高二数学面授讲义(04

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高二数学第04讲

第四讲导数（四）1.2.3. 4. 5.6. 一、求导公式7. （口答）已知函数，则=________8. （口答）已知函数，则=________9. （口答）已知函数，则=________10. （口答）已知函数，则=________11. 已知函数，则=_____________12. 已知函数，则=_________________()x x e e ¢=()ln x x a a a ¢=1(ln )x x¢=1(log )log a a x e x ¢=()uv u v uv ¢¢¢=+2()u u v uv v v¢¢-¢=()x f x e =()f x ¢()2x f x =()f x ¢()ln f x x =()f x ¢2()log f x x =()f x ¢()x f x xe =()f x ¢()xe f x x=()f x ¢二、单调性、极值、最值13. 求函数的单调性。

14. 求函数最小值。

15. 求函数的极值。

16. 设函数，且是的极值点．求实数的值，并求函数的单调区间。

1()ln f x x x=+()xe f x x=(0)x >21)(x x x f -=32()3f x ax x =-2x =()f x a17. 已知函数，若是函数的极值点，求的值。

18. 在R 上单调递增，求实数的取值范围。

三、切线19. 求过原点且与函数图象相切的直线方程。

2()()ln f x x a x =-x e =()f x a 2()1xe f x ax=+a ()x f x e =20. 在曲线上找一点（），过此点作一切线，与x 轴、y 轴构成一个三角形，问：为何值时，此三角形面积最小？21. 曲线与的交点处的切线夹角是_________四、不等式22. 对于一切正数恒有成立，求实数的取值范围。

2024年新高二数学提升精品讲义直线的点斜式方程(思维导图+2知识点+4考点+过关检测)(解析版)

2024年新高二数学提升精品讲义直线的点斜式方程（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.知识点1直线的点斜式方程1、点斜式方程的推导如图，直线l 经过点()000,P x y ，且斜率为k ．设(),P x y 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得0y y k x x -=-，即00()y y k x x -=-．2、直线的点斜式方程方程()00-=-y y k x x 由直线上一个定点()00,x y 及该直线的斜率k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．【注意】对直线点斜式方程的理解（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点()00,x y 和直线的斜率k ．（2）当k 任意实数时，方程()00-=-y y k x x 表示恒过定点()00,x y 的无数条直线．3、两种特殊的直线：倾斜角图象特征斜率直线方程0°tan 00= ，即0k =00y y -=，即0y y =90°tan 90 无意义，即k 不存在00x x -=，即0x x =4、求直线点斜式方程的一般步骤：（1）求直线点斜式的步骤为：定点()00,→P x y 定斜率→k 写出方程()00-=-y y k x x （2）点斜式方程()00-=-y y k x x 可表示过点()00,P x y 的所有直线，但0=x x 除外．知识点2直线的斜截式方程1、斜截式方程的推导如图，如果斜率为k 的直线l ()00,P b ，这时0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得()0y b k x -=-，即=+y kx b ．2、直线的斜截式方程我们把直线l 与y 轴的交点为()0,b 的纵坐标叫做直线l 在y 轴上的截距．这样，方程=+y kx b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距确定，我们把方程=+y kx b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在．3、斜截式的几种特例0=b =y kx 表示过原点的直线0=k ，0≠b =y b 表示与x 轴平行的直线0=k ，0=b 0=y 表示x 轴考点一：直线的点斜式方程例1．（23-24高二上·江苏苏州·月考）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（）A ．()52y x -=--B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()25y x +=--【答案】B【解析】将()5,2P ，斜率为1-带入直线方程点斜式()00y y k x x -=-，得()25y x -=--.故选：B.【变式1-1】（23-24高二下·河南周口·月考）过点()1,2M 且倾斜角为45︒的直线方程为（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．3y x =-+D ．=1y x --【答案】B【解析】过点()1,2M ，且倾斜角为45︒的直线斜率为1，则21y x -=-，即1y x =+．故选：B ．【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）方程y ＝k (x －1)(k ∈R)表示()A ．过点(－1,0)的一切直线B ．过点(1,0)的一切直线C ．过点(1,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(1,0)且除x 轴外的一切直线【答案】C【解析】直线的点斜式方程y ＝k (x －1)表示经过点(1,0)且斜率为k 的直线,显然不垂直于x 轴,故选:C .【变式1-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点为()2,4A ，()1,2B -，()2,3C -，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程.【答案】(1)5310x y ++=；(2)35140x y -+=.【解析】（1）由()1,2B -，()2,3C -，得直线BC 的斜率为()235123BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为52(1)3y x +=--，即5310x y ++=.（2）由（1）知，直线BC 的斜率为53BC k =-，而AD BC ⊥，则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为35AD k =，所以直线AD 的方程为()3425y x -=-，即35140x y -+=.考点二：直线的斜截式方程例2.（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线61y x =-在y 轴上的截距b 是（）A ．1b =-B ．1b =C ．6b =D ．6b =-【答案】A【解析】由已知61y x =-，令0x =，得1y =-，所以直线在y 轴上的截距为1b =-，故选：A.【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）倾斜角为45︒且在y 轴上的截距是2-的直线方程是（）A ．2y x =+B ．2y x =-C ．2y x =D ．2y x =【答案】B【解析】倾斜角为45︒，∴直线的斜率为1，在y 轴上的截距是2-，∴直线方程2y x =-.故选：B.【变式2-2】（23-24高二上·上海奉贤·月考）过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的斜截式方程是.【答案】142y x =+【解析】因为直线l 与直线210x y ++=垂直，所以()21l k ⨯-=-，解得12l k =，所以直线l 的方程为()1322y x -=+，化简可得142y x =+.故答案为：142y x =+【变式2-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150︒，在y 轴上的截距是2-.【答案】(1)25y x =+；(2)2y x =-.【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为25y x =+.（2）因为直线的倾斜角150α=︒，则该直线的斜率tan1503k =︒=.所以该直线的斜截式方程为2y x =-.考点三：直线的图象特征问题例3.（23-24高二上·全国·课后作业）直线35y x =-+不经过的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】画出直线方程得：故直线不过第三象限，故选：C【变式3-1】（23-24高二上·河北高碑店·月考）直线1y ax a=-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由直线1y ax a =-，得：0a ≠，直线的斜率k a =，直线在y 轴上的截距为1a-，当0a >时，10a-<，则直线经过第一象限和第三象限，且与y 轴相交于x 轴下方；当a<0时，10a->，则直线经过第二象限和第四象限，且与y 轴相交于x 轴上方；只有B 选项的图象符合题意，故选：B.【变式3-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）（多选）同一坐标系中，直线1:l y ax b =+与2:l y bx a =-大致位置正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】因为1:l y ax b =+，2:l y bx a =-，对于A ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故A 错误；对于B ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b <，在y 轴上的截距0a -<，即0a >，符合题意，故B 正确；对于C ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，符合题意，故C 正确．对于D ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故D 错误.故选：BC.【变式3-3】（23-24高二上·重庆·月考）一次函数2:l y kx b =+与1:(,l y kbx k b =为常数，且0)kb ≠，它们在同一坐标系内的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于选项A 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb ><<∴A 错；对于选项B 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb <><，∴B 错；对于选项C 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb <><∴C 对；对于选项D 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb >>>∴D 错．故选：C ．考点四：点斜式与斜截式的应用例4.（23-24高二上·甘肃兰州·期中）直线l 的方程为35ay ax -=+.(1)证明：直线l 恒经过第一象限；(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)3a <【解析】（1）313555-=+=-⎛⎫ ⎪⎝⎭+a y ax a x ，即直线一定过定点13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，于是直线l 一定经过第一象限.（2）由于直线经过第一象限的定点13,55⎛⎫⎪⎝⎭，只要该直线在y 轴上的截距大于0即可，而35a y ax -=+经过y 轴上的点30,5a -⎛⎫⎪⎝⎭，则305a ->，解得3a <【变式4-1】（23-24高二上·广东湛江·月考）当a 为何值时，直线1l ：2y x a =-+与直线2l ：()222y a x =-+.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)1a =-；(2)3a =±【解析】（1）要使12//l l ，则需满足221122a a a ⎧-=-⇒=-⎨≠⎩.故当1a =-时，直线1l 与直线2l 平行.（2）要使12l l ⊥，则需满足()()2211a -⨯-=-，∴3a =.故当3a =±时，直线1l 与直线2l 垂直.【变式4-2】（23-24高二上·福建·期中）已知直线1l 的方程为y ＝－2x ＋3.(1)若直线2l 与1l 平行，且过点(1,3)-，求直线2l 的方程；(2)若直线2l 与1l 垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程．【答案】(1)21y x =-+；(2)122y x =+或122y x =-【解析】（1）由直线2l 与1l 平行，可设2l 的方程为2y x b =-+，将1,3x y =-=代入，得3(2)(1)b =-⨯-+，即得1b =，所以直线2l 的方程为21y x =-+（2）由直线2l 与1l 垂直，可设2l 的方程为12y x m =+，令0y =，得2x m =-，令0x =，得y m =，故三角形面积1|2|||42S m m =-⋅=，所以24m =，解得2m =±，所以直线2l 的方程是122y x =+或122y x =-【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知在平面直角坐标系中的两点()()8,6,2,2A B -．(1)求线段AB 的中垂线的方程；(2)求以向量AB为方向向量且过点()2,3P -的直线l 的方程．【答案】(1)32344y x =-；(2)4133y x =--【解析】（1）易知线段AB 的中点的坐标为()5,2-，其斜率624823AB k --==--，所以线段AB 的中垂线的斜率为34，由直线的点斜式方程可得线段AB 的中垂线的方程为()()3254y x --=-，即32344y x =-.（2）由已知得()6,8AB =- ，则直线l 的斜率为43-，又过点()2,3P -，由直线的点斜式方程得直线l 的方程为()()4323y x --=--，即4133y x =--.一、单选题1．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线方程为（）A ．1y =-B ．2x =C ．2y =D ．=1x -【答案】B【解析】过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线垂直于x 轴，其方程为2x =.故选：B2．（23-24高二上·广西梧州·期中）直线43y x =+的倾斜角是（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【答案】A【解析】直线4y x =+的斜率k =30α=︒.故选：A 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）直线l 的方向向量()2,3a =，且过点()1,1，则直线l 的方程为（）A ．2350x y +-=B ．3250x y +-=C ．2310x y -+=D ．3210x y --=【答案】D【解析】由直线l 的方向向量可得直线l 的斜率为32，所以直线l 的方程为31(1)2y x -=-，即3210x y --=．故选：D.4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点(1,2)-且与直线2y x =+垂直的直线方程为（）A ．2(1)3y x -=+B ．21)y x -+C ．21)y x -=+D ．21)y x -=+【答案】D【解析】直线23y x =+由垂直关系可得垂线的斜率为，又垂线过点(1,2)-，∴垂线方程为21)y x -=+故选：D5．（23-24高二上·江苏连云港·期初考）直线()()10y k x k =+>可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为0k >，所以A C 错；当=1x -时，0y =，故B 对；故选：B6．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对B ，2l 斜率为正，在y 轴上的截距也为正，故不可能有1l 斜率为负的情况.故B 错.当,0a b >时，1l 和2l 斜率均为正，且截距均为正.仅D 选项满足.故选：D二、多选题7．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线123:52,:0.21,:51l y x l y x l y x =+=-+=-，则（）A ．1l 2l B ．12l l ⊥C ．13l l ⊥D ．1l 3l 【答案】BD【解析】设123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，结合题意易得：1235,0.2,5k k k ==-=，因为()1250.21,k k ⋅=⨯-=-，所以12,l l ⊥因为135,k k ==且21≠-，所以1l 3l .故选：BD.8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线l ：8y x =-，则下列结论正确的是（）A ．点()2,6在直线l 上B ．直线l 的一个方向向量为()1,1u = C ．直线l 在y 轴上的截距为8D ．直线l 的倾斜角为π4【答案】BD【解析】对于A 选项，把2x =代入到8y x =-得y =-6，所以点()2,6不在直线l 上，A 错误；对于B 选项，因为直线l ：8y x =-，即为：80x y --=，直线的斜率为1，所以()1,1u = 为直线的一个方向向量，B 正确；对于C 选项，当0x =时，8y =-，所以直线l 在y 轴上的截距为8-，C 错误；对于D 选项，因为直线的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4，D 正确.故选：BD 三、填空题9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l 的斜率为1-，且过点(2,5)-，则直线l 在y 轴上的截距是.【答案】3-【解析】由点斜式方程得()52y x +=--，转化为斜截式方程可得3y x =--，所以该直线在y 轴上的截距为3-.故答案为：3-.10．（23-24高二上·吉林·月考）已知直线1l 的倾斜角比直线2l ：4y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为.【答案】100︒【解析】由题意得直线2l ：4y =+的斜率为直线的倾斜角范围为大于等于0︒小于180︒，故2l 的倾斜角为120︒，所以直线1l 的倾斜角为100︒，故答案为：100︒11．（23-24高二上·重庆开州·月考）直线l 过点()0,1P ，且斜率是倾斜角为π6的直线斜率的二倍，则直线l 的方程为【答案】330y -+=【解析】倾斜角为π6的直线的斜率1πtan 6k ==l 的斜率k =，由点斜式方程可得)10y x -=-，整理可得：330y -+=.故答案为：330y -+=.四、解答题12．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是3-；(2)直线倾斜角是60︒，在y 轴上的截距是5；(3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-.【答案】(1)33y x =-；(2)5y =+；(3)122y x =-【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为33y x =-.（2）因为直线斜率为tan 60k =︒=，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：5y =+.（3）因为直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-，所以直线过点()4,0，()0,2-，根据两点可求直线斜率201042k --==-，所以直线的斜截式方程为122y x =-.13．（22-23高二上·湖北武汉·期末）ABC 的三个顶点分别是()30A -,，()2,1B ，()2,3C -.(1)求BC 边的垂直平分线DE 所在直线方程；(2)求ABC 内BC 边上中线AD 方程.【答案】(1)220x y -+=；(2)()236030x y x -+=-<<【解析】（1）由()2,1B ，()2,3C -可得线段BC 的中点为()0,2，()131222BC k -==---，因为DE 是BC 边的垂直平分线，所以2DE k =，则DE 所在直线方程：22y x -=即220x y -+=（2）由（1）可得线段BC 的中点为()0,2，故BC 边上中线AD 方程为132x y +=-即2360x y -+=，所以ABC 内BC 边上中线AD 方程：()236030x y x -+=-<<。

