《倾斜角与斜率.ppt
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直线的倾斜角与斜率.ppt
B 直线AB的斜率 k AB 解： 直线BC的斜率 直线CA的斜率 ∵
k BC
22 0 8 4
. . . .
.
A
Hale Waihona Puke okCA2 (2) 4 1 40 4
22 4 1 0 (8) 8 2
.
C
. . .
x
k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵ kBC 0 ∵ kCA
y2 y1 k x2 x1
y1
o
x 答：斜率不存在， 因为分母为0。
) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 ) 、 B(b1 , b2， 运用上述公式计算直线AB的斜率时，与 A、B的顺序有关吗？
b2 a2 k AB b1 a1
a2 b2 kBA a1 b1
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角 倾斜程度相同的直线其倾斜角相同． 直线的倾斜程度还可以用什么量表示？
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
例3、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的 斜率 变式1 在例1基础上加上点C（m，4）也在直 线上，求m。 变式2 在例1基础上加上点D（8，6）,判断点D 是否在直线上。
k BC
22 0 8 4
. . . .
.
A
Hale Waihona Puke okCA2 (2) 4 1 40 4
22 4 1 0 (8) 8 2
.
C
. . .
x
k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵ kBC 0 ∵ kCA
y2 y1 k x2 x1
y1
o
x 答：斜率不存在， 因为分母为0。
) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 ) 、 B(b1 , b2， 运用上述公式计算直线AB的斜率时，与 A、B的顺序有关吗？
b2 a2 k AB b1 a1
a2 b2 kBA a1 b1
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角 倾斜程度相同的直线其倾斜角相同． 直线的倾斜程度还可以用什么量表示？
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
例3、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的 斜率 变式1 在例1基础上加上点C（m，4）也在直 线上，求m。 变式2 在例1基础上加上点D（8，6）,判断点D 是否在直线上。
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
2.1直线的倾斜角与斜率共26页PPT资料
升 高
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
前进
直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
一条直线的倾斜角的正切值叫做这
条直线的斜率（slope）.
通常用小写字母k表示，即
ktan(90)
倾斜角是90 的直线有斜率吗？ 倾斜角是90 的直线的斜率不存在．
直线的斜率
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0。90。
k(0,)
O
x
(1)
y
90。
k值不存在
O
x
(3)
kta n
y 90。18。 0
k(,0)
O
x
(2)
y
0。
k0
O
x
(4)
斜率公式
如何用两点的坐标表示直线的斜率?(α为锐角)
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直 l上 线的两个不同
o px
o p x
y
p
l
o
x
l
30。
l与y轴平行 30。 l与x轴平行
规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角0°.
直线的倾斜角
• 倾斜角的取值范围是
y
l
x o
0。18。 0
• 坐标平面上的任何一条直线都有唯一
的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定
一条直线的方向.
• 倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向 的倾斜程度.
确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者 缺一不可．
y
l
直线的倾斜角和斜率(课件)(共19张PPT)
如果 是锐角，如图6-13(2）所示，此时 =180°-∠P1P2M ,
|P1M|= y1-y2, |P2M|=x1-x2, 因此直线P1P2的斜率为
在数学中，我们常用倾斜角和斜率来衡量直线相对 于 x 轴的倾斜程度．
一般地，在平面直角坐标系中，直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 称为这条直线的倾斜角.特 别地，当直线与 y 轴垂直时，规定这条直线的倾斜角为 0°．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
探索研究 我们知道，在平面直角坐标系中，给定两个不同的
点 P1( x1 ,y1）和 P2(x2 ,y2 )，通过这两点的直线 P1P2 是 确定的.这样一来，这条直线的倾斜角是确定的，如果倾 斜角不是90°的话，它的斜率也是确定的.
