考研数学线性代数强化习题-相似与相似对角化

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模块九 相似与相似对角化Ⅰ经典习题一．相似矩阵1、下列矩阵中，和相似的是（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）2、设均为阶矩阵，可逆且A~B ，则下列命题中①AB~BA ②A 2~B 2 ③A T ~B T ④A −1~B −1正确的有（ ）个.（A ） （B ） （C ） （D ）二．相似对角化的条件3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（ ）（A ） （B ）A B 201200000,001000000A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭120211231,120015102A B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭201203000,000000000A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭200100020,030003003A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,A B n A 1234101023135-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭100320211-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（C ） （D ） 4、已知三阶矩阵的特征值为，则下列结论中不正确的是（ ） （A ）矩阵是不可逆的（B ）矩阵的主对角元素之和为 （C ）所对应的特征向量正交 （D ）的基础解系由一个向量构成5、设阶方阵，且对，则（ ） （A ） （B ）相似（C ）合同 （D ）同时可相似对角化或不可相似对角化6、设为阶方阵，满足，证明：（1）；（2）矩阵可以相似对角化.7、设为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有，.（1）求的全部特征值； （2）是否可对角化？8、已知三阶矩阵的特征值为，设（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）不能确定三．相似对角化中与的计算9、已知是矩阵属于特征值的特征向量，是矩阵属于特征值的特征向量，那么矩阵不能是（ ） （A ） （B ） （C ）（D ）10、已知，其中，求101202303-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭223023001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A 0,1±A A 011-和0Ax =A B n 为、,||||E A E B λλλ∀-=-有||||E A E B λλ+=+A B 与A B 与A B 、A n 2A A =()()r A E r A n-+=A A 123,,ααα123A ααα=+231312,A A αααααα=+=+A A A 0,1,2322,()B A A r B =-=则P Λ11200060,006P AP α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 2λ=23,ααA 6λ=P ()123,,ααα-()12323,,2ααααα+-()132,,ααα()12123,,ααααα+-(1,2,3)i i A i i αα==123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)T T Tααα==-=--______________.11、已知矩阵与相似: （1）求与；（2）求一个满足的可逆矩阵12、设矩阵.问当为何值时,存在可逆矩阵,使得为对角矩阵?并求出和相应的对角矩阵.13、设矩阵,已知有三个线性无关的特征向量,是的二重特征值.试求可逆矩阵,使得为对角矩阵. 14、设矩阵与相似,其中.（1）求和的值; （2）求可逆矩阵,使.四．的计算15、已知、为三阶矩阵，满足，，齐次方程组有非零解，（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵；（3）求秩；（4）计算行列式；（5）求五．对实对称矩阵性质的考查16、设阶实对称矩阵，则( ) （A ）个特征向量两两正交（B ）个特征向量组成单位正交向量组A =20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦20000001B y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦x y 1P AP B -=P 3221423A kk -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦k P 1P AP -P 1114335A x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 2λ=A P 1P AP -A B 20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x y P 1P AP B -=nA AB 0AB B +=11001110a B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭0AX =010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭a P 1P AP -(A E)R +A E -100(A E)+A n 为A n 的A n 的（C ）重特征值 （D ）重特征值17、设二阶实对称矩阵的一个特征值，属于的特征向量为，若，则______________.18、设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为,求.六．实对称矩阵的正交相似对角化19、设是阶矩阵，且有个相互正交的特征向量，证明是实对称矩阵20、设三阶对称矩阵A 的特征值为，是A 的属于特征值的特征向量，记（1）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与其对应的特征向量； （2）求矩阵B七．综合21、阶实对称矩阵，且满足条件. （1）求的全部特征值.