信号与系统(沈元隆_周井泉)第五章
信号与系统——时域、频域分析及MATLAB软件的应用
书名：信号与系统——时域、频域分析及MA TLAB软件的应用
作者：吴新余周井泉沈元隆
页数：417页
开数：16开
字数：680千字
出版日期：1999年12月第1版2000年5月第2次印刷
出版社：电子工业出版社
书号：ISBN 7–5053–5669–0
定价：35．00元
内容简介
本书为一本面向21世纪教学的有关信号与系统分析的教材。全书共分为八章，即信号与系统的基本概念，卷积积分，傅分变换，系统的性能分析，Z变换，状态变量分析以及Matlab软件在信号与系统分析中的应用。
本书各章附加了与内容相配合的例题和习题，书末附有习题答案，以便于自学。为了适应科技形势迅速发展的需要，本书加强了学生计算机应用能力的培养。编排了30余个Matlab应用程序以供学生训练用。
本书可作为通信、电子和自控类的各种专业本科生的教材，也可供有关技术人员参考。
未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。
版权所有，翻印必究。
作者简介
吴新余，男，1939年8月生，1962年毕业于哈军工航空系，现为南京邮电学院电子工程系教授(1992)，IEEE高级会员(1994)。在1986—1998年间，曾三次赴美国芝加哥伊里诺大学、一次赴美国加州大学伯克利本校作访问学者。有编著、译著5本：1．《信号与线性系统》，人民邮电出版社，1985，为编者之一；2．《陈惠开教授论文选集》(译)，湖南科技出版社，1987，为主译者；3．《数字信号处理系统与实现》(译)，科学出版社，1989，为译者之一；4．《现代网络分析》，人民邮电出版社，1992，为第一副主编；5．《信号与系统——时域、频域分析与Matlab软件应用》，电子工业出版社，1999．12，为编者之一。曾在国内外杂志和有关专业学术会议上发表论文100余篇。1992年获国务院颁发的政府特殊津贴，两次作为课程建设的主持人而获得江苏省普通高校一类课程：“电路分析”(1993)、“信号与系统”(1995)，l996年获江苏省普通高校教学成果一等奖，1998年被评为江苏省优秀硕士生导师，其主要研究领域是：电路与系统理论及应用，应用图论，神经网络和遗传算法等。
信号与系统课后答案
信号与系统课后答案
1-1 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(
（3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-3
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)6
3cos()443cos(
)(2π
πππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=
：
1-9 已知信号的波形如图1-11所示，分别画出
)(t
f和
dt
t
df)(
的波形。
解：由图1-11知，)
3(t
f-的波形如图1-12(a)所示（)
3(t
f-波形是由对)
2
3(t
f-
的波形展宽为原来的两倍而得）。将)
3(t
f-的波形反转而得到)3
(+
t
f的波形，如图1-12(b)所示。再将)3
(+
t
f的波形右移3个单位，就得到了)(t
f，如图1-12(c)所示。dt
t
df)(的波形如图1-12(d)所示。
1-23 设系统的初始状态为)0(x，激励为)(⋅
f，各系统的全响应)(⋅
y与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。
（1）⎰+
=-t
t dx
x
xf
x
e
t
y
)
(
sin
)0(
)(（2）⎰+
=t dx
x
f
x
t
f
t
y
)
(
)0(
)(
)(
（3）⎰+
=t dx
x
f
t
x
t
y
)
(
])0(
sin[
)(（4）)2
(
)
(
)0(
)5.0(
)
(-
+
=k
f
k
f
x
k
y k
（5）∑=+
=k
j j f kx k y 0
)()0()(
浙江大学大学物理答案
浙江大学大学物理答案
【篇一：11-12-2大学物理乙期末试题b】
《大学物理乙（上）》课程期末考试试卷 (b)
开课分院：基础部，考试形式：闭卷，允许带非存储计算器入场考试日期：2012年月日，考试所需时间： 120 分钟
考生姓名学号考生所在分院：专业班级： .
