2015年陕西省数学竞赛预赛试题
2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛Word版无答案
2015年全国高中数学联赛陕西省预赛一试一、填空题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.已知集合,若集合,则集合中元素的个数是2.已知函数,则3.已知,则4.在三棱锥中,,则直线与所成的角的大小为5.如图,以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰好相切于双曲线的一个焦点,且与轴交于两点,若为正三角形,则该双曲线的离心率是6.设为的外心,且满足,则7.在中,,则的最小值是8.某人抛掷一枚硬币,出现正面向上和反面向上的概率都是,构造数列,使,记,则且的概率是(用最间分数作答)9.若正整数满足,则的值为10.设单调递增数列的各项均为正整数,且,则二试二、本大题共6小题,共100分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.11(本小题满分15分)设等比数列的前项和为,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在与之间插入个实数,,使这个数依次组成公差为组成公差为的等差数列,设数列的前项和为,求证:12(本小题满分15分)设的三内角所对的边分别为,且满足(Ⅰ)求证:为直角三角形;(Ⅱ)若,求面积的最大值.13(本小题满分15分)如图,设为锐角的垂心,过点且垂直于的直线交于点,过点且垂直于的直线交于点,,过点且垂直于的直线交直线于点,求证:14(本小题满分15分)如图,,在直角坐标系中,圆与轴的正半轴交于点,以为圆心的圆与圆交于两点.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)设是圆上异于的任意一点,直线与轴分别交于点,求的最大值(其中分别表示的面积)15(本小题满分20分)已知函数.(Ⅰ)若对任意不等式恒成立,求实数的取值范围;(Ⅱ)证明:对任意,有.16(本小题满分20分)设表示不超过实数的最大整数,已知求和:。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
陕西省数学竞赛试题及解答
17 m ,所以，点 P 的轨迹是以 (4,3) 为圆心， 17 m 为半径的圆.因此，当圆
x2 4
y2
Hale Waihona Puke 1相切.
y x2 4
xb ,消去
y2 1
y
得关于
x
的方程：
3x2 8bx (4b2 4) 0 , 0 , b 3 .
y xb y
M
o
x
法二：也可用参数方程求解.只考虑第一象限部分. 由 x2 y2 1，令 x 2sec , 4
点 M 落在 FAB 内的概率 .
解析： 1 . 3
根据抛物线的定义, S梯形AABB
1( 2
AA
BB )
AB
1 2
AB
AB
1 AB 3 p , 2
SABF
1 2
AB p ,所求概率为： SABF S梯形AABB
1 AB p 2 1 AB 3 p
D
C
A. (8,8) C. (1,8) 解析：C.
B. (1, 24) D. (0,8)
M N
A
B x
建立如图所示的直角坐标系, A(0, 0) , M 是 BC 的中点, M (8, 4) ,又 N 是 AD 边上
的一点，且 DN 3NA ， N (0, 2) ,设 P(x, y) ，则 PM (8 x, 4 y) , PN (x, 2 y)
2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
5. 已知实数 x, y 满足关系式 xy x y 1，则 2 2 .
B. 6 4 2 .
C.1.
D. 6 4 2 .
【答】B.
设 x y t ， 则 由 题 设 条 件 可 知 xy x y 1 t 1 ， 所 以 x, y 是 关 于 m 的 一 元 二 次 方 程
则 5n2 3n 5 125m2 15m 5 120m2 15m 5(m2 1) .
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ m2 1是 3 的倍数，∴ m 3k 1或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
∴ n 5(3k 1) 15k 5或 n 5(3k 2) 15k 10 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（5＋20＋35＋50＋65＋80＋95）＋（10＋25＋40＋55＋70＋85）
A. 8. 【答】C.
B. 12.
C. 16.
D.24.
依题意，有 n m2 bm c (m 8)2 b(m 8) c ，于是可得 b 8 2m ．
∵抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点，∴ b2 4c 0 ，∴ c 1 b2 (4 m)2 . 4
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.
2015年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷(含答案)(完整资料).doc
（2）若 ，求PM的值。
2015年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题
参考解答
一、选择题
1．D.
2．C.
3．A 延长FD至点G，使得DG=BE.显然△ABE≌△ADG.
∴AE=AG.易证△FAG≌△FAE. ∴FG=FE. ∴△ECF的周长=CF+FE+EC=CF+FG+EC=CF+FD+DG+EC=（CF+FD）+（BE+EC）=CD+BC=2.选A.