（2）当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中阶单位矩阵.A k 的()00r E A n k λλ-=-有A k 的()00r E A kλλ-=有A 11λ=1λ(1,1)T-||2A =-A =A 1231,1λλλ=-==1λ1011ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A n n A 1112,1,1λλλ==-=()1110Tα=1λ32B A A E =--()1110Tα=3A 为220,()2A A r A +==A k A kE +3E 为Ⅱ参考答案一．相似矩阵1、【答案】（C ）【解析】：（A ）中，，故和不相似. （B ）中，，故和不相似.（D ）中，的特征值为，的特征值为，故和不相似. 由排除法可知：只有（C ）中矩阵和可能相似.事实上，在（C ）中，和的特征值均为，由于和均可相似对角化，也即和均相似于，故和相似.故选（C ）2、【答案】（D ） 【解析】：由于，可知：存在可逆矩阵，使得.故，可知、、.又由于可逆，可知，故.故正确的命题有个，选（D ）二．相似对角化的条件3、【答案】（D ）【解析】：（A ）中矩阵为实对称矩阵，可以相似对角化.（B ）中矩阵有三个互不相同的特征值：，可以相似对角化.（C ）中矩阵特征值为，由于该矩阵秩为，可知其二重特征值有两个线性无关的特征向量，故可以相似对角化.（D ）矩阵特征值为，令该矩阵为，，，可知其二重特征值只有一个线性无关的特征向量，故不可以相似对角化.故选（D ）. 4、【答案】：（C ）()()1,2r A r B ==A B ()()9,6tr A tr B ==A B A 2,2,3-B 1,3,3-A B A B A B 2,0,0A B AB 200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭A B AB P 1P AP B -=()1122111,,TTT T P A P B P AP B P A P B -----===22A B T T A B 11A B --A ()1AAB A BA -=ABBA 41,2,1-0,0,4102,2,1-A 023*******A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭()22r A E -=2【分析】 ：注意本题是找不正确的答案.根据特征值与行列式的关系及特征值的性质应知A ，B 正确，而的非零解对应的是零特征值的特征向量.【解析】： 根据，，知（A ），（B ）正确； 而是单根，因此，即的基础解系只由一个线性无关解向量构成，可知（D ）也正确.因此唯一可能不正确的选项是（C ）. 事实上，由于没有限定为实对称矩阵，故不同特征值的特征向量不一定正交.故选（C ）. 【评注】： 特征值的重数与矩阵的秩的关系：由于矩阵的重特征值最多只能有个线性无关的特征向量，故假设为矩阵的重特征值，则，也即.有两种情况可以确定：一是当矩阵可相似对角化时，必有；二是当为单特征值时，由于，又由于矩阵不满秩，故.本题在确定的基础解系所含向量个数时，用到了上述结论：由于是单特征值，故5、【答案】：（A ）【解析】： 由知，具有相同特征值，而的特征值为，所以故（A ）是正确的. 对于（B ），（C ），（D ），可以通过举反例予以排除.例如，则的特征多项式相同，但不相似，否则，矛盾，故可以排除（B ）.同时，由于矩阵不可相似对角化，故可排除（D ）.最后，由于合同矩阵是在实对称矩阵的范围内讨论，可知（C ）不正确. 故唯一正确的选项是（A ）6、【证明】：（1）由可得，故有.又由于. 可知.0Ax =123||0A λλλ==1122331230a a a λλλ++=++=10λ=()(0)2r E A r A -==0Ax =A A k k λA k ()n r A E k λ--≤()r A E n k λ-≥-()r A E λ-()r A E n k λ-=-λ()1r A E n λ-≥-A E λ-()1r A E n λ-=-0Ax =0(0)312r E A x -=-=||||E A E B λλ-=-A B 、12,,,n λλλ,E A E B λλ++12,,,n λλλλλλ+++()()()12||||n E A E B λλλλλλλλ+=+=+++11100101A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，A B 、A B 、111P AP B A PBP PEP E ---=⇒===A2A A =()A E A O -=()()r A E r A n -+≤()()()()()()r A E r A r E A r A r E A A r E n -+=-+≥-+==()()r A E r A n -+=（2）由于，可知矩阵的特征值必满足，也即的特征值只能为或.由于矩阵可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量，故考虑和的特征向量.由于和的特征向量分别为和的解，它们的基础解系中分别含有和个解向量.也即特征值有个线性无关的特征向量；特征值有个线性无关的特征向量.而，可知有个线性无关的特征向量.故矩阵可以相似对角化.7、【解析】：⑴ 由已知得，，， ，又因为线性无关，所以，，.所以-1,2是的特征值.是相应的特征向量.又由线性无关，得也线性无关，所以-1是矩阵的二重特征值，即的全部特征值为-1,-1，2.⑵ 由线性无关可证明线性无关，即矩阵有三个 线性无关的特征向量，所以矩阵可相似对角化. 【评注】：对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题 8、【答案】：（A ） 【解析】：因为矩阵有三个不同的特征值，所以必能相似对角化，则有. 那么， 即.因此.故应选（A ） 三．相似对角化中与的计算2A A =A λ2λλ=A 10n 1010()0A E x -=0Ax =()n r A E --()n r A -1()n r A E --0()n r A -()()n r A E n r A n--+-=A nA 123123()2()A αααααα++=++2121()()A αααα-=--3131()()A αααα-=--123,,ααα1230ααα++≠210αα-≠310αα-≠A 2131123,,ααααααα--++123,,ααα2131,αααα--A A 123,,ααα2131123,,ααααααα--++A A A A 112P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11321312(2)2P BP P A A P P A P P A P ----=-=-1312()2()P AP P AP --=-001211840⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦010B⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦0()110r B r ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P Λ9、【答案】：（D ）【解析】：若 则有即 即可见是矩阵属于特征值的特征向量，又因矩阵可逆，因此，线性无关.