11.二次函数数形结合梳理(两课时)

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中考复习二次函数之数形结合

A．x<－1 B．x>3 C．－1<x<3 D．x<－1 或 x>3
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
4a
已知二次函数 y ax2 bx c(c 0)
1.当x=1时，y=a+b+c. 2.当x=-1时，y=a-b+c.
3.当x=2时，y=4a+2b+c. 4.当x=2时，y=4a-2b+c.
4.当x=0时，y=c.
5.对称轴： x b , 2a b 2a
6. 2a+b ＞ 0.
1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
A 如图所示，则a、b、c的符号为（）
A. a>0,b>0,c=0 B. a<0,b>0,c=0 C. a<0,b<0,c<0 D. a>0,b<0,c=0
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系
y
ox
如图所示的二次函数 y ax2 bx c的图象中，
刘星同学观察得出了下面四条信息：
(1) b2 4ac 0；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4)a+b+c<0。
D 你认为其中错误的有( )
y
A．2个
B．3个 C．4个 D．1个
1
-1
O
1
x
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，
则函数值 y>0 时，x 的取值范围是( D )
6.与x轴的交点： b2 4ac
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：
1. 当x=1 时， y= a+b+c ＞０

数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计

北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。

本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。

该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。

二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。

对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。

从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。

因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。

二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。

学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。

学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。

该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。

数形结合在二次函数中的应用教案

课题：数形结合在二次函数中的应用一、教学目标：（1）理解二次函数解析式与二次函数图象间的关系，通过解析式本身蕴含的信息以及函数图象的直观表示解决有关问题，体会数与形的密切联系。

（2）感悟数形结合在解题中的应用，增强数形结合的意识。

（3）通过应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能力，增强学好数学的自信心。

二、教学重点、难点：教学重点：感悟数形结合在解题中的应用，掌握数形结合的数学思想，增强数形结合的意识。

教学难点：应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能力，三、教学方法：探究法引导法四、教学过程：（一）情景引入“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。

”——华罗庚寥寥数语，就将数与形之间的内在联系表达的淋漓尽致。

数形结合思想就是将数量关系与空间形式有机地结合，用数的观念来解决形的问题，或者用形的方法来解决数的问题，它是中考数学的一个重要思想方法。

今天，我们就通过研究二次函数中的数形结合来体会“数形结合百般好”的奥妙！设计思路：从学生熟悉的小诗入手，激发学生探究学习的积极性。

（二）亲身经历、感悟数形1、想一想二次函数y= -x2 + 2x+3的图象的形状。

画一画画一画它的大致图象。

说一说你是如何确定的？2、感悟数形数量关系图形特征a=-1<0 开口向下－b/2a=1 对称轴：直线x=1（b2-4ac）/4a=4 顶点坐标（1，4）c=3 与y轴交点坐标（0，3）-x2 + 2x+3=0 与x轴交点坐标（-1，0）（0，3）设计思路：借助复习二次函数的基础知识，体会把数量关系的问题转化为图形特征的问题，发展数形结合的意识。

3、复习二次函数解析式中的字母系数的符号与其图像之间的联系方法归纳：在抛物线中：①、a的符号决定抛物线的开口方向；②、a、b联合决定抛物线对称轴的位置:当a、b异号时，-b/2a＞0，对称轴位于y轴的右侧，当a、b同号时，-b/2a＜0，对称轴位于y轴的左侧，当b=0时，-b/2a=0，对称轴就是y轴；为方便记忆，这一结论可简称为“左同右异”.③、c的符号决定抛物线与y轴交点位置；④、的符号决定抛物线与x轴交点个数；⑤、与a-b+c.分别是x=1、-1时的函数值，观察x=1、-1时图像上点的位置即可得与a-b+c.的符号.⑥、代数式、( )符号判断，可先观察对称轴x=-b/2a与1、-1的大小关系，再对不等式进行变形就可得出。

人教版九年级年数学上册《二次函数的数形结合问题》精品课件

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16、业余生活要有意义，不要越轨。* *5/15/2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。*** 21.5.15
谢谢大家
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9、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。21.5.1521.5.15Saturday, May 15, 2021
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。* **5/15/2021 4:45:38 PM
y a b c 0
y
yabc0
yabc0
o
x
yabc0
X=-1
练习：二次函数 yax2bxc的图象如图，用 (<,>,=)填空 : a 0， b 0， c 0， a+b+c 0， a-b+c 0，
如遇到 2a+b,2a-b要与对称轴联系等；
y
-1 o
1x
（5 ）二次函数有最大或最小值由a决定。
谢谢大家
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9、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。21.5.1521.5.15Saturday, May 15, 2021
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。* **5/15/2021 4:45:38 PM
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11、人总是珍惜为得到。21.5.15**May-2115- May-21
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12、人乱于心，不宽余请。***Saturday, May 15, 2021
-1 o 1 x
8、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④ （a+c)2＜b2，其中正确的个数是（ B）

