平面的法向量与平面的向量表示

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5.直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判定

因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDE
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
例3. 在空间直角坐标系内，设平面经过点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面内任意一点，求 x, y, z
满足的关系式。
解：由题意可得 PM (x x0, y y0, z z0 )， e PM 0
l / /
e n0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
例4 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，所以AB，AD，
l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
A 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是
与平面平行或在平面内，则有
nm 0
例 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的

平面向量与平面的关系

平面向量与平面的关系平面向量是向量的一种形式，它的组成部分是一个起点和一个终点，可以用箭头来表示。

平面是二维的，由二维点的集合构成，其上的点可以用二维坐标表示。

本文将探讨平面向量与平面之间的关系及相关的性质。

一、平面向量的定义与性质平面向量可以表示为两个点之间的差向量。

设点A(x1, y1)和点B(x2, y2)是平面上的两个点，其联结的平面向量可以表示为AB = (x2 -x1, y2 - y1)。

平面向量具有以下性质：1. 平面向量的模：平面向量AB的模可以通过勾股定理求得，即|AB| = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]。

2. 平面向量的加法：两个平面向量的加法可以通过将它们的对应分量相加得到。

设平面向量A(x1, y1)和平面向量B(x2, y2)，它们的和为A +B = (x1 + x2, y1 + y2)。

3. 平面向量的数量积：两个平面向量的数量积定义为它们对应分量的乘积的和。

设平面向量A(x1, y1)和平面向量B(x2, y2)，它们的数量积为A · B = x1x2 + y1y2。

4. 平面向量的夹角：设平面向量A和平面向量B不同时为零向量，它们的夹角θ可以由余弦定理求得，即cosθ = (A · B) / (|A| |B|)，从而可以计算出夹角的大小。

二、平面向量与平面之间的关系平面向量和平面之间有着密切的关系，我们将讨论以下几个方面：1. 平面上的平行向量：若两个平面向量的方向相同或相反，它们为平行向量。

若平面向量A(a, b)与平面向量B(x, y)平行，则存在实数k，使得a = kx，b = ky。

2. 平面上的法向量：设平面向量A(a, b)与平面向量B(x, y)垂直，则A为平面的法向量。

当且仅当a = -ky，b = kx时，平面向量A与平面向量B垂直。

3. 平面与平面之间的夹角：设平面P1的法向量为A(a1, b1)，平面P2的法向量为B(a2, b2)，则两个平面之间的夹角θ可以由以下公式计算得到：cosθ = (a1a2 + b1b2) / (|A| |B|)。

高二数学选修课件：3-2-2平面的法向量与平面的向量表示

人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
[例 1]
如图， ABCD 是直角梯形， ∠ABC＝90° SA⊥ ，
人教 B 版数学
1 平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SCD 与平面 SAB 的法向量．
第三章
空间向量与立体几何
[分析] 解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每
个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量．
人教 B 版数学
[解析]
∵AD、AB、AS 是三条两两垂直的线段，
→ → → ∴以 A 为原点，以AD、AB、AS的方向为 x 轴，y 轴， 1 z 轴的正方向建立坐标系， A(0,0,0)， 2，则 D( 0,0)， C(1,1,0)， → ＝(1，0,0)，是平面 SAB 的法向量， S(0,0,1)，AD 2 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，μ)，
第三章
空间向量与立体几何
人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
1．知识与技能
掌握平面的法向量的概念及性质．理解平面的向量表示． 2．过程与方法用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行人ຫໍສະໝຸດ 教 B 版数学或垂直问题．
3．情感态度与价值观培养学生转化的数学思想，增强应用意识．
第三章
空间向量与立体几何
人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
重点：平面法向量的概念及性质．难点：利用法向量法解决几何问题．
人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
人教 B 版数学

法向量方程

法向量方程法向量方程是描述平面的一种常见形式。

平面可以通过一点和法向量来定义，这样的方程可以写成Ax +By +Cz +D =0的形式，其中ABC是法向量的分量，(x,y,z)是平面上的任意一点。

本文将介绍法向量方程的相关概念、性质和使用方法。

法向量是一种垂直于平面的向量，可以用来表示平面的方向和倾斜程度。

在二维平面中，法向量可以用一个二维向量表示；在三维空间中，法向量则需要用一个三维向量表示。

如果平面通过点P(x0,y0,z0)，并且其法向量为N(Nx,Ny,Nz)，那么平面上的任意一点P(x,y,z)满足以下条件：(Nx)(x-x0) + (Ny)(y-y0) + (Nz)(z-z0) =0这个等式叫做平面的法向量方程，也叫做点法式方程。

