特殊化思想在数学中的应用

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“特殊化”方法应用例说

４２
福建中学数学
２０年第８０９期
“ 殊化＂方法应用例说特
徐祖德
福建省南安国光中学（６３１３２２）
常言道：“ 退一步，海阔天空．” 际上，在数学实解题中，同样可以借助这种思维模式，达到以退求进的目的．这是因为，众多的数学问题具备各自的特殊性，若能充分挖掘隐藏于数学问题之中或与之相关的
分析此题看起来很难下手，其实只要发现：ｌ４＝２ｇ和ｌ２ｇｇ１２ｇ＋ｌ５＝１两个特殊关系，我们易这得 ①③④三个式子是等价的，因此这三个式子同时成立或者同时不成立．根据题意只能是同时成立，
所以不成立的式子是②⑤．此题通过寻找特殊关系，突破解题的难点，从而迅速构建解题思路，使解题变得简洁流畅．
．
，
．
．
，
—
—
：
—
—
，
ａｂ
Ｃｂ
Ｃ
可得＿ｓＢａｉｎ
ｉｎｉ０３ｎ６。：，／２ｓｎＡｓｎＢ：ｓ：ｓＲｉｉ
： —
～
＿
＿
，
．
故
２ＳｎＢＩ
２
选Ｄ．然而这里运用了特殊值求解。更显方法之优．运用特殊值法解标准化命题，实际上是根据题型自身的特点，取符合题意的特殊值代入解答．一
特殊值、特殊式、特殊点、特殊位置、特殊关系等．就能巧妙地利用这些特殊因素使问题 “ 特殊化 ” ，进
题正确，必须对所有的符合题意情形都成立，当然对特殊情形也应成立．例３（０９年厦门市质检卷文（０）２０２）已知数

特殊化思想在中学数学解题中的应用

２＜ｌ即ｏ＜－，ａ，＜口去故选Ａ然而这里运用＿．
了特殊值求解，更显方法之优．
３分析特殊因素。发现一般规律对一些较为抽象的数学问题，般规律一又无显露，时，此可利用特殊因素来探路，进
而发现规律，出正确结论．得
求，寻求出问题的解题思路和结论．２巧用特殊因素，化解题方案优
规律，一般或抽象复杂的数学问题，用对采 “ 以退为进 ” 的策略，过特殊的情形、通简单的事例探求问题的结论，一思想称为数学解这
０给出下列不等式：，
①，６－ｆ－ａ＞ｇ口一ｇ－ｂ；（）（）（）（） ②厂６一，－ａ＜ｇ口一ｇ－ｂ；（）（）（）（） ③，ｎ－ｆ（ｂ＞－（）ｇ（ａ；（）－）ｇｂ－－）
④ 厂口一厂－ｂ＜ｇ６一ｇ－ａ．（）（）（）为突破口，并去探求解
题思路．
例１定义在区间（ｏ，。的奇函一。＋ｏ）
数，）（为增函数，函数ｇ（在区间［，偶ｚ）０＋ｏ）ｏ的图像与厂ｚ的图像重合．ｎ６（）设＞＞
法求出结果，时，巧妙地运用特殊因素，此应
寻求最优方案，能收到事半功倍之效．方
例２若定义在区间（１Ｏ内的函数一，），ｚ一ｌｇ（＋１满足，），口的取（）ｏｚｚ）（＞Ｏ则值范围是（）．

特殊化方法在数学解题中的应用

特殊化方法在数学解题中的应用大数学家希尔伯特说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未获成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决，或者完全没有解决。

这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是解决数学困难的最重要的杠杆之一。

”这段话深刻地说明了特殊化方法的重要作用。

以下是特殊化方法在具体环境中的一些应用：1、利用特殊值(图形)解选择题某些选择题按常规方法解比较困难或者运算繁琐，若利用特殊值(图形)来解则非常简捷。

例l 给定一个三角形，设它的周长、外接圆半径长、内切圆半径长分别为不妨考虑三角形的一些特殊情况。

当这个三角形的三个顶点彼此非常接近时，则该三角形各边的边长均远小于，这时(A)和（C）显然都不成立。

当这个三角形是顶角很小的等腰三角形时，腰长接近于外接圆直径长，显然(B)也不能成立。

因此应选(D)。

尤其在当下，初中数学，尤其是初三数学已经渗透了高中知识，但是有时候初中生的思维还无法达到高中生的思维，所以在解决这种类似的题目时，将题目中的信息特殊化一下，往往会得到意想不到的结果。

