高考线性规划问题别解
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
高中数学线性规划的知识点以及例题解析.doc
高中数学线性规划的知识点以及例题解析高考数学考查线性规划类问题，主要基于课本上的基础知识内容，同时又高于课本的知识难度，蕴含大量的数学思想方法，如数形结合思想等等。
加上线性规划问题能与实际生活问题进行良好结合，能很好考查考生运用知识解决实际问题能力水平的高低，所以线性规划问题在高考中的分值越来越大,逐渐受到更多的重视。
简单来说，定义目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，就统称为线性规划问题。
今天，为同学们整理了高中数学线性规划的知识点以及例题解析，大家要认真学习！。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D．【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线的斜率，要与直线或的斜率相等，∴或．【考点】线性规划．2.已知最小值是5，则z的最大值是（）A．10B．12C．14D．15【答案】A【解析】首先作出不等式组所表示的平面区域，如图中黄色区域，则直线-2x+y+c=0必过点B（2，-1），从而c=5,进而就可作出不等式组所表示的平面区域，如图部的蓝色区域：故知只有当直线经过点C（3，1）时，z取最大值为：，故选A．【考点】线性规划．3.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.4.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.5.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】作出可行域:oyxA(1，1)由图可知，当直线过点时，目标函数取最小值为3，选B.【考点】线性规划6.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．7.若变量满足约束条件，则的最大值为_________.【答案】【解析】作出不等式组表示的区域如下,则根据线性规划的知识可得目标函数在点处取得最大值,故填.【考点】线性规划8.设x，y满足约束条件，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80B．4C．25D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程＝(3＋1)2＋82＝80.组，得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax9.已知实数满足，则目标函数的取值范围是．【答案】【解析】可行域表示一个三角形ABC，其中当直线过点A时取最大值4，过点B时取最小值2，因此的取值范围是.【考点】线性规划求取值范围10.设变量满足，则的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．2，-2C．1，-2D．2，-1【答案】B【解析】由约束条件，作出可行域如图，设，则，平移直线，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．【考点】线性规划.11.（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．19【答案】B【解析】依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．12.若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y =" -" 6取最小值。
高中数学中的线性规划问题解析
高中数学中的线性规划问题解析在高中数学学习中，线性规划是一个重要的概念和工具。
它是一种数学建模方法，用于解决在给定约束条件下的最优化问题。
线性规划通常涉及到一组线性方程和不等式，以及一个目标函数，我们的目标是找到满足约束条件的最优解。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行域。
目标函数是需要最大化或最小化的函数，通常表示为一个线性方程。
在线性规划中，我们的目标是找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为一组线性不等式。
这些约束条件可以是资源的限制、技术条件或其他限制。
可行域是满足所有约束条件的变量取值集合。
可行域通常是一个多边形或多维空间中的区域，它表示了问题的可行解的范围。
二、线性规划的求解方法线性规划可以使用图像法、代数法或单纯形法等方法进行求解。
图像法是一种直观的方法，通过绘制约束条件和目标函数的图像来找到最优解。
在二维平面上，可行域是一个多边形，最优解是目标函数与可行域的交点。
在三维空间中，可行域是一个多面体，最优解是目标函数与可行域的交点。
