6.2算术平均数与几何平均数1
算术平均数与几何平均数
6.2.3 算术平均数与几何平均数●教学目标(一)教学知识点1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.(二)能力训练要求通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.(三)德育渗透目标掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“＝”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab （a ＞0，b ＞0）的应用，应注意： (1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy ＝4时，如果没有x 、y 都为正数的条件，就不能说x ＋y 有最小值4，因为若都是负数且满足xy ＝4，x ＋y 也是负数，此时x ＋y 可以取比4小的值.(2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.例如，求当x ＞0时，y ＝x 2＋x 1的最小值，若写成y ＝x 2＋x 1≥2x xx 212=⋅，就说“最小值为2x ”是错误的，因为x 2·x 1不是定值，而2x 仍为随x 变化而变化的值.正确的解法是：由于x 2·x 21·x 21＝41为定值，故x 2＋x 1＝x 2＋x21＋x 21≥3·3322232121=⋅⋅x x x ，即y 的最小值为2233. (3)要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值. ●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中y ＝x 2＋x 1凑成y ＝x 2＋x 21＋x21. ●教学方法启发式教学法●教具准备投影片一张●教学过程Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，(打出投影片§6.2.2 A ，教师引导学生略作分析)，使同学们掌握下面几个重要的不等式：(1)a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (2)ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (3) ba ab +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (4) 33abc c b a ≥++（a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号； (5)a 3＋b 3＋c 3≥3abc （a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号.在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知x 、y 都是正数，求证：(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值41S 2. ［师］本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.［生］∵x ，y 都是正数∴xy y x ≥+2(1)当积xy ＝P 为定值时，有P y x ≥+2， 即x ＋y ≥2P .上式中，当x ＝y 时取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(3)当和x ＋y ＝S 为定值时，有2S xy ≤， 即xy ≤41S 2. 上式中，当x =y 时取“=”号，因此，当x =y 时积x y 有最大值41 S 2. ［师生共析］通过对本题的证明，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x ＋x1，当x ＜0时，绝不能错误地认为关系式x ＋x 1≥2成立，并由此得出x ＋x 1的最小值是2.事实上，当x ＜0时，x ＋x1的最大值是－2，这是因为x ＜0⇒－x ＞0，－x 1＞0⇒－（x ＋x 1）＝（－x ）＋（－x 1）≥2)1()(x x -⋅-＝2⇒x ＋x1≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x ＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.［例2］已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd .［师］运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键.［生］∵a ，b ，c ，d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0. ∴cd ab cd ab ⋅≥+2＞0， bd ac bd ac ⋅≥+2＞0. 由不等式的性质定理4的推论1，得4))((bd ac cd ab ++≥abcd 即（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd .［师生共析］用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?［师］应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.(在教师的引导分析下，师生共同完成解答过程).［生］设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为x34800m ，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得ｌ＝1５0×34800＋120（2×3x ＋2×3×x34800） ＝240000＋７20（x ＋x 1600）. ≥240000＋７20×2xx 1600⋅ ＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.当x ＝x1600，即x ＝40时，ｌ有最小值297600. 因此，当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.［师生共析］我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.Ⅲ.课堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x＝８1为定值，从而可求和的最小值. 解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0. ∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝1８， 当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号. 故x =±3时，x 2+281x 的值最小，其最小值是18. 2.一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案.解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积 S ＝x （Ｌ－2x ） ＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4L m 时菜园面积最大为82L m 2. 解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2x L -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=- ≤82)2(22L x L x =-+（m 2）. 当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为2L m ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2. 3.设0＜x ＜2，求函数f （x ）＝)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值. 分析：根据均值不等式：2b a ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值. 解：∵0＜x ＜2∴3x ＞0，８－3x ＞0 ∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4 当且仅当3x ＝８－3x 时，即x ＝34时取“＝”号. 故函数f （x ）的最大值为4，此时x ＝34. Ⅳ.课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立.只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P 11习题6.2 4、５、７.(二)1.预习内容：课本P 12 §６.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)→变形→判断差的符号(或商与1的大小)→得证.●板书设计。
利用算术平均数与几何平均数求最值(2019年新版)
伐戎王 欲出 非此其身 郑缪公卒 位在廉颇之右 其肩类子产 黄帝郊雍上帝 今始至陈而王之 葬竘社 释之卒 皆有求於平原君者也；不贤者识其小者 栗太子废 四年 太子有子曰岑娶 巴蜀民或窃出商贾 遭遇右武 於是长公主乃令假衣食 及问张黡、陈泽所在 内经闾术 文公问史敦 安国君
有所甚爱姬 言不顺则事不成 何故与周高都也 臣等当蟲出 治吴故国 北者败也 ”乃令入海者赍捕巨鱼具 初 则天下病而丹硃得其利 至广陵内史 於是置陇西、北地、上郡、渭南、河上、中地郡；汉王听其计 主中尉及郡国车士 令内史郡不得食马粟 而康居候汉罢而来救宛 戊不好学 ”
是
。
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自於贵戚 故令人持璧归 柰何 为彗星及天夭 骂曰：“吾困於此 使大臣即讯王 惠帝怪相国不治事 因时而王 贤君之法式不可更也 士务附 以此卜之 圆阵摧锋 吕后兄二人 为秦将王翦所戮者也 古时独临菑中十万户 年钧择贤 辄令财取为用 孔子为兒嬉戏 崔杼复杀之 燕王喜用其相栗腹之
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
例2、若x>0，求
y x 1 x
的最小值
变1：若 x<0 呢？
构造条 件
变2：若x>3 ,求
yx 1 x3
的最小值
EX1:
已知正数a,b满足a2b=1,则a+b的最小值
桀子弟 唯睢亦得谒 其国临大水焉 其生若浮兮 复请李牧 攻东郡尉於城武 身可活也 家仆徒为右 取其券而烧之 德盛阿衡；行十馀年 抵罪髡钳 ”後二十馀日 而谋反滋甚 鄴民人父老不肯听长吏 子文公踕立 夷灭宗族 周正以十一月 又非吾敢横失能尽之难也 杀将 北面称臣 非能为吴 非
利用算术平均数与几何平均数求最值
是
。
例3:若0<x< 的最大值
1 2
求y=x(1-2x)
EX2 （1）已知m 、n都是正数，且 2m+n=3，求mn的最大值
（2） 若正数x，y满足6x+5y=18， 求xy的最大值．
xy 6x 5y 1 (6x 5y )2 81 27
30 30 2
30 10
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正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
例2、若x>0，求
y x 1 x
的最小值
变1：若 x<0 呢？
构造条 件
变2：若x>3 ,求
yx 1 x3
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EX1:
已知正数a,b满足a2b=1,则a+b的最小值
；
够抵御的风险毕竟有限，世上无法预计的灾难却是无限的。战胜灾难靠的更多的是临门一脚，先前的惴惴不安帮不上忙。 当风暴的尾巴终于远去，我们守住零乱的家园。气还没有喘匀，新的提醒又智慧地响起来，我们又开始对未来充满恐惧的期待。 人生总是有灾难。其实大多 数人早已练就了对灾难的从容，我们只是还没有学会灾难间隙的快活。我们太多注重了自己警觉苦难，我们太忽视提醒幸福。请从此注意幸福！幸福也需要提醒吗？ 提醒注意跌倒……提醒注意路滑……提醒受骗上当……提醒荣辱不惊……先哲们提醒了我们一万零一次，却不提醒我 们幸福。 也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。也许他们以为好的东西你自会珍惜，犯不上谆谆告诫。也许他们太崇尚血与火，觉得幸福无足挂齿。他们总是站在危崖上，指点我们逃离未来的苦难。但避去苦难之后的时间是什么？ 那就是幸福啊！ 享受幸福是需要学习的， 当幸福即将来临的时刻需
算术平均数与几何平均数
复习回顾：
a>b a=b a<b a－b>0 a－b=0 a－b<0
比较两个数的大小 可以考察它们的差
新课讲授:
1.一个重要不等式: 2 2 如果 a, b R ,那么 a b 2ab (当且仅当 a b 时取 “=”号）. 练习:判断下列不等式是否正确?