2、利用特殊化方法探求问题的结论有些与定值、定点、定直线有关的问题，可以用特殊化方法将问题引向极端，舍弃题中不确定的因素，先求出这个定值、定点、定直线，从而使解题有明确的方向。

都有一个共同的实数解，并求此实数解。

若能知道这个实数解是多少，则问题就变成，验证这个实数解是原方程的解。

题目很难吧，尤其还是四次方程，更是难上加难，但是不要忘了题目中曾说过“都有一个共同的实数解” ，我们就对式子进行特殊化处理一下，对取特殊值，就可以将等式左边消去一项，得到一个方程组，先应用我们学过的加减消元，然后，应用因式分解，最后通过验证得到它们的公共解。

看看，是不是全是我们初中生学过的方法？3、利用特殊化方法探索解题思路数学问题经过特殊化处理后，常常能帮助我们获得该问题某一侧面的信息，这样经过几次特殊化后，就能得到较多的信息，从而有助于找到解决问题的方法。

特殊化思想在数学探究中的应用

僵局．通过解决特殊情形方法启迪
类比思维，获得一般化问题的解法．例１两人轮流在圆桌上摆硬币（大小相同），每次摆一个．每个硬币不能重叠，也不能有一部分在桌子的边缘外．经过充分多次这样
Ｇ，可以证明尸／ＧＨＱ／Ｈ，从而证
切线放在垂直轴的特殊位置上，容易确定此
时ＡＯＲ的面Ｑ
）ｍ＼
例５无论ａ为任何实数值，曲线．一ａ＋０－５０是否４２ｙ２ａ２＝
总能经过一个定点？
ＱＲ．Ｏ
积为ｎ即我６（
因为ａ、／ＱＲ都与点Ｐ、ｂＯ在双曲线上的位置无关，所以
广东教育・教研
２００９年第５期
智
如 “ 定点” “ 定值”等问题，此类问题的目标常常是未知的，这就增加了解题的难度．在许多时候因此
可以取问题的特殊情形进行探究，使探究的目标明确，容易使问题获
解．
育
广
角
由于点Ｐ（２ｙ）是双曲线上
ＡＤ
Ｃ的值．分析：先用特殊值法进行探究
方法，是一种以退求进的解题策略，是我们进行探究活动的重要手
段和方法．
一
分析：由于Ｐ、Ｑ的动态性，
所以难于获得一般性结论，于是先
、
特殊化的启迪诱导
考虑极端情形：把点Ｐ、Ｑ分别移到极端点——分别与点Ａ、Ｄ重合，则显而易见有尸Ｑ∥ 平面

从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用

从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用摘要：从特殊到一般思想方法是一种重要的解题策略，同时也是一种重要的思维方法。

本文从四个方面论述了从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的具体应用。

关键词：数学思想方法特殊化不完全归纳法现实中，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果推广到一般问题之上，从而获得一般性问题的解决。

这种从特殊到一般的数学思想方法也称之为特殊化方法，它作为一种化归策略，在解决数学问题中有着广泛的应用，其基本思想却很简单：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。

现在通过实例论述从特殊到一般的数学思想方法在解决数学问题中的具体应用。

一、在指示数学解题方向中的应用众多数学问题都具有各自的特殊性，依据“普遍性存在于特殊性之中”的普遍规律，把那些题目的结论不明确，通过“退”即将问题的条件特殊化，找到结论，从而明确解题方向。

运用这种特殊化能使这类问题的解法变得简洁、明快。

例1：如图，设△ABC三边上的高分别为ha,hb,hc,△ABC内的任一点P到三边BC、CA、AB的距离分别是da,db,dc，则＋＋为定植。

图１图2分析：当△ABC为任意三角形时，难以确定＋＋的值。

现设原命题为真，即＋＋为定值成立。

将条件特殊化，设△ABC为正三角形，则＋＋为定值也必定成立，如图，在正△ABC中，由P的任意性，取P为垂心H，依据正三角形四心合一的性质知＋＋＝，从而预测＋＋=1（定值）。