代数法是一种代数计算的方法，通过解线性方程组来找到最优解。
我们可以将约束条件转化为等式，然后求解线性方程组。
通过代数方法，我们可以得到最优解的具体数值。
单纯形法是一种高效的算法，通过迭代计算来找到最优解。
单纯形法将线性规划问题转化为一个线性规划表格，并通过一系列的操作来逐步逼近最优解。
单纯形法是一种通用的求解线性规划问题的方法，可以处理任意维度的问题。
三、线性规划的应用线性规划在实际生活中有广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以使用线性规划来确定最优的生产数量和资源分配方案，以最大化利润或最小化成本。
在物流管理中，我们可以使用线性规划来确定最优的运输路径和货物分配方案，以最小化运输成本或最大化运输效率。
线性规划还可以应用于金融领域、市场营销、资源管理等各个领域。
通过合理地建立数学模型，我们可以利用线性规划的方法来解决实际问题，提高决策的科学性和有效性。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.设满足则（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值．【答案】B【解析】不等式组所表示的平面区域如下图所示：由得，当变化时，它表示一组斜率为-1的平行直线，在轴上的截距为，截距越大越大，截距越小越小，由图可知当直线经过点时在轴上的截距最小，截距不存在最大值；所以，有最小值2，无最大值．故选B．【考点】线性规划．2.设变量满足，则的最大值是 .【答案】3【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数在点取得最大值，代入得，故的最大值为.【考点】线性规划.3.已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A．5B．4C．D．2【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选B.【考点】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.4.若变量、满足约束条件，则的最大值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，直线交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.5.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．6.若实数x，y满足，则的取值范围是________．【答案】[1,5]【解析】由题可知＝，即为求不等式组所表示的平面区域内的点与点(0，－1)的连线斜率k的取值范围，由图可知k∈[1,5]，即的取值范围是[1,5]．7.已知,若恒成立, 则的取值范围是 .【答案】【解析】要使不等式成立,则有,即,设,则.作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线,由图象可知当直线经过点B时,直线的截距最小,此时最大,由,解得,代入得,所以要使恒成立,则的取值范围是,即,【考点】线性规划.8.若变量满足约束条件则的最小值为。
高考数学中的线性规划算法解题技巧
高考数学中的线性规划算法解题技巧高考数学中的线性规划是一种非常重要的问题类型，在考试中经常被考查，对于学生来说是必须掌握的一项技能。
而在线性规划中，解题的算法是关键，正确运用算法不仅能够提高解题效率，还能避免不必要的错误。
本文将介绍一些线性规划解题的算法和技巧，帮助学生在考试中取得更好的成绩。
一、线性规划的基本概念在解题之前，我们需要熟悉线性规划的一些基本概念。
线性规划是指在一定的限制条件下，求解一个线性函数的最大或最小值。
在这个过程中，我们需要确定目标函数、约束条件以及变量的取值范围。
通常情况下，我们可以将线性规划问题表示为标准型或非标准型。
标准型的形式如下：$$\max(z)=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$$$$s.t.\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n\le b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n\le b_2\\...\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n\le b_m\\\end{cases}$$变量取值范围为$x_i\ge0(i=1,2,...,n)$而非标准型的形式则可以被转化为标准型。
二、单纯形法的原理和步骤单纯形法是解决线性规划问题的一种经典算法，其基本原理是通过不断地构造可行解和寻找可行解中的最优解来达到最终的优化目标。
其具体步骤如下：1、将标准型问题中的目标函数系数、约束条件系数和右端项系数分别组成一个矩阵。
2、选择其中一个非基变量（即取值为0的变量）作为入基变量，计算出使目标函数增大的最大步长。
