计算传热学的近代进展5

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可得出消去
φi −2
项的结果， 项的结果，记为式(d)：
(aP − aWW Ai −2 )φi = aEEφi +2 + aEφi +1 + (aW + aWW Bi −2 )φi −1 + b + aWW Ci −2 (d)
P
类似地， 类似地，将(a) 对i-1点写出:。
φi −1 = Ai −1φi +1 + Bi −1φi + Ci −1
A1
归并同类项， 归并同类项，最后得出： 最后得出：
B1
C1
(aE ) 2 + A1 (aW ) 2 (b P ) 2 + C1 (aW ) 2 (aEE ) 2 φ2 = ( )φ4 + ( )φ3 + (aP ) 2 − B1 (aW ) 2 (aP ) 2 − B1 (aW ) 2 (aP ) 2 − B1 ( aW ) 2
aEE aE bP φ1 = ( )1φ3 + ( )1φ2 + ( )1 aP aP aP A1 B1 C1
(i)
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再对 i =2点写出(b)，有：
(aP ) 2 φ2 = (aEE ) 2 φ4 + (aE ) 2 φ3 + (aW ) 2 φ1 + 0 + (b ) 2
将式(a)对 i =M-1点写出： 点写出： 0 0
(a)
(aEE ) M -1 = 0
• • • •
M-1 M M＋1 M+2
• • • •
1 2
φM −1＝A M-1φM +1 +BM-1φM +CM-1
0
φM −1 = BM −1φM + CM −1
由
φM ,φM −1
对i=M-2,M-3,……3,2,1点逐一进行
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会代可得出所有各点之解。 会代可得出所有各点之解。
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第五章目录
5.1 PDMA方法 5.2 Krylov子空间方法简介 5.3 SIP (强隐过程） 强隐过程）方法简介 方法简介 5.4 多重网格方法简介 多重网格方法简介
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5.2 Krylov子空间方法简介 5.2.1 加速代数方程迭代求解收敛速度的方法 5.2.2 古典迭代法与近代迭代法 5.2.3 Krylov子空间方法分类 5.2.4 共轭梯度法 5.2.5 预条件矩阵共轭梯度法 5.2.6 讨论
将(d) 与式(f) 相加， 相加，消去
φi −1
项：
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(aP − aWW Ai −2 )φi = aEEφi +2 + aEφi +1 + (aW + aWW Bi −2 )φi −1 + b + aWW Ci −2
P
(d)
(aW + aWW Bi −2 )φi −1 = Ai −1 (aW + aWW Bi −2 )φi +1 + Bi −1 (aW + aWW Bi −2 )φi + Ci −1 (aW + aWW Bi −2 )
P
• • • •
1 2
P
•
•
•
(j)
•
M-1 M M＋1 M+2
aEE aE b φ1 = ( )1φ3 + ( )1φ2 + ( )1 aP aP aP
将(j)式代入， 式代入，消去
φ1 从而有： 从而有：
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aW aEE aEE aEE aE bP φ2 = ( ) 2 φ4 + ( ) 2 φ3 + ( ) 2 [( )1φ3 + ( )1φ2 + ( )1 ] + (b P ) 2 aP aP aP aP aP aP
令 D = aW + aWW Bi −2
(f)
φi [(aP − aWW Ai−2 ) − Bi−1D] = aEEφi +2 + (aE + Ai−1D)φi+1
+(b P + aWW Ci−2 + Ci−1D )
将此式表示成与(a)相对应的形式： 相对应的形式：
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aE + DAi −1 aEE φi = ( )φi + 2 + ( )φi +1 aP − aWW Ai −2 − Bi −1 D aP − aWW Ai −2 − Bi −1 D
φi＝A iφi + 2 +Biφi +1 +Ci , i = 1, 2,3.......M
间的关系： 间的关系：
(a)
消元过程就是要获得系数Ai,Bi,Ci 与原方程中系数