一、填空题（每空2分，共50分）：
1、一个0.1kg的质点做简谐振动，运动方程为x(t)?0.2cos3t m，则该质点的最大加速度amax，质点受到的合力随时间变化的方程
f(t。 2、一质点作简谐振动，振幅为a，初始时具有振动能量2.4j。当质点运动到a/2处时，质点的总能量为 j，其中动能为j。
3、在宁静的池水边，你用手指以2hz的频率轻叩池面，在池面上荡起水波，波速为2m/s，则这些波的波长为 m。
4、两列波在空间相遇时能够产生干涉现象的三个条件为：，振动方向相同，初相位差恒定。
5、如图所示，在均匀介质中，相干波源a和b相距3m，它们所发出的简谐波在ab连线上的振幅均为0.4m，
波长均为2m，且a为波峰时b恰好为波谷，那么ab连线中点的振幅为 m，在ba延长线上，a点外侧任一点的振幅为m。
6、已知空气中的声速340m/s，一辆汽车以40m/s的速度驶近一静止的观察者，汽车喇叭的固有频率为555hz，则观察者听到喇叭的音调会更________（填“高”或“低”），其频率为____________ hz。（请保留三位有效数字）．．．．．．
7、已知800k时某气体分子的方均根速率为500m/s，当该气体降温至200k时，其方均根速率为__________m/s。
信号与系统第五章_课后答案
w w w .
k h d a w .c
o m
课后答
案网
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k h d a w .c
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课后答
案网
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信号与系统课后习题答案第5章
yzi(k)=(－2)kε(k)
39
第5章 离散信号与系统的时域分析 40
第5章 离散信号与系统的时域分析 41
第5章 离散信号与系统的时域分析 42
第5章 离散信号与系统的时域分析 43
第5章 离散信号与系统的时域分析
(6) 系统传输算子:
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
22
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.9 已知两序列
试计算f1(k)*f2(k)。
23
解 因为
第5章 离散信号与系统的时域分析
所以
24
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.10 已知序列x(k)、y(k)为
试用图解法求g(k)=x(k)*y(k)。
25
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 首先画出y(k)和x(k)图形如题解图5.10所示, 然后结合 卷积和的图解机理和常用公式,应用局部范围等效的计算方法 求解。
信号与系统课后习题答案
习 题 一 第一章习题解答
基本练习题
1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。因此，公共周期3
110==f T s 。 (b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==
基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。因此，公共周期5
1
10==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。因此，公共周期π==0
1
f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。显然是功率信号。
t d t f T
P T T
T ⎰
-∞→=2
)(21
lim
16163611lim 2211
0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W
(b) 波形如图1.2(b)所示。显然是能量信号。 3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim
10102
5=-===⎰
⎰∞
∞
---∞
→T t t
t
T e dt e
dt e
E J
(d) 功率信号，显然有 1=P W
1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 87
56
===
T E P W 1-5 解 (a) )(4)2
()23(2t t
t δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t e
信号与系统课后习题答案第5章
第5章 离散信号与系统的时域分析 52
