎪ 1 联立方程⎨ 4 2⎪⎩ y = k (x + 2)2消元得(1+ 2k 2 )x 2 + 8k 2 x + 8k 2 - 4 = 0所以∆ = 16 > 0-8k 2所以 x 0 + (-2) = 1 + 2k 2-4k 2 + 2所以 x 0 = 1 + 2k 2-4k 2 -4k 2 2k 所以 x M = 1 + 2k 2 ， y M = k ( + 2) = 1+ 2k 2所以 M ( -4k 2 2 , 2k 2 )1+ 2k 1+ 2k 因为 AP ⊥ MQ ，所以 K MQ =- 1 k所以直线 MQ 的方程为 y - 2k = - 1 1+ 2k 2 k (x - -4k 2 1+ 2k 2 ) 2k 1 4k 2 -2k令 x = 0 ，得到 y Q = 1+ 2k 2 - k ⋅ 1+ 2k 2 = 1+ 2k 2所以 Q (0, -2k 1 + 2k 2) 所以 H 是 M ,Q 的中点，所以点 M ,Q 关于点 H 对称方法 3：设 P (x 0 , y 0 ) ，直线 AP 的方程为 x = ty - 2⎧ x 2 + y 2 = ⎪ 1 联立方程 ⎨ 4 2⎪⎩x = ty - 2消元得， (t 2 + 2) y 2 - 4ty = 0因为0 + y 0 = 4t t 2 + 2 ，所以 y 0 = 4t t 2 + 2所以 y M = 2t t 2 + 2 x M = -4 t 2 + 2， 所以 M ( -4 , t 2 + 2 2t t 2 + 2) 因为 AP ⊥ MQ ，所以 K MQ =- 1 k所以直线 MQ 的方程为 y - 2t t 2 + 2 = -t (x - -4 t 2 + 2令 x = 0 ，得到 y Q = -2t t 2 + 2 ，所以Q (0, -2t t 2 + 2所以 H 是 M ,Q 的中点，所以点 M ,Q 关于点 H 对称1+ 2k 2y 0 0 （ii ）方法 1：因为△APQ 为直角三角形， 且| PQ |=| AQ | ，所以△APQ 为等腰直角三角形所以| AP |= 2 | AQ |因为 P (x , y ) ， Q (0, - y 0 ) 0 0 2=化简，得到3x 2 +16x-12 = 0 ，解得 x = 2 , x = -6 （舍） 0 0 0 3 0 P 2即点 的横坐标为 3方法 2：因为△APQ 为直角三角形， 且| PQ |=| AQ | ，所以∠AQP = 90︒ ，所以 AQ ⋅ PQ = 0因为 P (x , y ) ， Q (0, - y 0 ) ，0 0 2所以 AQ = (2, - y 0 ) ， PQ = (-x , - 3y 0 )2 0 2所以(2, - y 0 ) ⋅ (-x , - 3y 0 ) = 020 2 3y 2 即 -2x + 0 =0 0 4x 2 2 因为 + = 14 2 化简，得到3x 2 +16x -12 = 0 ，解得 x = 2 , x= -6 （舍） 0 0 0 3 0 P 2即点 的横坐标为 3 方法 3：因为△APQ 为直角三角形，且| PQ |=| AQ | ，所以∠AQP = 90︒所以| AP |= 2 | MQ |因为 P (x , y ) ， Q (0, -y 0 ) ， M ( x 0 - 2 , y 0 ) 0 02= 2 2y 0 0 化简得到8x - 3y 2 = 0 0 0x 2 2 因为 + = 14 2化简，得到3x 2 +16x -12 = 0 ，解得x = 2 , x = -6 （舍） 0 0 0 3 0 P 2即点 的横坐标为 3方法 4：因为△APQ 为直角三角形，所以∠AQP = 90︒ 所以点 A , P ,Q 都在以 AP 为直径的圆上，因为 P (x , y ) ， Q (0, - y 0 ) ， A (-2, 0)0 0 2所以有(x - -2 + x 0)2 + ( y - y 0 )2 =所以 -2x 0 x 0222 3y 2 + 0 = 0 4 y 02因为 + = 1 4 2 化简，得到3x 2 +16x -12 = 0 ，解得 x = 2 , x = -6 （舍） 0 0 0 3 0 P 2即点 的横坐标为 3。
北京海淀区高三二模数学 文科 试卷及答案解析
又因为 BC AD ， BC CE 1， AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形， AF FE ED 1 ，得 AE 2 所以 BC AE， BC= 1 AE
2 在图 2 中设点 M 为线段 D1E 的中点，连结 MG, MC ， 因为点 G 是 AD1 的中点， 所以 GM AE， GM = 1 AE
2 所以 GM BC，GM =BC ，所以四边形 MGBC 为平行四边形 所以 BG CM 又因为 CM 平面 D1EC ， BG 平面 D1EC 所以 BG 平面 D1EC （Ⅱ） 因为平面 D1EC 平面 ABCE ，
平面 D1EC 平面 ABCE EC , D1E EC, D1E 平面 D1EC ， 所以 D1E 平面 ABCE 又因为 AB 平面 ABCE 所以 D1E AB 又 AB 2, BE 2, AE 2 ，满足 AE2 AB2 BE2 ， 所以 BE AB 又 BE D1E E 所以 AB 平面 D1EB （Ⅲ） CE D1E,CE AE ， AE D1E E
又因为 BF EC ， EC 平面 D1EC ， BF 平面 D1EC 所以 BF 平面 D1EC
又因为 GF BF F 所以平面 BFG 平面 D1EC 又因为 BG 面GFB ，所以 BG 平面 D1EC 方法 3： 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为 CE AD ，所以 BF EC
an1 an2 2 3n2 an2 an3 2 3n3
2 / 13
a3 a2 2 32
a2 a1 2 31 把上面 n 1 个等式叠加，得到
2023年北京市海淀区中考数学二模试卷含答案解析
2023年北京市海淀区中考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 一个正五棱柱如右图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是( )A.B.C.D.2. 下列运算正确的是( )A. B.C. D.3. 实数在数轴上对应点的位置如图所示若实数满足，则的值可以是( )A. B. C. D.4. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )A.B.C.D.5. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是( )A. B. C. D.6. 如果，那么代数式的值是( )A. B. C. D.7. 如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是( )A. B. C. D.8. 小明近期计划阅读一本总页数不低于页的名著，他制定的阅读计划如下：星期一二三四五六日页数若小明按照计划从星期开始连续阅读，天后剩下的页数为，则与的图象可能为( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．10. 分解因式：．11. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是______ ．12. 如图，正方形，点在直线上，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则正方形的边长为______ ．13. 在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上若，写出一个满足条件的的值______ ．14. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱，咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示：种子数量发芽数量发芽率据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是______ 填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”．15. 如图，为的弦，为上一点，于点若，，则______ ．16. 四个互不相等的实数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，其中，，为整数，．若，则，，中与距离最小的点为______ ；若在，，中，点与点的距离最小，则符合条件的点有______ 个三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。
2023-2北京海淀高三二模数学试卷+答案
2023北京海淀高三二模数 学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{12},{0,1}A xx B =−<<=∣，则（ ） A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B =∅2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点(1,2)P ，则sin α=（ ）A ．5B ．5C ．2D ．123．若()*(2)nx n −∈N 的展开式中常数项为32，则n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A ．lg y x =B ．2y x=C ．||2x y = D ．tan y x = 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11233,a a a a =−=，则n S 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．46．已知抛物线2:4C y x =，经过点P 的任意一条直线与C 均有公共点，则点P 的坐标可以为（ ） A ．(0,1) B ．(1,3)− C ．(3,4) D ．(2,2)−7．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．=100%⨯切割得到的无坏点的芯片数产品良率切割得到的所有芯片数在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的12．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（ ）A ．50%B ．625%．C ．75%D ．875%． 8．已知正方形ABCD 所在平面与正方形CDEF 所在平面互相垂直，且2CD =，P 是对角线CE 的中点，Q是对角线BD 上一个动点，则P ，Q 两点之间距离的最小值为（ ）A ．1BC ．2D 9．已知a b ，是平面内两个非零向量，那么“a b ∥”是“存在0λ≠，使得||||||a b a b λλ+=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知动直线l 与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒．若l 与圆22(2)25x y −+=相交所得的弦长为t ，则t 的最大值与最小值之差为（ ）A ．10−．1 C ．8 D ．2第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
