5.4 定积分的应用 2

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定积分的应用

定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。

本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。

一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。

通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。

定积分的结果是一个数值。

二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。

例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。

这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。

三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。

例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。

定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。

四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。

例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。

定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。

五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。

例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。

定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。

六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。

例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。

定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。

七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。

根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。

八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。

§5.4 定积分的应用

a
b a
b
x
S = ∫ f ( x)dx S = − ∫ f ( x)dx
a
S=
∫
c1
a
f ( x)dx − ∫ f (x)dx + ∫ f ( x)dx
c1 c2
2
c2
b
y
y = φ( x)
y
d
x = ψ ( y) x = ϕ ( y)
y = ψ ( x)
c
o
o
a
b x
x
X---型区域
Y---型区域
S = ∫ [ϕ ( x) −ψ ( x)]dx
a
b
S = ∫ [ϕ ( y ) −ψ ( y )]dy
c
3
d
例1.计算解
0
y = sin x 在[0, π ] 上与x 轴所围成的平面图形的面积
π
S = ∫ sin xdx = ( − cos x)
2 2
π
0
= −( −1) + 1 = 2
y
x y 例2. 求椭圆 2 + 2 = 1 所围图形的面积. a b 解设椭圆在第一象限部分的面积为 S1
5.4.3 经济应用问题
总成本函数: C ( x) = C1 + C2 ( x) 边际成本: C ′( x) 总收益: R ( x) 边际收益: R′( x ) 总利润: L( x) 边际利润: L′( x) 边际成本: C ′( x) 总成本函数: C ( x) = 边际收益: R′( x ) 总收益: R ( x) = 边际利润: L′( x) 总利润: L( x) =
又总收益所以日产量为40单位时才能获得最大利润 , 最大利润为

第十周周一高等数学の5-定积分在几何物理上的应用广义积分

x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数，则
ds 1 y2dx ，s b 1 y2dx ． a
讨论：
(1)设曲线弧由参数方程
x
y
(t), (t)
( t )给出，其中
(t)、(t)在[，]上具有连续导数，问弧长元素ds和弧长 s 各
2
2
1
1a
ab
b2
2(1(1cocso2st2)td)tdt11
a
ab·b·
11
a ab b．．
22 0 0
2 2 2 24 4
A 4A1 a b．
2. 极坐标的情形
•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：
由曲线r()及射线，围成的图形称为曲边扇形．
•曲边扇形的面积元素：
dA 1 [()] 2d ．
a2 (1 cos )2 a2 sin 2 d 2a sin d ．
2
所求弧长为
s
2 2a sin d
0
2
2a[2
cos
2
]02
8a ．
y
2a
O
a
2 a
x
3. 极坐标的情形
设曲线弧由极坐标方程
r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数．由直角坐标与极坐标的关系可得
是什么？
(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数，问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
) Ds MO MP ,
ds MP dx2 dy2 ,
直角坐标系下 y f x,
P
O
dy

高等数学- 定积分的应用

x
0 L(x)dx c0
L(x) x2 L(x)dx x1
例1 设固定成本为50万元,R(Q) 100 - 2Q, C(Q) 14Q 20,试确定厂商的最大利润
四、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）
绕 x轴旋转一周
Vx
b (f 2 (x) g2 (x))dx
a
(3) x (y),y c,y d围成图形绕 y轴旋转而成的体积为
Vy
d 2 (y)dy
c
y
d
x ( y) c
o
x
例1 求 x2 y 2 1 (1)绕x轴,(2)绕y轴旋转产 a2 b2
生的旋转体体积
解 : (1)绕x轴
y b a2 x2 a
Vx
a y 2dx
a
2
a b2 0 a2
(a2
x2 )dx
2b 2 a2
(a2x
1 3
x
3
)
|a0
4 ab2 3
(2)绕y轴
Vy
2 2
a x | f (x) | dx
0
4
a b2 0 a2
x
a2 x2dx 4 a2b 3
例2 求y x2 ,x y2围成平面图形绕x轴旋转
而成的旋转体体积.
练习题答案
一、1、1；
2、32 ； 3
4、 y ；
5、e 1 2 ； e
二、1、3 ln 2； 2
2、7 ； 6
4、3a2 ；
5、5 ； 4
三、9 . 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2

