第4讲 随机数的生成及随机变量抽样

生成Y min{ X1, X 2, , X n}的随机数
FY ( y)
1 1 FX ( y)n, RandY
F
1 X
1
(1 (1U ) n )
x, FX (x) 0,
1 x 0， x0
生成n=20的1行10000列随机数，并画经验分布 函数曲线。
FY ( y) 1 1 yn
RandY
F
1
筛选抽样
• 假设我们要从px 抽样，如果可以将 px 表示成 ，其px中 c h是x一 g个x密度函数h且 易于抽样，而 ， 是常数0 ，g则x 1的c抽1样可如下进行X：
1由U 0,1抽取u，由hy抽取y，
2如果u gy，则x y，停止，
• 定理 设 的密度3如函果数u gy，，且回到1。
mm=10000 xRandnum=unifrnd(0,1,1,mm); yRandnum=unifrnd(0,1,1,mm); plot(xRandnum,yRandnum,'.')
mm=100000 xRandnum=unifrnd(0,1,1,mm); yRandnum=unifrnd(0,1,1,mm); [Y,JJ] =sort(xRandnum) plot(xRandnum(JJ),yRandnum(JJ),'.')
随机变量生成的算法为 ①产生一个u(0，1)，并令i=0； ②令i=i+1； ③若u＞F(xi)，转回到第②步，否则转至④；
mm=10000;Randnum=unifrnd(0,1,1,mm);xRandnum=zeros(1,mm); for ii=1:mm
if Randnum(1,ii)<=0.1 xRandnum(1,ii)=10; else if Randnum(1,ii)<=0.3 xRandnum(1,ii)=20; else if Randnum(1,ii)<=0.7 xRandnum(1,ii)=30; else if Randnum(1,ii)<=0.95 xRandnum(1,ii)=40; else xRandnum(1,ii)=50; end end end end
例2设总体X的密度函数为
X
~
f
(
x)
1
e (
x
)
,
x
, 为未知参数
0,
其它
其中 >0, 生成 2, 5 1行10000列的随机数.
并画经验分布函数曲线。 解:由密度函数知
X 具有均值为 的指数分布
Randnum=exprnd(2,1,10000)+5
cdfplot(Randnum)
X
(1
(1
U
)
1 n
)
1
(1
U
)
1 n
n=20 Randnum=1-(1-unifrnd(0,1,1,10000)).^(1/n); cdfplot(Randnum)
例5 设密度函数为
f X (x) c0i,, x其i 它xxxi01，i 0,....,n 1
n 1 为常数
生成X的随机数
并画经验分布函数曲线。
1
(b
x)
2
/([(
b
m)(b
a)]
当a x m时 当m x b时
1
当x b时
均值为(a+m+b)／3; 方差为(a2 + b2 + m2 – ab – am - bm)／18。 令 u=F(x)，可解得
a (m a)(b a)u
x
( 当0 u (m a) /(b a)时)
随机数的生成及随机变 实验目的 量抽样
学习主要的随机变量抽样方法
实验内容
1、均匀分布U(0,1)的随机数的产生 2、其他各种分布的随机数的产生方法 3、随机数生成实例 4、实验作业
随机数的生成
• 随机数的产生是实现MC计算的先决条件。 而大多数概率分布的随机数的产生都是基于均 匀分布U(0,1)的随机数。
• 首先，介绍服从均匀分布U(0,1)的随机数的产 生方法。
• 其次，介绍服从其他各种分布的随机数的产生 方法。以及服从正态分布的随机数的产生方法 。
• 最后，关于随机数的几点注。
一、均匀分布U(0,1)的随机数的产生
• 产生均匀分布的标准算法在很多高级计算机语 言的书都可以看到。算法简单，容易实现。使用者 可以自己手动编程实现。Matlab 中也提供给我们 用于产生均匀分布的各种函数。我们的重点是怎样 通过均匀分布产生服从其他分布的随机数。因此， 直接使用Matlab提供的可靠安全的标准函数，当然 不用费事了。
m (b a)u (m a)(b m)
(当(m - a)/(b - a) u 1时)
随机向量的抽样方法
在用Monte Carlo等方法解应用问题时,随机 向量的抽样也是经常用到的.