3、选择其中一个基变量（即取值不为0的变量）作为出基变量，计算出使目标函数增大的最小步长。
4、通过第2步和第3步计算出的步长来更新目标函数和约束条件，得到一个新的可行解。
5、使用新的可行解重复进行第2-4步的计算，直到找到最优解。
需要注意的是，单纯形法有两种可能的结果：一是存在最优解，二是存在无穷多个最优解。
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
![高考数学线性规划常见题型及解法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e12c850c001ca300a6c30c22590102020740f2d2.png)
高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
高考数学复习点拨 高考中“简单的线性规划问题”
高考中“简单的线性规划问题〞简单的线性规划问题是高中数学新课标教材的重点内容，有很强的实用性．近年来，简单的线性规划问题频频出现在高考试题中，成为高考新的命题趋势．下面撷取几例高考题并分类解析，旨在探索题型规律．一、 求线性目标函数在线性约束条件下的最值例1 非负实数x y ，满足24030x y x y +-⎧⎨+-⎩，，≤≤那么3x y +的最大值 为 ．解析：在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如图1．令3z x y =+，那么133z y x =-+，当直线过点(03)A ，时，z 的值最大， max 0339z =+⨯=．故3x y +的最大值为9．点评：求线性目标函数在线性约束条件下的最值是一类最基此题型，也是高考命题的重 点．这类问题可以借助图形直观地得到答案．二、 求非线性目标函数在线性约束条件下的最值例2 设实数x y ，满足20240230x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，那么y x 的最大值是 ． 解析：不等式组确定的平面区域如图2阴影局部． 设y t x =，那么y tx =，求y x的最大值，即求y tx =的斜率的最大值． 显然y tx =过A 点时，t 最大．由240230x y y +-=⎧⎨-=⎩，，解得312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ∴代入y tx =，得32t =． y x ∴的最大值为32． 点评：此题是将非线性规划问题，转化为线性规划问题求解，表达了数形结合和化归思 想的运用．这种题型在今后高考中可能会成为主要命题方向，望引起同学们的关注．三、 求线性目标函数的最优解例3 设x y ，满足约束条件532120304x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≤≤≤≤那么使得目标函数65z x y =+的值最大的点()x y ，是 ．解析：在平面直角坐标系中，作出可行域如图3所示．将65z x y =+变为655z y x =-+，当直线过点P 时，z 的值最大． 解53212x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得(23)P ，． 点评：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解是简单的线性规划的重要应用．四、 线性目标函数的最优解，求参数的值〔范围〕例4 给出平面区域如图4所示，假设使目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，那么a 的值为〔 〕Ａ．14- Ｂ．35 Ｃ．4 Ｄ．53 解析：根据线性规划问题的解题步骤，最优解应在可行域的端点处取得，但由题设知取得最大值的最优解有无穷多个，所以直线y ax z =-+应与直线AC 平行．2223351555AC k a a -∴==-=-∴=-，．应选〔Ｂ〕． 点评：此题主要考查最优解的找法，以及两直线的位置关系．通过此题应进一步明确两 点：①线性规划问题可能没有最优解；②当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．五、 求平面区域的面积例5 在坐标平面上，不等式组131y x y x -⎧⎪⎨-+⎪⎩≥≤所表示的平面区域的面积为〔 〕 Ａ．2 Ｂ．32 Ｃ．322 Ｄ．2 解析：在平面直角坐标系中，作出不等式组所表示的平面区域，如图5中的阴影局部，可求得11(12)(01)(01)22A B C D ⎛⎫---- ⎪⎝⎭，，，，，，，． ∴113222ABC CDB CDA B A S S S CD x CD x =+=+=△△△··． 应选〔Ｂ〕． 点评：作出平面区域，并分析其构成是准确求出阴影局部面积的关键．六、 线性规划在实际问题中的应用例6 制定投资方案时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损． 某投资人打算投资甲、乙两个工程，根据预测，甲、乙工程可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损为30%和10%，投资人方案投资不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个工程各投资多少万元，才可能使盈利最大？解析：设投资人分别将x 万元、y 万元投资于甲、乙两个工程，由题意知100.30.1 1.800x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩，，，，≤≤≥≥目标函数0.5z x y =+．上述不等式组表示的平面区域如图６所示，阴影局部〔含边界〕即为可行域．将0.5z x y =+变为22y x z =-+，那么当直线22y x z =-+过点M 时，在y 轴上的截距最大，即z 取得最大值．解100.30.1 1.8x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得46x y =⎧⎨=⎩，此时140.5670z =⨯+⨯=>．∴当46x y ==，时，z 取得最大值．答：投资人用4万元资金投资甲工程、6万元投资乙工程，才能在确保亏损不超1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．点评：这是在高考中以解答题的形式考查简单的线性规划问题．此题是一道应用题，以投资决策为背景，以线性规划为素材，考查学生对数学的应用意识和能力，不落谷套，令人耳目一新．。
高考数学分类详解----线性规划问题
高考数学分类详解----线性规划问题作答时要沉着冷静，规范书写，确保字迹清楚、卷面整洁一、 选择题1. (全国1理) 下面给出的四个点中，到直线x-y+1=0的距离为 √22,且位于 {x +y −1<0x −y +1>0表示的平面区域内的点是 A. (1,1) B. (-1,1) C. (-1,-1) D. (1,-1) 解.给出的四个点中，到直线x-y+1=0的距离都为 √22,位于 {x +y −1<0x −y +1>0表示的平面区域内的点是(-1, -1), ∵{−1−1−1<0−1−(−1)+1>0,选C 。
2、 (天津理2) 设变量x ，y 满足约束条件 {x −y ≥−1,x +y ≥1,3x −y ≤3,则目标函数z=4x+y 的最大值为( )A.4B.11C.12D.14 【答案】B【分析】易判断公共区域为三角形区域，求三个顶点坐标为(0，1)、 (2，3)、 (1，0)，将 (2，3)代入得到最大值为14.故选B3、 (天津文2)设变量xly 满足约束条件 {x −y ≥−1,x +y ≤4,y ≥2则目标函数z=2x+4y 的最大值为( )A. 10B. 12C. 13D. 144、 (全国1文6) 下面给出的四个点中，位于 {x +y −1<0x −y +1>0表示的平面区域内的点是A. (0,2)B. (-2,0)C. (0,-2)D. (2,0) 解. 将四个点的坐标分别代入不等式组 {x +y −1<0x −y +1>0,满足条件的是(0,-2), 选C 。
5、(安徽文9理7)如果点P 在平面区域 {2x −y +2≥0x +y −2≤02y −1≥0上，点Q 在曲线解. C 【解析】先画出约束条件 {x −y ≥−1,x +y≤4,y ≥2的可行域：如右图：得到当 x =32,y =52时目标函数z=2x+4y 有最大值为， Zmax=2×32+4×52=13.x²+(y+2)²=1 上，那么|PQ|的最小值为6、 (北京文6)若不等式组 {x −y +5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A. a<5B. a≥7C. 5≤a<7D. a<5或a≥7三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≥43B. 0<a≤1C.1≤a ≤43D. 0<a≤1或 a ≥43解析：不等式组 {x −y ≥02x +y ≤2y ≥0x +y ≤a,将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0)， (1,0),(23,23),第四个不等式x+y≤a，表示的是斜率为-1的直线的下方，∴ 当0<a≤1时， 表示的平面区域是 一个三角形， 当 a ≥43时，表示的平面区域也是一个三角形，选D 。
高考中的十种线性规划题型
① 准 确 画 出 可 行 域;
②
易错点:
距离的最值的最优解是在可行
域的顶点还是边界处。
(
练习 3.
2
0
1
6 年江 苏 卷 )已 知 实 数 x,
y
x-2
y+4≥0,
2
2
满足
2
x+y-2≥0,则 x +y 的 取 值 范 围
3
x-y-3≤0,
是
根据目标 函 数 的 几 何 意 义 找 到 最 优 解;③ 求
x,
x≥1,
x+y
x+y≤3, 若 z=2
y 满足约束条件
,
x-3)
y≥a(
2
2
,则 A ∩B 所 表
|(
x-1)+ (
y)
y -1)≤1}
答案:
D
x-y≥0,
则 a 的取值范围是(
(
练习 9.