二次函数中的数形结合

“素质杯”教学大赛教学设计学校山泉镇第二中学姓名唐荣鑫课题二次函数中的数形结合教学目标知识与技能会用数形结合思想解决二次行数问题，学生在探索中学会二次函数中的数量关系与图形关系的相互转化，体会数与行的密切关系。

感悟数形结合在解题中的作用，培养学生探索、求知的浓厚兴趣。

过程与方法情感态度与价值观教学重点体会数形的关系，渗透数学思想及解题的方法和技巧教学难点应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能力教学过程及实施策略师生互动一、问题导入思考：如图，已知二次函数y=x2+4x+3,请回答下列问题: （1）说出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点A、B的坐标,与y轴的交点C的坐标；（3）函数的最值和增减性；（4）x取何值时①y＜0 ；②y＞0二、新课传授例1：如图：已知：直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=- x2+bx+c 经过点B、C，点A 是抛物线与x轴的另一交点。

（1）求抛物线的解析式。

（2）求A点的坐标。

（3）若抛物线顶点为D，求四边形ABDC的面积。

引入课题以问题带动知识点的回顾，引入数形结合通过画图像，应用数形结合思想解救问题：学生思考回答通过学生共同探究、研讨，合作、交流，增强学生学好数学的自信心。

D A例2：如图，已知抛物线y= a x2 +4ax+t (a>0)交x轴于A、B两点，交y轴于点c，抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为（-1，0）（1）求点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？并证明你的结论。

（3）当∠BCO=30 度时，求抛物线的解析式。

三、习题拓展已知二次函数图像顶点坐标为C（2，1），且经过A（1，0），图像与Y轴交于点D（1）求这个二次函数解析式（2）求与X轴的另一个交点B的坐标（3）_______________________________(学生自行设计，并给予解答)四、小结1、感悟数形结合在二次函数中的作用2、通过这节课请同学谈一谈你们有哪些收获？学生在合作探索中学会二次函数中的数量关系与图形关系的相互转化，体会数与行的密切关系学生独立与合作相结合完成开放题目鼓励学生大胆说出自己体会板书设计二次函数中的数形结合教后反思。

(完整)初三数学二次函数知识点总结(2),推荐文档

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，，b c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0 ，而b ，体实数．2.二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，，b c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式y =a (x -h)2 +k 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0 向上(h ，k) X=h x >h 时，y 随x 的增大而增大；x <h 时，y 随x 的增大而减小；x =h 时，y 有最小值k ．a < 0 向下(h ，k) X=h x >h 时，y 随x 的增大而减小；x <h 时，y 随x 的增大而增大；x =h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h)2 +k ，确定其顶点坐标(h，k )；⑵ 保持抛物线y =ax2的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：【【(k>0)【【【【(k<0)【【【|k|【【【【【( h>0)【【【( h<0【【【|k|【【【【【( h>0)【【【( h<0)【【|k|【【【【【( k>0)【【【( k<0)【【【|k|【【【【【( h>0)【【【( h<0)【【【|k|【【【y=a(x-h)2【【(k>0)【【【(k<0)【【【|k|【【【2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：y=a(x-h)2+ky=ax2y=ax 2+k2a ⎝ ⎭⎝ ⎭⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 ⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2者，即 y = a x + ⎪ +⎝ ⎭，其中 h = - ， k = ． 4a 2a 4a五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点(0， c )、以及(0， c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与 x 轴的交点(x 1， 0)， (x 2 ， 0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质b⎛ b 4ac - b 2 ⎪⎫ ． 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a， 4a当 x < - b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 时， y 有最2a 2a2a 4ac - b 2小值．4ab ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当x < - 2a时， b b 4ac - b 2y 随 x 的增大而增大；当 x > - 2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a 时， y 有最大值．4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1)(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y = ax 2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a ≠ 0 ． a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．bab 的符号的判定：对称轴 x = - 在 y 轴左边则 ab > 0 ，在 y 轴的右侧则 ab < 0 ，概括的说就是2a“左同右异” 3. 常数项 cc 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，， b c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x ，0，) ，B (x 0) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二次方121212程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离 AB = x 2 - x 1=. ② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点. 1' 当a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ； 2 ' 有 y < 0 ．当a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都 2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m 2 - m - 2 的图像经过原点，则 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考y1查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx 2 +bx - 1的图像大致是（）y10 x xC D3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =5，求这条抛物线的解析式。

2022年最新中考数学知识点梳理考点11 二次函数(教师版)

