关于韦达定理的证明方法

合集下载

关于一元二次方程韦达定理的专题

一、概述

一元二次方程是初中数学中的重要内容，而韦达定理则是解一元二次方程的一种方法，也是代数学中的经典定理之一。本文将详细介绍一元二次方程和韦达定理的相关知识，旨在帮助读者全面了解和掌握这一重要数学定理。

二、一元二次方程的定义与性质

1. 一元二次方程的定义

一元二次方程是指含有未知数 x 的二次项、一次项和常数项的方程，其一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知的实数且

a≠0，x 是未知数。一元二次方程的解就是使方程成立的 x 的取值。

2. 一元二次方程的性质

一元二次方程的解的个数可能有三种情况：有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解、没有实数解。这种分类是根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac 的正负来确定的，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ=0时，方程有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。

三、韦达定理的概念

1. 韦达定理的提出者

韦达定理是由17世纪法国数学家维埃特·韦达（François Viète）提出的，他被誉为"代数学之父"。

2. 韦达定理的内容

韦达定理是指一元二次方程的两个根（解）与系数之间的关系。设一

元二次方程为 ax^2 + bx + c = 0，其两个根分别为 x1 和 x2，根据

韦达定理有以下等式成立：

x1 + x2 = -b/a

x1 * x2 = c/a

3. 韦达定理的应用

韦达定理在解一元二次方程的过程中起到了重要作用，通过韦达定理，我们可以利用一元二次方程的系数来求出方程的根的和与积。这为我

一元二次方程-韦达定理的应用及答案

一元二次方程韦达定理的应用

知识点：

一元二次方程根的判别式：

当△>0 时________方程_____________，

当△=0 时_________方程有_______________ ，

当△<0 时_________方程___________ .

韦达定理的应用：

1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数

2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值

3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值

4.已知两数的和与积，求这两个数

例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证：当 m>2 时,原方程永远有两个实数根.

例 2.已知关于 x 的方程2

2(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.

(1)求 k 的取值范围;

(2)是否存在实数 k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值;若不存在，说明理由.

例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=

(1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1，求 k 的值;

例 4.已知关于 x 的一元二次方程21(2)302

x m x m +-+-= (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

(2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+，求 m 的值。

例 5.当 m 为何值时，方程28(1)70x m x m --+-=的两根：

韦达定理(常见经典题型)

一元二次方程知识网络结构图

1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平

方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02

≠=++a o c bx ax

的一般步骤是：

①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为项和项，右边为项； ③配方，即方程两边都加上的平方； ④化原方程为2

()x m n +=的形式，

如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用法求出方程的解。如果n ＜0，则原方程。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：

一元二次

定义：等号两边都是整式，只

含有一个未知数（一

解法直接开平方法

因式分解法配方法公式

法

240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩

＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际

问题⎧⎨

⎩

步骤

实际问题的答案

①将方程的右边化为；

②将方程的左边化成两个的乘积；

③令每个因式都等于，得到两个方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

一道关于韦达定理的终极好题

韦达定理是初中数学中比较基础的知识点，但很多同学在应用时容易出错，今天就来一道终极好题，检验大家掌握情况。

平面直角坐标系中有三个点A（1，1），B（5，7），C（4，2），求证：AB+CB=AC。

这道题目看起来似乎很简单，但却有很多细节需要注意。首先，我们可以用勾股定理求出AB、AC、CB的长度，分别为：

AB=√((5-1)+(7-1))=√64=8

AC=√((4-1)+(2-1))=√10

CB=√((5-4)+(7-2))=√50

接着，我们可以利用韦达定理进行验证：

AB+CB=8+√50=64+50=114

AC=√10=10

由此可见，AB+CB不等于AC，此时我们需要重新检查计算过程。经过反复检查，最终发现是CB的计算出现错误，正确的结果应该是CB=√((5-4)+(7-2))=√26。

