浅谈割补法在数学解题中的应用

探索篇誗方法展示浅谈割补法在数学解题中的应用陈兴玉（福建省福安市第八中学，福建福安）在求面积的问题中，我们常用到割补法，所谓的割就是把不规则的图形分割成几个规则图形，所谓的补就是把不规则的图形补充成一个规则图形，再通过和或差计算面积。

割补法不仅在求面积和体积问题中有着广泛应用，其实在解决应用题和立体几何问题以及求证线段与线段的和差倍分关系和代数式之间的恒等关系等问题当中都有用到割补法，下面简单谈谈割补法在数学解题中的应用。

一、利用割补法求平面直角坐标系中图形的面积在平面直角坐标系中往往要求一些不规则图形的面积，这时要充分用到图形中点的横坐标或纵坐标，割补法在这里可以发挥很大的作用。

例1：如图所示，直线y＝23x＋1与抛物线y＝13x2交于点A、B，求S△AOB°。

AO Byx AOByxAOByx CFEC图1图2图3分析与解：（一）“割”的方法，如图1取直线与y轴的交点C，将△ABO分成△ACO和△CBO，由y＝23x＋1y＝13x△△△△△△△△△△△2可得A、B两点坐标分别为（-1，13），（3，3），由y＝23x＋1与y轴的交点可求出C点坐标为（0，1）即OC=1，以OC为底，则S△AOB＝S△BCO＋S△ACO＝12×1×｜3｜＋12×1×｜－1｜＝2（二）“补”的方法，如图2分别过A、B做x轴的垂线，垂足为E、F，则将三角形补成一个梯形，同样可求出点A（3，3）B（-1，13）C（0，1）的坐标，则S△A BO=S梯形AEFB-S△A EO-S△BFO=2二、利用割补法解应用题在一些应用题中，要求解两个不同的未知量，在没有学过方程的情况下，可以利用割补的方法进行讲解。

例2：小明收到一批货款共计1000元，面值都是50元和100元的人民币，数一下一共有14张，问面值为50元和100元人民币各多少张？分析与解：这道题对于没有学过二元一次方程组的学生而言，感觉不知从何入手，其实它可以用割补法来解释，（一）“割”的方法：将100元人民币“当作”50元的人民币，则14张应该是14×50=700（元），比1000元少了300元，而将1张100元人民币“当作”50元的人民币会少了50元，因此100元的人民币为300÷50= 6（张），50元的人民币为14-6=8（张）。

（二）“补”的方法，将50元人民币“当作”100元的人民币，则14张应该是1400元，比1000元多出了400元，而将1张50元人民币“当作”100元的人民币会多出50元，因此50元的人民币为400÷50=8（张），100元的人民币为14-8=6（张）。

三、利用割补法因式分解在因式分解中，有些多项式无法直接提公因式或用公式分解，这时就要考虑将一项“分割”成几项，或“添补”上相反的两项才能达到分解的目的。

例如：因式分解多项式x3-9x+8，分析与解：（一）“割”的方法，将-9x分割成-x和-8x，则x3-9x+8=x3-x-8x+8=（x3-x）-8（x-1）=x（x+1）（x-1）-8（x-1）=（x-1）（x2＋x＋8）（二）“补”的方法，在多项式中补上－x2和x2两项，则x3-9x+ 8＝x3－x2＋x2－9x＋8=x2（x－1）＋（x－1）（x－8）＝（x－1）（x2＋x－8）。

因式分解中到底用“割”还是“补”的方法，要根据题目特点灵活应用。

四、利用割补法求证线段与线段的和、差、倍、分关系在几何图形中证明线段的和、差、倍、分关系往往可以利用割补法来求证。

例3：如图所示，在梯形ABCD中，AB//CD，BE=CE且BAE= DAE、CDE=ADE。

求证：AD=AB+CDA BECDA BDEC CEADGF图4图5图6摘要：在求面积和体积的问题中，大家常用到割补法，其实割补法在解决应用题和立体几何问题以及求证线段与线段的和差倍分关系和代数式的恒等关系等问题当中都有广泛的应用。

简要谈谈割补法在数学解题中的应用。

关键词：割补法；因式分解；恒等关系78--探索篇誗方法展示分析与解：（一）割的方法如图5所示，在AD 上取点F 使AF=AB ，先证明△AFE ≌△ABE ，再证明△EFD ≌△ECD ，即AD=AF+FD=AB+CD 成立。

（二）补的方法如图6所示，分别延长DE 和AB 交于点G ，先证明△BEG ≌△CED ，进而证明△AGD 为等腰三角形，∴AD=AG=AB+BG=AB+CD 。