第5章 离散信号与系统的时域分析 53
第5章 离散信号与系统的时域分析 54
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.17 求题图 5.4 所示各系统的单位响应。
题图 5.4
55
第5章 离散信号与系统的时域分析 56
(c) 因为
第5章 离散信号与系统的时域分析
第5章 离散信号与系统的时域分析 10
第5章 离散信号与系统的时域分析 11
第5章 离散信号与系统的时域分析 12
第5章 离散信号与系统的时域分析 13
第5章 离散信号与系统的时域分析 14
第5章 离散信号与系统的时域分析
用图解法计算，见题解图5.6-1。 因此
15
第5章 离散信号与系统的时域分析
79
第5章 离散信号与系统的时域分析 80
第5章 离散信号与系统的时域分析 81
第5章 离散信号与系统的时域分析 82
第5章 离散信号与系统的时域分析 83
第5章 离散信号与系统的时域分析 84
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.24 某LTI离散时间系统的传输算子为
且已知f(k)=kε(k), y(0)=4.5, y(1)=－5.5, 试用经典解法求系 统的全响应y(k)。
故根据h(t)~H(E)对应关系，求得系统传输算子:
2016年南京工业大学816有机化学考研大纲硕士研究生入学考试大纲
817《信号系统与数字电路》考试大纲
信号系统部分
一、考试的基本要求
要求学生比较系统地理解和掌握信号与系统的基本概念，信号与系统的描述方法，基本信号的特性，系统的一般性质，系统的互联；掌握信号分解的基本思想及方法，通过对连续时间信号的傅里叶变换能分析信号的频率特性；通过拉普拉斯变换能求线性时不变连续系统的全响应；通过Z变换能求线性时不变离散系统的全响应；掌握系统函数零极点的获取方法，能根据系统函数极点分布情况判断该系统是否稳定。通过信号与系统课程的学习，为后续课程特别是数字信号处理课程的学习打下好的基础。
二、考试方式和考试时间
闭卷考试，总分75，考试时间为90分钟。
三、参考书目（仅供参考）
沈元隆，周井泉编.信号与系统[M].北京:人民邮电出版社,2012.6
四、试题类型：
单项选择、填空、简答题、证明题、计算题等题型，并每年根据考试要求做相应调整。
五、考试内容及要求
第一部分信号与系统的基本概念
掌握：信号的概念和分类，系统的概念，系统的数学模型及分类。
熟悉：信号的基本运算方法。
第二部分连续信号与系统的时域分析
掌握：冲激函数及其性质，冲激响应的概念；连续时间信号在时域进行分解的方法及其描述；卷积的图解和卷积积分限的确定；卷积积分的运算性质和含有
《信号与系统》第五章基本内容示例(含答案)
sL
s
电感上象电流 I (s) 与象电压U (s) 的关系可看成是由感抗 1 与内部象电压源 sL
i L (0 − ) 相并联组成。 s
2．转移函数为
Leabharlann Baidu
H (s) 的因果系统，其中
H (s)
=
s3 + 2s2 + 2s +1 (s2 +12s +1)
当激励
f
(t )
=
e−t (t)
，其零
状态响应 y(t) 的初值 y(0+ ) 等于（
三．判断题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×） 1．LTI 连续系统的自由响应、冲激响应的函数形式由 H(s)的零点确 定。（ ）
四、证明题
1、 设连续系统的系统函数为 H（s），其阶跃响应为 g(t)。试证，如果该系统 是稳定的，则有： lim g(t) = H (0) 。
t →
2. 已知系统的 H (s) = s +1 ，画出系统的零、极点分布图。
(s + 2)2 + 4
六、简单计算下列式子
ℒ 1、
-1
(s
+
0 4)2
+
02
2、ℒ (2t − 5)
ℒ-1
3、
1
1 − e−
信号与系统课后习题参考答案
1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-1
1-2试写出题1-1图中信号的函数表达式。
1-3已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。 题图1-3
⑴)2(1-t x ⑵)1(1t x -⑶)22(1+t x
⑷)3(2+t x ⑸)22
(2-t x ⑹)21(2t x - ⑺)(1t x )(2t x -⑻)1(1t x -)1(2-t x ⑼)2
2(1t x -)4(2+t x 1-4已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。 题图1-4
⑴)12(1+n x ⑵)4(1n x -⑶)2
(1n x ⑷)2(2n x -⑸)2(2+n x ⑹)1()2(22--++n x n x
⑺)2(1+n x )21(2n x -⑻)1(1n x -)4(2+n x ⑼)1(1-n x )3(2-n x