海淀区2023年高三二模数学试题答案
海淀区2022—2023学年第二学期期末练习高三数学 参考答案一、选择题二、填空题（11）2（12）22142x y −=（13）81；（14）(,1)(0,1)−∞−；1[8（15）②③④三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由()sin cos cos(2)44446πππππ=+⨯+f a1sin 62π== 得2a =.所以，()2sin cos cos(2)6π=++f x x x xsin 2cos2cos sin 2sin 66ππ=+−x x x1sin 222=+x x sin(2)3π=+x所以，()f x 的最小正周期22π==πT . （Ⅱ）由222232k x k ππππ−≤+≤π+得1212k x k 5πππ−≤≤π+()k ∈Z ，所以()sin(2)3f x x π=+的单调递增区间为[,]1212k k 5πππ−π+()k ∈Z .当0k =时，()f x 的单调递增区间为[,]12125ππ−，当1k =时，()f x 的单调递增区间为[,]12127π13π， 所以()f x 在[0,]π上的单调递增区间为[0,]12π，[,]127ππ.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意知，男女比例为16∶9，则1210516189a +++=，故5a =.估计A 学院学生5月跑步里程在[0,30)中的男生人数为5100010050⨯=人. （Ⅱ）X 的取值范围是{1,2,3}.()()()1252372152373537511,3572042,3571023.357C C P X C C C P X C C P X C ============ 因此X 的分布列为14215()1237777E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）存在满足条件的λ，且λ的最大值为19.设B 学院女生人数为x ，则男生人数为x λ, 则594559451B x x x x x λλλλ++==++，而506404036023210005A x ⨯+⨯==.依题意，A B x x ≥，得232594551λλ+≥+，解得19λ≤，所以λ的最大值为19.（18）（本小题13分）（Ⅰ）取PC 中点M ，连接,FM BM .在PCD △中，,M F 分别为,PC PD 的中点，所以MF DC ，1=2MF DC .在菱形ABCD 中，因为AB DC ，12BE DC =， 所以BEMF ，=BE MF .所以四边形BEMF 为平行四边形，因此EF BM .又因为EF ⊄平面PBC ，BM ⊂平面PBC ， 所以EF平面PBC .（Ⅱ）选择条件①: DE PC ⊥因为PD ⊥平面ABCD ，,DE DC ⊂平面ABCD ，所以PD DE ⊥，PD DC ⊥. 又因为DE PC ⊥，PDPC P =所以DE ⊥平面PCD ，又DC ⊂平面PCD 所以DE DC ⊥所以建立如图空间直角坐标系D xyz −． 又因为ABDC ，DE AB ⊥.又E 为AB 中点，所以AD DB =，即ADB △为正三角形.因为AD =3DE =. 设(0,0,)(0)F t t >，(3,0,0)E，C . (3,0,)EF t =−,(EC =−.平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则 220,0.EF EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得30,30.x tz x −+=⎧⎪⎨−+=⎪⎩取2x t =，则y =，6z =.所以2(2,6)t =n .由题意，二面角E FC D −−的大小为45°所以121212|cos ,|||||||⋅<>=n n n n nn |== 解得6t =±（舍负）.因为F 是PD 的中点，所以PD 的长为12. 经检验符合题意. 选择条件②：因为PD ⊥平面ABCD ，,,DB DC DE ⊂平面ABCD ， 所以PD DB ⊥，PD DC ⊥，PD DE ⊥. 又因为222PB PD BD =+，222PC PD DC =+，且PB PC =所以BD DC =，在菱形ABCD 中，AB BD AD ==， 即ADB △为正三角形.又因为E 为AB 中点，所以DE DC ⊥ 建立如图空间直角坐标系D xyz −． 又因为ABDC ，DE AB ⊥.因为ADB △为正三角形.且AD =3DE =. 设(0,0,)(0)F t t >，(3,0,0)E，C . (3,0,)EF t =−,(EC =−.平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则 220,0.EF EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得30,30.x tz x −+=⎧⎪⎨−+=⎪⎩取2x t =，则y =，6z =.所以2(2,6)t =n .由题意，二面角E FC D −−的大小为45° 所以121212|cos ,|||||||⋅<>=n n n n nn |==解得6t =±（舍负）.因为F 是PD 的中点，所以PD 的长为12. 经检验符合题意.19. （本小题15分）解：（Ⅰ）由直线1AB的方程为0x =，可得1((0,1)A B .所以，1a b =，由222a b c =+得，c = 椭圆E 的方程为2213x y +=，离心率c e a ==.（Ⅱ）依题意，设00(,)P x y （000,0x y >>），则00(,)M x y −.且由P 是椭圆上一点，可得220013x y +=. 直线1AB的方程为1y =+，01x y +=得，01)x y =−.所以001),)Q y y −. 直线2PB 的方程为0011y y x x +=−，令01)x y =−，得2020000)1)3111x y y x x −−=−=−=−.即001),1)N y −−.所以001M N MNM N y y y k x x −++−==−. 即直线MN 的倾斜角是π6，所以π3MNQ ∠=.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）对()f x求导得()f x '= 可得(1)1f '=.又可知(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y −−=. （Ⅱ）因为0x >0>.x x <，只需证ln x <，即证ln 0x −<.令()ln h x x =−，求导得1()h x x '==.令'()0,h x =解得4x =.可知,()x h x '与()h x 的变化情况如下表：所以()(4)ln 420h x h ≤=−<.所以ln 0x <恒成立. 即原不等式成立.（Ⅲ）2()()g x x a x x =+−，因为1x >20,0x x x >−>.所以当0a ≥时，()0g x >在(1,)+∞上恒成立，符合题意. 当0a <时，'()(21)g x a x =−. 令()()t x g x '=，则11()22022t x a a '=−=<在(1,)+∞上恒成立.所以()()t x g x '=在(1,)+∞上单调递减.(1)1g a '=+.①当(1)10g a '=+≤即1a ≤−时，()0g x '<在(1,)+∞上恒成立. 所以()g x 在(1,)+∞上单调递减.所以()(1)0g x g <=在(1,)+∞上恒成立，符合题意. ②当(1)10g a '=+>即10a −<<时，因为1x >且由（Ⅱ）知ln x ，所以'()(21)g x a x =+−1(21)1(21)2a x a x <−<++−. 所以11'(1)02g a a −<−<，所以存在01(1,1)x a∈−使得0'()0g x =，因此,'()x g x 与()g x 的变化情况如下表：所以0()(1)0g x g >=. x x <，可以得22()()()(1)g x x a x x x a x x x ax a +−<+−=+−. 令11x a =−，得1(1)0g a−<. 所以()g x 在区间(1,)+∞上存在零点，不合题意，舍去. 综上，a 的取值范围是(,1][0,)−∞−+∞.（21）（本小题15分）解: （Ⅰ）依题意，15a =，11 2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，，为偶数， 所以2345663421a a a a a =====，，，，. 从而6m =．（Ⅱ）依题意，11 2n n n n n a a a a a +−⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，，为偶数，11a ≠．下面证明对于任意的正整数1k ≠，当1a k =时，均存在数列{}n a 为1P −数列．12a =时，21a =，2m =符合题意．反证，假设存在正整数1k ≠，当1a k =时，不存在数列{}n a 为1P −数列， 设此时k 的最小值为M （3M ≥），即12,3,4,,1a M =−时存在1P −数列，1a M =时不存在1P −数列．（1）当M 为奇数时，因为存在以1M −为首项的1P −数列12,,,m a a a ，所以12,,,,m M a a a 就是首项为M 的1P −数列，与假设矛盾．（2）当M 为偶数时， 因为存在以2M为首项的1P −数列12,,,m a a a ，所以12,,,,m M a a a 就是首项为M 的1P −数列，与假设矛盾．综上，1a 的所有可能取值为全体大于1的正整数．（Ⅲ）依题意，11 2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，，为偶数, 1m a =，12m a −=，24m a −=，… .（1）先证明2d =符合题意，即212log 2a m +≥． 当2m =时，显然成立．当3m ≥时，对任意3i a ≥，21,1,224i ii i a a a a ++⎧⎫∈+⎨⎬⎩⎭．故212i i a a +≤+，即222(2)i i a a +−≥−．（i ）当21(1,2,)m t t =+=时，有11222(2)2t t m a a −−−≥−=，1212222m ta −≥+=+．所以122122log 22log (2)21m a m m −+>+=+>．（ii ）当22(1,2,)m t t =+=时， 有12222(2)2t t m a a −−−≥−=，1222222m ta −≥+=+，1212121m a a −≥−=+．所以122122log 22log (2)2m a m −+>+=．（2）再证明2d ≥．对任意的偶数2(2,3,)m t t ==，令122211,3,,1222,4,,21 .m n m n n n m a n m n m −−−⎧+=−⎪⎪⎪=+=−⎨⎪⎪=⎪⎩，，，，，（i ）先验证{}n a 为1P 数列：当1,3,,3n m =−时，1221m n n a −−=+为奇数，(1)21221m n n n a a −++=+=+，符合②．当2,4,,2n m =−时，222m n n a −=+为偶数，(1)1211212m n n n a a −+−+=+=，符合②． 当1n m =−时，121m m a a −==，，符合②． 又{}n a 符合①，所以{}n a 为1P 数列． （ii ）下面证明2d <不符合题意． 假设2d <．因为2(2,3,)m t t ∀==，112221222log 2log (21)22log (12)m m d m a m −−≥−=−+=−+．即2(2,3,)m t t ∀==，12222log (21)d m −≤−−，矛盾．综上，d 的最小值为2．。
