代数1
高等代数第1章.
sihuabin@ 南昌大学理学院数学系
本原多项式
定义 设g(x)=bnxn+bn-1xn-1+…+b1x+b0≠0， bi∈Z，i =0,1,…,n。若bn,bn-1,…,b1,b0没 有异于±1的公因子，即bn,bn-1,…,b1,b0是 互素的，则称g(x)为本原多项式。 注记： (1) 本原多项式一定不为零多项式。 (2) 每个不为零的有理系数多项式都可以 表为一个有理数与一个本原多项式的乘 积；这种表示法除了相差一个正负号外是 唯一的。
sihuabin@ 南昌大学理学院数学系
n+ 2 2
§1.9 有理系数多项式
作为因式分解定理的一个特殊情形，对于任意 的f(x)∈Q[x]，若∂(f(x))≥1，则f(x)可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积。 但是，如何作出f(x)的分解式却很复杂，没有 一个一般的方法。 已知：在C上只有一次多项式才是不可约多项式。 在R上，不可约多项式只有一次多项式与 某些二次多项式。 但对于在Q上有任意次数的不可约多项式： x n − 2, ∀n ∈ Z + 例如： 如何判断Q上多项式的不可约性呢?
k
k = 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, n ( x − ε n −1 )
故 x n − 1 = ( x − 1)( x − ε )( x − ε 2 )
sihuabin@
南昌大学理学院数学系
在实数域范围内
ε =ε 2kπ k k ε + ε = 2cos ，ε k ε k = 1 k = 1,2, , n
sihuabin@ 南昌大学理学院数学系
代数一词定义
代数是研究数、式、方程、函数等概念的数学分支学科^[2]^。
在数学中，代数学是的分支学科，研究的是抽象代数概念，通过对具体的数字、代数方程式、代数图形、数学公式等进行符号化，建立结构，进行数量与形的变化。
这种研究可以精确地求得未知量，并对数学结果进行变换与组合，更好地掌握数学知识，进行数学探索^[3]^。
简单来说就是用数学术语来探究数学概念之间的运算法则，利用方程式来解方程、证明、计算几何图形等，从而为科学研究和日常生活提供支持^[4]^。
高等代数(第1章)
称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上 符号x 可以是为未知数， 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x)，g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
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f (x)
a
i0
i
x
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几个概念:
零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 （系数为零的项除外） 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次，记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
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§1
数域
要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考 虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围：有理数集 、实数集、复数集 共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
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例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证：反证. 若f (x)0，则f 2(x) 0.由 若g(x)0，由于
代数式(1)
代数式（1）【活动宗旨】能通过具体例子认识用字母表示数的优越性，会用字母表示简单数量关系式中的数量，能用代数式表示一些简单的实际问题中的数量关系。
【内容简析】用字母表示数是跨入代数大门的第步，是数学发展中飞跃性的进步，是代数与算术的一个重要区别。
本节从小学学过的加法、乘法交换这两个运算律以及行程问题中的公式s=vt 入手，引出用字母表示数所具有的简明、一般化的优越性，在讲解时从具体的数过渡到字母表示数，很好地渗透了抽象概括、由特殊到一般的思维方法。
课本没有直接给出代数式的概念，而是通过实例中出现的各种式子自然引出的，学习的关键在于准确理解所给式子的形式特点。
重点是字母表示数的意义并能根据题意列出简单代数式；难点是代数式的书写规定，正确理解代数式中字母的抽象性与任意性以及列简单代数式。
【流程设计】一、情境创设进入中学后我们学的数学分为“代数”与“几何”，代数的重要特点是广泛地应用字母来表示数，它是数学发展的一个飞跃进步，是我们进一步研究和解决许多数量关系的基础。
我国古代“代数思想”的出现是领先世界的，如：金元时代的李治（1192—1279）创造的“天元术”，李治在他的著作《测圆海镜》一书中，介绍了方程的创法。
其中有“立天元一某某”，这几乎和现在的“设x 为某某”一样了，还有我国古代第一个以数学为专业的职业数学家朱世杰（13—14世纪）和数学教育家，在他的著作《四元玉鉴》中，以天、地、人、物为未知量，相当于现在的x 、y 、z 、w ，这些都蕴含着极其宝贵的代数思想。
而欧洲的数学家们，直到16、17世纪才达到他们于13世纪末的水平，但无论如何，他们都没有用一个符号或字母来表示未知数，因而始终受到局限。
二、新知探索1．对于加法有：3+5=5+3；21313121+=+； 这是小学学过的加法交换律，也就是说：两数相加，交换加数的位置，和不变。
如果a 、b 分别表示任意两个数，加法交换律可以表示成 a+b=b+a 。
高等代数第一章 第1节基本概念
第一章 基本概念1.1 集合一定事物的集体，我们称它们为集合或集.我们常用大写的拉丁字母 C,,B ,A 表示集合，用小写拉丁字母 c,b a ,,表示元素.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈；或者说A 包含a ，记作A ∋a .如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉；或者说A 不包含a ，记作A ∌a .一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合.如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合.设B ,A 是两个集合.如果A 的每一个元素都是B 的元素，那么就说A 是B 的子集，记作B ⊆A (读作A 属于B )，或记作A ⊇B (读作B 包含A ).根据这个定义，A 是B 的子集必要且只要对于每一元素x ，如果 B.x A,x ∈∈就有我们现在引入几个记号.用)(⇒)( 表示“如果)( ，则)( ”.用)(⇔)( 表示“)( 必要且只要)( ”.)∈⇒∈(⇒)B ⊆A (B x A x :x 对一切A (⊈)∉∈(⇔)B B x A x x 但，至少存在一个元素根据定义，一个集合A 总是它自己的子集.即.A ⊆A).∈⇔∈(⇔)B =A (B x A x :x 对一切AB(CC).且B⊆⊆⊆(A⇒)(BAxx或⋃x∈A)B∈∈(⇔).∉A(Bx⋃x且x)B∉⇔A).∉((BAxx且x∈∈)BA).⇔(∈(B∉xAx或x)BA).∉∉⇔(设B,A是两个集合.令A Bxx|x但-A=B∉}.{∈设B,A是两个集合.令bA BA,a,⨯baB∈=∈}.|){(称为A与B的笛卡尔积(简称积).A是由一切元素对(a,b)所成的集合，其中第一个位置的元B⨯素a取自A，第二个位置的元素b取自B.。
代数式1
5
(3)（a＋b）（a－b）可以解释为 (4)（1＋8%）x可以解释为
； ；
； .
练习： 判断下列式子哪些是代数式，哪些不是。
(1)、a2+b2 (3)、13
s
(2)、 t (4)、x=2
(5)、3×4 －5
(6)、 3×4 －5 =7
(7)、x－1≤0 (9)、10x+5y=15
a; (3)
1 2
(
x
;y
)
(4)a3; (5) - 8 3 a2bc;
4
解：符合书写要求的有：（1）（3）
练一练：1.用代数式表示
(1)f的11倍再加上2可以表示为 11f+2 ；9 a
(2)数a的 1与这个数的和可以表示为 8
；
8
(3)一个2n教室有2扇门4n和4扇窗户，n个这样的教
室有
扇门和
扇窗户；(1+ 15﹪)m
(4)产量由mkg增长15﹪后，达到＿＿＿ _____ kg.
（5）一个三位数，个位数字为a,十位数字为b,百位数字 为c,则这个三位数是_______.
例1 门票：成人10元/人；学生5元/人.
（1）一个旅游团有成人x人,学生y人，请你根据上图确定该旅 游团应付多少门票费？
（2）如果该旅游团有37个成人，15个学生，那么门票费是多少 呢？
解：（1）该旅游团应付的门票费是（10x＋5y）元. （2）把x＝37，y＝15代入代数式得 10x＋5y =10×37＋5×15 ＝445.
10x＋5y还能表示什么意义？
(1)如果用x（元/kg）表示大米的价格，用y（元/kg） 表示食油的价格，那么10x＋5y就表示小强的妈妈 购买10kg大米和5kg食油所用的费用；
高等代数1
高等代数高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构的基础和性质。
代数结构是指由一组元素及其相关运算组成的数学系统，如群、环、域等。
高等代数是对线性代数和抽象代数等基础知识的延伸和深化，对于理解现代数学中许多分支都至关重要。
一、线性代数高等代数中最基础的部分是线性代数。
线性代数是代数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵以及线性方程组的性质和运算。
线性代数是微积分和微分方程等数学领域必不可少的基础知识，它的应用范围也很广泛，包括了图像处理、信号处理、机器学习等领域。
1. 向量空间向量空间是线性代数中最重要的概念之一，它是由一组向量以及其对应的加法和数乘运算组成的数学结构。
向量可以是实数向量或复数向量，它们具有加法、数乘、向量求和、向量求差等运算。
2. 线性变换线性变换是一种从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它具有线性性质。
线性变换的本质是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，它可以用矩阵表示，从而得到更方便的运算方式。
3. 矩阵及其运算矩阵是线性代数中常见的数学工具，它具有加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以用于解决线性方程组、对称矩阵的特征值和特征向量等问题。
二、抽象代数抽象代数是研究代数结构的基本性质和理论结构的一门学科，它通过对代数结构的抽象和推广，研究了许多重要的代数性质。
抽象代数包括了群论、环论、域论等领域。
1. 群论群是一种有限或无限的、具有代数结构的量，它由一组元素以及合成运算组成。
群具有封闭、结合、单位元和逆元等运算性质，在数学研究中被广泛应用。
群论的应用领域包括了几何学、物理学、密码学等领域。
2. 环论环是一种数学结构，它由一个集合以及两个二元运算（加法和乘法）组成。
环论是研究环以及环上的运算和性质的数学分支，它的应用包括了计算机科学、代数几何学等领域。
3. 域论域是一种具有加法、乘法、加法逆元和乘法逆元等运算的数学结构，它是一个基本的代数结构。
域论是研究域以及域上的运算和性质的数学分支，它在现代数学和理论物理学中都有广泛的应用。
线性代数1习题答案
线性代数模考答案一、单项选择题1．设行列式m a a a a =22211211，n a a a a =21231113，则行列式232221131211a a a a a a ++等于 （ A ） A ．n m + B ．()n m +- C ．m n - D ． n m -2．矩阵211160104A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦是 （ B ）A ．正定的B ．负定的C ．半负定的D ．半正定的3．设A 为n 阶方阵，βα,为n 维向量，若βαA A =，当矩阵A 满足（ D ）时，有βα=。
A ．0≠AB ．0=AC ．0=AD ．0≠A 4．设4321,,,αααα是一组n 维向量，其中321,,ααα线性相关，则 （ D ）A ．321,,ααα中必有零向量．B ．21,αα必线性相关．C ．32,αα必线性无关．D ．4321,,,αααα必线性相关．5．下列矩阵中为正交矩阵的是 （ D ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111 C ．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡210021D ．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21212121二、填空题1．行列式=-+--10110112 0 ．2．若向量(1,2,)k --与(2,1,3)k -正交，则k = 2 .。
3．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--021 201的转置矩阵为102120--⎡⎤⎢⎥⎣⎦．4．设A m n ⨯矩阵，且方程组0Ax =只有零解，则()r A = n 。
5．若向量()321-=α与()62--=k β线性相关，则k = 4 ．三．解答下列各题1．6482714231164911111--=D ． 1111083150435028965D = 11110435120003500010=-=- （4分） 2．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=415322A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=131423512B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031413511C ，求AC AB -． AC AB -()A B C =-AE A ==3． 课本p50 2（2）4 ~A 120044000000⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，秩为2，一个最大无关组为12,αα 四、求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值和特征向量 2211020(1)(2)413E A λλλλλλ+--⎡⎤⎢⎥-=-=+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦特征值为11λ=-，232λλ== 当11λ=-时，101~010000E A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征向量1101p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当232λλ==时，4112~000000E A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征向量2011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3104p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭五、求方程组的通解（15分）12341234123431323442980x x x x xx x x x x x x +--=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩对方程组的增广矩阵施行初等行变换113113234412980A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦10362~0167100000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦有 134234362671x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩特解 ()2100T η=-基础解系 ()13610Tξ=-，()26701T ξ=- 通解 1122x k k ξξη=++ 其中1k 、2k 为任意实数。
基础代数1
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§1 代数运算
定义1：设A是一个非空集合，任意一个 从A×A到A的映射，就称为定义 在A上的一个代数运算。
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§2 群的定义及简单性质
定义 2：设G 是一个非空集合，如果在G 上定义了一个代数运算，称为乘法， 记做 ab（或称加法，记做 a b）若满足以下条件，则称G 为一个群：
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4 子群，陪集
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定理 2：设 H 是群G 的一个子群，H 的任意两个左（右）陪集或者相等， 或者无公共元素，群G 也可以表示成若干不相交的左（右）陪 集之并。
证明：设 aH ，bH 是两个左陪集.假如它们有公共元素，即有h1, h2 H 使 ah1 bh2 ，于是 a bh2h11 bh3，其中 h3 H .