定积分的应用课件

2 信号处理
定积分可以计算信号的功率、频谱和通量。
3 流体力学
通过定积分可以计算流体的压力、速度和流率。
定积分在地理学中的应用
地形测量
通过定积分可以计算地球表面和地质构造的高程。
气象学
定积分可以计算气象参数在空气层中的分布和变化。
人口地理学
通过定积分可以计算人口密度和城市发展的空间格局。
将面积概念应用于实际场景，如教室布置和园艺规划。
3 面积游戏
通过面积游戏和竞赛激发学生学习兴趣和动力。
和混合效果。
3
创意表达
定积分可以用于艺术家和设计师的创意表达和构思。
定积分在社会科学中的应用
社会学
定积分可以用于计算人口统计数据和社会发展指标。
心理学
通过定积分可以建模心理过程和行为变化。
经济学
定积分可以用于经济模型和政策的评估和预测。
小学生学习面积时的应用
1 绘图和标注
2 实际场景
通过绘制图形和标注边长，引导学生进行面积计算。
3
经济增长
通过计算国民收入的定积分，可以评估经济的增长率。
定积分在生物学中的应用
种群动态
定积分可以计算物种数量和种群生长率。
生态系统
通过定积分可以计算能量流量和物质循环。
药物浓度
定积分可以计算药物在体内的浓度和释放速率。
定积分在工程学中的应用
1 结构分析
定积分可以计算结构的强度、刚度和变形。
定积分在计算机科学中的应用
1 图像处理
定积分可以计算图像的亮度、对比度和边缘检测。
2 数据挖掘
通过计算定积分，可以评估数据的分布和模式。

定积分的应用

相应地，区间2 ，1上的任一小区间[ y ，y dy]的窄条
的面积近似看作高为(1 1 y) 1 y2，底为dy的窄矩形的面积， 22
从而得到面积元素
dA
1
1 2
y
1 2
y
2
dy.
在区间2 ，1上作定积分，便可求得面积为
A
1
[(1
2
1 2
y)
1 2
y2 ]dy
[y
1 4
y2
1 6
y3]
经济数学
定积分的应用
1.1 在几何上的应用
1. 直角坐标的情形
我们把由直线x a，x ba b及两条连续曲线y f1 x，y f2 x， f1 x f2 x所围成的平面
图形称为X 型图形（如图4-9所示）. 对X 型图形来说，一般选择x为积分变量，积分区间为a ，b ，在
区间a ，b上任取一微小区间x ，x dx ，该微小区间上的图形面积可以用高为f2 x f1 x、底为dx的
例1
解
如图4-11所示，两条抛物线的交点为0 ，0和1，1. 在0 ，1内任取一点x为积分变量 . 过点x作平行于y轴
的直线，该直线介于图形部分的长度为 x x2，在点x处给自变量一个增量dx . 相应地，介于图形部分的直线段沿x轴方向
移动dx形成了一个窄矩形，它的面积是 x x2 dx ，这就是
R
q
q
0
R
t
dt
；
C
q
q
0
C
t
dt
C0
；
L
q
ห้องสมุดไป่ตู้
q
0
L
t
dt
C0

54定积分的应用共22页

例药物从患者的尿液中排出,一种典型的排泄速
率函数是r(t)tek,t 其中k是常数.求在时间间隔0,T
内,排出药物的量D.
解
D
T
r(t)d t
T t ek td t
0
0
1(t
k
e k
tT 00Tekdt )tT kekTk12ektT 0
1ekT (T1)
k2
k k2
返回
第四节结束
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54定积分的应用
51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。 ——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样一种的网，触犯法律的人，小的可以穿网而过，大的可以破网而出，只有中等的才会坠入网中。 ——申斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大夏，庇护着我们大家；它的每一块砖石都垒在另一块砖石上。 ——高尔斯华绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
返回
_
解： c(t )
解：已知弹簧拉伸所需的力 F与伸长量 x成正比，
即 F=kx(k为比例常数） .k=Fx=09..082490
把该弹簧拉长0.1米所做的功
为
W
0.1
F(x)dx
0
0.1
490xdx
0
490[x22]0 0.12.4（ 5焦耳）
返回
五、定积分在医学上的应用
例2 胰岛素平均浓度的测定
由实验测定病人的胰岛素浓度，先让病人禁食，以降低
体内血糖水平，然后通过注射给病人大量的糖。假定由实验测得病人的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为

定积分的若干应用

定积分的若干应用定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来计算曲线下面的面积、求解物理学中的质心、计算概率密度函数等。

下面将分别介绍定积分在这些应用中的具体应用。

一、计算曲线下面的面积定积分最基本的应用就是计算曲线下面的面积。

具体来说，如果我们要计算函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲线下面的面积，可以使用下面的公式：$$\int_a^b f(x)dx$$其中，$\int$表示积分符号，$a$和$b$分别是积分区间的下限和上限，$f(x)$是被积函数。

