第4.2节 正态总体均值与方差的假设检验

样本, 且设两样本独立. 注意两总体的方差相等.
2 *2 又设 X , Y 分别是总体的样本均值, S1*n , S 2 n2 是样本 1
方差, 1 , 2 , 均为未知,
2
假设检验的问题 H 0 : 1 2 , H1: 1 2
取显著性水平为 .
引入 t 统计量作为检验统计量 : *2 *2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S (X Y ) 1 1n 2 2n 2 T , 其中 Sw . n1 n2 2 1 1 Sw n1 n2
* n
t / 2 ( n 1)} .
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法. 此检验的势函数为: (略)
( ) P T t / 2 ( n 1)
1 k x
0 n 2
( x ){[
xt / 2 ( n 1) n 1
] [
t 0.516 2.145 t0.025 14，因而接受
由于
H 0 ，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。
以上是在同一检验水平 0.05 下采用不同方法 的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到底哪个 结果正确呢？下面作一简要分析。因为我们将8对轮 胎随机地搭配给8架飞机作轮胎耐磨性试验，两种轮 胎不仅对试验数据产生影响，而且不同的飞机也对试 验数据产生干扰，因此试验数据配对分析，消除了飞 机本身对数据的干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨 性的差异。
解 依题意, 两总体 X 和 Y 分别服从正态分布
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
*2 s x 19.925, 1n1 0.216,
于是，对 1 与
2 是否相等的检验
就变为对 d 0 的检验，这时我们可采用关于 一个正态总体均值的T 检验法。将甲，乙两 种轮胎的数据对应相减得Z的样本值为：
-30，320，360，320，230, 780，720，-140 1 8 计算得样本均值 Z Z i 320 8 i 1
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15,
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
x 10.48, 0.05,
x 0 10.48 10.5 0.516, 则 / n 0.15 / 15
u0.025 1.96, x 0 于是 | | 0.516 u0.025 1.96, / n
当H 0为真时,
X 0 S / n
* n
~ t (n 1),
X 0 P{拒绝 H0|H0 为真} P * k , 0 Sn / n
令 k t / 2 (n 1),
拒绝域为 W { x : t x 0 s / n
第4.2节 正态总体均值与方差的 假设检验
一、 t 检验
2 二、 检验
三、F 检验 四、单边检验
一、t 检验
1. 已知时, 关于的检验( U 检验)
2
在上节中讨论过正态总 体 N ( , 2 )
当 2已知时, 关于 0的检验问题:
假设检验 H 0 : 0பைடு நூலகம், H1: 0
根据第一章§1.3, 当H 0为真时,
取 2
*2 ( n 1) Sn 2
*2 (n 1) Sn
02
~ 2 ( n 1),
*2 * 因为 Sn 是 2 的无偏估计, 故用 Sn 来取代 ,
即采用 T
X 0 S / n
* n
来作为检验统计量.
x 0 当观察值 t 过分大时就拒绝 H 0 , s/ n x 0 拒绝域的形式为 t k. s/ n
根据第一章§1.3定理1.13知,
定理1.13
8 7 2 查表可知 t0.025 (13) 2.160,
0.547,
补充：方差已知但不相等时，两个正态总体 均值是否相等的检验
设 X1 , X 2 , 的样本, Y1 , Y2 ,
, X n1 为来自正态总体 N ( 1 , )
2 1 2 , Yn 2 为来自正态总体 N ( 2 , 2 )的
X1 , X 2 ,, X n 为来自总体 X 的样本,
(1) 要求检验假设: H 0 : 0 , H1 : 0 ,
2 2 2 2
其中 0 为已知常数.
设显著水平为 ,
*2 由于 Sn 是 2 的无偏估计, 当 H 0 为真时,
*2 sn 比值 2 在1附近摆动, 不应过分大于1或过分小于1, 0
xt / 2 ( n 1) n 1
]}
其中k 2 / 2
1 ( n 3) 2
n ( 0 ) n 1 ( ), 2
例2(p121例4.5)如果在例1中只假定切割的长度 服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度 有无显著变化? ( 0.05) 解 依题意 X ~ N ( , 2 ), , 2均为未知,
*2 s y 20.000, 2 n2 0.397,
且 sw
2
(8 1) s (7 1) s
*2 1n1
*2 2 n2
|x y| |t | | 0.265| 2.160, 所以接受 H 0 , 1 1 sw 8 7 即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异.
n1n2 ( n1 n2 2) n1 n2
由样本数据及 n1 n2 8可得
x 6145 ,
*2 S y 5825 1n1 1633900 8 / 7
*2 S2 n2 1053875 8 / 7
t 320 / 619 .7 0.516
对给定的 0.05 ，查自由度为16-2=14的t分布 表，得临界值 t / 2 16 2 t0.025 14 2.145
查表得
故接受 H0 , 认为该机工作正常 .
2. 2未知时, 关于 的检验( t 检验)
设总体 X ~ N ( , 2 ), 其中 , 2 未知, 显著性水平为 .
求检验问题 H 0 : 0 , H1 : 0 的拒绝域. 设 X1 , X 2 ,, X n 为来自总体 X 的样本, X 0 2 来确定拒绝域. 因为 未知, 不能利用 / n
2 1 2 2
2 12 2 2 欲检验假设
H0：1 2，H1：1 2
下面分两种情况讨论：
（1）实验数据配对分析：记 Z X Y ，则
E（Z） 1 2 def d，D（Z） 2 2 ，由正
态分布的可加性知，Z服从正态分布N (d , 2 2 ) 。

10.48 10.5
0.327,
t分布表
故接受 H0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化.
3. 方差未知时, 两个正态总体均值的检验( t 检验)
利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体 均值差的假设.
设 X1 , X 2 , 的样本, Y1 , Y2 ,
, X n1 为来自正态总体 N ( 1 , 2 ) , Yn 2 为来自正态总体 N ( 2 , 2 )的
对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之间对数 据的影响交织在一起，这时样本 X1 , , X n1
与样本 Y1 ,
,Yn2 不独立。
因此，用两个独立正态总体的t检验法是不合适的。 由本例看出，对同一批试验数据，采用配对分析还是 不配对分析方法，要根据抽样方法而定。
二、 检验
2
设总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均为未知,
2 Sn
( Z i Z ) 2 / 7 102200
i 1
8
2 t ( Z 0) / s 8 / 102200 2.83 n / 8 320
对给定 0.05 ，查自由度为8 1 7 的 t 分布 表得临界值 t0.025 (7) 2.365，由于t 2.83 2.365
1 2
当H 0为真时,根据第1章§1.3定理1.14知,
T ~ t ( n1 n2 2).
定理1.14
其拒绝域的形式为
W {x : sw |x y| 1 1 n1 n2 t ( n1 n2 2)},
2
第一类错误的概率为：
| X Y | P t ( n n 2 ) | H 0为真} 1 2 2 S 1 1 w n1 n2
讨论中选用的统计量为U X 0
/ n
H 0 为真时，U服从 N (0,1) 分布.这种 检验法称为 U 检验法.
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 化, 试问该机工作是否正常? ( 0.05) 解
量（单位：mg）数据如下：
轮胎甲：4900，5220，5500，6020
6340，7660，8650，4870
轮胎乙；4930，4900，5140，5700
6110，6880，7930，5010 试问 这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？
解：用X及Y分别表示甲乙两种轮胎的磨损量
假定 X ~ N（1， ），Y ~ N（2， ） ，其中