1-5已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。
题图1-5
1-6试画出下列信号的波形图：
⑴)8sin()sin()(t t t x ΩΩ=⑵)8sin()]sin(2
11[)(t t t x ΩΩ+= ⑶)8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+=⑷)2sin(1)(t t
t x = 1-7试画出下列信号的波形图：
⑴)(1)(t u e t x t -+=⑵)]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π
信号与系统第5章习题答案
第5章连续时间信号的抽样与量化
5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为
T
(t)(tnT)
sn
由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
1
F s ()F()T 2
()
1 T s
n
Fn
s
式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。可知抽样后信 号的频谱()
F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果s2m ，即抽样
m 间隔 1 T
sf
2
m
，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。因此必须要求满足
1 T
sf
2 m
，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。 5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：
2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)
2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)
SatSa
解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎
m
斯特速率，最低采样频率
s 2称为奈奎斯特频率。 m
（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则
50)
50
25 f ， m
由抽样定理得：最低抽样频率
50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔
1 T 。 sf
50
s
2t
（2）)
Sa(100)(1
100200
脉宽为400，由此可得rads
m200/，则
100
f，由抽样定理得最低抽样频率m
200
f s2f m，奈奎斯特间隔
817《信号系统与数字电路》信号系统考研复习大纲
《信号系统与数字电路》信号系统考研复习大纲
一、考试的基本要求
要求学生比较系统地理解和掌握信号与系统的基本概念，信号与系统的描述方法，基本信号的特性，系统的一般性质，系统的互联；掌握信号分解的基本思想及方法，通过对连续时间信号的傅里叶变换能分析信号的频率特性；通过拉普拉斯变换能求线性时不变连续系统的全响应；通过变换能求线性时不变离散系统的全响应；掌握系统函数零极点的获取方法，能根据系统函数极点分布情况判断该系统是否稳定。通过信号与系统课程的学习，为后续课程特别是数字信号处理课程的学习打下好的基础。
二、考试方式和考试时间
闭卷考试，总分，考试时间为分钟。
三、参考书目（仅供参考）
沈元隆，周井泉编.信号与系统[].北京:人民邮电出版社
四、试卷类型：
五、考试内容及要求
第一部分信号与系统的基本概念
掌握：信号的概念和分类，系统的概念，系统的数学模型及分类。
熟悉：信号的基本运算方法。
第二部分连续信号与系统的时域分析
掌握：冲激函数及其性质，冲激响应的概念；连续时间信号在时域进行分解的方法及其描述；卷积的图解和卷积积分限的确定；卷积积分的运算性质和含有冲击函数的卷积。
熟悉：系统冲激响应的求解方法；系统零输入响应和零状态响应的求解方法；
图解法卷积的五个计算过程；微分方程用模拟图表示，模拟图用微分方程表示的基本方法。
第三部分连续信号与系统的频域分析
掌握：傅里叶级数的物理意义及存在的条件；周期信号和非周期信号的频谱特点及频谱求取法；傅立叶变换的主要性质。
熟悉：傅里叶级数的复振幅的求取方法及用恢复()计算方法；非周期信号的傅里叶变换和反变换的计算方法；用傅里叶变换求线性时不变系统零状态响应的计算方法；系统无失真传输的条件；抽样定理；滤波器的作用。
信号与系统第五章
k
gkk
➢ 式中的 k 是表示由源点到汇点之间第 k 条前向通路的标号；
➢ 是由源点到汇点之间第 条前向通路的增益；