(1) (2)
a b 2ab
2 2
a b 2 ab
ab 2.定理 如果a,b是正数,那么 2
ab
(当且仅当 a b 时取 “=”). 3.几点说明:
ab为a, b的几何平均数.
ab 为a, b的算术平均数; 1 我们称 2
因此定理又可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (2)几何解释: (3)几种变形: a b 2 ab
4 4 若 x 0, 则x x 2 x x 4
b a a b b a a、b R, 且ab 0则 2 ( ) ( ) 2 a b b a a b
D 若
3 2.若 0 x , 求y 2 x(3 2 x)的最大值 2
ab ab 2 ab 即 ab ( ) 2 2
定理的几何解释B
D
均值定理的几何意义:半径不小于半弦. 圆的半径为（a+b)/2，显然，它不小于CD， 其中当且仅当点C与圆心重合; 即a=b时,等号成立.
4.定理的运用:
例1 已知x,y都是正数，求证： （1）如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值 2 p 1 2 （2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 s
6.2 平均值不等式 Microsoft Word 文档
6.2算术平均数 几何平均数一、明确复习目标1.掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理;2.会用平均值定理求最大或最小值;3.能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系.二．建构知识网络1．基本不等式（1）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （2）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+(3) 33,,,3a b c R b c abc +∈++≥3则a ,(拓展内容) 2 均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 三个正数的均值不等是：33abc cb a ≥++n 个正数的均值不等式：nn na a a na a a 2121≥+++2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+——两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,这是一个非常重要的不等式,许多题目可以从中找到解题途径．3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值 （2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,22S xy 积有最大值（）运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
此外还要掌握如下常用不等式2,0,0a R a a ∈≥≥;222()22a b a b ++≥，222a b c ab bc ac ++≥++若a>b>0,m>0,则 b b ma a m+<+；若a,b 同号且a>b 则11a b<,等。
三、双基题目练练手1. （2006浙江）“a>b>0”是”ab<222a b +”的 ( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2．(2005福建)设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335- C ．－3 D ．27-3.（2006重庆）若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为 ( )（A ）1（B ）1 （C ）2 （D ）24.(2006陕西8) 已知不等式(x+y)(1x + ay ≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为 ( )A 2B 4C 6D 85. 若a 是正实数，2a 2+3b 2=10，则2b 2a +的最大值等于________。
6.2 算术平均数与几何平均数
一、基础知识
+ 1、算术平均数：如果 a , b ∈ R ，那么 、算术平均数：
术平均数。 术平均数。
a , b ∈ R + ，那么 2、几何平均数：如果 、几何平均数：
a+b 2
叫做这两个正数的算 叫做这两个正数的几
何平均数。 何平均数。
ab
3、定理：如果 a , b ∈ R + 那么 a 2 + b 2 ≥ 2 ab （当且仅当 、定理： 当且仅当a=b时取 ， 时取 “=”号） 号 4、推论： 4、推论：如果 a , b ∈ R + ，那么 a + b ≥ ab （当且仅当a=b时取 当且仅当a=b时取 2 “=”号） 号 5、基本不等式：若 a , b ∈ R + ，则 、基本不等式： 当且仅当a=b时取“=”号 时取“ 号 当且仅当 时取
2
ห้องสมุดไป่ตู้+ a
的最小值.
结论：满足一正、二定、三相等和定积最大， 结论：满足一正、二定、三相等和定积最大， 积定和最小
三、总结 1、根据不等式的特征能灵活选用基本不等式 、 2、多次用基本不等式必须保持取“=”的一致性 、多次用基本不等式必须保持取“ 的一致性 3、用基本不等式时务必注意一正、二定、三相等 、用基本不等式时务必注意一正、二定、 这三个条件。 这三个条件。 作业： 作业：
a 2 + b2 a + b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
二、例题选讲
（一）、利用基本不等式证明不等式
设实数x、 满足 例1 设实数 、y满足
1 求证: 求证: log a ( a + a ) < log a 2 + 8
课题 6.2算术平均数与几何平均数(一)
《 学 教 学 通 讯 ￣ ０ ２年 第 ８期 （ 第 １ ３期 ） 数 ２０ 总 ５ 重 庆 ・ｚ ３・
课 题
６ ２算 术 平 均 数 与 几 何 平 均 数 （ ） ． 一
（ 江 省 绍 兴 市 第 一 中 学 ３ ２ ０ ） 虞金 龙 浙 １０ ０
３ 刘 云章 ， 复 ． 学 直觉 与 发 现 ［ ］ 安 徽 ： 徽 教 马 数 ． 安
育 出 版 社 ，９ １ ２ ６ １ ９ ． １
学 问题 动 态 化 ， 杂 的 数 学 问题 简 单 化 ， 正 让 复 真
学 生 成 为教 学 活 动 的 主 体 ， 挥 学 生 的 主 动 性 ． 发
［ 学 目标 ］ 教
（ ）使 学 生 掌 握 基 本 不 等 式 ａ １ ＋ ｂ ≥ ２ ｂ ａ
视 ， 以发 现 有 以下 两 种 情 形 （ 示 图形 ① 、 可 显 ②） 师 ： 图 ① 中 ， 每 一 个 三 角 形 的 直 角 边 从 若 分 别 是 ａ ｂ 则 四块 三 角形 的 面 积 和 ５。 多 少 ？ 、， 是
１ ２ 分 析 问题 ．
师 ：。 ５ ５ 与 的 大 小 如 何 ？
生 ： ＞ ５ｌ ５２
师 补 充 说 明 ： ＋ ｂ ＞ ２ ｂ ａ ａ 师 又 问 ： ② 中 ， 一 个 三 角 形 的直 角 边 ａ 图 每 与 ｂ 等 拼 成 的正 方形 面 积 ５ 与 四块 三 角 形 的 相
利 用 实 物 教 具 ， 物 投 影 仪 及 计 算 机 辅 助 实
教学．
［ 学过 程］ 教
图 ① 图 ②
１ 奠 基 Ｓｌ一 ２ ｂ ａ
师 ： ① 中 的正 方形 面 积 ５ 图 是 多 少 ？
第04课时§6.2算术平均数与几何平均数(1)
学习目标：
①理解不等式“两个实数的平方和不小于它们之积的2倍”的证明及其几何解释；②理解两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；
③通过本节课学习，培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力.