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2 群的定义和简单性质
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群的基本性质
1.如果ba e，则ab e。
证明:由定义 2-3 知,对于元素b有cG使cb e
于是 两边用b 右乘，得
a ea cba c(ba) ce, ab ceb c(eb) cb e.
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(1) 2 ， (2 ) 3，…
由于i 1,2,,n，i 1, 2,, n.所以序列中出现的元素必然会有相同的.
令 j 为该序列中第一个与它前面的某元素相同的元素,比如
j i,i j，
或
i（1 1） j（1 1），（1 i<j）
假设 x1, x2 是方程的两个解，于是有 ax1 ax2， 两边左乘 a1，即得 x1 x2 .
同样可证，在群G 中方程 ya b 也有唯一解. 在群中，由ab ac 或ba ca 都可以推知b c .
数学自学指南--代数式-1
自学资料一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。
不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。
师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？八戒憨笑着说：师父，我来考考你。
我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。
你算算，我们每人摘了多少个？沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。
我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。
你算算，我们每人摘了多少个？悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。
我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。
你算算，我们每人摘多少个？一、用字母表示数【知识探索】1．用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来．【说明】字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数．2．（1）在省略乘号时，要把数字写在字母的前面；（2）当数字是带分数时，常写成假分数；（3）数字和字母之间的乘号用“· ”或省略不写；（4）数字和字母的除法通常用“”表示；（5）是数字不是字母．【错题精练】例1．用代数式表示：“a，b两数的平方和与a，b乘积的差”，正确的是（）A. a2+b2﹣abB. （a+b）2﹣abC. a2b2﹣abD. （a2+b2）ab例2．一个数倍5除，商为，余数为2，则这个数是__________ .第1页共10页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例3．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了20包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（m＞n）的价格进了同样的40包茶叶，如果商家以每包m+n元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（）2A. 盈利了；B. 亏损了；C. 不赢不亏；D. 盈亏不能确定．例4．一个两位数，十位数上的数字是a，各位数上的数字是b，则这两位数可以表示为（）A. ab；B. a+b；C. 10a+b；D. 10b+a．例5．用12m长的铝合金做成一个长方形的窗框（如图），设长方形窗框横条的长度为x（m），则长方形窗框的面积为（）A. x（12−x）m2B. x（6−x）m2C. x（6−1.5x）m2D. x（6−2x）m2【举一反三】1．用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（）A. (3a-b)2B. 3(a-b)2C. 3a-b2D. (a-3b)22．某数为，用表示：某数与1的和的绝对值__________ .3．设为整数，用表示被3除以2的整数是__________ .4．丁丁比昕昕小，丁丁今年a岁，昕昕今年b岁，2年后丁丁比昕昕小__________ 岁第2页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第3页 共10页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训5．果园里有苹果树和梨树共45棵,其中梨树有a 棵,苹果树比梨树多__________ 棵6．磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具，它有速度快，爬坡能力强，能耗低等优点，它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位平均能耗的三分之一，汽车每个座位平均能耗的70%，那么，汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的（ ） A. 37； B. 73； C. 1021；D. 2110．7．某企业今年1月份产值为x 万元，2月份比1月份增加了10%，3月份比2月份减少了20%，则3月份的产值是（ ）万元． A. (1+10%)(1−20%)x ； B. (1+10%+20%)x ； C. (x +10%)(x −20%)； D. (1+10%−20%)x ．8．在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①，图②，已知大长方形的长为a ，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a 的代数式表示）A. −a ；B. a ；C. −12a ；D. 12a ．二、求代数式的值【知识探索】1．用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．【错题精练】例1．当x =1时，代数式x 3+x +m 的值是7，则当x =−1时，这个代数式的值是（ ） A. 7； B. 3； C. 1； D. ﹣7．例2．已知代数式x﹣3y的值是4，则代数式（x﹣3y）2﹣2x+6y﹣1的值是（）A. 7B. 9C. 23D. -1例3．若a=-2，b=8，则__________ ; .例4．已知3a2-2a-3=0，则7+4a-6a2的值是__________例5．如图所示是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2017次输出的结果为．【举一反三】1．x2-3x-4的值是7，则6x-2x2+2的值是__________2．当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=−1时，这个代数式的值是（）A. 7；B. 3；C. 1；D. ﹣7．3．已知代数式2x2﹣3x+9的值为7，则的值为（）A.B.C.8D.10第4页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训4．已知，则=__________ ．5．已知时，代数式的值是5，求当时，的值；6．如果那么=__________ .7．已知A=2a2 +3ab-2a-1 ，B=-a2+ab-1，若3A+6B的值与a的值无关，求b=__________三、列代数式【错题精练】例1．如图，将6张长为a，宽为b的矩形纸板无重叠地放置在一个矩形纸盒内，盒底未被覆盖的两个矩形面积分别记为S1、S2，当S2=2S1时，则a与b的关系为（）A. a=0.5b；B. a=b；C. a=1.5b；D. a=2b．【举一反三】1．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为．