证明：连结PA、PB、PC，在△ABC和△PBC中，BC为同底（图1），∴＝，同理，＝，＝，将此三式相加得＋＋=1，原命题成立。

二、在一般性命题检验中的应用由于一般性总是寓于特殊性之中，所以命题在特殊情形下为假，则它在一般情况下也假，从而通过特殊化就能达到对命题结论的检验和判断。

我们往往从问题的特性入手，考察合乎条件的特殊情形，比如：特殊植、特殊位置、特例等进行特殊化处理。

论数学问题解决中特殊化与一般化的辩证关系

论数学问题解决中特殊化与一般化的辩证关系数学问题解决中，特殊化和一般化是两个重要的方法。

特殊化是指将一个问题转化为特定情况下的问题进行研究，而一般化则是将特定情况下的问题推广为一般情况进行研究。

这两种方法在数学问题解决中相互依存、相互促进，起到了非常重要的作用。

首先，特殊化是解决数学问题的基本手段之一。

由于数学问题的复杂性和多样性，我们通常需要将问题转化为某些特殊情况下的问题进行研究。

这样做的好处在于可以减少问题的复杂程度，使问题更加容易理解和解决。

例如，在解决某个数学问题时，我们可以将该问题特殊化为只涉及正整数的情况，或者只涉及偶数的情况。

这样做不仅可以简化问题，还可以使我们更加深入地理解问题的本质。

然而，特殊化也有其局限性。

当我们只关注特定情况下的问题时，有可能会忽略一些重要的信息和规律，导致我们无法将问题推广到更一般的情况。

因此，一般化也是解决数学问题的重要方法之一。

一般化是将特定情况下的问题推广为一般情况进行研究。

这种方法常常需要更加深入的数学知识和技巧，但是其有助于我们发现问题的一般规律，从而更好地理解问题的本质。

例如，在研究某个数学问题时，我们可以将该问题推广为更一般的情况，如实数或复数范围内的情况。

这样做不仅可以帮助我们发现问题的一般规律，还可以使我们更好地理解问题的本质。

总之，特殊化和一般化是解决数学问题的两种重要方法。

这两种方法相互依存，相互促进，有助于我们更好地理解和解决数学问题。

我们应该在解决数学问题时恰当地运用这两种方法，以便更好地发现问题的本质和规律。

初一数学特殊化思想总结

初一数学特殊化思想总结初一数学特殊化思想总结数学是一门抽象而又具有逻辑严密性的学科，它是我们认识世界和解决问题的重要工具。

在初中数学教育中，特殊化思想是培养学生数学思维和解决实际问题的重要方法之一。

特殊化思想强调的是把问题具体化，从而更好地理解和解决抽象的数学问题。

接下来我将从几个方面总结初一数学特殊化思想的应用。

首先，特殊化思想在数学建模中的应用是非常重要的。

数学建模是将实际问题转化为数学问题，利用数学方法进行求解的过程。

在初一数学教学中，通过特殊化思想，学生可以将实际问题“特殊化”，即把问题中的具体数据变成具体的数值，从而更好地理解问题和解决问题。

例如，在解决简单利润问题时，学生可以先假设商品的进价和售价都是具体的数值，然后再进行计算。

这样一来，学生可以更直观地理解利润的概念，并且更容易解决问题。

其次，特殊化思想在解决复杂问题时起到了很大的作用。

初一数学中，有一些问题可能会比较复杂，需要运用多种方法进行求解。

这时，特殊化思想可以帮助学生将复杂问题分解为几个简单问题。

例如，在解决比例问题时，学生可以首先将问题进行特殊化，假设两个比例相等的两个数是具体数值，然后再根据这些具体数值进行计算。

这样一来，学生可以更好地理解比例的概念，并且更容易解决复杂的比例问题。

此外，特殊化思想还可以帮助学生发现问题中的规律，并运用规律解决问题。

初一数学中，有一些问题可能涉及到一些特殊情况，而这些特殊情况往往会有一定的规律性。

通过特殊化思想，学生可以找到问题中的特殊情况，并通过归纳整理发现规律，从而解决问题。

例如，在解决关于数字规律的问题时，学生可以通过特殊化思想找出一些特殊的数字规律，然后再用这些规律解决一般情况下的问题。

这样一来，学生可以更好地理解数字规律，并且更好地运用它们解决问题。

总之，初一数学特殊化思想的应用是非常广泛的。

通过特殊化思想，学生可以更直观地理解和解决数学问题，提高数学思维能力和解决问题的能力。

特殊化思想在数学解答题中的运用

（）ｆＩ中，ｘＯ则Ｉｌ，３在Ｉ）≤ （令－， ≤ 再令＝，６
同理，Ｑ的坐标是（，点４
），
高串２０¨ 壤第｛０期
数攀瀚戮
纛纛
先考察一个最简单的特殊情形——将两个边长相等的正方形ｓ与．剪拼成一个正方形ｓ，可按下左ｓ。