人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-4数学归纳法课件

反思领悟 “归纳—猜想—证明”的一般步骤
【教用·备选题】 (源自北师大版教材)用数学归纳法证明：x2n－ y2n能被x＋y整除(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)．故x2－y2能被x＋y整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除．那么，当n＝k＋1时，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k.*
探究建构
探究1 数学归纳法的理解探究问题1 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ [提示] 不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．
探究问题2 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？
(1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式成立，即Sk＞kx，则Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k. ①当x＞0时，因为k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以 x(1＋x)k＞x. ②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0.又因为k＞1，所以(1＋x)k ＜1＋x，可得x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x.
√
②
(1)D (2)② [(1)显然当n＝1时，21＞12，而当n＝2时，22＝22，A 错误；当n＝3时，23＜32，B错误；当n＝4时，24＝42，C错误；当n＝5时，25＞52，符合要求，D正确． (2)本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．]

高二数学寒假基础班第4讲

1 第4讲导数的运算【考纲要求】1. 掌握常用函数、基本初等函数的导数公式；掌握的导数的运算法则。

2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

【教学重难点】重点：常见函数、基本初等函数的导数公式及运算法则难点：常见函数、基本初等函数的导数公式及运算法则【自主学习】§3.2.1几个常用函数导数复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态.试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.2 （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？※ 典型例题例1 求函数1()y f x x==的导数变式：求函数2()y f x x ==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1y x=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.练2. 求函数()y f x x ==的导数当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.()0f x =的导数是（）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是3 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为，在4t =时的速度为 .§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则复习1：常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；()ln (0)x x a a a a '=>；()x x e e '=； 1()(0,ln log a x a x a'=>且1)a ≠；1(ln )x x '=.复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y x = （3）21y x =（4）431y x=※ 学习探究探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'=试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.※ 典型例题例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？4 例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%；（2）98%.练1. 求下列函数的导数：（1）2log y x =；（2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-；（4）3cos 4sin y x x =-.练2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n x y x e =；（3）31sin x y x-=当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数1y x x=+的导数是（） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（）A ．cos 2cos x x -B ．cos 2sin x x +C ．cos 2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x=的导数是（） A ．2sin x x- B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x+- 4. 函数2()1382f x x x =-+，且0()4f x '=，则0x =5.曲线sin x y x=在点(,0)M π处的切线方程为: §3.2.2 复合函数求导探究任务一：复合函数的求导法则问题：求(sin 2)x '=?5 解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos2x x '= 这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''= ，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。

高二上学期数学讲义第四讲

高二上学期数学讲义第四讲
授课时间：2015年11月1日
授课时段：8:00—10:00
科目：线面垂直面面垂直
课时：2课时
学生：
授课老师：
教学过程（内容）
备注
1．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()．
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
2.下面命题中正确的是()．
①若一个平面内有两条直线与另一个面平行，则这两个平面平行；
A．1B．3C．2D．0
4.已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：其中正确命题的序号是（）
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β
A．①③B．②④C．①④D．②③
5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC．E是PC的中点．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5.（2012天津）设，则“ ”是“ 为偶函数”的（）
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．非充分非必要条件.
6.设设命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2+2x-8＞0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
知识点二：面面垂直的判定
通过在一个平面内找到一条直线垂直另一平面，从而证明面面垂直
例题讲解
例1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PC的中点．
求证：（1）PA∥平面BDE；（2）AC⊥平面PBD．
例2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．

2025届高二赵礼显数学讲义

2025届高二赵礼显数学讲义尊敬的同学们，大家好！我是你们的人工智能助手，今天我将为大家介绍一堂极具价值的课程——2025届高二赵礼显数学讲义。

本文将围绕以下四个方面展开讨论：高二数学的重要性、赵礼显老师的教学特点、讲义的主要内容和优势，以及如何充分利用讲义提高数学成绩。

首先，我们要认识到高二数学的重要性。

数学作为基础学科，在高二阶段起到了承前启后的作用。

高二数学学得好，可以为高考和其他学科打下坚实基础。

因此，我们要对数学给予足够的重视。

其次，让我们来看看赵礼显老师的教学特点。

赵老师具有丰富的教学经验和独特的教学方法，他善于用简洁明了的语言阐述复杂数学问题，使学生们易于理解。

此外，赵老师还注重培养学生的解题能力和思维习惯，使他们在学习过程中获得更多收获。

接下来，我们来了解一下这份讲义的主要内容和优势。

讲义内容紧密围绕高二数学大纲，包括函数、解析几何、概率统计等核心知识点。

讲义结构清晰，例题丰富，不仅有助于学生巩固基础知识，还能提高他们的解题能力。

此外，讲义还注重培养学生的数学思维，使他们在遇到新问题时能迅速找到解决方法。

最后，如何充分利用讲义提高数学成绩呢？以下几点建议供大家参考：1.认真听课：听课是学习的关键，要紧跟赵老师的教学节奏，积极参与课堂讨论，不懂就问。

2.做好笔记：及时记录讲义中的重点知识和解题技巧，便于课后复习。

3.课后巩固：课后要认真复习讲义内容，做到熟能生巧。

遇到难题时要勇于挑战，不怕失败。

4.定期自测：通过做习题、模拟试题等方法，检验自己的学习成果，发现不足，及时弥补。

5.主动请教：遇到问题不要害怕请教老师、同学或家长，善于借鉴他人的经验和方法。

高二数学第九章复习讲义(4)

高二数学第九章复习（4）空间向量的（坐标）运算（2）一．基础训练：1．已知空间三点的坐标为)2,5,1(-A 、)1,4,2(B 、)2,3,(+q p C ，若A 、B 、C 三点共线，则=p 3 ，=q 2 ．2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中， 4=AB ，3=AD ，51=AA ，oBAD 90=∠，oDAA BAA 6011=∠=∠，则1AC3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） ()A 外心 ()B 内心 ()C 重心 ()D 垂心4．若(1,1,3)A m n +-，(2,,2)B m n m n -，(3,3,9)C m n +-三点共线，则m n +=0．5．已知(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -，若||a ,a AB a AC ⊥⊥，则a 的坐标为 ()()1,1,1,1,1,1---．6．已知,是空间二向量，若||3,||2,||a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为60．7．已知向量)3,2,1(-=，)1,1,1(=，则向量在向量．二．例题分析：例1．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，090=∠ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成060角，求B 、D间的距离。

（答案：2,例2．在矩形ABCD 中，已知1=AB ，a BC =，⊥PA 平面ABCD ，2=PA ，若BC 边上存在唯一一点Q ，使得DQ PQ ⊥，M 是AD 上一点，M 在平面PQD 上的射影恰好是PQD ∆的重心，求线段AM 的长度及M 到平面PQD 的距离。

（答案：23）PAB CDM例3．在ABC ∆中2AB BC AC ===，现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA平移到111A B C ∆的位置，31=BB ，D 是AB 的中点，F 是11C A 的中点，E 在1BB 上，⑴当131BB BE =时，求直线EC 与DF 所成角的大小； ⑵当E 点在1BB 上变化时，BE 为多长时DF CE ⊥．答案：⑴；⑵23三．课后练习：班级学号姓名1．四面体SABC 中，SC ＝AB ＝１，SA 与BC 中点分别为,P Q，且2PQ =，则异面直线AB 与SC 所成的角为90．2．已知2=，且点A 、B 、C 、D 不共线，则下列结论正确的是（ D ）()A 四边形ABCD 是平行四边形 ()B 四边形ABDC 是平行四边形()C 四边形ABCD 是梯形 ()D 四边形ABDC 是梯形3．已知32134e e e -+=，321245e e e +-=，其中},,{321e e e 是一组正交基底，b及a之间的夹角的余弦值为65． 4．从O 点出发的三条射线两两垂直，空间一点P 到这三条射线的距离分别为,,a b c ，则P到O5．已知平面α内的60BOC ∠= ，OA a =，OA 是平面α的斜线段，且45AOB AOC ∠=∠=，则点A 到平面α的距离为3． 6．如图，,,,,,M N E F G H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱相等，则EF 与GH 所成的角等于90； ()EF NH MG ⋅+=_0．7．已知空间三个点(2,0,2)P -,(1,1,2)Q -和(3,0,4)R -，设a PQ = ,b PR =，⑴求a 与b的夹角θ（用反三角函数表示）；⑵试确定实数k ，使ka b + 与2ka b -互相垂直；⑶试确定实数k ，使ka b + 与a kb +互相平行。

2024年新高二数学提升精品讲义直线的一般式方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(解析版)

2024年新高二数学提升精品讲义直线的一般式方程（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握直线的一般式方程；2．理解关于,x y 的二元一次方程0++=Ax By C （,A B 不同时为0)都表示直线；3．会进行直线方程的五种形式之间的转化；4．能运用直线的一般式方程解决有关问题.知识点1直线的一般式方程1、一般式方程的定义在平面直角坐标系中，任意一个关于x ，y 的二元一次方程0++=Ax By C 都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程0++=Ax By C （其中A 、B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式．2、系数的几何意义（1）当0≠B 时，方程0++=Ax By C 可以写成A C y x B B=--它表示斜率为AB -，在y 轴截上的截距为CB-的直线．特别的，当0A =时，它表示垂直于y 轴的直线．（2）当0=B 时，0A ≠，方程0++=Ax By C 可以写成Cx A=-，它表示垂直于x 轴的直线．3、一般式方程适用范围直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线．知识点2直线的一般式方程与其他形式方程的互化1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式．2、一般式化为斜截式的步骤（1）移项得By Ax C =--；（2）当0B ≠时，得斜截式方程A C y x B B=--．3、一般式化为截距式的步骤（1）把常数项移到方程右边，得Ax By C +=-；（2）当0C ≠，方程两边同时除以C ，得1Ax ByC C+=--；（3）化为截距式方程：1x y C C A B+=--．知识点3一般式方程的平行与垂直1、平行与垂直的系数关系已知直线12,l l 的方程分别是1111:0++=l A x B y C （11,A B 不同时为0），2222:0++=l A x B y C （22,A B 不同时为0）（1）若1212120+=⇔⊥A A B B l l （2）若12211212210//0-=⎫⇔⎬-≠⎭A B A B l l A C A C 2、平行与垂直的直线系方程（1）平行直线系：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0++=Ax By m（2）垂直直线系：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0-+=Bx Ay m考点一：直线一般式方程及辨析例1．（23-24高二上·广东惠州·330x y --=的倾斜角为（）A ．120B ．60C ．30D ．150【答案】B330y --=的倾斜角为α，330x y --=3即tan 3α=，因为0180α≤< ，所以60α= ．故选：B ．【变式1-1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，则实数m 满足（）A ．0m ≠B ．32m ≠-C ．1m ≠D ．1m ≠，32m ≠，0m ≠【答案】C【解析】因为方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，所以2230m m +-=，20m m -=，不能同时成立，解得1m ≠．故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·浙江金华·月考）（多选）已知直线:0l Ax By C ++=，其中,A B 不全为0，则下列说法正确的是（）A ．当0C =时，l 过坐标原点B ．当0AB >时，l 的倾斜角为锐角C ．当0,0B C =≠时，l 和x 轴平行D ．若直线l 过点00(,)P x y ，直线l 的方程可化为()()000A x x B y y -+-=【答案】AD【解析】选项A ，当0C =时，00x y =⎧⎨=⎩是方程0Ax By +=的解，即l 过坐标原点，故A 正确；选项B ，当0AB >时，直线:0l Ax By C ++=的方程可化为A C y x B B=--，则直线的斜率0Ak B=-<，l 的倾斜角为钝角，故B 错误；选项C ，当0,0B C =≠时，由,A B 不全为0，0A ≠，直线:0l Ax By C ++=的方程可化为Cx A=-，故直线l 和x 轴垂直，不平行，故C 错误；选项D ，直线l 过点00(,)P x y ，则000Ax By C ++=，可得00C Ax By =--，代入直线方程:0l Ax By C ++=，得000Ax By Ax By +--=，即()()000A x x B y y -+-=，故D 正确.故选：AD.【变式1-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）（多选）已知直线:0l Ax By C ++=（,A B 不同时为0），则（）A ．当0,0AB =≠时，l 与x 轴垂直B ．当0,0,0A BC ≠==时，l y 轴重合C ．当0C =时，l 过原点D ．当0,0A B >>时，l 的倾斜角为锐角【答案】BC【解析】对于A ：当0,0A B =≠时直线:0l By C +=（0B ≠），即Cy B=-，表示与x 轴平行（重合）的直线，故A 错误；对于B ：当0,0,0A B C ≠==时直线:0l Ax =，即0x =，即l 与y 轴重合，故B 正确；对于C ：当0C =时直线:0l Ax By +=，此时00x y =⎧⎨=⎩满足方程0Ax By +=，即l 过原点，故C 正确；对于D ：当0,0A B >>时直线:0l Ax By C ++=，即A C y x B B=--，斜率0Ak B =-<，所以l 的倾斜角为钝角，故D 错误；故选：BC考点二：一般式方程的图象判断例2.（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直线1:0l ax y b -+=与2:0(0,)l bx y a ab a b -+=≠≠的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对A ，由1y ax b =+经过第一，四，三象限，可知0a >，0b <，由2y bx a =+过第一，二，三象限知0b >，0a >，故本选项错误；对B ，由1y ax b =+经过第一，二，四象限，可知0a <，0b >，由2y bx a =+过第一，二，三象限知0b >，0a >，故本选项错误；对C ，由1y ax b =+经过第一，三，四象限，可知0a >，0b <，由2y bx a =+过第一，三，四象限知0b >，0a <，故本选项错误；对D ，由1y ax b =+经过第一，二，四象限，可知0a >，0b >，由2y bx a =+过第一，二，四象限知0b >，0a >，故本选项正确；故选：D.【变式2-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）若0ab <，0bc >，则在下列函数图象中，不可能是直线0ax by c ++=的图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】由0ax by c ++=可知直线斜率0a k b=->，直线在y 轴上的截距0cy b=-<，满足条件的只有B ，所以不可能是ACD.故选：ACD【变式2-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）（多选）如果0,0AC BC <>，那么直线0Ax By C ++=通过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】ACD【解析】因为0Ax By C ++=，0,0AC BC <>,所以0,AB <所以0Ak B=->，令0,0,Cx y B==-<所以直线经过一三四象限.故选：ACD.【变式2-3】（23-24高二上·新疆·期中）（多选）已知0abc ≠，直线:0l ax by c ++=经过第一、二、四象限，则（）A ．0ab >B ．0bc <C ．0ac <D ．0<a 【答案】ABC【解析】将直线l 的方程转化为a cy x b b=--，因为l 经过第一、二、四象限，所以0,0,ab c b⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩即0ab >，0bc <，0ac <.对D ，若0a >，则0b >，0c <，满足题意，故D 错误.故选：ABC.考点三：一般式下的平行问题例3.（22-23高二上·广西河池·月考）直线20x y m ++=与直线420x y n +-=的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．不确定D ．重合【答案】C【解析】当2n m =-时，两直线重合，当2n m ≠-时，两直线平行，所以题设两直线位置可能重合、平行.故选：C.【变式3-1】（23-24高二上·河北石家庄·月考）若直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，则=a （）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．32-【答案】C【解析】直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行,所以()230a a +-=,即2230a a +-=，解得3a =-或1a =，当3a =-时，直线340ax y +-=为3340x y -+=；()220x a y +++=为+2=0x y -，两直线不重合.当1a =时，直线340ax y +-=为+340x y -=；()220x a y +++=为3+2=0x y +，两直线不重合.所以1a =或3-.故选：C【变式3-2】（23-24高三上·江苏连云港·月考）“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1λ=-时，直线2l ：3330x y -+-=即10x y -+=，与直线1l ：90x y -+=平行，充分性成立；直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行，有()23λλ-=，解得1λ=-或3λ=，其中3λ=时，两直线重合，舍去，故1λ=-，必要性成立.“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的充要条件.故选：A.【变式3-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知直线l 过点(1,0)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（）A ．220x y +-=B ．220x y --=C ．210x y --=D ．210x y -+=【答案】C【解析】令直线l 为20x y k -+=，且过点(1,0)，所以10k +=，即1k =-，故直线l 的方程为210x y --=.故选：C考点四：一般式下的垂直问题例4.（22-23高二·江苏·假期作业）直线0cx dy a ++=与0dx cy b -+=(,c d 不同时为0)的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与a b c d ,,,的值有关【答案】B【解析】d 与c 不能同时为0，①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为1c dd c-⋅=-，故两条直线垂直；②当d 与c 中有一个为零时，若0,0d c =≠时，则两直线分别为0cx a +=与0cy b -=，两直线垂直，若0,0c d =≠时，则两直线分别为0dy a +=与0dx b +=，两直线垂直，故两条直线垂直．故选：B【变式4-1】（23-24高二上·上海·期末）已知直线1:0++=l ax by c ，直线2:0l mx ny p ++=，则1ambn=-是直线12l l ⊥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若1ambn =-，则00bn am bn ≠⎧⎨+=⎩，则直线12l l ⊥，充分性满足；必要性：若直线12l l ⊥，则0am bn +=，当0,0,0,0a b n m =≠=≠时，1ambn=-不成立，则必要性不满足,所以1ambn=-是直线12l l ⊥的充分不必要条件.故选：A 【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线1:210l ax y +-=与直线21:(1)02l a x y ---=垂直，则实数a 的取值是（）A ．1a =-或2a =B ．1a =-C ．2a =D ．23a =【答案】A【解析】直线1:210l ax y +-=与直线21:(1)02l a x y ---=垂直，则有(1)20a a --=，解得1a =-或2a =，故选：A ．【变式4-3】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线l 经过点()2,1P -，且与直线2310x y ++=垂直，则直线l 的方程是（）A ．2370x y +-=B ．3280x y +-=C ．2310x y --=D ．3280x y --=【答案】D【解析】直线l 与直线2310x y ++=垂直，设直线l 的方程是320x y C -+=将()2,1P -代入直线l 中，620C ++=，解得8C =-，故直线l 的方程为3280x y --=.故选：D.考点五：含参直线过定点问题例5.（22-23高二上·山东菏泽·月考）直线130kx y k -+-=，当k 变动时，所有直线都通过定点（）A ．()3,1B ．()0,1C ．()0,0D ．()2,1【答案】A【解析】直线方程转化为：()310x k y --+=，令3010x y -=⎧⎨-+=⎩，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1，故选：A ．【变式5-1】（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论k 为何值，直线()()21240++---=k x k y k 都过一个定点，则该定点为（）A ．()2,0-B ．()0,2C ．()2,0D ．()0,2-【答案】C【解析】将直线方程整理成()2240k x y x y --++-=，令20240x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，即直线经过定点()2,0.故选：C.【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知a ，b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点（）A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由21a b +=，得12b a =-，代入直线方程30ax y b ++=中，得3120ax y a ++-=，即(2)310a x y -++=，令20310x y -=⎧⎨+=⎩，解得213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以该直线必过定点2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D【变式5-3】（23-24高二上·甘肃白银·期中）直线()()2036m n x y m n m n ++--=-经过定点A ，则点A 的横坐标与纵坐标之和为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由()()2036m n x y m n m n ++--=-，得()()3620m x y n x y +-+--=，令360,20,x y x y +-=⎧⎨--=⎩得3,1,x y =⎧⎨=⎩所以点A 的横坐标与纵坐标之和为314+=．故选：B考点六：直线的综合应用例6.（23-24高二上·广东中山·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(2,1)C ．(1)求经过点A 且与直线BC 平行的直线方程；(2)在ABC 中，求BC 边上的高线所在的直线方程．【答案】(1)50x y -+=；(2)10x y ++=【解析】（1）由ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(2,1)C ，可得直线BC 的斜率31142BC k -==-，所以过点A 且与直线BC 平行的直线方程为2(3)y x -=+，即50x y -+=.（2）由直线BC 的斜率1BC k =，可得BC 边上的高线斜率1k =-，所以BC 边上的高线方程为2(3)y x -=-+，即BC 边上的高线所在的直线方程为10x y ++=.【变式6-1】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程()()222321620m m x m m y m --++-+-=（m ∈R ）．(1)求该方程表示直线的条件；(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．【答案】(1){}1m m ≠-；(2)340x -=；(3)不过定点，证明见解析【解析】（1）当x ，y 的系数不同时为0时，方程表示一条直线，令2230m m --=，解得1m =-或3m =；令2210m m +-=，解得1m =-或12m =，所以x ，y 的系数同时为零时1m =-，故若方程表示一条直线，则1m ≠-，即实数m 的取值范围为{}1m m ≠-；（2）当x 的系数不为0，y 的系数为0时斜率不存在，由（1）知当12m =时，2210m m +-=且2230m m --≠，方程表示的直线的斜率不存在，此时直线方程为340x -=；（3）不过定点，证明如下：证明：当x 的系数为0，y 的系数不为0时斜率为0，由（1）知当3m =时，2230m m --=且2210m m +-≠，方程表示的直线的斜率为0，此时直线方程为0y =，由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为340x -=，由340,0,x y -=⎧⎨=⎩得交点为4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，若直线过定点，则定点为4,03⎛⎫⎪⎝⎭，将4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程()()222321620m m x m m y m --++-+-=，得()24236203m m m --⨯+-=，整理得22730m m -+=，解得12m =或3m =，∴只有当12m =或3m =时，直线过4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线不过定点.【变式6-2】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线()21R l y kx k k =-+∈：．(1)若直线l 不经过第二象限，求k 的取值范围．(2)若直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为92时（O 为坐标原点），求此时相应的直线l 的方程．【答案】(1)12k ≥；(2)3y x =-+或4213=-+y x 【解析】（1）由题意可知直线():21R l y kx k k =-+∈，()21y k x =-+易知直线l 过定点()2,1，当直线l 过原点时，可得12k =，当12k ≥时，直线l 不经过第二象限．（2）由题意可知0,k <∵直线:21l y kx k =-+与x 轴、y 轴正半轴的交点分别是()12,0,0,12A k B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭-，2111(21)21222AOBk S k k k-∴=-⨯-=⨯ ，当0k <时，由92AOBS = 得：2144111944222k k k k k ⎡⎤-+⎛⎫⨯=⨯-++= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦，即：24510k k ++=，1k ∴=-或14k =-，即：直线l 的方程为3y x =-+或4213=-+y x .【变式6-3】（23-24高二上·重庆永川·月考）已知直线l 过点()3,2M .(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若l 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴正半轴的交点为B ，求当AOB （O 为坐标原点）面积的最小值，直线l 的方程..【答案】(1)230x y -=或50x y +-=；(2)12;l 的方程为23120x y +-=【解析】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为23k =，所以直线的方程为23y x =，即230x y -=；当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=，代入点()3,2M ，可得5a =，所以所求直线方程为5x y +=，即50x y +-=，综上可得，所求直线方程为：230x y -=或50x y +-=.（2）依题意，设点()(),0,0,(0,0)A a B b a b >>，直线AB 的方程为1x ya b+=，又点()3,2M 在直线AB 上，于是有321a b+=，利用基本不等式321a b =+≥24ab ≥，当且仅当6,4a b ==时等号成立，所以1122AOB S ab =≥ ，即AOB 的面积的最小值为12，此时l 的方程为23120x y +-=.一、单选题1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线:1l x =的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】D【解析】直线:1l x =的斜率为[),0,παα∈，则5πtan 6αα=∴=，故选：D.2．（23-24高二上·陕西·期中）若直线1l ：210++=mx y 与直线2l ：2102x m y -+=垂直，则实数m 的值为（）A ．0B ．12-或C ．0或12D ．12【答案】C【解析】由题意得()220m m +-=，解得0m =或12.故选：C3．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线210ax y ++=和()10x a y a +++=平行，则a 的值为（）A ．2a =-B ．1a =C ．2a =-或1a =D ．1a =-【答案】A【解析】因为直线210ax y ++=和()10x a y a +++=平行，所以()121a a +=⨯，解得2a =-或1a =；当2a =-时，此时直线102x y --=和20x y --=平行，满足题意；当1a =时，此时直线210x y ++=和210x y ++=重合，不满足题意，舍去.综上所述：2a =-.故选：A.4．（23-24高二上·河南焦作·月考）若直线0Ax By C ++=经过第一、二、三象限，则（）A ．0AB >，0BC >B ．0AB >，0BC <C ．0AB <，0BC >D ．0AB <，BC <【答案】D【解析】依题意，直线0Ax By C ++=不垂直于坐标轴，由0y =，得C x A=-，由0x =，得C y B =-，因为直线0Ax By C ++=经过第一、二、三象限，则0C A -<，且0CB->，即0AC >，且0BC <，有20ABC <，因此0AB <，所以0AB <，0BC <.故选：D5．（23-24高二上·福建泉州·月考）直线l 过点54（，），且方向向量为12（，），则（）A ．直线l 的点斜式方程为52(4)y x -=-B ．直线l 的斜截式方程为132x y =+C ．直线l 的截距式方程为136x y+=-D ．直线l 的一般式方程为260x y -+=【答案】C【解析】对于A 中，由直线l 的方向向量为()1,2，可得直线l 的斜率为2k =，又由直线l 过点()5,4，所以直线l 的点斜式方程为42(5)y x -=-，所以A 错误；对于B 中，由42(5)y x -=-，可得直线l 的斜截式方程为26y x =-，所以B 错误；对于C 中，由26y x =-，可得直线l 的截距式方程为136x y+=-，所以C 正确；对于D 中，由26y x =-，可得直线l 的一般式方程为260x y --=，所以D 错误.故选：C.6．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l ：210x y -+=与y 轴的交点为A ，把直线l 绕着点A 逆时针旋转45 得到直线l '，则直线l '的方程为（）A ．210x y +-=B ．310x y -+=C ．310x y +-=D ．330x y +-=【答案】C【解析】设直线l ：210x y -+=的倾斜角为,0180θθ≤< ，则tan 2θ=，由题意可得(0,1)A ，直线l '的倾斜角为45θ+ ，则直线l '的斜率为()tan tan 45tan 121tan 4531tan tan 451tan 12θθθθθ++++====--⋅--，所以直线l '的方程为13(0)y x -=--，即310x y +-=，故选：C二、多选题7．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知直线()()12:120:110l a x ay l ax a y +++=+--=，，则（）A ．1l 恒过()22-，B ．若12l l ∕∕，则212a =C ．若12l l ⊥，则21a =D ．当12a =时，2l 不经过第三象限【答案】BD【解析】A:对于直线()1:120l a x ay +++=，可化为：()2a x y x +=--，令020x y x +=⎧⎨--=⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩，直线1l 恒过定点()22-，.故A 错误;B:12l l ∕∕，()()211a a a ∴+⋅-=，解得：212a =，此时也不重合，故B 正确；C ：12l l ⊥ ，()()110a a a a ∴+⋅+-=，解得：0a =，故C 错误；D ：当12a =时，211:10,22l x y +-=即2:2l y x =-+不经过第三象限，故D 正确.故选:BD.8．（23-24高二上·青海西宁·月考）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0,0b a =≠，则直线l 的倾斜角为90︒C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0,0a b =≠，则直线l 的倾斜角为0︒【答案】ABD【解析】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，故A 正确；对于B 选项，若0,b a =，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90︒，故B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，故C 错误；对于D 选项，若0,0a b =≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0︒，故D 正确.故选：ABD .三、填空题9．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线:(1)240l x m y m ++--=恒过定点.【答案】(2,2)【解析】由直线:(1)240l x m y m ++--=，可化为(4)(2)0x y m y +-+-=，联立方程组4020x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,2)．故答案为：(2,2)．10．（23-24高二上·北京·期中）经过点()1,2M 且与直线280x y -+=垂直的直线方程为.【答案】250x y +-=【解析】由题可设所求直线方程为20x y c ++=，代入点()1,2M ，可得140c ++=，即5c =-，所以经过点()1,2M 且与直线280x y -+=垂直的直线方程为250x y +-=.故答案为：250x y +-=.11．（23-24高二上·北京西城·期末）过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为.【答案】10x y ++=【解析】由题意，与直线30x y ++=平行的直线的斜率为1-，直线过点()2,3A -，∴过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为：()()312y x --=--，即：10x y ++=.故答案为：10x y ++=.四、解答题12．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线1l ：2240kx y k --+=，直线2l ：224480k x y k +--=.(1)若直线1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程；(2)若12//l l ，求直线2l 的方程.【答案】(1)0x y -=或40x y +-=；(2)60x y +-=【解析】（1）①若直线1l 过原点，则1l 在坐标轴的截距都为0，显然满足题意，此时则240k -+=，解得2k =，②若直线1l 不过原点，因为直线1l 在两坐标轴上的截距相等，则斜率为12k=-，解得2k =-.因此所求直线1l 的方程为0x y -=或40x y +-=（2）若12l l //，则242k k ⨯=-⨯解得0k =或2k =-.当0k =时，直线1l ：240y -+=，直线2l ：480y -=，两直线重合，不满足12l l //，故舍去；当2k =-时，直线1l ：40x y +-=，直线2l ：60x y +-=，满足题意；因此所求直线2l ：60x y +-=13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线():20l kx y k k -++=∈R .(1)若直线不经过第三象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于,B AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.【答案】(1)[]2,0-；(2)S 最小值为4，直线l 的方程为24y x =+.【解析】（1）直线():20l kx y k k -++=∈R 可化为2y kx k =++，要使直线不经过第三象限，则020k k ≤⎧⎨+≥⎩，解得20k -≤≤，k ∴的取值范围为[]2,0-.（2）由题意可得0,20k kx y k >-++=中，取0y =，得2k x k+=-，取0x =，得2y k =+，()11214124442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫=⋅=⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=时，即2k =时，取“=”，此时S 的最小值为4，直线l 的方程为24y x =+.。

高二下学期数学人教A版选择性必修第二册4.4数学归纳法说课课件

教学过程分析
3.深入研究，获取新知
问题
4
设计
意图
突出重点
多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
利用视频的生动形象特点，使学生总结出这两个条件；通过反例的展
示让学生明白两个条件缺一不可；体会信息技术给数学研究带来的便
利，提升了学生视察和分析能力，培养了数学抽象的核心素养。
∈ [0,2]
教学过程分析
教学过程分析
4.尝试应用，形成方法
例题
设计
意图
用数学归纳法证明：如果{n}是一个公差为d的等差数列，那么满足
n=1+(n−1)d对任何n∈N∗都成立。
既呼应了问题1，也使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过
程和表述规范，培养学生思维的缜密性。
教学过程分析
5.课堂小结
教学过程
问题导入——探究互动
04
教学方法分析
教学方法分析
教法
问题式
启示式
学法

自主探索

合作交流

教师引导

师生互动
05
教学过程分析
教学过程分析
单元框架
整体把握
课堂小结
布置作业
创设情境
引入新课
尝试应用
交流互动
探究新知突破难点
教学过程分析
1.1 单元知识框架图
概念
数列
表示
特
殊
化
特殊数列
一次函数
等差数列
设计意图
设计
意图
充分调动学生思考的积极性，去感受学习本节内容的重要性和必要性，
激发学生强烈的求知欲。
教学过程分析
3.深入研究，获取新知

2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(原卷版)

2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解圆的一般方程及其特点；2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.知识点1圆的一般方程1、圆的一般方程：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．其中,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．2、圆的一般方程的形式特点（1）22,x y 项的系数相同且不等于0（2x 和2y 的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；（2）不含xy 项；（3）2240D E F +->．3、一般方程与标准方程关系：对方程220x y Dx Ey F ++++=的左边配方，并将常数移项到右边，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据圆的标准方程可知：（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，知识点2圆的一般方程判断点和圆的位置关系已知点()00,M x y ，和圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）则知识点3轨迹与轨迹方程1、轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点(,)M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式。

轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．3、坐标法求轨迹方程的步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；（2）设点：用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；（3）列式：列出关于.x y 的方程；（4）化简：把方程化为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．考点一：二元二次方程与圆例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆22:4650O x y x y +-++=，则圆心O 和半径r 分别为（）A ．()2,3,O r -=B ．()2,3,O r -=C ．()2,3,O r -=D ．()2,3,O r -=【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若32,1,0,,14a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程22210x y x m ++--=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 可能的取值为（）A ．－1B ．0C ．12D ．1考点二：求圆的一般方程例2.（23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C 经过点()1,1-和点()1,3B ，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为（）A ．()2222x y ++=B ．()22210x y -+=C ．()2222x y +-=D ．()22210x y ++=【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）A ．22230x y x y +--=B ．22230x y x y ++-=C ．22230x y x y +-+=D ．22230x y x y +++=【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知(2,0)A ，(4,2)B ，O 为原点，则AOB 的外接圆方程为.【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在ABC 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，AC 边所在直线的方程为20x y --=，AC 边上的中线所在直线的方程为20x y +-=．(1)求C 点的坐标；(2)求ABC 的外接圆方程．考点三：点与圆的位置关系例3.（22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C ：22220x y x y +--=，则点(3,1)P 在（）A ．圆外B ．圆上C ．圆内D ．以上情况均有可能【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．(4,)-+∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎝C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆C 的方程为222245330x y mx my m m +-++-+=，若点(1,2)m -在圆外，则m 的取值范围是（）A ．(,1)(4,)-∞+∞B ．(1,)+∞C ．(1,4)D ．(4,)+∞【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <考点四：与圆有关的轨迹问题例4.（23-24高二上·北京·期末）已知点(2,0)B 和点(2,4)C ，直角ABC 以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程.【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点(5,0)A -，(5,0)B ，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程是．【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且||6AB =，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（）A ．||||6PA PB +=B ．1PA PB ⋅=-C ．||2||PA PB =D ．22||||18PA PB +=【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点(6,0)A ，O 为坐标原点，若动点(,)P x y 满足2OP PA =．(1)试求动点P 的轨迹方程；(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点五：圆过定点问题例5.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆:²²250C x y ax ay ++--=恒过的定点为（）A ．()()2,1,2,1--B ．()()1,2,2,1--C ．()()1,2,1,2--D ．()()2,1,2,1--【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为．【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆2220x y mx y m ++--=恒过的定点是.考点六：与圆有关的实际问题例6.（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（）A B C ．米D ．【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度为米．（精确到0.01米，参考数据：33 5.744≈）【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m ，拱高为4m ，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；(2)若该景区游船宽10m ，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.(3 1.732)≈一、单选题1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆222440x y x y +-+-=的圆心和半径分别为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()1,2,2-D ．()1,2,3-2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点()()()4,2,1,1,14A B C --,的圆的一般方程为（）A ．227320x y x y ++-+=B ．227320x y x y ++++=C ．227320x y x y +-++=D ．227320x y x y +--+=3．（2024·河北沧州·二模）若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++-+=表示圆的方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆22224590x y ax ay a +-++-=上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（）A ．(),3-∞-B ．(],3-∞-C ．33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点(1,0)P ，(1,0)Q -，动点M 满足MP =，记M 的轨迹为C ，则轨迹C 围成图形的面积是（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π二、多选题7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若()2,1，()4,2，()3,4，()1,m 四点共圆，则m 的值为（）A ．2B C ．12+D ．38．（23-24高二上·河北邢台·222:240C ax ay x a y +-+=，下列结论正确的是（）A ．当0a =时，曲线C 是一条直线B ．当0a ≠时，曲线C 是一个圆C ．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2πD ．当曲线C 是面积为5π的圆时，1=a 三、填空题9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=，则两圆心之间的距离为.10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆22:220C x y mx y ++-=被直线210x y ++=平分，则圆C 的半径为．11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a .四、解答题12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线12:20,:0l x y l x y ++=+=，直线l 过点()10,4-且与1l 垂直.(1)求直线l 的方程；(2)设l 分别与12,l l 交于点A ，B ，O 为坐标原点，求过三点A ，B ，O 的圆的方程.。

2024年新高二数学提升精品讲义圆与圆的位置关系(思维导图+4知识点+6考点+过关检测)(解析版)

2024年新高二数学提升精品讲义圆与圆的位置关系（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法；2．能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系；3．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.知识点1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判定（1）几何法：若两圆的半径分别为1r ，2r ，两圆连心线的长为d ．位置关系外离外切相交内切内含图示交点个数01210d 与1r ，2r 的关系12d r r >+12d r r =+1212r r d r r -<<+12d r r =-120d r r ≤<-（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．12⎫⎬⎭圆方程圆方程C C 消元，一元二次方程Δ0Δ0Δ0>⇒⎧⎪=⇒⎨⎪<⇒⎩相交内切或外切外离或内含知识点2两圆的公切线1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数4条3条2条1条无公切线3、两圆公切线方程的确定（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为y kx b =+，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线y kx b =+的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于k 和b 的方程，解这个方程组得到k ，b 的值，即可写出公切线的方程；（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．知识点3圆与圆的公共弦1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦．2、公共弦所在直线的方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.【注意】（1）若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；（2）若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.3、公共弦长的求法（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．（2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长．知识点4圆系方程及其应用技巧具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。

2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程(思维导图+4知识点+4考点+过关检测)(原卷版)

2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征；2．能根据所给条件求圆的标准方程；3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.知识点1圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(,)a b ，半径为r ，(,)M x y 为圆上任意一点，⊙A 就是集合{}P M MA r ==．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径．知识点2圆的标准方程1、圆的标准方程：我们把()()222-+-=x a y b r 称为圆心为(),A a b ，半径长为r 的圆的标准方程．【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径．（2）圆的标准方程的右端20r >，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．2、圆的标准方程的推导过程（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为A 是定点，设(),A a b ，半径为r ，且设圆上任意一点M 的坐标为(,)x y ．（2）写点集：根据定义，圆就是集合{}P M MA r ==．（3r =．（4）化简方程：将上式两边平方得222()()x a y b r -+-=．3、几种特殊位置的圆的标准方程知识点3点与圆的位置关系1、几何法：点()00,M x y ，圆心(),A a b ，圆的半径r ，设M 与点A 间的距离MA d =，d r >⇔点M 在圆A 外；d r <⇔点M 在圆A 内；d r =⇔点M 在圆A 上．2、代数法：将点()00,M x y 直接代入圆的标准方程()()222-+-=x a y b r 进行判断，即若点()00,M x y 在圆外，则()()22200->+-x a y b r ；若点()00,M x y 在圆内，则()()22200x a y b r +-<-；若点()00,M x y 在圆上，则()()22200x a y b r +-=-．知识点4圆上的点到定点的最大、最小距离设圆心A 到定点C 的距离为d ，圆的半径为r ，圆上的动点为点P ．（1）若点C 在圆外时，max PC d r =+，min PC d r =-；（2）若点C 在圆上时，max 2PC r =，min 0PC =；（2）若点C 在圆内时，max PC d r =+，min PC r d =-．综上：max PC d r =+，min PC d r =-．考点一：求圆的标准方程例1．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知圆的圆心在(3,4)-，半径为5，则它的方程为（）A ．()()22345x y -+-=B ．()()223425x y +++=C ．22(3)(4)25x y ++-=D ．()()22345x y ++-=【变式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为()4,1-，()2,3，则圆C 的方程是.【变式1-2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点(2,0),(2,2)--且圆心在直线:0l x y +=上的圆的标准方程为.【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点()()()120,01,33,1O M M ---､､的圆的标准方程是.考点二：点与圆的位置关系例2.（23-24高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知()14,9P ，()26,3P 两点，以线段12PP为直径的圆为圆P ，则（）A ．()6,9M 在圆P 上B ．()3,3N 在圆P 内C ．()5,3Q 在圆P 内D ．()2,7R 在圆P 外【变式2-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知点(,10)P a ，圆的标准方程为()()221112x y -+-=，则点P （）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．与a 的取值有关【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）若点(),3A a 在圆()22:15C x y +-=外，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()1,1-【变式2-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线2y x k =+与y x =-的交点在圆228x y +=的内部，则实数k 的取值范围是（）A ．11k -<<B ．2<<2k -C ．33k -<<D ．k <考点三：与圆有关的最值问题例3.（23-24高二上·湖北·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若实数x y ，满足221x y +=，则()()2234x y -+-的最大值是（）A ．5B ．6C ．25D ．36【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知P 为圆22(3)(4)4x y -+-=上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点Q 到点P 的距离的最大值为.【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圆C :()()22124x y ++-=，点()2,0A -，()2,0B .设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为．考点四：与圆有关的对称问题例4.（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线()()22124x y -+-=上相异两点P 、Q 关于直线20kx y --=对称，则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【变式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圆M ：()2211x y ++=与圆N ：()()22231x y -+-=关于直线l 对称，则l 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y +-=【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圆()()22:112C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的方程为（）A ．()2222x y -+=B ．()2222x y ++=C ．()2222x y +-=D ．()2212x y ++=一、单选题1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为()1,0，半径为2的圆的方程是（）A ．()2212x y -+=B ．()2212x y ++=C ．()2214x y -+=D ．()2214x y ++=2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆M 经过点()()0,20,4,，且圆心M 在直线210x y --=上，则圆M 的面积为（）A ．2πB 5πC ．4πD ．5π3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆22:(2)(1)1M x y -+-=与圆N 关于直线0x y -=对称，则圆N 的方程为（）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(2)(1)1x y -++=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(1)(2)1x y -+-=4．（23-24高二上·广东惠州·期中）点(,3)P m 与圆()()22212x y -+-=的位置关系为（）A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值无关5．（2023高二上·全国·专题练习）点(1,1)--在圆22()()4x a y a ++-=的内部，则a 的取值范围是（）A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a <-或1a >D ．1a =±6．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆C 经过点()0,0A 、()2,0B ，ABC 为直角三角形，则圆C 的方程为（）A ．()()22114x y -+-=B ．()()22112x y -++=C ．()()22112x y -+-=D ．()()22125x y -+-=8．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）若有一组圆k C ：()()()224R x k y k k -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．所有圆k C 的半径均为2B ．所有的圆kC 的圆心恒在直线y x =上C ．当2k =时，点()3,0在圆k C 上D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个三、填空题9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）与圆222430x y x y +-++=有相同圆心，且过点()4,2-的圆的标准方程是.10．（22-23高二下·四川凉山·月考）若圆221:(1)9C x y -+=和圆222:(3)(2)9C x y +++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是11．（23-24高二上·全国·专题练习）已知,x y 满足22(1)(2)16x y -+-=，则22x y +的取值范围是.四、解答题12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知A 关于直线y x =对称，点()0,0O ，()4,0N 都在A 上.(1)求线段ON 垂直平分线的方程；(2)求A 的标准方程13．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C 的圆经过()0,0O ，(0,A 两点，且圆心C 在直线:l y =上．(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在圆C 上运动，求22PO PA +的取值范围．。

高二数学配套课件4章末归纳(湘教版选修2-2)

函数的极值与区间端点的取值中的最大(或最小)者即为函数
的最大(或最小)值．
3．定积分的概念定积分的思想就是无限分割、以直代曲、求和、取极限： lim
n→∞
f(ξi)Δx，而
i＝1
n
b
a
f(x)dx只是这种极限的一种记号．
4．微积分基本定理用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它的导函数恰好是已知的被积函数．
点评根据导数的几何意义，可以通过求导数来求切线的斜
率，再根据切点是曲线与切线的公共点，求出切点的坐标，代入直线方程的点斜式就可以求出切线的方程．
3 2 【例2】点 P(2,0) 是函数 f(x) ＝ x ＋ ax 与 g(x) ＝ bx ＋ c 的图象的一
个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的
4 即 ≤a≤1. 5
4 又因为0<a<1，所以5≤a<1.
2 1 3 4 2 4 (3)当a＝3时，f(x)＝－3x ＋3x －3x＋b. 8 4 f′(x)＝－x ＋ x－， 3 3
2
8 4 2 由f′(x)＝0，即－x ＋ x－＝0，解得x1＝，x2＝2. 3 3 3
2
2 2 即f(x)在－∞，上是减函数，在，2 上是增函数，在(2， 3 3
解 (1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2 ＝－(x－a)(x－3a)．令 f′(x)＝0，得 x＝a 或 x＝3a. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，a) － a 0 极小 (a,3a) ＋ 3a 0 极大 (3a，＋∞) －
∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数． 4 3 当 x＝a 时，f(x)取得极小值，f(x)极小＝f(a)＝b－ a ； 3 当 x＝3a 时，f(x)取得极大值，f(x)极大＝f(3a)＝b.

高二数学面授讲义(04

高二数学面授讲义（04.03）
教师：李赛
两个平面垂直的判定和性质
例1．已知：直线a//平面α，直线a⊥平面β，求证：平面α⊥平面β
例2．已知平面α、β都垂直于平面Y，交线分别为a,b，如果a//b，求证：α//β
例3．已知平面α∩平面β=a，α⊥Y，β⊥Y，b//α，b//β，求证：①a⊥Y②b⊥Y
Y
例4．如图，ΔABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD//CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：①平面BDMN⊥平面ECA②平面DEA⊥平面ECA
例5．将矩形ABCD沿AE折起，其中E为DC中点，已知AB=2，BC=1，BD1=CD1
（1）求证：平面D1AE⊥平面ABCE（2）求D1C与平面ABCD所成角的正切值
例6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-BD1-C的大小
例7．已知C是以AB为直径的圆周上一点，∠ABC=300，PA⊥平面ABC，∠PBA=450，求二面角A-PB-C的正弦值
例8．ABCD-A1B1C1D1是正方体，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。

高二数学复习讲义四

高二数学复习讲义（4）——《统计案例》<知识点>一、知识结构图：二、要点回顾：1．2×2列联表．三、关键信息强化：1．独立性检验的两个重要工具是：2χ统计量和临界值，只有准确计算2χ（熟记计算公式），熟记各临界值及统计决断的原则，才能正确地处理独立性检验的问题．中回归系数b 和回归截距 a的意义：2．线性回归方程=+y bx ab 的意义：x每增加（或减少）一个单位，y平均改变b 个单位．a的意义：y不受x变化影响的部分．必过3．由线性回归方程中 a b ，的计算公式 a y bx=+=- 知：回归直线y bx a点()x y，．4．做回归分析要有实际意义，而如何才能知道有无实际意义呢？———相关性检验．5．相关系数r和临界值r是正确进行相关性检验的两大重要因素．0.05要明确相关系数r的大小与相关程度的关系（即r的性质），并要会根据公式计算或利用计算器计算．另外r的查法要熟练掌握．0.056．相关性检验就是检验r与r的大小关系．0.05四、特别警示：1．分析两个变量相关关系的常用方法：（1）利用散点图进行判断：把样本数据表示的点在平面直角坐标系中作出，从而得到散点图，如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线的附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系．r≤而且r越接近于1，相关程度越强；（2）利用相关系数r进行判断：1r越接近于0，相关程度越弱．2．对具有相关关系的两个变量进行统计分析时，首先进行相关性检验，在确认具有线性相关关系后，再求线性回归方程．3．在实际问题中，经常会面临需要推断的问题，在作推断时，我们不能仅凭主观意愿作出结论，而是需要通过试验来收集数据，并根据独立性检验的原理做出合理的推断．4．统计方法是可能犯错误的，不管是回归分析还是独立性检验，得到的结论都可能犯错误．好的统计方法就是要尽量降低犯错误的概率，比如在推断吸烟与患肺癌是否有关时，通过收集数据，整理分析数据得出的结论是“吸烟与患肺癌有关”，而且这个结论犯错误的概率在0.01以下，实际上，这是统计思维与确定性思维差异的反应，这是数学问题，不一定在实际中得到验证．<练习题>一．选择题1．对于变量x 和y ，当x 值一定时，y 的取值带有一定的随机性，x ，y 间这种非确定性关系叫（）Ａ．函数关系Ｂ．线性关系Ｃ．相关关系Ｄ．回归关系2．变量y 与x 之间的回归方程（）Ａ．表示y 与x 之间的函数关系Ｂ．表示y 与x 之间的不确定性关系Ｃ．反映y 与x 之间真实关系的形式Ｄ．反映y 与x 之间的真实关系达到最大限度的吻合3．下面4个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③Ｄ．③④4．已知对一组观测值()i i x y ，作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于y bxa =+ ，求得0.51b = ，61.75x =，38.14y =，则线性回归方程为（）Ａ． 0.51 6.65y x =+ Ｂ． 6.650.51y x =+ Ｃ． 0.5142.3y x =+Ｄ． 42.30.51y x =+5．如图所示，图中有5组数据，去掉组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大（）Ａ．E Ｂ．C Ｃ．D Ｄ．A6．为了表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度，我们表示它常用（）Ａ． 1()ni i i y y =-∑Ｂ． 1()n i i i y y =-∑ Ｃ． 21()ni i i y y =-∑Ｄ． 31()ni i i y y =-∑7．利用独立性检验来考察两个变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 与Y 有关系”的可信程度．如果2 5.024χ>，那么就有把握认为“X 与Y8．为加强素质教育，使学生全面发展，某校对学生文化课与体育课的成绩进行在探究体育课成绩和文化课成绩是否有关时，根据以上数据可得到2χ等于（）Ａ．1.255 Ｂ．38.214 Ｃ．0.0037 Ｄ．2.0589．为了对新产品进行合理定价，对这类产品进行了试销试验，以观察需求量yＡ．0.993- B ．0.993 Ｃ．0.632 Ｄ．0.632-10．有22组观测值，则与显著性水平0.05相应的相关系数临界值为（）Ａ．0.404 B ．0.515 Ｃ．0.423 Ｄ．0.537 11．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的值是变量y 的精确值．其中正确的是（）Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①③ 12．甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：（）Ａ．0.02~0.03 Ｂ．0.03~0.04 Ｃ．0.04~0.05 Ｄ．0.05~0.06二．填空题13．如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数r 的绝对值应接近于．14．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法．两个变量具有是回归分析的前提．15．独立性检验的基本思想类似于数学上的．16y（元）如下：则y关于x的线性回归方程是．三．解答题17．为考察性别与是否喜欢饮酒之间的关系，在某地区随机抽取290人，得到如下2×2列联表：利用2×218．假设一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回（119其中不慎将数据2y 丢失，但知道这四组数据符合线性关系，且 0.5y x a =+，求2y 与a 的近似值．20．为调查饮酒是否对患胃癌有影响，某科研机构随机地抽查了10138人，得到如下结果（单位：人）：参考答案一．选择题1-5.CDBAA 6-10.CDAAB 11-12.BA 二．填空题13.1； 14.相关关系； 15.反证法； 16. ： 5317.197535.0318y x =- 三．解答题17. 解：由2×2列联表中的数据可得：22290(1012012445)11.95310.82814614422565χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以我们说有99.9%的把握认为“性别与饮酒有关”． 18. 解：（1）数据的散点图如下：（2）用y 表示身高，x 表示年龄，则数据的回归方程为 6.31771.984y x =+．19. 解：由已知得19.5x =，228.24y y +=，代入41421()()0.5()iii ii x x y y x x ==--=-∑∑，得28y ≈，9.05y ∴=．所以， 9.050.519.50.7ay bx =-=-⨯=- ． 20. 解：由22⨯列联表中的数据可得：2210138(6500783455105)995518335336605χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.9605 3.841≈>．所以我们说有95%的把握认为“饮酒与患胃癌”有关．。

高二数学寒假讲义

高二数学寒假讲义一、函数的概念1.1 函数的定义函数是一种特殊的数学关系，它把一个或多个自变量与一个因变量之间的对应关系表示出来，用一个公式来表示。

1.2 函数的表示方法函数可以用函数式、图象、对称性、导数和积分等方法表示。

1.2.1 函数式函数式是指函数的一种表示方法，它用数学语言表示出函数的关系式，如f(x)=ax+b，其中a和b是常数，x是自变量，f(x)是因变量。

1.2.2 图象函数的图象是把函数的自变量和因变量的关系用坐标系表示出来的图形，如把f(x)=ax+b用坐标系表示出来就是一条直线。

1.2.3 对称性函数的对称性是指函数图象关于某一点或某一线的对称性，如函数f(x)=ax+b的图象关于y轴对称，函数f(x)=x2的图象关于y 轴对称，函数f(x)=sin x的图象关于原点对称。

1.2.4 导数函数的导数是指函数的变化率，即函数因变量随自变量的变化率，导数可以用微分的方法来求出，如函数f(x)=ax+b的导数是a，函数f(x)=x2的导数是2x，函数f(x)=sin x的导数是cos x。

1.2.5 积分函数的积分是指函数的积分，即函数因变量随自变量的积分，积分可以用积分的方法来求出，如函数f(x)=ax+b的积分是ax2/2+bx，函数f(x)=x2的积分是x3/3，函数f(x)=sin x的积分是-cos x。

二、函数的分类2.1 一元函数一元函数是指只有一个自变量的函数，如f(x)=ax+b，其中a和b是常数，x是自变量，f(x)是因变量。

2.2 二元函数二元函数是指有两个自变量的函数，如f(x,y)=ax+by+c，其中a、b和c是常数，x 和y是自变量，f(x,y)是因变量。

2.3 奇函数奇函数是指函数图象关于原点对称的函数，如f(x)=x3，其图象关于原点对称。

2.4 偶函数偶函数是指函数图象关于y轴对称的函数，如f(x)=x2，其图象关于y轴对称。

三、函数的应用3.1 在自然科学中的应用在自然科学中，函数可以用来描述物理现象和化学反应，如在物理学中，函数可以用来描述物体的运动轨迹，在化学学中，函数可以用来描述化学反应的速率。

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高二上学期数学讲义第四讲