（用含a，b的代数式表示）第5页共10页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训四、拓展：列代数式（数字变化类规律）【错题精练】例1．小林按如图所示的程序输入一个正数x，最后输出的结果是277，则满足条件的所有x的值为．例2．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子中的数为（）A. 4；B. 3；C. 0；D. －2．【举一反三】1．在求1+4+42+43+44+45+46+47的值时，小聪发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的4倍，于是他设：x=1+4+42+43+44+45+46+47①，然后在①式的两边都乘以4，得：4x= 4+42+43+44+45+46+47+48②，②－①得：4x−x=48−1，即3x=48−1，从而得到x= 47．3探索：若把“4”换成字母a（a≠0且a≠1），则计算1+a+a2+a3+a4+⋯+a2017=．2．某市出租车收费标准：3 km以内(含3 km)起步价为8元，超过3 km后每1 km加收1.8元．(1)若小明坐出租车行驶了6 km，则他应付多少元车费？(2)如果用s表示出租车行驶的路程，m表示出租车应收的车费，请你表示出s与m之间的数量关系第6页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训(s>3)．五、拓展：列代数式（几何变化类规律）【错题精练】例1．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A. 43；B. 45；C. 51；D. 53．例2．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？（1）我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如上图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是个、个．（2）请你参考以上“分块计数法”，先将上面的点阵进行分块（画在答题卷上），再完成以下问题：①第5个点阵中有个圆圈；②第n个点阵中有多少个圆圈?【举一反三】第7页共10页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训1．如图图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，（1）按此规律，图案⑦需根火柴棒；第n个图案需根火柴棒．（2）用2017根火柴棒能按规律拼搭而成一个图案？若能，说明是第几个图案：若不可能，请说明理由．2．下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m 为，第n个正方形的中间数字为．（用含n的代数式表示）1．由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，已知1月份鸡的价格为24元/千克．设3月份鸡的价格为m元/千克，则（）A. m=24(1−a%−b%)；B. m=24(1−a%)b%；C. m=24−a%−b%；D. m=24(1﹣a%)(1﹣b%)．2．某商店的一商品因需求量大，经营者对该商品进行了两次提价，每次提价10%；后经市场物价调整，又一次降价20%，已知提价前的商品价格为a，则该商品的最终价格为（）A. 1.04a；B. a；C. 0.96a；D. 0.968a．3．下列用字母表示数的写法中，规范的是（）yx；A. 123B. x×5y×1；3第8页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训C. 5xy；3D. 5xy÷3．4．甲乙两地相距a（km），一辆汽车从甲地出发，行驶了t（h）后，距离乙地还有b（km），则汽车的行驶速度可表示为__________5．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图1中阴影部分为S1，图2中阴影部分的面积和为S2．则关于S1，S2的大小关系表述正确的是（）A. S1＞S2；B. S1＜S2；C. S1＝S2；D. 无法确定．6．已知S1=x，S2=3S1−2，S3=3S2−2，S4=3S3−2，…，S2014=3S2013−2，则S2014=（结果用含x的代数式表示）．7．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为__________8．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第5个图形中共有点的个数是．第9页共10页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训9．当x=2时，代数式1x−1的值是210．已知x−3y=2，则代数式3x−9y+5=．● 实数的运算第10页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训。
一、代数1
代数1.有理数知识点<一>、有理数的基础知识 1、三个重要的定义：（1）正数（2）负数（3）0即不是正数也不是负数. 2、有理数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴数轴有三要素：原点、正方向、单位长度. ⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； ⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的 4、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数.0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等. (1)通常用-a 与a 表示一对相反数； (2)a-b 的相反数为b-a ； (3)a+b 的相反数为-a-b ；(4)a 与b 互为相反数等价于a+b=0；(5)互为相反数的两个数绝对值相等。
即︱a ︳=︱b ︳;(6)︱a ︳=︱b ︳等价于a=b 或者a=-b （a 与b 互为相反数） 相反数的表示方法⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a 是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）5、绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。
所以，a 取任何有理数，都有|a|≥0。
即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a（1）两个负数比较大小，绝对值大的反而小.⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。
3.2_代数式(1)
想一想 （1）小红去买笔记本,笔记 本每本2.5元，她买了m本， 一共用去 元？ （2）小明100 m赛跑用了t s,
那么平均速度是
m／s.
定义： 用运算符号把数和字母连接而成 的式子称为代数式.
单独一个数或一个字母也是代数式. 例如：0、-9、1.5、a、x等也是代数式.
下列各式中，哪些是代数式？
③
4
х+ху+у
2
2
④ m ⑤ 2ху
⑥ ab+bc+ac
④ ⑤ ⑦
⑦
8
单项式： ① ② 多项式： ③ ⑥
随堂练习
1. 下列整式哪些是单项式，哪些是多项式? 它们的次数分别是多少?
a, 1 x 2 y, 2 x 1, x 2 xy y 2 . 3 单项式有 a. 1 x 2 y ,
3 x 是 1 次的， 2 是 3 次的； 注 意 是圆周 例如 ah 5 率的代号，不是单项式 概念中的字母。 1 mn 是 2 次的， b2 是 2 次的 16 2 单项式概念中的字母具
有可任意取值的含义。
注意：
（1）圆周率是常1。 如单项式 c的系数是1。
3 2 2
4
3
（2） 3n
2n 1
2
3 2 2 3
a 3， a 2 b， （1）多项式 a a b ab b 的项有 解： ab2， b 3 ；次数是 3 .
（1）多项式 3n
4 2
4
2n 1的项有3n ， 2n ，
2
1 ；次数是
4 .