（）明：＋ｌＭ；２证明： ≥ — ；３当＝１证Ｉｂ￣（）Ｉ＜（）１
方程是＋１莩＝．
斗ｊ
（）当ｍ０时，直线ｚ２＝的方程为ｘｌ＝，此时，， Ⅳ
点坐分是１，１，Ａ坐是一的标别（孚）（－又点标（，，孚）
ｙ
的圆被轴截得的弦长为定值６．
悦在（）２的解答中是通过特殊探路，然后由此
．
展开．证明满足条件的圆的弦长也是定值６也可以直．
顶点为Ａ。直线ＡＡＭ，Ｎ与直线ｘ４分别相交于＝
点尸Ｑ，问当ｍ变化时，＿，
图所示的方法剪拼而成．
得Ｉｊ争争 ① ｌ一≤ … ６ ≤ ≤ 在＋，，１≤ ＿ｌＩ中｝得 ≤６｝一ｌ≤ 令６一＋３芝
２０，时由图可知ＭＮ是△４尸，）此Ｑ的中位线，因此尸Ｑ，＿两点坐标分别是（，）（，３，以Ｐ４３，４一）Ｑ为直径的厕（一
时，试求出ｆｘ的解析式．（）
１（）明：解析Ｉ１证
，
）ｌ的最大值为，即）≤ ｌ
４２ｙ＝）９过右焦点（，）＋１．０由于圆（一）＝４。９与轴交于＋

六大数学思想之五：特殊与一般最新修正版

高中数学六大思想之五：特殊与一般1．什么是特殊化思想：对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想：当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面:1.特殊问题一般化：在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了.esp1：求证：sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°. 【分析】此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为１８０°，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”和“余弦定理”.解：在△ＡＢＣ中，设∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别是a、b、c，则得a+b>c>a-b.由正弦定理得=k，故ksinＡ＋ksinB>ksinC>ksinA-ksinB，所以sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.特殊地：将Ａ＝７０°、Ｂ＝１０°、Ｃ＝１００°代入上面的不等式即得所求证的结论2. 一般问题特殊化：esp2: 如图１，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知面ＡＢＣＤ是边长３的正方形，ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积可能为（）.解：本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割.连ＥＢ、ＥＣ，得四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ和三棱锥Ｅ－ＢＣＦ，这当中，四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ的体积易求＝×３×３×２＝６，又因为一个几何体积的体积应大于它的部分体积，所得ＶＥ－ＡＢＣＤ以不必计算三棱锥Ｅ－ＢＣＦ的体积，就可以排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ.３. 特殊问题特殊化：对具体的问题，给出另一种解释，其目的是为了使问题中的对象进入某一领域，以便利用此领域的知识及方法来解决给定的问题.esp3: 求函数的最大值与最小值.一般解法：∵对一切x∈R，２－sinx≠0都成立，∴函数的定义域为Ｒ.由∵函数的定义域为Ｒ，∴函数的最大值与最小值分别为：，-；特殊解法：把函数值看成由点Ａ（２，０）和点Ｐ（sinx，-cosx）构成直线的斜率（如图），由图易求函数的最大值与最小值分别为，－.4.取特殊数值：esp4：（2008重庆卷,理6）若定义在上的函数满足：对任意有,则下列说法一定正确的是（）(A) 为奇函数（B）为偶函数(C)为奇函数（D）为偶函数分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找与之间的关系，由于所以需要先求出的值，这时需要取特殊值解答。