➢ gk称为第 条前向通路特征k 行列式的余因子，它是除去与 第 条k 前向通k路相接触的环路后，余下的特征行列式。
k
例题 用Mason公式求如图 所示系统的系统函数。
解：信号流图中只有一个环路，
(3)用矢量和矩阵来表示系统的数学模型，特别适用于多输 入－多输出的系统；
(4)此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等 各类系统。
5.2 LTI系统的信号流图 P286
系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描述 更直观的描述方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示 更简洁明了，且对系统函数的计算明显简化。
➢ 只有一个结点和一条支路的回路称为自回路（或自环）。
如图中x4 g x4 。
➢ 相互无公共结点的回路称为互不接触回路。如图中 x4 g x4 和 x2 a x3 e x2 两个回路互不接触。
➢ 回路中所有各支路“增益”即转移函数的乘积称为回路增 益。
➢ 从源点到汇点的开通路称为前向通路。
如图中x1 1 x2 a x3 b x4 c x5 和 x1 1 x2 a x3 d x5 都是前向通路。
1.信号流图
信号流图是用一些点和有向线段作图来描述系统各变量间 的因果关系，如图所示的简单方框图，画成信号流图形式就
浙江大学大学物理答案
浙江大学大学物理答案
【篇一：11-12-2大学物理乙期末试题b】
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一、填空题（每空2分，共50分）：
1、一个0.1kg的质点做简谐振动，运动方程为x(t)?0.2cos3t m，则该质点的最大加速度amax，质点受到的合力随时间变化的方程
f(t。 2、一质点作简谐振动，振幅为a，初始时具有振动能量2.4j。当质点运动到a/2处时，质点的总能量为 j，其中动能为j。
3、在宁静的池水边，你用手指以2hz的频率轻叩池面，在池面上荡起水波，波速为2m/s，则这些波的波长为 m。
4、两列波在空间相遇时能够产生干涉现象的三个条件为：，振动方向相同，初相位差恒定。
5、如图所示，在均匀介质中，相干波源a和b相距3m，它们所发出的简谐波在ab连线上的振幅均为0.4m，
波长均为2m，且a为波峰时b恰好为波谷，那么ab连线中点的振幅为 m，在ba延长线上，a点外侧任一点的振幅为m。
6、已知空气中的声速340m/s，一辆汽车以40m/s的速度驶近一静止的观察者，汽车喇叭的固有频率为555hz，则观察者听到喇叭的音调会更________（填“高”或“低”），其频率为____________ hz。（请保留三位有效数字）．．．．．．
7、已知800k时某气体分子的方均根速率为500m/s，当该气体降温至200k时，其方均根速率为__________m/s。
《信号与系统》第五章作业答案
Y ( e jω ) 1 1 级联后的单位冲激响应：H (e ） = = = X (e jω） 1 − 3 e − jω + 1 e − j 2ω (1 − 1 e − jω )(1 − 1 e − jω ) 4 8 2 4 2 1 = − 1 1 1 − e − jω 1 − e − jω 2 4 1 1 ∴ h[n] = [2( ) n − ( ) n ]u[n] 2 4
jπ jω n = −∞
∑ x[n]e
+∞
− jωn
|ω =π =
n = −∞
x[n]( −1) n = 2 ∑
+∞
e) Ev( x[n]) ↔ Re{ X (e jω )} ∴ Re{ X (e jω )}的逆变换对应着x[n]的偶序列部分，即 1 Ev( x[n]) = {x[n] + x[−n]} 2
jω
e − jω Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω ) = 1 − jω 1− e 4 1 n −1 ∴ y[n] = ( ) u[n − 1] 4
2 . 19 ∵ w[ n ] = 1 w[ n − 1] + x[ n ] 2 两边应用傅里叶变换， 得：
jω
1 − jω X ( e jω ) jω jω jω W (e ) = e W (e ) + X (e ) ⇒ W (e ) = 1 2 1 − e − jω 2 又 ∵ y [ n ] = α y [ n − 1] + β w[ n ] 两边应用傅里叶变换， Y (e
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【篇一：11-12-2大学物理乙期末试题b】
《大学物理乙（上）》课程期末考试试卷 (b)
开课分院：基础部，考试形式：闭卷，允许带非存储计算器入场考试日期：2012年月日，考试所需时间： 120 分钟
考生姓名学号考生所在分院：专业班级： .
