2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2充分条件和必要条件课件苏教版

解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是－2≤a≤7.
类型三 充要条件的证明
例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件 是ac<0. 证明
引申探究 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是 a＋b＋c＝0. 证明
必要性： ∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， ∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0，∴必要性成立. 充分性： ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx －a－b＝0，即(x－1)·(ax＋a＋b)＝0， 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴充分性成立. 因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
知识点三 常见的四种条件
1.从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件 如果原命题为“若p则q”，逆命题为“若q则p”
原命题 逆命题 条件p与结论q的关系
结论
真假
p⇒q，但q⇏p
p是q成立的充分不必要条件
假真
q⇒p，但p⇏ q
p是q成立的必要不充分条件
真 真 _p_⇒__q_，__q_⇒_p_，__即__p_⇔__q_
B＝{x|1<x<5}. ∵p是q的必要不充分条件，∴B
A， 则a3≤a≥1，5， 此不等式无解.
故不存在实数a，使p是q的必要不充分条件.
反思与感悟
(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得 B⊆A；若p是q的充分不必要条件，则A B. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间 的包含关系，要注意范围的临界值.
跟踪训练1 对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“|a|>|b|”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中为真命题的是②④. 答案 解析
对于①，a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc，当c＝0时，a与b不一定相等，故 “a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件； ②正确； 对于③，当a＝－1，b＝－2时，a>b，而此时|a|<|b|；④正确.
由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1. 令A＝{x|x>2或x<－1}. 由 4x＋p<0，得 B＝x|x<－p4. 由题意得 B⊆A，即－p4≤－1，即 p≥4， 此时 x<－p4≤－1⇒x2－x－2>0， ∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件.
思考1
你能判断这两个命题的真假吗？ 答案
(1)真命题，(2)假命题.
思考2
命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？ 答案
命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab； 命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可 能b＝0.
梳理
命题真假 “若p则q”为真命题
“若p则q”为假命题
对于结论①，由x3<－27⇒x<－3⇒x2>9.但是x2>9⇒x<－3或x>3⇒x3<－27 或x3>27，不一定有x3<－27，故①正确； 对于结论④，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0.反之，由a，b不全为0⇒a2＋ b2≠0，故④正确.
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4.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为 －1 .
p是q成立的充要条件
假假
p⇏q，q⇏p
p是q成立的既不充分又不必要条件
2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 前提：设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}. 若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的 充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的 必要不充分条件
反思与感悟
(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别 注意充分性和必要性所推证的内容是什么. (2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件 ⇒结论是证充分性，由结论⇒条件是证必要性.
跟踪训练3 求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件. 解答
当a＝0时，2x＋1>0不恒成立. 当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立 ⇔aΔ>＝0，4－4a<0 ⇔a>1. 所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1.
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规律与方法
1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题 非q⇒非p即可；同理要证p⇐q，只需证非q⇐非p即可.所以p⇔q，只需非 q⇔非p. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、 必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关 系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
第1章 §1.1 命题及其关系
1.1.2 充分条件和必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 充分条件与必要条件的概念
给出下列命题： (1)若x>a2＋b2，则x>2ab； (2)若ab＝0，则a＝0.
反思与感悟
充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论. ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就 不是充分条件. ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就 不是必要条件.
(2)命题判断法： ①如果命题：“若p则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的 必要条件. ②如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不 是p的必要条件.
当堂训练
1.设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的 充分不必要 条件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 解析
当a＝1时，N＝{1}，此时N⊆M；当N⊆M时，a2＝1或a2＝2，解得a＝1 或－1或 2 或－ 2 .故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件.
答案 解析
由x2>1，得x<－1或x>1. 又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件， 则由“x<a”可以推出“x2>1”， 但由“x2>1”推不出“x<a”， 所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.
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5.是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在， 求出p的取值范围，否则，说明理由. 解答
类型二 充分条件、必要条件的应用
例2 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，q：实数x满足x2－6x ＋5<0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解答
引申探究 若本例中条件改为：“若p是q的必要不充分条件”，结论 又如何？ 解答
由例2知，A＝{x|a<x<3a，a>0}，
若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的 什么条件？q是p的什么条件？ 答案 因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理， q是p的充分条件，也是必要条件.
梳理 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 p⇔q .此时，我们
说，p是q的 充分必要条件 ，简称充要条件.
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，又不是q
的必要条件
题型探究
类型一 充要条件的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、 充要、既不充分又不必要条件) (1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝ x－1 ； 解答
因为x＝1或x＝2⇒x－1＝ x－1 ， x－1＝ x－1 ⇒x＝1或x＝2， 所以p是q的充要条件.
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2.“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是 a<－1 .
答案 解析
函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得 a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有 零点.
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3.下列四个结论中，正确的有 ①④. 答案 解析 ①“x2>9”是“x3<－27”的必要不充分条件； ②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件； ③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”； ④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.
本课结束
推出关系 条件关系
P⇒ q
p是q的充分 条件 q是p的 必要 条件
P⇏q
p不是q的 充分 条件 q不是p的 必要 条件
知识点二 充要条件的概念
思考1
命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中的条件 和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？ 答案 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立.
思考2
跟踪训练2 已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的 充分条件，求a的取值范围. 解答
由(x－a)2<1，得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1<x<a＋1.