北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)
高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|1≤x≤5}，B={x|3≤x≤6}，则A∩B=（）A. [1，3]B. [3，5]C. [5，6]D. [1，6]2.复数z=a+i（i∈R）的实部是虚部的2倍，则a的值为（）A. B. C. -2 D. 23.已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.若关于x的方程在（0，+∞）上有解，则a的取值范围是（）A. （0，+∞）B. [1，+∞）C. [2，+∞）D. [3，+∞）5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱长构成的集合为（）A.B.C.D.6.把函数y=2x的图象向左平移t个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为y=3•2x，则t的值为（）A. log32B. log23C.D.7.已知函数（），则“函数的图象经过点”是“函数的图象经过点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.记x2+y2≤1表示的平面区域为W，点O为原点，点P为直线y=2x-2上的一个动点，若区域W上存在点Q，使得|OQ|=|PQ|，则|OP|的最大值为（）A. 1B.C.D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知直线l1：x-y+1=0与l2：x+ay+3=0平行，则a=______，l1与l2之间的距离为______10.已知函数f（x）=（x+t）（x-t2）是偶函数，则t=______11.，则这三个数中最大的是______12.已知数列{a n}满足，且，则__________．13.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E为BC的中点，点F在线段DC上．若，且点P在直线AC上，则=______14.已知集合A0={x|0＜x＜1}．给定一个函数y=f（x），定义集合A n={y|y=f（x），x∈A n-1}若A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y=f（x）具有性质“g”．（Ⅰ）具有性质“g”的一个一次函数的解析式可以是______；（Ⅱ）给出下列函数：①；②y=2x；③，其中具有性质“g”的函数的序号是______．（写出所有正确答案的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，求△ABC的面积．16.已知数列{a n}为等比数列，且．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证：-3，S n，a n+1成等差数列．17.如图1所示，在等腰梯形ABCD，BC∥AD，CE⊥AD，垂足为E，AD=3BC=3，EC=1．将△DEC沿EC折起到△D1EC的位置，使平面△D1EC⊥平面ABCE，如图2所示，点G为棱AD1的中点．（Ⅱ）求证：BG∥平面D1EC；（Ⅱ）求证：AB⊥平面D1EB；（Ⅲ）求三棱锥D1-GEC的体积．18.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙选择了日工资方案（1），丙、丁选择了日工资方案（2）．现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（1）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）19.已知函数f（x）=e x（ax2+x+1）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（-2，f（-2））处的切线的倾斜角；（Ⅱ）若函数f（x）的极大值大于1，求a的取值范围．20.已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，线段AP的垂直平分线分别与线段AP、x轴、y轴相交于不同的三点M，H，Q．（ⅰ）求证：点M，Q关于点H对称；（ⅱ）若△PAQ为直角三角形，求点P的横坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|1≤x≤5}，B={x|3≤x≤6}；∴A∩B=[3，5]．故选：B．进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：∵复数z=a+i（i∈R）的实部是虚部的2倍，∴a=2．故选：D．直接利用复数的基本概念求解．本题考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意可知抛物线的焦点坐标为：（2，0），双曲线的右顶点和抛物线y2=8x的焦点重合，则a的值为：2．故选：B．求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件转化求解即可．本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：当a＞0时，x+=2，当且仅当x=．即x=1时，取等号，要使方程在（0，+∞）上有解，则a≥2，即实数a的取值范围是[2，+∞），故选：C．根据函数与方程之间的关系，结合基本不等式求出x+≥2，即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，结合基本不等式求出x+的范围是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体的下底面为腰长为，底为4的等腰三角形．故：利用勾股定理：解得：各棱长为：4，，，，故选：C．直接把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用勾股定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的关系式的平移变换的应用，对数的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．首年利用关系式的平移变换，进一步利用对应关系式求出结果．【解答】解：函数y=2x的图象向左平移t个单位长度，得到y=2x+t=2x•2t的图象，对应函数的解析式为y=3•2x，故：2t=3，解得：t=log23，故选：B．7.【答案】A【解析】解：当函数f（x）的图象经过点（，1）时，得sin=1，所以ω=8k+2，k∈Z，则f（）=sin（4kπ+π）=0，即”函数f（x）的图象经过点（，1）”能推出“函数f（x）的图象经过点（）”当函数f（x）的图象经过点（），所以f（）=0，所以sin=0，所以=kπ，所以ω=2k，k∈Z，即f（）=sin，不能推出f（）=1，即“函数f（x）的图象经过点（，1）”是“函数f（x）的图象经过点（）”的充分不必要条件，故选：A．由三角函数求值易得：“函数f（x）的图象经过点（，1）”是“函数f（x）的图象经过点（）”的充分不必要条件，得解．本题考查了三角函数求值及充分必要条件，属中档题．8.【答案】D【解析】解：x2+y2≤1表示的平面区域为单位圆W，画出直线y=2x-2与单位圆W，如图所示；由图形知，|OQ|的最大值为1，此时|PQ|=|OQ|=1，对应|OP|的最大值|OQ|+|QP|=2．故选：D．画出x2+y2≤1表示的平面区域和直线y=2x-2，结合题意知|OQ|的最大值为1，由此求得|PQ|=|OQ|=1，|OP|的最大值为2．本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合应用问题，是基础题．9.【答案】-1【解析】解：直线l1：x-y+1=0与l2：x+ay+3=0平行，则1•a-（-1）•1=0，解得a=-1，直线l2：x-y+3=0；则l1与l2之间的距离为d==．故答案为：-1，．根据直线l1与l2平行求得a的值，再计算两平行直线l1与l2之间的距离．本题考查了平行线的定义与距离的计算问题，是基础题．10.【答案】0或1【解析】解：根据题意，函数f（x）=（x+t）（x-t2）=x2+（t-t2）x-t3，为二次函数，其对称轴为x=，若函数f（x）=（x+t）（x-t2）是偶函数，则=0，解可得t=0或1；故答案为：0或1．根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=x2+（t-t2）x-t3，分析其对称轴，结合二次函数的性质可得=0，解可得t的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．11.【答案】b【解析】解：∵，∴b=log43＞log42=，sin＜sin=．∴这三个数中最大的是b．故答案为：b．利用对数函数、正弦函数的性质直接求解．本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、正弦函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】24【解析】解：数列{a n}满足，可得，可得a8=a5×=24．故答案为：24．利用递推关系式，通过累积法求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】【解析】解：依题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，则A（0，0），E（2，），设F（x，1），C（2，1）则=（2，），=（x，1）.=（2，1）因为，且点P在直线AC上，所以==（2+x，）=λ=（2λ，λ），即，所以x=1，即=（1，1），所以||==．故填：．以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，则，可以表示为坐标形式，根据，且点P在直线AC上，列方程即可得到．本题通过求向量的模，考查了向量的坐标运算，向量共线的坐标表示，模长的坐标表示等知识，主要考查运算能力，属于基础题．14.【答案】y=x+1（答案不唯一），①①②【解析】解：（I）取k为定值，如k=1，然后找到合适的b即可，如y=x+1．y=x+2等．（Ⅱ）①时，A1=（1，+∞），而A2=（0，1），即A2k+1={x|x＞1}，A2k={x|0＜x＜1}，满足性质“g”；②y=2x时，A1=（1，2），A2=（2，4）……A n=（2n，2n+1），满足性质“g”；③，A1=（1，2），A2=（1，2），∵A1=A2，故不满足性质“g”；故填：（I）y=x+1，（Ⅱ）①②．（I）取定k，如k=1，然后找到合适的b即可，如y=x+1．y=x+2等．