一、填空题（每空2分，共50分）：
1、一个0.1kg的质点做简谐振动，运动方程为x(t)?0.2cos3t m，则该质点的最大加速度amax，质点受到的合力随时间变化的方程
f(t。 2、一质点作简谐振动，振幅为a，初始时具有振动能量2.4j。当质点运动到a/2处时，质点的总能量为 j，其中动能为j。
3、在宁静的池水边，你用手指以2hz的频率轻叩池面，在池面上荡起水波，波速为2m/s，则这些波的波长为 m。
4、两列波在空间相遇时能够产生干涉现象的三个条件为：，振动方向相同，初相位差恒定。
5、如图所示，在均匀介质中，相干波源a和b相距3m，它们所发出的简谐波在ab连线上的振幅均为0.4m，
波长均为2m，且a为波峰时b恰好为波谷，那么ab连线中点的振幅为 m，在ba延长线上，a点外侧任一点的振幅为m。
6、已知空气中的声速340m/s，一辆汽车以40m/s的速度驶近一静止的观察者，汽车喇叭的固有频率为555hz，则观察者听到喇叭的音调会更________（填“高”或“低”），其频率为____________ hz。（请保留三位有效数字）．．．．．．
7、已知800k时某气体分子的方均根速率为500m/s，当该气体降温至200k时，其方均根速率为__________m/s。
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非线性时不变 线性时变
π⎞ ⎛ 2π (2) y (k ) = x(k ) sin ⎜ k+ ⎟ 6⎠ ⎝ 7
(3) y (k ) = [x(k )]
2
非线性时不变 线性时不变
( 4) y ( k ) =
n = −∞
∑ x ( n)
k
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5-14 求解下列差分方程 （2）y (k + 2) + 2 y (k +) + 2 y (k ) = 0，yzi (0) = 0，yzi (1) = 1 特征方程为 r 2 + 2r + 2 = 0 ， 解： 特征根为
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y y （3）y ( k ) + 2 y ( k − 1) + 4 y ( k − 2) = 0 ，zi (0) = 0， zi (1) = 2。 2 特征方程为 r + 2 r + 4 = 0 解： r2 = −1 − 3 j r1 = −1 + 3 j 特征根为
0
f1(k −1)
1 1 2 4 2 1 −1 0 1
2
L
3
4
k
f2(k +1)
L
3 k
16
f1(k −1)⋅ f2(k +1)
4
L
−1 0 1
2
3
k
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5-3 已知序列
0 ⎧ f (k ) = ⎨ −k ⎩2 + 3k
k < −1 k ≥ −1
试分别写出下列各序列的表达式，并绘出其图形。 （2）f (k-2) （5） f (-k-2) （6）Δf (k)
解： 特征方程为 r + 3r + 2 = 0
2
特征根 r1=-1，r2=-2 求差分方程 有
y ( k + 2) + 3 y ( k + 1) + 2 y ( k ) = x ( k )
对应的冲激响应 h0(k) ：
h0 (k ) = A1( −1)k + A2 ( −2)k
k >0
由差分方程知 h0 (1) = 0 所以
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*补充题 求下列差分方程所描述的离散时间系统的零 输入响应 y y y （1） ( k + 2) + 3 y ( k + 1) + 2 y ( k ) = 0， zi (0) = 2 ， zi (1) = 1
解： 特征方程为 r 2 + 3r + 2 = 0
特征根为 r1 = −1 ， r2 = −2 k k yzi (k ) = A1 (−1) + A2 (−2) 所以 代入初始条件 yzi (0) = 2 ， yzi (1) = 1 ，有
0 ⎧ = ⎨ −( k +1) + 3(k + 1) ⎩2 0 ⎧ = ⎨ −( k +1) + 3( k + 1) ⎩2
k < −1 k ≥ −1 k < −2 k = −2 k ≥ −1
2
k < −2 ⎧ 0 0 ⎧ ⎪ ⎪ k = −2 − ⎨ 0 =⎨ −1 ⎪2 −( k +1) + 3( k + 1) k ≥ −1 ⎪2 − k + 3k ⎩ ⎩ 0 k < −2 ⎧ ⎪ k = −2 =⎨ −1 ⎪− 2 −( k +1) + 3 k ≥ −1 ⎩
j( +π ) 8
2π 1 = 16π 是无理数， （2）Ω 0 = ， 8 Ω0
所以 f2 (k)不是周期序列。
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5-7 序列 f(k)如图所示，把 f (k)表示为δ(k)的加权与 延迟之线性组合。 f(k) 3
2
−3 −4 −2 −1 0 1 2 3
k
−2
解： f (k ) = −2δ (k + 3) + 3δ (k − 1) + 2δ (k − 3)