重新带入公式，得到：

AB+CB=8+√26=64+26=90

AC=√10=10

此时，两边相等，证明了AB+CB=AC。

- 1 -

一元n次韦达定理公式是怎样的

（最新版）

1.韦达定理的背景和历史

2.一元 n 次方程的韦达定理公式

3.韦达定理的应用举例

4.韦达定理的推广和意义

正文

一、韦达定理的背景和历史

韦达定理是数学领域中关于方程根与系数之间关系的一个重要定理。最早由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）于 1615 年在他的著作《论方程的识别与订正》中提出。韦达定理对于一元二次方程以及更高次方程的根与系数之间的关系进行了深入的探讨，成为了数学史上的一个重要里程碑。

二、一元 n 次方程的韦达定理公式

对于一元 n 次方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+p=0（其中 a ≠0），它的根记作 x1，x2，x3...xn。韦达定理说明了方程的根与系数之间的关系，具体公式如下：

x1 + x2 + x3 +...+ xn = -b/a

x1x2 + x1x3 + x1x4 +...+ x1xn = c/a

x1x2x3 + x1x2x4 + x1x2x5 +...+ x1x2xn = -b/a

...

x1x2...xn-1 = (-1)^(n-1) * c / a

x1x2...xn = (-1)^n * p / a

其中，-b/a 表示两根之和，c/a 表示两根之积，(-1)^(n-1) * c / a 表示三根之和，(-1)^n * p / a 表示三根之积。

三、韦达定理的应用举例

例如，对于一个三次方程 x^3 - 3x^2 - 10x + 5 = 0，设它的三根分别为 x1，x2，x3。根据韦达定理，我们有：

一道关于韦达定理的终极好题

韦达定理，又称作“梅涅劳斯定理”，是数学中的一个基本定理，被广泛应用于各类问题中。该定理的表述为：在一个三角形中，三边上的三个点连成的线段交于一点，若交点与三角形某一顶点的连线垂直，则这三条线段上的长度乘积相等。

基于这一定理，我们来考虑下面这道题目：

已知平面直角坐标系上三个点 A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，它们组成一个三角形 ABC。现在，我们定义一个点 P(x, y)，它与 A、B、C 分别连线后，使得这三条线段上的长度乘积最大。问点 P 的坐标是多少？

这是一道极具挑战性的问题，但是我们可以利用韦达定理来解决它。具体地，我们可以把问题转化为求解下面的方程组：

(x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(x-x2)(y3-y2)-(y-y2)(x3-x2)=0

(x-x3)(y1-y3)-(y-y3)(x1-x3)=0

这个方程组的解就是点 P 的坐标。但是，这个方程组的求解并

不是一件容易的事情，因为它是一个三元二次方程组。不过，我们可以采用一些数值计算的方法来求解它，比如牛顿迭代法等。

总之，这道题目展现了韦达定理的强大威力，并且对于数学爱好者来说，它也是一道非常有趣和有挑战的题目。

- 1 -

(完整版)韦达定理及其应用

韦达定理及其应用

高一数学 B 段

教学目的：

1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法

2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；

3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法教学难点：韦达定理的正确使用

一、知识要点

1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a

b x x -=+21 a

c x x =•21，； 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=•+++x x x x x x

3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫ ⎝

⎛++=++ 二、例题

1、不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422

=--x x

2. 若1x 、2x 是方程2x +2x-17=0的两根，试求下列各式的值.