C、2或 D、2或
6、已知2015年3月13日是星期五，则 天之后是星期（ ）
A、一 、二C、三D、四
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
7、计算： .
8、已知 ，则 的值为.
9、如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ， ，则BD的值为.
10、如果关于x的不等式组 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）的个数为.
10.12. 即是 .因为原不等式组的整数解仅为1，2，3,所以 即 .所以 可以取9,10,11共3个数， 可以取1,2,3,4共4个数. 所以适合原不等式组的整数 组成的有序数对 的个数为 个.
三、解答题
11．解：∵a2+2ab+b2-6a-6b+9=0，……………………………………..…………………5分
∵AP=PC,CM=ME, ∴PM∥ 且PM= .………………………………….……….20分
∴PQ=PM, PQ⊥PM.
∴△MPQ为等腰直角三角形.
∴PM=PQ=2.5. .…………………………………………………………………………….25分
各省高中数学竞赛预赛试题汇编[]
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2012各省数学竞赛汇集目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____22___.5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为83，则直线的斜率为___12____. 6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____53_______.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n-+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2CA B a b c+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
AB AC ， EF BC ，则 C B ____________.
【答】 60 .
E
作 EM BC 于点 M ， FN BC 于点 N ， FP EM 于点 P .
∵ E 、 F 分别为△ ABD 、△ ACD 的外心，∴ M 、 N 分别为 BD 、CD 的中
点.又 EF BC ，∴ PF MN 1 BC 1 EF ，∴ PEF 30 .
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.
B.350.
C.540.
D.635.
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ 5 | (5n2 3n 5) ，∴ 5 | 3n ，∴ 5 | n ，设 n 5m （ m 是正整数），
∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94）
＝1634. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同. 2. 三边长均为整数且周长为 24 的三角形的个数为________. 【答】12.
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18.
因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63.
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一． 计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭； （2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。
二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。
四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。
计算：（1）(),,S zdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。
七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、？请说明理由。
2015年小学奥数初赛试题
2015年小学数学竞赛预赛试卷（时间：2015年3月21日 14:00—15:30）（本试卷共14题，每题10分，共140分）1. （12×21×45×102）÷（15×4×7×51）＝（ ）2. [1.9＋190%×（544－3.8）]÷（1092－1.9）＝（ ） 3. 2015×20152015－20142014×2014＝（ ）4. 某笔记本电脑2015年售价是3900元人民币，比2014年售价降了100元人民币，则降幅是（ ）%.5. 74＜ 12 ＜65，（ ）中可以填的质数是（ ）. 6. 右图中阴影部分的面积与空白部分的面积比是（ ）.（取π＝3） 7. 把若干本书分给甲乙丙三人.分给甲的书是总量的，分给乙的书是总量的，分给丙的书是甲乙分得书的本数之差的二倍.最后还剩11本，那么乙分得书有（ ）本.8. 甲、乙两人进行百米赛跑，且在比赛中两人的速度都不会发生改变，当甲跑完68米时，乙离终点还有15米，当乙到达终点时，甲离终点的距离是（ ）米.9. 某人以每三个桔子一元六角的价格购进一批桔子，随后又以每四个两元一角的价格购进数量是前一批2倍的桔子，若他赚取了全部投资的20%，则每三个桔子的售价是（ ）元.10. 一个长与宽都不相等且都取整数的长方形，它的周长与面积的数值相等，则这个长方形的长与宽分别是（ ）与（ ）.11. 工程队原计划用24个工人挖一定数量的土方.按计划工作5天后，因事调走6人，并将每天每人的工作量增加为比原定工作量多挖一立方米，正好按原计划如期完成任务.那么，原计划每人每天挖土（ ）立方米.12.一个学生参加若干次考试，在最后一次考试时发现，如果这次他考100分，那么他的平均分是90分，如果这次他考70分，那么他的平均分是84分，则该学生一共参加了次（）考试.13.（此题为解答题，需写出解题过程）在右边的算式中，a，b代表不同的数字，都不为0.那么，这个算式的答数是（）.14.（此题为解答题，需写出解题过程）从1、2、3、4、……1000共1000个数中取出n个数，使得n个数中任意两个数的和都是22的倍数.那么，n的最大可取值是（）.。