仔细观察下列哪些是单项式，哪些是 多项式，并将序号添写在下面的横线上。 ① abc -3х 2 ②
代数式1
代数式教学目标：1．会把代数式反映的数量关系用文字语言表述出来；2．会把文字语言表述的数量关系用代数式表示出来；3.通过实例学习，激发学生学习数学的兴趣，增强学生自主学习的能力。
提高学生的思维水平和抽象能力。
教学重点：1．说出代数式所表达的数量关系（代数式的意义）；2．根据语言文字表述的数量关系写出规范的代数式。
教学难点：列代数式.教学方法：师生思维对话、生生思维对话。
教学过程：一、创设问题，引入新课在用字母表示数之后，会遇到许多含有字母的的式子，观察下列式子4+3（x-1）,x+x+(x+1),ab,a+b, ……你发现它们式子都含有什么运算？与同伴交流。
二、讲授新课：1.代数式：象4+3（x-1）,x+x+(x+1),ab,a+b, ……式子都是代数式。
注：单独的数或字母也是代数式。
注：代数式的写法：（1）当字母与字母相乘时，称号通常省略不写；当数与字母相乘时，乘号写作“.”，或省略不写。
（2）有除法时，一般用分数线代替除号。
（3）需要些单位时，若代数式最后结果有，“+”或“—”运算，则要用括号把整个式子扩起来方法与手段：师生思维对话、生生思维对话。
通过具体的例子讲解注意事项。
例1用代数式表示（1）x的3倍与3的差; （2）a与b的和的平方（3）2a的立方根解：(1)3x-3(2) (a+b)2 (3) 32a注意：系数与字母（或括号）相乘时，如果省略乘号，系数必须写在字母（或括号）的前面。
跟踪练习，白班展示。
例2 说出下列代数式的意义1.（a+b)(a-b)2.22 3() x y+22 1() 2x y-解 (1) a , b 两数的和与a , b 两数的差的积.（2）x ,y 两数的平方和的3倍（3） x ,y 两数的平方差的一半.三、巩固练习课堂练习一口答1、用代数式表示：（1）a与b的的和；（2）a与b的平方的差；（3） v1,v2的和除 s所得的商；（4）x与1的差的平方根。
（5）a ,b 两数的平方差.（6） a ,b 两数差的平方.2、已知甲数比乙数的2倍少1。
高等代数1-数域讲解
ad bc a2 2b2
2 Q 2.
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
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例2．设P是至少含两个数的数集，若P中任意两个 数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一个数域。
证：由题设任取 a,b P, 有
证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 0 P， 1 P.
于是有 m Z , m 1 1 L 1 P
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进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
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练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z }, P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
0 a a P, a P (b 0), b
1 b P (b 0), b
a b P,
a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
a 1
P,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一个数域．
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二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
一、数域的概念 二、数域性质定理
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一、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P
代数式1课件
例2、根据题意，列代数式：
（1）把a本书分给若干名学生，若每人5本，尚余
a－ 3
3本，则有学生
5
人。
（2）一项工程，甲队单独完成需a天，乙队单独
1
完成需b天，若两队合做，需 （3）a的3倍与b的一半的差 ：
1 a
＋
1 b
天完成。
b
2
3 a－
1 2
。
（4）a与b两数和的平方： ( a＋ b )
。
例3、填空：
（2a2 + 12a） c㎡ 。 的表面积为：
大家练一练： 2、观察一组数
1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , ......
这组数的第n个数是：
。
3、教材第62页“思考”的2、3两个问题。
大家说说看： 1、在本节课中，你有哪些收获？ 2、书写代数式要注意哪些问题？
2、列代数式时要注意哪些问题？
正方形 个数 火柴 根数
1 4
2
3
4
……
n
7
10
13
…… 3n+1
大家练一练：n支铅笔售价为
10n m
元；
(2)某工厂去年产值a万元，今年预计要比去年增产
（1+m%）a 万元； m%，今年的产值预计为： a2 + b2 (3)a、b两数的平方和为：
。
(4)长方体的长为3㎝，宽和高都为a ㎝，则长方体
2.2代数式（1）
温故而知新：
1、用字母表示数有哪些优点？
用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出 来，把具体的数换成抽象的字母，使所得式子反映的 规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带来方便.
2.1.1 代数式(一)(解析版)
2.1.1代数式（一）代数式的概念题型一：代数式的概念【例题1】（2020·全国八年级课时练习）在式子3，12a ，34x =，3ab -，()4x y +中，代数式的个数为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】根据代数式的定义：用运算符号连接而成的式子逐一判断即可．【详解】解：3，12a ，3ab -，()4x y +是代数式，34x =是方程，不是代数式，所以是代数式的式子共4个．故选B ．【点睛】本题考查的是代数式的定义，属于基础概念题型，熟知定义是解题关键．变式训练【变式1-1】（2018·河北沧州市·七年级期末）下列说法正确的是（ ）A ．2a 是代数式，1不是代数式B ．代数式2a b -表示2﹣a 除bC ．当x ＝4时，代数式413x -的值为0D ．零是最小的整数【答案】C【分析】根据代数式的定义、代数式表示的意义、代数式求值等知识点判断各项【详解】2a 是代数式，单独的数字也是代数式，故A 不正确；代数式2a b -表示2-a 除以b ，故B 不正确；当x=4时，代数式413x -的值为0，故C 正确；零是绝对值最小的整数，故D 不正确．故选C ．【点睛】此题主要考查代数式的定义、代数式表示的意义、代数式求值等知识点．用数值代替代数式里的字母解题的关键【变式1-2】（2019·上海市西延安中学七年级月考）下列各式中，代数式有（）个（1）a+b=b+a;（2）1;（3）2x-1 ;（4）23x x +;（5） s = πr 2;（6） -6k A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据代数式的定义即可求解.【详解】（1）a+b=b+a 为等式，故错误；（2）1为代数式，正确;（3）2x-1为代数式，正确;（4）23x x +为代数式，正确;（5） s = πr 2为等式，故错误;（6） -6k 为代数式，正确故选C.【点睛】此题主要考查代数式的识别，解题的关键是熟知代数式的定义.【变式1-3】（2020·正安县思源实验学校七年级期中）下列式子①23´②210x -=③y ④s vt =⑤ 3.14π>⑥1a ⑦()()x y x y +-⑧452x x +，其中代数式有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C【分析】代数式是运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，据此确定解答即可．【详解】解：代数式是运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，所以以上八个式子中，是代数式的有①③⑥⑦⑧五个．故选：C【点睛】本题考查了代数式的定义，准确理解代数式的定义是解题关键．题型二：用字母表示数【例题2】三个连续整数中，中间一个是m ，则最大的一个是（）A ．m+1B ．m+2C ．m+3D ．m+4【答案】A【分析】根据三个连续的自然数两两之间相差1，可知中间一个是m ，那么最大的一个数就是m+1．【详解】解：三个连续的自然数两两之间相差1，中间一个是m ，最大的一个数就是m+1．故选A ．【点睛】明确相邻的两个自然数之间相差1是解决此题关键．变式训练【变式2-1】下列说法正确的是（ ）A ．－a 一定是负数B ．a 的倒数是1aC ．2a 一定是分数D ．a 2一定是非负数【答案】D【解析】【分析】本题考查的是负数、倒数、分数、非负数的定义，根据负数、倒数、分数、非负数的定义依次判断各项即可.A 、当a 是负数时，－a 是正数，故本选项错误；B 、当a 是0时，a 没有倒数，故本选项错误；C 、当a=4时，a 2=2，是整数，故本选项错误； D 、2a 一定是非负数，本选项正确，故选D.【点睛】本题考查了用字母表示数，解题的关键是掌握好负数、倒数、分数、非负数的定义.【变式2-2】a +1的相反数是（）A ．-a +1B ．-（a +1）C ．a -1D ．11a +【答案】B【详解】1a +的相反数是：(1)a -+.点睛：表示一个式子的相反数只需把这个式子用括号括起来，再在括号前面添上一个“-”即可.【变式2-3】（2019·山东）甲数比乙数的3倍大2，若甲数为x ，则乙数为（ ）A ．3x －2B ．3x+2C ．23x +D ．23-x 【答案】D【分析】本题主要考查列代数式，根据甲数比乙数的3倍大2，可知甲数减去2是乙数的3倍，再除以3即可得到结果.【详解】根据题意，得乙数为23x -.选D.【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．题型三：找规律型列代数式【例题3】（2020·江西省于都中学七年级期中）观察如图所示图形，则第n 个图形中三角形的个数是( )A ．2n ＋2B ．4n ＋4C ．4nD ．4n －4【分析】由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．【详解】解：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．故选C．【点睛】此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力．解此题时要注意寻找各部分间的联系，找到一般规律．变式训练【变式3-1】（2020·广州市育才中学七年级期中）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则第n个“口”字需要用棋子（ ）A．（4n﹣4）枚B．4n枚C．（4n+4）枚D．n2枚【答案】B【分析】观察图形可知，构成每个“口”字的棋子数量，等于构成边长为(n+1)的正方形所需要的棋子数量减去构成边长为(n+1-2)的正方形所需要的棋子数量.【详解】解：由图可知第n个“口”字需要用棋子的数量为(n+1)2-(n+1-2)2=4n,故选择B.【点睛】本题考查了规律的探索.【变式3-2】（2020·广东七年级期末）下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依此规律，第n个图形中白色正方形的个数为（ ）A ．4n +1B ．4n ﹣1C ．3n ﹣2D ．3n +2【答案】D 【分析】第一个图形中有5个白色正方形；第2个图形中有531+´个白色正方形；第3个图形中有532+´个白色正方形；…由此得出第n 个图形中有53(1)32nn +´+﹣＝个白色正方形．【详解】解：第一个图形中有5个白色正方形；第2个图形中有531+´个白色正方形；第3个图形中有532+´个白色正方形；…第n 个图形中有53(1)32nn +´+﹣＝个白色正方形．故选：D 。
高等代数§1
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2)
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
（不然，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
二、数域旳性质
定理: 任意数域P都涉及有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
证明： 设P为任意一种数域．由定义可知，
于是有 0 P， 1 P. m Z , m 1 1 1 P
进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一种有理数可表成两个整数旳商，
Q P.
Remar 数k环: 设P为非空数集，若
a,b P, a b P, a b P
则称P为一种数环．
例如，整数集Z 就作成一种数环．
三、数学归纳法
第一数学归纳法 设S是一种与自然数有关旳命题，且满足． 1）当 n 时n0 ，S成立 2）假设当n k (k N时,k ， nS0)成立，则
意两个数旳差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一
一种数域．
证：由题设任取 a,b P, 有
0 a a P, 1 b P (b 0), a b P,
a P (b 0), b
b a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
1
1
P
,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一种数域．
高等代数课件
第一章 多项式
§1.1 数域
代数与几何教研室
代数式1
代数式书写“六注意”为帮助同学们学好代数式，本文将代数式的书写时应注意的问题归纳成六点，供大家学习时参考.一、注意乘号尽量省略两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，乘号都可以省略不写.如：“x 与y 的积”可以写成“xy”；“a 与2的积”应写成“2a”，“m 、n 的和的2倍”应写成“2(m+n)”.二、数字乘在前，字母乘在后字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写在前面.例如“x×2”要写成”2x”，不能写成“x2”；“长、宽分别为a 、b 的长方形的周长”要写成“2(a+b)”，不能写成“(a+b)2”.三、除号不出现，改成分数线代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式.例如：梯形的上下底分别为a 、b ，高为h ，则梯形的面积表示成“h b a )(21+”，而不要写成“2)(÷+h b a ”. 四、数数相乘，乘号不变数字与数字相乘时，乘号仍应保留不能省略，或直接计算出结果.例如“3×7xy”不能写成“3·71xy”更不能写成“371xy”直接写成“213xy”最好.五、带分数要化成假分数当带分数与字母相乘并且省略乘号时，应把带分数化成假分数.例如：“ab ×312”要写成“ab 37”，不能写成“ab 312”. 六、代数式后面带单位时，适当加括号当所列的代数式是和（或差）时，一定要先加括号再写单位；若所列的代数式是积（或商）时，不要加括号后再写单位.例如：温度由10℃上升t ℃后的温度应是“(10+t)℃”，而不能写成10+t ℃.汽车以60千米/时的速度行使了s 千米，所用的时间是60s 小时. 小试牛刀判断下列问题中所列代数式的正误：（1）x 的211倍表示为x .211 （2）m 个学生数学考试的总分是a 分，则这写学生的平均分为a÷m 分.（3）三角形的三边长分别是a ㎝、b ㎝、c ㎝，则这个三角形的周长是a+b+c ㎝.（4）一件原价为m 元的商品降价20％后的价格是m20％元.基础训练：一、填空题1.商店运来一批梨，共9箱，每箱n 个，则共有_______个梨.2.小明x 岁，小华比小明的岁数大5岁，则小华_______岁.3.一个正方体边长为a ，则它的体积是_______.4.一个梯形，上底为3 cm ，下底为5 cm ，高为h cm,则它的面积是_______cm 2.5.一辆客车行驶在长240千米的公路，设它行驶完共用a 个小时，则它的速度是每小时_______千米.二、选择题1.原产量n千克增产20%之后的产量应为（）A.（1－20%）n千克B.（1+20%）n千克C.n+20%千克D.n×20%千克2.甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x岁，乙y岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（）A.(x+y)B.(x－y)C.3(x－y)D.3(x+y)三、根据题意列代数式1.平行四边形高a，底b，求面积.2.一个二位数十位为x，个位为y，求这个数.3.某工程甲独做需x天，乙独做需y天，求两人合作需几天完成？4.甲乙两数和的2倍为n，甲乙两数之和为多少？四、解答题小明坐计程车，发现：路程x（km）费用y元2 52.5 5+13 5+23.5 5+3请用x表示y.能力提升：一、填空题1.大量事实证明，治理垃圾污染刻不容缓，据统计，全球每分钟约有850万吨污水排入江河湖水，则t分钟排污量为_____万吨.2.“龟兔赛跑”，龟兔每小时的行程分别为a千米，b千米，经过t小时后，龟兔相距_____千米.3.某水果市场，苹果的零售价为每斤2元，一人要买x斤苹果需付款__________，另一人付资y元，需给苹果__________斤.二、选择题1.用字母表示加法交换律，错误的是（）A.a+b=b+aB.m+n=n+mC.p·q=q·pD.x+y=y+x2.如果m表示奇数，n表示偶数，则m+n表示（）A.奇数B.偶数C.合数D.质数3.如图1两同心圆，大圆半径为R，小圆半径为r，则阴影部分的面积为（）A.πR2B.πr2C.π(R2+r2)D.π(R2－r2)三、解答题.一根木棍原长为m米，如果从第一天起每天折断它的一半.（1）请写出木棍第一天，第二天，第三天的长度分别是多少？（2）试推断第n天木棍的长度是多少？代数式的求值解读一、知识要点1．代数式的值的概念一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．注：1）字母的取值不能使代数式本身失去意义，如分母不能为零；2）不能使它所表示的实际问题失去意义，如求路程公式S ＝vt 中，v ，t 不能取负数．2．求代数式的值的方法先代入后计算．1）代入时，只将相应的字换成相应的数，其它符号不变．2）代数式中原来省略的乘号代入数值以后一定要还原．3）对于已知一个比较复杂的代数式的值，求另一个代数式的常用的方法有整体代入法，代换法．4）根据代数式所表示的运算顺序，按有关运算法则，计算出结果．二、主要数学思想代数式的值是由字母所取的值确定的，当代数式中的字母每取一个值时，代数式就表示一个确定的（数）值．因此，求代数式的值是由一般（式）到特殊（数）的问题，通过求代数式的值，可进一步理解代数式的意义和作用．三、典例精析例1 求下列代数式的值：(1)a 2-a b +2；其中 a=4,b=12, (2)b a ab ；其中 a=32,b=21.点评：（1）求代数式的值的解题步骤是：①指出代数式中的字母所取的值；②抄写原代数式；③把字母的值代入代数式中； ④按规定的运算顺序进行计算．（2）代数式的值是由代数式里字母所取的数的大小来确定的，代数式里的字母可取不同的值，但这些值必须使代数式和它所表示的实际数量有意义．（1）题中的a 不能取0，因为当a 取0时，ab 的分母为零，代数式无意义．（2）题中a+b 不能为0． 例2 当a ＝－1，b ＝2，c ＝3时，求下列各代数式的值．（1）a bc ； （2）(a 2＋b 2－c 2)2； （3）ba cb a 423--+． 分析：求代数式在a ＝－1，b ＝2，c ＝3时的值，就是把代数式中的字a 、b 、c ，分别用－1，2，3代替，按原来的运算顺序进行运算即可．例3 已知a －a 1＝2，求代数(a －a 1)2－a1＋6＋a 的值．例4 当b a b a +-23＝2时，求代数式ba b a b a b a -+++-3)2(32)3(2的值．例5 某车间第一个月产值为m 万元，平均每月增产率为a%要求：（1）用代数式表示出第二个月的产值．（2）当m ＝20 ，a ＝5时第二月的产值．基础训练：一、填空题1.小丁期中考试考了a 分，之后他继续努力，期末考试比期中考试提高了b %，小丁期末考试考了_______分.2.用代数式表示.(1)“x 的5倍与y 的和的一半”可以表示为_____.(2)南平乡有水稻田m 亩，计划每亩施肥a 千克；有玉米田n 亩，计划每亩施肥b 千克，共施肥_____千克.(3)有三个连续的整数，最小数是m ，则其他两个数分别是_____和_____.(4)全班总人数为y ，其中男生占56%，那么女生人数是_____.二、判断题1.3x +4－5是代数式.（ ） 2.1+2－3+4是代数式.（ ） 3.m 是代数式，999不是代数式. （ ） 4.x >y 是代数式.（ ） 5.1+1=2不是代数式.（ ） 三、选择题1.下列不是代数式的是（ ）A.(x +y )(x －y )B.c =0C.m +nD.999n +99m2.代数式a 2+b 2的意义是（ ） A.a 与b 的和的平方B.a +b 的平方C.a 与b 的平方和D.以上都不对 3.如果a 是整数，则下面永远有意义的是（ ） A.a 1B.221aC.21aD.11 a 4.一个两位数，个位是a ，十位比个位大1，这个两位数是（ ）A.a (a +1)B.(a +1)aC.10(a +1)aD.10(a +1)+a 四、解答题1.小明今年x 岁，爸爸y 岁，3年后小明和爸爸的年龄之和是多少？2.小丁和小亮一起去吃冰糕，小丁花了m 元，小亮花了n 元，已知每个冰糕0.5元，小丁和小亮各吃了几个？三、能力提升：［例2］某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排比前一排多2个座位，请写出计算第n 排的座位数，并求出第19排的座位数.。
代数第一讲_有理数
1代数第一讲 数(1) 凡能写成)0p q ,p (pq≠为整数且形式的数，都是___________.思考：小数怎么化成分数？是不是所有小数都可以化成分数？如果不是，请说明理由。
正整数、0是___________是正数；π(2)有理⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧分数有理数2___________动动手：0.3．相反数：①在数学中，我们通常用负号来表示___________意义的量；②a 的相反数是___________. (1)只有___________不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数. 4.绝对值：(1)正数的绝对值是其___________，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的___________；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离___________的距离； (2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (aa ；思考：绝对值的问题经常分类讨论，请问按照什么来进行分类？并举例说明。
； 比左边的数 _________ 0. _________； a1大于a ？还有其他情况吗？7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取___________符号，并把___________相加；（2）异号两数相加，取___________的符号，并用较大2的绝对值减去___________；（3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=___________ ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=___________. 1+5+999=___________.5+（-1）+（-999）=___________.思考：①1+2+3+4+ (100)②1+2+3+4+③1+3+5+7+9___________10 （1）相乘；（2（3⨯⨯⨯-(534111 （1（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .)35()5.2(53-⨯+⨯-)416131(12--⨯-12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：___________不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是___________；（2）负数的奇次幂是___________；负数的偶次幂是___________；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n . 14．乘方的定义：（1）求相同因式___________的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做___________，相同因式的个数叫做___________，乘方的结果叫做___________； a ×10n 的形位的数，这种到精确的.，最后加减. ．3．已知a 与b 互为相反数且0a ≠，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是最小的正整数，求：()220132014a b a m cd b +-+-的值．34. （1）17－23÷(－2)×3；（2）2×(－3（3）(－3)3（4）20081--（5）45513⨯（6）20141--5. 已知|m |=4,|n |=1，且|m −n |=m −n ，求m n 的值。
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代数、几何综合题一、抛物线与线段之和最短（周长最小）、线段之差最大问题 （一）线段之和最短（周长最小）问题1、如图，抛物线2122y x bx =+－与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．2、如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x=(0)k ≠在第 一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知O AM ∆的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上 求一点P ，使PA PB +最小.3、如图，抛物线42++=bx ax y 与x 轴的两个交点，分别为A （－4，0）、B （2，0）与y 轴交于点C ，顶点为D. E （1,2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F 、G 。
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使CDH ∆的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，EFK ∆的面积最大？并求出最大面积。
OMxy（二）线段之差最大问题1、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1．0），B ( -1.2)，D ( 3.0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON,若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N （1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA = PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由 （3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q 在什么 位置时有QE QC -最大？并求出最大值2、 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=15，OC=9，在AB 上取一点M ，使得CBM ∆沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作N 点。
（1）求N 点、M 点的坐标；（2）将抛物线362-=x y 向右平移)100(<<a a 个单位后，得到抛物线l ，l 经过N 点，求抛物线l 的解析式；（3）①抛物线l 的对称轴上存在点P ，使得P 点到M 、N 两点的距离之差最大，求P 点的坐标；②若点D 是线段OC 上的一个动点（不与O 、C 重合）过点D 作DE ∥OA 交CN 于E ，设CD 的长为m ，PDE ∆的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值。
若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。
第2题3、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，32 ）（1）求抛物线的解析式．（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC 边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．第3题二、抛物线与面积最大、面积比问题1、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.2、将直角边长为6的等腰AOC Rt ∆放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B （－3，0）。
（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连结AP ，当APE ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使AGC ∆的面积与（2）中APE ∆的最大积相等？若 存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由。
（2010年宜宾）BAOyx3、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）. （1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.4、如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． ⑴求该抛物线的解析式；⑵抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．AxyB O CDyxMPOCBA5、如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点(1）求m的值；( 2 ）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；( 3 ）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积，是四边形OACD 面积s2的23?若存在求点E 的坐标；若不存在请说明理由．6、如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B（3，0）两点，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△M AP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在请说明理由．7、已知：抛物线cbxxy++=2交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点D。
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连结BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E，求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得∆OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的31？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
三、抛物线与“形”的存在（不存在）问题(一）相似三角形.1、（2011湖南常德）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，52）.（1）求抛物线的解析式；（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.O BEDFCx NM2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．⑴求该抛物线的解析式；⑵抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．3、（2011•宁波）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．（二）平行四边形(矩形、菱形）1、如图，抛物线y ＝12x 2＋x －32与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为P ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）在抛物线是否存在点E ，使△ABP 的面积等于△ABE 的面积，若存在，求出符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F ，使得以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形直接写出所有符合条件的点F 的坐标2、如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。
（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当CM N △的面积最大时，求点M 的坐标；（3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
AO x yPB yxO B MNCA4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积.5、如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，点D 在边0C 上，点E 在边OA 上，把矩形沿直线DE 翻折，使点O 落在边AB 上的点F 处，且tan ∠BFD=34．若线段OA 的长是一元二次方程x 2—7x 一8=0的一个根，又2AB=30A ．请解答下列问题： (1)求点B 、F 的坐标： (2)求直线ED 的解析式：(3)在直线ED 、FD 上是否存在点M 、N ，使以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边 形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6、抛物线2yax bx c =++与y 轴交于点(0,2)C -，与直线y x = 交于点(2,2)A --，(2,2)B ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，线段MN 在线段AB 上移动（点M 与点A 不重合，点N 与点B 不重合），且2M N =，若M 点的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q.以点P ，M ，Q ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．7、已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABD C 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的 坐标；如果不存在，请说明理由．B AO CyxAB O P Mxy 3 －32 －28、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 经过点A (3，0)、B (0，－3)，点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． (1)分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．(2)若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．(3)是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．9、将抛物线c 1：2y 3x 3=-+沿x 轴翻折，得抛物线c 2,如图所示. （1）请直接写出抛物线c 2的表达式.（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E. ①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.（三）直角三角形、等腰（直角）三角形1、如图，直线交轴于A 点，交轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由2.已知：如图，在平面直角坐标系xO y 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF =2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．y xDBCA EO3、如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线 交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上 是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.3、已知抛物线:y=x²-2x +m-1 与x 轴只有一个交点，且与y 轴交于A 点,如图，设它的顶点为B (1)求m 的值；(2)过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证是△ABC 是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点，如图.请在抛物线C'上求点P ，使得△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形.yxCEA O BFAOCBDxy26题图4、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC 放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0,2），点C （1,0），如图所示；抛物线经过点B 。