这个公式的意义是将区间$[a,b]$分成无数个小区间，然后计算每个小区间内$f(x)$的面积，最后将所有小区间的面积相加得到整个区间$[a,b]$下面的面积。

二、求解物理学中的质心在物理学中，我们经常需要求解物体的质心。

如果物体是由一些离散的质点组成的，那么可以使用下面的公式求解质心：$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n m_ix_i}{\sum_{i=1}^n m_i}$$其中，$\bar{x}$表示质心的位置，$m_i$表示第$i$个质点的质量，$x_i$表示第$i$个质点的位置。

但是，如果物体是由一些连续的质点组成的，那么就需要使用定积分来求解质心。

具体来说，如果物体的密度分布函数为$\rho(x)$，那么可以使用下面的公式求解质心：$$\bar{x}=\frac{\int_a^b x\rho(x)dx}{\int_a^b \rho(x)dx}$$其中，$a$和$b$分别是物体的起始点和终止点。

这个公式的意义是将物体分成无数个小区间，然后计算每个小区间内的质心位置和质量，最后将所有小区间的质心位置和质量相加得到整个物体的质心位置。

三、计算概率密度函数在概率论中，我们经常需要计算概率密度函数。

如果一个随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，那么可以使用下面的公式计算$X$在区间$[a,b]$内的概率：$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)dx$$其中，$P(a\leq X\leq b)$表示$X$在区间$[a,b]$内的概率。

定积分的几个简单应用

定积分的几个简单应用(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）．二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1n n n n n +++=．上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ．例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→．解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==．上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ．三、用定积分证明不等式定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(．证明作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ，显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=，其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(．定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。

D5-4定积分的应用.ppt

解：因为总收益是边际收益函数在[0,x]上的定积分，所以生产 x 单位时的总收益和平均单位收益为:
t R x 200 dt 0 50
x
§5.4
x
定积分的应用
t R x 200 dt 0 50
t2 200t 100
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V a π[ f ( x )] dx
b 2
yy O
当考虑连续曲线段
aa x
y
bb xx
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
d
y
V c π[ ( y )] d y
d 2
x ( y)
c O
x
§5.4
定积分的应用
§5.4
例4. 计算由曲面
定积分的为
L 40 0.2 40 16 40 20 300 元
2
§5.4
定积分的应用
例9、已知生产某商品 x 单位时，边际收益函数为
R x 以及平均单位收益 R x .
x R x 200 （元/单位），试求生产x单位时总收益 50
0
q
其中 C0 为固定成本 .
§5.4
定积分的应用
例7、设某产品在时刻 t 总产量的变化率为： 2 f t 100 12t 0.6t （单位/小时）求从 t ＝2到 t ＝4这两小时的总产量解因为总产量是它的变化率的原函数，所以从 t ＝2到 t ＝4这两小时的总产量为：

4
x 0
x2 200 x 100
R x x R x 200 x 100

定积分应用与解析

定积分应用与解析定积分是微积分中一个重要的概念，它在多个领域中都有广泛的应用。

本文将针对定积分的应用和解析进行探讨，以及一些与定积分相关的概念和定理的介绍。

一、定积分的概念定积分是微积分中的一个概念，它表示函数在一定区间上的“积分”或者“面积”。

简单来说，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。

在数学表示上，我们通常用符号∫ 来表示定积分。

对于函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分表示为：∫[a, b] f(x)dx其中，f(x) 是在区间 [a, b] 上的一个函数，dx 表示自变量 x 的微元。

二、定积分的应用定积分的应用非常广泛，下面我们将介绍几个常见的应用场景。

1. 计算曲线下的面积如前所述，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。

对于一条曲线和两条垂直于 x 轴的直线所夹的面积，可以通过计算函数 f(x)在区间 [a, b] 上的定积分来得到。

2. 求解函数的平均值与平均数定积分还可以用于求解函数在一定区间上的平均值。

对于函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的平均值，可以通过计算定积分∫[a, b] f(x)dx，然后再除以区间的长度 (b - a) 来得到。

3. 计算物体的质量与重心在物理学中，质量和重心是重要的概念。

通过将物体分割成无穷小的小块，可以将物体的质量表示为每个小块的质量之和，而每个小块的质量可以通过计算密度与体积的乘积得到。

类似地，重心可以通过计算每个小块的质量与其对应位置的乘积后再除以总质量得到。

三、定积分的解析定积分的解析主要包括定积分的计算和一些与定积分相关的定理。

1. 定积分的计算一般来说，定积分的计算需要根据具体的函数和区间来进行。

对于简单的函数，可以直接使用基本的积分公式进行计算。

而对于复杂的函数，可能需要使用一些积分方法，如分部积分、换元积分等。

2. 定积分的性质与定理在定积分的解析中，还有一些与定积分相关的性质和定理。

例如，定积分的线性性质允许我们将积分运算进行分解和合并。

定积分的应用(2)