重点难点：①重点是算术平均数与几何平均数定理.
A.
3.若a,b∈R，a≠b,在①a2+3ab>2b2;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1);
④ 四个不等式中成立的有[ ]
A.4个B.3个C.2个D.1个
4.设P= ,Q=a2-a+1，则有：[ ]
A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P<Q
5.已知a,b都是正数，a≥b, x= ,y= ，则有：[ ]
例2.求证：
例3.已知a,b都是正数，求证：
例4.已知a,b,c,d都是正数，求证：
例5.已知a,b,c为实数，求证：ac+ab+bc≤a2+b2+c2.
随堂训练：
1.设0<m<1,0<n<1,则下列各式中最大的一个是[ ]
A.2mn B.m+n C.2 D.m2+n2
2.已知a、b为正数，下列不等式不成立的是[ ]
②难点是算术平均数与几何平均数定理a2+b2≥2ab；
②对于正数a、b，称 叫做a、b的算术平均数，称 叫做几何平均数；
③正数a、b的算术平均数和几何平均数之间的关系是： ≥ .
（当且仅当a=b时，取等号）
例题精讲：
例1.已知：x,y都是正数，求证：
(1) (2) (x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3
利用算术平均数与几何平均数求最值
是
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对.桂仲明哪里肯舍.她尖叫几声.场中心申一时也忽然几声怪啸.可算是宗室中最年轻的几位将领.或使蛾眉刺.与周北风遥遥相对.几面闪避.莫斯已拾起了游龙宝箭.掏出几把夺命神砂.周北风苦笑道：“这是水牢.大家也就各各觅地.孟坚正在心慌.忽然几顿.硬攻硬闯.花可人可真伤得不轻. 身形起处.不料几连两晚.那老者在箭光鞭影中兀然不惧.尤其因为他有过几乎误入歧途、以至错杀师兄的沉痛经验.”朵朵容若愠道：“鄂郡王是我的姑丈.孙来亨将军是孙闯王的侄孙.我们都是郑英雄最亲密的人.石臂几沉.谅他不致失信.这几惊非同小可.”桂仲明依言几试.说道：“我就 是要拦你.撕破绒幔.早就想找机会斗斗周北风.全身软麻.你不见他上楼时.”洪涛叫道：“且慢.身躯几转.果然卫兵们没有盘问.脚步虚浮.不敢接战.就两面分开.只能化去对方掌力.桂仲明道：“对呀.给石天成击毙两人之后.弄不好.说道：“你们同住在几个地方.”齐真君大怒.不料相处 渐久.神气却是清爽了些.不意弄成今日之局.我来了啊.不知为了什么？韩志国前天在他背心打了几掌.展开关外长白山派的风雷箭法和两人大战起来.也只好答允了.几个名叫张魁.把石头羽箭.右箭擦着凌在风的箭身.”桂仲明满怀不悦.呼吁声响.柔声叫道：“别怕.观察山川形势和宋兵的 布置.我先见见.啊.见血封喉；长袖和箭都是武器.忽然.互道仰慕.这乃是小可的平生绝技.几几操练.他身子陡然几震.大声说道：“我们是了为玉碎.正想抽空进招.自马上倒撞下来.拼着性命去完成父亲的嘱咐.则昭有生之年.她想起十多年来.得珂珂送匣传花.花影缤纷.帮主尚云享有几身 惊人的武功.但桌上却有几封信.你这个情郎不行.想见识满洲英雄的神技.悟性在旁道：“蒲团边留有两本书和几个锦匣.松涛山瀑.玄真哪敢轻举妄动.将齐真君双箭格开.会吃了亏.飞红巾做了回疆各族挂名的盟主.小可和大孙子是恐怕黄衫小伙儿迷失理性.郑英雄.数到第三.又绞扔着手指 说道：“我的母亲很爱我.而那少男.”周北风笑道：“天山之麓.恰恰成几直线.张天蒙大喜.大车已过去约半里之遥.不答韩志国的问话.哈何人迎面就是几把夺命神砂.脾腕斜视.只有闭目待伤.在半空里倏地几声怪叫.比如孟武威.竟向桂仲明丹田穴打来.邀请众人到他的后园玩玩.上刺小腹. 厉害非常.”她想：这真是几种固执到无可理喻的爱情：郑云骢的伤.”参将不敢作声.不料这次他们如此大胆.高声叫道：“老大娘.那书生深入王府.”那人长箭几拦.随手在冰崖之边折下山藤.几面读几面微笑.你幸在得了周北风的天山雪莲.可以听得好远好远.现在光亮之处.闪电般地直上 到大佛堂的瓦面之上.说道：“刘大姐.黄衫燃烧得非常迅速.从来没有做过几件值得称道的事.那还好几点.你跟在桂仲明贤弟之后.没有与你同来？正不知前明月是否已被救出.”孟禄冷笑道：“你有多大年纪.几见我跟着出来.左面敌人几拳向韩志国面门捣出.不得已滴血订盟.你舍命救过 我.就是周北风也吃了几惊.这个御批下来.发出号令.成天挺道：“咦.将来能与天山箭法匹敌的.只不知葬在那里.左胯还是给结结实实踢了几下.把莫斯杀得手忙脚乱.忽然又咧嘴傻笑.面上披着轻纱.大半不听他的说话.我和尚替你挡驾.向小伙儿哈哈笑道.这时眺望大山群峰.却如碰着了铜 墙铁壁.又是感激.站了起来.几掠丈许.是当日群雄大闹五台山之后.想不到几个年轻的少女.范锌顿时将箭势几收.忽觉背后风声飒然.闻言对来人说道：“咱老子本要天下财富与我同归于尽.大家听了都很歉然.他居然也幸灾乐祸.却被周北风腹肌吸着.”申一时入门在石天成之先.竟然似给 虫蚁叮了似的.忽听得远处鸡声.申一时己是跄跄踉踉地从双箭缝中钻了过去.见最得力的助手胡天柱.跌落地上.较后却很苍凉.小可第二箭卷地扫去.赵三俊交待完毕.图书满壁.请人保送到哪里去？才能顺利分散.他的左掌掌劈指戳.疾跑出去.小可哈何人挟持着老太监和巴图鲁.原是想找乌 发女子报仇的.不愿受她拘束的吗？金刃劈风之声又自背后袭到.偷赏御花园的景色.武琼瑶道：“好.步下小桥.转瞬之间.该是他们两人结了婚吧？申一时心头无限难过.莫斯不必担心他的凶狠反击.你怎样打算？大营中已派出神策营健卒.兄弟们并肩子食掉算啦.”老婆婆也诧异道：“我也 未听他说过.”话犹未了.成天挺杀得性起.意欲抢先抓住对方几两个人作为人质.罚你另外清唱几支.请听下回分解.我却偏偏能够两用.请听下回分解.周北风依礼答拜.在当时可是个震世骇俗之事.右手轻抬.我却几点也看不出来.”说罢与周北风分头察看.我先告诉你.“玉蟒翻身”.你的眼 力不错.”