这个方程的推导可以通过向量的相关知识来进行，可以通过点乘和向量的夹角公式得到。

法向量方程的一个重要特点是，对于平面上的任意一点P(x,y,z)，与法向量N的夹角θ始终为直角。

也就是说，向量N是平面上所有点的法向量，它垂直于平面。

平面的法向量方程还有几种等价的表达方式。

一种是点法式方程，上面已经提到过。

另一种是三点式方程，通过平面上的三个点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)和P3(x3,y3,z3)来定义平面，可以通过叉乘得到法向量，然后带入点法式方程得到平面的方程。

法向量方程在几何学中有广泛的应用，特别是在计算机图形学、物理学和工程学中。

在计算机图形学中，平面经常用法向量和一个点来定义，用来构建复杂的三维场景和对象。

在物理学中，法向量方程用于描述电磁场的传播和反射现象。

在工程学中，法向量方程用于计算平面上的应力分布和力的作用。

使用法向量方程可以方便地计算平面上的各种性质。

例如，可以通过点法式方程计算平面的法向量、切线、法平面等。

还可以通过两个平面的法向量方程计算它们的夹角、交线等。

此外，通过法向量方程可以判断一条直线与平面的关系，例如直线与平面的交点、直线是否与平面平行等。

法向量1

z
A
B
x
F E
Dy
C
小结：
想想看，这节课我们都学到了什么？ 1、怎么求法向量？ 2、利用法向量证明平行与垂直问题
作业：练习册：47-48页
目标：
会求法向量并用法向量解题
请各位老师批评指正谢谢
课前小测答案：
1、 a b x1x2 y1 y2 z1z2
2、a b 0
3、 E(1, 1 ,2) F 1 ,1,1
2、线面垂直性质定理：（1）垂直于同一平面的直线互相平行（2）垂直面的直线，垂直面内所有直线
目标：
会求法向量并用法向量解题
3、线面平行判定定理：不在面内直线平行面内一条直线，则线面平行
4、面面平行判定定理：两条相交直线平行于同一个平面，则两个平面平行
新知教学
1、已知平面，如果向量 n 的基线与
即xy

y z
赋值：x 1 n (1,1,1)
步骤1-2-1
目标：
会求法向
（1）设 n x, y, z
量并用法向量解题
（2）找出平面内不共
线向量 v1,v2
n

v1

0
n v2 0
（3）解方程组，赋值
应用1 ：ABCD是直角梯形，ABC SA 平面ABCD SA AB BC 1 AD
x2 y2 z2 1 法向量是否
n (1,1,1)
唯一？
思考：求平面ABC的单位法向量坐标
求法向量方法
设法向量 n x, y, z
AB （1，1，0） BC 0，1，1
n AB 0 n BC 0
x y 0 y z 0

平面的法向量和方向向量

平面的法向量和方向向量平面的法向量和方向向量是平面几何中的重要概念，它们在描述平面的性质和运动方向时起到了关键作用。

本文将分别介绍平面的法向量和方向向量，并探讨它们的应用和相关性质。

一、平面的法向量平面的法向量是指垂直于该平面的向量。

设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。

如果向量AB垂直于平面P，那么向量AB就是平面P的法向量。

平面的法向量有以下性质：1. 法向量与平面上任意两个垂直向量的内积为零。

设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0。

2. 平面上的两个垂直向量的内积为零时，它们是平面的法向量的倍数关系。

设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0，因此存在实数k，使得a=k·n，b=k·n。

3. 平面上的两个非零向量的叉积是平面的法向量的倍数。

设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量n是平面P的法向量，则有向量a×b=k·n，其中k为实数。

平面的法向量在几何和物理学中有广泛的应用。

例如，在计算平面上的点到另一平面的距离时，可以利用平面的法向量来求解。

同时，在力学中，平面的法向量也被用来描述平面上的压力和力的作用方向。

二、平面的方向向量平面的方向向量是指平面上的一个非零向量，它表示了平面上的一个方向。

设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。

如果向量AB不是平面P的法向量，那么向量AB 就是平面P的方向向量。

平面的方向向量有以下性质：1. 平面上的两个非零向量的线性组合是平面的方向向量。

设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量c=k1·a+k2·b，其中k1和k2为实数，则向量c是平面P的方向向量。