（1）2221x x + （2）2

111x x +

学生练习：（1）=--)5)(5(21x x

（2）=-

21x x

反思：韦达定理求值，应熟练掌握以下等式变形:

()212

2122212x x x x x x -+=+ 2111x x +=2121x x x x + ()212212214)(x x x x x x -+=- 21221214)(x x x x x x -+=-

3.已知关于x 的方程x 2 + kx －6= 0的一个根是2，求另一个根及k 的值

超级韦达定理公式

1超级韦达定理

超级韦达定理，即“Weierstrass定理”，是一个在欧几里德几何和解析几何中十分重要的一个定理，它是1885年Stategies大师Karl Weierstrass提供的定理。它指出任何通过任何给定点和曲线外点的关系，都可以用多项式来表示。

2多项式的定义

多项式是由一个或多个未知数，乘以一系列不同的幂的常数因子，组成的有限项的可化简的数学等式。比如，f（x）=ax^2+bx+c 是一个二项式，因为a，b和c是常数因子（未知数），x是一元未知数，且可以化简为一个有限项数学等式。

3超级韦达定理公式

基于以上定义，超级韦达定理的核心公式可以表达为：任何一条连接曲线上任意两点的弧线都可以用相应的多项式来表示，而且存在一个无穷多的多项式来表示这样的弧线。这里的“无穷多”就是指任意两个点上的弧线，可以用穷尽的多项式表示，而且这个多项式对所有的定点和解析空间中所有的弧线都成立。

4关于超级韦达定理的重要作用

超级韦达定理对欧几里德几何以及解析几何有着十分重要的作用，它有助于建立优化几何学的基础，建立了有关优化几何学的公理

推理体系。它极大地丰富了数学思想，使人们可以更容易地理解、探索和利用数学。

5结论

超级韦达定理是数学中最基本的定理之一，它引出了多项式的基本运行思想，对欧几里德几何以及解析几何的研究有着重要的作用，它的研究结果也为日后的数学及应用科字提供了基础性研究。

韦达定理的应用题_证明_公式

韦达定理的应用题_证明_公式(总

8页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--

--内页可以根据需求调整合适字体及大小--

根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.

1．判别式的应用

例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+R a=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.

证明△=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，

必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得

△ =（Pc+Ra）2-4ac

=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac

=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.

∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，

（1）当ac≥0时，有△≥0；

（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.

（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.

例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.

（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；

此处无图

（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.

解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即

x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时

△ =k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.

初中数学韦达定理

韦达定理的介绍：

中文名：韦达定理

外文名：Vieta theorem

提出者：弗朗索瓦·韦达

提出时间：16世纪

应用学科：数学代数

适用范围：方程论初等数学解析几何三角

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达定理的公式：

设一元二次方程

中，两根x₁、x₂有如下关系：

韦达定理的证明方法：

由一元二次方程求根公式知：

则有：

韦达定理的应用方法：

韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽，在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长，下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用。

一、直接应用韦达定理

若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．

例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB 边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．

求证：

(1)c＋d＝2bcosA；

(2)c·d＝b2－a2．

分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．

证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有

a2＝b2＋c2－2bccosA；

a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．

∴c2－2bccosA＋b2－a2＝0，

d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．

初高中衔接——韦达定理

高一数学（初高中数学知识衔接）

——一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

【知识链接】

已知，、是关于x 的一元二次方程的两根。

求证：；分析：由求根公式计算一下，可以找到一元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。

证明：由求根公式有：，

∴

注：① 当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x 的方程时，则由韦达

定理知：，，

即12()p x x =-+,12q x x =⋅

②以两个数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是:21212()0x x x x x x -++⋅=

【例题分析】

例1：不解方程，求下列方程的12x x +与12x x ⋅：

（1）25100x x --= （2）22710x x ++=

（3）23125x x -=+ （4）(1)37x x x -=+

（5） 2310x x -+= (6)2322x x -=

1x 2x )0( 02≠=++a c bx ax a b x x -=+21a

c x x =⋅21a

ac b b x 242-±-=21x x +21x x ⋅a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=a b a b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221a ac b b a ac b b x x 24242221---⋅-+-=⋅2224)4()(a ac b b ---=a c a ac b b =+-=2

224402=++q px x p x x -=+21q x x =⋅21

关于韦达定理

如果你没兴趣就别看了.......