2
0
1
2 年 重 庆 卷 )设 平 面 点 集 A
3
A. π
4
练习 1
2.(
2
0
0
7 年 北 京 卷 )若 不 等 式 组
y 满足约
x-1≥0,
y
则 的最大值为
x
x+y-4≤0,
束条件
x-y≤0,
{
(
,
x,
|
x-y ≥1,
ax +y >4,
x -ay ≤2}
y)
则(
高中数学解线性规划问题的应用题解析与实例分析
高中数学解线性规划问题的应用题解析与实例分析一、引言线性规划是数学中的一种重要方法，广泛应用于各个领域，如经济、管理、工程等。
在高中数学中，线性规划也是一个重要的考点，往往需要学生掌握解题的方法和技巧。
本文将通过具体的应用题例子，详细解析线性规划问题的解题过程和思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的问题。
一般形式可以表示为：Max（或Min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
三、线性规划问题的解题步骤1. 确定决策变量：根据题目中的要求，确定需要求解的决策变量，例如某种产品的生产数量、某种资源的分配比例等。
2. 建立目标函数：根据题目中的要求，建立目标函数，即需要最大化或最小化的函数。
目标函数的系数由题目中的条件确定。
3. 建立约束条件：根据题目中的要求，建立约束条件，即限制决策变量的取值范围。
约束条件的系数由题目中的条件确定。
4. 求解最优解：根据线性规划的特点，最优解一定在可行域的顶点上取得。
因此，通过解方程组或图像法找到可行域的顶点，并计算目标函数在每个顶点处的取值，最终确定最优解。
四、应用题解析与实例分析下面通过一个具体的应用题来进行解析和分析，以帮助读者更好地理解线性规划问题的解题过程。
例题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需耗费2小时的人工和3小时的机器时间，每单位产品B需耗费1小时的人工和4小时的机器时间。
线性规划问题解的概念和性质
第五节 线性规划问题解的概念和性质
第五节 线性规划问题解的概念和性质
非退化的基本(可行)解， 并恰有 n – m 个 0 分量。
基本可行解对应的基，称为可行基； 最优基本解对应的基，称为最优基。 如：基 B0= ( a2 ,a3 ,a4 ) 对应 X0 = ( 0，0，8，12，36 )T 可行 基 B1= ( a2 ,a3 ,a4 ) 对应 X1 = ( 0，9，8，- 6，0 )T 不可行 基 B2 = ( a1 ,a2 ,a3 ) 对应 X2 = ( 4，6，4，0，0 )T
恰有 m 个非 0 分量，
为可行基
为非可行基
为最优基
x*
x*
B*
第五节 线性规划问题解的概念和性质
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
例： 求线性规划问题的所有基矩阵。
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵（不等于0）只有9个，即
第五节 线性规划问题解的概念和性质
凸性的几个基本概念 一、凸集 设S En，对任意两点X∈S ，Y∈S，若对满足0 ≤μ ≤1的一切 实数μ ，都有 μX+(1- μ)Y ∈ S 则称S为凸集。
X
Y
X
Y
凸集
凸集
非凸集
非
表示S 中两点 X，Y 连线上的任一点
凸集的几何意义：凸集S中任意两点 X，Y 连线上的点，都在凸集S中。
第五节 线性规划问题解的概念和性质
二、极点 设凸集S En, X∈S，如果X不能用S中不同的两点Y和Z 表示为 X =λY+(1-λ)Z (0<λ<1) 则称X为S的一个极点。 三、 凸组合 设Xi∈En, 实数μi ≥0,i = 1,2,… , s,且∑μi = 1，则称 X = μ1X1 + μ2X2 +…+ μsXs 为点 X1，X2，… ，Xs 的一个凸组合。
三类线性规划问题及其解法