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点11 二次函数考点总结一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质开口向上开口向下2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．316＜m≤13C．m＞316D．316＜m＜13【分析】先判断出x＝4时，y≤0，当x＝5时，y＞0，解不等式，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，∴顶点（1，﹣3），抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，∵抛物线与x轴交于点A，B．∴抛物线开口向上，∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，∴这些整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∵m＞0，∴当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3≤0，∴m≤1 3，当x＝5时，y＝25m﹣10m+m﹣3＞0，∴m＞3 16，∴316＜m≤13，故选：B．2．（2021•开平区一模）如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（）A．t＞3 B．t＞﹣3 C．t＞3或t＜﹣3 D．t＜﹣3【分析】将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t），求得a=1t−3，根据抛物线开口向上，a＞0，即可得出关于t的不等式，解不等式即可求解．【解答】解：将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t）得，﹣3＝a（9﹣3t），∴a=1 t−3∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴1t−3＞0，∴t﹣3＞0，∴t＞3．故选：A．3．（2021•河北模拟）对于题目，“线段y=−34x+94(−1≤x≤3)与抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）有唯一公共点，确定a的取值范围”．甲的结果是a≤−32，乙的结果是a＞32，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】分类讨论a＞0，a＜0两种情况，通过数形结合方法，列不等式求解．【解答】解：如图，点A坐标为（﹣1，3），点B坐标为（3，0），①a＞0时，抛物线开口向上，经过定点（0，0），抛物线与直线x＝﹣1交点坐标为C（﹣1，a+2a2），与直线x＝3交点坐标为（3，9a﹣6a2），当点C在点A下方，点D在点B上方时满足题意，即{a+2a2＜39a−6a2≥0 a＞0，解得0＜a＜1，当点C 在点A 上方，点D 在点B 下方时也满足题意， {a +2a 2＞39a −6a 2＜0a ＞0，解得a ＞32，②a ＜0时，抛物线开口向下，经过定点（0，0），当点C 与点A 重合或在A 上方时满足题意，即{a +2a 2≥3a ＜0，解得a ≤−32．综上所述，0＜a ＜1或a ＞32或a ≤−32．故选：D ．4．（2021•清苑区模拟）对于二次函数y ＝4（x +1）（x ﹣3）下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）C．x＜0时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝﹣1【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项是否正确．【解答】解：y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，A、a＝4＞0，则该抛物线的开口向上，故选项A不符合题意，B、与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B不符合题意，C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意，D、图象的对称轴是直线x＝1，故选项D不符合题意，故选：C．5．（2021•衡水模拟）若二次函数y＝ax2+2ax（a≠0）过P（1，4），则这个函数必过点（）A．（﹣3，4）B．（﹣1，4）C．（0，3）D．（2，4）【分析】根据二次函数的对称性即可判断．【解答】解：∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝﹣1，∴点P关于对称轴的对称点为（﹣3，4），∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，∴这个函数图象必过点（﹣3，4），故选：A．6．（2021•石家庄一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（）A．3≤t≤4 B．5≤t≤6C．3≤t≤4，t＝6 D．3≤t≤4或5≤t≤6【分析】把A、B的坐标分别代入抛物线解析式得到关于t的方程，解方程求得t的值，即可得到符合题意的t的取值范围．【解答】解：把A（4，2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得2＝﹣（4﹣t）2+t，解得t＝3或t＝6；把B（4，4）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得4＝﹣（4﹣t）2+t，解得t＝4或t＝5；∴当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是3≤t≤4或5≤t≤6，故选：D．7．（2021•邢台模拟）对于题目：“已知A（0，2），B（3，2），抛物线y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m ﹣1（m≠0）与线段AB（包含端点A、B）只有一个公共点，求m的取值范围”．甲的结果是﹣3＜m＜0，乙的结果是0＜m＜32，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．【解答】解：当x＝0时，y＝2m﹣1，当x＝3时，y＝9m﹣9（m﹣1）+2m﹣1＝2m+8，∵y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1＝m（x2﹣3x+2）+3x﹣1＝m（x﹣2）（x﹣1）+3x﹣1，∴该函数和恒过点（2，5）、（1，2），当（1，2）为抛物线顶点时，该抛物线与线段AB一个交点，此时−−3(m−1)2m=1，得m＝3；当抛物线过点A（0，2），则2m﹣1＝2，此时m=32＞0，抛物线开口向上，又∵抛物线恒过点（1，2），∴抛物线与线段AB一个交点时，2m﹣1＜2，得m＜3 2，∴0＜m＜3 2；当抛物线过点B（3，2）时，2m+8＝2，得m＝﹣3＜0，此时抛物线开口向下，又∵抛物线恒过点（1，2），∴抛物线与线段AB一个交点时，2m+8＞2，得m＞﹣3，∴﹣3＜m＜0；由上可得，0＜m＜32或﹣3＜m＜0或m＝3，故选：D．8．（2021•柳南区校级模拟）如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝15，则点P的个数为0；乙：若b＝9，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对【分析】把点P的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断甲、乙、丙的判断对与错．【解答】解：∵点P（a，b），当b＝15时，则15＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+15＝0，∵Δ＝36﹣4×15＜0，∴点P的个数为0；当b＝9时，则9＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+9＝0，∵Δ＝36﹣4×9＝0，∴a有两个相同的值，∴点P的个数为1；当b＝3时，则3＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+3＝0，∵Δ＝36﹣4×3＞0，∴有两个不相等的值，∴点P 的个数为2；故甲、乙对，丙错，故选：C ．9．（2021•商河县一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2﹣2mx +m ﹣3与x 轴交于点A 、B ．下列结论正确的有（）个．①m 的取值范围是m ＞0；②抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）；③若线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数，则m 的取值范围是13＜m ≤34；④若抛物线在﹣3＜x ＜0这一段位于x 轴下方，在5＜x ＜6这一段位于x 轴上方，则m 的值为316．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点，得出Δ＞0，即可判断①；用配方法将抛物线解析式配成顶点式，即可判断②；先判断出x ＝3时，y ≤0，当x ＝4时，y ＞0，解不等式，即可判断③；先判断出抛物线在﹣4＜x ＜﹣3这一段位于x 轴上方，结合抛物线在﹣3＜x ＜0这一段位于x 轴下方，得出当x ＝﹣3时，y ＝0，即可得出判断④．【解答】解：①∵抛物线y ＝mx 2﹣2mx +m ﹣3与x 轴交于点A 、B ， ∴Δ＝（﹣2m ）2﹣4m （m ﹣3）＞0， ∴m ＞0，故①正确；②∵y ＝mx 2﹣2mx +m ﹣3＝m （x 2﹣2x +1）﹣3＝m （x ﹣1）2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），故②正确；③由②知，抛物线的对称轴为直线为x ＝1， ∵线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数， ∴这些整数为﹣1，0，1，2，3， ∵m ＞0，∴当x ＝3时，y ＝9m ﹣6m +m ﹣3≤0， ∴m ≤34，当x ＝4时，y ＝16m ﹣8m +m ﹣3＞0，∴m ＞13，∴13＜m ≤34，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线为x ＝1，且m ＞0，抛物线在5＜x ＜6这一段位于x 轴上方， ∴由抛物线的对称性得，抛物线在﹣4＜x ＜﹣3这一段位于x 轴上方， ∵抛物线在﹣3＜x ＜0这一段位于x 轴下方， ∴当x ＝﹣3时，y ＝9m +6m +m ﹣3＝0， ∴m =316，故④正确，故选：D ．10．（2021•河北模拟）对二次函数y =12x 2+2x +3的性质描述正确的是（） A ．该函数图象的对称轴在y 轴左侧 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 C ．函数图象开口朝下D ．该函数图象与y 轴的交点位于y 轴负半轴【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．【解答】解：A 、y =12x 2+2x +3对称轴为x ＝﹣2，在y 轴左侧，故A 符合题意；B 、因y =12x 2+2x +3对称轴为x ＝﹣2，x ＜﹣2时y 随x 的增大而减小，故B 不符合题意； C 、a =12＞0，开口向上，故C 不符合题意；D 、x ＝0是y ＝3，即与y 轴交点为（0，3）在y 轴正半轴，故D 不符合题意；故选：A ．二．填空题（共5小题）11．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系中，已知A （﹣1，m ）和B （5，m ）是抛物线y ＝x 2+bx +1上的两点，b ＝ ﹣4 ；m ＝ 6 ；将抛物线y ＝x 2+bx +1向上平移n （n 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴没有交点，则n 的最小值为 4 ．【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝2，则−b2×1=2，解得b ＝﹣4，再把（﹣1，m ）代入y ＝x 2﹣4x +1中求出m 的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移n 个单位后的解析式为y ＝x 2﹣4x +1+n ，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，然后解不等式后可确定n的最小值．【解答】解：∵A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，∴点A和点B为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，即−b2×1=2，解得b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1，把（﹣1，m）代入得m＝1+4+1＝6；抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n，∵抛物线y＝x2﹣4x+1+n与x轴没有交点，∴△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，解得n＞3，∵n是正整数，∴n的最小值为4．故答案为﹣4，6；4．12．（2021•永德县模拟）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为直线x＝1 ．【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴x=0+22=1．故答案为：直线x＝1．13．（2020•秦皇岛一模）如图，将抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q．（1）点P的坐标为(−3，−92 )；（2）图中阴影部分的面积为272．【分析】（1）抛物线C 1与抛物线y =13x 2的二次项系数相同，利用待定系数法即可求得函数的解析式，进而即可求得顶点P 的坐标；（2）图中阴影部分的面积与△POQ 的面积相同，利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵把抛物线y =12x 2平移得到抛物线m ，且抛物线m 经过点A （﹣6，0）和原点O （0，0），∴抛物线m 的解析式为y =12（x ﹣0）（x +6）=12x 2+3x =12（x +3）2−92． ∴P (−3，−92)．故答案是：(−3，−92)；（2）把x ＝﹣3代入=12x 2得y =92， ∴Q （﹣3，92），∵图中阴影部分的面积与△POQ 的面积相同，S △POQ =12×9×3=272． ∴阴影部分的面积为272．故答案为：272．14．（2021•桥西区模拟）在平面直角坐标系中，函数y ＝x 2﹣4x 的图象为C 1，C 1关于原点对称的函数图象为C 2．①则C 2对应的函数表达式为 y ＝﹣x 2﹣4x ，②直线y ＝a （a 为常数）分别与C 1、C 2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a 的取值范围 ﹣2＜a ＜﹣1 ．【分析】（1）根据关于原点对称的关系，可得C2；（2）根据图象可得答案．【解答】解：（1）函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y ＝﹣x2﹣4x；故答案为y＝﹣x2﹣4x；（2）由图象可知，直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a的取值范围﹣2＜a＜﹣1．故答案为﹣2＜a＜﹣1．15．（2021•石家庄模拟）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t （单位：min ）近似满足的函数关系为：p ＝at 2+bt +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P 与t 的解析式为 P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9 ；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 3.75分钟．【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p ＝at 2+bt +c 中，可得函数关系式为：p ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P ＝at 2+bt +c 中，{9a +3b +c =0.816a +4b +c =0.925a +5b +c =0.6，解得{a =−0.2b =1.5c =−1.9，所以函数关系式为：P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t =−b 2a=−1.52×(−0.2)=3.75，则当t ＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．故答案为：P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，3.75分钟．三．解答题（共3小题）16．（2021•路北区一模）如图，抛物线L ：y ＝﹣（x ﹣t ）2+t +2，直线l ：x ＝2t 与抛物线、x 轴分别相交于Q 、P 两点．（1）t ＝1时，Q 点的坐标为（2，2）；（2）当P、Q两点重合时，求t的值；（3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式；（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出1≤t≤2时“可点”的个数．【分析】（1）把t＝1代入x＝2t即可求出直线l的解析式，把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得y＝2，即可求出Q点的坐标；（2）由P、Q两点重合，可知直线与抛物线交于x轴，即交点的纵坐标为0，代入抛物线解析式，即可求得t的值；（3）由题意可知，直线与抛物线交于抛物线顶点，即可得到关于t的方程，求解方程得出t的值，代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，即可得出抛物线解析式；（4）根据“可点”的定义，分t＝1，t＝2，1＜t＜2三种情况讨论，即可得出“可点”的个数．【解答】解：（1）当t＝1时，x＝2，∴直线l的解析式为：x＝2，把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得：y＝﹣（2﹣1）2+1+2＝2，∴Q点的坐标为（2，2），故答案为：（2，2）；（2）∵P、Q两点重合，∴直线与抛物线交于x轴，∴交点为（2t，0），∴﹣（2t﹣t）2+t+2＝0，解得：t＝2或t＝﹣1；（3）∵抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，∴抛物线顶点坐标为（t，t+2），当Q点达到最高时，则直线与抛物线交于顶点，∴2t＝t，解得：t＝0，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2；（4）∵1≤t≤2时，∴分三种情况讨论，当t＝1时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，令y＝0，则﹣（x﹣1）2+3＝0，解得：x＝1±√3，∴“可点”在x轴上有3个，抛物线上有3个，共有6个，当t＝2时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，令y＝0，则﹣（x﹣2）2+4＝0，解得：x＝0或4，∴“可点”在x轴上有5个，抛物线上有3个，共有8个，当1＜t＜2时，抛物线与x轴的交点在1−√3和4之间，当L过（3，0）时，“可点”在x轴上有4个，抛物线上有3个，共有7个，综上所述，“可点”的个数为6或7或8．17．（2021•开平区一模）如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为y，篮球水平运动的距离为x，已知y﹣3.5与x2成正比例，（1）当x=√5时，y＝2.5，根据已知条件，求y与x的函数解析式；（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？【分析】（1）设y﹣3.5＝kx2，用待定系数法求函数解析式即可；（2）由（1）解析式求函数最大值即可；（3）根据题意球框距离篮球最高点的水平距离是1.5米，把x＝1.5代入（1）中解析式得出y3.05米即可．【解答】解：（1）由题意可设y﹣3.5＝kx2，∵当x=√5时，y＝2.5，∴2.5﹣3.5＝k×（√5）2，解得：k=−1 5，∴y与x的函数解析式为y=−15x2+3.5；（2）∵y=−15x2+3.5，∴篮球在空中运行的最大高度为3.5米；（3）此次投篮成功，理由：把x＝4﹣2.5＝1.5代入y=−15x2+3.5得：y=−15×1.52+3.5＝3.05，∴（1.5，3.05）在抛物线y=−15x2+3.5上，∴此次投篮成功．18．（2021•海港区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a（a≠0）与y轴交于点A，顶点为B．（1）若抛物线过点（1，4），求抛物线解析式．（2）设点A的纵坐标为y A，用含a的代数式表示y A，求出y A的最小值．（3）若a＞0，随着a增大A点上升而B点下降，求a的取值范围．【分析】（1）把（1，4）代入抛物线解析式求解．（2）用含a代数式表示表示y A，并将解析式化为顶点式求解．（3）分别用含a代数式表示y A，y B，并将其化为顶点式求解．【解答】解：（1）把（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a得4＝a﹣2a+a2﹣2a，解得a1＝﹣1，a2＝4．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3或y＝4x2﹣8x+8．（2）把x＝0代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a，即y A=a2−2a=（a﹣1）2﹣1，∴y A的最小值为﹣1．（3）∵y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a＝a（x﹣1）2+a2﹣3a，∴y A=a2−2a=（a﹣1）2﹣1，y B=a2−3a=(a−32)2−94，∴当a＞1时，随着a增大A点上升；当a＜1.5时，随着a增大B点下降．∴当1＜a＜1.5时，随着a增大A点上升而B点下降．。