若是属于特征值的特征向量，则仍是属于特征值的特征向量，故（A ）正确.若是属于特征值的特征向量，则仍是属于特征值的特征向量.本题中，是属于的线性无关的特征向量，故仍是的特征向量，并且线性无关，故（B ）正确.关于（C ），因为均是的特征向量，所以谁在前谁在后均正确.即（C ）正确.由于是不同特征值的特征向量，因此不再是矩阵的特征向量，故（D ）错误.【评注】：相似对角化中，只要有的对角元是矩阵的个特征值，的列向量是与中特征值对应的个线性无关的特征向量，所得的与就能满足等式10、【答案】： 【解析】：由于知，有3个不同的特征值1,2,3.所以1121233,(,,)a P AP a P a ααα-⎡⎤⎢⎥=Λ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦AP P =Λ112312323(,,)(,,)a A a a αααααα⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦123112233(,,)(,,)A A A a a a αααααα=i αA i a (1,2,3)i =P 123,,ααααλα-λαβ，λ23,αβ+λ23,αα6λ=2323,2αααα+-6λ=2323,2αααα+-23,αα6λ=23αα与12,αα1212,αααα+-A ΛA n P Λn ΛA 1P AP -=Λ720335203322233⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦i i A i αα=A，其中. 故. 【评注】：当矩阵可相似对角化时，由于在式中，对角矩阵的对角元均为的特征值，可逆矩阵的列向量为特征值对应的特征向量.因此，只要知道了矩阵所有的特征值、特征向量，就可以利用等式求出，这是考点相似对角化下的一个重要的命题思路.11、【解析】：（1）的特征值为.由与相似,则的特征值为.故. （2）分别求出的对应于特征值的线性无关的特征向量为.令可逆矩阵,则. 12、【解析】：则的特征值为.矩阵与对角矩阵相似属于特征值的线性无关的特征向量为两个112,3A P AP -⎡⎤⎢⎥Λ==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦123122()221212P ααα-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦1720335203322233A P P -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A 1A P P -=ΛΛA P ΛA 1A P P -=ΛAB 2,,1y -A B A 2,,1y -2(1)2002(1)21y x x y A y ++-=++⎧=⎧⎪⇒⎨⎨⋅⋅-==-=⎪⎩⎩A 1232,1,1λλλ===-1231000,1,1011p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123100011011P p p p ⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1P AP B -=322122101423123A E kk k λλλλλλλλ------------=-=--21220101(1)(1)k λλλλλ==-+-------A 1,231,1λλ=-=A ⇔1,21λ=-.此时，属于特征值的线性无关的特征向量;属于特征值的线性无关的特征向量.令可逆矩阵,则13、【解析】：有三个线性无关的特征向量,则能对角化.又是的二重特征值,则属于有两个线性无关的特征向量,故.此时.由为的另一特征值. 属于的线性无关的特征向量; 属于的线性无关的特征向量.令.14、【解析】：（1）的特征值为;有特征值. 与相似,则与有相同的特征值,故.又.(2)的对应于特征值的特征向量分别为, 令可逆矩阵,则.四．的计算15、【解析】⇔()10R A E k +=⇒=1,21λ=-12112,002p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31λ=3101p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭123(,,)P p p p =1(1,1,1)P AP diag -=Λ=--A A 2λ=A 2λ=(2)1R A E -=11120202()2,2()0000rx A E x x y x y x y -⎛⎫-=⎧ ⎪-−−→--+⇒⇒==-⎨ ⎪-+=⎩ ⎪⎝⎭111242335A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭33221456λλ++=++⇒=A 1,22λ=12(1,1,0),(1,0,1)T Tp p =-=36λ=3(1,2,3)Tp =-1123(,,)(2,2,6)P p p p P AP diag -=⇒=Λ=B 1,2,y -A 2-A B A B 2y =-(1)2(2)10y x x -++=-++⇒=A 1,2,2--1230012,1,0111p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦123(,,)P p p p =1P AP B -=nA0AB B AB B +=⇒=-，因为11001110a B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1111111100100100,111101101100a a A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-⇒=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以A 有-1特征值，且其重数至少是2重，因为0AX =有非零解010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以A 有0特征值，且其重数至少是1重，又因为A 为三阶矩阵，所以-1是二重特征值，0为1重特征值，由于A 是对称矩阵一定可对角化，所以110A -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭。