《电路》第十一章 电路的频率响应
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第11章电路的频率响应
2013年7月5日星期五 8
串联谐振可能会在L、C上引起高电压。
所以串联谐振又称为电压谐振。 串联谐振引起的高电压在无线电等工程领 域十分有用。例如，用来选择接收信号。 但是在电力工程中，输送的电压已经很高， 发生串联谐振可能会击穿L和C的绝缘，造 成设备损坏。
2013年7月5日星期五
9
例：某收音机的输入回路如图， L=0.3mH，R=10W，为收到中央 电台560kHz信号，求调谐电容C 值；若输入电压为1.5mV，求谐 振电流和此时的电容电压。 解：由串联谐振的条件得 1 C= = 269pF 2L (2pf0) I0 = U = 1.5 =0.15mA R 10 UC = I0 1 =158.5mV ＞1.5mV w0C 电路的Q值约106。
. I R +
jwL
US -
.
+ U - + UL R .+ UC -
.
.
1 jwC
为便于在同一个尺度下比较，横坐标以w0为基值： w 即以 h = w 为坐标。 显然，电路在h =1处谐振。
这样绘制的频率响应曲线称为通用曲线。
1. 以电阻电压作为输出变量 . UR(jw) R = 网络函数 HR(jh)= . Z(jw) US(jw)
若谐振发生在并联电路， . IS + 则称为并联谐振。 . U 谐振的定义和分析过 程与串联电路相同。
串联谐振可能会在L、C上引起高电压。
所以串联谐振又称为电压谐振。 串联谐振引起的高电压在无线电等工程领 域十分有用。例如，用来选择接收信号。 但是在电力工程中，输送的电压已经很高， 发生串联谐振可能会击穿L和C的绝缘，造 成设备损坏。
2013年7月5日星期五
9
例：某收音机的输入回路如图， L=0.3mH，R=10W，为收到中央 电台560kHz信号，求调谐电容C 值；若输入电压为1.5mV，求谐 振电流和此时的电容电压。 解：由串联谐振的条件得 1 C= = 269pF 2L (2pf0) I0 = U = 1.5 =0.15mA R 10 UC = I0 1 =158.5mV ＞1.5mV w0C 电路的Q值约106。
. I R +
jwL
US -
.
+ U - + UL R .+ UC -
.
.
1 jwC
为便于在同一个尺度下比较，横坐标以w0为基值： w 即以 h = w 为坐标。 显然，电路在h =1处谐振。
这样绘制的频率响应曲线称为通用曲线。
1. 以电阻电压作为输出变量 . UR(jw) R = 网络函数 HR(jh)= . Z(jw) US(jw)
若谐振发生在并联电路， . IS + 则称为并联谐振。 . U 谐振的定义和分析过 程与串联电路相同。
第11章 电路的频率响应
_
( jw ) U ( jw ) 设定： U S S 0
(j w ) U R ( jh ) U ( jh ) ( jh ) U w0 U R C L H ( j h ) 、 、 纵坐标H(jh) ： ( j1) w ( j1) U ( j1) U U S S S US ( j ) w0
转移电流比
I2 (jw ) H (jw ) I1 (jw )
激励是电压源
激励是电流源
电 路
第11章
电路的频率响应
4.网络函数H(jw)的特点 固有特性
H(jw)与网络的结构、参数值有关、变量的类型以及端口对的 相互位置有关，与输入、输出幅值无关。
H(jw) 是一个复数 幅频特性： 模与频率的关系 | H (jw ) |~ w 相频特性：幅角与频率的关系 (jw ) ~ w 网络函数的求解
u=Umcosw0 t
U 则 i u m cos w0t I m cos w0t
R
uC 1 I m cos(w0t 90 ) w0C
LC ( I m sin w0t ) L I m cos w0t C C
电感能量
2 2 2 1 1 w L Li LI m cos w0t (磁场能量) 2 2 2 2 w C 1 CuC 1 LI m sin 2 w0t (电场能量) 2 2
电路分析PPT课件-第11章 电路的频率响应
（1）调谐电容C值； （2）若输入电压为1.5mV，求谐振电流和此时的电容电压。
解 （1）由串联谐振的条件得：
R
L
C
1 (2πf)2 L
269pF
+
U
（2）
I0
U R
1.5 10
0.15A
-
C
UC
0L
R
U
3.RLC并联电路谐振的条件
.
I
+
.
UR
.
.
IR IL
j L 1
.
IC
-
jω C
当电路发生谐振时：
R
C
O
1 1 2
LC
（2）RLC并联Fra Baidu bibliotek通滤波器
I&S
+
网络函数为
U&
R CL
H(
j)
U&2 ( j) U&1( j)
R
j L jL
－
1 1 R
j L
H( j)
幅频特性为
1
H ( j)
1
R
1 R2
(C
1 )2
L
0.707 R
ω<ω1和ω>ω2 的频段被抑制
O
1 1 2
LC
波特（Bode）图表示法
解 （1）由串联谐振的条件得：
R
L
C
1 (2πf)2 L
269pF
+
U
（2）
I0
U R
1.5 10
0.15A
-
C
UC
0L
R
U
3.RLC并联电路谐振的条件
.
I
+
.
UR
.
.
IR IL
j L 1
.
IC
-
jω C
当电路发生谐振时：
R
C
O
1 1 2
LC
（2）RLC并联Fra Baidu bibliotek通滤波器
I&S
+
网络函数为
U&
R CL
H(
j)
U&2 ( j) U&1( j)
R
j L jL
－
1 1 R
j L
H( j)
幅频特性为
1
H ( j)
1
R
1 R2
(C
1 )2
L
0.707 R
ω<ω1和ω>ω2 的频段被抑制
O
1 1 2
LC
波特（Bode）图表示法
(完整版)第十一章电路的频率响应
第十一章 电路的频率响应
11-1 网络函数
11-2 RLC 串联电路的谐振 11-3 RLC 串联电路的频率响应 11-4 RLC 并联谐振电路 11-5 波特图 11-6 滤波器简介 重点 1. 网络函数
2. 串、并联谐振的概念
11-1 网络函数
当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化。因此，分析研究电路和系统的频率特性就显得格外重要。
频率特性
电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。
1. 网络函数H (j ω)的定义
在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与网络输入之比，称为该响应的网络函数。
def
(j )(j )(j )
R H E ωωω=
2. 网络函数H(j ω)的物理意义
⑴ 驱动点函数
激励是电流源，响应是电压 策动点阻抗
激励是电压源，响应是电流
策动点导纳
⑵ 转移函数(传递函数)
激励是电压源
转移导纳
转移电压比
(j )
I ω(j U 1(U 1(j )I ω(j )(j )(j )
U H I ωωω=
(j )(j )(j )
I H U ωωω=
21(j )(j )(j )I H U ωωω=
21(j )
(j )(j )
U H U ωωω=
激励是电流源
转移阻抗
转移电流比
注意
①H(j ω)与网络的结构、参数值有关，与输入、输出变量的类型以及端口对的相互位置有关，与输入、输出幅值无关。因此网络函数是网络性质的一种体现。
②H(j ω) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分： 幅频特性 ：模与频率的关系 ()H j ωω
第11章电路原理课件
例1 某收音机的输入电路如图所示，线圈电感 L=0.3mH，电阻R=16Ω。今欲收听640kHz某电台的 广播，应将可变电容C调到多少皮法？如在谐振回路 中感应出电压 U 2V ,试求此时回路中该信号的 电流多大，并求线圈（或电台）两端的电压为多大？
+ – + –
+
e1 e2 en
f1 f2
R
Lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
+
通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变C使 电路达到谐振(调谐)。
３. 串联谐振电路特点
（1）总阻抗值最小;
UL UR
•
•
1 Z R j (L ) R C
（2） 电源电压一定时，电流最大;
U
I
•
•
U U I I0 Z R
Uc
•
（3）电路呈电阻性。
I
+
– + U UL – + U – C –
衰减地通过。
例：电路如图，
U , (1) 求电压转移函数 Au U 2 1
(2) 绘出幅频特性和相频特性曲线。
解：
1 j C U U 2 1 1 1 j C
U j (1 C ) 1 2 Au U R j (1 C ) 1 jRC 1
第十一章电路的频率响应
L U
R2
L
1 2
C
QU
1 2
Q2
1
1 2
2
Uc()
1
C
I
QU
2 Q2( 2 1)2
说明：曲线
UC
UL
1 谐振 Uc UL QU
Uc () 的峰值
1
1
2
§ 11－3 RLC串联电路的频率相应
Uc () 的峰值
dUc() d
1
0
U c max
1 1 2Q2
1 0
§ 11-4 并联电路的谐振
二、RLC并联谐振的特征
1、 导纳特征
Y ( jω)
R2
R (ωL)2
j(ωC
R2
ωL (ωL)2 )
ωω0
R2
R (ωL)2
CR L
Geq
2、 电压特征
U
Is Y ( jω)
＝ ωω0
L CR
Is
说明： Is ,U 同相
Is 固定时，谐振时U最大
§ 11-4 并联电路的谐振
(2) 如输入电压为1.5V,求谐振电流和此时的电 容电压。 解 (1) C 1 269 pF
(2π f )2 L
U 1.5 (2) I0 R 10 μA 0.15 μA
UC I0 XC 158.5 μV 1.5 μV
大学电路分析
阻抗的频率特性
Z R j(L 1 ) | Z (ω) | (ω) C
返 回 上 页 下 页
| Z (ω) | R 2 (L 1 )2 R 2 ( X L X C )2 R 2 X 2 C 幅频 ωL 1 1 ωC tg 1 X L X C tg 1 X 特性 (ω ) tg
发生 谐振
上 页
下 页
2.串联谐振的条件
Z R j(ωL 1 ) R j( X L X C ) ωC R jX
I
+
U
_
R j L 1 jC
当 X 0
ω 0 L 1 时，电路发生谐振 。 0C
谐振条件
谐振角频率
ω0
f0
1 LC
仅与电路参数有关
1 2 S
I 2 / US
U L / US
2 4 2 j6
j2 4 2 j6
2I1 (4 j ) I 2 0
2U S I2 4 (j )2 j6
转移电压比
返 回 上 页 下 页
补： 试求图(a)所示网络负载端开路时的驱动点阻抗
1 C 269 pF 2 (2 f ) L
+
R L C
u
_
U 1.5 (2) I 0 0.15μ A R 10
Z R j(L 1 ) | Z (ω) | (ω) C
返 回 上 页 下 页
| Z (ω) | R 2 (L 1 )2 R 2 ( X L X C )2 R 2 X 2 C 幅频 ωL 1 1 ωC tg 1 X L X C tg 1 X 特性 (ω ) tg
发生 谐振
上 页
下 页
2.串联谐振的条件
Z R j(ωL 1 ) R j( X L X C ) ωC R jX
I
+
U
_
R j L 1 jC
当 X 0
ω 0 L 1 时，电路发生谐振 。 0C
谐振条件
谐振角频率
ω0
f0
1 LC
仅与电路参数有关
1 2 S
I 2 / US
U L / US
2 4 2 j6
j2 4 2 j6
2I1 (4 j ) I 2 0
2U S I2 4 (j )2 j6
转移电压比
返 回 上 页 下 页
补： 试求图(a)所示网络负载端开路时的驱动点阻抗
1 C 269 pF 2 (2 f ) L
+
R L C
u
_
U 1.5 (2) I 0 0.15μ A R 10
第十一章电路的频率响应
第十一章电路的频率响应
什么是频率响应?
1 & Uo 1 jω C = = T ( jω ) = & Ui R + 1 1 + jω RC jω C = 1 1 + (ω RC )
2
& Ui
R
C
& UO
∠ − tan −1 ω R C
= T (ω )∠ϕ (ω )
其中： 其中：
幅频特性： T (ω ) --- 幅频特性：输出与输入有效值 之比与频率的关系。 之比与频率的关系。 相频特性： ϕ (ω ) -- 相频特性：输出与输入相位差 与频率的关系。 - 与频率的关系。
谐振时虚部为零,即 谐振时虚部为零 即:
R &= & I ⋅U 2 2 R + (ωL )
代入
& I
& U
2
& I RL
& IC
ω0 =
1 R − 2 LC L
总阻抗： 总阻抗：
什么性质? 什么性质
L & & 得： U = I RC
Z 0 = Z max
L = RC
并联谐振 电路总阻抗： 电路总阻抗：
I
I0
I0 2
分析： 不变， 分析： I 0 不变， 0 不变 ）、R （LC）、 不变， ）、 不变，
什么是频率响应?
1 & Uo 1 jω C = = T ( jω ) = & Ui R + 1 1 + jω RC jω C = 1 1 + (ω RC )
2
& Ui
R
C
& UO
∠ − tan −1 ω R C
= T (ω )∠ϕ (ω )
其中： 其中：
幅频特性： T (ω ) --- 幅频特性：输出与输入有效值 之比与频率的关系。 之比与频率的关系。 相频特性： ϕ (ω ) -- 相频特性：输出与输入相位差 与频率的关系。 - 与频率的关系。
谐振时虚部为零,即 谐振时虚部为零 即:
R &= & I ⋅U 2 2 R + (ωL )
代入
& I
& U
2
& I RL
& IC
ω0 =
1 R − 2 LC L
总阻抗： 总阻抗：
什么性质? 什么性质
L & & 得： U = I RC
Z 0 = Z max
L = RC
并联谐振 电路总阻抗： 电路总阻抗：
I
I0
I0 2
分析： 不变， 分析： I 0 不变， 0 不变 ）、R （LC）、 不变， ）、 不变，
电路的频率响应
一、RC低通电路
R
U R
R
C
U 1
1 jC U 2
u1
(a)
u2
(b)
设u1是输入，u2是输出，网络函数即电压增益：
1 U j C H ( j) 2 1 U 1 R j C 1 arctan(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱRC) 2 2 2 1 R C
, 90
半功率点
-100°
(b) 相频特性曲线
7
12.2 RC电路的频率响应
从的幅频、相频特性曲线可直观看出：
当输入电压的幅值不变时，频率越高，输出电压越 小，或者说低频的正弦信号比高频信号更容易通过， 因此该电路被称为RC低通电路（low pass，简写LP）。
| Hu |
线性网络
H ( j )
H(j) 是频率 的函数，理论上 的范围是 0~ 。对
激励相量
响应相量
3
12.1 网络函数
当频率变化时，一般情况下网络函数可表示为：
H ( j ) H ( j ) ( )
幅度与频率的关系称为网络函数的幅频特性 角度与频率的关系称为相频特性。
4
12.2 RC电路的频率响应
2
则：
因此：
电路中储存的能量 Q 2 一周期内电路的吸收能 的量
R
U R
R
C
U 1
1 jC U 2
u1
(a)
u2
(b)
设u1是输入，u2是输出，网络函数即电压增益：
1 U j C H ( j) 2 1 U 1 R j C 1 arctan(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱRC) 2 2 2 1 R C
, 90
半功率点
-100°
(b) 相频特性曲线
7
12.2 RC电路的频率响应
从的幅频、相频特性曲线可直观看出：
当输入电压的幅值不变时，频率越高，输出电压越 小，或者说低频的正弦信号比高频信号更容易通过， 因此该电路被称为RC低通电路（low pass，简写LP）。
| Hu |
线性网络
H ( j )
H(j) 是频率 的函数，理论上 的范围是 0~ 。对
激励相量
响应相量
3
12.1 网络函数
当频率变化时，一般情况下网络函数可表示为：
H ( j ) H ( j ) ( )
幅度与频率的关系称为网络函数的幅频特性 角度与频率的关系称为相频特性。
4
12.2 RC电路的频率响应
2
则：
因此：
电路中储存的能量 Q 2 一周期内电路的吸收能 的量
第十一章 电路的频率响应
O
0
X L 0 L
1 L L LC C
特性阻抗
1 1 L XC 0C C / LC C
L C
ω0 L 1 1 L 品质因数 Q R R ω0 RC R C
I( ) 3、电流I达到最大值I0=U/R (U一定)。 O
无量纲
0
G jB
ω0 L ω0 C 2 0 2 R (ω0 L)
ω0
1 ( R )2 LC L
L 时, 可以发生谐振 C
1 R 2 当 ( ) , 即 R LC L
4、电阻上的电压等于电源电压， LC上串联总电压为零，即
I
+
R + UR _ + UL _ + UC_
UR U , UL UC 0
U
j L
1 jω C
_
UL
U UR I R
UR
I
UC
谐振时的相量图
jω0 L UL0 jω0 L I R I 0 jQ U R I 1 U C0 j R I 0 jQ U j0C 0CR
邱关源《电路》第五版 第十一章 电路的频率响应
u L 40 2 cos(5000 t 90 0 )V
uC 40 2 cos(5000 t 90 0 )V
1 . UC j I 40 90 0 V 0 C
§11-3 RLC串联电路的频率响应
1. 频率响应(Frequency Response) 电路中电流、电压、阻抗（或导纳）的模和
I
R
UR
j L
UL UC
1 j C
UL
U
UR
UC U L UC 0
I
Q值—品质因数(quality factor)
Q
0 L
R
1 L 1 0CR R C
Z 0
§11-2 RLC串联电路的谐振
UL
U
电感上电压与电容上电压大小
谐振时电感与电容之间进行着能量交换，与电 源之间无能量交换。
§11-2 RLC串联电路的谐振
WL、WC
1 2 WL Li 2 1 2 WC CuC 2
W ( 0 ) WL WC
1 1 2 2 CUCm CQ 2U m 2 2
设 i I m sin t
uC U Cm sin( t 90 )
§11-1 网络函数
3. 举例 求下图所示电路的驱动点阻抗 . 和转移阻抗
U2
.
uC 40 2 cos(5000 t 90 0 )V
1 . UC j I 40 90 0 V 0 C
§11-3 RLC串联电路的频率响应
1. 频率响应(Frequency Response) 电路中电流、电压、阻抗（或导纳）的模和
I
R
UR
j L
UL UC
1 j C
UL
U
UR
UC U L UC 0
I
Q值—品质因数(quality factor)
Q
0 L
R
1 L 1 0CR R C
Z 0
§11-2 RLC串联电路的谐振
UL
U
电感上电压与电容上电压大小
谐振时电感与电容之间进行着能量交换，与电 源之间无能量交换。
§11-2 RLC串联电路的谐振
WL、WC
1 2 WL Li 2 1 2 WC CuC 2
W ( 0 ) WL WC
1 1 2 2 CUCm CQ 2U m 2 2
设 i I m sin t
uC U Cm sin( t 90 )
§11-1 网络函数
3. 举例 求下图所示电路的驱动点阻抗 . 和转移阻抗
U2
.
电路分析基础第11章 电路的频率响应
八、功率
谐振时，电路的无功功率为零， 谐振时，电路的无功功率为零，这时由于阻抗 角为零， 角为零，所以电路的功率因数 1 P(ω 0 ) = UIλ = UI = U m I m λ = cos ϕ = 1 2 1 2 2 QC (ω 0 ) = − I Q L (ω 0 ) = ω 0 LI ω 0C 整个电路的复功率 S = P + j (QL + QC ) = P QL (ω 0 ) + QC (ω 0 ) = 0 谐振时电路不从外部吸收无功功率 分别不等于零 不等于零,进行内部电场能量 但 QL (ω 0 ), QC (ω 0 ) 分别不等于零 进行内部电场能量 和磁场能量的交换。 和磁场能量的交换。
e1 e2 e3
C
问题：如果要收听
节目， 应配多大？ e1 节目，C 应配多大？
RL2 = 20Ω f 1 = 820 kHz 1 C e1 解：f 1 = 2π L 2 C e2 1 C = 2 e3 (2 π f ) L 2 1 C= = 150 pF 2 2π × 820 × 10 3 ⋅ 250 × 10 − 6
串联谐振应用举例
收音机接收电路
L1
C
L1 :
接收天线
L2 与 C ：组成谐振电路
L 2 L3
L3 : 将选择的信号送
接收电路
L1
C
《电路》课程的重点和难点
《电路》课程的重点和难点
第一章电路模型和电路定律
本章重点
1. 理解电流和电压的参考方向。
2. 熟练掌握和应用电阻元件、独立电源（电压源和电流源）和受控电源的电压和电流的关系。
3. 掌握和熟练运用基尔霍夫定律分析和计算电路。
本章难点
1. 正确认识电压、电流的实际方向与参考方向的联系和差别以及根据电压、电流的参考方向正确判断元件是吸收功率还是发出功率。
2. 正确理解独立电源与受控电源的联系和差别。
3. 掌握和熟练运用基尔霍夫定律分析和计算电路。
第二章电阻电路的等效变换
本章重点
1. 深刻理解等效变换的概念和熟练运用等效变换的方法化简电路。
2. 熟练判别电阻的串联、并联和串并联并能运用电阻网络等效变换的方法化简电路。
3. 应用实际电源两种模型的等效变换方法来化简电路。
4. 理解输入电阻和等效电阻的关系，熟练掌握求解输入电阻的方法。
本章难点
1. 正确认识等效变换的条件和等效变换的目的。
2. 判别电路中电阻的串并联关系是进行电阻网络等效变换的难点。
3. 受控电压源、电阻的串联组合和受控电流源、电阻（电导）的并联组合之间的等效变换是电源等效变换中的难点。
4. 求解含受控源的一端口电阻网络输入电阻。
第三章电阻电路的一般分析
本章重点
1. 采用一般分析法求解电路，必须确定一个具有个n个结点和b条支路的电路的KVL和KCL独立方程的数目。
2. 根据网孔电流法的步骤简便正确地列写电路的网孔电流方程。
3. 根据结点电压法的步骤简便、正确地列写电路的结点电压方程。
本章难点
1. .列写含无伴独立电流源和无伴受控电流源电路的网孔电流方程。
电路原理第11章4-6节
R
+
•
+
•
UR
_
+
•
U_L
H (j )
UR (j ) US (j )
R
R
j(L
1
Us
_ )
•+ UC_
为比较不同谐振回路，令 C
j L
1
jC
US( ω
j
) ω
US( η
j
0
)
（有效值不变， 角频率变化）
ω0
2
H R (j )
UR (j ) US (j )
R
R
j(L
1
)
1
1
jQ(
1
)
(j ) - arctan[ Q( 1 )]
复习
1.
网络函数H（jω）
H
(
j
)
def
R( E(
j ) j )
2.谐振的定义
3.串联谐振的条件
ω
0
L
1
0C
4.RLC串联电路谐振时的特点
1
11-3 RLC串联电路的频率响应
研究物理量与频率关系的图形（谐振曲线）可
以加深对谐振现象的认识。
H (j ) UR (j ) US (j )
的频率响应
•
I
-
第11章 频率响应 多频正弦稳态电路
推导幅频特性 相频特性
28
Uo R jCR H j Ui R 1 1 jCR j C
幅频特性
H ( j )
CR
1 RC
2
H
1
1 2
相频特性
1
1 c RC
（） 90 tg RC
Z 与频率的关系称为输入阻抗的相频特性。
2、Y(j)=G() +jB() B() > 0 B() < 0 容性 感性
12
一. 无源单口网络阻抗的 性质 ·
U U Z = ·= u – i I I = |Z|Z
· I
N0
+ · U
–
阻抗模 |Z| 可以确定无源单口网络端口上电压有效值与电流有 效wk.baidu.com的比值关系；由阻抗辐角 Z 可以确定端口上电压与电流的相 位关系。
0˚ < Y < 90˚ 电容性
0˚ > Y > –90˚
电感性
输入导纳 Y (j) 可看作激励电压10˚V所产生的电流响应。 18
11.3 正弦稳态网络函数 1、网络函数
在电路分析中, 电路的频率特性通常用正弦稳态电路的 网络函数来描述。 在单一激励的情况下，网络函数定义为：
响应相量 H ( j ) 激励相量
H
28
Uo R jCR H j Ui R 1 1 jCR j C
幅频特性
H ( j )
CR
1 RC
2
H
1
1 2
相频特性
1
1 c RC
（） 90 tg RC
Z 与频率的关系称为输入阻抗的相频特性。
2、Y(j)=G() +jB() B() > 0 B() < 0 容性 感性
12
一. 无源单口网络阻抗的 性质 ·
U U Z = ·= u – i I I = |Z|Z
· I
N0
+ · U
–
阻抗模 |Z| 可以确定无源单口网络端口上电压有效值与电流有 效wk.baidu.com的比值关系；由阻抗辐角 Z 可以确定端口上电压与电流的相 位关系。
0˚ < Y < 90˚ 电容性
0˚ > Y > –90˚
电感性
输入导纳 Y (j) 可看作激励电压10˚V所产生的电流响应。 18
11.3 正弦稳态网络函数 1、网络函数
在电路分析中, 电路的频率特性通常用正弦稳态电路的 网络函数来描述。 在单一激励的情况下，网络函数定义为：
响应相量 H ( j ) 激励相量
H
高等院校电工学第十一章《RLC串联电路的频率响应与RLC并联谐振电路》
八、电感线圈和电容并联的谐振电路
IS
+R
I1
I2
1
U
_
jC
谐振时，有 Im[Y ( j0 )] 0
Y ( j0 )
j0C
R
1
j 0 L
jL
j0C
R2
R
(0L)2
j
R2
0L (0L)2
故有
0C
R2
0L (0L)2
0
由上式可解得
0
但从L、C两端看进去的等效电纳等于零，即阻抗为
无限大，相当于开路。
七、功率和能量
谐振时无功功率
QL
1 U2
0L
QC பைடு நூலகம் 0CU 2
所以
QL QC 0
表明在谐振时，电感的磁场能量与电容的电场能 量彼此相互交换，两种能量的总和为
W
(0
)
WL
(0
)
WC
(0
)
LQ
2
I
2 S
= 常数
11-3 RLC串联电路的频率响应
为了突出电路的频率特性，常分析输出量与输入量之比的频 率特性。
U R () /U、U L () /U、UC () /U
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三、利用网络函数计算输出电压电流
网络函数H(j)是输出相量与输入相量之比，H(j)反 映输出正弦波振幅及相位与输入正弦波振幅及相位间的关
系。在已知网络函数的条件下，给定任一频率的输入正弦
波，即可直接求得输出正弦波。例如已知某电路的转移电 压比
U2 H ( j ) | H ( j ) | ( ) U1
f 1 : 下限截止频率
f 2 : 上限截止频率
通频带宽度越小(Q值越大)， 0 选择性越好，抗干扰能力 越强。
f
谐振曲线分析 1) 串联电路的阻抗频率特性 阻抗随频率变化的关系。
X L 2 f L
1 XC 2fc
XC
Z R j( X L XC )
Z R L 1
§11－3 RLC串联电路的频率响应
图所示电路的转移电压比为
U2 H ( j ) U1 1 1 1 L R j L 1 j C R RC R
U2 H ( j ) U1
1 1 1 L R j L 1 j C R RC
大小相等、相 位相差180
U L I0 X L UC I0 X C
当 X L X C R时：
有： L UC U R U U
UC 、UL将大于 电源电压U
由于 U L UC U 可能会击穿线圈或电容的 绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐 振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到 选择信号的作用。 令：
u2 (t ) | H (j) | U1m cos[t 1 ()]
对于其它网络函数，也可得到类似的结果。
当电路的输入是一个非正弦波形时，可以利
用网络函数计算每个谐波分量的瞬时值，再用叠
加方法求得输出电压或电流的波形。
实际电路的网络函数，可以用实验方法求得。将正弦
波信号发生器接到被测网络的输入端，用一台双踪示波器 同时观测输出和输入正弦波。从输出和输入波形幅度之比 可求得求得转移电压比的|H(j)|。从输出和输入波形的相 位差可求得()。改变信号发生器的频率，求得各种频率 下的网络函数H(j)，就知道该网络的频率特性。
为求转移阻抗 U 2 / I1 ，
可外加电流源
2
I 1 ，用分流公
式先求出 U 的表达式
jR 2C U2 R I1 1 1 j2RC 2R jC
然后求得
RI1
U2 jR 2C I1 1 j2RC
注意到网络函数式中，频率ω是作为一个变量出现在函数 式中的。
其中
U2 H ( j ) U1
( ) 2 1
表明输出电压u2(t)的幅度为输入电压u1(t)幅度的|H(j)|倍， 即
U 2 | H ( j ) | U1
表明输出电压u2(t)的相位比输入电压u1(t)的相位超前()，
即
2 1 ( )
若已知u1(t)=U1mcos(t+1)，则由u1(t)引起的响应为
f0 f f Biblioteka Baidu f Q
这说明带宽与品质因数Q成反比，Q越大，越小， 通带越窄，曲线越尖锐，对信号的选择性越好。
通频带： 当电流下降到0.707Io时所对应的上下限频率之 差，称通频带。即： △ƒ= ƒ2－ƒ1
f 0 : 谐振频率
I
I0
0.707I 0
Q大
Q小
f
f1 f 0 f 2
电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电
容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功率 全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。
图串联电路谐振时的能量交换
电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减 小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部 被电容吸收，并转换为电场能量，如图 (a)所示。当电流增
2) 电流最大
电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，即电源与电 路之间不发生能量互换。 4) 电压关系 电阻电压：UR = Io R = U
U 当电源电压一定时：I I 0 R 3) U、I 同相 X L XC arctan 0 R
电容、电感电压： L U C U
2
C
2
XL
0 Z
0 Z R
0 Z
电感和电容吸收的功率分别为：
pL ( t ) QUSm I m cos( 0 t ) cos( 0 t 90 ) QUS I sin( 2 0 t ) pC ( t ) pL ( t ) QUS I sin( 2 0 t )
由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路)，任何时刻进入
（2）谐振频率 或： 2 f 0 L
1 2 f 0 C
或
可得谐振频率为：
0
1 LC
1 f0 2 LC
电路发生谐振的方法：
1)电源频率 f 一定，调参数L、C 使 fo= f； 2)电路参数LC 一定，调电源频率 f，使 f = fo （3）串联谐振特怔 1) 阻抗最小 Z R 2 ( X L X C )2 R
R
代入 Q
ω 0L 1 , 将上式改为 R Rω 0C U2 1 H ( jω) U1 ω ω0 1 jQ ω0 ω
| H ( jω) | 1 ω0 2 ω 1 Q ω0 ω
2
其
ω ω0 (j ) arctanQ ω0 ω
2 2
若输入和输出属于不同端口时，称为转移函数。
U 2 / I1 和 U1 / I 2 称为转移阻抗。
I 2 / U1 和 I1 / U 2 称为转移导纳。 U 2 / U1 和 U1 / U 2 称为转移电压比。
I 2 / I1 和 I1 / I 2 称为转移电流比。
谐振的概念： 在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和 总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电 源之间不再有能量的双向交换，电路呈电阻性。 串联谐振：L 与 C 串联时 u、i 同相 并联谐振：L 与 C 并联时 u、i 同相
研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利 用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等 许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危 害。
11-2 串联谐振电路
（1） 谐振条件
I 由定义，谐振时：U 、 同相
i
+
R
+
即
X L XC arctan 0 R
uR _
+
谐振条件：
X L XC
谐振时的角频率
u
_
L C
uL _
+
1 或： o L oC
（2） 谐振频率
uC
_
1 根据谐振条件：ωo L ωo C
求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。
(2)电路谐振时, UL和UC为何值。
解：(l)电压源的角频率应为
1 1 0 rad/s 106 rad/s LC 10 4 10 8 (2)电路的品质因数为
Q
则
0 L
R
100
U L U C QUS 100 10V 1000V
例试求图 (a)所示网络负载端开路时的驱动点阻抗
U 1 / I1 和转移阻抗 U 2 / I1 。
解：首先画出网络的相量模型，如图 (b)所示。用阻抗 串并联公式求得驱动点阻抗
1 R R jC 1 R 2 2C 2 j3RC U1 1 1 I1 jC jC 2 R 2C 2 2R jC
0 Q 1 0
| H ( jω) |
1 ω0 2 ω 1 Q ω0 ω
2
由此式可见，当=0或=时，|H(j)|=0；
1 时，电路发生谐振，|H(j)|=1达到 LC 最大值，说明该电路具有带通滤波特性。为求出通频带的
电路的频率响应
• RLC串联电路的谐振和频率响应 • RLC并联电路的谐振和频率响应
§11－1 网络函数
一、网络函数的定义和分类
动态电路在频率为ω的单一正弦激励下，正弦稳态响 应(输出)相量与激励(输入)相量之比，称为正弦稳态的网络 函数，记为H(jω)，即
输出相量 H ( j ) 输入相量
如Q=100,U=220V,则在谐振时
U L I0 X L
0 L
U QU
UL
相量图：
UR U
I
所以电力系统应避免发生串联谐振。
U L UC QU 22000V
UC
3.谐振时的功率和能量
设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：
U Sm i ( t ) I m cos( 0 t ) cos( 0 t ) R uL ( t ) QUSm cos( 0 t 90 ) uC ( t ) uL ( t ) QUSm cos( 0 t 90 )
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中 的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
1 1 2 1 US 1 2 2 W WL WC CU C LI L L = CQ 2 US 2 2 2 R 2
2
例 电路如图所示。已知 uS (t ) 10 2 cosωt V
二、网络函数的计算方法
输出相量 H ( j ) 输入相量
正弦稳态电路的网络函数是以ω为变量的两个多项式 之比，它取决于网络的结构和参数，与输入的量值无关。 在已知网络相量模型的条件下，计算网络函数的基本 方法是外加电源法：在输入端外加一个电压源或电流源， 用正弦稳态分析的任一种方法求输出相量的表达式，然后 将输出相量与输入相量相比，求得相应的网络函数。对于 二端元件组成的阻抗串并联网络，也可用阻抗串并联公式 计算驱动点阻抗和导纳，用分压、分流公式计算转移函数。
当 ω ω 0
1 宽度，先计算与 | H ( jω ) | (即-3dB)对应的频率+和 2 －，为此令
0 Q 1 0
求解得到
1 1 1 2 0 4Q 2Q
由此求得3dB带宽
0 Q
或
U L UC 0 L 1 Q U U R 0 RC
Q品质因数，表征串联谐振电路的谐振质量
有：U L U C QU
所以串联谐振又称为电压谐振。 与 谐振时: U L U 相互抵消，但其本
C
身不为零，而是电源电压的Q倍。
R 1 UC I0 X C U QU 0CR
| H ( jω) |
1 ω0 2 ω 1 Q ω0 ω
2
由此式可见，当=0或=时，|H(j)|=0；
1 时，电路发生谐振，|H(j)|=1达到 LC 最大值，说明该电路具有带通滤波特性。为求出通频带的
当 ω ω 0
1 宽度，先计算与 | H ( jω ) | (即-3dB)对应的频率+和 2 －，为此令
加时，电容电压减小，电容中电场能量WC=0.5Cu2减小，所
放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量，如图(b)
所示。
能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电 流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起的
等幅振荡相同.其振荡角频率 ω 0
参数L和C来确定。
1 LC
，完全由电路
输入(激励)是独立电压源或独立电流源，输出(响应)是 感兴趣的某个电压或电流。
若输入和输出属于同一端口， 称为驱动点函数，或策动点函数。 以图示双口网络为例
U 1 / I1 和 U 2 / I 2 称为驱动点阻抗。 I / U 和 I / U 称为驱动点导纳。
1 1