方法集锦线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，重点考查同学们的建模、运算、分析能力.本文主要探讨三种不同类型目标函数的线性规划问题及其解法.一、z =ax +by 型若目标函数为z =ax +by 型（直线型），我们一般需先将目标函数变形为：y =-a b x +zb，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值，这样便将求目标函数最值问题转化为求直线的截距的最值.①若b >0，当y =-a b x +z b截距最大时z 最小，当截距最小时z 最大；若b <0，当y =-a b x +zb截距最大时z 最大，当截距最小时z 最小.例1.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïïï2x +y ≤40,x +2y ≤50,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为_____.解：将z =3x +2y 变形为y =-32x +z2.作出如图1所示的可行域，由图可知当y =-32x +z 2过点A 时，直线的截距最大，则{2x +y =40，x +2y =50，解得ìíîx =10,y =20，此时z max =70.在画出可行域后，我们通过观察图形便能很快确定当直线经过A 点时y =-32x +z2的截距最大，此时z 最大，解方程组便可求得z 的最值.图1图2图3二、z =y -bx -a型对于目标函数为z =y -bx -a （斜率型）的线性规划问题，我们一般要依据y -bx -a的几何意义来求解.首先，根据线性约束条件画出可行域，将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与定点A (a ,b )连线的斜率，求得斜率的最值便可求出z 的最值.例2.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,x >0,x ≤1,求z =yx的最大值.解析：该目标函数为斜率型，可将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与原点连线的斜率，求出斜率的最值即可.解：作出如图2所示的可行域，将z =yx变形为z =y -0x -0，可将z 看作可行域内任意一点P (x ,y )与原点的连线的斜率.由图2可知当直线过交点A 时，PO 的斜率最大，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z max =2.三、z =(x -a )2+(y -b )2型当遇到目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2（距离型）的线性规划问题时，我们可以把z 看作可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )的距离的平方，结合可行域找到最值点，利用两点间的距离公式便能求出z 的最值.例3.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,2x -y -2≤0,x ≥1,则z =x 2+y 2的最小值为_____.解析：该目标函数为距离型，可将z 看作是可行域内任意一点P (x ,y )到原点的距离的平方，求得PO 两点间距离的最小值，便可求得z 的最小值.解：将z =x 2+y 2变形为z =（x -0）2+(y -0)2，作出如图3所示的可行域，由图可知点A 到原点的距离最小，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z min =5.可见，解答线性规划类问题的基本思路是，（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）将目标函数变形为直线型、斜率型、距离型；（3）在可行域内移动直线、点，找出最值点；（4）联立交点处的直线方程，求出最值点的坐标；（5）将点的坐标代入目标函数中求得最值.（作者单位：中国烟台赫尔曼·格迈纳尔中学）44。
线性规划问题中的不等式解法
Part Four
不等式解法的改进 和优化方法
不等式解法的改进方法
迭代法：通过不断迭代逼近最优解，提高解的精度和稳定性 梯度下降法：利用函数梯度的性质，快速找到最优解 牛顿法：利用泰勒级数展开，以二次收敛速度逼近最优解 内点法：针对约束优化问题，通过迭代逼近最优解
不等式约束的求解方法：常用的求解方法有单纯形法、梯度法、牛顿法等。
Part Two
不等式解法的原理 和步骤
不等式解法的原理
线性规划问题的定义和分类
不等式解法的概念和适用范围
不等式解法的原理和数学模型
不等式解法的步骤和算法流程
不等式解法的步骤
列出不等式
移项
合并同类项
化简不等式
不等式解法的注意事项
04 不 等 式 解 法 的 改 进 和优化方法
Part One
线性规划问题的定 义和分类