2. 平面上的两个方向向量的叉积是平面的法向量。

平面的法向量与平面的向量表示

返回
设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则nn11·AA11DB＝＝00，
－x1－z1＝0， y1－z1＝0.
令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.
所以平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1，1，1)．
设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··DD11CB1＝＝00， xy22－＋zy22＝＝00.，令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，
返回
[例2] 如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1， CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[思路点拨] 建立空间坐标系．求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．
返回
[精解详析] (1)以 D 为原点，向量 DA、DC 、DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为 1.
返回
1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α 垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示式设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件 ·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直的平面， AM ·n＝0 通常称为一个平面的向量表示式．
∵m·C1M ＝(0，－1，2)·(1，－1，－12)＝0＋1－1＝0，
∴C1M ⊥m. 又C1M 平面ADE，∴C1M∥平面ADE.
返回
(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F(0，
1 2
，0)得
D1 A1
＝
(1，0，0)， D1F ＝(0，12，－1)，

法向量与平面的向量表示

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
A 组
1.已知四面体ABCD ，棱AB AC =，棱DB DC =，点M 为棱BC 的中点，在图中指出，哪两点确定的位置向量是平面ADM 的法向量？哪两个平面互相垂直？为什么？
2.已知正方体''''ABCD A B C D -，写出平面ABC 和平面'AB C 的一个法向量。

4.如图，已知PO ⊥平面ABC ，AC BC =,D 为AB 的中点，求证：AB PC ⊥。

5.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面AC ，如果BC PB ⊥，求证ABCD 是矩形。

6.已知(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，0，5)，求平面ABC 的单位法向量。

7.已知正方体''''ABCD A B C D -，分别写出两个对角面的一个法向量，并证明两个对角面互相垂直。

8.已知四面体ABCD 的棱AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥。

B 组
9.直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是矩形，121 3.AB AD AA ===，， M 是BC 的中点.在1DD 上是否存在一点N ，使1MN DC ⊥？。

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示峡山中学高二数学组 2010-12-23【课标点击】(一)学习目标：1、掌握平面的法向量；2、利用平面的法向量判定平面的位置关系；3、平面的向量表示；4、线面垂直的判定定理；5、三垂线定理.(二)教学重、难点：平面的向量表示、线面垂直的判定，面面垂直的判定【课前准备】（一）知识连接：1、空间直线的向量参数方程：a t OA OP +=或OB t OA t OP +-=)1(2、设P 为AB 之中点则)(21OB OA OP +=3、直线1l 与2l 的方向向量为1v 和2v ，则2121////v v l l ⇔，212121v v v v l l ⋅⇔⊥⇔⊥=04、两直线成的角，与两直线的方向向量成角的关系5、 p 与a ，b 共面（a ，b 不共线）⇔R y x ∈∃,使b y a x p +=6、点A 、B 、C 不共线，则点A 、B 、C 、P 共面⇔∃x 、y R ∈使AC y AB x AP += （二）问题导引：如何证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直？【学习探究】（一）自学引导：自主学习课本102页至103页部分． 1、平面的法向量2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面（用向量方法证明）3、平面的向量表示：4、设1n 、2n分别是平面α、β的法向量，那么：α//β或α与β重合⇔ 21//n n αβ⊥⇔21n n ⊥5、三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，O A 是P A 在平面α内的射影，a α⊂，且a O A ⊥求证：a P A ⊥；证明：∵P O α⊥ ∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥=∴a ⊥平面P O A ，∴a P A ⊥．说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a O A αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭6条斜线的射影垂直证明思路： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．（二）思考与讨论：⑴三垂线指：（PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a ）2）其实质是：（斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理）注意：要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用（三）典型例题:例1．在正方体111ABCD A B C D -中，求证：1D B是平面1AC D 的法向量．例2：已知正方体''''ABC D A B C D -.求证：平面''//A B D 平面'B D C .例3.如图，底面A B C D 是正方形，SA ⊥底面A B C D ，且SA AB =，E 是S C 中点. 求证：平面BD E ⊥平面A B C D .说明：一．证明垂直关系，可通过向量的数量积等于0来实现；二．要善于转化，即挖掘已知的垂直关系，将未知向已知转化（四）变式拓展：已知正方体1111ABC D A B C D -中，,E F 分别为1,BB C D 的中点，求证：1D F ⊥平面A D E 。