浅析特殊化思想在中学数学中的应用

一
ＩＣ￣ＤＯ
订丁
３．过程的特殊化
（）端化方法１极
、
特殊化思想方法
例３两人轮流在一张圆桌上摆放大小相同的硬币，每次只能平放一个，能重复，桌子上放下最后一枚硬币者不在
５ｃｓ＾又因为ＣＤ＋ △ Ｄ∥ Ａ则ＳｄＢ， △ｃＤ＝Ｓｃ，而ＳＩ＝ △。从Ｄｆ；ｊ
４００２００
虑特殊对象、殊位置，者考虑极端情况，抽象问题放特或将到简单背景下去考虑，对特殊对象的研究中找出一般规从律，终完成从具体到抽象、局部到整体的思维过程的一最从种数学思想方法．
（以退为进法２）
“ ” 可以从一般退到特殊、数退到少数、间退到平面、退，多空抽象退到具体 … …正如华罗庚先生所说：善于 ‘ ’ 足够地 “ 退， ‘ ’ ‘ ’ 最原始而不失去重要性的地方，简单的、殊退，退到把特的问题搞清楚了，从这些简单的问题的解决中，者获得并或解题思路，者提示解题方向，者发现一般问题的结论，或或或者得到化归为简单问题的途径，而再 ‘ ’ 从进到原问题中来． ”
果我们能与生活实际相联系，较容易得出答案．设在ｂ则假克水中放人ａ克糖，然后在糖水中再加人ｃ克糖．：原来问是

浅谈特殊化思想在数学教学中的应用

1）、D（0，1）,一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的
点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），
设的坐标为，若，则的取值范围是（）
(2003年全国高考理科卷试题)
简析：本题倘若根据反射定理直接建立有关函数关系式去讨论的取值范围，其思维过程比较复杂，作为选择题，难免小题大做，怎么办呢？我们不妨将、、和置于特殊位置来考虑，则可以降低思考难度，提高解题速度。详见如下：
例一：定理：设空间中两个非零向量，，那么它们的夹角的余弦值为简析：我们利用特殊化思想研究的情况，则有，即，又因为，这样，我们就会得到以下这样的推论。推论：空间两个非零向量和互相垂直的充要条件是。例二：平面内一点到一条直线的距离公式：。简析：我们利用特殊化思想，令一条平行于直线的直线过点，则会发现以下重要的性质。性质：两条平行直线与的距离：应用三：用于分析解题思路例一：定义在区间的奇函数为增函数，偶函数在区间的图像与的图像重合，设，给出下列不等式： ①②
③④
其中成立的是（）
A①和④
B②和③
C①和③
D②和④
（1997年全国高考理科卷试题）
简析：初看此类题往往会令有些学生产生陌生之感，件的简单例子来帮助学生判断结
论,则可以化陌生为熟悉。如取，，并令，即可判断提供的结论中①和
③正确，从而选C。
例二：已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，
浅谈特殊化思想在数学教学中的应用
特殊化思想就是把研究对象或问题从原有范围缩到小范围或个别情形进行考察的思维方法。怎样把特殊化思想渗透到数学教学中去呢？下面本人结合个人实践体会介绍几点其重要应用，供同行们参考：
应用一：用于理解定理和熟记公式例一：