(完整版)二次函数-数形结合

课程标题学习目标复习二次函数图像知识总结二次函数的综合题重点与难点二次函数的图像二次函数的数形结合问题学习过程※学习探究二次函数单独出现时不会很难，但为了达到综合考查的目的，二次函数往往会和几何类的知识一起综合出现，常见的有：直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、菱形....等。

下面就关于各种图形结合实例进行一一例讲：一、和三角形结合1.如图，抛物线和直线kkxy4-=(0<k)与x轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴1-=x与x轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．2.如图1－2－24，△OAB是边长为2＋ 3 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OA B折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E∥x轴，且抛物线经cbxxy++-=261过点A′和E时，求该抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形．若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．3.已知：如图1－2－27所示，直线y=－x+3与x 轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC上，且SΔPAC=12SΔPAB，求点P的坐标．4.在ΔABC中，∠ABC＝90○，点C在x轴正半轴上，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上(图1－2－26所示），若tan∠BAC= 12，求经过A、B、C点的抛物线的解析式5.在直角坐标系xoy中O是坐标原点，抛物线y=x2－x－6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧），与y轴交于点C，如图l－2－45，如果点M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO= 23S△COB，那么点M的坐标是_______-。

二次函数的数形结合归纳

二次函数的数形结合一、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点坐标)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-= 当ab x 2-=时，函数有最大(小)值为a b ac 442- 抛物线的开口方向和大小 a 的符号，︱a ︱越大开口越小抛物线的形状相同︱a ︱相同对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号对称轴在y 轴右侧 a ，b 异号正半轴 c ＞0与y 轴的交点（0，c ）位置原点 c=0负半轴 c ＜0与x 轴的交点的横坐标 ax 2+bx+c=0 的解抛物线与x 轴有两个交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＞0抛物线与x 轴有一个交点顶点在x 轴上抛物线与x 轴没有交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＜0抛物线的顶点在y 轴上 b=0抛物线的顶点在原点3个交点 △＞0，c △＞0，c=0抛物线与坐标轴有 2个交点△=0，c ≠0 △＜01个交点b=c=0函数值恒为正（无论x 取何值，y 始终为正） a ＞0，△＜0 函数值恒为负（无论x 取何值，y 始终为负） a ＞0，△＜0 X 轴的对称抛物线是 y=-ax 2-bx-c 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）关于 Y 轴的对称抛物线是 y=ax 2-bx+c原点的对称抛物线是 y=-ax 2+bx-c抛物线在x 轴上截得的线段长度—————︱x 1-x 2︱=aac b 42- a ≠0；△=b 2-4ac=0二、顶点式：y=a(x+m)2+k(a ≠0)的顶点是（－m ，k ），对称轴是x =－m. 当x =－m 时，函数有最大(小)值为 k考虑平移时一般要用顶点式，平移规律是抛物线y=a(x+m)2+k 关于x 轴y 轴或原点的对称抛物线——————关键是找到对称抛物线的顶点坐标和a 即可如y=2(x+2)2-3关于x 轴的对称抛物线——关于x 轴的对称抛物线——关于原点的对称抛物线——顶点在一定在什么特殊的函数上-------如何处理三、交点式（两根式）：))((21x x x x a y --=，其中21,x x 是c bx ax ++2=0的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（，）和（，），对称轴是直线x= 图像上纵坐标相等的点关于对称轴对称如（2,5），（-4,5）在图像上对称轴是直线x=1242-=- 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于（x 1,0），（x 2,0）ax 2+bx+c ＞0——————抛物线))((21x x x x a y --=关于x 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ---=抛物线))((21x x x x a y --=关于y 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ++= 抛物线))((21x x x x a y --=关于原点的对称抛物线—— a ＞0———— a ＜0————。