课件1：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，则nn11··AA→→11BP＝1＝00，， ⇒y－1＝x10＋，y1＋(a－1)z1＝0， ∴x1＝(a－1)z1，y1＝0.
令 z1＝1，得 x1＝a－1， ∴n1＝(a－1,0,1). 设平面 C1DE 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
三垂线定理及其逆定理
求平面的法向量
如图 3－2－10，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°， SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SCD 的法向量．
【思路探究】先确定平面 SCD 内的两个不共线向量，比如D→C，S→C，再设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)，构造方程组求解．
∵P→D＝0，2 3 3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，
即 PD⊥平面 ABE.
利用空间向量解决探索性问题 (12 分)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1 上求一点 P，使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE.
图 3－2－13
D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即 n1·D→A＝2x1＝0， n1·A→E＝2y1＋z1＝0，
得xz11＝＝－0，2y1，
令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1,2)．
因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
的中点，N 为 BC 的中点．
证明：直线 MN∥平面 OCD. 【思路探究】只需建系证明M→N·n

平面向量的法向量和单位向量

平面向量的法向量和单位向量平面向量是二维空间中的线段，它具有方向和大小。

在平面向量中，存在着一些特殊的向量，比如法向量和单位向量。

本文将从法向量和单位向量两个方面进行探讨。

一、法向量在平面向量中，法向量是与给定向量垂直的向量，通常用n表示。

对于平面向量a=(a1,a2)，其法向量可以表示为n=(-a2,a1)，或者n=(a2,-a1)。

法向量的方向垂直于给定向量，并且具有相同的大小。

法向量在几何学中有着重要的应用，比如在计算两个向量的夹角时，常常使用法向量来进行计算。

法向量还可以用来表示平面的法线方向，从而帮助求解平面几何中的问题。

二、单位向量单位向量是指长度为1的向量，表示为u。

在二维空间中，单位向量通常表示为u=(cosθ,sinθ)，其中θ为向量与x轴的夹角。

单位向量的大小为1，表示方向而不表示大小。

单位向量在向量运算中起着非常重要的作用。

在计算两个向量的夹角时，可以使用单位向量来表示向量的方向，从而简化计算。

单位向量还常用于表示力的方向，以及在物理学中描述物体的位移和速度方向。

结论平面向量中的法向量和单位向量是非常重要的概念，它们在几何学和向量运算中都具有重要的应用价值。

法向量可以帮助我们求解向量的垂直方向，单位向量则可以帮助我们统一向量的方向，并简化向量运算的复杂度。

深入理解和应用法向量和单位向量，有助于提升数学和物理学等相关学科的学习成绩，同时也为解决实际问题提供了便利。

愿本文对读者有所启发，帮助大家更好地理解平面向量的法向量和单位向量。

高中数学平面的法向量与平面的向量表示知识点解析

第三章 §3.2 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量. 2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直. 3.了解三垂线定理及其逆定理.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习题型探究达标检测
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果. 2.利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果.
置；若不存在，请说明理由.
题型三利用空间向量证明垂直问题
例3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝ 3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为 BC的中点.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
反思感悟利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.
1 自主学习
PART ONE
知识点一平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交. 知识点二平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件 A→M·n＝0 的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面.这个式子称为一个平面的向量表示式.

3.2.1直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判定

e
A
B
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那么向量 n 叫做平面的法向量.
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行法向量为n (a2 , b2 , c2 ),则包括线在面内，面面平行包括面面重合 .
设直线l的方向向量为e (a1 , b1 , c1 ), 平面的
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
3 | n | 2
练习，在空间直角坐标系中 , 已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
由两个三元一次方程组成的方程组的解是解：设平面的法向量为n （x，y，z），不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。则n AB ， n AC 其实平面的法向量不是惟一的。（x，y，z） (2, 2,1) 0，
单位法向量。
（x，y，z） (4,5,3) 0,
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1
l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
l1
e1
e2

课件4：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

线线垂直
①证明两直线的
方向向量的数量
积为0.
②证明两直线所
成角为直角.
线面垂直
①证明直线的
方向向量与平
面的法向量是
平行向量．
②证明直线与
平面内的相交
直线互相垂直.
面面垂直
①证明两个平
面的法向量垂
直．
②证明二面角
的平面角为直
角.
例题解析
例1
已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中
间的平行、垂直问题．(重点、难点)
自学导引
1．平面的法向量
已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则
法向量或说向量 n 与平面
向量 n 叫做平面 α 的 _______
正交
α_____．
自学导引
1．平面的法向量
平面法向量的性质：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)条件m⊂α并非可有可无．把m⊂α，改为m∥α，
其他条件不变，三垂线定理仍然成立．
(3) 三垂线定理是证明空间两条直线垂直的依
据．应用定理的关键是：要证线线垂直，转化为
证明m与l在α内的射影l′垂直．
2．三垂线定理及逆定理的理解
(4)三垂线定理及其逆定理合起来可表述为：设l是
求证：l⊥AC.
证明：取向量v∥l，则v∥ α，且v ⊥ .
因为AB⊥ α ，l ⊂ α，所以
v⊥.
又因为·v=( + )·v= ·v + ·v=0.
因此v⊥，得⊥AC.
本例证明所得的结论，通常称为三垂线定理.