（Ⅱ）分别求出个函数对应的A n，判断是否满足具有性质“g”即可．本题考查了新定义“性质g”，理解好性质g，是正确解决问题的前提．通过考查性质g，还考查了函数的值域等知识，本题属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为a=7，b=8，，所以由正弦定理得（Ⅱ）方法1：因为a=7，b=8，所以，所以，即C一定为锐角，所以B为△ABC中的最大角所以△ABC为锐角三角形当且仅当B为锐角因为，所以因为sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=所以方法2：由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得即c2-8c+15=0解得c=5或c=3当c=3时，，与△ABC为锐角三角形矛盾，舍去当c=5时，，所以B为锐角，因为b＞a＞c，所以B为最大角，所以△ABC为锐角三角形所以．所以△ABC的面积为【解析】（Ⅰ）由正弦定理直接进行计算即可（Ⅱ）结合余弦定理以及锐角三角形的性质进行求解即可本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及锐角三角形的性质进行求解是解决本题的关键．16.【答案】（Ⅰ）解：由题设得，∵{a n}为等比数列，∴，∴q=3，又∵a2-a1=a1q-a1=6，∴a1=3，∴，经检验，此时成立，且{a n}为等比数列，∴；（Ⅱ）证明：∵，∴，，∵，∴，∴S n-（-3）=a n+1-S n，∴-3，S n，a n+1成等差数列．【解析】（Ⅰ）由题设得，结合{a n}为等比数列即可求得首项与公比，进一步求得a3的值；（Ⅱ）由，可得，，然后利用等差中项的概念证明-3，S n，a n+1成等差数列．本题考查等差数列的性质，考查等比数列的前n项和，考查计算能力，是中档题．17.【答案】（Ⅰ）证明：在图1的等腰梯形ABCD内，过B作AE的垂线，垂足为F，∵CE⊥AD，∴BF∥EC，又∵BC∥AD，BC=CE=1，AD=3，∴四边形BCEF为正方形，且AF=FE=ED=1，F为AE中点．在图2中，连结GF，∵点G是AD1的中点，∴GF∥D1E．又∵BF∥EC，GF∩BF=F，GF，BF⊂平面BFG，D1E，EC⊂平面D1EC，∴平面BFG∥平面CED1，又∵BG⊂面GFB，∴BG∥平面D1EC；（Ⅱ）证明：∵平面D1EC⊥平面ABCE，平面D1EC∩平面ABCE=EC，D1E⊥EC，D1E⊂平面D1EC，∴D1E⊥平面ABCE．又∵AB⊂平面ABCE，∴D1E⊥AB．又，满足AE2=AB2+BE2，∴BE⊥AB．又BE∩D1E=E，AB⊥平面D1EB；（Ⅲ）解：∵CE⊥D1E，CE⊥AE，AE∩D1E=E，∴CE⊥面D1AE．又线段CE为三棱锥C-D1AE底面D1AE的高，∴．【解析】（Ⅰ）在图1的等腰梯形ABCD内，过B作AE的垂线，垂足为F，可得四边形BCEF为正方形，且AF=FE=ED=1，F为AE中点．在图2中，连结GF，证明GF∥D1E．结合BF∥EC，利用平面与平面平行的判定可得平面BFG∥平面CED1，从而得到BG∥平面D1EC；（Ⅱ）由平面D1EC⊥平面ABCE，D1E⊥EC，得D1E⊥平面ABCE．进一步得到D1E⊥AB．求解三角形证明BE⊥AB．再由线面垂直的判定可得AB⊥平面D1EB；（Ⅲ）证明CE⊥面D1AE，可得线段CE为三棱锥C-D1AE底面D1AE的高，然后利用等积法求三棱锥D1-GEC的体积．本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05因为0.2+0.15+0.05=0.4所以估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率P（A）=0.4．（Ⅱ）设事件B为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，有6种情况，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，其中至少有1名骑手选择方案（1）的情况为：{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}所以至少有1名骑手选择方案（1）的概率（Ⅲ）方法1：快餐店人均日快递量的平均数是：30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05=62因此，方案（1）日工资约为50+62×3=236方案2日工资约为100+（62-44）×5=190＜236故骑手应选择方案（1）方法2：设骑手每日完成快递业务量为n件方案（1）的日工资，方案（2）的日工资当n＜17时，y1＜y2依题意，可以知道n≥25，所以这种情况不予考虑当n≥25时，令50+3n＞100+5（n-44），则n＜85，即若骑手每日完成快递业务量在85件以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85件的频率是0.05，较低，故建议骑手应选择方案（1）方法3：设骑手每日完成快递业务量为n单，方案（1）的日工资，方案（2）的日工资所以方案（1）日工资约为140×0.05+170×0.05+200×0.2+230×0.3+260×0.2+290×0.15+320×0.05=236方案（2）日工资约为100×0.05+100×0.05+130×0.2+180×0.3+230×0.2+280×0.15+330×0.05=194.5因为236＞194.5，所以建议骑手选择方案（1）．【解析】本题考查概率的求法，考查方案的判断与选择，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（Ⅰ）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05，由此能估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率．（Ⅱ）设事件B为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，利用列举法能求出至少有1名骑手选择方案（1）的概率．（Ⅲ）方法1：求出快餐店人均日快递量的平均数，从而方案（1）日工资约为50+62×3=236，方案2日工资约为100+（62-44）×5=190＜236，由此得到骑手应选择方案（1）．方法2：设骑手每日完成快递业务量为n件，分别求出方案（1）的日工资和方案（2）的日工资，从而建议骑手应选择方案（1）．方法3：设骑手每日完成快递业务量为n单，方案（1）的日工资，方案（2）的日工资求出结果，建议骑手选择方案（1）．19.【答案】（共14分）解：（Ⅰ）因为f（x）=e x（ax2+x+1），所以f'（x）=e x（x+2）（ax+1）所以f'（-2）=0，所以切线的倾斜角为0（Ⅱ）因为f'（x）=e x（x+2）（ax+1）当a=0时，令f'（x）=0，得x1=-2当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：由上表函数f（x）只有极小值，没有极大值，不合题意，舍去当a≠0时，令f'（x）=0，得当a＜0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：由上表函数f（x）的极大值，满足题意当时，，所以函数f（x）单调递增，没有极大值，舍去当时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：由上表函数的极大值（）（）＞，解得当时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：由上表函数f（x）的极大值，不合题意综上，a的取值范围是．【解析】（Ⅰ）推导出f'（x）=e x（x+2）（ax+1），利用导数的几何意义能求出切线的倾斜角．（Ⅱ）f'（x）=e x（x+2）（ax+1）当a=0时，令f'（x）=0，得x1=-2，当x变化时，列表讨论f'（x），f（x）的变化情况，得到函数f（x）只有极小值，没有极大值，不合题意；当a≠0时，令f'（x）=0，得；当a＜0时，函数f（x）的极大值；当时，，函数f（x）单调递增，没有极大值，不合题意；当时，函数的极大值f（-2）=e-2（4a-1）＞1；当时，函数f（x）的极大值，不合题意．由此能求出a的取值范围．本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，有所以，椭圆方程为焦点坐标分别为，证明：（Ⅱ）（i）证法1：设P（x0，y0），则依题意x0≠±2，y0≠0，A（-2，0），所以所以直线PA的斜率因为PA⊥MQ，所以k PA•k MQ=-1所以直线MQ的斜率所以直线MQ的方程为令x=0，得到因为，所以，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法2：设P（x0，y0），直线AP的方程为y=k（x+2），联立方程，消元得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，所以△=16＞0，所以，所以，所以，，所以，因为AP⊥MQ，所以，所以直线MQ的方程为，令x=0，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法3：设P（x0，y0），直线AP的方程为x=ty-2，联立方程，消元得，（t2+2）y2-4ty=0，因为，所以，所以，所以，因为AP⊥MQ，所以，所以直线MQ的方程为，令x=0，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．（ii）方法1：因为△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，所以△APQ为等腰直角三角形，所以，因为P（x0，y0），，即，化简，得到，解得（舍），即点P的横坐标为．方法2：因为△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，所以∠AQP=90°，所以，因为P（x0，y0），，所以，所以，即，因为，化简，得到，解得（舍），即点P的横坐标为．方法3：因为△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，所以∠AQP=90°，所以|AP|=2|MQ|，因为P（x0，y0），，，所以，化简得到，因为，化简，得到，解得（舍），即点P的横坐标为．方法4：因为△APQ为直角三角形，所以∠AQP=90°所以点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，因为P（x0，y0），，A（-2，0）所以有所以，因为，化简，得到，解得（舍）即点P的横坐标为．【解析】（Ⅰ）推导出，从而，由此能求出椭圆方程，焦点坐标．（Ⅱ）（i）证法1：设P（x0，y0），则，求出，直线PA的斜率，由PA⊥MQ，得k PA•k MQ=-1，由此能求出直线MQ的斜率和直线MQ的方程，从而推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法2：设P（x0，y0），直线AP的方程为y=k（x+2），联立方程，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，由韦达定理得，推导出，由AP⊥MQ，得，直线MQ的方程为，推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法3：设P（x0，y0），直线AP的方程为x=ty-2，联立方程，得（t2+2）y2-4ty=0，推导出，由AP⊥MQ，得，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．（ii）方法1：推导出△APQ为等腰直角三角形，，从而得到，由此能求出点P的横坐标．方法2：由△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，得，从而，由此能求出点P的横坐标．方法3：由△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，从而∠AQP=90°，|AP|=2|MQ|，进而，由此能求出点P的横坐标．方法4：由△APQ为直角三角形，得点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，从而，由此能求出点P的横坐标．本题考查椭圆的方程、焦点坐标的求法，考查两点关于一点对称的证明，考查点的横坐标的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．。
2025届北京市海淀区高考数学二模试卷含解析
2025届北京市海淀区高考数学二模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A 322+B 342+C 322+D 342+ 3．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种4．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 B 5C ．5D ．555．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒6．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 7．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16D ．128．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．152B ．102C ．153D ．10310．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．311．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A 22B 5C ．1316D 11 12．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)
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（Ⅱ）若函数 f（x）的极大值大于 1，求 a 的取值范围．
20. 已知椭圆
的左顶点 A 与上顶点 B 的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和焦点的坐标； （Ⅱ）点 P 在椭圆 C 上，线段 AP 的垂直平分线分别与线段 AP、x 轴、y 轴相交于 不同的三点 M，H，Q． （ⅰ）求证：点 M，Q 关于点 H 对称； （ⅱ）若△PAQ 为直角三角形，求点 P 的横坐标．
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 记 x2+y2≤1 表示的平面区域为 W，点 O 为原点，点 P 为直线 y=2x-2 上的一个动点， 若区域 W 上存在点 Q，使得|OQ|=|PQ|，则|OP|的最大值为（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
根据
，且点 P 在直线 AC 上，列方程即可得到 ．
本题通过求向量的模，考查了向量的坐标运算，向量共线的坐标表示，模长的坐标表示 等知识，主要考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】y=x+1（答案不唯一），① ①②
【解析】解：（I）取 k 为定值，如 k=1，然后找到合适的 b 即可，如 y=x+1．y=x+2 等．
．
（Ⅰ）求公比 q 和 a3 的值； （Ⅱ）若{an}的前 n 项和为 Sn，求证：-3，Sn，an+1 成等差数列．
17. 如图 1 所示，在等腰梯形 ABCD，BC∥AD，CE⊥AD，垂足为 E，AD=3BC=3，EC=1 ．将△DEC 沿 EC 折起到△D1EC 的位置，使平面△D1EC⊥平面 ABCE，如图 2 所示， 点 G 为棱 AD1 的中点． （Ⅱ）求证：BG∥平面 D1EC； （Ⅱ）求证：AB⊥平面 D1EB； （Ⅲ）求三棱锥 D1-GEC 的体积．
北京市海淀区期末练习二高三数学文科试卷(海淀区二模试卷)人教版 试题
2006年市海淀区期末练习二高三数学文科试卷(海淀区二模试卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合}5,2{},4,3,2{},5,4,3,2,1{===B A U ，则B ∪（）等于（） A ．{5}B ．{1，2，5}C ．{1，2，3，4，5}D ．2．等差数列{n a }的公差d<0，且8,124242=+=⋅a a a a ，则数列{n a }的通项公式是（） A ．)(22*N n n a n ∈-= B ．)(42*N n n a n ∈+=C ．)(122*N n n a n ∈+-=D ．)(102*N n n a n ∈+-=3．若函数xx f 2)(=+1的反函数是)(1x f-，则函数)(1x fy -=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．双曲线1922=-my x 的焦距是10，则实数m 的值为（）A ．－16B ．4C ．16D ．815．若α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是（） A ．,,//αβα⊥m 则β⊥m B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥βD ．α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n6．若0>>b a ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．a b b a 11+>+B ．11++>a b a bC ．ab b a 11->-D ．ba b a b a >++227．某科技小组有四名男生两名女生. 现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生 入选的不同选法种数为（）A ．36CB ．2512C CC ．14222412C C C C +D ．36A8．若0)1(),,0()(2=-∈>++=f R x a c bx ax x f ，则“a b 2-<”是“0)2(<f ”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9．不等式01>-xx的解集为. 10．将圆042:22=-++y x y x C 按向量a =（1，－2）平移后，得到圆C ′，则圆C ′的半径为，其圆心坐标为.11．在同一时间内，对同一地域，市、区两个气象台预报天气准确的概率分别为109、54， 两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一气象台预报准确的概率是. 12．如图，边长均为2的正方形ABCD 与正方形ABEF 构成60°的二面角D —AB —F ，则点D 到点F 的距离为，点D 到平面ABEF 的距离为. 13．若函数)2()2()(2+-++=a bx x a x f 的定义域为R ，则b a +3的值为.14．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”仿此，52的“分裂”中最大的数是，若)(*3N m m ∈的“分裂”中最小的数是21，则m 的值为. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）已知函数).(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+= （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）函数)(x f 的图象可由R x x y ∈=(sin 2）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得 到？16．（本小题共13分）已知函数m nx mx x f ()(23+=、0,≠∈m R n ），函数)(x f y =的图象在点（2，)2(f ）处的切线与x 轴平行.（1）用关于m 的代数式表示n ；（2）当m=1时，求函数)(x f 的单调区间.17．（本小题共14分）如图：三棱锥P —ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC=90°，PB=AB=AC=4，点E 是PA 的中点. （1）求证：AC ⊥平面PAB ； （2）求异面直线BE 与AC 的距离； （3）求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小.18．（本小题共13分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两定点A （1，0）、B （0，－1），动点P （y x ,）满足：)()1(R m OB m OA m OP ∈-+=.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 交于相异两点M 、N. 若以MN 为直径的圆经过原点，且双曲线C 的离心率等于3，求双曲线C 的方程.19．（本小题共13分）数列}{n a 的前n 项和为n n n ma m S N n S -+=∈)1(),(*对任意的*N n ∈都成立，其中m 为常数，且m<－1.（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）记数列}{n a 的公比为q ，设).(m f q =若数列}{n b 满足；*111,2)((,N n n b f b a b n n ∈≥==-）. 求证：数列}1{nb 是等差数列； （3）在（2）的条件下，设1+⋅=n n n b bc ，数列}{n c 的前n 项和为n T . 求证：.1<n T20．（本小题共14分）函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件： ①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x 、R y ∈，有yx f xy f )]([)(=； ③.1)31(>f （1）求)0(f 的值；（2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数；（3）若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+[参考答案]一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．