二次函数知识点汇总(全)

.二次函数知识点 ( 第一讲 )一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c （ a ，b ，c 是常数，a0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐对称标性质轴x 0 时， y 随x的增大而增大； x0 时， y 随a 0向上0 ，0y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 0 ．x 0 时， y 随x的增大而减小； x0 时， y 随a 0向下0 ，0y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值 0 ．2.y ax 2 c 的性质：（上加下减）a 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴x0 时， y 随x的增大而增大； x0 时， y 随a0向上0 ，c y 轴x 的增大而减小；x 0时，y有最小值 c ．x0 时， y 随x的增大而减小； x0 时， y 随a0向下0 ，c y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值c．.3. y a x h 2 的性质：（左加右减）a 的符号开口方向顶点坐对称标性质轴x h 时，y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0 向上 h ，0 X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ．x h 时，y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下h ，0X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．4.2k 的性质：y a x ha 的符号顶点坐对称开口方向性质标轴x h 时，y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0向上h ，kX=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．x h 时，y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下h ，kX=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 ( k>0)【或向下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 ( h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 (h>0) 【或左 ( h<0) 】平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．.方法二：⑴ y ax 2bx c 沿y轴平移:向上（下）平移m 个单位， y ax 2bx c 变成y ax 2bx c m （或 y ax 2bx c m ）⑵ y ax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax 2bx c 变成y a( x m) 2b( x m) c （或 y a( x m)2b( x m) c ）四、二次函数 y a x h2k与 y ax2bx c的比较从解析式上看， y a x h2k 与 y ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2b2b，k2前者，即 y a x b4ac，其中 h4ac b．2a 4 a 2 a4a 五、二次函数 y ax 2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图顶点、与 y 轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点y a( x h)2k ，确定其开口方. 一般我们选取的五点为：2h ，c 、与 x 轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点六、二次函数 y ax2bx c 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a当 xb时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 随x的增大而增大；当x b时， y 有2a2a2a最小值4acb 2．4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．当 x b时，2a2a4a2ay 随x的增大而增大；当x b时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 有最大值4acb2．2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y ax 2bx c （ a ，b， c 为常数，a0 ）；2.顶点式： y a( x h)2k （ a ，h，k为常数，a 0）；3.两根式：1212.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数4ac 0 解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数 y ax 2bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a 0 的前提下，当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵ 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴 xb在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 ，概括的说就2a是“左同右异” 总结： 3.常数项 c⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y ax2bx c关于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2；k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k2.关于 y 轴对称y ax2bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2k；k 关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y ax2bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2bx c b2；2 ay a x h 2y a x h2k．k 关于顶点对称后，得到的解析式是5.关于点m，n 对称22k y a x hk 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程22bx c 当函数值 y0 时的特殊情况. ax bx c 0 是二次函数 y ax图象与 x 轴的交点个数：① 当b24ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0，B x2，0( x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2x1b24ac .a② 当0时，图象与 x 轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与x轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在x轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0；2'当 a0 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0 ．2.抛物线 y ax2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中 a ，b， c 的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c( a 0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与 x 轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点负0抛物线与 x 轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根 .交点正二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y ( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2bx 1 的图像大致是（）y y y y110 x o-1 x0 x0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。

第二讲二次函数与数形结合思想

2018学年初三学业指导材料数学B （2）-----二次函数与数形结合思想【数形结合思想】数与形是数学中最基本的研究对象，在一定条件下可以相互转化.利用“数”与“形”之间的联系解决有关问题的思想方法称为“数形结合”.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性，（2）借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即 “以数解形” “以形助数”.通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的. 【应用】1.已知2221y x x m =+-+与x 轴有两个交点，且分布在原点两边，则m 的范围为（） A.12m >B. 12m < C. 12m >- D. 716m >2.已知222(b 2)b 1y x x =--+-的图象不经过第三象限，则实数b 范围为_______________.3.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠ 的图象如图所示，则下列结论正确的是____________.A.0abc >B.24ac b <C.20a b +>D.20a b -<E.42a b c +>-F.若m<-1，则am a b +<-4.定义符号}{max ,a b 的含义为：当a b ≥时，{}max ,a b a =；当a b <时，{}max ,a b b =．如：{}1ax 1m 2-=，，{}m 373ax --=-，.（1）若{}2max 42,4y x x x =+--+，则y 的最小值为_______________；（2）已知m 为实数，且{}2max 4,22mx m +++-=-，则m 的取值范围为________________；（3）当12x -≤≤时，(){}()2max 611x x m x m x ---=-,．则m 的取值范围为____________．5.已知抛物线223y x x =--如图所示，在对称轴上找一点P ，使得△ACP 为等腰三角形，求P 点坐标；【变式1】已知抛物线223y x x =--如图所示，在对称轴上找一点P ，使得△ACP 为直角三角形，求点P 坐标；【变式2】已知抛物线223y x x =--如图所示，点E 在对称轴上，点F 在抛物线上，若以C ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标；6. 抛物线223y x x =--如图所示，已知对称轴上有点D(1,-4)、E(1,1)，请在抛物线上找点P ，使PCD POE S =4S ∆∆，求出P 点坐标7. 若抛物线223y x x =--与直线7y kx =+交于点()2,5D -和点E ，点(),P m n 为抛物线上的动点（不与点D 、点E 重合），PDE △的面积记为S .（1）求S 关于m 的解析式，并画出其函数图像；（2）若抛物线上有且只有两个不同的点1P 、2P ,使得PDE △的面积取得同一个值S ，求S 的取值范围.。