试着研究 P1,P2的坐标与直线 P1P2的斜率以及倾斜 角之间的关系.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
不难看出，当 x1=x2时，直线 P1P2 垂直于 x 轴， 此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，如图6-12(1）所 示．
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的直观想象、数据分析、数学建模的 核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
|P1M|= y1-y2, |P2M|=x1-x2, 因此直线P1P2的斜率为
在数学中，我们常用倾斜角和斜率来衡量直线相对 于 x 轴的倾斜程度．
一般地，在平面直角坐标系中，直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 称为这条直线的倾斜角.特 别地，当直线与 y 轴垂直时，规定这条直线的倾斜角为 0°．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
探索研究 我们知道，在平面直角坐标系中，给定两个不同的
点 P1( x1 ,y1）和 P2(x2 ,y2 )，通过这两点的直线 P1P2 是 确定的.这样一来，这条直线的倾斜角是确定的，如果倾 斜角不是90°的话，它的斜率也是确定的.
试着研究 P1,P2的坐标与直线 P1P2的斜率以及倾斜 角之间的关系.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
不难看出，当 x1=x2时，直线 P1P2 垂直于 x 轴， 此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，如图6-12(1）所 示．
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的直观想象、数据分析、数学建模的 核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
倾斜角与斜率课件
应用于建筑设计、道路坡度计算 和管道输水压力分析等领域。
数学
倾斜角和斜率是解析几何和微积 分中重要的概念。
倾斜角和斜率的常见误区及解决方法
1 常见误解
倾斜角和斜率是同一概念；倾斜角始终为正 角。
2 避免误解和解决问题
明确区分倾斜角和斜率的定义；了解不同情 况下倾斜角的取值范围。
总结
重要性
倾斜角和斜率在数学和实际应用中具有重要作用。
计算倾斜角和斜率的方法
1
倾斜角
Байду номын сангаас
通过三角函数计算，公式为tan(倾斜角)
斜率
2
= 斜率。
通过两点间纵坐标差值除以横坐标差值
计算。
3
计算公式
倾斜角 = arctan(斜率)；斜率 = (纵坐标 差值) / (横坐标差值)。
应用倾斜角和斜率于实际问题中
地理学
工程学
倾斜角和斜率可用于地形图分析、 地震摆动和河道流速计算。
本节课的学习内容
介绍了倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用，以及解决常见误区的方法。
参考文献
推荐资料
《高等数学》教材；《地质学基础》教材。
参考文献列表
1. Smith, J. et al. (2018). Introduction to Slope and Y-Intercept. Journal of Mathematics, 25(3), 45-67.
倾斜角与斜率ppt课件
本ppt课件介绍倾斜角和斜率的概念，并探讨它们之间的关系。还将介绍计算 倾斜角和斜率的方法，并应用于实际问题。最后，解决常见误区并总结重点。
倾斜角和斜率的概念
定义
倾斜角是一条线段与x轴正向 的夹角。
2.1.1倾斜角与斜率 课件(共21张PPT)
有内在联系.
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
3.1.1 倾斜角与斜率(共25张PPT)
栏目 导引
第三章
直线与方程
【方法感悟】
1．求直线倾斜角的方法： 定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． 分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论： α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.
2．当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用
斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是 否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不 α＝ 60° ，则其斜率 k＝ ________.
答案： 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
例1
对直线的倾斜角、斜率的理解
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交
点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°， 如图所示，求直线l2的倾斜角．
栏目 导引
第三章
直线与方程
当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角 3 由 90° 增大到 PA 的倾斜角， 故斜率的变化范围是(－∞， － ]． 2 综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是 3 4 (－∞，－ ]∪[ ，＋∞ )． 2 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第三章
直线与方程
想一想 任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，是 否也有唯一的斜率和它对应？ 提示：不一定．任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对
应，但当倾斜角等于90°时，其斜率不存在．
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
2. 已知 P1 (3,5)，P2 (－ 1，－ 3)，则直线 P1 P2 的斜率 k 等于 ( ) A． 2 B． 1 1 C. D．不存在 2 － 3－ 5 解析：选 A.k＝ ＝ 2. － 1－ 3
课件_人教版数学必修二《倾斜角与斜率》PPT课件_优秀版
解: P1, P2, P3在一条直线上
k k P1P2
P2P3
即32 13 x1 3x
x 7. 3
20
小结 ① 经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成 过程，能自然过渡到倾斜角的概念。 ② 通过对坡角、坡度概念回顾，经过知识迁移到 直线 的斜率中，并得到了斜率的定义。 ③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，推导出 过已知两点的 直线的斜率坐标公式。
任一条直线都有倾斜角，也2 都有斜率；1
x
所成的角 叫做直线的
结论：坡度越大，楼梯越陡．
设直线的倾斜程度为k
在RtP2Q1中 P
tan
P2Q P1Q
y2 y1 x1 x2
0 ktany2y1y2y1
x1x2 x2x1
17
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1),P2(x2, y2)(x1 x2)
我们把一条直线的倾斜角 的正切值
叫做这条直线的斜率.