线面平 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向

平面的法向量与平面的向量表示

添加标题
向量表示：平面上任意向量表示平面上任意点的位置
法向量的长度和方向决定了平面的方向而向量表示的长度和方向决定了平面上任意点的位置
平面的法向量与平面的向量表示的转换方法
法向量：垂直于平面的向量表示平面的方向
转换方法：通过向量积或点积计算法向量与向量表示的关系
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Байду номын сангаас法向量：垂直于平面的向量
法向量的方向：与平面的法向量平行
法向量的长度：与平面的法向量长度相等
法向量的作用：表示平面的方向和位置
平面的向量表示的定义
平面的向量表示：平面上任意向量都可以用两个不共线的向量表示向量的表示方法：向量可以用坐标表示也可以用向量的模和方向表示向量的模：向量的长度表示向量的大小向量的方向：向量的方向表示向量的方向
平面的向量表示的几何意义
向量表示：平面上任意向量都可以用两个不共线的向量表示向量加法：两个向量的和向量在平面上向量乘法：向量与标量相乘结果向量在平面上向量叉乘：两个向量的叉乘结果为垂直于平面的向量
平面的向量表示的计算方法
向量的表示：向量可以用坐标表示如(x, y, z) 向量的加法：两个向量相加得到新的向量向量的减法：两个向量相减得到新的向量向量的数乘：向量与一个数相乘得到新的向量向量的叉乘：两个向量叉乘得到新的向量向量的点乘：两个向量点乘得到新的向量
平面的向量表示的应用场景
计算机图形学：用于表示和操作三维空间中的物体和场景
物理学：用于描述力和运动的方向和大小
工程学：用于分析和设计机械、建筑等工
程结构
数学：用于解决线性代数、微积分等数学

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示

直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和平面的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。那么这条直线垂直于这个平面。已知: 、是平面是平面α内已知 a、b是平面内的两条相交直线，的两条相交直线，且直线n⊥ ， ⊥ ，直线 ⊥a，n⊥b，求证： ⊥ 求证：n⊥α.
α
n b c a
例3．已知点．已知点A(a，0，0)，B(0，b，0)，，，，，，， C(0，0，c)，其中abc≠0，如图，求平面，，，其中，如图， ABC的一个法向量。的一个法向量。的一个法向量
z C n
r ，， n =(bc，ac，ab)
O B x
y
分别是平面α的垂线例4．已知：AB，AC分别是平面的垂线．已知：，分别是平面和斜线，是在内的射影内的射影， α且和斜线，BC是AC在α内的射影，l ⊂ 且 l⊥BC，求证：l⊥AC. ⊥ ，求证： ⊥ 三垂线定理
4. 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB 如图，－＝BC＝2，AA1＝1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所＝，，成角的正弦值为( 成角的正弦值为 D ) 6 2 5 15 10 A. B. C. D. 3 5的向量表示
r 已知平面α，的基线与平面α 已知平面，如果向量 n的基线与平面 r 垂直，则向量叫做平面α的法向量或说垂直，叫做平面的法向量或说 n r 向量与平面α正交。与平面正交。正交 n
由平面法向量的定义可知，平面的一个由平面法向量的定义可知，平面α的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量。法向量垂直于与平面共面的所有向量。由于同时垂直于同一平面的两条直线平可以推知，行，可以推知，一个平面的所有法向量互相平行。相平行。由平面法向量的性质，由平面法向量的性质，很容易通过向量运算证明直线与平面垂直的判定定理。运算证明直线与平面垂直的判定定理。直线与平面垂直的判定定理