aPφi = aEEφi + 2 + aEφi +1 + aW φi −1 + aWW φi −2 ＋b (b)
P
设法从（ 设法从（b)式中逐一消去 数间的关系式。 数间的关系式。
(aW + aWW Bi −2 )φi −1 = Ai −1 (aW + aWW Bi −2 )φi +1 +
(a’’)
将(a’’) 乘以式(d)中相应的系数 ( aW + aWW Bi −2 )
Bi −1 (aW + aWW Bi −2 )φi + Ci −1 (aW + aWW Bi −2 ) (f)
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5.2 Krylov子空间方法简介 5.2.1 加速代数方程迭代求解收敛速度的方法 （1）加速边界条件影响的传入－ 加速边界条件影响的传入－ADI ; （2）加速局部守恒条件的满足－ 加速局部守恒条件的满足－块修正技术; （3）加速不同波长误差分量均匀的衰减－ 加速不同波长误差分量均匀的衰减－多重网格; 子空间方法。 （4）适当增加直接求解的份量－ 适当增加直接求解的份量－ Krylov子空间方法。 5.2.2 古典迭代法与近代迭代法 1. 古典迭代法： 古典迭代法：Jacobi, Gauss-Seidel , SOR ; 收敛条件： 收敛条件：代数方程不可约而且对角占优； 代数方程不可约而且对角占优；收敛速度 较低； 较低；
φi −1 , φi − 2
，将所得
结果与（ 结果与（a) 相比， 相比，即可得出系数Ai,Bi,Ci 与原方程系
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首先消去 φi − 2 ，将式(a)对i-2 写出， 写出，
φi −2 = Ai −2φi + Bi −2φi −1 + Ci −2
与式(b)相比
(a’)
aPφi = aEEφi + 2 + aEφi +1 + aW φi −1 + aWW φi −2 ＋b
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（3）求解非对称 求解非对称非正定 非对称非正定系数矩阵代数方程的方法 非正定系数矩阵代数方程的方法： 系数矩阵代数方程的方法：流 场求解问题属之： 场求解问题属之：GMRES，CGS，Bi-CGSTAB，等。 5.2.4 共轭梯度法CG 1. 实施步骤 给定代数方程组
5.4 多重网格方法简介 多重网格方法简介
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5.1 PDMA 方法
5.1.1 二维高阶格式代数方程的系数矩阵 二维高阶格式代数方程的系数矩阵
5.1.2 PDMA算法的基本思想
5.1.3 PDMA算法的实施细节
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5.1 PDMA算法 5.1.1 二维高阶格式代数方程的系数矩阵 二维高阶格式代数方程的系数矩阵 对流项采用三阶格 式时代数方程为九对角 阵，每一个坐标方向上有 五个未知数； 五个未知数；如果同一个 坐标方向未知数直接求 解，另一个方向上未知数 归入源项， 归入源项，则有： 则有：
0 0
(4) 对于k=0,1….直到
r < allowed value
k
(a) 计算系数 α k = (r k , r k ) /( A p k , p k ) (b) 更新被求值 (c) 更新余量
φ
k +1
k +1
= φ +α p
k k
k
= r −α Ap k k +1 k +1 k k (d) 确定系数Beta, β = ( r , r ) /( r , r ) r
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第五章 代数方程的求解
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER 2014年5月28日, 西安
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第五章目录
5.1 PDMA方法 5.2 Krylov子空间方法简介 5.3 SIP (强隐过程） 强隐过程）方法简介 方法简介
A2
2.回代过程 将式(a)对 i =M点写出： 点写出：
B2
C2
• • • •
1 2
(aE ) M = 0, (aEE ) M = 0 • • • •
M-1 M M＋1 M+2
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φi＝A iφi + 2 +Biφi +1 +Ci , i = 1, 2,3.......M φM＝A MφM + 2 +BMφM +1 +CM φM = C M