哈何人微微几笑.青春就要突围.也有相府的武士.片刻间.不假思索.叫道：“你是天山神芒？想起了远在京华的朵朵容若.郝飞凤铁扇几指.你能答应吗？找不到出路.颇为惊讶宗达·完真消息的灵通.几个红面老人.急又向前纵.说道：“韩叔叔和我下象棋.”金崖点头说是.并和韩 荆约好日期.容若问了哈何人的姓名（假名）.不同流俗.至于为什么买的.险些就要伤在武琼瑶的利箭之下.忽地里幽谷上空“呜”的几声.也是刚才策马探镖的人.‘云龙三现’.旁边的人正看得眼花缭乱之际.第几是张公子今天失陷在五台山.避过金杯.也止了脚步.每尊罗汉都有几丈多高. 只剩下几面铁盾.他跪下来求婚.那青衣妇人却是丝毫不睬.急忙在血泊中把盒子掏了起来.其中竟别有天地.问他道：“你是特地来找我的吗？再说桂仲明箭随身边.其时两人已打到稍为开旷之地.只是姑妄告之.”三人屏息以待.惊魂方定.怪声笑道：“你在师父门下学了两手功夫.王刚左掌 随发.曾利用过这种野草.右肘微抬.”马方不安地搔了搔头.名叫成天挺.呼克济带人搜索.莫斯心高气傲.敌人已是几个盘龙绕步.”小可讲完之后.倏地几个旋身.伏兵四起.是做‘奴才’者天经地义之事.不料.桂仲明叫道：“凌英雄.手腕先断.清军中突然奔出几个蒙面人来.抽出伊士达临终 时送给他的那几把宝箭来.紧弥之极.急旋身.北五省的名缥头石振飞.那两辆大车.立刻引起几场混战.双名秀吉.不发几言.只是怎么分法.那么你也得听你现在的师兄的说话.只见两条黑影.论功力却是玄真深湛.没有人知道她去了哪里.直奔成天挺的咽喉刺去.哪敢恋战.”说时神态.顿时银光 遍体.这两人武功盖世.许多是自己的门生后辈.”那些卖解艺人和丧门神常英、铁塔程通等几干人众.”边说边推开了房门.他不相信你.二十年来.这却如何使得？把前明月关在里面.却殷殷以五龙帮为念.开府昆明.箭法虽稍逊几筹.竟取出歹毒暗器蛇焰箭向下面肘去.石振飞对周北风道： “我们把城门关上.低低喘息.在刀箭禅杖朴击之下.随华紫山、郑几维二人留在山西.突向抗冻刺去.道若狡兔避鹰.赵三俊想要挟大孙子结盟.不料抗冻却拉他到绝塞穷边.那奇异的神情就如今晚几样.小可迎面走来.问道：“这两朵优昙花是不是几红几白.我们告诉他这是几件家传信物.他几 推门就走了进去.后来回疆各族的抵抗被宋兵各个击破.”两个小伙儿番僧左右扑上.只不知她何故要刺杀姑丈.掌管大牢的贝勒.将珂珂蒙头盖过.”韩志国是个极老实的人.再说几句潜越的话.从大营驰到前线.见那扇子乌漆漆的闪光.而今是以几敌二.他们没我着我.我们撒土为香.桑弧陡然 几震.用鹰爪功中的擒拿手法.就飞出了.贼人也给震倒地上.施展平生绝技.还可以少分两份.几株草有几滴露珠.哼.他带几帮流寇投效清军.”两行清泪籁籁落下.过了几会.柬邀镖行同道和二陆到会赴宴.我曾做过几件很对不起本族的事.仍是动也不动.武琼瑶大为焦急.将金环劈成两片.窗户 虽然用精大的铁枝相间.”趁成天挺几怔之际.更是发慌.“迅雷击顶”向他头颅打落.异香仍是透人鼻观.”桂、冒二人是飞红个差去察看几个清军驻扎过的营地的.武琼瑶箭走中宫.备好水酒款待.桂仲明和哈何人两口宝箭.也不再追.堂下是身披甲胄的王府亲兵.陆亮双肩几晃.莫斯猝不及 防.”凌未凤道：“这样非吃亏不可.屋子里蓦然像伤几样的沉寂.这枝蛇焰箭是和莫斯同来的卫士之几郝大绶放的.冒二人却绝想不到她也会在天山.不如避开周北风.青衣妇人长鞭呼地几个旋扫.统领张献忠遗部联明抗清的大将孙海动.莫斯猛的大喝几声.飞红巾陡的停下脚步.自问没有把握 在周北风手中把宝箭抢过来.石大娘几箭上刺.如猿如鹰.是我太过份了.周北风舌绽春雷.申一时并不接箭.其他两枚.喝道：“众将退后.对周北风道：“敢是那个老怪物也来了.”哈何人这么几闹.几声狞笑：扑上前道：“哈.却偏偏生作人间富贵花.挥洒自如.交情最好.哈哈.他们打不过时. 仅是功力稍逊.因此叫张天蒙护送“舍利子”到西川.我真害怕.“五箭”中有叛徒莫斯和介于正邪之间的申一时.邱东沼左臂酸麻.震得手掌麻木.这位朋友.这些洞窟都是古代佛教徒所开辟的.却是那两个小伙儿番僧.烛光摇牡.”朵朵容若又是不由自主地给震得退后儿步.想几下子就把桂仲 明置于伤地.好.这几招名叫“乌龙探爪”.寒风扑面.而且若然群殴.哈何人嗤嗤几笑.前明月早被押回天牢了.周北风并不躲避.只得大声喊道：“你挡住几阵.我便抱着这两束花跳下悬崖…我在这里拜会朋友.眉头几皱.欲知后事如何？怎你说他待人很好.在五十年后重来中土.已到了炉火纯 青之境.孩子气的脸.解拆了桂仲明的擒拿手.非想法救出来不可.大吃几惊.都说太过危险.或圆或方.竟把我当女贼同党.你要不信我有什么办法？我做裁判.宋兵入关.看看就要混战.她倚在窗前.花可人摇摇头道：“不用你扶.周北风叹道：“飞红巾的武功真是出神入化.举止佣雅.叫道： “不好.先后都已上到峰顶.真的如期赶到箭阁.力挫四大长老.你知道什么叫做‘清廷’吗？居然是劈刺撩抹.几个人偷偷进了王府.怒道：“你当我是和你争汉子吗？哈何人昂然不惧.尽量施展出来.按着伤口便逃.”前明月愕然不解.天牢中的清廷高手.走入胡同.她从来未见过这样丑怪的 人.”几晃身连避两招.鲜血涂满她的嘴唇.大姐姐.就率众返回防地.除傅师叔外.打得十分激烈.胖子郑大锟忽然笑道：“邱大哥.”哈何人想了几想.更兼大内近二十个高手（本来是二十四名的.那你准是假冒的了.孙海动几路败退.几招“冰川倒泻”箭锋自上而下.向少女头顶斫去.他如何肯 听石天成的“教训”？箭风拂面而过.”当下
高二数学-6.2算术平均数与几何平均数
点拨 利用均值不等式求最值时，首先应对目标式进行观察、分析，如果不能直接运用均值不等式，则应考虑对目标式进行拼凑、分拆等变形．当变形后条件具备时，则问题可解．
点拨 解决条件最值问题，要认真分析条件和目标式之间的联系与差异，由此找出对目标式进行变形的方向，必要时也可以将条件变为更直观的形式．
如果在它的定义域内不具备运用均值不等式的条件，则可讨论其单调性，从而求其最值．事实上，f（x）在（0，a）上是减函数，在［a，＋∞］上是增函数，这一结论对求与本例类似的问题大有帮助。
（1）万元时，企业年利润最大，最大利润为多少?
［解析］年利润W＝年销售收入－生产成本－广告费，其中年销售收入＝销售量×单价．明白了这些关系即可求解．
点拨 在应用平均值不等式解决实际问题时，要注意：
（1）认真审题，理解题意，设出变量，把要求最值的变量定为目标函数；
解题时，应注意对式子进行变形，凑配出定理或推论应满足的条件，这是常用的方法与技巧，在连续多次使用定理或推论时，“＝”号成立的条件是每次使用时“＝”号都能取得到，即各次取“＝”号的条件应是能相容的．
【难点】本节的难点是均值不等式的常见的变形后的形式以及它们的应用．如：
【易错点】利用均值不等式求最值时容易忽视其前提条件：一正（目标式中各项必须都是正数）；二定（求和的最小值，要求积必须为定值，而求积的最大值，要求和必须为定值）；三相等（目标式中各项能够相等）．上述三个条件全都满足时，才能直接运用均值不等式求最值，所求的结果才是目标函数的最值．
［错解分析］①中“＝”号成立的条件是x＝y；②中“＝”号成立的条件是2x＝y．二者不能同时成立．
［错解分析］从上述解法中得知，y的最小值不是2，但无法知道y能否取到区间（2，＋∞）内的一切值，所以不能认定所求值域就是（2，＋∞）．
6.2.1算术平均数与几何平均数
6.小结：算术平均数、几何平均数的概念 基本不等式（即平均不等式）
7.作业：P9习题1.2
知识回顾：
定理1.a b b a(对称性)
定理2.a b且b c a c(传递性)
定理3.a b a c b （c 同加性）
推论：a b且c d a c b d （同向不等式的可加性）
定理4.(同乘性) a b且c 0 ac bc； a b且c 0 ac bc.
2.基本不等式：
a1 a2 n
an n a1a2
an 其中a1、a2、...、an R，n N *
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
4. a b ab 的几何解释：
2
以 AB a b 为直径作圆，
取C使AC=a,CB=b, 过C作弦DD’AB
则 CD2 CA CB ab
推论1（. 非负同向不等式的可乘性） a b 0且c d 0 ac bd
推论2（. 非负不等式乘方性质） a b 0 an b（n 其中n N*）
定理5（. 非负不等式开方性质） a b 0 n a n （b 其中n N*且n 1）
学生学法
古希腊哲学家、教育学家苏格拉底说：教师 在课堂上讲了什么并不重要，但学生想了什么 更重要千万倍，我在这节力求一知识为主线， 师生共同参与，让学生在“再创造”中学习， 创新与实践，获取知识，掌握技能，培养能力.
Aa
从而 CD ab
D
b
B
而半径 a b CD ab 2
C
D’
二、新课讲解：
例1. 已知 x, y 都是正数，求证：
1 如果积 xy 是定值 P, 那么当 x y时,和 x y
有最小值 2 P
高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第一课时) 大纲人教版必修
6.2 算术平均数与几何平均数●课时安排2 课时●从容说课本小节内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用等.本小节教学时间约需2课时.1.在公式a 2+b 2≥2ab 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）a 2+b 2≥2ab 和ab b a ≥+2成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.例如(-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立，而)4()1(2)4()1(-⨯-≥-+-不成立. （2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当a=b 时取等号，其含义就是a=b ⇒ab b a ≥+2； 仅当a=b 时取等号，其含义就是ab b a ≥+2⇒a=b. 综合起来，其含义就是：a=b 是ab b a ≥+2的充要条件. 2.两个正数的算术平均数与几何平均数定理可以进一步引申出定理“n 个（n 是大于1的整数）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”（见课本P 24“小结与复习”前的“阅读材料”）.ab b a ≥+2的几何意义是“半径不小于半弦”（见课本P 9图6-2中的几何意义及其说明）.当用公式a 2+b 2≥2ab ，ab b a ≥+2证明不等式时，应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的.因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明.3.利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值.例如课本第3页上的引例，题中的函数x+x1600不是二次函数，要求它在定义域（0，+∞）内的最小值，仅用学生过去学过的二次函数的知识是无法解决的，现在从x 与x1600的积为常数（即它们的几何平均数为常数）这一点出发，问题很容易解决了.在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点：（1）函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数.例如对于函数式x+x 1，当x<0时，不能错误地认为关系式x+x 1≥2成立，并由此得出x+x 1的最小值是2.事实上，当x<0时，x+x 1的最大值是-2，这是因为x<0⇒-x>0，-x1>0⇒-(x+x 1)=(-x)+(-x1)≥2， ⇒x+x 1≤-2.可以看出，最大值是-2，它在x=-1时取得.（2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意.4.课本在P 10例2之后解决了本章引例中的问题.在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案.5.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（若a ，b 是正数，则ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取等号），这个定理可简称为均值定理.它具体表现在：（1）均值定理的功能在于“和与积”的互化.若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用均值定理.构造运用均值定理解题的常用技巧是拆添项或配凑因式.（2）“和定积最大，积定和最小”，即和为定理，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：①各项或各因式均正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值.必要时须作适当的变形，以满足上述前提.总之，用均值定理求函数的最大值或最小值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点，三个必要条件——即一正（各项的值为正）二定（各项的和或积为定值）三相等（取等号的条件）更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数”条件往往从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值”条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解决问题成败的关键.均值定理是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母的取值范围、求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题.●课题§6.2.1 算术平均数与几何平均数（一）●教学目标(一)教学知识点1.重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b 时取“＝”号).2.算术平均数，几何平均数及它们的关系.(二)能力训练要求1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.3.强化训练探究性学习.(三)德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.渗透数学思想方法，激励学生去取得成功.●教学重点1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a ＝b时取“＝”号).2.如果a、b是正数，则2ba+为a、b的算术平均数，ab是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：如果a、b是正数，那么2ba+≥ab (当且仅当a＝b时取“＝”号).3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”…时取“＝”号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b⇒2ba+＝ab；仅当a＝b时取等号，即2ba+＝ab⇒a＝b.综合起来，就是a＝b是2ba+＝ab的充要条件.●教学难点1.a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.ab≤222ba+，ab≤（2ba+）2●教学方法1.启发式教学法2.激励——探索——讨论——发现.●教具准备幻灯片两张第一张：记作§6.2.1 A1.差值比较法：第二张：记作§6.2.1 B●教学过程Ⅰ.课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.(一)打出幻灯片§6.2.1 A，请同学们回答：［师］“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6.2.1 A，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面.即①依据是：a＞b⇔a －b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二)不等式性质的巩固及应用(投影片§6.2.1 B)课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片§6.2.1 B，使学生掌握下列不等式的基本性质：(1)反对称性a＞b⇔b＜a；(2)传递性a＞b，b＞c⇒a ＞c；（3）可加性a＞b⇒a＋c＞b＋c；(4)可积性a＞b，c＞0⇒ac ＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(5)加法法则a＞b，c＞d⇒a＋c＞b ＋d；(6)乘法法则a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；（７）乘方法则a ＞b＞0⇒a n＞b n（n∈N）；(8)开方法则a＞b＞0⇒nn ba>（n∈N).为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n，求证：a m＋b m≥a m－n b n＋a n b m－n.［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成本题证明过程.［生］（a m＋b m）－（a m－n b n＋a n b m－n）＝（a m－a m－n b n）＋（b m－a n b m－n）＝a m－n（a n－b n）＋b m－n（b n－a n）＝（a m－n－b m－n）（a n－b n）∵m＞n＞1，a＞0，b＞0∴当a＞b＞0时，则a m－n＞b m－n，a n＞b n∴（a m－n－b m－n）（a n－b n）＞0当a＝b＞0时，则（a m－n－b m－n）（a n－b n）＝0当b＞a＞0时，则b m－n＞a m－n，b n＞a n∴（a m－n－b m－n）（a n－b n）＞0综上所述，当a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n时，(a m-n-b m-n)(a n-b n)≥0即a m＋b m≥a m－n b n＋a n b m－n.下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式.Ⅱ.讲授新课重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式.［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2∵a ，b ∈R∴当a ＝b 时，a －b ＝0 即a 2＋b 2＝2ab当a ≠b 时，a －b ≠0∴（a －b ）2＞0 即a 2＋b 2＞2ab综上所述：若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab . 即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a 2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b .定理 如果a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)”为依据完成证明.(把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程).［生甲］∵a ，b 为正数 ∴a ＞0，b ＞0∴a ＝（a ）2，b ＝（b ）2∴2)(2222b a ab b a ab b a -=-+=-+ 当a ＝b 即a ＝b 时，2)(2b a -＝0，有ab b a =+2. 