三角形、梯形中位线定理中等量关系的证明也是一个很好的例子，线段的其他关系通常转化为和的关系来论证，比如：求证AB =2CD ，可以转化为AB=CD+CD 。

五、利用割补法证明代数式之间的恒等关系通过构造图形的面积利用割补法证明代数式的恒等关系最有代表的是勾股定理的证明，通过构造长为a 、b 、c 的正方形，让以a 、b 为边的正方形的面积和等于边长为c 的正方形的面积，从而达到证明数量关系的目的。

刘徽的“青朱入出图”就是利用面积的割补来证明的，如图所示，只需将朱1移到朱2的位置，青1移到青2的位置，青3移到青4的位置，由面积得成立。

赵爽的“弦图”也利用割补法来证明a 2+b 2=c 2，图中RT △ABC 、RT △BDM 、RT △EMN 、RT △AFN 称为“朱实”，中间的一个小正方形CDEF 叫“中黄实”，以弦为边的正方形ABMN 叫“弦实”，将一个“弦实”分割成四个“朱实”和一个“中黄实”，即4×12ab +（a-b ）2=c 2，所以代数式a 2+b 2=c 2成立，整个证明过程简洁明了。

青4青朱朱1C B朱2青3A朱实中黄实N M BA CDa b cF E青朱入出图弦图青１青２六、利用割补法解决立体几何问题求几何体外接球的半径、面与面所成的角、线与线所成的角等问题中，常规方法比较繁琐，恰当地用上割补法可将问题简单化。

例4：如图7所示，正四面体ABCD 的棱长为2姨a ，求其外接球的半径R 。

分析与解：（一）“割”的方法如图7所示，正四面体ABCD 的中心为O ，△BCD 的中心为O 1，则外接球半径为正四面体的中心O 到顶点A 的距离即OA=R ，在RT △AO 1C 中（如图8）可得AC =2姨a ，O 1C =6姨3a ，AO 1=23姨3a ，球心O 所在位置为AC 的中垂线与AO 1的交点，根据相似三角形的比例关系或三角函数关系可得OA=R =23姨3a。

A O O 1CF BCDA 图7图8图9（二）“补”的方法如图3所示，正四面体ABCD 的外接球与边长为a 的正方体的外接球相同，所以（2R ）2=a 2+a 2+a 2，即R =3姨2a 。

七、利用割补法求数列的通项公式利用递推关系求数列通项公式，往往需要将其中的一项“分割”成两项或在递推关系式左右两边同时“添补”上一些相同的项，即构造出辅助数列，通过求辅助数列的通项公式，达到求原数列的通项公式的目的。

例5：已知数列a n 姨姨中，a 1=1，a 2=3，且a n +2-2a n+1+a n =4，求a n 分析与解：将递推公式a n+2-2a n +1+a n =4中的-2a n +1“分割”为-a n+1-a n+1两项，则递推关系可变为（a n+2-a n+1）-（a n +1-a n ）=4，设b n =a n+1-a n ，则b n+1-b n =4，且b 1=a 2-a 1=2∴b n 姨姨为公差是4的等差数列，∴b n =b 1+（n -1）·4=4n -2。

∴a n+1-a n ＝4n －2，再利用叠加法可得a n ＝2n 2－4n ＋3。

例6：数列a n 姨姨中，a 1=1，a n =3a n －1＋2，求数列a n 姨姨的通项公式分析与解：观察到a n 与a n －1有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对a n 与a n －1分别“补上”同一个常数λ，设a n ＋λ＝3（a n －1＋λ）即a n ＝3a n －1＋2λ，可得λ＝1，即在数列两边同时“补上”数1，使得a n ＋1＝3（a n －1＋1），∴a n ＋姨姨1是公比为3的等比数列∴a n ＋1＝（a 1＋1）·3n －1∴a n =2·3n －1-1对于形如pa n+2-（p＋q ）a n ＋1＋qa n ＝k 的递推关系式，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行“分割”，构造为：p （a n+2－a n+1）－q （a n+1－a n ）＝k 的形式，令b n ＝a n+1－a n ，转化为辅助数列进行求解。

对应形如a n ＝p a n －1＋q （p ≠1，q ≠0）的递推关系式，通常在该数列左右两边同时“添补”上数λ，构造出b n ＋姨姨c 的等比数列，进而求出原数列的通项公式。

参考文献：马复.八年级上册数学青朱入出图和弦图［M ］.北京师范大学出版社，2018.誗编辑段丽君79--。