一般化与特殊化策略在数学上的几个应用-教育文档资料

大凡化与分外化策略在数学上的几个应用回顾我们处理数学问题的过程和经验发现，我们常常是将待解决的陌生问题通过转化，归结为一个比较熟悉的问题来解决。

因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法利于问题的解决。

这就是我们所说的应用化归来解决数学问题的一个严重方法。

大凡化与分外化策略是化归思想中的一个比较突出的思维方法，对我们解决较繁复、难度较大的数学问题有很大的帮助。

下面我就从几个例子的应用来说明。

具体来讲，大凡化与分外化策略是从“分外到大凡”和从“大凡到分外”。

这道题可以直接证明，但是我们通过考虑它的大凡情况来证明更为简单。

比较与n!的大小，从这种将待解?p待证问题看成分外问题，通过对它的大凡形式问题的解决而得到原问题解的化归策略就是大凡化策略。

与此相反，对于待解或待证问题，先解决它的分外情况，然后把解决分外情况的方法或结果应用到大凡情况，使原问题获解的策略就是分外化策略。

下面我们看一个例子。

例2：给定平面上n个点，证明可以作n+1个同心圆。

满足条件：①这n+1个同心圆的半径都是其中最小半径的整数倍；②这n+1个同心圆所成的圆环中，每个圆环恰含一个已知点。

解：该问题的解决分两步，先解决其分外情况，再把大凡情况化归为分外情况解决。

大凡情况可化归为上述分外情况来解决。

对于平面上n个点，联结两点的线段的垂直平分线至多有C条。

我们可取异于这无限条垂直平分线的直线L为x 轴，再取异于这n个已知点，且异于垂直平分线与L交点的点为原点O，则O 点到n个已知点的距离各不相同，问题也就可以化归为n个点在同一直线的情况。

大凡化策略不仅有助于命题的推广，而且是解决问题的有效途径。

这是因为，大凡化命题中的结构和规律更为清晰。

运用大凡化策略的关键是仔细观察、分析问题的特征，从中找出能使命题大凡化的因素。

另一种意义下的大凡化是标准型化，即把标准形式的东西看作大凡，凡是化归为标准形式处理问题的策略都看作为大凡化。

数形转换也是把大凡转化分外的一种常用办法，如：分析：从已知条件中的结构关系，挖掘分外因素，实现数形转换。

谈特殊化思想在职高数学教学中的应用

教学研究＞教学技巧
投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ。１６３．ｃｏｍ点— — 知识多、方法多、变化多，对于职
减轻学生在运算方面所带来的对数学学习的恐惧感．以及如何不断地提高学生的运算能力．从而增强学生对运算的自信心．乃至对学习数学的积极性．
这是学习集合基本关系中的一个常见的题目．学生一上手．就会借助画
数轴的方法直奔主题．从而借助图形很
的值，必须要让学生明确两点： ① 需要
建立一个关于ｍ的关系式（可以是等式刚好与标准答案相同．如果
ｔｌ，ＰＦ２
２
教师认为答案对了就万事大吉了．那么
一
然条件限制（Ｏ，１），这样就得出ｅ
ｒ１、
些精彩的东西就会与我们擦肩而过
时笔者先让学生看书．竟然没有几个学
生能看懂，这对学生而言简直是摧残他们的学习兴趣！于是，笔者换了＿种讲法：通过点Ｐ取短轴顶点．利用当Ｐ运动到短轴顶点时张角最大的性质．只要保证／－ＯＰＦ２ｔ３＞０￣，即在 △ＯＰＦｌ２中，＝
Ａ＝的情况．这样，这个问题才算彻底地搞清楚了．因此．我们的教学要真正

特殊化和一般化思想在高等数学中的应用

Ｏｃｏｅ０８ｔｂｒ２０
・
大学生园地・
特殊化和一般化思想在高等数学中的应用
肖燕、
（中师范大学数学与统计学学院．汉４０７）华武３０９
摘要：特殊化思想舜一般化思想是两个重要的数学思想，文以几个实例说明其在解题过口本
一
分析根据一致收敛定义，只要证明存在某
一
致收敛容易得多。
个正数￡，对任何实数Ｍ（＞０，相应地。使Ｍ）总
收稿日期：０８０２０ — ４— ２．６
ห้องสมุดไป่ตู้
对所研究的对象赋予具体的（殊的）在定特
作者简介：肖燕（９６）女。１８－，重庆人。０５数学与应用数学专业在校生．２０级
ｌ。 “ ｓｕＩｏｒ一ｒｄ＜ｅ。ｉ“ ＇ｎ
即
为精妙的著名反例：（厂）一＞ｂｃｓａ船）其：０（，
０
中 Ⅱ为奇整数，＜ｂｌ且ａ０＜，ｂ＞ｌ＋芸丌这是一，
个在区间上处处连续且处处不可微的函数，而从
原命题假也严格弄清了函数连续性与可微性之间的关系ｌ。例如证明函数一＿ｚ在（。，＿再１］厂）一。＋（
Ｊｉ “ 岛－ｓｄ＜ｆｉｅｆｎ一＜ｆｕ扣ｓｄ＋ｏｕ扣ｓｄｔｉ “ ｏｎｏｎｕ，