当a ≠b 即a ≠b 时，2)(2b a -＞0，有ab b a >+2综上所述，当a 、b 为正数时，有ab b a ≥+2 (当且仅当a ＝b 时取“＝”号).［生乙］∵a ，b 是正数 ∴（a ）2＋（b ）2≥2a ·b∴a ＋b ≥2ab显然，当且仅当a ＝b 时，ab b a =+2 即ab b a ≥+2. 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当a ＝b 时取“＝”号）”的一种几何解释(如图所示)以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，ＣB ＝b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即CD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.［例题］已知：（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--yx b a b a y x . ［师］本题结论中，注意yx ba b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明yx ba b a y x ----与为正数开始证题.(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程) ［生］∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ） ∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx ∴ax －ay ＋by －bx ＞0∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0 ∴（a －b ）（x －y ）＞0 即a －b 与x －y 同号 ∴yx ba b a y x ----与均为正数∴yx ba b a y x y x b a b a y x --⋅--≥--+--2＝2(当且仅当yx ba b a y x --=--时取“＝”号)∴y x ba b a y x --+--≥2.［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“ab ba ≥+2”时，必须使a 、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断yx ba b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.Ⅲ.课堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证“ （a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥8abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.答案：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0b ＋c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝8abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 2.已知x 、y 都是正数，求证： (1)yx x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥8x 3y 3. 分析：在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.答案：∵x ，y 都是正数∴yx ＞0，xy ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)xy y x x y yx ⋅≥+2＝2即xy y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3） ≥2xy ·222y x ·233y x ＝8x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥8x 3y 3.3.求证：（2b a +）2≤222b a +.分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键.答案：∵a 2＋b 2≥2ab∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2不等式两边同除以4，得222b a +≥（2b a +）2即（2b a +）2≤222b a +.(探究性学习——点击高考)本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数”这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能.以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能.（注：为节省时间，本部分可借助多媒体课件完成）题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14 m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126 m2的厂房（不管墙高），工程造价是：（1）修1 m旧墙费用是造1 m新墙费用的25%；（2）拆去1 m旧墙用所得材料来建1 m新墙的费用是建1 m 新墙费用的50%；问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？[师]看上面的问题，同学们如何解决？（学生探索——讨论——分析——归纳）[生]从题设条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数（即建立数学模型），然后用二元均值不等式求得最小值.[师]同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？（问题激励，语言激励，生解答，师欣赏）[生甲]设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14-x(m)修新墙.若设建1ax；拆旧墙1 m新墙费用为a元，则修旧墙的费用为y1=25%·ax=4建新墙的费用为y 2=(14-x)·50%a=21a(14-x)；建新墙的费用为：y 3=(x252+2x-14)a. 于是，所需要的总费用为 y=y 1+y 2+y 3 =[(47x+x252)-7]a ≥[2xx 25247⋅-7]a=35a ， 当且仅当47x=x252，即x=12时上式中“=”成立.故保留12 m 旧墙时总费用为最低.[师]很好！我们学习公式的目的是应用它能解决问题.本题中我们巧用了“a+b ≥2ab (a>0，b>0)”达到解题目的.请同学们想一想：“a+b ≥2ab (a>0，b>0)”还有些什么变形形式呢？[生乙]针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习： a+b ≥2ab (a>0，b>0)；ab ≤2ba +(a>0，b>0)； ab ≤(2b a +)2(a>0，b>0)；a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )；ab ≤222b a +(a,b ∈R ).（以上公式变形对比记忆，区别异同）.abb a +≥2(a>0，b>0). [师]棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用.同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？[生（齐）]能，我们自己编！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！[问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、激励下帮助个别学生解决问题.经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题（学生的创新思维进一步得到升华）摘录下来供大家在交流中得到解决][生丙]我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%（其中p>0,q>0）；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价2qp+%，第二次提价2qp+%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A小组同学说明理由.（经全班同学积极探究，A小组同学信心百倍，做出解答）.[生（A小组）]设某种商品提价前的价格为a，则两次提价后的价格分别为：方案甲：a(1+p%)(1+q%)；方案乙：a(1+q%)(1+p%)；方案丙：a(1+2qp+%)2.当p=q时，三种方案提价一样多；当p≠q时，由二元均值不等式，得(1+p%)(1+q%)<(1+2qp+%)2.所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小.[生（B小组）]我们组编的题目是：某单位投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，第m长造价为40元，两侧墙砌砖，每m长造价为45元，顶部每m2造价为20元，试求：（1）仓库底面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？我们B组同学邀请E同学回答.[生E]设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则有S=xy.由题意可知：40x+2×45y+20xy=3200，∴3200=40x+90y+20xy.应用二元均值不等式，得3200≥2y40 +20xy=120xy+20xyx90=120S+20S，∴S+6S≤160.即(S+16)(S-10)≤0，∵S+16>0，∴S-10≤0，从而S≤100.因而S的最大允许值是100 m2，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此解得x=15，即铁栅的长应是15 m.[师]同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性（积极培养同学们学数学、用数学的思想意识），关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题（这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题）.（同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索）Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（2ba+），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba+≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤222ba+，ab≤（2ba+）2.Ⅴ.课后作业(一)课本P11习题6.2 2、3.(二)1.预习内容：课本P10～11例1，例2.2.预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式：a2＋b2≥2ab；2ba+≥ab（a＞0，b＞0）的应用主要体现在两个方面：其一，是用于证明不等式.其二，是用于求一些函数的最值：设x、y都是正数，(1)若xy＝P是一个定值，当且仅当“x＝y”时，x＋y有最小值2P；（2）若x＋y＝S是一个定值，当且仅当“x＝y”时，xy1S2.有最大值4●板书设计。
利用算术平均数与几何平均数求最值
3、若x, y 1,且lg x lg y 4,
求lg x lg y的最大值
4、求函数
y
2x
1 x
8( x 1)
1
的最小值
5．y=2x 1 x2 ,(0<x<1), 求y的最大值
6．求函数y=x+
1 2x
的 值域
7：若x>-1，求 y x 2x 5 的最小值 x 1
课堂小结：
利用均值不等式求最值应具备三个条 件，简单概括就是三个字：正、定、等
6.2 利用算术(几何)平均数
例1、判断正误
（1）函数y=x+1x 的最小值为2 （ 2 ） 已 知 1≤x≤3, 2≤y≤4, 则 当 x=y=3 时 ， xy 有
最大值9
（3）函数y=xx22
3 2
x2 2
1 x2 2
的最小值为2
利用均值不等式求最值应具备三个条件，简单概括两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
例2、若x>0，求
y x 1 x
的最小值
变1：若 x<0 呢？
构造条 件
变2：若x>3
,求
yx 1 x3
的最小值
EX1:
已知正数a,b满足a2b=1,则a+b的最小值
求 a 1 b2 的最小值
例5 已知x,y都是正数, 且x2+y2=1, 求x+y的最 大值。
EX3 若 x 1 y2 y 1 x2 1 求x+y的最大值
算术平均数与几何平均数(1)
例2 已知a，b，c，d都是正数 求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd. 证明：由a，b，c，d都是正数，得 ab+cd ac+bd ≥ √ab·cd＞0 ， ≥ √ac·bd＞0 2 2 (ab+cd)(ac+bd) ∴ ≥abcd， 4 即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
思考：若a，b，c，d都是正数
推论1:(乘法法则)
a b 0, 且c d 0 ac bd.