2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛_刘康宁
＝ １
＾
ｊ
ｔ
２
３
故
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〇 ８ ＝ ８ ａ
！
＋
＝ ３ ａ ２
１
９４
．
４
第
＝
ｔ
，
一
二
试
丄
？
当 且 仅当
．
ａｎ
号 成立
ａｎ 时 上 式 等 夺 ｜ ｜ ２ ２ ２ ２５ ＋ 因为 〇 ＋ ２
、 （ １ ＝
）
？ ＋
１
（
以１
）
，
所以
，
Ｃ
的 对边 分别 为
ａ、６
、ｃ
，
且满足
２８
中 等 数 学
ｓ ｉｎ Ａ ＋ ｓ ｉｎ
（
１
）
证明
？ ，
：
二 式 ／ 彡 ｙｇ ｉ Ｃ 为直 角 三 角 形 Ａ ＾ｆ
、
ｉ ＝ （ ｃ ｏ ｓ Ａ ＋ ｆ
ｃ ｏｓ ｆ ｉ
） ｓｉ
，
ｎ Ｃ
．
①
｜
３
、 （ １ ）
由 对称 性
．
，
不 妨设 点
４
．
Ｂ
Ｕ
。
，
ｙ。
）
，
＋ ｒ ＝２ ＋ ＋ ＋ ３ ＾ ３ ３ ３
…
Ｃ
ｎ
ｎ
Ｕ
－
。
，
ｙ。
）
则 ４
＋
ｄ
－
＝
ｍ ｒ
＝
（
ｃ
２
－
（
陕西省数学竞赛试题及解答
x
4
4
4
f (1) 3 ,要使正整数 n 最大，需 f (xn ) 最大,且 f (xi ) （ i 1, 2,3,, n 1）尽可能
的小，只要 f (xm ) f (xn ) 3 即可，15 1 6 6 3 1 ,此时， n 6 .
2
4
4
12.设 n 是正整数，当 n 100 时， n2 3n 1 的小数部分的前两位数是
解析： f (x) 2 cos x(cos x 3 sin x) 1 2 cos2 x 1 2 3 cos x sin x
2sin(2x ) . 6
（Ⅰ）令 2x
6
2
，得
x1
3
,
x2
x1
2
3
2
6
,函数
f
(x) 的周期
为T ,所以，函数 f (x) 在每一个区间[ k , k ]（ k Z ）都是单调递
19
18
得最小值为11时， p 2 .
8.在边长为 8 的正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点， N 是 AD 边上的一点，且
DN 3NA ，若对于常数 m .在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P ，使
y
PM PN m ，则实数 m 的取值范围
的连线的斜率的相反数，当且仅当 , t 取得最小值为 3 ，即 x 4 ,
6
3
y 1 时， x y 取得最小值为 3 . 3
7.若既约分数 p （ p, q N ）化为小数是 0.18 ,则当 q 最小时， p q
全国高中数学联赛陕西赛区预赛详细参考答案
2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题参考答案及评分标准第一试1.设A、B是两个非空的有限集，全集错误!未找到引用源。
，且U中含有m个元素.若(错误!未找到引用源。
)错误!未找到引用源。
(错误!未找到引用源。
)中含有n个元素，则错误!未找到引用源。
中所含元素的个数为______.解：错误!未找到引用源。
.注意到，(错误!未找到引用源。
)错误!未找到引用源。
(错误!未找到引用源。
)=错误!未找到引用源。
(错误!未找到引用源。
)，由韦恩图知，错误!未找到引用源。
中含有错误!未找到引用源。
个元素.2.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足错误!未找到引用源。
.则错误!未找到引用源。
的值是______.解：错误!未找到引用源。
.由题设及正弦定理，得错误!未找到引用源。
故错误!未找到引用源。
= 错误!未找到引用源。
.3.在直角坐标系错误!未找到引用源。
中，已知三点错误!未找到引用源。
.若向量错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
在向量错误!未找到引用源。
方向上的投影相同，则错误!未找到引用源。
的值是______.解：2.[方法1]向量错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
在向量错误!未找到引用源。
方向上的投影分别为错误!未找到引用源。
.依题意得错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
= 错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
，即错误!未找到引用源。
.故错误!未找到引用源。
.[方法2]因为向量错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
在向量错误!未找到引用源。
方向上的投影相同，所以AB⊥OC，即错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
= 0.所以错误!未找到引用源。
，即3a – 4b = 2.4.已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，则相邻两侧面所成角的余弦值为______.解：错误!未找到引用源。
.如图1，设正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E为AB的中点，则∠PCE为侧棱PC与底面ABC所成的角，即错误!未找到引用源。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。