我们已经知道一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的韦达定理是

⎪⎩

⎪⎨⎧=-=+.,2121a c x x a b x x 我们也可以通过一元二次方程的求根公式来证明以上公式，但实际上，一元二次方程的韦达定理并不需要求根公式就可以证明.

证明：引理：如果方程()0=x f 与方程()0=x g 有同样的根，那么必有：()()x g x f k =][.(这里f(x),g(x)分别代表一种关于x 的运算.)

引理证明:由()0=x f ,()0=x g 肯定可以推出()()x g x f =,但这并不是唯一的结果.因为. 由()0=x f 可得()0][=x f m ,同样的,也有().0][=x g n 显然,若0≠mn ,则上面两个等式必定成立,从而()[]()[]x g n x f m =,得()[]()x g x f n

m =.令k n m =,就有()()x g x f k =][.显然,当1=k 时,就可以得到上面的()()x g x f =.

不过,虽然n m ,可以取无穷多个值,即有k 可以取无穷多个值,但在有些情况下,k 却可以确定. 就如对一元二次方程的韦达定理证明一样.

引理证明完毕.

下面正式证明:

设方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两个根为21,x x ,

则()()00,01121=--⇒=-=-x x x x x x x x 或.

显然.方程)0(02≠=++a c bx ax ()()021=--x x x x 具有相同的根21,x x , 于是()()c bx ax x x x x k ++=--2

韦达定理全部公式

韦达定理（Vieta's formulas）是一组用于描述多项式系数与其根之间关系的重要公式。这组公式由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）于16世纪提出，被广泛应用于代数学和数论中。韦达定理的第一个公式是关于二次方程的。对于一个一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，韦达定理给出了它的两个根之和和两个根之积与系数之间的关系。根据韦达定理，这两个根之和等于-

b/a，根之积等于c/a。这个公式被广泛应用于解方程和因式分解等问题中。

对于一个更高次的多项式方程，韦达定理也同样适用。对于一个n 次多项式方程a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，韦达定理给出了它的n个根之和、n-1个根之积、n-2个根之和等与系数之间的关系。具体而言，韦达定理表明这些关系可以通过系数

a_0, a_1, ..., a_n-1的各种组合来表示。

韦达定理的第二个公式是关于一个多项式的根和系数之间的关系。根据韦达定理，在给定多项式的根的情况下，可以通过根与系数之间的关系来计算出这个多项式的各个系数。具体而言，对于一个n 次多项式方程，如果它的n个根分别为r_1, r_2, ..., r_n，那么可以通过如下公式计算出系数a_0, a_1, ..., a_n-1：

a_0 = (-1)^n * r_1 * r_2 * ... * r_n

a_1 = (-1)^(n-1) * (r_1 * r_2 * ... * r_{n-1} + r_1 * r_2 * ... * r_{n-2} * r_n + ... + r_2 * r_3 * ... * r_n)

判别式和韦达定理

1、当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．

2、k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．

3、已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．

4、对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．

5、求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．

6、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是．

7、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范是．

8、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为．

9、已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为．这样的直角三角形有个．

韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b

c x +x =x x =a a -⋅，。

1、若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【】

2、若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【】

3、若x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，则x 1+x 2与x 1•x 2的值分别是【】

韦达定理(常见经典题型)

一元二次方程知识网络结构图

1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平

方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：

①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为项和项，右边为项；

③配方，即方程两边都加上的平方；

④化原方程为2()x m n +=的形式，

如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________

（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：

①将方程的右边化为；

②将方程的左边化成两个的乘积；

③令每个因式都等于，得到两个方程；

④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3、韦达定理

一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程解法（降次）直接开平方法因式分解法配方法公式法22240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩

韦达定理知识点及应用解析

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点与应用解析

1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -a b ， x 1·x 2 = a

c 。对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q

2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。

3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)

4、根与系数的关系求值常用的转化关系：

①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=222a ac b - ②c

b x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =

a c -

b +a 2 ④(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2a

4ac -b 2 5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；

（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；

（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。

（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。