推论2:(乘方法则) a b 0, an bn (n N , 且N 1) 不等式性质定理5:
如果a b 0, 那么 a b (n N , 且N 1)
n n
开方原则
一、复习引入 问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个全等的三 角形纸片，要求以正方形的边作为直三角形的斜边， 如何剪？四个全等的三角形面积和与正方形面积有 何关系？
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当 1 2 x=y时，积xy有最大值 S. 4 S 证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ ， 2 1 2 ∴ xy≤ S。 4 上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最 大值 1 S2。 4 总结：1）两个正数，积定和小，和定积大. 2）运用定理时，可以进行灵活和变形.
a+b 推论：如果a、b是正数，那么 ≥√ab 2 (当且仅当a=b时取“=”号). 定理特征： D
④几何解释
A a ab C b ab D' B
一边是和，
一边是积.
⑤定理可推广为“n个（n 1 n N
）正数
62算术平均数与几何平均数要点归纳
6.2算术平均数与几何平均数要点归纳河北省 杨新兰二元均值定理(算术平均数与几何平均数定理)是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式，判断不等式是否成立，求函数的值域或最值，求字母或参数的变化范围，求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题．一、学习目标理解和掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一定理；能应用定理证明一些相关的不等式；能用均值不等式求与之相关的函数最大值或最小值问题．二、知识梳理1．把2b a +称为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数。
因而，二元均值定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么二元均值定理还可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2．一般的数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质关系，但不能定格于某一种特殊形式，因此不等式a 2＋b 2≥2ab 的形式可以是a 2≥2ab －b 2，也可以是ab ≤222b a +，还可以是a ＋a b 2≥2b (a ＞0)，ab 2≥2b －a 等。
解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，以便灵活运用。
3．尽管二元均值定理的应用范围极广，推论和相关结论也很多，但其本身终究是由不等式的意义、性质推导出来的．凡是用它可以获证的不等式，均可以直接根据不等式的意义、性质证得．因此，在算术平均数与几何平均数定理的应用中，不可忽视不等式的意义、性质等概念在处理有关不等式论证方面的根本作用．4．二元均值不等式不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式，结合不等式的性质还可以处理两个正数的平方和、倒数和与其它变形式的结构，由公式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 可以得到以下几个重要结论：① a 2＋b 2≥－2ab (当且仅当a = －b 时取“=”号)；② a 2＋b 2≥2|ab| (当且仅当| a | = | b |时取“=”号)；③ a 2＋b 2≥－2|ab| (当且仅当a = b= 0时取“=”号)；④ b a 112+≤ab ≤2b a +≤222b a + (a 、b 都是正数，当且仅当a = b 时等号成立)． 5．二元均值不等式还能处理几个正数的平方和与和结构，倒数和与和结构，根式和与和结构及两两之积与和结构等不等式问题，但在处理这些结构型的不等式时，要注意与其它依据相结合来处理。
算术平均数与几何平均数(1)
算术平均数与几何平均数（1）一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式a>b ，c<d ，是异向不等式 2．不等式的性质：定理1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．定理4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且定理5 若0,1)a b n N n >>>∈>且二、讲解新课：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a证明：222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件三、讲解范例：例1 已知x,y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P（2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值.412S 证明：因为x,y 都是正数，所以xy y x ≥+2 （1）积xy 为定值P 时，有P y x ≥+2P y x 2≥+∴上式当y x =时，取“=”号，因此，当y x =时，和y x +有最小值（2）和x+y 为定值S ,2S 214x y S ∴≤ 上式当x=y 时取“=”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值41S 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（一正、二定、三等）ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在 例2 下列不等式中正确的是 ○2 ○3 。
利用算术平均数与几何平均数求最值
例1、判断正误 1 （1）函数y=x+ 的最小值为2 x （ 2 ） 已 知 1≤x≤3, 2≤y≤4, 则 当 x=y=3 时 ， xy 有 最大值9 x 3 1 x 2 （3）函数y= x 2 的最小值为2 x 2
2 2 2 2
利用均值不等式求最值应具备三个条件，简单概括就是三个字 正、定、等 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
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定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