y
y f ( x)
x [a , b ] 在[a , b]上任取小区间[ x , x dx ] ，
o
x x dx
x
x 轴旋转而成的薄取以dx 为底的窄边梯形绕片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为
V [ f ( x )]2 dx
a
b
2

a 2 ( t sin t ) 2 a sin tdt
0

a
3
0
2
( t sin t ) 2 sin tdt 6 3 a 3 .
补充如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、 x 轴所围成的曲边梯形绕直线 x a 、 x b 及 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
2
解： y
b a2 x2 a
o
r
x
a x
V a

a
a
b 2 a x2 a
2 2
dx
2
b
2
a
a2
2 b x (a x )dx 2 a x
2 3
a
a

3 a
4 ab2 3
椭球体积
4 V ab 2 3
3 例已知平面图形是由曲线 y 和 x y 4 x 求此图形绕 x 轴旋转所生成的旋转体的体积．
x y 4
两曲线交点为 (1,3), (3,1) 旋转体的体积为
3 V [ 4 x 1 x
3
2
r 0 1
R
3
x
] dx
2
类似地，如果旋转体是由连续曲线

定积分的应用

定积分的应用定积分是数学中的一个重要概念，它在许多领域中具有广泛的应用。

本文将介绍定积分的基本概念和性质，并探讨其在几何学、物理学和经济学等领域中的应用。

首先，让我们回顾一下定积分的定义。

在数学中，定积分是一个函数与另一个函数之间的一种关系，通常表示为∫f(x)dx。

其中，f(x)是被积函数，x是积分变量，dx表示对x的微小变化。

定积分表示的是函数f(x)在给定区间[a,b]上的面积或曲线下的总体积。

定积分具有以下几个重要的性质。

首先，如果f(x)是[a,b]上的连续函数，那么定积分存在且唯一。

这一性质保证了定积分的可靠性和确定性。

其次，定积分的值可以通过积分的上限和下限来计算。

换句话说，定积分是一个函数的区间值。

最后，定积分的值可以通过一种基本定理来计算，即牛顿—莱布尼茨公式。

该公式告诉我们，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么定积分可以通过求F(x)在区间[a,b]上的差值来计算。

在几何学中，定积分有着广泛的应用。

通过计算曲线下的面积，我们可以求解两个曲线之间的交集、计算物体的体积等。

例如，如果我们要求解一个曲线和x轴之间的面积，我们可以将该曲线表示为y=f(x)，然后计算∫f(x)dx在所给区间上的值。

同样地，我们可以使用定积分来计算曲线的弧长，通过公式∫√(1+(dy/dx)^2)dx来实现。

定积分在几何学中的应用还包括求解曲线的重心和弦长等问题。

物理学是另一个应用定积分的领域。

在物理学中，物体的质量、力、功和能量等都与空间的分布有关。

通过将物体分成许多微小的部分，并计算每个部分的质量或力的大小，我们可以使用定积分来对整个物体的质量或力进行求和。

例如，我们可以使用定积分来计算一个线密度为λ(x)的细线段的质量，通过公式∫λ(x)dx来实现。

同样地，我们可以使用定积分来计算一个变力F(x)在区间[a,b]上所做的功，通过公式∫F(x)dx来实现。

定积分在物理学中的应用还包括计算速度、加速度和热量等。

定积分的应用

一．平面图形的面积
1．直角坐标情形
一般地在直角坐标系下，我们可用定积分的微元法求得下列平面图形的面积。
(1)．曲线 y
f ( x) ( f ( x) 0) ，x a ， x b及x 轴所围
图形（图7-1）的面积微元 dA 面积 A
f ( x)dx，而

b a
f ( x) dx 。…………………….. ①
例1
求由抛物线 y x 2 与直线
y 2 x 围成的
图形的面积。解（1）画出图形简图（图7-4），求曲线交点以定积分区间：
y x2 联立两曲线方程： y 2x
，解出它们的交点 O ( 0 , 0 ) ， A( 2 , 4 ) 。
（2）选择积分变量，写出面积微元：本题选择积分变量为横坐
标 x，积分区间为 [0 , 2] ，面积微元
dA (2 x x 2 ) dx
。
（3）将面积表示成定积分，并计算：所围图形面积为例2 求y
2
A

2 0
1 2 4 (2 x x 2 ) dx x 2 x 3 3 0 3
。
2x
及 y x 4 所围成的图形面积。
x dx
Q
个小区间用
对应于小区间 Q 量
表示，小区间的长度 Q [ x, x dx ]
的部分量记作 Q f ( x) x 。 Q
，所求的量 x
，求出部分
dQ
。并取
的近似值 f ( x) x
注：近似值 dQ f ( x) dx 即
称为整体量 dQ 的微元（或元素），记作， Q 。这里须指出，作为的近似值，即应满足：