线性规划问题的定义
线性规划问题是一种数学优化问题，旨在找到一组变量的最优组合，使得某个线性目标函数 达到最大或最小值。
该问题通常被建模为一组线性不等式约束下的线性目标函数。
这些不等式表示某些变量的取值范围或限制条件。
不等式解法在解决实际问题中的应用技巧和注意 事项
确定问题类型：判 断是否适合使用不 等式解法
建立不等式模型： 根据问题实际情况， 建立不等式模型
解不等式：使用适 当的方法求解不等 式
验证解的有效性： 在实际问题中验证 解的可行性和正确 性
THANKS
汇报人：XX
线性规划问题中的不等式约束
定义：线性规划问题中的不等式约束是指在一组线性不等式约束条件下，求线性目标 函数的最大值或最小值。
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来着手也不失为一种方法 ， 这样也有益于 打破 定势 思维 ．
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≥０
引 ： 满 ｛ ≤， 例 若， 足 ６ ｙ 求
ｌ ２ ＜６ ｘ ｙ ＋ ￣
ｚ ２ ＋ ｙ的最大值 ． ＝ｘ ３
解 法二 ： 已知 令 — — ＝ １ 由 Ｙ ｓ 一 ≥０ ），
用．
余 红 丹
线 性规划 问题 在 高考中主 要是 求目
所示可知
Ｙ、 ｚ＝ －０ ｙ ／
客
ｓ。 Ｉ０ ／０・当且仅当 ｔｓ ０即 ｘ ｙ ２ ．＞ ，＞ ． ‘ Ｓ ｔ ． ＝＝ ＝ ＝
时 ＝ ０ １．
点评 ： 性规 划问题的传统做法都是 线 利用其几何意义来处理 的 ， 若从代数方面
成．
｛０ ｘ ＞
， 则卫的取值范围是（
）
Ｉ２ ≤
Ａ．Ｏ ２ Ｂ ｆ， １ ．２＋ｏ） Ｄ 【 ， ｏ （ ，） ． ２ ０ Ｃ （， ｏ ．２ ＋ｏｌ
（ 示 ： 本题 要 求 的 式 子 能 让人 较 容 易 想 提
到 直 线 的斜 率 ． 本 文 法二 所 述 引入 变量 依
２ （ 建 卷 文 １ ） 若 实 数 ｘ ｙ满 足 ．福 ０ ，
ｆ ｙ ≤Ｏ — ＋ｌ
最优解 ， 而上述处理 ， 了视 角 ， 转换 一步到 位将 融入可行域中 ， 以横坐标的定义来 诠释 ｚ 可谓简单明了 ． ， 分 析二 ： 考虑其代 数的结构 ， 若用增 元代换求解 ， 回避作 图的繁琐 ， 可 一气呵
｜ ｊ ｝ ＝ 易 知 其 几 何 意 义 为 可 行 域 内动 点
解 法 二 ： 设 ６ ２ ＋＋ 《 ＝ ｘ ｙ ｔ ｔ≥０， ）
与 原 点 连 线 的 斜 率 ． 图像 可 知 选 Ｄ１ 由
６＋＋ｓ０ ２ “ Ｙ＋ ＝２ｓ≥则＝ 手 ｓ＝ ｘｙ（ ） 一 １，２
Ａ ｌｔａ ｇ ｔ ｒ ｉ ｎ ｔｇ ｌ． ｌ ｈ ｔ ｌｔ ｓ ｓ ｏ ｏｄ 闪光 的 不 一 定 都 是金 子 。 ｉｅ
＋－ （ ）解 得 ｙ ０ ￡ ≥０ ＝羔害 ， ± ｙ ：
竺
，
分析一 ： 变换角度 ， 建立范
，
又 虑 ≤ 所 ≤ｊ 考 ０ 以 等 ０
则 ｚ ｘ ２＝ ＝＋ ｙ ≥ ＝ ２ ＋
围， 从而得到 的最值．
如图所示 ，
慧 雾瓣嚣 臻
～ ～
Ｙ ｌ
柳＝ ／ ０
ｆ≥１
一
Ａ． ７
｛ ２一 ， ｘ １ 如果目标函数ＺａＹ ≤ －一的最小 ；
【＋ ｙ≤ ｍ
值为 一 ， １ 则实数 ｍ等于 （
Ｂ． ５
）
Ｄ． ３
Ｃ． ４
（ 示 ： 题 是 一 道 逆 向 思 考 的 问题 ， 本 提 本 依
＿ 一 ≯
蒸
｝一ｓ入＝＋ ＝一 一 代 ｚ ｙ １丁 手 ２３ １ ０ 标 函数在线性 约束 条件 下的最 大值 或最
小值 ，试题通 常是 以选 择填空 题形 式出 现， 主要是通过作 可行域 取最优 解来 求解 的， 难度 中等偏易 ， 因此 复 习时应控 制好 难度 ， 本文拟 以一 道引例说 明其求解 的全 新视 角 ，并例 举其在 今年高考 题中 的应
文 法 一 所 述 建 立 ｚｙ 坐 标 系 ．作 出 可 行 ｏ
域 ，直 线 ２ ＋ｙ ＝ ｚ 一１ ０与 。 ＝ｍ 联 立 求 出 ＋
横坐标 三 ＝
＝ １可 解 出 ｍ＝ ） 一 ５
由图知 Ｚａ １ ． ｍ ￣ ０ ｘ 点评 ： 线性规划问题的一般解法都是 先作可行域 ， 再平移 目标函数 ， 后确定 最
＝
呈
解法一：由ｚ２＋ｙ ＝ ＝ｘ３ 得 华
， 则
所以 ｇｉ Ｏ ｒ － ． ｔ ｎ
变式练 习：
ｉ
｛
３ ≥ ～＞ｏ 出行 熏 可域 ６ｙ － Ｏ ｙ 作
１ （陕 西 卷 理 １ ） 已 知 实 数 ， 满 足 ． ０ Ｙ
Ｉ ＋ ￣ ＋ 毕 ２６ ｙ ｙ ＜ ２