}10|{<<x x 10．5（2分）（0，0）（3分） 11． 12．2（2分）3（3分） 13．－6 14．9（2分） 5（3分） 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（1）x x x x x f 2sin 32cos cos sin 322cos )(+=+=…………2分 R x x x x ∈+=+=)(62sin(2)2sin 232cos 21(2π）………………………………4分∴T=2)(,=最大值x f π…………………………………………………………6分 （2）先将R x x y ∈=(sin 2）的图象向左移6π个单位，得到)6sin(2π+=x y 的图象；再将)6sin(2π+=x y 的图象的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到)62sin(2π+=x y 的图象.…………………………13分或先将R x x y ∈=(sin 2）的图象的横坐标变为原来一半，纵坐标不变，得到函数x y 2sin 2=的图象；再将x y 2sin 2=的图象向左移12π个单位，得到)62sin(2π+=x y 的图象.………………………………13分 16．（共13分）解：（1）nx mx x f nxmx x f 23)()(223+='∴+= ………………2分由已知条件得：0)2(='f ∴3m+n=0 ………………4分∴n=－3m …………6分（2）若m=1，则n=－3……………………7分x x x f x x x f 63)(3)(223-='∴-=∴，令0)(>'x f ………………8分0<∴x 或.2>x ………………10分令20,0)(<<<'x x f 得………12分∴)(x f 的单调递增区间为（－∞，0），（2，+∞）∴)(x f 的单调递减区间为（0，2）.………………………………13分 17．（共14分）解法一：（1）∵三棱锥P —ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC=90° ∴PB ⊥AC ，BA ⊥AC ……………………4分∵PB ∩BA=B ∴AC ⊥平面PAB ………………4分 （2）∵PB=BA=4，点E 是PA 的中点∴BE ⊥EA ………………5分又∵EA ⊂平面PAB 由（1）知AC ⊥EA ………………6分∴EA 是异面直线BE 、AC 的公垂线段…………7分 ∵PB ⊥AB ∴△PBA 为直角三角形…………8分 ∴EA=21PA=21×42=22∴异面直线BE 与AC 的距离为22.………………9分 （3）取BC 中点D ，连结AD 、PD ∵AB=AC=4，∠BAC=90° ∴BC ⊥AD AD=22∵PB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ∴PB ⊥AD ∵PB ∩BC =B ∴AD ⊥平面PBC ………………11分∴PD 为PA 在平面PBC 内的射影∴∠APD 为PA 与平面PBC 所成角.…………………12分 在Rt △ADP 中，21sin ==APAD APD ……………………13分∴∠APD=30°………………14分∴PA 与平面PBC 所成角大小为30°. 解法二：（1）同解法一…………………………4分 （2）同解法一……………………………9分 （3）过点A 作AD//PB ，则AD ⊥平面ABC 如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （－4，0，0），C （0，4，0），P （－4，0，4）………………10分)0,4,4(),4,4,4(=-=∴BC PC ………………11分设平面PBC 的法向量),,1(μλ=n⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=+=-+∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01044044400μλλμλBC n PC n ……………………12分n ∴=（1，－1，0）PA =（4，0，－4），设直线PA 与平面PBC 所成角为θsin θ=cos<PA ,n 21||||=⋅n PA n PA …………………………13分∴直线PA 与平面PBC 所成角的大小为30°………………14分 18．（共13分）解：（1）)1,0)(1()0,1(),()1(--+=∴-+=m m y x OB m OA m OP …………2分11=+∴⎩⎨⎧-==∴y x my m x 即点P 的轨迹方程为01=-+y x …………4分（2）由⎪⎩⎪⎨⎧-=+22221b y ax y x 得：22222222)(b a a x a x a b --+-=0∵点P 轨迹与双曲线C 交于相异两点M 、N 022≠-∴a b ， 且(*)0))((44222224>----=∆b a a a b a设),(),,(2211y x N y x M ，则222222122221,2ab b a a x x a b a x x -+-=--=+…………6分∵以MN 为直径的圆经过原点0=⋅∴ON OM 即：02121=+y y x x0)1)(1(2121=--+∴x x x x 即0)(22122222222=-+--+ab b a a a b a 即022222=--b a a b ①…………………8分222222233a b a b a e e =∴=+=∴= ②………………10分∴由①、②解得22,21==b a 符合（*）式∴双曲线C 的方程为12422=-y x ………………………………13分 19．（共13分）证明：（1）当n=1时，111==S a …………………………1分n n ma m S -+=)1( ①)2()1(11≥-+=∴--n ma m S n n ②……………2分①－②得：)2(1≥-=-n ma ma a n n n ……………………3分01,0,1,0)1(111≠+≠∴-<≠=+∴--m a m a ma a m n n n)2(11≥+=∴-n m ma a n n …………………………4分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比数1+m m 的等比数列.……………………4分（2）1)(11)(11111+====+=---n n n n b b b f b a b m mm f (7)分)2(11111111≥=-∴+=∴---n b b b b b n n n n n ……………………9分 ∴数列{nb 1}是首项为1，公差为1的等差数列.（3）由（2）得=nb 1n 则nb n 1=……10分)1(11+=⋅=+n n b b c n n n ……11分 111413131212111)1(1321211+-++-+-+-=+++⨯+⨯=n n n n T n ………………12分1111<+-=n …………………………13分 20．（共14分）解法一：（1）令2,0==y x ，得：2)]0([)0(f f =……………1分1)0(0)0(=∴>∴f f …………………………3分（2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,31,312211p x p x ==则21p p < 21)]31([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=-……………………4分)()()(,1)31(2121x f x f x f p p f ∴<∴<> 在R 上是单调增函数……10分（3）由（1）（2）知1)0()(=>f b f 1)(>b f b ab f bcb f a f )]([)()(=⋅=b cb f bc b f c f )]([)()(=⋅=………11分bc a bcb ab f b f b fc f a f +>+=+∴)]([2)]([)]([)()(而)(2)]([2)]([222222b f b f b f bb ac c a bb bc a =>∴==>++)(2)()(b f c f a f >+∴……14分解法二：（1）∵对任意x 、y ∈R ，有yx f xy f )]([)(=x f x f x f )]1([)1()(=⋅=∴………1分∴当0=x 时0)]1([)0(f f =……2分∵任意x ∈R ，0)(>x f …………3分1)0(=∴f ……………………4分（2）1)]31([)313()1(,1)31(3>=⨯=∴>f f f f …………………………6分x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数即)(x f 是R 上单调增函数；………10分（3）c a c a f f f c f a f +>+=+)]1([2)]1([)]1([)()(……………………11分而)(2)]1([2)]1([222222b f f f bb ac c a b c a =>∴==>++)(2)()(b f c f a f >+∴……………………14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区2019届高三5月期末练习(二模)数学(文)试题word版含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科） 2019.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。
(1)已知集合{}15A x x =≤≤，{}36B x x =≤≤，则A B =I(A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6](2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为(A) 12- (B) 12 (C) -2 (D)2 (3)已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的右顶点和抛物线28y x =的焦点重合，则a 的值为 (A)1 (B)2(C)3 (D)4(4)若关于x 的方程1x a x+=在(0,)+∞上有解，则a 的取值范围是 (A)(0， +∞) (B)[1， +∞)(C)[2， +∞) (D)[3， +∞)(5)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的所有棱长构成的集合为(A) {}2,4,23,6 (B) {}2,4,25,43,6 (C) {}2,4,25,42,6 (D) {}2,4,25,43 (6)把函数2x y =的图象向左平移t 个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为32x y =⋅，则t 的值为 (A ) 3log 2 (B) 2log 3 (C)2 (D)3 (7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)记221x y +≤表示的平面区域为W ，点O 为原点，点P 为直线22y x =-上的一个动点．若区域W 上存在点Q ，使得OQ PQ =，则OP 的最大值为(A)1 (B) (C)第二部分（非选择题共1 10分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离 为( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =( 11)41,log 3,sin 28a b c π===，则这三个数中最大的是 ( 12)已知数列{}n a 满足11n n a a n n+=+，且515a =，则8a =_____． (13)在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=u u u r u u u r u u u r ，且点P 在直线AC 上，则AF =u u u r(14)已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1n n A A φ-=I 对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ ”．(I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ；(Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②2x y =；③s ()12y in x π=+，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．( 15)（本小题满分13分）在ABC ∆中，7,8,3a b A π===．(Ⅰ)求sin B 的值；(Ⅱ)若ABC ∆是锐角三角形，求ABC ∆的面积．(16)（本小题满分13分）已知数列{}n a 为等比数列，且1=23nn n a a +-⋅．(I)求公比q 和3a 的值；(Ⅱ)若{}n a 的前n 项和为n S ，求证：13,,n n S a +-成等差数列．(17)（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 的中点。
北京市海淀区2022-2023学年高三下学期期末练习(二模)数学试卷及答案
2023北京海淀高三二模数 学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{12},{0,1}A xx B =−<<=∣，则（ ） A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B =∅2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点(1,2)P ，则sin α=（ ）A ．5B ．5C ．2D ．12 3．若()*(2)n x n −∈N 的展开式中常数项为32，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A ．lg y x =B ．2y x=C ．||2x y =D ．tan y x = 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11233,a a a a =−=，则n S 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．已知抛物线2:4C y x =，经过点P 的任意一条直线与C 均有公共点，则点P 的坐标可以为（ ）A ．(0,1)B ．(1,3)−C ．(3,4)D ．(2,2)−7．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率． =100%⨯切割得到的无坏点的芯片数产品良率切割得到的所有芯片数在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的12．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（ ）A ．50%B ．625%．C ．75%D ．875%． 8．已知正方形ABCD 所在平面与正方形CDEF 所在平面互相垂直，且2CD =，P 是对角线CE 的中点，Q。
北京市海淀区年高三二模数学(文科)试卷及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学(文科)ﻩﻩ ﻩ２０18.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共４0分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
（1)已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()U A B ＝(A ）{1} (Ｂ){3,5} (C){1,6} (D ）{1,3,5,6} (2)已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-,则（A) 1i z =-+ （B) 1i z =+ （C) +i z 是实数 （D) +i z 是纯虚数 (３)若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴,则a 的值为 （A ） 1 (B) 1- （C ） 2 （D ） 2- （4）已知0x y >>，则 （A ）11x y> ﻩ（B) 11()()22x y >（C ） cos cos x y >ﻩ(D ） ln(1)ln(1)x y +>+（５）如图,半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗,其中落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为(A)m n (B) n m （C ）m n π (Ｄ) n mπ（6）设C 是双曲线,则 “C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的 （A)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 (Ｄ)既不充分也不必要条件（７)某校为了解高一年级３00名学生对历史、地理学科的选课情况,对学生进行编号，用1，２,……30０表示,并用(,i i x y ）表示第i 名学生的选课情况．其中01,i i i x ⎧=⎨⎩第名学生不选历史第名学生选历史，,01,i i i y ⎧=⎨⎩第名学生不选地理第名学生选地理.， 根据如图所示的程序框图,下列说法中错误的是 (A ）m 为选择历史的学生人数 （B)n 为选择地理的学生人数(C)S 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数（D)S 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和（８）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()(0)g x kx m m =+>,则函数()()()F x g x f x =- （A ）有极小值,没有极大值 （Ｂ）有极大值，没有极小值（Ｃ）至少有两个极小值和一个极大值 (Ｄ）至少有一个极小值和两个极大值第二部分（非选择题 共１10分）二、填空题共6小题,每小题5分,共３0分。
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海淀区高三年级第二学期期末练习 数学 （文科） 2010.5一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}21M x x =-<<，{}22P x x =-≤<，则M P =A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -≤≤C ．{}22x x -≤<D ．{}22x x -<≤2．双曲线221169x y -=的焦距为A.10C. D. 53. 已知a =(1,0)，b =(,1)x，若a b ⋅=x 的值为B.14．已知直线12:10,:10l x y l x y ++=+-=，则12,l l 之间的距离为A.1D. 25．函数()sin(2)3f x x π=+图象的对称轴方程可以为A ．512x π=B ． 3x π=C ． 6x π=D ． 12x π= 6．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 7．在正四面体A BCD -中，棱长为4，M 是BC 的中点，P 在线段AM 上运动（P 不与A 、M 重合），过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题： ①⊥BC 面AMD②Q 点一定在直线DM 上 ③24=-AMD C V其中正确的是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．已知直线l ：1y =-，定点F (0，1)，P是直线0x y -上的动点，若经过点F ,P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为A ． 2πB ． πC ． 3πD ．4πD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．曲线2y x =在点（1，1）处的切线的斜率为 .10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）11．若某程序的框图如图，若输入的x 的值为12，则执行该程序后，输出的y 值为 .第10题图 第11图12．已知函数x x f tan 1)(+=，若3)(=a f ，则)(a f -= .13．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（n ∈N *），则910a a +的值为 . 14．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n N ∈.若f 是n n A A →的映射，且满足： （1）任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠；（2）任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈.则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”.例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”.表1 表2（1）已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若f ：20102010A A →是“优映射”， 且(1004)1f =，则(1000)(1007)f f +的最大值为_____ .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在△ABC 内，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，,,a b c 成等差数列，且 2a c =. (I)求cos A 的值；(II)若ABC S ∆=b 的值. 16．