1
x(k )
∑
q(k + 3)
D
q(k + 2)
D
q(k +1)
D
q(k )
2
∑
y(k )
1
−1
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5-23 设离散系统x(k)表示激励，y(k) 表示响应。试判 断下列离散系统是否是线性系统，是否是时不 变系统？
解： (1) y (k ) = 2 x (k ) + 3
y 代入初始条件 yzi (0) = 1， zi (1) = 2 ，yzi (2) = 0 ，有 1 4 ⎧ A1 + A2 = 1 A2 = − 解得：A1 = ⎪ 3 3 A1 + ( A2 + A3 )( −2) = 2 ⎨ ⎪A + (A + 2A ) ⋅ 4 = 0 A3 = 0 2 3 ⎩ 1 4 1 k k ≥0 因此 yzi ( k ) = − (−2) 3 3
6 1 4
3
f (−k −2)
1 2
L
1
0 −1
1
− 4 − 3 − 2 −1
k
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（6） Δf (k ) = 解：
f ( k + 1) − f ( k ) k + 1 < −1 ⎧ 0 −⎨ −k k + 1 ≥ −1 ⎩2 + 3k k < −2 ⎧ 0 −⎨ −k k ≥ −2 ⎩2 + 3k k < −1 k ≥ −1
为了方便求出待定系统，将r1 、r2 写成极坐标形式 r1 = 2e
2 j π 3
，r2 = 2e
2 −j π 3 2 j kπ 3 2 − j kπ 3
y zi ( k ) = A1 (r1 ) k + A2 ( r2 ) k = 2 k ( A1e 所以
k
+ A2 e
)
2 2 2 2 = 2 ( A1 cos kπ + jA1 sin kπ + A2 cos kπ − jA2 sin kπ ) 3 3 3 3 2 2 k = 2 [( A1 + A2 ) cos kπ + j( A1 − A2 ) sin kπ ] 3 3
1 1 2 4 2 1 −1 0 1
2
L
3
4
k
f2(k +1)
L
3 k
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改写为：
k <0 ⎧0 ⎧ 0 ⎪ ⎪ f1 (k − 1) = ⎨ 0 k = 0 ， f 2 (k + 1) = ⎨ 1 ⎪2 k ⎪k − 1 k ≥ 1 ⎩ ⎩
f1(k −1) + f2(k +1)
= (1 − 1)δ (k ) + [−(−1) k −1 − (−2)(−2) k −1 ]ε (k − 1) + [(−1) k −1 − (−2) k −1 ]ε (k − 1) = (−2) k −1 ε (k − 1)
k <1 ， k ≥1
求下列各序列的表达式。 （3）f1 (k − 1) + f 2 (k + 1) 解：由 f1(k)、f2(k)的定义得
k <1 ⎧ 0 f 1 (k − 1) = ⎨ ⎩k − 1 k ≥ 1 ⎧0 f 2 (k + 1) = ⎨ k ⎩2 k <0 k ≥0
0
f1(k −1)
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考虑到A1、A2也是一对共轭复数，设A1 + A2 = C1为 实数， j(A1 - A2 )= C2为实数，有 2 2 k yzi ( k ) = 2 [C1 cos kπ + C2 sin kπ ] 3 3 代入初始条件 yzi (0) = 0 ，yzi (1) = 2 ，有
Δ f (k )
1 23 2 4 2
L
2
−2
−1 0
1
−1
k
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5-6 判断以下序列是否为周期序列，如果是周期序 列，试确定其周期。 3 2 −∞<k <∞ （1） f1 ( k ) = A cos( πk + π ) 7 3 k
−∞<k <∞ （2） f 2 (k ) = e 2π 14 N 3 = = 是有理数， （1）Ω 0 = π ， 解： Ω0 3 M 7 所以 f1 (k)是周期序列，周期 N=14。
差分方程
y ( k + 2) + 3 y ( k + 1) + 2 y ( k ) = x ( k + 1) + x ( k )
对应的冲激响应 h( k ) = h0 ( k + 1) + h0 ( k ) +
[( −1) − ( −2) ]ε ( k )
k k
[(−1)k −1 − (−2)k −1]ε (k − 1)
10 5
k<0 k =0 k ≥1
∴ f1 (k − 1) + f 2 (k + 1) 0 k <0 ⎧ ⎪ =⎨ 1 k =0 ⎪2 k + k − 1 k ≥ 1 ⎩
2
1
−1 0 1 2
L
3 k
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第5页
*（4） f1 (k − 1) ⋅ f 2 (k + 1) 解：
f1 (k − 1) ⋅ f 2 (k + 1) ⎧ 0 ⎪ =⎨ 0 ⎪2 k (k − 1) ⎩ ⎧ 0 =⎨ k ⎩2 (k − 1) k <0 k =0 k ≥1 k <1 k ≥1