特殊化方法在数学教学中的应用

特殊化方法在数学教学中的应用首先，特殊化方法可以帮助学生建立数学概念的直观理解。

数学概念往往抽象而难以理解，特殊化方法可以通过将抽象的概念与具体的实例相联系，帮助学生形成直观的概念。

例如，在教授平方根的概念时，可以通过展示一个正方形的面积与边长的关系，引导学生发现平方根的概念。

这样的特殊化方法可以使学生更加深入地理解数学概念，而不仅仅是机械地应用公式。

其次，特殊化方法可以激发学生的兴趣和动机。

数学常常被认为是一门抽象和枯燥的学科，学生容易失去兴趣。

而通过特殊化方法，将数学与实际生活中的问题相结合，可以使学生看到数学在解决实际问题中的应用价值。

例如，在教授几何形状时，可以通过展示建筑物、艺术品等实际例子，让学生意识到几何形状在现实生活中的重要性。

这样的特殊化方法可以激发学生学习数学的兴趣和动机。

此外，特殊化方法还可以帮助学生发展问题解决和批判性思维能力。

数学教学不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的问题解决能力和批判性思维。

通过特殊化方法，学生可以在解决实际问题的过程中，运用数学知识和技巧进行分析和推理。

例如，在教授代数方程时，可以通过给学生一个实际问题，让他们使用方程的解法来解决问题。

这样的特殊化方法可以培养学生的问题解决和批判性思维能力，使他们能够独立思考和解决问题。

最后，特殊化方法还可以帮助学生建立数学与其他学科的联系。

数学与其他学科之间存在着紧密的联系，通过特殊化方法，可以将数学与其他学科进行跨学科的融合。

例如，在教授统计学时，可以通过给学生一个实际的数据集，让他们运用统计方法进行数据分析。

这样的特殊化方法可以帮助学生理解数学在现实生活和其他学科中的应用，促进跨学科的学习和思维。

综上所述，特殊化方法在数学教学中具有重要的应用价值。

它可以帮助学生建立数学概念的直观理解，激发学生的兴趣和动机，培养学生的问题解决和批判性思维能力，以及促进数学与其他学科的跨学科融合。

教师在数学教学中可以灵活运用特殊化方法，使学生更好地理解和应用数学知识，提高数学学习的效果。

用特殊化思想巧解一般性问题

用“特殊化”思想巧解“一般性”问题牛顿由苹果落地这一“特殊”事件，发现了“万有引力”定律；阿基米德由浴池洗澡这一件“特殊”事件，发现了“浮力定律”。

事实上，许多著名的定理、定律的发现都是由“特殊”到“一般”。

许多数学问题的解决途径也是从“特殊”到“一般”。

因此，在日常的数学教学中，应注重培养学生这种“一般”问题“特殊”化的思维方式，从而巧妙解决看似无从入手的问题。

例1.如图1，在ΔABC 中，AB =AC ，P 为底边BC 上任意一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，试探索PD +PE 的值，是否随着P 点的位置变化而变化？与学生讨论交流：动点是谁？它运动的范围是什么？哪些位置是它的特殊位置？在这些特殊位置，所要探索的值是否变化？从中得出的猜想是什么？P 点在BC 上，它有三个特殊位置：BC 的中点和两个端点.当P 移动到端点B 时，P 、D 与点B 重合（如图2），此时，PD +PE =0+PE =PE ，而PE 恰为等腰三角形ABC 一腰上的高BF .从而猜测：PD +PE 的值，不随P 点的位置变化而变化，总等于等腰三角形ABC 一腰上的高BF . 我们用特殊化的思想猜测出一般性的结论，在证明时，一定要把一般情况与特殊情况相联系，如图（3），BF 是AC 边上的高.注意到PD 、PE 、BF 都可以看作三角形的高，所以我们可以用面积来证明.∵S ΔAPB +S ΔAPC =S ΔABC∴12 ·AB ·PD +12 ·AC ·PE =12·AC ·BF 又∵AB =AC∴PD +PE =BF与学生讨论交流：如何猜测结论？如何进行证明？从中体会特殊与一般的关系。