用小写字母 k 表示，即： ktan
12
例题:已知直线的倾斜角,求直线的斜率：
1a30 ktan30 3 3
2a45 kta4n51
3a60 kta6n0 3
4a120 ktan1203
5a150ktan150 3
3
13
是否每条直线都有斜率? 0 a180
8
练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？
y
o x
（1）
y
o
x
（2）
y
o
x （3）
y
ox
（4）
9
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
10
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
相关主题
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3 、已知直线上两点 A(a1, a2 )、B(b1,b2 ) ，运用 上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关 吗？
kAB
b2 b1
a2 a1
kBA
a2 a1
b2 b1
答：与A、B两点的顺序无关。
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，
试比较斜率的大小
直线l的倾斜角为120 ,则斜率为：k tan120 3
问题4：当 在内[0 ,180 ) 变化时，斜率k如何变化？
y
l
p
o x
y
ly
o p x
o p x
y
o
p
l
x
l
0°＜ ＜90° = 90° 90°＜ ＜180° =0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
3、探究：由两点确定的直线的斜率
o p x
y
o
p
l
x
l
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 直线的倾斜角的取值范围为： 0 180
练习：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？ 如果不对，违背了定义中的哪一条？
y
o
x
y
y
o
x o
y
x
o
x
（1）
（2）
（3）
（4）
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一 个确定的倾斜角。
y
l1
l２
l３
O
X
小结
1、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
2、直线的斜率定义：k tan a (a 90 )
3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
a 0 k tan 0 0
0 a 90 k tan a 0
a
90
tan
认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率 2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的 正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
例如：直线 l的倾斜角为 45 ,则斜率为：k tan 45 1
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
思 考？
1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上
述公式还适用吗？为什么？
0
y
k tan 0 0
P1(x1, y1)
x1 o
P2 (x2, y2 )
x2 x
k y2 y1 x2 x1
180 ,
钝角
且x1 x2, y1 y2
y
tan tan(180 )
tan
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x x2
x1
a(不存在)
k不存在
90 a 180 k tan a 0
4、斜率公式：k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
3.1.1 倾斜角与斜率
教学目的
• 使学生掌握倾斜角和斜率的概念，理解倾斜角和 斜率之间的关系，掌握经过两点的直线的斜率公 式，并会应用公式解题。
• 教学重点：倾斜角和斜率的的意义，斜率的公式 及其应用。
• 教学难点：斜率意义的理解。
问题1：
对于平面直角坐标系内的一条直线 l 你认为
它的位置由哪些条件确定呢？
倾斜角相同能确定一条直线吗？怎样才能 确定一条直线？
P
相同的倾斜角 可作无数条相互平 行的直线
知道直线的倾斜 角及直线上的一个定 点可以确定一条直线
思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
前进
升高量 升高 坡度（比）=
前进量
tan
问题3：我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，
“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你
答：成立，因为分子 为0，分母不为0，K=0
思考？
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述
公式还适用吗？为什么？ 90, tan 90 (不存在)
y
k不存在
y2
P2 (x2, y2 )
k y2 y1
y1
P1(x1, y1)
x2 x1
o
x 答：不成立，因为分母为0。
思考？
yl
o
x
两点确定一条直线，过 一点不能确定一条直线
问题2： 如图，在直角坐标系中，过点P的不
同直线的区别在哪里？
y
l2
l3
l1
oP
x
倾斜程度不同