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5-8 试用单位阶跃序列表示图示离散信号。 (b) f (k)
2
3
2
1 −2 −1 0 1 2 3
4 5
6
−1
k
解：f 2 (k ) = ε (k + 2) + ε (k ) + ε (k − 2) − 4ε (k − 4) + ε (k − 6)
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f (k −2)
3 1 2 6 1 4
解： （2） f ( k − 2)
0 k <1 ⎧ = ⎨ −( k − 2) + 3( k − 2) k ≥ 1 ⎩2
1
−1 0 1
2 −1
L
3 4 k
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第7页
解： （5）
0 − k − 2 < −1 ⎧ f ( − k − 2) = ⎨ − ( − k − 2 ) + 3(− k − 2) − k − 2 ≥ −1 ⎩2 0 k > −1 ⎧ = ⎨ k +2 ⎩2 − 3(k + 2) k ≤ −1
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5-12 试画出下列离散时间系统的模拟图。 (3) y ( k + 3) − y ( k + 2) + y ( k + 1) = x ( k + 2) + 2 x ( k )
解：引入辅助函数q(k)，使
q(k + 3) − q(k + 2) + q(k + 1) = x(k )
即 q(k + 3) = x(k ) + q(k + 2) − q(k + 1) 则 y (k ) = q(k + 2) + 2q(k )
⎧ A1 + A2 = 2 ⎨ ⎩− A1 − 2 A2 = 1
k
解得 A1 = 5 ，A2 = −3
k
因此 yzi (k ) = 5( −1) − 3( −2)
k ≥0
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Βιβλιοθήκη Baidu
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（2）y ( k + 3) + 3 y ( k + 2) − 4 y ( k ) = 0 yzi (0) = 1 ， yzi (1) = 2 ， yzi (2) = 0 ， 特征方程为 r 3 + 3r 2 − 4 = 0 ， 解： 特征根为 r1=1，r2=-2，r3 =-2 yzi ( k ) = A1 + ( A2 + A3 k )( −2) k 所以
⎧− A1 − 2 A2 = 0 ⎨ ⎩ A1 + 4 A2 = 1
h0 ( 2) = 1
1 解得 A1 = −1 ， A2 = 2
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k
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1 ∴ h0 ( k ) = [ −( −1) + ( −2)k ]ε ( k − 1) = [( −1)k −1 − ( −2)k −1 ]ε ( k − 1) 2
r1, 2 = −1 ± j = 2e
k
3 ±j π 4
，
3 3 ⎤ ⎡ 所以 yzi (k ) = ( 2 ) ⎢c1 cos kπ + c2 sin kπ ⎥ k ≥ 0 4 ⎦ 4 ⎣ 代入初始条件 yzi (0) = 0 ，yzi (1) = 2 ，有 ⎧ yzi (0) = c1 = 0 ⎪ ∴ c1 = 0, c2 = 1 ⎨ 3 ⎪ yzi (1) = 2c2 sin 4 π = 1 ⎩ 3 k yzi (k ) = ( 2 ) sin kπ k ≥ 0 因此 4
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第1页
信号 与 系统
Signals
and
Systems
2006
信号分析与信息处理教学中心
5
第五章 离散信号与系统的时域分析
习 题 解 答
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⎧0 k < 0 ⎧ 0 5-2 已知序列 f1 (k ) = ⎨ ，f 2 (k ) = ⎨ k −1 ⎩k k ≥ 0 ⎩2
⎧C1 = 0 解得 C1 = 0 ， ⎪ 2 ⎨ 2 2 C2 = ⎪2[C1 cos 3 π + C2 sin 3 π ] = 2 3 ⎩
2 2 sin kπ 所以 yzi (k ) = 2 ⋅ 3 3
k
k ≥0
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5-15 试求下列差分方程的单位函数响应 （1） y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = x(k + 1) + x(k )