在讨论中，即时地对学生发表的见解做出评价和激励，并从不同的解法中选取最优方法和策略。

例2.如图（4），O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸片的圆心放在O 点处，并将纸片绕O 点旋转.(1) A B C D E P (3) A B C D E F P ( E ) ( P ) F ( D ) C B A (2)（1）求证: 正方形ABCD 被纸片覆部分的面积为定值，并且正方形ABCD 的边被纸片覆盖部分（AE +AF ）的总长度也为定值a .（2）尝试与思考如图（5），将一块半径足够长的扇形纸片的圆心放在边长为a 的正三角形ABC 的中心O 处，并将纸片绕O 点旋转.当扇形纸片的圆心角为多少时，正三角形被纸片覆盖的面积为定值，并且正三角形的边被纸片覆盖部分的总长度为定值a .(不要求证明)分析：如图（6），找到扇形纸片的特殊位置（图中虚线部分），此时E 与A 重合，F 与D 重合.发现正方形ABCD 被纸片覆盖部分的面积为S ΔAOB =41S 正方形ABCD ，它与一般位置之间相差△AOE 和△DOF （图中阴影部分），只要证明这两个三角形全等即可.用这样的思考方法很容易得到（2）的结论为：扇形纸片的圆心角为120°.例3.如图（7）等边三角形ABC 内部一点P ，过P 分别作三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F .问PD +PE +PF 是否为定值？说明：本题可以用例1所发现的规律去解决.构造例1的图形是解决本题的关键.过P 作 B ′C ′∥BC 分别交AB 、AC 于B ′、C ′，作AH ⊥BC 于H ，交B ′C ′于H ′.则根据规律可知：在等边△AB ′C ′中，PD +PF =AH ′，又PE =HH ′，所以PD +PE +PF =AH .即PD +PE +PF 为定值，定值是等边三角形的高.在教学中，还可以让学生提出新的问题，如：当P 点在等边三角形ABC 的外部时，结论又有何变化呢？（如图9）只要找到了从“特殊”到“一般”的过渡桥梁，相信这样的问题是很容易解决的.从“特殊”到“一般”往往是需要中介过渡桥梁的，这也正是解决问题的突破口，当我们找到这个桥梁时，问题也就最终迎刃而解了. 探索“一般性”问题“特殊化”解法的途径，寻找从一种对象到另一种“一般”或“特殊”对象的转化手段，是解决数学问题必不可少的思维方式之一 AB C D E F O (4)B C (5) P A B C (9) F E DB C (6) P D E F (7) C B A H' H B' C'P A B C (8) F E D。

论数学教学中的特殊化方法及其应用

论数学教学中的特殊化方法及其应用
数学教学中的特殊化方法是一种注重个体差异和学生需求的教
学策略。

它旨在根据学生的特殊需求和能力水平设计个性化的教学计划，以提高他们的学习效果和兴趣。

在数学教学中，特殊化方法可以应用于不同的方面。

首先，针对学生的学习风格和认知能力，教师可以采用多样化的教学方法。

例如，对于视觉学习者，可以使用图表和图像辅助教学；对于听觉学习者，可以通过讲解和听力练习来加强理解和记忆；对于动手能力强的学生，可以设计实践性的数学活动来帮助他们更好地理解概念。

其次，特殊化方法还可以应用于教学内容的分层和个性化。

教师可以根据学生的能力水平将教学内容分为不同的层次，并根据学生的需求进行个性化调整。

这样做可以确保每个学生都能在适合自己水平的范围内学习，并避免他们感到无聊或挫败。

此外，特殊化方法还可以通过提供个性化的反馈和支持来帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。

教师可以根据学生的学习进展和困难情况，针对性地给予他们指导和建议。

这种个性化的支持可以帮助学生更好地理解数学的抽象概念，并提高他们的解决问题的能力。

总之，数学教学中的特殊化方法是一种注重个体差异和学生需求的教
学策略。

它可以通过多样化的教学方法、教学内容的分层和个性化以及个性化的反馈和支持，帮助学生更好地理解数学，并提高他们的学习效果和兴趣。

教师应该灵活运用特殊化方法，以满足不同学生的需求，并激发他们对数学的兴趣和热情。