反抗，留给水清の只有精疲力竭、无济无事，到最后，她累得连抬手の力气都没有，继而陷入咯无边无际の绝望之中……长夜漫漫，仿佛有壹生壹世那么漫长，整整后半夜， 水清就这样后背紧紧地抵着墙壁，蜷缩在床角，远远地与他保持着距离，苍白の脸颊布满泪痕，壹双失神の大眼睛，再也流不出来壹滴の眼泪，枯坐半夜到天明。这是她平生 以来受到の最大の羞辱，遭受の最沉重の打击。此前，无论是“笑问鸳鸯两字怎生书”，还是“禁入爷の房里半步”，甚至是刚刚の那各“你这是在痴心地等爷”，她全都忍 下咯。他是爷，他可以随心所欲，他可以为所欲为，为咯打压她而严厉地处罚咯吟雪，他甚至可以操纵所有人の生死。为咯求得生活の片刻安宁，为咯求得生存の壹方天地， 她屈辱地全都忍下咯。可是为啥啊，为啥啊！她の忍让、宽容、息事宁人却被他看作是怯懦、胆小、害怕？这就是她壹味忍让の结果？她有啥啊天大の错，要遭受这种方式の 羞辱与惩罚！？第壹卷 第431章 恻隐秦顺儿壹直在屋外守候，并不是他要刻意地探听主子の秘密，实在是两各主子之间闹得动静太大，壹各借酒生事，壹各拼力反抗，即使 是他竭力地回避着，但是他们之间の对话仍是壹字不落地钻进他の耳朵里。作为王爷の贴身奴才，秦顺儿早就充分领教见识咯各各院子女主子们各具特色の顺从、奉迎，因此 虽然见多识广，但也见惯不怪。可是今天，怡然居の主子真是让他大开眼界，大吃壹惊！先是两各主子为啥啊壹直纠缠在侧福晋是否参加喜宴の事情上？侧福晋の腿跪伤咯， 爷不是晓得这件事情吗？然后两各主子怎么又开始纠缠起来侧福晋是否在等爷の事情上来咯？难道爷又是为咯寻衅找茬儿侧福晋而搜罗出来の借口？然后……，是侧福晋の哭 泣声，持续咯整整后半夜，令秦顺儿这各铁石心肠の人都平生第壹次动咯恻隐之心。他能作为王爷の贴身奴才，铁石心肠是首要の职业素质，可是这壹次，他真の是被侧福晋 触动咯久违咯の心中那各最柔软の地方。唉，第壹次都是这样，挨过去这壹晚就好咯。只是这各侧福晋跟别の主子还就真是大不壹样，别の主子惹是被爷宠幸，哪各不都是心 花怒放，喜不自禁？而且还会把爷伺候得舒舒服服、妥妥贴贴。真没见过这样の主子，光顾着自己哭，也不晓得好好去伺候爷，这么心高气傲，往后爷还怎么可能再来她这 里？还真以为自己长得跟天仙似の，就有资本跟爷使小性子，爷就会上赶着求你？您这才跟咯爷几天の时间，奴才可是跟咯爷有小十年咯，不管哪各主子の小性子、大脾气， 爷还真就不会吃咯哪各主子の那壹套。今儿若不是那婉然姑娘出嫁，爷の心都碎咯，再加上喝得有些多，否则爷怎么可能到您の院子来呢？您不说抓住这难得の机会，好好地 在爷の面前表现表现，慢慢地入咯爷の眼，赶快生各壹男半女，才算是后半辈子有咯依靠，您光是哭顶各啥啊用？您就是哭出各大天去，也不可能把爷の心给哭软喽！五更天 咯，彩蝶和彩霞两各丫环醒眼惺忪、急急忙忙地赶过来服侍水清起床。当她们走到门口の时候呆住咯：秦公公怎么站在侧福晋の门外！来传爷の口信吗？啥啊口信需要这么壹 大清早就来传？“秦公公早。”“噢，两位姑娘这是？”“我们去服侍侧福晋洗漱。”“嗯，这样吧，你们先别进去呢，你，先去给福晋传各口信儿，就说侧福晋身子不舒服， 今天不去请安咯。”“是の，秦公公。”“你，你去厨房看看，赶快去多烧些热水过来。”“是の，秦公公。”彩蝶和彩霞两人领命而去，可是两人越想越觉得不对劲儿。 “彩霞，刚刚秦公公说侧福晋身子不舒服，那是谁在屋里头伺候着呢？”“不晓得啊，月影姐姐不是腿还伤着吗？”“是啊！连咱们两人，侧福晋都不让值夜，那还有谁能在 跟前儿伺候着？”俩人谁也没有想明白，可是谁也没有耽误咯手里の正经差事，彩霞去咯厨房，彩蝶直接去咯霞光苑。第壹卷 第432章 救驾听完彩蝶の禀报，排字琦心不在 蔫地回复咯壹句：“噢，晓得咯，侧福晋身子不舒服就好生歇着吧，你们这些当奴才の都精着些心。”待彩蝶走后好壹会儿咯，排字琦这才突然回过味来！天仙妹妹这些天腿 伤咯，早就告咯假，壹直就没来请安，怎么今天又来请假咯？这腿也不可能这么快就好咯啊！若是腿能好咯，昨天不就直接去参加二十三小格の喜宴咯吗？那边秦顺儿见两各 丫环按照他の吩咐退下去办差事，他壹各人又耐着性子等咯半天，支着耳朵听咯听，屋子里仍是壹点儿动静也没有，可是院子里の丫环、嬷嬷、太监们都陆续起床开始当差咯。 秦顺儿想咯想，就将耳朵贴在门上又仔细听咯听，还是壹点儿动静也没有。实在是没办法，冒着挨骂の风险，他小心翼翼地开口道：“爷，奴才现在进去服侍您吗？”没有壹 丝回音。没办法，秦顺儿只得又耐心地等咯壹段时间，然后再次小声地问咯壹次，仍然没有回音。虽然今天是八月十五，皇上休咯今天の早朝，可是晚上还有宫宴呢，壹天里 の事情壹大堆，这要是误咯爷の事情，他秦顺儿可是要挨板子の！没办法，他只好再次小声地开口：“启禀侧福晋，要不要奴才差人进去伺候您？”仍然是壹丝回音都没有！ 这可真是把秦顺儿急死咯！正转磨磨呢，彩霞过来请示他：“秦公公，热水烧好咯，您看是现在用还是啥啊时候用？”“你先等等吧。哎，对咯，你们刚才谁去の福晋那 里？”“是彩蝶。”“人回来咯没有？”“快咯吧，已经
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6.2.1算术平均数与几何平均数
● 教学目标
1． 学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；
2． 理解定理的几何意义；
3． 能够简单应用定理证明不等式.
● 教学重点
均值定理证明
● 教学难点
等号成立条件
● 教学方法
引导式
● 教具准备
幻灯片
● 教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾. 生：（答略）
师：由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.
Ⅱ.讲授新课
1． 重要不等式：
如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
证明：222)(2b a ab b a -=-+
当,0)(,,0)(,22=-=-≠b a b a b a b a 时当时
所以，0)(2≥-b a
即.2)(22ab b a ≥+
由上面的结论，我们又可得到
2． 定理：如果a,b 是正数，那么).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+
ab b a 2≥+∴ 即ab b a ≥+2
显然，当且仅当ab b a b a =+=2,
时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2
为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此
定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⅱ）ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，
而后者要求a,b 都是正数.
ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.
3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.
以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b.过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2 即ab CD = 这个圆的半径为
2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立.
师：在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.
4． 题讲解：
例1 已知x,y 都是正数，求证：
（1）如果积xy 是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P
（2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值
.4
12S 证明：因为x,y 都是正数，所以 xy y x ≥+2
（1）积xy 为定值P 时，有P y x ≥+2 P y x 2≥+∴
上式当y x =时，取“=”号，因此，当y x =时，和y x +有最小值P 2.
（2）和x+y 为定值S 时，有
2
41,2S xy S xy ≤∴≤
上式当x=y 时取“=”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值24
1S . 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
ⅰ）函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
ⅲ）等号成立条件必须存在.
师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用
.
Ⅲ.课堂练习
课本P11练习2，3
要求：学生板演，老师讲评.
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件.
●课后作业
习题6.2 1，2，3，4
●板书设计
●教学后记。