若随机向量各分量相互独立,则它等价于多个 一元随机变量的抽样。
例8
生成单位正方形内均匀分布的1行10000列随机 数，并画散点图。
二、其他各种分布的随机数的产生
• 基本方法有如下三种：
•
逆变换法
•
合成法
•
筛选法
逆变换法
• 设随机变量 X 的分布函数为 Fx，定义
F 1y inf x : F x y,0 y 1
• 定理 设随机变量 U 服从 (0,1)上的均匀分布， 则 X F 1U 的分布函数为 Fx。
• 因此，要产生来自Fx的随机数，只要先产生 来自 U 0,1的随机数，然后计算 F 1u 即可。
概率P(x)
0.10 0.20 0.40 0.25 0.05
累积概率F(x)
F(X1)=0.10 F(X2)=0.30 F(X3)=0.70 F(X4)=0.95 F(X5)=1.00
可分配的随机数范围 （ .00 -- .10] （ .10 -- .30] （ .30 -- .70] （ .70 -- .95] （ .95 – 1)
if s(1,jj)<=1; xRandnum(1,ii)=Randnum1(1,jj); yRandnum(1,ii)=Randnum2(1,jj); ii=ii+1;
end jj=jj+1; end plot(xRandnum,yRandnum,'.')
关于随机数的几点注
• 注1 由于均匀分布的随机数的产生总是采用某个 确定的模型进行的，从理论上讲，总会有周期现 象出现的。初值确定后，所有随机数也随之确定 ，并不满足真正随机数的要求。因此通常把由数 学方法产生的随机数成为伪随机数。
end cdfplot(xRandnum)
三角分布(a,m,b)的随机变量其密度函数为
0 f (x) 2(x - a)/[(m - a)(b - a)]
1
当a x或x b时 当a x m时 当m x b时
其分布函数为
0
当x a时
F
(
x)
(x - a)2 /[(m - a)(b - a)]
，
其中 X ， ， p是x一个密p度x 函c 数hx。 g令x
和 0分别gx服 从1 c 1 和h ，则在
的条件U
• 下，Y 的条件密U度0,1为 hy
U gY
Y
pY xU gY px
三、生成标准正态分布的随机数
• N0,1 的随机数产生方法很多。简要介绍三种。 • 法1、 变换法（Box 和Muller 1958）
• 其步骤为
•
由U 0,1抽取u，
计算x F 1 u
例3 设密度函数为
f
(x;
)
1
e
x
0
x 0,
0 为常数
x0
生成Y min{ X1, X 2, , X n}的随机数
并画经验分布函数曲线。
FX
(
x)
1
e
x
,
x
0，FY
(
y)
1
e
ny
,
y0
0, x 0
0, y 0
例4 设X分布函数为F(X)
例7 生成单位正方形上均匀分布的1行10000列随 机数，并画散点图。
mm=10000;Randnum=unifrnd(0,4,1,mm);
xRandnum=zeros(1,mm);yRandnum=zeros(1,mm);
for ii=1:mm
if Randnum(1,ii)<=1
xRandnum(1,ii)=0; yRandnum(1,ii)=Randnum(1,ii);
例9 生成单位圆内均匀分布的1行10000列随机数， 并画散点图。
mm=10000； Randnum1=unifrnd(-1,1,1,2*mm); Randnum2=unifrnd(-1,1,1,2*mm); xRandnum=zeros(1,mm);yRandnum=zeros(1,mm); s=Randnum1.^2+Randnum2.^2；ii=1;jj=1; while ii<mm
IMSL库中的函数使用
• RNSET: 种子的设定
•
CALL RNSET (ISEED)
• RNOPT: 产生器的类型的设定
•
CALL RNOPT (IOPT)
• RNUN/DRNUN: 产生均匀分布的随机数
•
CALL RNUN (NR, R)
例1生成1行1000列的1—10上离散均匀分布的随 机数；
合成法
• 合成法的应用最早见于Butlter 的书中。 • 构思如下： • 如果 X 的密度函数px 难于抽样，而 X 关于Y