（本小题满分13分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株. 现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位:cm)的抽查结果如下表：（I ）求x 的值 ;（II ）若已知树干周长在30cm 至40cm 之间的4株银杏树中有1株患有虫害,现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为2株的概率. 17．（本小题满分14分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥平面ABC ，90ACB ∠= .（I ）求证：1BC AA ⊥；（II ）若M,N 是棱ＢＣ上的两个三等分点，求证：1//A N 平 面1AB M . 18．（本小题满分13分）若数列{}n a 满足*111,(N ),,n n a a pS r n p r +==+∈∈R ，n S 为数列{}n a 的前n 项和.(Ⅰ) 当2,0p r ==时，求234,,a a a 的值；（Ⅱ）是否存在实数,p r ，使得数列{}n a 为等比数列？若存在，求出,p r 满足的条件；若不存在，说明理由.19．（本小题满分14分）已知函数()(1)x f x ax e =-，a ∈R（I ）当1a =时，求函数()f x 的极值；（II ）若函数()f x 在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分13分）给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为F （I ）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；(II )点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且12,l l 分别交其“准圆”于点M ，N .（1）当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求12,l l 的方程； （2）求证：|MN |为定值.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文）参考答案及评分标准 2010．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第Ⅰ券（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 券（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9.2 10.< 11.2 12.1- 13.48 14.； 2011.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （本小题满分13分）解：（I ）因为,,a b c 成等差数列，所以b c a 2=+ ， ……………2分 又2a c =，可得c b 23=， ……………4分 所以22222229414cos 32422c c c b c aA bc c +-+-===-⨯ ， ……………6分（II ）由（I ）41cos -=A，),0(π∈A ，所以415sin =A ， ……………8分 因为 4153=∆ABC S ， A bc S ABC sin 21=∆ ，所以 2113sin 22244ABC S bc A c ∆==⨯=， ……………11分得 42=c ，即2=c ，3=b . ……………13分16. （本小题满分13分） 解：（I ）因为用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，所以应该抽取银杏树401000400100=⨯株 …………… 3分 所以有406184=+++x ，所以12=x …………… 5分（II ）记这4株树为4321,,,树树树树，且不妨设4树为患虫害的树，记恰好在排查到第二株时发现患虫害树为事件A ，则A 是指第二次排查到的是4树 …………… 7分 因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率，所以基本事件空间为：)},(),,(),,(),,(),,(),,( ),(),,(),,(),,(),,(),,{(3424 144323 134232 12413121树树树树树树树树树树树树树树树树树树树树树树树树=Ω共计12个基本事件 ……………10分 因此事件Ａ中包含的基本事件有3个 ……………12分所以恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率41123)(==A P ………… 13分 答：x 值为12；恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率为41.17. （本小题满分14分）证明：(Ⅰ) 因为90=∠ACB ，所以CB AC ⊥， ……… 1分又侧面⊥11A ACC 平面ABC ，且平面 11A ACC 平面ABC =AC ， …………3分⊂BC 平面ABC ，所以⊥BC 平面11A ACC ， (5)分又⊂1AA 平面11A ACC ，所以1AA BC ⊥ . ………… 7分 （II ）连接B A 1,交1AB 于O 点，连接MO, ………… 9分 在BN A 1∆中，O,M 分别为B A 1，BN 的中点, 所以OM //N A 1 ………… 11分 又OM ⊂平面M AB 1，⊄N A 1平面M AB 1 , ………… 13分 所以 N A 1 // 平面M AB 1 . ………… 14分18. （本小题满分13分）解：（I ）因为11=a ，r pS a n n +=+1，当0,2==r p 时，n n S a 21=+ …………… 1分 所以2212==a a , …………… 2分321222()2(12)6a S a a ==+=⨯+= , (4)分4312322()2(126)18a S a a a ==++=⨯++=. (6)分（II ）因为r pS a n n +=+1，所以r pS a n n +=-1（2≥n ）， ……………7分 所以n n n n n pa r pS r pS a a =+-+=--+)()(11 ，即n n a p a )1(1+=+，其中2≥n ， ……………9分 所以若数列{}n a 为等比数列，则公比01≠+=p q ，所以1-≠p ， ……………11分 又r p a +=2=1)1(11+=+=p p a q a ，故1=r . ……………13分 所以当1,1p r ≠-=时，数列{}n a 为等比数列. 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为x e a ax x f )1()('-+= ， …………… 2分 所以当1=a 时，x xe x f =)(' ， …………… 3分 令0)('=x f ，则0=x ， …………… 4分 所以)('),(x f x f 的变化情况如下表：x)0,(-∞0 ),0(+∞)('x f-+)(x f极小值……………5分 所以0=x 时，)(x f 取得极小值1)0(-=f . ……………6分(II) 因为xe a ax xf )1()('-+=，函数()f x 在区间)1,0(上是单调增函数,所以0)('≥x f 对∈x )1,0(恒成立. ……………8分又0>xe ，所以只要01≥-+a ax 对∈x )1,0(恒成立, ……………10分 解法一：设1)(-+=a ax x g ，则要使01≥-+a ax 对∈x )1,0(恒成立，只要⎩⎨⎧≥≥0)1(0)0(g g 成立， ……………12分即⎩⎨⎧≥-≥-01201a a ，解得1≥a . ……………14分解法二：要使01≥-+a ax 对∈x )1,0(恒成立，因为0>x ，所以11+≥x a 对∈x )1,0(恒成立 ， ……………10分 因为函数11)(+=x x g 在)1,0(上单调递减， ……………12分 所以只要1101)0(=+=≥g a . ……………14分 20. （本小题满分13分）解：（I ）因为3,2==a c ，所以1=b ……………2分所以椭圆的方程为2213x y +=， 准圆的方程为422=+y x . ……………4分 （II ）（1）因为准圆422=+y x 与y 轴正半轴的交点为P （0，2）, ……………5分 设过点P （0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为2+=kx y ,所以22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得到0912)31(22=+++kx x k , ……………6分 因为椭圆与2+=kx y 只有一个公共点,所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+= , ……………7分解得1±=k . ……………8分 所以12,l l 方程为2,2+-=+=x y x y . ……………9分（2）①当12,l l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率， 因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为3=x 或3-=x ，当1l 方程为3=x 时，此时1l 与准圆交于点)1,3(),1,3(-，此时经过点)1,3((或)1,3(-)且与椭圆只有一个公共点的直线是1=y (或1-=y )，即2l 为1=y (或1-=y )，显然直线12,l l 垂直；同理可证 1l 方程为3-=x 时，直线12,l l 垂直. ……………10分 ② 当12,l l 都有斜率时，设点),(00y x P ，其中42020=+y x ，设经过点),(00y x P 与椭圆只有一个公共点的直线为00)(y x x t y +-=,则0022()13y tx y tx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到03))((32002=--++tx y tx x ，即03)(3)(6)31(2000022=--+-++tx y x tx y t x t ,0]3)(3)[31(4)](6[2002200=--+⋅--=∆tx y t tx y t ，经过化简得到:012)3(2000220=-++-y t y x t x ,因为42020=+y x ，所以有0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x , 设12,l l 的斜率分别为21,t t ,因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点， 所以21,t t 满足上述方程0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x ,所以121-=⋅t t ，即12,l l 垂直. ……………12分 综合①②知：因为12,l l 经过点),(00y x P ，又分别交其准圆于点M ，N ，且12,l l 垂直， 所以线段MN 为准圆422=+y x 的直径，所以|ＭＮ|＝４. ……………13分。