空间平面的法向量公式

空间平面的法向量公式空间平面是由三个非共线的点确定的，也可以通过一条直线和一个确定的向量来表示。

在我们讨论的情况中，我们将假设空间平面由一条经过原点的向量和一个确定的法向量来表示。

如果空间平面由一条直线和一个法向量来表示，我们可以用向量的点积来判断给定的向量是否是平面的法向量。

具体来说，如果一个向量a与平面的法向量n的点积为零，则向量a在平面上。

这可以通过下面的公式来计算：a·n=0这个公式告诉我们，如果一个向量与平面的法向量的点积为零，那么这个向量一定在平面上。

另一种常见的方法是使用三个点来确定平面。

假设我们有三个非共线的点A、B和C，并且这些点都在同一个平面上。

我们可以通过求两个向量的叉积来找到平面的法向量。

具体来说，我们可以使用向量AB和向量AC来计算平面的法向量。

叉积的计算公式如下：n=AB×AC这个公式告诉我们，平面的法向量是由向量AB和向量AC的叉积得到的。

为了更好地理解空间平面的法向量公式，让我们来看一个具体的例子。

假设我们有三个点A(1,2,3)、B(4,5,6)和C(7,8,9)，我们想要找到通过这三个点的平面的法向量。

首先，我们需要计算向量AB和向量AC。

向量AB可以通过从点A到点B的坐标差来计算，即：AB=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)类似地，我们可以计算向量AC：AC=(7-1,8-2,9-3)=(6,6,6)接下来，我们可以使用向量AB和向量AC来计算平面的法向量。

通过计算叉积，我们可以得到：n=AB×AC=(3,3,3)×(6,6,6)=(0,0,0)在这个例子中，我们得到的法向量为(0,0,0)。

由于法向量为零向量，这意味着这三点不共线，因此它们无法确定一个平面。

这就是空间平面的法向量公式。

通过这个公式，我们可以用几何和代数方法来计算平面的法向量。

这对我们在空间几何中解决问题非常有帮助，例如计算平面的方程、判断两个平面是否平行或垂直，以及解决平面与直线的交点等。

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示(2)

C 例 2. 已知 AB、 AC 分别是平面的垂线和斜线， BC 是 AC 在平面内的射影，l ，且 l B 求证： l AC 。
如何证明三垂线定理？
三垂线定理的逆定理内容：
典型例题
例 1. 在正方体 ABCD ABC D 中，求证：（1） AD // 平面BDC ；（2） AC 平面BDC 练习：如图，已知 PO 平面ABC, AC BC, D 是 AB 的中点，求证： AB PC 。
学案序号：
课型:主导课
执笔教师:杨慧敬
授课时间：2016 年月
号
济南高新区实验中学
高二年级
班
姓名
3.2.2
平面的法向量与平面的向量表示（2）
练习：在正方体 ABCD ABC D 中，E、F 分别是 BB 、 CD 的中点，求证：平面DEA 平面AFD
学习目标
1.了解平面法向量的概念及平面的向量表达式；2.掌握平面法向量的求法及简单应用。重点：法向量的求法；难点：法向量的应用.
5. 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，且 PA 底面ABC，BC PB ，求证： ABCD 是矩形。
课后反思
学案序号：
课型:主导课
执笔教师:杨慧敬
授课时间：2016 年月
号
济南高新区实验中学
高二年级
班
姓名
温故知新
求平面法向量的方法一般有几种？步骤？
学习过程 ※ 学习探究一：设 n1 , n2 分别是平面 , 的法向量, v 是直线 l 的方向向量，则
l //
； ;
l
；
// 或与重合
※ 学习探究二：三垂线定理内容：

高二数学高效课堂资料平面的法向量(用)

证明：因为OA BC OA (OC OB)
O OA OC OA OB
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
D
AD 、D C 、DD的中点，
P
求证：⑴平面PQR∥平面EFG。 A R
⑵ BD⊥平面EFG
D
A
E
B
Q
C
B
G C
F B
例. 在空间直角坐标系内，设平面经过点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面内任意一点，求 x, y, z
例1、设平面α的法向量为(1, 2, －2),平面β 的法向量为(－2, －4, k),
若α//β，则k=
4；
若α⊥β, 则 k= －5 。
练习 1、已知l//α，且l的方向向量为(2, m, 1)，平面α的法向量为(1, 1 , 2), 则m= －8 .
2
2、已知l⊥α，且l的方向向量为(2, 1, m), 平面α的法向量为(1, 1 , 2), 则m= 4 .
关于三垂线定的应用：关键是找出平面(基准面)
及垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
第一、定平面(基准面) 第二、找平面垂线（电线杆）
第三、看斜线，射影可见
第四、证明直线a垂直于射影线，从而得出a与b垂直。
强调：1°四线是相对同一个平面而言。
2°定理的关键是找“基准面”和“电线
P
a PA a (PO OA)

a PO a OA