1、直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线向上方向之间所成的 角叫 做直
线的倾斜角。
y
l
p
o x
y
ly
o p x
如图，当α为锐角时，
P2P1Q,
且x1 x2 , y1 y2
在RtP2 Py2 y1
tan P2P1Q
QP2 P1Q
x2 x1
锐角
y
y2
y1
o
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1) P1(x1, y1)
x1
x2 x
如图，当α为钝角时，
kAB
b2 b1
a2 a1
kBA
a2 a1
b2 b1
答：与A、B两点的顺序无关。
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，
试比较斜率的大小
直线l的倾斜角为120 ,则斜率为：k tan120 3
问题4：当 在内[0 ,180 ) 变化时，斜率k如何变化？
y
l
p
o x
y
ly
o p x
o p x
y
o
p
l
x
l
0°＜ ＜90° = 90° 90°＜ ＜180° =0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
3、探究：由两点确定的直线的斜率
o p x
y
o
p
l
x
l
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 直线的倾斜角的取值范围为： 0 180
练习：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？ 如果不对，违背了定义中的哪一条？
y
o
x
y
y
o
x o
y
x
o
x
（1）
（2）
（3）
（4）
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一 个确定的倾斜角。
y
l1
l２
l３
O
X
小结
1、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
2、直线的斜率定义：k tan a (a 90 )
3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
a 0 k tan 0 0
0 a 90 k tan a 0
a
90
tan
认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率 2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的 正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
例如：直线 l的倾斜角为 45 ,则斜率为：k tan 45 1
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
思 考？
1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上
述公式还适用吗？为什么？
0
y
k tan 0 0
P1(x1, y1)
x1 o
P2 (x2, y2 )
x2 x
k y2 y1 x2 x1
180 ,
钝角
且x1 x2, y1 y2
y
tan tan(180 )
tan
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x x2
x1
a(不存在)
k不存在
90 a 180 k tan a 0
4、斜率公式：k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
3.1.1 倾斜角与斜率
教学目的
• 使学生掌握倾斜角和斜率的概念，理解倾斜角和 斜率之间的关系，掌握经过两点的直线的斜率公 式，并会应用公式解题。
• 教学重点：倾斜角和斜率的的意义，斜率的公式 及其应用。
• 教学难点：斜率意义的理解。
问题1：
对于平面直角坐标系内的一条直线 l 你认为
它的位置由哪些条件确定呢？
倾斜角相同能确定一条直线吗？怎样才能 确定一条直线？
P
相同的倾斜角 可作无数条相互平 行的直线
知道直线的倾斜 角及直线上的一个定 点可以确定一条直线
思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
前进
升高量 升高 坡度（比）=
前进量
tan
问题3：我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，
“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你
答：成立，因为分子 为0，分母不为0，K=0
思考？
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述
公式还适用吗？为什么？ 90, tan 90 (不存在)
y
k不存在
y2
P2 (x2, y2 )
k y2 y1
y1
P1(x1, y1)
x2 x1
o
x 答：不成立，因为分母为0。
思考？
yl
o
x
两点确定一条直线，过 一点不能确定一条直线
问题2： 如图，在直角坐标系中，过点P的不
同直线的区别在哪里？
y
l2
l3
l1
oP
x
倾斜程度不同
1、直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线向上方向之间所成的 角叫 做直
线的倾斜角。
y
l
p
o x
y
ly
o p x
如图，当α为锐角时，
P2P1Q,
且x1 x2 , y1 y2
在RtP2 Py2 y1
tan P2P1Q
QP2 P1Q
x2 x1
锐角
y
y2
y1
o
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1) P1(x1, y1)
x1
x2 x
如图，当α为钝角时，