二次函数应用(数形结合)PPT课件

你会画它的大致图象吗？
2号题：
如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，你能判断a、b、C、b2-4ac，a-b+c符号吗？
a<0 b<0 C>0 b2-4ac>0
a-b+c>0

3号题：
二次函数y=2x2-1大致图象是：（ C ）
A
B
C
4号题：已知抛物线y=x2-2x-3与X轴交于A、 B两点。
知识储备： 1、小牛去小河喝水后回家，要走最短的路程，请你帮助画出喝水点点P。（河水很浅，小牛可通过）
小牛
A
小牛
A
B 牛家
P
小河
B 牛家
P
小河
A1
2、小牛去小河喝水后回家，要走最短的路程，请你帮助画出喝水点点P。
1、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0， 4），B（1，0），C（4，0），其对称轴与x轴相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使∆PAB 的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使∆NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标; 若不存在,请说明理由.
The foundation of success lies in good habits
15
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal

二次函数的数形结合归纳

数形结合思想在二次函数中的应用

则此时抛物线对应的函数解析式为____y__(_x__1)_2__1__。左“+”右
“－”
y
B
4
抛物线的平移本质上就是把握点的平移
-1
o
A 1
x
图2
数形结合
1.若A(-1,y1)，B（ 2，y2）是抛物线y a(x 1)2 c(a 0)上的两点，则y1 _<__ y2 (填 , 或 )。
(3) 不等式ax2 bx c kx m的解为 x 1或x 1 ；
y
B
4
不等式问题（数）
转化函数问题（形）
-1
o
A 1
x
图2
什么没变？
3、如图2，把此抛物线先绕它的顶点旋转180°，则该抛物线对应的解析式为____y__(_x__1)_2 __4____；
若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，
（3）二次函数值大小可以直接通过开口方向与点到对称的轴距离确定；
（4）方程、不等式问次函数问题中的应用
y
o
x
7
——
两数
者缺
结形
合时
万少
般直
好观
，，
隔形
离缺
分数
家时
万难
华罗
事入休微。，
庚
数形结合
a
2思1图、、①考像((有：12如))，两直..图个结线m结从抛1不<y是合合中=物 4相m-3图图抛你线等的11物能y-回思实1线得数答考ao4yx到根y12：，；哪当方②当babbb些x有x222x方程m2x取结两为程444cm个aaa(何论问何baccc(=相xx题4值？值等000（10) 时的时c2)数与 (实没有有，）a，4直数1有 2y个方个线 x根=交0交交 0；程)转2y点的？点③点化的ym部无k>(根>x实x0分4?的数函b1根)的个数2 ③与坐标轴交点的意义？问交数4题点 ②轴对称性（对称轴，顶点坐标）？（个 m绝对值决定开形数）①的意义：符号决定开口方向，？

二次函数复习---运用数形结合解题

y 5 4 3 2 1
-２ -1 0 1 2 3 4 5 x -1
-2
-3
-4
-5
例3.在同一直角坐标系中，一次函数
y1 k1x b1 的图象与二次函数 y2 ax2 bx c 的图象如图所示，根据图象回答以下问题：
y 5
（2）当自变量x在什么范围
4 3
内，两个函数的函数值都
2
随x 的增大而减小？
当x>3时，y的取值范围；
1
解：y>0
-２ -1 0 1 -1
解：0<y<3
-2 -3
解：y<0
-4 -5
2 3 4 5x
y kx b
例1.已知: 如图，
（3）当x取什么值时，函数值0<y<3?
当x取什么值时，函数值y>3?
当x取什么值时，函数值y<0? y 5
解：0<x<3
y3
4 3
解：x<0 解：x>3
④若方程ax2+bx+c=k有解,试求k的取值范围. k≤4
你知道如何将方程问题（数）转化为函数问题（形）来解决了吗？
例２.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
（4）当 x 取什么值时，
函数值 0≤ y≤ 3 ？
解：-1 <x<0或2<x<3
二次函数复习---运用数形结合解题
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所
示，点
(
1 2
,
m)和点
(1 2
,
n)
在该二次函数图
象上，试比较 m与n的大小。

11.二次函数 数形结合 梳理(两课时)

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